Thiết kế tối ưu gối con lắc một mặt trượt ma sát SFP chống động đất cho nhà cao tầng khi có xét ảnh hưởng thành phần kích động đứng

Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 76-81, DOI 10.15625/vap.2019000259

Thiết kế tối ưu gối con lắc một mặt trượt ma sát SFP chống
động đất cho nhà cao tầng khi có xét ảnh hưởng thành phần
kích động đứng
Hồng Phương Hoa1, Ngơ Thanh Nhàn2 và Nguyễn Văn Nam3
1. Bộ môn Cầu - Hầm, Khoa Xây dựng Cầu đường, Trường Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng
2. Sở Kế hoạch và Đầu tư tỉnh Trà Vinh
3. Khoa Kỹ thuật Xây dựng, Trường Đại học Công nghiệp, TP. Hồ Chí Minh
E-mail: ;

Tóm tắt
Từ các nghiên cứu của Zayas, V.A, năm 1987 [11]. Gối con
lắc một mặt trượt ma sát SFP (Single Friction Pendulum-SFP)
đã được áp dụng nhằm cách ly kết cấu với chuyển động của đất
nền gây ra bởi các trận động đất. Tuy nhiên, trong những tính
tốn trước đây người ta thường bỏ qua ảnh hưởng của lực kích
động đứng ngay cả đối với các trận động đất mạnh. Thực tế thí
nghiệm của nhóm nghiên cứu do Dao N. D., và các đồng nghiệp
[7] cho thấy thành phần kích động đứng ảnh hưởng đáng kể lên
kết cấu cơng trình mà chúng ta khơng thể bỏ qua. Bài báo sẽ
giới thiệu phương trình vi phân chuyển động kết cấu nhà cao
tầng khi có xét ảnh hưởng của thành phần kích động đứng, đồng
thời nhóm tác giả cũng xây dựng mơ hình và chương trình tính
bằng ngơn ngữ lập trình Matlab để thiết kế tối ưu kích thước gối
SFP gồm: R bán kính mặt lõm và d khoảng cách dịch chuyển
của con lắc.

các tác giả thường bỏ qua ảnh hưởng của thành phần kích
động đứng, vì coi thành phần này không ảnh hưởng nhiều

đến nội lực kết cấu và việc tính tốn khi có xét tới thành
phần kích động đứng sẽ q phức tạp.

Từ khóa: gối ma sát SFP, cách chấn đáy, ảnh hưởng thành
phần đứng của động đất, kết cấu chịu động đất, nhà cao
tầng.

Thực tế nghiên cứu sự phá hủy của các cơng trình sau
động đất, người ta thấy một số cơng trình cùng loại, mức
độ phá hủy có khác nhau tùy theo vị trí cơng trình. Và
người ta liên tưởng đến một trong số các ảnh hưởng chưa
được xét đến đó là ảnh hưởng của thành phần kích động
đứng. Nghiên cứu ảnh hưởng đến cơng trình xây dựng
của thành phần kích động đứng có các tác giả Hoàng
Phương Hoa và đồng nghiệp [3, 4, 5, 6]. Để chứng minh
sự ảnh hưởng đáng kể của thành phần kích động đứng
nhóm nghiên cứu của tác giả Dao N.D., [7] đã thực hiện
thí nghiệm trên mơ hình tỷ lệ 1:1. Nhóm nghiên cứu đã
thực hiện tại Nhật Bản mơ hình ngơi nhà 5 tầng kích
thước mặt bằng 10x12m với 9 gối con lắc trượt ma sát
chống động đất. Hình 2.

1. Mở đầu
Động đất, đặc biệt là những trận động đất mạnh
thường gây thảm họa cho con người và những cơng trình
xây dựng nằm gần tâm chấn, xem Hình 1. Vào năm 1934
tại Chile và Nepal cùng xảy ra những trận động đất mạnh
số người thiệt mạng trong những trận động đất của hai
quốc gia này gần tương đương nhau. Tuy nhiên, đến năm
2015 cũng xảy ra những trận động đất mạnh tại các quốc

gia này, nhưng số người thiệt mạng tại Chile chỉ có 5
trong khi đó tại Nepal là trên 8000 người và 90% cơng
trình xây dựng tại đất nước này bị phá hủy. Lý do là từ
sau trận động đất năm 1934. Chính quyền Chile đã trú
trọng đưa vào tiêu chuẩn thiết kế chống động đất cho các
cơng trình tại quốc gia này. Trong khi đó Chính quyền
của Nepal đã khơng quan tâm đúng mức đến vấn đề thiết
kế cơng trình chống động đất cho quốc gia của mình.
Thiết kế cơng trình chống động đất đã được đa số các
quốc gia trên Thế giới quan tâm, đặc biệt các quốc gia
nằm trong vùng có thể thường xuyên xảy động đất mạnh
như: Nhật Bản, Mỹ, Iran, Chile, Malaysia, Indonesia...[1,
2, 4, 7, 8, 9]. Tuy nhiên, trong các nghiên cứu của mình

