Dạng killing trên đại số lie nửa đơn

1

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng đại học vinh

lăng thị cờng

dạng killing trên đại số
lie nửa đơn

Chuyên ngành: Hình Học - Tôpô
mà số: 60.46.10

tóm tắt Luận văn thạc sĩ toán häc

Vinh - 2010


2

MỤC LỤC
Mục lục............................................................................................ 1
Lời nói đầu..................................................................................... 2
Chƣơng 1. Đại số Lie nửa đơn
I.

Đại số Lie nửa đơn ............................................................4

II.

Đại số Lie đơn ..................................................................11

III. Ánh xạ ad .........................................................................13
Chƣơng 2. Dạng Killing trên đại số Lie nửa đơn
I.

Vết của ánh xạ tuyến tính..............................................18

II.

Dạng Killing ....................................................................21

Kết luận ........................................................................................34
Tài liệu tham khảo ........................................................................35

LỜI MỞ ĐẦU


3

Vào cuối thế kỷ 19 trong các cơng trình của Xôphux Lie ( 1842-1899) và
Phêlix Klein (1849-1925) đã xuất hiện sự kết hợp giữa lý thuyết nhóm và hình
học Riemann. Sự kết hợp này được xem là những cơng trình mở đầu của lý
thuyết mới , đó là lý thuyết nhóm Lie và đại số Lie. Sự ra đời của lý thuyết
nhóm Lie và đại số Lie đã liên kết các chun ngành Hình học –Tơpơ ,Giải
tích và Đại số .Do đó đại số Lie là một bộ phận của tốn học hiện đại . Lý
thuyết nhóm Lie và đại số Lie đang được ứng dụng nhiều trong các lý thuyết
về hệ động lực , vật lý lượng tử và các ngành khác nhau của tốn học . Đặc
biệt nó được xem như một công cụ quan trọng để nghiên cứu các tính chất của
hình học trên các đa tạp Riemann.
Hiện nay lý thuyết đại số Lie đã được trình bày trong các tài liệu và được viết

bởi các nhà toán học nổi tiếng như Serre , Helgason ,... và một phần mở đầu
đựoc trình bày trong các bài giảng về đại số Lie và nhóm Lie cho các lớp cao
học chun ngành Hình học-Tơpơ ở các trường đại học .
Đại số Lie nửa đơn là một nội dung quan trọng của đại số Lie , chính vì vậy
trong luận văn này chúng tơi trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các
kiến thức về đại số Lie nửa đơn , trong đó đi sâu vào nghiên cứu về dạng
Killing trên đại số Lie nửa đơn. Do đó chúng tôi chọn tên đề tài là: Dạng
Killing trên đại số Lie nửa đơn . Nội dung chính của luận văn được trình bày
trong hai chương :
Chƣơng 1: Đại số Lie nửa đơn
Trong chương này chúng tơi trình bày các khái niệm và các tính chất của đại
số Lie nửa đơn, đại số Lie đơn. Đặc biệt trình bày chi tiết các tính chất của ánh
xạ ad .
Chương 1 được chia làm ba phần:
I. Đại số Lie nửa đơn
II. Đại số Lie đơn
III. Ánh xạ ad


4

Chƣơng 2: Dạng Killing trên đại số Lie nửa đơn .
Chương này là nội dung chính của luận văn với việc trình bày khái niệm và
các tính chất của dạng Killing trên đại số Lie nửa đơn .
Chương 2 được chia làm hai phần:
I. Vết của ánh xạ tuyến tính
II. Dạng Killing
Luận văn được hoàn thành tại khoa Sau đại hoc Đại học Vinh, dưới sự hướng
dẫn khoa học của thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang. Tác giả xin bày tỏ
lịng kính trọng và lịng biết ơn sâu sắc đến thầy .

Trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu tại trường Đại học Vinh tác giả
nhận được sự quan tâm, chỉ bảo và giúp đỡ tận tình của các thầy, cơ thuộc
khoa Tốn và khoa Sau đại học, đặc biệt là các thầy cơ giáo trong tổ Hình
học, những người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tác giả hồn thành
khố học và luận văn này. Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy cô.
Nhân dịp này tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới cán bộ, giáo viên trường
THPT Hà Huy Tập, tập thể lớp Cao học 16 chun ngành Hình học- Tơpơ,
gia đình , bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả
hoàn thành tốt nhiệm vụ.

