Một số tính chất hình học đặc trưng của không gian bânch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN THỊ DANH

MỘT SỐ TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐẶC TRƢNG
CỦA KHƠNG GIAN BANACH

CHUN NGÀNH: HÌNH HỌC - TƠPƠ
MÃ SỐ: 60.46.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học:

PGS.TS. PHẠM NGỌC BỘI

VINH - 2011


MỤC LỤC

Trang
Mục lục ....................................................................................................... ..... 1
Lời nói đầu ....................................................................................................... 2
§1. Khơng gian Banach lồi ............................................................................ . 4
§2. Khơng gian Banach trơn ..................................................................... . 20
§3. Sự trực giao trong khơng gian Banach................................................ .. 26
§4. Đạo hàm Gateaux của chuẩn ................................................................ . 32
§5. Đạo hàm Frechet của chuẩn .................................................................. 40
Kết luận .......................................................................................................... 44

Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 45

1


LỜI NĨI ĐẦU
Các tính chất hình học của tập hợp trong không gian Banach phụ thuộc
vào cấu trúc của không gian Banach. Các tính chất hình học của tập hợp như:
tính lồi, tính trơn, tính trực giao và tính khả vi....phụ thuộc vào tính chất của
chuẩn trang bị cho khơng gian Banach.
Mục đích của luận văn này là nghiên cứu, trình bày một số tính chất hình
học đặc trưng của khơng gian Banach. Với mục đích đó luận văn được trình
bày thành năm mục.
§1. Khơng gian Banach lồi
Trong mục này trình bày các định nghĩa, tính chất, ví dụ minh hoạ về tính
lồi đều, lồi chặt, lồi đều địa phương yếu và các khái niệm cơ bản để sử dụng
cho các mục sau.

§2. Khơng gian Banach trơn
Trong mục này trình bày các định nghĩa và tính chất của khơng gian
Banach trơn, không gian Banach trơn đều. Công thức đối ngẫu Lindestrauss,
Định lý Smulian (1941).

§3. Sự trực giao trong khơng gian Banach
Trong mục này trình bày các định nghĩa, tính chất và ví dụ về tính trực
giao, tính trực giao trái, tính trực giao phải. Mối liên hệ giữa tính trơn, tính lồi
và tính trực giao.

§4. Đạo hàm Gateaux của chuẩn
Trong mục này trình bày định nghĩa, tính chất của đạo hàm Gateaux của

chuẩn. Mối liên hệ giữa tính trơn và khả vi Gateaux.

§5. Đạo hàm Frechet của chuẩn
Trong mục này trình bày định nghĩa và tính chất của đạo hàm Frechet của
chuẩn. Mối liên hệ giữa tính trơn đều, tính lồi đều và khả vi Frechet.
2


Các kết quả trình bày trong luận văn khơng mới, chúng đã được trình bày
rải rác trong các tài liệu tham khảo. Trong luận văn này, chúng tơi trình bày
các vấn đề theo hệ thống của mình. Ngồi việc trình bày lại các khái niệm,
tính chất cơ bản đã có, chúng tôi chứng minh chi tiết các kết quả trong các tài
liệu tham khảo và đưa ra các ví dụ, phản ví dụ, nhận xét và các kết quả. Luận
văn được hồn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Phạm
Ngọc Bội. Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã nhận được sự quan tâm,
giúp đỡ của các thầy cô giáo, bạn bè cùng người thân. Qua đây tơi xin bày tỏ
lịng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo hướng dẫn, tới các thầy
cơ trong tổ Hình học-Tơpơ, tới các thầy cơ trong khoa Toán, khoa Sau đại học
Trường Đại học Vinh cùng tất cả các bạn bè và gia đình đã giúp đỡ tơi rất
nhiều trong q trình học tập và hồn thành luận văn này.
Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song khơng thể tránh khỏi những sai
sót. Rất mong nhận được sự góp ý của q thầy cơ và các bạn để luận văn
hoàn thiện tốt hơn.
Trân trọng cảm ơn!
Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả

TRẦN THỊ DANH

3

§1. KHƠNG GIAN BANACH LỒI

Trong mục này, chúng tơi trình bày một số định nghĩa và tính chất cơ
bản của không gian Banach lồi để sử dụng cho các phần sau.
1.1. Định nghĩa. Tập X khác rỗng được gọi là một khơng gian vectơ
thực (hoặc

-khơng gian vectơ) nếu trên đó đã cho 2 phép tốn cộng và nhân

vơ hướng sao cho thoả mãn các điều kiện:
1) x + y = y + x, với mọi x, y  X;
2) (x + y) + z = x + (y + z), với mọi x, y, z  X;
3) Tồn tại phần tử 0  X sao cho x + 0 = 0 + x = x, với mọi x  X;
4) Với mọi x  X, tồn tại phần tử đối –x  X sao cho
x + (-x) = (-x) + x = 0;
5) (x) = (x) = ()x, với mọi x  X, với mọi ,   ℝ;
6) (x + y) = x + y, với mọi x, y  X, với mọi   ℝ;
7) ( + )x = x + x, với mọi x  X, với mọi ,   ℝ;
8) 1.x = x, với mọi x  X.
Trong suốt luận văn này ta chỉ xét các

-không gian vectơ, để cho gọn

ta gọi chúng là không gian vectơ.

