Đạo hàm lie của k dạng vi phân với giá trị vectơ

Bộ giáo dục và đào tạo
TrƯờng đại học vinh

NGUYN TH THU HƢƠNG

ĐẠO HÀM LIE CỦA k-DẠNG VI PHÂN
VỚI GIÁ TRỊ VECT

Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô
mà số: 60.46.10

Luận văn thạc sÜ to¸n häc

Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. NGUYỄN HỮU QUANG

Vinh - 2011


1

MỤC LỤC
Mục lục

. . . . . . . . . .

Lời nói đầu .

. . . . . . . . . . . . . . . . 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Chƣơng 1: k - dạng vi phân với giá trị véc tơ . . . . . . . . . . . 4
1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Đạo hàm Lie của trƣờng véc tơ và dạng vi phân.

. . . . . . . . .

8

1.3. Vi phân ngoài của các dạng vi phân với giá trị trên B(M) . . . . . . . 12
1.4. Ánh xạ đối tiếp xúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5. Liên thông Levi- Civita trên đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . 18
1.6. Ten xơ cong của đa tạp Riemann . . . . . . . . . . . . . . . 21

Chƣơng 2: Đạo hàm Lie của k-dạng vi phân với giá trị véc tơ .

24

2.1. Đạo hàm Lie của k - dạng vi phân với giá trị véc tơ . . . . . . . . .

24

2.2. Đạo hàm Lie của liên thông Lêvi- Civita. . . . . . . . . . . . .

.

32

2.3. Đạo hàm Lie của độ xoắn và độ cong . . . . . . . . . . . . . .

. 36

Kết luận . . . . . . . . . . . . . .

. 38

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . .

. . . . .

. . .

. . . . . . . . .

. 39


2

LỜI NÓI ĐẦU
Đa tạp Riemann là những khái niệm cơ sở của toán học hiện đại, xuất hiện vào
thế kỷ 19. Hình học trên các đa tạp có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác
nhau của toán học nhƣ: giải tích, lý thuyết hệ động lực, vật lý, các nghành khoa học
kỹ thuật, ... Đến những năm cuối của thế kỷ 19 , cùng với sự phát triển của tơpơ với
những cơng trình nổi tiếng của Hausdoff, Poincaré ... thì hình học trên các đa tạp đã
phát triển mạnh mẽ. Và chính tơpơ đã trở thành một cơng cụ hữu hiệu trong việc
xây dựng các cấu trúc hình học , chẳng hạn nhƣ: liên thông, độ cong, độ xoắn, đạo
hàm các dạng vi phân trên các đa tạp. Khi nghiên cứu sâu vào các loại đạo hàm, các
nhà Hình học và Giải tích đã thu đƣợc những tính chất hình học đặc trƣng phong
phú. Một trong những đạo hàm thu hút đƣợc đƣợc nhiều sự quan tâm chú ý của

nhiều nhà khoa học trong một vài thập niên gần đây phải kể đến đó là đạo hàm Lie.
Nhƣ chúng ta đã biết, đạo hàm Lie trên đa tạp giúp ta giải quyết việc tìm
kiếm các đa tạp con có cực tiểu địa phƣơng và xác định các loại độ cong của đa tạp.
Ngồi ra đạo hàm Lie cịn có nhiều ứng dụng trong lý thuyết hệ động lực, lý thuyết
truyền thông, …. Việc nghiên cứu đạo hàm Lie trên đa tạp và các tính chất của nó
đang nhận đƣợc sự quan tâm nghiên cứu của một số nhà toán học trong và ngồi
nƣớc. Với mục đích là tìm hiểu về đạo hàm Lie và ứng dụng của nó, chúng tôi xây
dựng khái niệm đạo hàm Lie của k –dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp và
phát biểu các tính chất về đạo hàm Lie của độ cong trên đa tạp. Chính vì vậy chúng
tơi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là: “ Đạo hàm Lie của k- dạng vi phân
với giá trị véc tơ ”.


3
Luận văn đƣợc trình bày trong hai chƣơng:
Chƣơng 1: k - dạng vi phân với giá trị véc tơ
Trong chƣơng này, chúng tôi giới thiệu một số khái niệm cơ sở liên quan
chính đến nội dung của chƣơng sau. Cụ thể, chúng tơi trình bày các định nghĩa và
các tính chất cơ bản của k - dạng vi phân với giá trị véc tơ, vi phân ngoài và ánh xạ
đối tiếp xúc.
Chƣơng 2: Đạo hàm Lie của k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp.
Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày khái niệm về đạo hàm Lie của k - dạng
vi phân với giá trị véc tơ các định nghĩa, và phát biểu một số tính chất về đạo hàm
Lie của độ cong , độ xoắn và liên thông trên đa tạp .
Luận văn đƣợc thực hiện và hoàn thành tại trƣờng Đại học Vinh dƣới sự
hƣớng dẫn của thầy giáo PGS. TS Nguyễn Hữu Quang. Nhân dịp này, tác giả xin
chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS. TS Nguyễn Hữu Quang, ngƣời đã đặt
bài toán, chỉ dẫn đề cƣơng nghiên cứu cho tác giả và đã tận tình hƣớng dẫn tác giả
trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô
giáo trong khoa Sau Đại học đã tạo điều kiện , giúp đỡ tác giả trong q trình cơng

tác và học tập. Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cơ giáo trong
khoa Tốn cùng các bạn học viên Cao học 17 Hình học - Tơpơ, trƣờng Đại học
Vinh đã giảng dạy và hƣớng dẫn giúp đỡ tác giả trong suốt q trình học tập và
hồn thành luận văn. Cũng nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn bạn bè
đồng nghiệp và gia đình, đã động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả
trong suốt q trình học tập, nghiên cứu và hồn thành luận văn này.
Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả


4
CHƢƠNG 1
k - DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VÉC TƠ
Trong chƣơng này, ta luôn giả thiết (M,g) là đa tạp Riemann n- chiều với cấu
trúc Riemann g và ký hiệu:

B(M) = { X: X là trƣờng véc tơ khả vi trên M }.
TpM là không gian tiếp xúc với M tại p  M.
kp (Tp M ) ={  p : Tp M  ...Tp M  Tp M  p là ánh xạ k-tuyến tính phản xứng}
k

F (M ) = { f f : M  R khả vi }.
Và ánh xạ song tuyến tính  :B (M ) B (M ) B (M )

 X ( X i ),Y (Yi ) 

 X1.Y1,..., X n.Yn 

1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1 Định nghĩa

Ánh xạ  : M  p
kp (Tp M ) được gọi là k- dạng vi phân
M

p

p

trên M với giá trị trên B(M), trong đó  p kp (T p M ) .
1.1.2 Nhận xét
Trong hệ tọa độ địa phƣơng U , I
và X1,..., X k 

n

với cơ sở  Ei   x  .Với mỗi p  M
i i 1


B(M), ta có sự biểu diễn:

 p ( X1( p),...X k ( p))  1( p)( X1( p),..., X k ( p)),...,n ( p)( X1( p),..., X n ( p))  , ở đây
 j (j=1,…,n) là k- dạng vi phân với giá trị thực trên M.
Từ định nghĩa trên, ta có:

  X1,..., X k  = 1  X1,..., X k  ,..., n  X1,..., X k   ; j  k (M ), X j  B(M).
Nhƣ vậy, ta có thể đồng nhất  với 1,...,n  ; trong đó  j  k (M )


5

Ta nói  khả vi trên M nếu và chỉ nếu  j khả vi với j  1,..., n , với mọi
X1,..., X k  B(M).

Ta ký hiệu: k (M ,B (M )) ={   là k-dạng vi phân khả vi với giá trị trên B(M) }
Quy ƣớc: 0 (M ,B (M )) = F (M ) = {  f1,..., f n  f j : M  R khả vi }.
1.1.3. Chú ý
Trên k (M ,B (M )) ta trang bị các phép toán cộng và nhân nhƣ sau:
a) Phép cộng:    ' : p

 p   p' p  M ;, '  k (M ,B (M ))

b) Phép nhân :   1,...,n  ,  F (M ),   k (M ,B (M ))
Khi đó: k (M ,B (M )) cùng với hai phép tốn trên là một mơ đun trên vành F(M).
1.1.4. Ví dụ
Giả sử M =R3, ta xét    xdx  dy; ydy  dz; zdx  dz  . Khi đó  là 2- dạng vi
phân trên R3 với giá trị trên B(R3). Thật vậy:

1  xdx  dy,2  ydy  dz,3  zdx  dz . Dễ thấy rằng 1 , 2 , 3 là các 2- dạng vi
phân khả vi. Do đó   1 , 2 , 3  khả vi.
1.1.5. Định nghĩa
Giả sử   k (M ,B (M )),  l (M ,B (M )) . Tích ngồi của , ký hiệu là

  và được xác định bởi:

   ( X1,..., X k l ) =
=



 (1)... ( k )

 ( k 1)... ( k l )

   ( ( X  (1) ,..., X  ( k ) ), ( X  ( k 1) ,..., X  ( k l ) )) , với X j 

B(M),

j  1,..., k  l .
1.1.6. Ví dụ
Giả sử M= R3, ta xét



 xdx  dy; ydy  dz; zdx  dz 

 2 ( R3 ,B ( R3 )) ,

   xdx, dy, dz   1 ( R3 ,B ( R3 )) và cho các trƣờng véc tơ X(x, y, xz), Y(x, z, xy),
Z(y, z, x). Tính (  ) (X, Y, Z) = ?


6
Giải:
Ta có :    3 ( R3 ,B ( R3 )) .
Suy ra (  )( X ,Y , Z ) =  (( X ,Y ), (Z ))  (( X , Z ), (Y ))
 ((Y , Z ), ( X )) .
( X ,Y ) = 1 ( X ,Y ),2 ( X ,Y ),3 ( X ,Y ) 
=  xdx  dy  X ,Y  , ydy  dz  X ,Y  , zdx  dz  X ,Y  
=  x( xz  xy), y( y.xy  z.xz), z( x.xy  x.xz) 
=

 (Z )

 x z  x y, xy
2

2

3

 xyz 2 , x2 yz  x2 z 2  .

= 1 (Z ),2 (Z ),3 (Z )  =



 xdx(Z ), dy(Z ), dz(Z )  =  xy, z, x  .



Do đó  (( X ,Y ), (Z )) = x3 yz  x3 y 2 , xy3 z  xyz3 , x3 yz  x3 z 2 .

 ( X , Z )  1 ( X , Z ), 2 ( X , Z ), 3 ( X , Z ) 
=
=
=

 xdx  dy  X , Z  , ydy  dz  X , Z  , zdx  dz  X , Z  

 x( xz  y2 ), y( y.x  z.xz), z(x2  y.xz)
 x2 z  xy2 , xy2  xyz2 , x2 z  xyz2  .

 (Y ) = 1(Y ),2 (Y ),3 (Y )  =  xdx(Y ), dy(Y ), dz(Y )  =  x2 , z, xy  .

Do đó  (( X , Z ), (Y )) =  x4 z  x3 y 2 , xy 2 z  xyz3 , x3 yz  x2 y 2 z 2  .

(Y , Z ) = 1(Y , Z ),2 (Y , Z ),3 (Y , Z ) 
=  xdx  dy Y , Z  , ydy  dz Y , Z  , zdx  dz Y , Z  
=
=

( X )

 x( xz  yz), y( z.x  z.xy), z(x2  y.xy) 
 x2 z  xyz, xyz  xy2 z, x2 z  xy2 z  .