Hình 1. Cơng trình bị phá hủy tại Sulawesi, Indonesia sau trận
động đất kép diễn ra ngày 28/9/2018.

Hình 2. Mơ hình thí nghiệm ảnh hưởng của lực kích động đứng
đến cơng trình [7].


Hồng Phương Hoa, Ngơ Thanh Nhàn và Nguyễn Văn Nam
Gối con lắc một mặt trượt ma sát SFP (Single
Friction Pendulum – SFP) đã được Zayas, V.A, năm 1987
[11] nghiên cứu áp dụng. Cấu tạo gối SFP được giới thiệu
trong Hình 3. Gối bao gồm: một con lắc trượt trong một
mặt cong bán kính R và có hệ số ma sát . Khả năng dịch
chuyển ngang của con lắc là d. Bán kính cong tạo ra lực
phục hồi đưa con lắc về trọng tâm của mặt cong, giữ ổn
định cho gối khi làm việc, hệ số ma sát làm tiêu tán một

phần năng lượng do động đất. Với cấu tạo như vậy, độ
cứng dịch chuyển ngang của gối nhỏ hơn rất nhiều so với
độ cứng của kết cấu. Kết cấu sẽ “mềm” đi khi được lắp
đặt thiết bị này. Nghĩa là chu kỳ cơ bản của kết cấu lúc
này sẽ tăng lên, tránh được vùng chu kỳ trội của các trận
động đất, từ đó sẽ làm giảm tác động của động đất vào
kết cấu. Hay nói cách khác, kết cấu được cách ly dao
động và hiệu quả giảm chấn cũng phụ thuộc nhiều vào
các tham số kích thước gối như: bán kính mặt lõm R,
khoảng cách dịch chuyển ngang d và hệ số ma sát  .

R, 

d

Trong các nghiên cứu trước đó của nhóm tác giả về
gối con lắc một mặt trượt ma sát SFP. Nội dung nghiên
cứu chỉ tập trung vào hiệu quả giảm chấn khi kết cấu có
và khơng dùng kết cấu gối. Trong bài báo này, nhóm tác
giả sẽ đi sâu nghiên cứu chọn ra tham số kích thước tốt
nhất của: bán kính mặt lõm R và khả năng dịch chuyển d
của kết cấu gối SFP đáp ứng với trận động đất mạnh như
trận tại Tabas, Iran năm 1978 [14], khi có xét đến cả ảnh
hưởng của lực kích động đứng đến kết cấu cơng trình.

2. Mơ hình tính tốn và phương trình chuyển
động gối SFP
2.1. Mơ hình tính tốn
Mơ hình tính tốn nhà cao tầng gắn gối SFP được thể
hiện trong Hình 4. Với giả thiết bản sàn tuyệt đối cứng,

sàn chỉ chịu thành phần chuyển vị ngang. Ta xem mỗi
tầng của nhà là 1 bậc tự do có các đặc trưng động học:
khối lượng mi, độ cứng ki và độ cản ci.

k2

SFP

k1

c2
c1

mn
m2
m1

kb
e

mb

de

ub

k1

m b c1

u1

u2

k2

m1 c 2

e   max  (  max   min )e  a u
(4)
Với: A=1; Y=0.25mm; =0.9; =0.1; =2, a=0.02s/mm,
max và min là hệ số ma sát tại vận tốc lớn nhất và nhỏ
nhất [9,10].
Fr  kr ( ub  d ) sign(u ) H ( ub  d )
(5)
b

2.2. Phương trình chuyển động
Kết cấu gắn gối SFP chịu gia tốc nền ag được thiết

Hình 3. Cấu tạo gối SFP

cn

trong đó: Biến trễ Z mơ tả hệ số ma sát thay đổi khi vận
tốc trượt chậm dần về 0 và đổi chiều trượt trong con lắc
được xác định từ phương trình (3) và hệ số ma sát e thay
đổi theo vận tốc trượt như phương trình (4) [9, 10, 12].
 1