1.2. Định nghĩa. Giả sử X là không gian vectơ. Hàm p: E  ℝ thỏa mãn
các điều kiện:
(N1) p  x   0,  x X và p  x   0  x  0 ;

(N2) p   x    p  x  ,  x  X ,    ;
(N3) p  x  y   p  x   p  y  ,  x, y  X ;
được gọi là một chuẩn trên không gian vectơ X. Số p x  được gọi là chuẩn
4


của vectơ x X . Ta thường kí hiệu chuẩn của x là x . Không gian vectơ X
cùng với một chuẩn xác định trên nó được gọi là một khơng gian định chuẩn.
1.3. Ví dụ. Xét khơng gian vectơ

2

. Với mỗi x   x1 , x2  đặt:

x 1  x12  x22 ,

(1.1)

x 2  max  x1 , x2  ,

(1.2)

x3

x

1i 2

i

.

(1.3)

Các công thức (1.1), (1.2), (1.3) cho ta ba chuẩn khác nhau trên

2

.

Chuẩn (1.1) được gọi là chuẩn Euclide.
1.4. Định nghĩa
Một không gian định chuẩn và là không gian mêtric đầy đủ theo mêtric
sinh bởi chuẩn thì được gọi là một khơng gian Banach.
Trên một tập hợp, trang bị các chuẩn khác nhau ta có các không gian
2

Banach khác nhau. Chẳng hạn lấy
3 không gian Banach



2

, x 1,



2

với các chuẩn nói trong Ví dụ 1.3 ta có

, x

2

, 

2

, x

3

.

1.5. Ví dụ. Ta trình bày một số không gian Banach thường dùng (xem
[1])
-

c0 

 x  : x 
n

n



,lim xn  0 ,

n

trong

c0 ,

ta

xác

định

chuẩn

|| x ||c  max | x n |, với x   xn   c0 .
n
0

p





- l p   xn  : xn  ,  xn    , trong lp, ta xác định chuẩn
n 1





1

 
p
|| x || p    xn  , với x   xn   l p , p  1. .
 n 1


5






l   xn  : xn  ,sup xn   , trong l, ta xác định chuẩn

-

n

|| x ||  sup | x n |, với x   xn   l .
n

1.6. Định nghĩa. Cho không gian vectơ X.
-Đoạn thẳng  a, b là tập hợp  a, b ={  a  1    b  X | 0 ≤  ≤ 1}.
- Đoạn thẳng không tầm thường là  a, b mà a  b . Đoạn thẳng tầm
thường là  a, b mà a  b .
- Tập con A của một không gian vectơ X được gọi là lồi nếu nó có tính
chất: nếu hai vectơ a, b A thì đoạn thẳng  a, b nằm trọn trong A.

Cho X là không gian định chuẩn, trong suốt luận văn này chúng tôi sử
dụng các ký hiệu sau





- S(X) là mặt cầu tâm 0, bán kính 1 trong X, S(X) = x  X x  1 .
- B(X) là hình cầu đóng tâm 0, bán kính 1 trong X, B(X) =  x  X x  1 .

1.7. Định nghĩa
Không gian Banach X được gọi là lồi ngặt (hay lồi chặt) nếu với mọi
cặp điểm khác nhau x, y S(X) thỏa mãn

x y
1 .
2

(1.4).

1.8. Định lý. Không gian Banach X lồi ngặt khi và chỉ khi với mọi
x, y  X khơng cộng tuyến ta có x  y  x  y

(1.5).

Chứng minh. a) Giả sử (1.5) thoả mãn với mọi x, y  X không cộng
tuyến, ta chứng minh X lồi ngặt. Thật vậy, giả sử X khơng lồi ngặt, khi đó tồn
tại cặp điểm khác nhau x, yS(X) sao cho

6

x y
1 . Do điều kiện N3 của định
2


nghĩa nên

x y
 1 . Vậy
2

x y 2

(1.6).

Nhưng theo (1.5) thì
x  y  11  2

(1.7).