= 1( X ),2 ( X ),3 ( X )  =

 xdx( X ), dy( X ), dz( X )  =  x2 , y, xz  .

Do đó  ((Y , Z ), ( X )) =  x4 z  x3 yz, xy 2 z  xy3 z, x3 z 2  x2 y 2 z 2  .

Suy ra (  )( X , Y , Z ) =  0,0,0  = 0.
1.1.7. Mệnh đề ( Xem [5])
Giả sử   1,...,n  k  M ,B (M )  ;   1,...,n  l  M ,B (M )  ,

 j k (M ) ,  j l (M ), j  1,.., n . Khi đó:    1 1,...,n n 

Chứng minh
Giả sử U , I là bản đồ trên M. Theo định nghĩa tích ngồi ta có:
(  )  X1,..., X k l  =

7

    ( X  (1) ,..., X  ( k ) ), ( X  ( k 1) ,..., X  ( k l ) ) 



=

 (1)... ( k )
 ( k 1)... ( k l )






n 



(
X
,...,
X
).

(
X

,...,
X
)

  i  (1)

= 
i
 (k )
 ( k 1)
 ( k l ) .Ei
i 1 

 (1)... ( k )


  ( k 1)... ( k l )




=   (i i )( X1,..., X k l ) .Ei , X j 
n

i 1

Ta suy ra:

B(M), j  1,..., k  l .

  = 1 1,...,n n  .

1.1.8. Hệ quả
Giả sử   1,...,n  k  M ,B (M )  ;   1,...,n  l  M ,B (M )  ;

   1,..., n  r  M ,B (M )  . Khi đó:

i)   =  1    .
ii) (  )      (   )
Chứng minh
i) Theo mệnh đề 1.1.7 ta có:
kl

  = 1 1,...,n n 
=
=
=

 1

kl

1  1,...,  1 n  n
kl



 1 1  1,...,n  n 
kl
 1    .

kl

Vậy   =  1    .
ii) Theo mệnh đề 1.1.7 ta có:
(  )   =  (1 1)  1,...,(n n )  n 
kl

= 1  (1  1),..., n  (n  n )  =   (   ) .
Vậy (  )      (   ) .

1.1.9. Chú ý
Ta quy ƣớc f    f .   f1.1,..., f n .n  ; f   f1,..., f n  F (M ) và

  1,...,n  k  M ,B (M )  .


8

1.2. Đạo hàm Lie của trƣờng véc tơ và dạng vi phân
1.2.1. Định nghĩa ( Xem [6] )
Giả sử X ,Y  B(M) và
trường véc tơ X ; I
Ánh xạ

t tI là nhóm một tham số địa phương sinh ra bởi

   ,  , với 

dương.

LX : B (M ) B (M )
Y

LX Y

được gọi là đạo hàm Lie của trường véc tơ Y theo trường véc tơ X, trong đó LX Y
được xác định bởi:

( LX Y )( p)  lim
t 0

(t )*

t ( p )

Yt ( p )  Yp
t


 d  (t )*
dt 



t ( p )

Yt ( p ) 

 t o

, p  M .

1.2.2. Mệnh đề ( Xem [8] )
Giả sử X ,Y  B(M) và f F (M ) . Khi đó
i. LX (Y  Z )  LX Y  LX Z .
ii. LX ( fY )  fLX Y  YLX f .
iii. LX Y  LY X   X ,Y  .
Chứng minh.
Giả sử X ,Y  B(M) ; f F (M ) và

t tI là nhóm một tham số địa

phƣơng sinh ra bởi trƣờng véc tơ X.
i. Với p  M , ta có:


(LX (Y  Z ))( p) = d  (t )* (Y  Z )t ( p ) 
dt 
 t o
d  ( ) Y  ( ) Z 
=
t ( p )
t ( p ) 
t *
dt  t *
 t o





= d  (t )* Yt ( p )   d  (t )* Zt ( p ) 
dt 
 t o dt 
 t o
t ( p )

t ( p )

t ( p )

t ( p )

t ( p )


9
= (LX Y )( p)  (LX Z )( p) = (LX Y  LX Z )( p) , p  M .
Vậy LX (Y  Z )  LX Y  LX Z .
ii. Với p  M , ta có:


(LX ( fY ))( p) = d  (t )* ( fY )t ( p ) 
dt 
 t o
d  f ( ( p)).( ) Y 
=
t ( p ) 
t *
t
dt 

 t o
t ( p )

t ( p )

=



d f ( ( p)
+
.
(

)
Y



t ( p ) 
t *
t
t ( p )
dt
t  0 
 t o


d
Y

 (t )


t ( p) 
*
t  0 dt 
 t o
= ( LX f )( p).Y  f ( p).(LX Y )( p) , p  M .
p

+ f (t ( p))

.

t ( p)

Vậy LX ( fY )  fLX Y  YLX f .
iii. Với p  M , ta có:

(( LX Y ) p )[ f ]  lim
t 0

(t )*

= lim
t 0

t ( p )

((t )*

Yt ( p )  Yp
t

t ( p )

Yt ( p )

Thay t bởi -t , ta đƣợc:

(( LX Y ) p )[ f ]  lim
t 0

.

t

Yp[ f ]  ((t )*

= lim
t 0

f
)[ f ]  Yp[ f ]

 t ( p )

Yt ( p ) )[ f ]

t

Yp[ f ]  Yt ( p ) ( f t )
t

Khi đó, tồn tại hàm gt ( p)  g (t, p) , p  M sao cho:

f t  f  tgt và g0  X [ f ] .
Do đó

(( LX Y ) p )[ f ]  lim
t 0

Yp[ f ]  Yt ( p ) ( f  tgt )
t


10

Yp[ f ]  Yt ( p ) [ f ]
 lim
Y [ gt ]
t 0
t 0 t ( p )
t

= lim
= lim
t 0
= lim
t 0

Y ( p)[ f ]  Yp[ f ]
t

t

 Yp[ g0 ]