(3)
YZ   u Z Z
  u Z  Au  0

trong đó: kr là độ cứng lúc va chạm được gán giá trị rất
lớn, H là giá trị hàm Heaviside.



kn

lượng phần nền móng bên trên gối), độ cứng kb xác định
theo phương trình (1), hệ ma sát (e) sinh ra lực ma
sát Ff xác định theo phương trình (2) và lực va chạm Fr
xác định theo phương trình số (5) (khi de = d).
W
kb 
(1)
R
trong đó: W là tổng trọng lượng bên trên gối.
(2)
Ff  eWZ

m2

kn
cn

un
mn

ag

Hình 4. Mơ hình tính tốn gối SFP

Gối SFP được mơ hình như một phần tử lị xo [2] có
4 đặc trưng động học: khối lượng mb (bao gồm khối

lập như sau. Với nhà có n tầng thì mơ hình tính tốn sẽ
gồm (n+1) bậc tự do tương ứng với (n+1) khối lượng,
xem gối là một khối lượng (mb). Viết phương trình cân
bằng lực cho từng khối lượng ta thu được hệ phương
trình vi phân chuyển động của hệ (gồm n+1 phương
trình) như trong phương trình(6).
mb ub  kb ub  F f  Fr  k1 (ub  u1 )  c1 (ub  u1 )   mb ag

m1u1  k1 (u1  ub )  c1 (u1  ub )  ...

(6)
...  k2 (u1  u2 )  c2 (u1  u2 )   m1ag

...
mn un  kn (un  un 1 )  cn (un  un 1 )   mn ag


Hệ phương trình vi phân chuyển động (6) sẽ được
giải bằng phương pháp số Runge-Kutta bậc 4 (sử dụng
hàm ode15s trong Matlab) để xác định các đặc trưng
chuyển động tại từng bước thời gian. Từ đó xác định
được phản ứng của kết cấu dưới chuyển động của đất

nền.
2.3. Ảnh hưởng của lực kích động đứng
Trong quá trình chuyển động, nếu bỏ qua thành phần
gia tốc theo phương đứng thì tổng trọng lượng W là
khơng đổi. Khi xét thêm thành phần kích động đứng, tổng
trọng lượng bên trên gối W sẽ thay đổi (cộng thêm thành
phần lực quán tính do gia tốc nền theo phương đứng
agz gây ra). Thơng thường, kết cấu có độ cứng dao động

đứng lớn hơn rất nhiều so với dao động theo phương
ngang. Khi xét kích động đứng ta xem tồn bộ kết cấu
bên trên như 1 khối cứng có trọng lượng N(t) thay đổi và
được xác định như sau [6]:
agz
N (t )  W (1 
)
g
(7)


Thiết kế tối ưu gối con lắc một mặt trượt ma sát SFP chống động đất cho nhà cao tầng khi có xét ảnh hưởng
thành phần kích động đứng
trong đó: agz là thành phần gia tốc nền theo phương
đứng (tạo ra kích động đứng), g là gia tốc trọng trường.
Khi giải hệ phương trình vi phân chuyển động kết cấu
chúng ta sẽ thay các thành phần W bằng N(t). Trong
phương trình (7) nếu khơng xét đến ảnh hưởng của lực
kích động đứng, tức là agz = 0 khi đó N(t) = W, bài tốn

Mơ hình tính và phương trình vi phân chuyển động

được thiết lập theo cơ sở lý thuyết trên. Ảnh hưởng của
thành phần kích động đứng được thể hiện ở kết quả tính
tốn gia tốc tuyệt đối theo lịch sử thời gian ở tầng 9 và
lực cắt ở tầng 1, thể hiện trong các Hình 6 và 7.

sẽ trở lại như bài tốn bình thường.

