Tải về Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán 9 trường THCS Lương Thế Vinh

<span class='text_page_counter'>(1)</span>ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN NĂM HỌC 2019-2020 TRƯỜNG THCS LƯƠNG THẾ VINH Bài 1. (4,0 điểm).  x 9 x2 x   1 1   x  0 A     :   x  2 x  3 x  x  2   x 1 x  1   x 1   Cho biểu thức  125 3 x 4  3 3  9   3  27  Tính giá trị biểu thức khi. 125   9 27  . Bài 2 (4,0 điểm) 2 2 a) Giải phương trình 2 5 x  10 x  4 x  4 x 6 x  3 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x  y 3xy  9. Bài 3. (4,0 điểm) P. x 2  xy  y 2 xy  x  y . a) Cho x, y  0 .Tìm GTNN của b) Tìm 2019 số tự nhiên liên tiếp mà trong đó không có số nguyên tố nào ? Bài 4. (6,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của A, B trên CD a) Khi OAC là tam giác đều, hãy giải tam giác ABC b) Chứng minh HC KD c) Chứng minh S AHKB S ABC  S ABD Bài 5. (2,0 điểm) Viết 150 số tự nhiên 1,2,3,.....,150 lên bảng. Mỗi lần ta xóa đi hai số nào đó và thay bằng tổng hoặc hiệu của chúng. Sau một số lần như vậy thì trên bản chỉ còn lại một số. Hỏi có khi nào số đó là 100 không ?. 1.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> ĐÁP ÁN Bài 1. Ta có:  x 9 x2 x   1 1  A     :  x  1  x  2 x  3 x  x  2   x 1  x 3 x 3 x x 2   2 x   :    x  1 x 3 x  1 x  2   x  1 x 1   .  .  .  x 3   x  1 .                x  1 x  1  3  x  1 x  1 3 .  . . x  x  1. 2 x. x1. 2 x. x 1 2 x. Mà:  125 3 125  125 3 125 x   3 3 9 x 4  3 3  9   3 9  3 9   27 27  27 27 4   3 x 5  6  x  x 3  80 x  384 0   x  4   x 2  4 x  96  0 64 4  x 4  x  4 0  2   x 4(tm) 2   x  2   92 0(ktm)  x  4 x  96 0 Thay x 4(tmdk ) vào A, ta được:. A . 3 4 1 9 .  2 2 4. Bài 2. a) ĐK: 0 x 1 a  5 x 2  10 x 0  4a 2  5b 2 60 x  2 Đặt b 4 x  4 x 0 . Khi đó phương trình trở thành: 20a  10b 4a 2  5b 2  30   4a 2  20a  25    5b 2  10b  5  0 5  a    2a  5   5  b  1 0   2  b 1 2. 2. 2.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 5  a  2,  b 1 Với  ta có: 5 2  2  5 x  10 x   2 1  4 x  4 x . 25  2 5 x  10 x  4   2  4 x  4 x 1. 9  2 x  2 x  1   4  2  2 x  1 0 . 9 2  1  x  1    4  x   tm  2 2 x  1 0. . Vậy. x. 1 2. b) Ta có: x  y 3 xy  9  3 x  3 y 9 xy  27  3 y  1  3x    1  3x  26   1  3 x   3 y  1 26. 2  3 y  1 1 y   *)Th1:   (ktm) 3 1  3 x  26  1  3 x 26. 3 y  1 26 *)Th 2 :   1  3 x  1 . 3 y  1  1 *)Th3:   1  3 x  26 . 25  y   3 y  1  26  3 *)Th 4 :   ( ktm) 1  3 x  1 2  x   3. 3 y  1 2 *)Th5 :   1  3 x 13.  y 1 (tm)   x  4. 3 y  1  13 *)Th7 :   1  3 x  2 Vậy.  y 0 (tm)  x  9 .  y  4 (tm)   x 1.  y 9 (tm)  x  0 . 3 y  1 13  1 *)TH 6 :    x  (ktm) 3  1  3x 2 3 y  1  2 *)Th8 :   1  3x  13.  x; y    0;9  ;  9;0  ;   4;1 ;  1;  4  . Bài 3. a) Ta có: 2. x 2  xy  y 2  x  y   3xy x  y 3 xy P    xy  x  y  xy  x  y  xy x  y. Áp dụng bất đẳng thức Co  si cho hai số dương x, y ta được x y x  y 2 xy  xy  . 2 Dấu " " xảy ra khi x  y . Khi đó xy 2 xy 3 1 P  3. 2 2   . xy 2 2 xy Dấu " " xảy ra khi x  y 3. 1   y  (ktm) 3 .

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 Min P   x  y 2 Vậy b) Xét số tự nhiên A 2.3.4.5....2019.2020 . Khi đó A chia hết cho các số 2;3;4;5;....;2019;2020 Xét dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp : A  2, A  3, A  4,...., A  2019, A  2020 Do A2  A  22  A  2  2 nên A  2 là hợp số Do A3  A  33 mà A  3  3  A  3 là hợp số Tương tự A  4; A  5;....; A  2019; A  2020 là hợp số Vậy dãy 2019 số tự nhiên liên tiếp A  2, A  3, A  4,..., A  2019, A  2020 , trong đó không có số nguyên tố nào . Bài 4.. a) Khi AOC đều thì. 1 AC OA OC R  AB  BC  AB 2  AC 2  4R 2  R 2 R 3 2 AC R 1  sin B     B 300  C 600 AB 2 R 2 b) Kẻ OI  CD  I là trung điểm của CD và OI / / AH / / BK . Lại có O là trung điểm của AB  I là trung điểm của HK  IH IK ; CI ID  CH DK c) Kẻ EF đi qua I và song song với AB  E  AH , F  BK   EHI FKI (ch  gn)  S AHKB S AEFB IM . AB. 4.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> 1 S ACB  S ADB  AB  CN  DP   AB.IM 2 Lại có:  S AKHB S ACB  S ADB Bài 5.. Gọi tổng của 150 số ban đầu là. S 1  2  3  ....  150 .  1  150  .150 11325 S 2. 1. ab. Giả sử xóa đi hai số bất kỳ a, b và thay bằng a  b hoặc a  b thì ta có tổng mới là : S1  a  b hoặc S1  a  b . Ta có:.  S1  a  b    S  a  b  2S  2a  2b và  S1  a  b    S  a  b    S  a  b  2S  2a đều chắn nên tổng lúc đầu và tổng lúc sau luôn cùng tính chẵn lẻ mà tổng ban đầu là số lẻ nên tổng lúc sau không thể bằng 100.. 5.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>