Phân tích dao động cầu giàn thép chịu tải trọng xe 3 trục mô hình 2 khối lượng

Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 49-56, DOI 10.15625/vap.2019000255

Phân tích dao động cầu giàn thép chịu tải trọng xe 3 trục
mơ hình 2 khối lượng
Nguyễn Xuân Toản 1) , Nguyễn Thị Kim Loan 2) , Nguyễn Duy Thảo 3)
1,2,3)

Email:

1)

Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng

, 2) , 3)

Tóm tắt
Ngày nay việc ứng dụng thép cường độ cao giúp giảm khối
lượng và chi phí xây dựng cầu giàn thép. Kết cấu cầu giàn thép
rất thanh mảnh, gọn nhẹ và có khả năng vượt nhịp lớn, nhưng
nó rất nhạy cảm với các tác động của tải trọng động, tải trọng có
chu kỳ. Dưới tác dụng của tải trọng xe di động nó bị rung động
rất mạnh và cần được xem xét. Trong bài báo này, các tác giả
giới thiệu một số kết quả phân tích dao động của kết cấu cầu
giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe di động bằng phương
pháp số. Kết quả nghiên cứu bước đầu cho trường hợp có xét và
khơng xét đến hệ số ma sát trong, ma sát ngoài khá phù hợp với
các dạng dao động của các bài toán cơ bản và bài toán dao động
của dầm chịu tải trọng di động. Biên độ dao động của chuyển vị
và nội lực trong trường hợp có xét đến hệ số ma sát giảm đáng
kể so với trường hợp khơng xét.

Từ khóa: Dao động, cầu giàn thép, tải trọng di động, mơ hình
tương tác xe-cầu, phương pháp số.

1. Giới thiệu chung
Sau sự cố sập cầu đường sắt ở Chester nước Anh vào
năm 1847 đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà khoa học
trên thế giới tham gia nghiên cứu về lĩnh vực dao động
cơng trình cầu dưới tác dụng của tải trọng di động. Cơng
trình nghiên cứu sớm nhất đã được công bố bởi R. Willis
(1849) [1]. Cho tới nay có rất nhiều cơng trình nghiên
cứu của các tác giả trên thế giới đã được cơng bố với mơ
hình tương tác động lực giữa cơng trình cầu và tải trọng
xe di động ngày càng gần với thực tế hơn [2], [3], [4].
Các nghiên cứu về kết cấu cầu dầm, cầu giàn và cầu
dây văng đã được nhiều tác giả trong nước công bố trong
thời gian gần đây [5] ÷ [13]. Tuy nhiên các nghiên cứu về
cầu giàn thép vẫn còn hạn chế. Cầu giàn thép có nhiều ưu
điểm song nó cũng tồn tại nhiều vấn đề cần được tiếp tục
nghiên cứu và làm rõ. Cấu tạo cầu giàn thép rất phức tạp,
đặc biệt khi xem xét theo mơ hình khơng gian. Hệ thống
giàn chủ, hệ thống liên kết, hệ thống dầm mặt cầu, bản
mặt cầu,… được liên kết tạo thành kết cấu cầu giàn thép
hoàn chỉnh là rất phức tạp. Bài tốn khơng gian q phức
tạp, nên các nghiên cứu về dao động của cầu giàn thép
cịn nhiều hạn chế. Để giảm bớt tính phức tạp, trong bài
toán này các tác giả tiến hành nghiên cứu dao động của
cầu giàn thép trên mơ hình kết cấu phẳng. Sự phân bố tải
trọng theo phương ngang cầu được phân tích theo quy
luật địn bẩy đối với kết cấu cầu có hai giàn chủ. Sự
tương tác của tải trọng lên mặt cầu và hệ dầm mặt cầu

trong từng phân đoạn được đưa về mơ hình dầm tương

đương. Các phân đoạn này có sự liên kết và truyền tải
trọng về các nút thuộc biên có đường xe chạy.
Trong nghiên cứu bước đầu, các tác giả xây dựng mơ
hình tương tác giữa kết cấu cầu giàn thép với tải trọng xe
ASIA ba trục. Kết cấu cầu giàn thép có 10 khoang, mỗi
khoang 7m, tổng chiều dài nhịp 70m. Mơ hình tải trọng
có cấu trúc cho mỗi trục xe là 2 khối lượng.