3. Ví dụ số tính tốn
3.1. Đánh giá ảnh hưởng của thành phần kích động
đứng gối SFP

Để đánh giá ảnh hưởng của thành phần kích động
đứng, một mơ phỏng ví dụ số cho ngơi nhà 9 tầng bằng
thép sẽ được tính tốn: trường hợp thứ nhất khi khơng xét
ảnh hưởng của thành phần kích động đứng, phương X,Y
và trường hợp thứ hai là có xét ảnh hưởng của thành phần
kích động đứng xét cả phương Z, nghĩa là XYZ. Các đặc
trưng động của kết cấu, thông số kỹ thuật của gối và dữ
liệu gia tốc nền phân tích được cho như sau:
Kết cấu nhà 9 tầng bằng thép, với giả thiết bản sàn
tuyệt đối cứng, khối lượng và độ cứng các tầng giả định
giống nhau: khối lượng mi=102Ns2/mm, độ cứng
ki=150kN/mm, tỷ số cản  Chu kỳ cơ bản
T1=0,992s. Thông số kỹ thuật của gối SFP được lấy theo
kinh nghiệm của một số thiết kế trước [13] như sau:
R=2000mm, d=400mm, hệ số ma sát =0,04-0,08. Dữ
liệu gia tốc nền phân tích là trận động đất tại Tabas, Iran,
được lấy từ trung tân nghiên cứu động đất của Đại học
Berkeley (Mỹ) [14] được tổng hợp ở Bảng 1, gia tốc đồ
như Hình 5, bước thời gian phân tích là 0,01s.

Hình 6. Gia tốc tầng 9 theo các phương X và Y, khi khơng và có
xét đến ảnh hưởng thành phần kích động đứng theo phương Z

Bảng 1. Thơng số gia tốc nền

Trận động
đất
Tabas, Iran
(16/9/1978)

Vị trí
9101Tabas

Thành phần Gia tốc đỉnh
LN (X)

0,84g

UP (Z)

0,613g

Hình7. Lực cắt tầng 1 theo các phương X và Y, khi khơng và có
xét đến ảnh hưởng thành phần kích động đứng theo phương Z

Trong các Hình 8 và 9 sẽ giới thiệu rõ hơn về ảnh
hường của thành phần kích động đứng của các trận động
đất mạnh như trận Tabas, thông qua kết quả tính tốn và
vẽ đường ứng xử trễ của gối SFP theo các phương X, Y

khi khơng và có xét đến ảnh hưởng của lực kích động
theo phương Z này.

Hình 5. Gia tốc nền theo phương ngang (Ax) và đứng (Az)

Hình 8. Đường ứng xử trễ của gối theo phương X khi khơng và
có xet ảnh hưởng theo phương đứng


Hồng Phương Hoa, Ngơ Thanh Nhàn và Nguyễn Văn Nam

Hình 9. Đường ứng xử trễ của gối theo phương Y khi
khơng và có xet ảnh hưởng theo phương đứng

3.2. Nghiên cứu tối ưu hóa tham số cấu tạo gối
Để đảm bảo u cầu về kiến trúc của các cơng trình
xây dựng khi có sử dụng gối con lắc ma sát cách chấn
đáy (thông thường gối đặt tại chân mỗi cột cơng trình).
Đối với gối SFP có hai tham số kích thước quan trọng
ảnh hưởng đến hiệu quả giảm chấn và kích thước gối đó
là: bán kính mặt lõm R và khoảng cách di chuyển d. Các
trận động đất mạnh nếu lại có khoảng thời gian rung động
mạnh kéo dài sẽ đặc biệt gây nguy hiểm cho các cơng
trình. Nếu gối SFP có các tham số cấu tạo R và d lớn sẽ
cách chấn rất tốt. Tuy nhiên, điều này lại gây ảnh hưởng
đến mỹ quan cơng trình vì có những gối rất lớn đặt dưới
chân cột cơng trình.
Trong tính tốn để tìm kích thước gối của 2 tham số
đó là: bán kính mặt lõm R và khoảng cách di chuyển cực
đại của con lắc d. Chúng ta so sánh ứng xử của 2 gối có:

gối thứ nhất có R=2000mm, gối thứ hai có R=1000mm
và tuần tự thay đổi khoảng cách dịch chuyển cực đại d.
Trường hợp thứ nhất lấy d=400mm. Các Hình 10 và
11 sẽ giới thiệu kết quả tính tốn cho từng trường hợp.

Hình 10. Ứng xử trễ gối và kết cấu khi có R=2000mm và
d=400mm.

Hình 11. Ứng xử trễ gối và kết cấu khi có R=1000mm và
d=400mm.

Trong các Hình 10 và 11. Qua phân tích kết quả
đường ứng xử trễ của gối SFP. Với gối có R=2000mm,
d=400mm. Hình 10 giới thiệu tổng dịch vào khoảng
740mm. Đối với Hình 11, gối có R=1000mm, d=400mm,
tổng dịch vào khoảng 640mm. Điều này có thể được giải
thích rằng: do có R nhỏ hơn dẫn đến dịch chuyển ngang
của gối sẽ khó khăn hơn và dẫn đến giá trị lực cắt tầng 1
tăng hơn. Xem các hình số 3 của các Hình 10 và 11.
Trường hợp thứ hai: lấy d=350mm. Kết quả được
giới thiệu trong các Hình 12 và 13.