Từ (1.6), (1.7) ta có mâu thuẫn. Vậy X là lồi ngặt.
b) Giả sử X là lồi ngặt ta chứng minh x  y  x  y với mọi x, y  X .
Vì ta ln có x  y  x  y , do đó chỉ cần chứng minh rằng khơng xảy ra
đẳng thức x  y  x  y . Giả sử ngược lại rằng x  y  x  y . Chúng ta có
thể giả thiết y  1, x  1 . Đặt, 1  t   tx  y , 2  t   t x  y với t  . Bằng
việc tính trực tiếp ta thấy 1 là lồi và 1  t   2  t  với t  0 . Ta cũng có
1  0   2  0  , 1 1  2 1 . Từ  2 là hàm tuyến tính, do đó 1  t   2  t  với
t  0 . Từ đó

x
 y  2 mâu thuẫn. Suy ra điều phải chứng minh.
x

1.9. Chú ý. Không gian Banach X lồi ngặt khi và chỉ khi mỗi đường
thẳng có khơng q hai điểm có cùng chuẩn. Nói cách khác mỗi đường thẳng
cắt mặt cầu tại không quá hai điểm. Thật vậy, giả sử X có hai điểm x, y có
cùng chuẩn. Khơng mất tính tổng qt ta giả sử x, y  S(X). Lấy z bất kỳ
thuộc [x, y], khác x và y; z = x + (1-)y, 0 <  <1. Do Định lý 1.8 nên
1  x  (1  ) y

> x  (1  ) y  z . Vậy trên đoạn thẳng [x, y] ngoài hai

điểm x và y, tất cả các điểm khác có chuẩn nhỏ hơn 1. Suy ra điều cần chứng
minh.
1.10. Ví dụ
a) Khơng gian c0 và l1 khơng phải là không gian lồi ngặt. Thật vậy, gọi
e1 = (1,0,...0,...), e2 = (0,1,0,...). Trong trường hợp c0, lấy x  e1  e2 , y  e1  e2
7


thì

x  y 0  2 . Trong trường hợp l1 lấy

x 0  y 0  1,

x 1  y 1  1;

x  e1 , y  e2

thì

x  y 1  2 . Áp dụng Định lý 1.8 ta thấy các không gian c0 và l1

không phải là không gian lồi ngặt.
b) Lấy X=

2

.

- Với chuẩn Euclide thì X là lồi ngặt. Thật vậy, với x, y  S  X  ,
x  y  1 thì

x y
là trung điểm của đoạn thẳng
2

trong đường trịn S(X) suy ra

 x, y  . Do đó

x y
nằm
2

x y
 1.
2

- Với chuẩn . 2 (nói trong Ví dụ 1.3) thì X khơng lồi ngặt. Thật vậy, với
x, y  S  X  , x  1,0  , y  1,1 , x  y  1 ,


x y  1
x y
 1,  
 1.
2
2
 2

1.11. Định nghĩa. Không gian Banach X được gọi là lồi đều nếu với
mọi > 0 đều tồn tại  =    0 sao cho với mọi x, y  S ( X ) mà x  y   ta
có
1

x y
 .
2

(1.8).

Ta gọi mơđun lồi của khơng gian Banach X là hàm số
X: [0; 2]  ℝ,


X() = inf 1 


x y

: x, y  S ( X ),|| x  y ||   .
2


(1.9).

Ta gọi đặc trưng lồi của không gian Banach X là số được xác định bởi
0  X   sup  0, 2 : X     0  .

(1.10).

1.12. Ví dụ
Khơng gian Hilbert có số chiều bằng 1 khơng là không gian lồi đều.
8


Mọi khơng gian Hilbert có số chiều lớn hơn hoặc bằng 2 là không gian lồi
đều. Thật vậy, khi không gian Hilbert X có dimX = 1. Trên S(X) chỉ có 2
điểm e1 và e2  e1 . Với x  e1 , y  e2 không tồn tại   0 sao cho 1 
vì 1 

x y

2

x y
 0 , mặc dù khi đó x  y  2    1 . Vậy X không phải khơng gian

2

lồi đều.
Giả sử X là khơng gian Hilbert có dimX ≥2. Giả sử   0, 2. Với mọi
x, y S ( X ) và

x  y   . Từ đẳng thức hình bình hành
x y

2

 x y

x y

2

2 x

2

2 x

2

2 y

2

 x y

2

ta có

x y

2

2

2

2 y

2

 4  2

2
1 
4

x y
2

 1
2
4


x y
2


 1  1 1

2
4



.



Từ đó, suy ra rằng với mọi   0, 2 khi đặt
2
 1 1
0
4

(1.11).

thì với mọi x, y S ( X ) mà x  y   ta có 1 

x y
  . Vậy X là không
2

gian Hilbert lồi đều.