Vinh, tháng 12 năm 2010.
Tác giả

CHƢƠNG 1

ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN


5

Trong chương này, ta luôn giả thiết K là một trường có đặc số 0 và G là một
đại số Lie hữu hạn chiều trên K.
I Đại số Lie nửa đơn.
1.1.1 Định nghĩa. Một đại số Lie G được gọi là nửa đơn nếu G khơng có
Iđêan giao hốn khác 0 nào.
1.1.2 Ví dụ
1)Ta xét G  R 3 với a, b là tích có hướng của 2 véctơ a và b. Khi đó khơng
gian R3 trở thành một đại số Lie nửa đơn.
Thật vậy: Như ta đã biết R3 là một đại số Lie trên trường R.


Giả sử I là Iđêan giao hoán khác 0 của R 3, ta có:  a  I ,






b  I thì

 



 a, b   a  b  0 . Từ tính chất của tính có hướng suy ra a , b phụ






thuộc tuyến tính hay b  k . a k  R . Do I là Iđêan của R3 nên




 a, x   a  x  I ,  x  R 3 .
 


 

 







Ta chọn x  R3 sao cho x  0 , x  I  x  R 3 . Khi đó



     
m a, xa x a






hay m  I suy ra vô lý.
  a b 

2) Cho G   

  c a



a , b , c  R


Khi đó G là đại số Lie nửa đơn.
Chứng minh
 Trước hết ta chứng minh G là một đại số Lie con của M n  R 
Ta chứng minh G khép kín với các phép toán


6

 x y
 a b 
  G ; B  
  G . Khi đó ta có:
Gỉa sử A  
z

x
c

a





 kx ky 
  G
  k  R ; k . A  

 kz  kx 
yb
 xa
 A  B  
 z  c x  a



 A , B   AB  BA 


 G .


 x y   a b
 a b

 
 _ 

z

x
c

a
c

a







 x y


z

x



 a x  cy b x  a y   a x  b z a y  b x 
  

 
 az  cx bz  a x   c x  a z c y  a x 

 c y  b z 2b x  2a y
  G.
 
 2a z  2c x b z  c y 

 Bây giờ ta chứng minh G là nửa đơn.
Giả sử G không nửa đơn, tức là G có chứa Iđêan I giao hốn khác 0.
Khi đó  A  I , A  0 ,  B  I thì :

 A , B   AB  BA  0.

Suy ra B  k.A  k R 
Do I là Iđêan của G nên  X  G thì : X , A  I.
 0 0
 0 0
  A  
 với c 0
Chọn B  
1 0 
c 0
1  1 

Khi đó chọn X  
  G thì:
 0  1

X , A  

XA  AX

1  1   0 0 
 0 0  1  1 







 0  1  c 0 
 c 0   0  1

 c 0 

I
 2c 0 
 Vô lý


7

Vậy G là nửa đơn.
 Bây giờ ta xét các Iđêan giải được trong G:
1.1.3 Bổ đề. Trong đại số Lie G tồn tại Iđêan giải được cực đại ( theo nghĩa
bao hàm).
Chứng minh
.Nhận thấy I = {0} là Iđêan giải được trong G .
.Giả sử M, N là hai Iđêan giải được trong G . Khi đó M+N cũng là Iđêan giải
được trong G .
Thật vậy, xét ánh xạ  : N  M   N  M  / M là đồng cấu tự nhiên. Khi đó:

  N    N  M  / M và ker  / N  N  M .
Rõ ràng

 N  M  / M  N /  N  M .

Vì N  M giải được nên đại số thương N /  N  M  giải được, suy ra
(N+M)/M giải được. Mặt khác M giải được nên ta suy ra N + M giải được .
Do G hữu hạn chiều nên ta thấy trong G luôn tồn tại Iđêan giải được cực đại .
1.1.4 Định nghĩa. Một Iđêan giải được lớn nhất của G được gọi là Radican
của G.
1.1.5 Nhận xét. G nửa đơn khi và chỉ khi radican của G bằng 0.