Hình 12. Ứng xử trễ gối và kết cấu khi có R=2000mm và
d=350mm.


Thiết kế tối ưu gối con lắc một mặt trượt ma sát SFP chống động đất cho nhà cao tầng khi có xét ảnh hưởng
thành phần kích động đứng

Hình 13. Ứng xử trễ gối và kết cấu khi có R=1000mm và

d=350mm.

Đường ứng xử trễ trong Hình 12 cho thấy với
R=2000 dịch chuyển lớn nhất của con lắc đã tính giới
thiệu trong Hình 10 vào khoảng 740mm. Nếu d=350mm
gối chỉ cho phép địch chuyển lớn nhất bằng 700mm và
như vậy hiện tượng va chạm giữa con lắc và gờ chắn của
mặt cầu lõm xảy ra. Khi đó trong hệ phương trình vi phân
tổng quát (6) có thêm thành phần lực va chạm fr của
phương trình (5). Trong khi đó, cũng với giá trị
d=350mm và bán kính mặt lõm R=1000mm. Hiện tượng
va chạm khơng xảy ra. Độc giả có thể xem phần đường
ứng xử trễ trong Hình 13. Lực va chạm giữa con lắc gối
và gờ chắn của mặt lõm sẽ làm gia tăng giá trị gia tốc
tầng 9 (gia tốc đỉnh) và lực cắt tầng 1 (lực cắt đáy) như
giới thiệu trong Hình 12 và được đánh dấu bằng những
vịng trịn trong đường ứng xử trễ và lực cắt tầng 1. Tuy
nhiên, chúng ta không thấy xuất hiện dấu hiệu va chạm
trong Đường ứng xử trễ và Lực cắt tầng 1 của Hình 13
cũng khơng có đột biến như trong Hình 12.
Trường hợp thứ ba: lấy d=300mm. Kết quả được giới
thiệu trong các Hình 14 và 15. Khi chúng ta rút d xuống
cho gối có kích thước nhỏ gọn. Điều này có nghĩa tính
mỹ quan của cơng trình đẹp hơn. Tuy nhiên, chúng ta cần
khảo sát kết quả tính tốn và vẽ: Đường ứng xử trễ, gia
tốc tầng 9 và lực cắt tầng 1 trong kết quả được biểu diên
tại các Hình 14 và 15. Chúng ta thấy hiện tượng va chạm
xảy ra ở cả 2 gối có R=2000mm và R=1000mm nhưng có
chung d=300mm. Điều này là đương nhiên vì với
d=300mm thì cả 2 loại gối đều chỉ cho con lắc dịch

chuyển trong 1 chu kỳ lớn nhất là 600mm (bằng 2d).
Nhưng kết quả tính tốn đã được giới thiệu trong Hình 10
(trường hợp R=2000mm) là 740mm và trong Hình 11
(trường hợp R=1000mm) là 640mm. So với dịch chuyển
cực đại trong trường hợp này là 2d=600mm.

Hình 14. Ứng xử trễ gối và kết cấu khi có R=2000mm và
d=300mm

Hình 15. Ứng xử trễ gối và kết cấu khi có R=1000mm và
d=300mm

Sau khi khảo sát 3 trường hợp cấu tạo gối từ gối có
bán kính mặt lõm R=2000mm và R=1000mm chúng ta
thay đổi khoảng cách dịch chuyển gối d từ d=400mm,
d=350mm đến d=300mm. Chúng ta đi đến kết luận chọn
kích thược gối hợp lý nhất được giới thiệu trong Hình 13.
Đó là kết cấu gối SFP có: bán kính mặt lõm R=1000mm
và khoảng cách dịch chuyển d=350mm.