1.13. Nhận xét.  X 0 0; 0   X 1;  X  không giảm theo  .

9


1.14. Chú ý. Trong Định nghĩa 1.11 về không gian Banach lồi đều ta có
thể thay điều kiện x, y  S(X) bởi điều kiện x, y B(X) nhờ mệnh đề sau.
1.15. Mệnh đề. Cho X là không gian Banach lồi đều và 1  p   . Khi
đó với   0 tồn tại  p    0 sao cho nếu x , y  1 và x  y   thì
x y
2

p

 x p y
 1   p     

2


p


 .



(1.12).

1  t 

p

Chứng minh. Nếu 1  p   , thì trên miền t  0 hàm

1  t 

p

đạt cực tiểu

tại điểm duy nhất t  1 . Do đó
21 p 1  t   1  t p ,
p

với mọi t  0 . Vì thế, với 0  t  1 ta có bất đẳng thức ngặt
1
 1 t 
p

  1  t  .
2
2


p

Ta thấy rằng, để để chứng minh (1.12) ta có thể giả thiết x  1 và
y  1 . Thực vậy, giả sử trong hai số x , y , x là số lớn hơn lớn. Khi đó

  x y  x .

x
y

x
y

nếu và chỉ nếu


x



x
y
. Do tính chất thuần nhất

x
y

của (1.12) nên nhận xét của chúng ta là đúng.
Như vậy chúng ta chứng minh (1.12) với x  1 , y  1 và x  y   . Nếu
(1.12) khơng thỗ mãn thì với  xn  ,  yn  là các dãy trong X, tồn tại   0 thoả
mãn yn  1  xn và xn  yn   sao cho
xn  yn
2
p
xn  yn
2

p

1 .

10

(1.13).



Do đó yn  1 . Vì giả sử khơng xảy ra điều này thì có một dãy con  yn 



sao cho yn  q  1 với mọi n và  <1,



1 y    x

2
2



p

n

z n  yn 

p

n

 yn

p

,

xn  yn
2

p



1
1  yn
2





p

mâu thuẫn với (1.13). Đặt zn 

yn
yn

thì

yn

 yn  0 . Do đó với n đủ lớn ta có zn  xn  . Theo (1.13) ta
2
yn

có,
limn

xn  zn
 1.
2

Điều này mâu thuẫn với tính lồi đều của X. Suy ra (1.12) đúng, ta có điều phải
chứng minh.
Từ đó ta suy ra Hệ quả sau :
Nếu X là không gian Banach lồi đều và 1  p   với   0 tồn tại
x y
  0 sao cho
2

p



 1    x  y
p

p

 , với x, y  X ,

x  y   .max  x , y  .

1.16. Mệnh đề. Giả sử X là không gian Banach. Khi đó
1) X là khơng gian lồi đều khi và chỉ khi 0  X   0 ;
2) Nếu  X 2 1 thì X là khơng gian lồi chặt.
3) Nếu X là khơng gian Hilbert thì X lồi chặt khi và chỉ khi  X 2 1 .
Chứng minh. 1) + Giả sử X lồi đều, ta cần chứng minh 0  X   0 . Vì
X lồi đều nên với mọi  0, 2 , tồn tại    0 sao cho với mọi x , y  X mà

x 1, y 1, x  y   ta ln có
1

x y
   .
2

Do đó  X     0 với mọi  0, 2 . Mặt khác  X 0 0 nên
11


 0  X   sup    0, 2 :  X    0   0 .

+ Giả sử có 0  X   0 ta cần chứng minh X là lồi đều. Thật vậy, vì
0  X   0 nên
sup   0, 2 : X    0  0 .

Từ đó suy ra với mọi  0, 2 ta có


 X    inf  1 


x y

: x 1, y  1, x  y     0 .
2


Do đó
1

x y
  X     x , y  S ( X ), x  y   .
2

Vậy X là không gian lồi đều.


2) Giả sử  X  2   inf  1 


x y


: x 1, y  1, x  y  2   1 .
2


Khi đó
x y
 0 với mọi x , y B( X ) ,
2

x  y  2.