(Y [ f ])(t ( p))  (Y [ f ])( p)
 Yp[ X [ f ]]
t

= X p[Y[ f ]] Yp[ X [ f ]]
=  X ,Y  p [ f ] , p  M , f F (M ) .
Vậy LX Y   X ,Y    Y , X   LY X .
1.2.3. Ví dụ
Giả sử M= R3, cho các trƣờng véc tơ

X  (1, x, y) và Y  ( x, x2 y, y 2 z) . Ta tính

đƣợc đạo hàm Lie của trƣờng véc tơ Y theo trƣờng véc tơ X. Thật vây:
Theo mệnh đề 1.2.2 ta có: LX Y   X ,Y   D Y  D X .
X
Y
Mà DX Y  ( X [Y1], X [Y2 ], X [Y3 ])

= (1,2xy  x3,2xyz  y3)
DY X  (Y[ X1],Y[ X 2 ],Y[ X 3])

= (0, x, x2 y) .

Vậy LX Y  D Y  D X = (1,2xy  x3,2xyz  y3 ) - (0, x, x2 y)
X
Y

= (1,2xy  x3  x,2xyz  y3  x2 y) .
1.2.4. Định nghĩa
Giả sử X ,Y  B(M) ,

  k ( M )

phương sinh ra bởi trường véc tơ X ; I

LX  :

và

là nhóm một tham số địa

   ,  , với 

k

M  (Tp M )

p

t tI

(LX ) p

dương. Ánh xạ


11
được gọi là đạo hàm Lie của k- dạng vi phân

 theo trường véc tơ X, trong đó

( LX  ) p được xác định bởi:
(t )*t ( p )   p
( LX  )( p)  lim
t 0
t



 d (t )*t ( p )
dt



t o

, p  M .

1.2.5. Định lý ( Xem [6] )
Giả sử X , X1, X 2 ,...., X k B(M) ;
dạng vi phân

 k (M ) . Khi đó đạo hàm Lie của k-

 theo trường véc tơ X được xác định bởi công thức:
k

LX ( X1,..., X k ) = LX (( X1,..., X k ))   ( X1,...,  X , X i  ,..., X k ) . (1.1)
i 1

Chứng minh.
Giả sử X , X1, X 2 ,...., X k B(M) ;

 k (M ) và t tI là nhóm một

tham số địa phƣơng sinh ra bởi trƣờng véc tơ X ; I

   ,  , với 

dƣơng. Khi

đó theo định nghĩa đạo hàm Lie của k- dạng vi phân, ta có:

1 ( *  ))( X , X ,..., X )
LX ( X1,..., X k ) = (lim
t
1
2
k
t 0 t
1 *
= lim (t )( X1, X 2 ,..., X k ) ( X1, X 2 ,..., X k )
t 0 t

1
= lim ((t )* X 1,(t )* X 2 ,...,(t ) * X k ) ( X 1, X 2 ,..., X k )
t 0 t
1 *
= lim t (( X1, X 2 ,..., X k )) ( X1, X 2 ,..., X k ) +
t 0 t
*
1
+ lim  ((t )* X 1,(t )* X 2 ,...,(t )* X k ) t (( X 1, X 2 ,..., X k ))
t 0 t
= X ( X1, X 2 ,..., X k )  +























1 (( ) X ,( ) X ,...,( ) X ) ( X ,( ) X ,...,( ) X ) +
t * 1
t * 2
t * k
1
t * 2
t * k
t 0 t
1
+ lim ( X 1,(t )* X 2 ,...,(t )* X k ) ( X 1, X 2 ,(t )* X 3 ,...,(t )* X k ) +
t 0 t
1
+ ... + lim ( X 1, X 2 ,...,(t )* X k ) ( X 1, X 2 ,..., X k )
t 0 t
+ lim








12
= X ( X1, X 2 ,..., X k )  +










1 (( ) X  X ,( ) X ,...,( ) X ) +
t * 1
1
t * 2
t * k
t
1
+ lim ( X 1,(t )* X 2  X 2 ,...,(t )* X k ) +
t 0 t
1
+ ... + lim ( X 1, X 2 ,..., X k 1,(t )* X k  X k )
t 0 t
= X ( X1, X 2 ,..., X k )  


+ lim
t 0







([ X , X1], X 2 ,..., X k ) ...( X 1, X 2 ,..., X k 1,[ X , X k ]) 

= X ( X1, X 2 ,..., X k )  



= LX ( X1, X 2 ,..., X k ) 



k

  ( X 1,...,[ X , X i ],..., X k )

i 1

k

 ( X 1,..., LX X i ,..., X k ) .

i 1

1.2.6. Ví dụ
Trong R3 cho X   x,1, y  ;Y  1, z, x  và   (dx, dy, dz) . Ta tính đƣợc

(LX )(Y ) , thật vậy:

Ta có : (Y )  (dx(Y ), dy(Y ), dz(Y )) = (1,z,x) .
Mặt khác ta có:  X ,Y   DX Y  DY X   1, y, x  z  .
Áp dụng định lý 1.2.5, ta có:

(LX )(Y )  LX ((Y )) (LX Y )  [X ,(Y )] ([X,Y ])

[X ,(Y )]= DX (Y )  D (Y ) X   1, y, x  z 

([X,Y ]) = (dx([ X ,Y ]), dy([ X ,Y ]), dz([ X ,Y ])) =  1, y, x  z 
Suy ra (LX )(Y )   1, y, x  z    1, y, x  z  

 0,0,0 .