Chứng minh : +)Trước hết ta chứng minh G là đại số Lie nửa đơn thì radican
của G bằng 0. Thật vậy, ta đặt radican của G là r. Nếu r  0 thì

DGK   DGk 1; DGk 1  ; ...; DG0  r
n 1

Vậy nếu D G

là các Iđêan trong G.

 
 0 và D Gn  0 thì D G

(n 1)

là Iđêan giao hốn khác 0 của G,

điều này vơ lý vì G nửa đơn.
+) Giả sử r  0 ta chứng minh G là đại số Lie nửa đơn.
Thật vậy, giả sử G không là đại số Lie nửa đơn tức trong G chứa một Iđêan
giao hoán N  0 . Như ta đã biết mọi Iđêan giao hoán đều giải được. Vậy N
giải được. Ta suy ra r  0 ; điều này vô lý.


8

Từ nhận xét trên ta thấy rằng: lớp các đại số Lie giải được và lớp các đại số
Lie nửa đơn là hai lớp khác nhau trong tập hợp tất cả các đại số Lie trên K .
 Giả sử G là một đại số Lie, N là Iđêan của G.



Xét G / N  x  x  N



x  G . Các phép toán trong G/N được xác

định:
+)

x  y  (x  N )   y  N 
  x  y  N

+)  x   x  N .

+) 
 x, y    x, y   N

1.1.6 Nhận xét. G/N với các phép toán trên là một đại số Lie ( G/N được gọi
là đại số Lie thương của G)
Thật vậy:
+) dễ thấy rằng G/N là một đại số.
+) Tính phản xứng: x  x  N  G / N ta có:
 x, x    x  N , x  N    x, x   N  N .



+)  x  x  N ; y  y  N ; z  z  N thuộc G/N ta có:

 x,  y, z     x  N ,  y  N , z  N 

 
 

 x  N , y  z   N 


 x,  y  z 
  N.


z, x 
Tương tự :  y, 
 y  N ,  z  N , x  N 

  
 


 y,  z  x 
N
 z,  x, y     z  N ,  x  N , y  N 

 
 


 z ,  x  y 
N

9

Từ đó ta có:  x,  y, z   +  y,  z, x   +  z,  x, y   = N.

 



Vậy G/N là một đại số Lie
1.1.7 Mệnh đề. (Xem [3]) Giả sử G là đại số Lie và N là radican của G thì
đại số thương G/N nửa đơn.
Chứng minh. Gọi  : G  G / N là phép chiếu tự nhiên.
Gọi S là Iđêan khác không, giải được trong G/N.
Đặt S   1 (S) . Từ ( N)  0 nên N  S
Đại số S

N

và N giải được  S cũng giải được chứa N.

Điều này mâu thuẫn với N cực đại. Do đó S = 0, nghĩa là G/N khơng chứa
Iđêan giao hốn khác 0 nên G/N là nửa đơn.
 Giả sử G1, G2 là đại số Lie.
Ta ký hiệu G  G1  G2    g1, g2  / g1  G1; g 2  G2 
và các phép toán trong G được xác định như sau :





. Phép cộng : x  G , yG  x  y  g1  g1' ; g 2  g '2 với
'

'

g1 , g1  G1 ; g 2 , g 2  G 2 .

. Phép nhân :  xG, kK ta có kx  kg1 , kg 2 



. Tích Lie :  x, y    g1, g '1  ,  g 2 , g 2' 



Khi đó G là một đại số Lie .
1.1.8 Mệnh đề. Nếu G1, G2 là các đại số Lie nửa đơn thì:

G  G1  G2    g1, g 2  g1  G1; g 2  G2  cũng là một đại số Lie nửa
đơn
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh G là một đại số Lie.
+) Tính phản xứng: x , x    g1 , g1  ; g 2 , g 2   0 , 0 ,  x  G.
+) Đẳng thức Jacôbi:


10





 x , y , z  G ta có :  x ,  y , z    x ,  g1' , g1"  ,  g 2' , g 2''  



=
Tương tự :

  g

1;



 g1' , g1"   ,  g 2 ,  g 2' , g 2''   .

 



y , z , x    g1;'

 g1" , g1   ,  g 2' ,  g 2'' , g 2   .