Ta cần chứng minh X lồi chặt. Giả sử X khơng lồi chặt. Khi đó ắt tồn tại
x0 , y0 S ( X ) , x0  y0 nhưng

ta có

x0  y0
 1 . Từ đó x0   y0   2 và do đó
2

x0   y0 
 0 . Điều này xảy ra khi và chỉ khi x0  y0  0 hay
2

x0  y0 . Đây là điều mâu thuẫn. Vậy X lồi chặt.
3) Do 2), ta chỉ còn phải chứng minh rằng nếu X là khơng gian Hilbert
lồi chặt thì  X 2 1. Vì X lồi chặt nên theo định nghĩa ta có: với mọi x  y
mà x 1, y 1 ta có

x y
 1. Ta lại có
2


 X  2   inf  1 


x y

: x 1, y  1, x  y  2  .
2

12


Theo bất đẳng thức hình bình hành ta được
0 x  y

2

 2 x

2

 y

2



x y

2

 4  4  0 ,  x, y S ( X ) .

x  y  0 với mọi x , y S  B  , x  y  2 . Từ đó

suy ra x  y  2 . Do đó
 X 2 1.

1.17.Mệnh đề. Mọi khơng gian con và mọi không gian thương của
không gian lồi đều là không gian lồi đều.
Chứng minh
- Rõ ràng mọi không gian con của không gian lồi đều là không gian lồi
đều.
- Bây giờ ta chứng minh mọi không gian thương của không gian lồi đều
là khơng gian lơì đều. Cho F là không gian thương của không gian lồi đều E.
Giả sử x, y  F , với x  y   , x  1, y  1 . Cho  ,  0 . Ta gọi  , lần lượt là
đại diện của x,y trong E, với  E  1   , ,  E  1   , . Vì   đại diện cho x-y,
ta có   E   . Đặt  , 

 ,  ,


,
.
Khi
đó

,


1  ,
1  ,
2

E

  
 1  
, trong
, 
 1  

đó    là mơđun lồi của E. Do đó ta được:
 
2

E


  
 1   ,  1   
, 
 1   


và
x y

 
 inf
2
2

E


  
 1   ,  1   
, với mọi  ,  0 .
, 
 1   


Suy ra, môđun lồi  F   thỏa mãn :
  
 
  .
, 
 1  
2

 F    lim  
 0
,

13

1.18. Mệnh đề. Nếu E là lồi đều, có phép chiếu tới điểm gần nhất trên
mỗi tập con lồi C của E. (Phép chiếu này khơng tuyến tính, ngay cả khi C là
khơng gian con đóng của E).
Chứng minh. Cho C là tập con đóng của E; ta chứng tỏ rằng có phép
chiếu p từ E lên C sao cho x  px  inf x  z , với mọi x  E .
zC

1
Giả sử x  E, x  C . Ta đặt An   z  C; d  x, z   d  x, C    , với n  1 (ở


n

đây d  x, C   inf x  z ; ta đặt d  d  x, C  ).
zC

Nếu z1 , z2 là hai điểm của An thì theo Hệ quả sau Mệnh đề 1.15 ta có:
x

z1  z2
2

2



z1  z2
 1   2 
 max  x  z1 , x  z2




 1
2
x  z1  x  z2


  2



z z
z z
Nhưng 1 2  C do đó x  1 2
2
2

2

.

2

 d 2 . Như vậy chúng ta được:



z1  z2
d  1   2 



 max  x  z1 , x  z2
2

2
 
1
.
 d 
   n 

Khi n   thì sup z1  z2  0 , do đó đường kính của An dần đến 0. Theo
n 

z1 , z2 An

tính đầy đủ có duy nhất điểm y thuộc

n 1

An . Kiểm tra trực tiếp, ta thấy y là

điểm px mà ta cần tìm.
1.19. Định nghĩa
Khơng gian định chuẩn X được gọi là phản xạ nếu X  X ** .
1.20. Mệnh đề. Không gian Banach lồi đều là không gian phản xạ.
Chứng minh. Nếu E là khơng phản xạ, chúng ta có thể tìm được một
dãy

 xn n

thoả

mãn

điều

kiện :

với

  0,

với

mọi

dist  conv  x1 ,..., xk  , conv  xk 1 ,...   0 . Vì E là lồi đều, với mọi n  1 ta có
14

k 1:


xn xn
x1  x2
 1     , ..., 2 1 2  1     .
2
2

Kết hợp với

x1  x2 x3  x4

 ,
2
2

ta được:
x3  x4
x1  x2



 .
2 1      2 1      1    

Suy ra
x1  x2  x3  x4
 1     ,
4 1     

tức là
2
x1  x2  x3  x4
 1      .
4

Tiếp tục như vậy, chúng ta được
x1  ...  x2n1
2

n 1

 1     

n 1

.

Hồn tồn tương tự, ta có
x2n1 1  ...  x2n
2

n 1

 1     

n 1

.

Do đó


x1  ...  x2n1
2

n 1



x2n1 1  ...  x2n
2

n 1

 2 1     

n 1

.