1.3. Vi phân ngoài của các dạng vi phân với giá trị trên B(M)
1.3.1 Định nghĩa
Giả sử X 0 , X1,..., X k B(M),   1,..., n  k ( M ,B ( M )) ,  j k (M ),

j  1,.., n . Ánh xạ d : k (M ,B (M ))  k 1(M ,B (M ))


13



d

được gọi là vi phân ngoài của k- dạng vi phân  với giá trị trên

B(M), trong đó

d được xác định bởi công thức sau:
k
i
d  X 0 , X1,..., X k     1 LXi ((X 0 , X1,..., X i ,..., X k )) 
i 0

 

0i  j  k

 1i  j ([ X i , X j ], X 0, X1,..., X i ,..., X j ,..., X k ))

1.3.2 Ví dụ
Giả sử M =R2, ta xét    ydx; xdy  1( R2 ,B ( R2 )) , X  ( x, y);Y  (1, x) .
Khi đó ta tính đƣợc d ( X ,Y ) . Thật vậy,

(Y )   ydx(Y ); xdy(Y )   ( y, x2 ) .
Suy ra

LX ((Y ))  DX (Y )  D (Y ) X  (0, x2 )

Ta lại có :
Suy ra

( X )   ydx( X ); xdy(Y )   ( xy, xy)

LY (( X ))  DY ( X )  D ( X )Y  ( y  x2 , y  x2  xy) .

Mặt khác ta có: [ X ,Y ]  DX Y  DY X
Suy ra

 (1,0)

([ X ,Y ])   ydx([ X ,Y ]); xdy([ X ,Y ])   ( y,0) .

Do đó áp dụng định nghĩa 1.3.1, ta đƣợc:

d( X ,Y ) = LX ((Y ))  LY (( X ))  ([ X ,Y ])
=

(0, x2 )  ( y  x2 , y  x2  xy)  ( y,0)

=

( x2 , xy  y) .

1.4. Ánh xạ đối tiếp xúc
Giả sử M là đa tạp Riemann m- chiều, N là đa tạp Riemann n- chiều và ánh
xạ khả vi.

f : M N


14

p

f ( p)  p '

TpM là không gian tiếp xúc với M tại p  M.

TpN là không gian tiếp xúc với N tại p'  N.
1.4.1 Định nghĩa
Ánh xạ tiếp xúc của f tại p là ánh xạ :

f* p : T p M  T ' N
p

v
được xác định như sau: nếu

f* p (v)  v, ;

v Tp M tiếp xúc với đường cong  (t ) tại p thì

f* p (v)  v, tiếp xúc với đường cong f  (t ) tại p ' .
1.4.2 Ví dụ
Giả sử lấy M = R2, N = R3 , xét ánh xạ f : R2  R3
(u,v)

(u+v, u.v,u)

Cho p (1,2) ; v (3,4). Tìm f* p (v) .
Giải. Trƣớc hết ta thấy f là ánh xạ khả vi.
Véc tơ v tiếp xúc với đƣờng cong  (t ) :  : R  R2

t

(1 3t,2  4t)

Ta có:  (0) = p ,  ' (0) = v .

Ảnh của đƣờng cong  (t ) qua ánh xạ f là: f

v,  f* p (v) tiếp xúc với f  (t ) nên v, 

 x  3  7t

 (t ) :  y  2  10t  12t 2 , khi đó vì
 z  1  3t


d
f  (t )   7,10,3 .
dt
t 0

1.4.3 Định nghĩa
Giả sử M là đa tạp Riemann n- chiều và ánh xạ f : M  M là ánh xạ khả vi.

p

f ( p)


15
Ánh xạ f * : k  M ,B (M )   k  M ,B (M ) 



f *

được gọi là ánh xạ đối tiếp xúc của f , trong đó f * được xác định bởi :



( f *) p  X1( p),..., X k ( p)  =  f ( p) f* p ( X1( p)),..., f* p ( X k ( p))



với X1,..., X k B (M ) , p  M .
Ta quy ƣớc: f * ( )   f ,  F (M )
1.4.4. Ví dụ
Cho ánh xạ

f : R2  R2
 u, v 

x  u

 y  uv

và  2 ( R2 ,B ( R2 )) ,   1,2  =  xdx  dy, xydx  dy  . Ở đây ta tính đƣợc
f * . Thật vậy:

Gỉa sử X ,Y B ( R2 ) , X  ( X1, X 2 ) , Y  (Y1,Y2 ) . Ta có f khả vi trên R2 và
Jf

=

1


 v

0

u 

f* X

=

1

 v

0

u 

=

 X1, vX1  uX 2  .

f*Y

=
=

1

 v

 X1 


 X 2 

0   Y1 
 
u  Y2 

Y1, vY1  uY2  .

Mặt khác, theo nhận xét trên ta tính đƣợc

f *1( X ,Y ) = 1( f* X , f*Y ) = ( xdx  dy)( f* X , f*Y )
= x dx( f* X ).dy( f*Y )  dx( f*Y ).dy( f* X ) = x  X1(vY1  uY2 )  Y1(vX1  uX 2 )


16
= x(vX1Y1  uX1Y2  vX1Y1  uX 2Y1) = xu( X1Y2  X 2Y1)
= u 2  du( X )dv(Y )  dv( X )du(Y )  = u 2du  dv( X ,Y ) ; X , Y B ( R2 ) .
Do đó f *1  u 2du  dv .
Tƣơng tự ta tính đƣợc: f *2  u3vdu  dv .
Vậy f * = (u 2du  dv; u3vdu  dv) .
1.4.5. Nhận xét. f * là ánh xạ tuyến tính.
Chứng minh.
Giả sử f * : k  M ,B (M )   k  M ,B (M )  và 1,2 k  M ,B (M )  ,

