DE THI HSG TRUONG TRAN PHU THANH HOA

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN –KHỐI 11 (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề). Câu I (4,0 điểm). Giải các phương trình sau: 1. cos2x  cos x  1 0 2 2. 2 sin x −sin 2 x +cos x −sin x=0 Câu II (4,0 điểm). 2010 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển của nhị thức Niu-tơn:  2  x 2  x  . 2016. ;. x 0 . 2. Đội văn nghệ của nhà trường gồm 4 học sinh lớp 11A, 3 học sinh lớp 11B và 2 học sinh lớp 11C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ để biểu diễn trong lễ bế giảng năm học. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp 11A. Câu III (4,0 điểm).. 1. Tính giới hạn sau:. x 2 x  1  3 3x  2  2 x 1 x2  1. A lim. 2. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 thành lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số có 5 chữ số khác nhau, trong đó luôn có mặt chữ số 6. Câu IV (4,0 điểm.) SC   ABC . Cho hình chóp SABC có. và tam giác ABC vuông tại B với.  AC a 3 ; H, K lần lượt là hình chiếu của C lên SA, SB biết CHK  với. AB a;. sin  . 13 19 .. 1. Chứng minh rằng CK ⊥(SAB) , SA ⊥(CHK) . 2. Tính độ dài SC theo a. Câu V (4,0 điểm).. x  y  x  y  3 (x  y)2  2 x  y  (x,y  R)  2 x  x  y  2  x  y  3  1. Giải hệ phương trình:  . 2. Cho ba số dương a, b, c thay đổi và thỏa mãn a  b  c 2 . Tìm giá trị lớn nhất của của biểu thức :. S. ab bc ca   ab  2c bc  2a ca  2b. ------------------------------Hết------------------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> SỞ GD&ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015-2016 MÔN: TOÁN –KHỐI 11 (Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề). ĐÁP ÁN ĐỀ HSG TOÁN 11 NĂM HỌC 2015-2016 Câu. Nội dung. Điểm. 2. 2. cos2x  cos x  1 0  2cos x  1  cos x  1 0  2 cos x  cos x 0. I.1. I.2. II.1.  cos x 0    2 2  cos x  1 x   k , x   k 2 , x   k 2 (k  Z )  2 2 3 3.  2 2 x   k , x   k 2 , x   k 2 (k  Z ) 2 3 3 Đáp số: 2 2 sin x −sin 2 x +cos x −sin x=0 ⇔ ( sin x − cos x )( 2 sin x −1 ) =0 ⇔ sin x − cos x=0 hoặc 2 sin x −1=0 π x= +k 2 π 6 ¿ 5π 1 π +k 2 π ⇔ x= + kπ hoặc x= ⇔ tan x =1 hoặc sin x= 6 2 4 ¿ ¿ ¿ ¿  2  x 2  Xét khai triển:  x . 2016. 2016.  C k 0. 2,0. 2,0. k. k 2016. x. 2016  k. 2016  2  k k 2016  3 k  2    2 C2016 x x  k 0. 2 2 2010 2010 Số hạng chứa x ứng với 2016  3k 2010  k 2 là 2 C2016 x có hệ số là. 2,0. 2 2 22 C2016 4C2016. . Gọi không gian mẫu của phép chọn ngẫu nhiên là  5 Số phần tử của không gian mẫu là: C9 126. Gọi A là biến cố “Chọn 5 học sinh từ đội văn nghệ sao cho có học sinh ở cả ba lớp và có ít nhất 2 học sinh lớp 11A”. Chỉ có 3 khả năng xảy ra thuận lợi cho biến cố A là : II.2. 