Vì    dương, và bất đẳng thức này khơng đúng đối với n đủ lớn. Do đó giử
sử E không phản xạ là sai, tức là E là không gian phản xạ.
1.21. Định nghĩa. Giả sử X là khơng gian Banach, A là tập bị chặn cịn
B là tập bất kỳ trong X. Ta gọi số
r  A, B  = inf {sup{ x  y : x  A } : y  B }
15

(1.14)


là bán kính Chebyshev của A đối với B . Ta viết r  A thay cho r  A, co A 
trong đó co A  là bao lồi của A .
1.22. Định nghĩa. Cho X là không gian Banach. Hệ số cấu trúc chuẩn
chuẩn tắc của X được xác định bởi
 diam  A 

N  X  =inf 



trong

đó

r A

: A  X, A là tập lồi, đóng, bị chặn với diam A  0

diam  A 

là

đường

kính

của

A

xác

,

định

bởi

diamA  sup  d  x, y   x  y : x, y A  .

1.23. Định lý. Cho X là không gian Banach với mô đun lồi  X . Khi đó,
hệ số cấu trúc chuẩn chuẩn tắc của X thỏa mãn:
NX  

 1 -  1

1

X

.

(1.15).

Chứng minh. Giả sử A là tập đóng, lồi, bị chặn có nhiều hơn một phần tử
của X và   0 . Kí hiệu d  diamA và r  r  A . Chọn x và y thuộc A sao
cho x - y  d   . Lấy  A sao cho  

x y
và chọn z  A thỏa mãn
2

z    r  . Vì
zx
1,
d

z y
 1 và

d

zx z y
x y
d 



d
d
d
d

nên theo định nghĩa của  X ta có
zx z y
 d 

1   X 
d
d
 d


.


Bất đẳng thức này tương đương với

 x y 
 d   

z 
  d  1  X 

d
 2 




16



 d 
 z    d  1  X 
 d



 .


Từ đó suy ra

 d 
r    d  1  X 
 d







r  
 d   
   1  X 
 .
d d 
 d 

Theo [1],  X là một hàm liên tục. Do đó, trong bất đẳng thức cuối cùng cho
  0 ta được
r
d
1
 1   X 1  
  1   X 11 .
d
r 1   X 1

Vậy N  X    1 -  X 11 .
1.24. Định nghĩa
Giả sử X là không gian định chuẩn. X * =  phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
X  . Ta gọi X * là không gian liên hợp hay đối ngẫu (thứ nhất) của X. Đặt  X *   X **
*

và gọi X ** là không gian liên hợp thứ hai của X .
1.25. Định nghĩa. X # =  phiếm hàm tuyến tính trên X  . Giả sử F  X # ,
tồn tại tơpơ yếu nhất trên X, kí hiệu là   X , F  , làm cho tất cả các hàm

f  F liên tục. Khi F  X * , ta có tơpơ   X , X *  gọi là tơpơ yếu . Vì có thể

coi rằng X  X ** cho nên tồn tại tôpô   X * , X  , nó được gọi là tôpô * yếu.
1.26. Định nghĩa. Giả sử xn   X , x  X . Dãy xn  được gọi là hội tụ
theo chuẩn (tương ứng hội tụ yếu) tới x nếu xn hội tụ tới x theo tôpô sinh bởi
chuẩn (tương ứng tôpô yếu) trên X .
17


1.27. Định lý (xem [1]). Giả sử xn   X , x  X . Khi đó xn hội tụ yếu
tới x khi và chỉ khi f xn  hội tụ tới f x  với mọi f  X * .
1.28. Định nghĩa
+) Tập con A của không gian Banach X được gọi là đóng yếu nếu A
đóng theo tôpô yếu.
+) Tập con A của không gian Banach X được gọi là compact yếu nếu
A compact theo tôpô yếu.

1.29. Định nghĩa. Không gian Banach được gọi là lồi đều địa phương
yếu (tương ứng, lồi đều địa phương) nếu với xn   S  X  và x0  S  X  sao cho
x n  x0
2

1

thì xn hội tụ yếu về x0 (tương ứng: hội tụ theo chuẩn).
1.30. Định lý. Không gian lồi đều địa phương là lồi đều địa phương
yếu. Không gian lồi đều địa phương yếu là lồi ngặt.
Chứng minh. Khẳng định thứ nhất hiển nhiên, ta chứng minh khẳng
định thứ hai.
Giả sử X là không gian lồi đều địa phương yếu, nhưng X không lồi ngặt. Lấy

x, y  SX là hai phần tử phân biệt sao cho x  1   y  SX với mọi

 ,0    1 . Xét z n 

y. Mặt khác,

1
n 1
x
y  SX  . Chú ý rằng z n  hội tụ (theo chuẩn) tới
n
n

x  zn
rõ ràng thuộc S(X) đối với mỗi n. Do tính lồi đều địa
2

phương yếu nên z n hội tụ yếu tới x, mâu thuẫn với sự hội tụ về y của zn . Vậy
X lồi ngặt.
18