 





z , x , y    g1'' ;

 g1 , g1'   ,  g 2'' ,  g 2 , g 2'   .

 





Suy ra :

x , y , z  y , z , x  z , x , y 

  g ,  g , g     g ,  g , g     g ,  g , g   ;  g ,  g , g     g ,  g , g     g ,  g , g   
1

'
1

''
1

'
1

''
1

1

''
1

1

'
1

2

'
2

''
2

'
2

''
2

2

''
2

  0,0 
do G1, G2 là đại số Lie nửa đơn.

+) Bây giờ ta chứng minh G nửa đơn.
Giả sử trong G có chứa Iđêan giao hốn khác khơng :

A    a1 , a2  a1G1 , a2  G2 .
Đặt A1   a1

A2   a2

 a1 , a2   A 
 a1 , a2   A 

Khi đó  a1  A1 ,  g1  G1 . Xét g1 , g 2   G có:

a1 , a 2 ; g1 , g 2   A vì A là Iđêan của G.
  a1 , g1  ;  a2 , g 2 

 A

  a1 , g1   A  g1  G1 .
Mặt khác : A là Iđêan giao hoán khác không của G nên  x , y   0  x  A.





  a1, a2  , a1' , a2'   0  a1 , a1'  A; a2 , a2'  A.








  a1, a1'  ; a2 , a2'   0.
 a1, a1'   0  a1 , a1'  A1 .

2

'
2


11

Suy ra A1 là Iđêan giao hốn khác khơng của G1. Vơ lý vì G1 nửa đơn.
1.1.9 Nhận xét. ( Xem [4])
Mọi đại số Lie G đều phân tích được thành tổng trực tiếp của một radican và
một đại số Lie nửa đơn.
1.1.10 Ví dụ. Cho G 

 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 

x1 , x2 , x3 , x4 , x5 R

Trang bị cho G phép tính tích Lie :  xG, yG.

x , y  x1y2  x 2 y1 , 0 , x 4 y5  x 5 y4 , x 5 y3  y5x 3 , x 3y4  y3x 4 .

Khi đó G phân tích được thành tổng trực tiếp của một radican và một đại số
Lie nửa đơn.
Chứng minh: Đặt N  x1 , x2 ,0,0,0  x1 , x2 R.
M  0,0, x3 , x4 , x5  x3, x4 , x5 R.

Khi đó N  M  G.
 Ta chứng minh N là radican.
 Dễ thấy N là đại số con của G.
 có  yG : y  y1 , y 2 , y3 , y 4 , y5  , aN : a  a1 , a 2 , 0 ,0 ,0 .
y , a   y1a 2  a 2 y1 , 0 , 0 , 0 , 0  N.
 N là Iđêan của G.





a N , bN  a , b  a1b 2  a 2 b1, 0 , 0 , 0 , 0 .

 a , b;a , b  0 , 0 , 0 , 0 , 0 .
 N giải được.

 Ta chứng minh: M là đại số Lie nửa đơn.
 Dễ thấy M là đại số con của G.
 yG : y  y1 , y 2 , y3 , y 4 , y5  , aM : a  0 ,0 , a 3 , a 4 , a 5  .

 y , a   0, 0 , y 4a 5  y5a 4 , y5a 3  a 5 y3 , y3a 4  a 3 y 4 M .
 M là Iđêan của G.


12

Xét đồng cấu  : M  R 3
x  (0 , 0 , x 3 , x 4 , x 5 )  (x)  (x 3 , x 4 , x 5 )

Dễ thấy  là đẳng cấu Lie  R 3  M .
Mà R3 với tích Lie tương ứng là nửa đơn.
 M là nửa đơn.