 ,   R , ta có:

f * (1  2 )  X1,..., X k  = (1  2 )  f* X1,..., f* X k 
= 1  f* X1,..., f* X k   2  f* X1,..., f* X k 
=  f *1  X1,..., X k    f *2  X1,..., X k 
= ( f *1   f *2 )  X1,..., X k  , X1,..., X k B (M ) .
Do đó f * (1  2 )   f *1   f *2 .
Vậy f * là ánh xạ tuyến tính.
1.4.6. Mệnh đề (Xem [5])
Ánh xạ đối tiếp xúc f * bảo tồn tích ngồi, nghĩa là với   k  M ,B (M )  ,

  l  M ,B (M )  thì f * (  ) = f *  f *
Chứng minh.
Giả sử   1,..., n  k  M ,B (M )  ,    ,...,n  l  M ,B (M )  ,
1

 j k (M ) ,  j l (M ) , j  1,.., n . Khi đó ta có:
( f *  f * )  X1,..., X k l  =


17

    f * ( X  (1) ,..., X  (k ) ), f * ( X  ( k 1) ,..., X  ( k l ) ) 



=

 (1)... ( k )
 ( k 1)... ( k l )

    ( f* X  (1) ,..., f* X  (k ) ), ( f* X  (k 1) ,..., f* X  ( k l ) ) 



=

 (1)... ( k )
 ( k 1)... ( k l )

=






n 
  i ( f* X  (1) ,..., f* X  ( k ) ).i ( f* X  ( k 1) ,..., f* X  ( k l ) ) .Ei


i 1 

 (1)... ( k )


  ( k 1)... ( k l )




=

  (i i )( f* X1,..., f* X k l ) .Ei

=

n

i 1

  f * (i i )( X1,..., X k l ) .Ei , X j  B(M) , j  1,..., k  l .
n

i 1

Ta suy ra: f *  f * =

f

=

*

(1 1),..., f * (n n ) 

f *     .

Vậy f * (  )  f *  f * .
1.4.7. Nhận xét
Ta có: f * =

f

1,..., f *n  ,   1,..., n  k  M ,B ( M )  .

*

Chứng minh.
Theo định nghĩa 1.4.3 và X1,..., X k B (M ) ta có:

( f *)( X1,..., X k ) =   f* ( X1),..., f* ( X k ) 
= 1  f* ( X1),..., f* ( X k )  ,..., n  f* ( X1),..., f* ( X k )  
=  ( f *1)( X1,..., X k ),...,( f *n )( X1,..., X k ) 
= ( f *1,..., f *n )( X1,..., X k ) , X1,..., X k B (M ) .
Vậy f * =

f

1,..., f *n  với   1,...,n  k  M ,B (M )  .

*


18
1.4.8. Mệnh đề (Xem [4])
Ta có: f * (d) = d ( f *) với   1,...,n  k  M ,B (M )  .
Chứng minh.
Trƣớc hết ta chứng minh f * (dr ) = d ( f *r ) với r k  M  , r  1,2,..., n .
Thật vậy, giả sử (U,x) và (V,y) lần lƣợt là hệ tọa độ địa phƣơng trên đa tạp khả vi
M và N. Với r k  M  , r 
có: dr =



1i1...ik n



1i1...ik n

i ...i dyi  ...  dyi , r  1,2,..., n , ta
1
1
k

k

di ...i  dyi  ...  dyi .
1 k
1
k

Ta lại có: ( f *r )( X1,..., X k ) = r  f* ( X1),..., f* ( X k ) 
=



1i1...ik n

i ...i dyi  ...  dyi
1 k

1

k

 f ( X1),..., f ( X k )  .
*

*

Do đó

d ( f *r )( X1,..., X k ) =
=



1i1...ik n

di ...i dyi  ...  dyi
1 k



1i1...ik n



= f * 


1i ...i
1

k

 f ( X1),..., f ( X k ) 
*

*

f * di ...i  dyi  ...  dyi





1

k n

1 k

1

k

  X ,..., X
1





Vậy f * (dr ) = d ( f *r ) với r k  M  , r  1,2,..., n .
Do đó theo nhận xét 1.4.7, ta có:

f

*



di ...i  dyi  ...  dyi   X1,..., X k 
1 k
1
k

= f * (dr )( X1,..., X k ) , X1,..., X k B (M ) .

f * (d  ) =

k

(d1),..., f * (dn )  =  d ( f *1),..., d ( f *n ) 

= d  f *1,..., f *n 
= d  f *  ,   1,...,n  k  M ,B (M )  .
Vậy f * (d) = d  f *  với   1,...,n  k  M ,B (M )  .

1.5. Liên thông Lêvi- Civita  trên đa tạp Riemann

19
1.5.1 Định nghĩa
Giả sử  là một liên thông tuyến tính trên đa tạp Riemann M với cấu trúc
Riemann g, (ta thường viết g  X ,Y   X .Y ; X ,Y B (M ) ). Khi đó,  được gọi là
liên thông Lêvi- Civita nếu  thỏa mãn hai điều kiện sau:
1. Trường tenxơ xoắn T=0.
Tức là: T ( X ,Y )   X Y Y X [X ,Y ]  0 ; X ,Y B (M ) .
2. Z[X .Y ]  (Z X ).Y  X .(ZY ) ; X ,Y , Z B (M ) .
1.5.2. Ví dụ
Giả sử M là đa tạp khả song n- chiều với trƣờng mục tiêu
n

n

i 1

i 1

E1,..., En  . Với

X ,Y B (M ) ; X   X i Ei ; Y   Yi Ei ; X i ,Yi F (M );i  1, n .
Ta đặt

n

 X Y   X [Yi ]Ei . Khi đó,  là một liên thơng Lêvi- Civita trên M. Thật
i 1

vậy, với X ,Y , Z B (M ) ;  F (M ) ta có:

n

n

n

i 1

i 1

i 1

(T1).  X (Y  Z ) =  X [Yi +Zi ]Ei =  X [Yi ]Ei   X [Zi ]Ei =  X Y  X Z .
n
n
n
(T2).  X Y (Z ) =  ( X  Y )[Zi ]Ei =  X [Zi ]Ei   Y[Zi ]Ei =  X Z Y Z .
i 1

i 1

i 1

(T3).