Từ giả thiết của tính lồi đều địa phương yếu và lồi đều địa phương cho ta
kết quả sau về tính hội tụ.
1.31. Định lý
i) Nếu X * là khơng gian lồi đều địa phương yếu và  f n   S X * , f 0  S X * 
sao cho  f n  hội tụ * yếu tới f 0 thì f n hội tụ yếu tới f 0 ;
ii) Nếu X * là không gian lồi đều địa phương và  f n   S X * , f 0  S X * 
sao cho  f n  hội tụ * yếu tới f 0 thì f n hội tụ tới f 0 theo chuẩn;
iii) Nếu X là không gian lồi đều địa phương và xn   S  X , x0  S  X  sao

cho x n  hội tụ yếu tới x0 thì x n  hội tụ tới x0 theo chuẩn.
Chứng minh. Ta chứng minh mệnh đề i), chứng minh các mệnh đề, ii)
và iii) tương tự.
Giả sử  f n   S X * , f 0  S X *  và giả sử  f n  hội tụ sao yếu tới f 0 . Khi
đó, cho x  X , f n x   f 0 x  . Do đó

f f
1
 f n x   f 0 x   f 0 x  , suy ra n 0  1 .
2
2

Áp dụng tính lồi đều địa phương yếu, ta được f n hội tụ yếu về f 0 , đó là điều
phải chứng minh.

19


§2. KHƠNG GIAN BANACH TRƠN

2.1. Định nghĩa
Khơng gian Banach X được gọi là trơn nếu mọi điểm x S(X) đều tồn
tại duy nhất hàm f X  sao cho f  1 và f x   1 .
Chúng ta xét một khái niệm mạnh hơn tính trơn đó là tính trơn đều.
2.2. Định nghĩa. Một khơng gian Banach X được gọi là trơn đều nếu
lim

t 0

X t 

 0,
t

(2.1).

trong đó  X t  là mơ đun trơn được xác định bởi:
 x  t .y  x  t .y

 X  t   sup 
 1 : x  1, y  1  .
2



(2.2).

2.3. Nhận xét. Mọi không gian trơn đều là không gian trơn.
Nhận xét này được suy ra từ các Định nghĩa 2.1 và 2.2.
2.4. Định lý (Công thức đối ngẫu Lindestrauss)
Với mọi không gian Banach X và với mọi t  0 ta có
 t

i)  X * t   sup    X    ,

0   2  2

(2.3).

 t


ii)  X t   sup    X *    .

0   2  2

(2.4).

Chứng minh. Xem [3], [4].
2.5. Định lý (Smulian 1941)
(i) X là không gian lồi đều khi và chỉ X* là trơn đều.
20


(ii) X là trơn đều khi và chỉ khi X* là lồi đều.
Chứng minh. (i) Giả sử X* trơn đều. Suy ra lim


 X* ()


  , suy ra với

mọi  > 0, tồn tại  > 0 sao cho
 X* () 


.


Sử dụng công thức Lindenstrauss, ta suy ra




 X () 
 X ()    ,




tức là X là lồi đều.
Ngược lại, nếu X là lồi đều, tức là X() > 0 với mọi  > 0. Giả sử X*
khơng trơn đều. Khi đó
lim

 X* ()





 .

Suy ra tồn tại E0 > 0 sao cho với mọi  > 0, tồn tại   (0; ) sao cho
 X* ()


 E .

Vì thế, tồn tại 0  (0; 2] sao cho
E0 <  X* () 
Do đó

X(0) 

0
E
  X (  )  0 .
2
2


(  E  )  0 khi   0+.
2

Chú ý: 0 – E0 > 0 kéo theo X(0) =0. Điều này mâu thuẫn với tính lồi đều của
X.
Vậy X lồi đều suy ra X* trơn đều.
(ii) Theo (i) ta có X* lồi đều suy ra X** trơn đều. Vì J(BX) trù mật trong BX**
đối với tơpơ (X**, X*), trong đó J là phép nhúng chuẩn tắc X vào X** nên ta có
X** () = sup{||x’ + y’|| + ||x’ - y’|| - 2 | x’, y’  BX**}
21


sup {| u, x' y' |  | v, x'y' | 2}

= sup
x ', y 'B

X **

u , vB

X ** *

= sup sup {| u, x'y' |  | v, x'y' | 2}
x ', y 'B

X **

u , vB

X*

do J(BX*) trù mật trong BX*** đối với tôpô (X***, X**) và J đẳng cự nên ta
đồng nhất J(BX*)  BX*. Vậy
2  X *   = sup
u , vB