2. Mơ hình tính tốn
Xét mơ hình tương tác động lực giữa cầu giàn thép
và tải trọng xe di động được mơ tả như hình 01:

Hình 1. Mơ hình tương tác giữa cầu giàn thép
và tải trọng xe di động

Các thanh đứng, thanh xiên và thanh biên của giàn
được xem xét như là các phần tử thanh cơ bản chịu kéo
nén và uốn đồng thời. Các phần tử dầm thuộc mặt đường
xe chạy được xem xét như là các phần tử tương tác trực
tiếp với tải trọng xe di động. Mơ hình tương tác động lực
giữa xe 3 trục và phần tử dầm như hình 02:

Hình 2. Mơ hình tương tác động lực giữa xe 3 trục
và phần tử dầm.

trong đó:
Pi  Gi .sin  i - lực kích thích điều hồ đối với trục
xe thứ i.

m1i - khối lượng của thân xe, kể cả hàng hoá truyền
xuống trục xe thứ i.
m2i - khối lượng của trục xe thứ i.
k1i, d1i - độ cứng và độ giảm chấn của nhíp xe thứ i.
k2i, d2i - độ cứng và độ giảm chấn của lốp xe thứ i.
L- chiều dài của phần tử dầm.
ai- toạ độ của trục xe thứ i tại thời điểm đang xét với
tốc độ di chuyển đều:


Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan, Nguyễn Duy Thảo

ai  vi . t  ti  với t  ti

(1)

vi - vận tốc của tải trọng thứ i.
ti -thời điểm tải trọng thứ i bắt đầu vào phần tử dầm.
t - thời điểm đang xét.

3.1. Phương trình dao động của tải trọng di động
Cấu trúc của tải trọng di động thứ i được tách ra như
hình 3:
Gi .sin i

m1i

m2i .g

m2i

d2i

k2i .y2i + d2i .y2i
x

wi

O

Hình 3. Cấu trúc của tải trọng di động thứ i

Quy ước chiều dương của tải trọng và w, y, z hướng
lên trên.
y1i và y2i: Chuyển vị tương đối giữa khối lượng m1i
so với m2i và khối lượng m2i so với phần tử dầm tại thời
điểm đang xét theo phương thẳng đứng.
wi  w  x,t 

x  ai

là độ võng của phần tử dầm tại vị trí

của tải trọng thứ i ở thời điểm đang xét.
Gọi z1i và z2i là toạ độ tuyệt đối của khối lượng m1i
và m2i theo phương thẳng đứng:
z1i  y1i  y2i  w

(2)

z2i  y2i  w

Áp dụng nguyên lý d’Alembert viết phương trình cân
bằng cho khối lượng m1i và m2i:



..
.
.
m2i .z2i  k2i. .y2i  d 2i . y2i  k1i .y1 y  d1i . y1i  m2i .g  0 
..

.

m1i .z1i  k1i. .y1i  d1i . y1i  m1i .g  Gi .sin  i  0

(3)

Kết hợp (2) và (3) và biến đổi ta được phương trình
dao động của tải trọng thứ i:



m2i .z2i  (d1i.  d2i ).z2i  (k1i  k2i ).z2i  d1i .z1i  k1i .z1i  m2i .g  d2i .wi  k2i .wi 
..

.

.

m1i .z1i  d1i..z1i  k1i .z1i  d1i .z2i  k1i .z2i  G.sin
i  m1i .g
i
..

.

.

.

(4)

.

Trên hình 3: Fi  k2i . y2i  d 2i . y 2i kết hợp với (3) ta được:
..

..