Mặt khác ta có N là Iđêan giải được lớn nhất vì G  N  M mà M là nửa đơn
nên khơng thể có một Iđêan giải được lớn hơn N trong G. Do đó N là một
radican.
II.Đại số Lie đơn.
1.2.1 Định nghĩa. Đại số Lie G được gọi là đơn nếu G khơng giao hốn và G
khơng chứa một Iđêan thực sự nào.
Chúng ta nhận thấy rằng: Đại số Lie G là đơn thì G là nửa đơn.
1.2.2 Ví dụ.
1) Không gian véctơ R3 thông thường với định nghĩa x , y  x  y . Khi đó R3
là một đại số Lie đơn.
2) Xét

 0 a b 




G    a 0 c  / a , b , c  R  .
  b  c 0 






Với phép tích Lie  x , y   xy  yx, x, y  G .
Khi đó G là một đại số Lie đơn.
. Dễ thấy G là một đại số Lie.
Giả sử G có Iđêan thực sự I. Trong G ta chọn cơ sở
 0 1 0
 0 0 1
0 0 0 






e1    1 0 0  ; e 2   0 0 0  ; e3   0 0 1 
 0 0 0
1 0 0
0  1 0







Ta có e1 , e 2   e3 ; e 2 , e3   e1 ; e3 , e1   e 2 .
Do I là Iđêan thực sự của G nên I là không gian hai chiều hoặc một chiều.

13

Nếu I là hai chiều có cơ sở e1, e2 suy ra vơ lý, vì e1 , e 2   e3 khơng thuộc I.
Nếu I là một chiều có cơ sở là e1 thì e1 , e 2   e3 khơng thuộc I.
Vậy G khơng có Iđêan thực sự hay G là đại số Lie đơn.
1.2.3 Mệnh đề.(Xem[6]). Tích của hai đại số Lie đơn là đại số Lie đơn.
Chứng minh : Cho G1, G2 là các đại số Lie đơn, ta có :
G  G1  G2   g1 , g2 

g1  G1 , g 2  G2  .

+) Dễ thấy G là đại số Lie khơng giao hốn.
+) Giả sử G có Iđêan thực sự : A   a1 , a2 
Đặt A1  a1  G1

 a1 , a2   A

A2  a2  G2

 a1 , a2   A

a1  G1 , a2  G2  .

Do A là I đêan của G khi đó : với mọi  a1, a2   A;  g1, g2   G .
 a1 , a2  ,  g1 , g2    a1 , g1 ,  a2 , g2   A .

Suy ra  a1 , g1   A1 với mọi g1  G1 hay A1 là I đêan của G1. Suy ra vô lí vì
G1 đơn.
Vậy G là đại số Lie đơn.
III. Ánh xạ ad.

1.3.1 Định nghĩa. Giả sử G là một đại số Lie trên trường K. Với mỗi x  G,
ánh xạ ad x là ánh xạ được xác định bởi:

ad x : G  G
y

ad x ( y)   x , y  .

 Chúng ta đã biết: Nếu G là một đại số trên K, ánh xạ: D : G  G là một
ánh xạ tuyến tính có tính chất: D x. y   y.D x   x.D y  gọi là ánh xạ vi phân
của G.
Kí hiệu: DerG  {Tập tất cả các ánh xạ vi phân của G}.
1.3.2 Định lý. (Xem [6]).


14

1)

ad x là một ánh xạ vi phân. Ta còn nói ad x là vi phân trong của G sinh

bởi x.
2) Ánh xạ f : G  Der G xác định bởi

f  x   ad x

là một đồng cấu đại

số Lie.
Chứng minh.

1) Theo định nghĩa ta có  y, z  G ;  ,   K thì:

ad x  y   z    x,  y   z 
  x,  y    x,  z 
   x, y     x , z 
  ad x  y    ad x  z 

Vậy ad x là ánh xạ tuyến tính.
Mặt khác:

ad x  y , z    x ,  y , z 

  x , y  , z    y ,  x , z 
  ad x  y  , z    y , ad x  z   .
 ad x  DerG .
2) Ta chứng minh f là đồng cấu.
Thật vậy,  x, y  G , ,  K ta có f  x   y   ad x   y 
Với mọi t  G , thì:

ad x   y   t    x   y , t 

  x , t     y , t 
  x , t    y , t
  ad x  t    ad y  t 
  ad x   ad y   t 


15

 ad x   y    ad x   ad y .

Mặt khác  x, y  G thì f

 x, y   ad

x , y

, nên  t  G ln có:

ad x , y   t   
 x , y  , t 


  x ,  y , t    y ,  x , t 
  x , ad y  t     y , ad x  t  

 ad x  ad y  t    ad y  ad x  t  
  ad x ad y  ad y ad x   t  .