 X Y =  ( X )[Yi ]Ei =   X [Yi ]Ei =  X Y .
i 1
i 1

(T4).

 X Y =  X [ Yi ]Ei =  ( X [Yi ] + Yi X [ ]) Ei

n

n

n

n

i 1

i 1

n
n
=   X [Yi ] Ei  X [ ] X [Yi ] Ei =  X Y  X [ ]Y .
i 1

i 1

Do đó  là một liên thơng tuyến tính trên M.
Bây giờ ta sẽ kiểm tra hai điều kiện của liên thông Lêvi- Civita.
Với X ,Y , Z B (M ) ;

 F (M )

ta có:

1.  X ,Y   = X Y    Y  X  
= X (Y1E1  ...  Yn En )    Y ( X1E1  ...  X n En )  


20
 n

 n

  X [Yi ]Ei       Y[Xi ]Ei    =
 i 1

 i 1


=

( X Y )    (Y X )   .

Suy ra [X ,Y ]   X Y Y X .
Vậy T ( X ,Y )   X Y Y X [X ,Y ]  0 .
2. Ta có:

Z[X .Y ]= Z   X iYi  =  Z[X i .Yi ] =  (Z[X i ]Yi Z[Yi ]Xi )
i 1
i 1
 i 1

n

n

n

n

i 1

i 1

n

=  Z[X ]Y   Z[Yi ]Xi
i i
= Z[X1]Y1  Z[X 2 ]Y2  ...  Z[X n ]Yn  Z[Y1]X1  Z[Y2 ]X2  ...  Z[Yn ]Xn
n

n

n

n

i 1

i 1

i 1

i 1

=  (Z[X i ]Ei ). Yi Ei  (Z[Yi ]Ei ). X i Ei
n

n

i 1

i 1

=  (Z[X i ]Ei ).Y  (Z[Yi ]Ei ).X = Z X .Y ZY .X .
Vậy Z[X .Y ]  Z X .Y  X .ZY .
1.5.3. Mệnh đề (Xem [3])
Liên thông Lêvi- Civita trên đa tạp Riemann M luôn tồn tại và duy nhất.
Chứng minh.
Giả sử X ,Y B (M ) . Ta xác định  X Y bởi phƣơng trình sau
 X Y .Z  1  X [Y .Z ]  Y[Z.X ]  Z[X .Y ]  Z .[X ,Y ]  Y .[Z , X ]-X.[Y , Z ] (1)
2

,

với

Z B (M )

Khi đó, bằng cách kiểm tra trực tiếp, ta thấy  là một liên thơng tuyến tính
trên M.
Từ cơng thức (1) ta có: T ( X ,Y ).Z  0 ; với Z B (M )  T ( X ,Y )  0 .
Với X ,Y , Z B (M ) , từ (1) ta thu đƣợc: Z[X .Y ]  Z X .Y ZY .X

(2)

Suy ra  là một liên thông Lêvi- Civita trên M.
Vậy luôn tồn tại liên thông Lêvi- Civita trên đa tạp Riemann M.
Để chứng minh tính duy nhất, ta chứng tỏ rằng nếu  thỏa mãn điều kiện (1.)
và (2.) trong 1.5.1 thì nó thỏa mãn phƣơng trình (1). Thật vậy, từ (1) ta có:


21

X[Y .Z ]  ( X Y ).Z  Y .( X Z )

(3)

Y[Z.X ]  (Y Z ).X  Z.(Y X )

(4)

Do T [X ,Y ]   X Y Y X  [X ,Y ]=0 , nên ta có :

Z[X .Y ]   X Z .Y  Z , X .Y  X .Y Z  X .Z ,Y 

(5)

Y[Z.X ]  (Y Z ).X  Z.( X Y )  Z.Y , X 

(6)

Cộng vế theo vế của (3) và (6), rồi trừ vế với vế cho (5) ta có:
 X Y .Z  1  X [Y .Z ]  Y [Z .X ]  Z[X .Y ]  Z .[X ,Y ]  Y .[Z , X ]-X.[Y , Z ] ,với Z B (M )

2

Đây chính là đẳng thức (1).
Vậy tính duy nhất đƣợc chứng minh.

1.6. Tenxơ cong của đa tạp Riemann
1.6.1. Định nghĩa
Giả sử M là đa tạp Riemann với liên thông Lêvi- Civita  . Ánh xạ

R: B (M ) B (M ) B (M ) B (M )

 X ,Y , Z 

R( X ,Y , Z )   X Y Z Y  X Z [X ,Y ]Z

được gọi là tenxơ cong kiểu (1,3) (hay độ cong) của đa tạp Riemann M.
1.6.2. Định nghĩa (Xem [3] )
Giả sử M là đa tạp Riemann với liên thông Lêvi- Civita  . Tenxơ cong kiểu
(1,4) (hay độ cong) của đa tạp Riemann M được xác định bởi:

R( X ,Y , Z ,W)  R( X ,Y , Z ).W .
1.6.3. Mệnh đề. (Xem [3] )
Đối với các trường véc tơ X ,Y , Z ,W  B(M) ), ta có các hệ thức:
i.