X*

sup {| u, x'y' |  | v, x'y' | 2}

x ', y 'B

X **

= sup sup {| u, x  y |  | v, x  y | 2},
u , vB

X*

x , yB X

do J(BX) trù mật trong BX** đối với tôpô (X**, X*) và J đẳng cự nên ta đồng
nhất J(BX)  BX. Cho nên
2  X *   = sup sup {| u, x  y |  | v, x  y | 2}
x , yB X u , vB

X*

= sup {|| x  y ||  || x  y || 2}  2 X () .
x , yB X

Từ đó suy ra X** trơn đều khi và chỉ khi X trơn đều. Do vậy X trơn đều
khi và chỉ khi X* lồi đều.
2.6. Định lý
i) Nếu X * lồi ngặt thì X trơn.
ii) Nếu X * trơn thì X lồi ngặt.
Chứng minh
i) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Giả sử X không trơn thì
tồn tại x0  S  X  và f , g  S X *  sao cho f  g và f x0   1  g x0  . Lưu ý rằng
với

mọi

0   1

thì

f  1   g  BX

và

(f  1   g )x   1

vỡ

x  1   y  SX . Suy ra X * không lồi ngặt mâu thuẫn với giả thiết.Vậy X

trơn.
ii) Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Giả sử X khơng lồi ngặt thì tồn tại x  y  S(X) sao cho với mọi

 

0    1 , x  1   y  SX . Nếu g  S X *

22

x y
x y
 S  X  thì
 1 (
2
 2 

và g 


1
1 1

x y 1
1  g
  g x   g  y     1 và g x   g  y   1 ). Xem x, y là phần tử
2
2 2
 2  2

của X ** ta thấy tại g có hai hàm giá phân biệt nghĩa là X * không trơn, mâu
thuẫn với giả thiết X * trơn. Vậy X lồi ngặt.
2.7. Hệ quả
Một không gian Banach X lồi ngặt nếu và chỉ nếu X * trơn. Không gian
Banach X trơn nếu và chỉ nếu X * lồi ngặt.
Để đánh giá độ trơn, độ lồi, người ta đưa ra các khái niệm p – trơn, p –
lồi như sau
2.8. Định nghĩa. Không gian Banach X được gọi là:
- p – trơn (p > 1) nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho  X()  Cp với mọi
  [0; +  ).
- p – lồi (p > 1) nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho  X    C p với mọi
  0; 2 .

2.9. Nhận xét. Hiển nhiên nếu X là p – trơn (p > 1) thì X là trơn đều.
2.10. Ví dụ. Nếu X là khơng gian Hilbert với dim X ≥2 thì X là khơng
gian 2-lồi, 2-trơn.
Chứng minh. Thật vậy, từ (1.11) và hệ thức 1 -

1

c2
c2
 khi c  0+, ta

4
8

suy ra X là không gian 2-trơn.
Bây giờ ta chứng minh X là không gian 2-lồi. Trong trường hợp này ta sử
dụng đẳng thức hình bình hành
||x+ y||2 + ||x – y||2 = 2(||x||2+ ||y||2).
23

(2.5).


Với mọi x, y  S(X), từ đẳng thức hình bình hành ta có
xy
2

2

xy

2

2

 || x ||2 || y ||2 
  1.
 2


4

4



(2.6).

Do đó


X() = inf 1 


x y

: x, y  S  X  ,|| x  y ||  
2




= inf 1  1 




|| x  y ||2

: x, y  S  X  ,|| x  y ||  
4




2
= 1 1
.
4

Để tính  X(), ta chú ý
||x + y||2 = <x + y, x + y> = 1 + 2<x, y> + 2
||x - y||2 = <x - y, x - y> = 1 - 2<x, y> + 2.
Từ đó, ta có
 || x   y ||  || x   y ||

 1 : x, y  S  X  
2



 X() = sup 

 1   2  2  x, y   1   2  2  x, y 


 1 : x, y  S  X   .
2





= sup 

Ta chú ý rằng, với mọi a, b  ℝ mà a  |b|  0
ab  ab 



ab  ab



2 

2a  2 a 2  b 2

2a  2a  2 a .

Bất đẳng thức trở thành đẳng thức khi b = 0. Do đó ta có
1  2  2  x, y   1  2  2  x, y   2 1  2 .

Vì vậy đẳng thức xảy ra khi
2<x, y> = 0 

  0
 x, y  0  x  y.

24