Fi  Gi .sin  i   m1i  m2 i  .g  m1i . z1i  m2i . z 2i

(5)

Viết lại dưới dạng phân bố và thêm hàm tín hiệu điều
khiển lơgic:
1 khi ti  t  ti  Ti
0 khi t  ti va t  ti  Ti

 i (t )  

Ta được:

 4 w
5 w 
2 w
w
EJ d . 4  . 4   Fd . 2  .
 p( x,z,t ) (7)
x
x
.
t
t




t



EFd .

k1i .y1i + d1i .y1i

k2i

Theo [14] phương trình dao động uốn của phần tử

dầm với tiết diện khơng đổi chịu tải trọng phân bố p(x,z,t)
có xét đến ảnh hưởng của ma sát trong và ma sát ngoài
như sau:

Phương trình vi phân dao động dọc của phần tử có
xét đến hệ số ma sát:

m1i .g
d1i

k1i

(6)
Trong đó d ( x - ai ) là hàm Delta-Dirac.
3.2. Phương trình dao động của phần tử dầm

3. Phương trình vi phân dao động

w
(z)
(y)

..
..


pi ( x, z, t )  i (t ). Gi .sin  i   m1i  m2i  .g  m1i . z1i  m2i . z 2i  . ( x  ai )



; Ti 

L
vi

 2u
 2u
u


F
.
 .  q( x )
d
2
2
x
t
t

(8)

Trong đó:
EJd - độ cứng chống uốn của phần tử dầm.
EFd - độ cứng dọc trục của phần tử dầm.
Fd – khối lượng phân bố của phần tử dầm trên 1 đơn
vị chiều dài.
 và  - hệ số ma sát trong và hệ số ma sát ngoài của
phần tử dầm.
u, w - chuyển vị của phần tử dầm tại tiết diện đang

xét theo phương Ox và Oy;
q(x) - lực phân bố trên phần tử dầm theo phương Ox.
Kết hợp (3), (5), (6), (7) và (8) ta có hệ phương trình
vi phân dao động uốn và dao động dọc của phần tử dầm
chịu tải trọng di động như sau:
üï
ïï
ïï
ïï
ïï
¶2u
¶2u
¶u
ïï
EFd . 2 + rFd . 2 + b. = q(x)
ïï
¶x
¶t
¶t
ïï
N
ý
ïï
p(x, z, t) = åxi (t).[Gi sin Yi - (m1i + m2i ).g - m1i .z1i - m2i .z2i ].d(x - ai )
ïï
i=1
ïï
m1i .z1i + d1i .z1i + k1i .z1i - d1i .z2i - k1i .z2i = Gi .sin Yi - m1i .g
ïï
ï

m2i .z2i + (d1i + d2i ).z2i + (k1i + k2i ).z2i - d1i .z1i - k1i .z1i =-m2i .g + d2i w i + k2i wi ùù
ùù
ùùỵ
(i =1á N)
ổ ả4w
ả5w ử
ả2w
ảw
= p( x, z, t)
EJd .ỗỗỗ 4 + q. 4 ữữữ + rFd . 2 + b.
ảx .ảt ứữ
ảt
ảt
ốỗ ảx

(9)
p dng phng phỏp Garlerkin kết hợp với lý
thuyết Green, biến đổi hệ phương trình (9) về dạng ma
trận như sau:

M e .q + Ce .q + K e .q = f e

(10)
Me, Ce, Ke - lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận
cản, ma trận độ cứng hỗn hợp:
0 
0 
Mww Mwz1 Mwz2 
Cww 0
 Kww 0

Me   0 Mz1z1 0 ; Ce  0 Cz1z1 Cz1z2 ; Ke  0 Kz1z1 Kz1z2 ;
 0
Cz2w Cz2z1 Cz2z2 
Kz2w Kz2z1 Kz2z2 
0 Mz2z2 