Từ đó suy ra ad x , y   ad x ad y  ad y ad x

f

 x, y    ad

x



hay là:

ad y  ad y ad x 

  ad x , ad y 
  f  x  , f  y  
Vậy f là một đồng cấu Lie.
1.3.3 Mệnh đề. (Xem [7])
Nếu D  DerG thì  D , ad x   ad D x  ,  x  G.
Chứng minh:  x  G ta có:

 D , ad x t  t    Dad x

 ad x D  t 

 D  x , t    x , D  t  
  x , D  t     D  x  , t    x , D  t  
  D  x  , t 
 ad D x   t 

Vậy

 D , ad x   ad D x

.

1.3.4 Mệnh đề. (Xem [4])

Ga  ad x

a G . Khi đó Ga là một Iđêan của DerG.


16

Chứng minh. Lấy D bất kỳ thuộc DerG và ad a  G a ,  a  G .
Ta có: D , ad a   G a (Theo mệnh đề 1.3.2).
Vậy Ga là một Iđêan của DerG.
1.3.5 Mệnh đề. (Xem [4])
Xét ánh xạ :
 : G  Ga
x  ad x

Khi đó ta có các khẳng định sau :
1)  là đồng cấu Lie.
2)

Ker  là tâm của G;  Ker    TG  .

Chứng minh.
1)  là đồng cấu Lie vì:

  x  y  z   ad x  y   z 
  x  y , z
  x , z   y , z
 ad x  z   ad y  z 
  ad x  ad y   z 
   x     y    z 

Suy ra  x  y   x    y  .

 Với  R , x, y  G ta có:

  .x  y   ad x  y 
  x , y     x , y 
 .ad x  y   .  x  y  .

    x     x  .
 Ta xét   x, y   z   ad x, y  z 


17

 x , y  , z     y, z  , x    z, x  , y 

  x,  y, z    y,  x, z 

  ad x ad y   z    ad y ad x   z 
  ad x ad y  ad y ad x   z  ; z  G
Vậy   x, y   ad x ad y  ad y ad x
  ad x , ad y     x  ,  y   .

2) Ta có:
Ker    x  G ad x  0
  x G ad x  y   0;  y  G

  x G

 x , y   0;  y  G  TG .

1.3.6 Hệ quả. Giả sử G là đại số Lie nửa đơn. Khi đó  là một đẳng cấu.

Thật vậy:
. Dễ thấy  là một toàn ánh.
.Theo mệnh đề 1.3.5 ta có : Ker  TG . Mà G nửa đơn nên TG =0 ,
Suy ra Ker  0 . Vậy  là đơn ánh .
Mặt khác  là một đồng cấu ( theo 1.3.5) nên ta có  là một đẳng cấu.
1.3.7. Hệ quả. Nếu  là đẳng cấu Lie : G  G , thì :  ad x  1  ad  x 
Chứng minh.
1
 .ad x . 1  y    
 x ,   y 


   x  ,  1  y  
   x  , y 

 ad  x   y  ; y  G

Vậy  ad x  1  ad  x  .


18

CHƢƠNG 2

DẠNG KILLING TRÊN ĐẠI SỐ LIE NỬA ĐƠN
I. Vết của ánh xạ tuyến tính.
2.1.1 Định nghĩa.
Giả sử V là một không gian vectơ n chiều với cơ sở ei  ; i  1, n và
f : V  V là một ánh xạ tuyến tính có ma trận đối với cơ sở ei  ; i  1, n là

A   aij  ; i, j  1, n . Vết của f được định nghĩa là Tr  f    aii .
n

i 1

n

(ta cũng nói

a

ii

i 1

là vết của ma trận A).

2.1.2 Ví dụ. Cho f :
với cơ sở của

3

3



3

được xác định bởi f  ad x ad y ; x, y 

là e1 =(1,0,0) ; e2 =(0,1,0); e3 =(0,0,1).