1,0. + 2 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 2 học sinh lớp 11C + 2 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 2 học sinh lớp 11C + 3 học sinh lớp 11A, 1 học sinh lớp 11B, 1 học sinh lớp 11C 2 1 2 2 2 1 3 1 1 Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: C4 .C3 .C2  C4 .C3 .C2  C4 .C3 .C2 78 .. 78 13 P  126 21 . Xác suất cần tìm là. 1,0.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> x 2 x  1  3 3x  2  2 x 2 x  1  1  3 3x  2  1  lim x 1 x2  1 x2  1 Ta có x 1  x 2 x  1  1 3 3x  2  1  lim    2 x 1 x  1 x2  1       2 x3  x 2  1 3x  3 lim  2   x 1 2  x  1 x 2 x  1 1 x 2  1  3  3 x  2   3 3 x  2  1          2 x2  x 1 3 lim    x 1   x  1 x 2 x  1  1  x  1  3  3 x  2  2  3 3 x  2  1      4 3 3    4 6 2 lim. III.1. . . .  . . 2,0. . Số cần lập có dạng a1a 2a 2a 4a 5 , trong đó luôn có mặt chữ số 6. Xảy ra các trường hợp: Trường hợp 1: Nếu a1 6 . Khi đó, ta chọn 4 chữ số trong 6 chữ số 4 0;1;2;3;4;5 cho 4 vị trí còn lại  trường hợp này có A 6 số. III.2. Trường hợp 2: Nếu a1 6 , có 4 cách chọn vị trí của chữ số 6. Khi đó, có 5 a  1;2;3; 4;5 cách chọn 1  . Sau khi chọn a1 và vị trí cho chữ số 6, còn lại 3 3 vị trí được chọn từ 4 chữ số còn lại, nên số cách chọn là A 5  trường hợp. 2,0. 3. này có 4.5. A 5 số. 4 3 Vậy số các số thoả mãn yêu cầu là A 6 + 4.5. A 5 =1560.. Vì H, K là hình chiếu của C lên SA, SB. Do đó :. S. CK ⊥(SAB), SA ⊥(CHK) .. IV.1. H. Suy ra Δ CHK vuông tại K và SA ⊥ KH .. 2,0. x K C. A B. IV.2. Đặt SC=x> 0 . Trong tam giác vuông SAC ta có 2. 2,0. 2. 1 1 1 3a x = 2 + 2 ⇒CH 2= 2 2 . 2 CH CA CS 3a +x 2 Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có CK =. 2 a2 x 2 . 2 a2+ x2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 2(3a 2  x 2 ) 13 13 CK 2 13  sin      3(2a 2  x 2 ) 19 19 CH 2 19 Ta có SC 6a. ⇔ x=6 a. , vì x > 0. Vậy. x  y  x  y  3 (x  y)2  2 x  y (1)  (x,y  R)  2 (2)  x  x  y  2  x  y 3 Giải hệ:  .  x  y 0  Điều kiện:  x  y 0 (*) 2 Đặt t x  y 0 , từ (1) ta có: t  t  3  t  2 t.  t  t2  t  3  2 t  0   3  0  (1  t)  t   0 t32 t   t 32 t 3(1  t).  t(1  t) . V.1.  t 1 (Vì. t. 3 t  32 t.  0, t  0. 2,0 ).. Suy ra x  y 1  y 1  x (3).Thay (3) vào (2) ta có:. 2.  ( x  3  2)  ( 2x  1  1)  0. . x2  3  2x  1  3. x2  1 2. x 32. . 2x  2 2x  1  1. 0.   x 1 2  (x  1)     0 2 2x  1  1 x  3  2   x 1  x 1 (Vì. x2  3  2. . 2 2x  1  1.  0, x . 1 2. ).. Suy ra (x = 1; y = 0), thoả mãn (*). Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ( x = 1; y = 0). V.2 Ta có. ab ab   ab  2c ab   a  b  c  c. ab 1 a b      a  c   b  c  2  a  c b  c . a b  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  c b  c bc 1 b c  ca 1 c a        ,  Tương tự ta cũng có bc  2a 2  b  a c  a  ca  2b 2  c  b a  b . 2,0.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1  a b b c c a  3 S     . 2 a  b b  c c  a   2 Cộng các vế ta được.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>