(11)

q, q , q, f e lần lượt là véctơ gia tốc, vận tốc, chuyển vị, lực
hỗn hợp:
ïìïW ïüï
ïï ïï
{q} = ùớù Z1 ùýù;
ùùùZ2 ùùù
ợù ỵù

ùỡùW ùỹù
ùù ùù
{q } = ùớù Z1 ùýù;
ùùùZ 2 ùùù
ợù ỵù

ùỡùW ùỹù
ù ù

ùỡù Fw ùỹù
ù ù

ù ù
ợùùZ 2 ỵùù

ù ù
ợùù Fz 2 ỵùù

{q} = ùớù Z1 ïýï; { f e } = ïíï Fz1 ïýï

(12)

Mww, Cww, Kww - lần lượt là ma trận khối lượng, ma
trận cản, ma trận độ cứng của phần tử dầm cơ bản vừa
chịu lực dọc trục vừa chịu uốn, có thể tìm thấy trong tài


Phân tích dao động cầu giàn thép chịu tải trọng xe 3 trục mơ hình 2 khối lượng
liệu [14] ÷ [17]. Các ma trận và các véctơ cịn lại có thể
tìm thấy trong tài liệu [6].
3.3. Phương trình vi phân dao động của toàn hệ thống
Để ứng dụng vào phân tích dao động theo mơ hình
tương tác giữa cầu giàn thép với tải trọng di động như
hình 1, sau khi rời rạc hóa kết cấu thành các phần tử
thanh cơ bản và phần tử dầm tương tác với tải trọng xe di
động, ta sử dụng thuật toán của phương pháp phần tử hữu
hạn và xây dựng hệ phương trình vi phân dao động cho
tồn hệ, phương trình tổng qt viết dưới dạng ma trận
như sau (13):
  CU
  KU  F
MU
(13)
Trong đó: M, C, K lần lượt là ma trận khối lượng,

ma trận cản, ma trận độ cứng của tồn hệ thống theo mơ
hình tương tác động lực học giữa cầu giàn thép và tải
trọng di động.
 ,U
 ,U ,F : lần lượt là véctơ gia tốc, vận tốc, chuyển
U
vị, lực tương đương mở rộng cho toàn hệ thống theo mơ
hình tương tác động lực học giữa cầu giàn thép và tải
trọng di động.

Xe di động loại ASIA ba trục, có các tham số cơ bản
như sau: m=15T, m11=2.94T, m12=m13=5.89T,
m21=0.06T,
m22=m23=0.11T,
Pi=0,
x1=5.65m,
x2=4.35m, x3=0m, k11=120T/m, k12=k13=260T/m,
k21=160T/m,
k22=k23=320T/m,
d11=0.7344Ts/m,
d12=d13=0.3672Ts/m, d21=0.4Ts/m, d22=d23= 0.8Ts/m.
4.2. Kết quả phân tích dao động của cầu giàn thép
Các kết quả phân tích dao động của cầu giàn thép
dưới tác dụng của tải trọng xe ASIA theo mơ hình tương
tác động lực giữa cầu giàn thép và các tải trọng trục xe
di động, mơ hình 2 khối lượng có xét và khơng xét đến
ảnh hưởng của hệ số ma sát trong và ma sát ngồi khi xe
chạy với vận tốc 5÷10m/s được thể hiện trên các hình
4÷39.
Về chuyển vị được khảo sát tại mỗi nút gồm 3

thành phần là chuyển vị ngang (Ux), chuyển vị thẳng
đứng (Uy) và chuyển vị xoay (Uz). Dưới đây là kết quả

4. Ứng dụng phân tích dao động của cầu giàn
thép

khảo sát về dao động của chuyển vị tại một số nút thuộc

4.1. Các số liệu cơ bản của cầu giàn thép và tải trọng

biên trên và biên dưới của giàn.