Tìm Tr(f) khi x = (1;2;1) ; y = ( 0;1;1).
Với mọi z thuộc

3

: z   z1 ; z2 ; z3  ta có:

f  z    ad x ad y   z 
 ad x  y, z 
 x   y  z

3


19

Ta có: y = ( 0; 1; 1)

z   z1; z2 ; z3 
 y  z   z3  z2 ; z1;  z1 
. x  ( y  z )   3z1; z3  z2  z1; z1  2 z3  2 z2 

 f  z   x  ( y  z)   3z1; z3  z2  z1; z1  2 z3  2 z2 
Khi đó:
f  e1    3;1;1 ;
f  e2    0; 1; 2  ;
f  e3    0;1; 2 
 ma trận của f đối với cơ sở

ei  ; i  1, n

là:

 3 1 1 
A   0 1 2 
 0 1 2 
 Tr A = -6.

Vậy Tr f =-6 .
2.1.3 Nhận xét.
Giả sử A, B là các ma trận vuông cùng cấp trên trường số K . Khi đó:
1) Tr A= Tr AT .
2) Tr (AB) = Tr (BA)
Chứng minh:
1) Từ định nghĩa ta suy ra điều phải chứng minh.
2) Giả sử A, B là các ma trận vuông cùng cấp n:

 

 

A  aij ; B  bij ; i, j  1, n .
Khi đó: A.B = C với C =  cij  trong đó:


20
n

cij  ai1b1 j  ai 2b2 j  ...  ainbnj 

a b .
ik kj

k 1

 Tr  AB  

n

n

n

i 1

k 1

c   a b .
ii

ik ki

i 1

Tương tự: B.A =D với D   dij  trong đó : dij 
n

n

n

b a
k 1

ik

kj

n

 Tr  BA   dii   bik aki .
i 1

i 1 k 1

Vậy Tr (AB) = Tr (BA).
Ta kí hiệu EndV ={ánh xạ tuyến tính f : V  V }.
2.1.4 Mệnh đề . Ánh xạ Tr : EndV  K
f

là ánh xạ tuyến tính

Tr ( f )

Chứng minh: Giả sử f, g là các ánh xạ thuộc EndV và   K ; e1 , e2 ,..., en  là cơ
sở của V . Ta gọi Af  aij  , Ag  bij  là ma trận của f và g tương ứng đối với cơ
sở trên.
Ta có: +) Tr  f  g   Tr  Af  Ag 

 TrAf  TrAg
 Trf  Trg

+) Tr  f   Tr  Af   TrAf  Trf
Vậy ánh xạ Tr là ánh xạ tuyến tính
2.1.5 Mệnh đề. Vết của một ánh xạ tuyến tính khơng phụ thuộc vào việc
chọn cơ sở.
Chứng minh: Giả sử đối với cơ sở ei  ; i  1, n ánh xạ tuyến tính f có ma trận
là A , đối với cơ sở i  ; i  1, n thì f có ma trận là B.


21

Gọi P là ma trận chuyển từ cơ sở

ei  ; i  1, n

sang cơ sở i  ; i  1, n . Khi đó

ta có: B  P. A.P 1
Suy ra: Tr B = Tr ( P. A.P 1 )
= Tr ( A.P.P 1 ) = Tr A
Vậy vết của ánh xạ tuyến tính khơng phụ thuộc vào việc chọn cơ sở.
II. Dạng Killing
2.2.1 Định nghĩa. Giả sử G là một đại số Lie trên trường K .Ánh xạ :
k:GxG  K
(x ; y)



Tr ad x ad y



được gọi là dạng Killing trong G.
Từ nay ta kí hiệu dạng Killing là k(x;y) = x y .
2.2.2 Nhận xét . (Xem [4])
Với x; y;z  G,   K ta có:
1) x y = y x
2)  x  y    xy 
3) (x+y) z = x z + y z
Chứng minh:
1)


 Tr  ad


ad 

Ta có: xy  Tr ad x ad y
y

x

 yx
2)

 x  y  Tr  ad x



ad y




ad y     xy 

 Tr  ad x ad y



 Tr ad x
3)