R( X ,Y , Z )  R(Y , X , Z )

ii. R( X ,Y , Z )  R(Y , Z , X )  R(Z , X ,Y )  0
iii. R( X ,Y , Z ).W  R( X , Y , W).Z
iv. R( X ,Y , Z ).W  R(Z , W,X).Y

22
Chứng minh.
Ta chỉ cần chứng minh các tính chất trên đối với các trƣờng vectơ cơ sở của
một bản đồ địa phƣơng tùy ý. Khi đó tích Lie của các trƣờng vectơ đang xét bằng
0.
i. R( X ,Y , Z )   X Y Z Y  X Z [X ,Y ]Z
=

Y  X Z  X Y Z [X ,Y ]Z

= (Y  X Z  X Y Z [Y , X ]Z ) =  R(Y , X , Z ) .
ii. Ta có: R( X ,Y , Z )  R(Y , Z , X )  R(Z , X ,Y ) 
=  X Y Z Y  X Z [X ,Y ]Z + Y Z X Z Y X [Y ,Z ] X
+ Z  X Y  X Z Y [Z, X ]Y
=  X (Y Z ZY ) Y (Z X  X Z ) Z ( X Y Y X )

[X ,Y ]Z [Y, Z] X [Z, X]Y
=  X Y , Z  [Y, Z] X Y  Z , X  [Z, X]Y Z  X ,Y  [X ,Y ]Z
=  X ,[Y , Z ]  Y ,[Z , X ] +  Z ,[X ,Y ] = 0 .
iii. Vì



là liên thơng Lêvi- Civita nên ta có:

X Y Z .Z  =  X Y Z .Z Y Z . X Z
Suy ra  X Y Z.Z  X Y Z .Z  Y Z . X Z

(1)

Tƣơng tự ta có: Y  X Z .Z  Y  X Z .Z    X Z .Y Z

(2)

Mặt khác Y  Z .Z   Y Z .Z  Z .Y Z  2Y Z .Z  Y Z .Z  1 Y  Z .Z 
2
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra:

R( X ,Y , Z ).Z   X Y Z.Z Y  X Z.Z [ X ,Y ]Z.Z
= X Y Z .Z   Y Z . X Z  Y  X Z .Z    X Z .Y Z
1

1
 1
= X  Y Z .Z   Y  X Z .Z  = [ X ,Y ][Z .Z ] = 0 ( Vì  X , Y   0 ).
2

2
 2

(3)


23
Suy ra R( X ,Y , Z ).Z  0 với Z B(M)

(4)

Áp dụng (4) ta có : R( X ,Y ,(Z W )).(Z W )  0


R( X ,Y ,(Z W )).Z  R( X ,Y ,(Z W )).W  0



R( X ,Y , Z ).Z  R( X ,Y ,W ).Z  R( X ,Y , Z ).W  R( X ,Y ,W ).W = 0



R( X ,Y , Z ).W  R( X ,Y , W).Z .

iv. Ta có: R( X ,Y , Z ).W  R(Y , X , Z ).W ( Theo tính chất i. )

= R( X , Z ,Y ).W+R(Z ,Y , X ).W ( Theo tính chất ii. )


R( X ,Y , Z ).W=R( X , Z ,Y ).W+R(Z ,Y , X ).W

(5)

Mặt khác theo tính chất ii và iii ta có:

R( X ,Y , Z ).W  R( X ,Y ,W).Z = R(Y ,W, X ).Z  R(W, X ,Y ).Z


R( X ,Y , Z ).W=R(Y ,W, X ).Z  R(W, X ,Y ).Z

(6)

Cộng vế theo vế (5) và (6) ta có:

2R( X ,Y , Z ).W = R( X , Z ,Y ).W+R(Z ,Y , X ).W
+R(Y ,W, X ).Z  R(W, X ,Y ).Z

(7)

Tƣơng tự, ta có:

2R(Z ,W,X ).Y = R(Z , X ,W).Y +R( X ,W,Z ).Y +R(W,Y , Z ).X  R(Y , Z ,W).X
Suy ra: 2R(Z ,W,X ).Y = (R( X , Z ,W)).Y +(- R(W,X , Z )).Y

+( - R(Y ,W, Z )).X  (R(Z ,Y ,W)).X

= R( X , Z ,Y ).W+R(W,X ,Y ).Z + R(Y ,W, X ).Z  R(Z ,Y , X ).W
= R( X , Z ,Y ).W  R(Z ,Y , X ).W + R(Y ,W, X ).Z +R(W,X ,Y ).Z
Do đó: 2R(Z , W,X ).Y = R( X , Z ,Y ).W  R(Z ,Y , X ).W

+ R(Y ,W, X ).Z +R(W,X ,Y ).Z
Từ (7) và (8) suy ra : R( X ,Y , Z ).W = R(Z ,W,X ).Y .

(8)


24
CHƢƠNG 2
ĐẠO HÀM LIE CỦA k - DẠNG VI PHÂN VỚI GIÁ TRỊ VÉC TƠ
Trong chƣơng này, chúng tôi xây dựng định nghĩa và chứng minh các tính
chất về đạo hàm Lie của k- dạng vi phân với giá trị véc tơ trên đa tạp M, công

thức kiểu Cartan. Đồng thời chứng minh một số tính chất về đạo hàm Lie của của
độ cong, độ xoắn. Các kết quả chính trong chƣơng này là: Định lý 2.1.7 ; Mệnh đề
2.1.8; Mệnh đề 2.2.4, Mệnh đề 2.2.5, Mệnh đề 2.3.2, Mệnh đề 2.3.3.

2.1. Đạo hàm Lie của k- dạng vi phân với giá trị véc tơ
Ta ký hiệu LX (Y )   X ,Y  ; (trong đó  X ,Y  [ f ]  X Y  f    Y  X  f  
với f F (M ) và X ,Y B(M) ).
2.1.1 Định nghĩa
Giả sử X B(M),  k (M ,B (M )) . Ánh xạ

LX : k (M ,B (M )) k (M ,B (M ))



LX 

được gọi là đạo hàm Lie của k- dạng vi phân
tơ X , trong đó



với giá trị véc tơ theo trường véc

LX  được xác định bởi công thức
k

LX ( X1,..., X k ) = LX (( X1,..., X k ))   ( X1,...,  X , X i  ,..., X k ) .
i 1

2.1.2. Chú ý

1. Với k= 0 ta có:

LX :F (M ) F (M )
f

X [f ]   X [f1],..., X [f n ]

với f   f1,..., f n  F (M )
2.

Với k=1 ta có:

LX : 1(M ,B (M )) 1(M ,B (M ))



LX