Kết cấu cầu giàn thép được mô hình hóa như hình 3,
gồm 10 khoang, mỗi khoang 7m, cao 9.5m, chiều dài kết
nhịp 70m, vật liệu thép có E=2*107 T/m2, hệ dầm mặt cầu
có Jdmc=0.000542 m4, khối lượng của hệ dầm, bản, lớp phủ
và bộ hành là 6.31 T/m2 , hệ số ma sát =0.01, =0.01. Kết
cấu giàn đối xứng, các thanh giàn tiết diện chữ H có các
tham số cơ bản như bảng 1.

Kết quả khảo sát về dao động của chuyển vị tại nút
số 5 thuộc biên dưới của giàn khi xét và không xét đến
hệ số ma sát trong và ma sát ngồi như hình 4÷9:

Bảng 1 : Các tham số cơ bản của các thanh giàn

Hình 4. Biểu đồ dao động của chuyển vị Ux tại nút 5 khi xét đến
ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 5. Biểu đồ dao động của chuyển vị Ux tại nút 5 khi không

kể đến ma sát


Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan, Nguyễn Duy Thảo

Hình 6. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uy tại nút 5 khi xét đến
ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 7. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uy tại nút 5 khi khơng
kể đến ma sát

Hình 10. Biểu đồ dao động của chuyển vị Ux tại nút 17 khi xét
đến ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 11. Biểu đồ dao động của chuyển vị Ux tại nút 17 khi
khơng kể đến ma sát

Hình 12. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uy tại nút 17 khi xét
đến ma sát trong và ma sát ngồi
Hình 8. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uz tại nút 5 khi xét đến
ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 13. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uy tại nút 17 khi
khơng kể đến ma sát

Hình 9. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uz tại nút 5 khi không
kể đến ma sát

Kết quả khảo sát về dao động của chuyển vị tại nút
số 17 thuộc biên trên của giàn khi xét và không xét đến

hệ số ma sát trong và ma sát ngồi như hình 10÷15:
Hình 14. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uz tại nút 17 khi xét
đến ma sát trong và ma sát ngoài


Phân tích dao động cầu giàn thép chịu tải trọng xe 3 trục mơ hình 2 khối lượng

Hình 15. Biểu đồ dao động của chuyển vị Uz tại nút 17 khi
khơng kể đến ma sát.

Hình 18. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 4-5 khi xét đến ma
sát trong và ma sát ngoài

Tương tự, về nội lực trong các phần tử được khảo
sát tại đầu và cuối của mỗi thanh, gồm 3 thành phần là
lực cắt, lực dọc và mơmen. Các kết quả phân tích tĩnh
và dao động của lực cắt, lực dọc và mômen của các
phần tử thanh giàn biên dưới, thanh giàn biên trên,
thanh đứng và thanh xiên được thể hiện như các hình
dưới đây.
Kết quả khảo sát về dao động của lực cắt, lực dọc

Hình 19. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 4-5 khi không kể
đến ma sát

và mômen trong phần tử thanh 4-5 thuộc biên dưới của
giàn khi xét và không xét đến hệ số ma sát trong và ma
sát ngồi như hình 16÷21:

Hình 20. Biểu đồ dao động của mơmen thanh 4-5 khi xét đến

ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 16. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 4-5 khi xét đến
ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 21. Biểu đồ dao động của mômen thanh 4-5 khi không kể
đến ma sát

Kết quả khảo sát về dao động của lực cắt, lực dọc và
mômen trong phần tử thanh 19-20 thuộc biên trên của
giàn khi xét và không xét đến hệ số ma sát trong và ma
sát ngồi như hình 22÷27:
Hình 17. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 4-5 khi không kể
đến ma sát


Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan, Nguyễn Duy Thảo

Hình 22. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 19-20 khi xét đến
ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 27. Biểu đồ dao động của mômen thanh 19-20 khi không
kể đến ma sát

Kết quả khảo sát về dao động của lực cắt, lực dọc và
mômen trong phần tử thanh treo đứng của giàn 4-14 khi
xét và không xét đến hệ số ma sát trong và ma sát ngồi
như hình 28÷33:

Hình 23. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 19-20 khi khơng

kể đến ma sát

Hình 28. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 4-14 khi xét đến
ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 24. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 19-20 khi xét đến
ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 29. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 4-14 khi khơng kể
đến ma sát

Hình 25. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 19-20 khi không
kể đến ma sát

Hình 30. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 4-14 khi xét đến
ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 26. Biểu đồ dao động của mơmen thanh 19-20 khi xét đến
ma sát trong và ma sát ngoài


Phân tích dao động cầu giàn thép chịu tải trọng xe 3 trục mơ hình 2 khối lượng

Hình 31. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 4-14 khi không kể
đến ma sát

Hình 32. Biểu đồ dao động của mơmen thanh 4-14 khi xét đến
ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 33. Biểu đồ dao động của mơmen thanh 4-14 khi khơng kể

đến ma sát

Hình 35. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 7-18 khi khơng kể
đến ma sát

Hình 36. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 7-18 khi xét đến
ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 37. Biểu đồ dao động của lực cắt thanh 7-18 khi không kể
đến ma sát

Kết quả khảo sát về dao động của lực cắt, lực dọc và
mômen trong phần tử thanh xiên của giàn 7-18 khi xét và
không xét đến hệ số ma sát trong và ma sát ngồi như
hình 34÷39:

Hình 38. Biểu đồ dao động của mômen thanh 7-18 khi xét đến
ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 34. Biểu đồ dao động của lực dọc thanh 7-18 khi xét đến
ma sát trong và ma sát ngồi

Hình 39. Biểu đồ dao động của mômen thanh 7-18 không kể
đến ma sát.


Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Thị Kim Loan, Nguyễn Duy Thảo
Kết quả phân tích dao động cho thấy chuyển vị và
nội lực động phân bố điều hòa xung quanh kết quả phân
tích tĩnh. Khi xét đến lực cản, sau một khoảng thời gian,

dao động của hệ tắt dần, kết quả phân tích chuyển vị và
nội lực động hội tụ về kết quả phân tích tĩnh, điều này
phù hợp với lý thuyết tính tốn dao động của kết cấu có
xét đến lực cản.
Trường hợp có xét và khơng xét đến hệ số ma sát
trong, ma sát ngoài, kết quả khá phù hợp với các dạng
dao động của các bài toán cơ bản và bài toán dao động
của dầm chịu tải trọng di động.
Biên độ dao động của chuyển vị và nội lực trong
trường hợp có xét đến hệ số ma sát giảm đáng kể so với
trường hợp không xét đến hệ số ma sát.

5. Kết luận

[7] Nguyễn Xuân Toản, Trần Đức Long, Trần Văn Đức (2011).

Ảnh hưởng của tốc độ và khối lượng xe di động đến dao
động của cầu dầm liên tục nhiều nhịp. Tạp chí Giao thơng
Vận tải, Số 8/2011.
[8] Nguyễn Xuân Toản, “Phân tích hệ số động lực của chuyển

vị và lực cắt trong cầu dầm liên tục do tải trọng di động gây
ra bằng phương pháp số”, TTCT Hội nghị Khoa học toàn
quốc lần thứ 2 về Cơ kỹ thuật và Tự động hóa, NXB BKHN,
10/2016, trang 196-202.
[9] Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Duy Thảo, Kuriyama
Yukihisa, “Phân tích hệ số động lực của chuyển vị, mô men

uốn và lực cắt trong cầu dầm SuperT có bản mặt cầu liên
tục nhiệt do tải trọng di động gây ra bằng phương pháp số”,

Tạp chí Giao thơng Vận tải, số 03/2017, trang 42-45,

Bài báo giới thiệu một số kết quả phân tích dao động
của kết cấu cầu giàn thép dưới tác dụng của tải trọng xe
ASIA di động với mơ hình tải trọng trục hai khối lượng.
Kết quả nghiên cứu cho thấy chuyển vị và nội lực động
phân bố điều hòa xung quanh kết quả phân tích tĩnh. Khi
xét đến lực cản, dao động của hệ tắt dần và hội tụ về kết
quả phân tích tĩnh. Biên độ dao động của chuyển vị và
nội lực trong trường hợp có xét đến hệ số ma sát giảm
đáng kể so với trường hợp không xét đến hệ số ma sát.
Kết quả nghiên cứu bước đầu có thể tham khảo và định
hướng cho việc nghiên cứu và tính tốn thiết kế cầu giàn
thép theo mơ hình tương tác.