( x  y ) z  Tr ad x y ad z




22



 Tr  ad x ad z   Tr ad y ad z



 xz  yz
2.2.3 Mệnh đề. (Xem [8])
Cho G là đại số Lie , x, y, z  G , ta có:

ad x  y .z  y.ad x  z   0
Chứng minh:
 ad x  y .z   x, y .z



 Tr ad x , y  ad z






 Tr ad x ad y  ad y ad x ad z









 Tr ad x ad y ad z  Tr ad y ad x ad z




y.ad x  z   y. x, z 



 Tr ad y ad x , y 



  ad xad z  ad z ad x 
 Tr  ad y ad x ad z   Tr  ad y
 Tr ad y

ad z ad x



 ad x  y .z  y.ad x z







 Tr ad x ad y ad z  Tr ad y ad z ad x



 Tr ad x

 ad y

ad z

  Tr  ad y

ad z




ad x



0

2.2.4 Định lý Cartan. (Xem [4])
Điều kiện cần và đủ để một đại số Lie G nửa đơn là dạng Killing xác định
trên G không suy biến.
Chứng minh:
 Giả sử G nửa đơn , ta xét :

N  x k  x, y   0, y  G  x xy  0, y  G


23

Dễ thấy N là một không gian vectơ trên G. Ta cần chứng minh N là Iđêan của
G.
Thật vậy , x  N , g  G, y  G ta có:

ad g  x  . y  x.ad g  y   0
  g , x . y  x. g , y   0
  g , x . y   x. g , y 
Mà x.[g,y] =0 do x thuộc N

  g , x . y  0
  g , x   N , g  G
Suy ra N là Iđêan của G
Mặt khác G nửa đơn do đó N=0
Vậy dạng Killing xác định trên G không suy biến.
 Ngược lại : cho dạng Killing k xác định trên G không suy biến tức N=0 ,
ta cần chứng minh G nửa đơn . một Iđêan giao hoán của G


Giả sử G không nửa đơn , gọi I là một Iđêan giao hốn của G , khi đó

a  I và x, y  G ta có:

 a ,  x ,  a ,  x, y      0

  
 ad a  x,  a,  x, y    0
  ad a ad x 

2

 y  0

 ad a ad x  0, x  G
 a.x  0, x  G
Vì dạng Killing xác định trên G khơng suy biến nên suy ra a=0

I 0
Vậy G nửa đơn.


24





2.2.5 Mệnh đề. Giả sử e1,...,en là cơ sở trong đại số Lie G và





Aij  Tr adei ade j .
Khi đó G nửa đơn khi và chỉ khi A  0 ( với A=  Aij  ).
Chứng minh. Theo định lý 2.2.4 ta có :









G nửa đơn  x Tr ad x ad y  0; y  G  0


 x  x 

 x* A y   0; y  G  0

 x  xi 

 x* A  0

i

 A 0

2.2.6 Ví dụ. Xét G =

3

với  x, y   x  y là tích có hướng của hai vectơ x

và y . Giả sử e1; e2 ; e3 là cơ sở chính tắc trong



A11  Tr ade1 ade1

Ta có :
Mà

 ad
 ad
 ad

3

. Tìm A =  Aij  .





ade1  e1   e1   e1  e1   0

e1


  e   e  e  e   e

e1

ade1  e2   e1   e1  e2   e2

e1

ade1

3

1

1

3

3

0 0 0 
ade1 là M 1 = 0 1 0 
0 0 1

 Ma trận của ánh xạ ade1

 A11  2



. A12  Tr ade1 ade2


 ad





e   e  e

Ta có: ade1 ade2  e1   e1   e2  e1   e2
e1

ade2

2

1

2

 e2   0


25

 ad

e1



ade2  e3   e1   e2  e3   0
0 1 0 
ade2 là M 2 = 0 0 0 


0 0 0 

 Ma trận của ánh xạ ade1
 A12  0



. A13  Tr ade1 ade3

 ad
 ad
 ad




e   e  e  e   0
e   e  e  e   0

e1

ade3  e1   e1   e3  e1   e1  e2  e3

e1

ade3

e1

ade3

2

1

3

2

3

1

3

3

 Ma trận của ánh xạ ade1

0 0 1 
ade3 là M 3 = 0 0 0 


0 0 0 

 A13  0



. A21  Tr ade2 ade1

 ad
 ad
 ad





e2

ade1  e1   e2   e1  e1   0

e2

ade1  e2   e2   e1  e2   e1

e2

ade1


e   e
3

 Ma trận của ánh xạ ade2

 A21  0



. A22  Tr ade2 ade2



2

  e1  e3   0

0 0 0
ade1 là M 4 = 1 0 0 


0 0 0 