Hồng Phương Hoa, Ngơ Thanh Nhàn và Nguyễn Văn Nam

4. Kết luận

[6]

Một số kết luận có thể rút ra từ các kết quả nghiên
cứu trên như sau:
- Thông thường, các gia tốc đồ của các trên động đất

có vùng gia tốc theo phương đứng lớn lệch so với phương
ngang lớn (không cùng thời điểm xảy ra) và giá trị đỉnh
của thành phần đứng nhỏ thì có thể bỏ qua thành phần
này. Tuy nhiên, nếu điều kiện trên không xảy ra, như là
trận động đất trong nghiên cứu này thì ảnh hưởng của
thành phần đứng là rất lớn, không thể bỏ qua.
- Mơ hình tính tốn và phương trình vi phân chuyển
động của kết cấu nhà cao tầng gắn gối SFP được thiết lập.
Đây là cơ sở để khảo sát phản ứng kết cấu và đánh giá
hiệu quả giảm chấn của gối khi có xét ảnh hưởng của
thành phần kích động đứng.
- Xây dựng mơ hình và viết chương trình tính tốn
dao động cơng trình xây dựng chịu ảnh hưởng của tải
trọng động đất.
- Sử dụng chương trình tính đã xây dựng được để
khảo sát thiết kế cấu tạo gối SFP đảm bảo khả năng điều
khiển kết cấu chống động đất (khả năng cách ly với dao
động của đất nền) nhưng có kích thước nhỏ gọn thỏa mãn
yếu tố mỹ quan cơng trình.

Tài liệu tham khảo

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]
[14]

[1] Đỗ Kiến Quốc, Nguyễn Văn Nam. Hiệu quả giảm
chấn của thiết bị gối cô lập móng trượt ma sát FPS.
Tuyển tập cơng trình Hội nghị Cơ học toàn quốc kỷ
niệm 30 năm viện Cơ học và 30 năm Tạp chí Cơ học,
trang 365–372. 2009.
[2] Nguyễn Văn Nam, Hồng Phương Hoa, Phạm Duy
Hịa. Mơ hình các dạng gối trượt ma sát trong kết cấu
chịu động đất: Gối SFP. Tuyển tập cơng trình Hội
nghị Cơ học kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng,
3-5/8/2015. ISBN 978-604-84-1273-9, trang
479-486. 2016.
[3] Nguyễn Văn Nam, Hồng Phương Hoa, Phạm Duy
Hịa (2015). Hiệu quả của gối cách chấn SFP cho
nhà cao tầng chịu động đất có xét đến thành phần
kích động đứng, Tạp chí Xây dựng. ISSN 0866-0762.
Số 3-2016, trang 34-36. 2016.
[4] Hoàng Phương Hoa, Hồ Quang Nam. Hiệu quả giảm
chấn khi áp dụng gối con lắc một mặt trượt ma sát
SFP cho nhà nhiều tầng chống động đất. Tạp chí
Khoa học và Cơng nghệ Đại học Đà Nẵng. Số 5(126)
2018. Quyển 2. ISSN 1859-1531, trang 18-22. 2018.
[5] Hoàng Phương Hoa, Nguyễn Văn Nam, Đặng Công
Thuật. Động đất và Kỹ thuật điều khiển kết cấu

chống động đất. Nhà xuất bản Xây dựng, Hà Nội.
2017.
Nguyễn Văn Nam. Mơ hình kết cấu gối cơ lập trượt
ma sát cho cơng trình chịu tải trọng động đất. Luận
án Tiến sĩ kỹ thuật tại Đại học Đà Nẵng. 2017.
Dao, N. D., Ryan, K. L., Sato, E., & Sasaki, T.
Predicting the displacement of triple pendulum™
bearings in a full-scale shaking experiment using a
three-dimensional element, Earthquake Engineering
& Structural Dynamics, 42(11), pp. 1677-1695. 2013
Almazan, J. L., De la llera, J. C., Inaudi, J. A.
Modeling aspects of structures isolated with the
frictional pendulum system. Earthquake Engineering
and Structural Dynamics; Vol. 27, pp. 845-867.1998.
Constantinou, M.; Mokha, A.; Reinhorn, A. Teflon
bearings in base isolation II: Modeling. J.Struct.
Eng, 116, 455–474.1990.
Mokha, A.; Constantinou, M.; Reinhorn, A . Teflon
bearings in base isolation I: Testing. J.Struct.Eng,
116, 438–454. 1990.
Zayas, V.A., Low SS, Mahin SA. The FPS
earthquake resisting systemexperimental report.
EERC technical report, UBC/EERC-87/01. 1987.
Wen, Y. K. Method for random vibration of
hysteretic systems, J. of Eng. Mech., ASCE, 102,
249-263. 1976.
Earthquake Protection Systems, Inc. Friction
pendulum seismic isolation. 2008.
/>