ISSN: 2354-0818.
[10] Nguyễn Xuân Toản, Nguyễn Duy Thảo, Nguyễn Văn Hoan,

“Xác định hệ số động lực của cầu dầm Super T có bản liên
tục nhiệt do tải trọng di động gây ra bằng phương pháp đo
đạc thực nghiệm”, Tạp chí Giao thơng Vận tải,

số

08/2017, trang 71-74, ISSN: 2354-0818.
[11] Toan X. N., Duc V. T., "A finite element model of vehicle cable stayed bridge interaction considering braking and
acceleration", The 2014 World Congress on Advances in
Civil, Environmental, and Materials Research. Busan,
Korea, p.109, (20p.)
[12] Xuan-Toan Nguyen, Van-Duc Tran, “Determination of

Tài liệu tham khảo

dynamic impact factor for continuous girder bridge due to

[1] Willis R., The effect produced by causing weights to travel

over elastic bars. Report of the commissioners appointed to
inquire into the application of iron to railway structures,
Appendix B, Stationery office, London, England 1849.
[2] Dietz

Stefan,

Interaction

of

Hippmann

Vehicles

Gerhard,

and

Schupp

Flexible

Gunter,

Tracks

by

Co-Simulation of Multibody Vehicle Systems and Finite
Element Track Models. Vehicle System Dynamics,
Supplement, Vol. 37, p372, 13p, 2002.
[3] Yang

Yeong-Bin,

Yau

Jong-Dar,

Vehicle-bridge

interaction element for dynamic analysis. Journal of
Structural Engineering, Vol. 123 Issue 11, p1512, 7p, 1997.
[4] Zeng Huan, Bert Charles W., Dynamic Amplification of

Bridge/ Vehicle Interaction: A Parametric Study for a
Skewed Bridge. International Journal of Structural Stability
& Dynamics, Vol. 3 Issue 1, p71, 20p, 2003.
[5] Đỗ Anh Cường, Tạ Hữu Vinh, "Tương tác giữa kết cấu hệ

thanh và tải trọng xe di động". TTCT. Hội nghị Khoa học
Toàn quốc về Cơ học vật rắn biến dạng lần thứ 7, NXB. Đại

học Quốc gia Hà Nội, tr. 92-101, 2004.
[6] Nguyễn Xuân Toản, Phân tích dao động của cầu dây văng

dưới tác dụng của tải trọng di động. Luận án TS. Kỹ thuật,
Hà Nội, 2007.

vehicle braking force with finite element method analysis
and experimental investigation”, Vietnam Journal of
Mechanics, VAST, Vol. 39, No. 2 (2017), pp. 149 – 164.
ISSN 0866-7136.
[13] Xuan-Toan Nguyen, Van-Duc Tran, and Nhat-Duc Hoang,
“A Study on the Dynamic Interaction between Three-Axle
Vehicle and Continuous Girder Bridge with Consideration
of Braking Effects”. Journal of Construction Engineering,
Volume 2017, Article ID 9293239, 12 pages. ISSN:
2314-5986.
[14] Ray W. Clough and Joseph Penzien, Dynamics of

structures. McGraw-Hill, Inc. Singapore, 1993.
[15] Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., The Finite Element Method.
McGraw-Hill, Inc, Vol 1&2, New York, 1989.
[16] Reddy J.N., An Introduction to the Finite Element Method.
McGraw-Hill, Inc. Singapore, 1991.
[17] Smith I. M., Griffith D. V., Programming the finite element

method. Jonh Wiley & Sons, Singapore, 1988.