Nghiên cứu phép biến đổi Cepstrum ứng dụng trong phát hiện hư hỏng bánh răng

Tuyển tập Hội nghị khoa học toàn quốc lần thứ nhất về Động lực học và Điều khiển
Đà Nẵng, ngày 19-20/7/2019, tr. 373-378, DOI 10.15625/vap.2019000305

Nghiên cứu phép biến đổi Cepstrum ứng dụng trong phát hiện
hư hỏng bánh răng
Nguyễn Phong Điền, Nguyễn Trọng Du*
Viện Cơ Khí, Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
*E-mail:

Tóm tắt
Phương pháp phân tích phổ tần số tín hiệu dao động từ lâu
trở thành một kỹ thuật nhằm mục đích phát hiện các hư hỏng có
trong bánh răng ngay trong quá trình hoạt động, để lập kế hoạch
và thực hiện các biện pháp phòng ngừa. Tuy nhiên phổ tần số có
một số hạn chế nhất định liên quan đến phân tích dao động như
khó quan sát các thành phần điều hoà do ảnh hưởng của nhiễu.
Để khắc phục những nhược điểm trên, bài báo này đề xuất áp
dụng phương pháp phân tích Cepstrum để phân tích dao động của
bánh răng. Cepstrum là phổ trên thang logarit với trục hồnh là
nghịch đảo tần số tín hiệu, trục tung là biên độ logarit. Kết quả
phân tích Cepstrum các tín hiệu dao động cơ học làm nổi bật các
dấu hiệu hư hỏng của bánh răng răng trong hộp số.
Từ khóa: Phổ tần số, Cepstrum, chẩn đoán, bánh răng, dao động.

1. Mở đầu
Đo đạc và phân tích dao động của thiết bị cơng nghiệp
nói chung và hộp số bánh răng nói riêng là vấn đề được
quan tâm từ nhiều năm nay, đặc biệt kể từ khi xuất hiện các
thiết bị đo dao động cơ học bằng các đại lượng điện. Việc
đo đạc dao động thường được tiến hành trong khi thiết bị
đang vận hành. Tín hiệu dao động đo được bên ngồi vỏ

hộp số bánh răng sẽ đưa vào phân tích Fourier (FFT) [1]
để thu được phổ tần số tín hiệu. Phổ tần số của tín hiệu
bánh răng thường chứa đựng rất nhiều thông tin phong phú.
Tương ứng với mỗi một dạng hỏng khác nhau của bánh
răng sẽ có một đặc trưng dao động và dấu hiệu chẩn đoán
trên phổ tần số [2]. Các chi tiết quay phổ biến trong hộp số
bánh răng có các dấu hiệu chẩn đốn trên phổ tần số được
thể hiện như trong bảng 1. Trong hộp số bánh răng, nếu
xuất hiện hư hỏng trên bánh răng nào đó thì biên độ dải
biên xung quanh tần số ăn khớp sẽ tăng theo [3]. Khoảng
cách giữa tần số ăn khớp và các dải biên lại chính là tần số
quay của bánh răng có hư hỏng. Do đó việc theo dõi hư
hỏng trong bánh răng đồng nghĩa với việc theo dõi biên độ
dải biên xung quanh tần số ăn khớp. Tuy nhiên do ảnh
hưởng của nhiễu hoặc dao động từ các máy lân cận ảnh
hưởng tới q trình đó mà các dải biên này thường bị ẩn đi
và khó quan sát [4]. Đây là sự hạn chế của kỹ thuật phân
tích tín hiệu bằng phổ tấn số.
Một số phương pháp phân tích giảm nhiễu như “Biểu
đồ thác” (Waterfall diagram) [5] hay phân tích quỹ đạo tâm

trục (Orbit analysis) [6] có thể được áp dụng hiệu quả, tuy
nhiên các phương pháp này đòi hỏi trang thiết bị đo phức
tạp và chỉ phù hợp trong những trường hợp nhất định.
Phương pháp trung bình hóa tín hiệu đồng bộ (time
synchnous averaging) [7] có thể giảm nhiễu rất hiệu quả
trong nhiều trường hợp nhưng cũng cần phải có thêm dữ
liệu pha của tín hiệu khi phân tích. Trong thực tế việc đo
tín hiệu pha địi hỏi tăng chi phí đo và trong một số trường
hợp phải dừng máy để gắn thêm đầu đo pha. Phép biến đổi

Wavelet [8] cũng được các nhà nghiên cứu quan tâm trong
việc giảm nhiễu của tín hiệu. Tuy nhiên việc xử lý tín hiệu
bằng phương pháp này địi hỏi máy tính cấu hình cao và
tốc độ xử lý tín hiệu chậm, phải mất một thời gian đáng kể
để thu được thơng tin hữu ích.
Để khắc phục những vấn đề trên phương pháp
Cepstrum ra đời, với mục đích làm nổi bật các thành phần
điều hòa và các dải biên xung quanh tần số chính một cách
nhanh nhất. Phương pháp này có ưu điểm tách lọc nhiễu
và có thể xử lý tín hiệu nhanh, chính xác. Chính vì vậy
phương pháp này hoàn toàn phù hợp với việc phát hiện hư
hỏng xảy ra trên các bánh răng và nhận được sự quan tâm
của các nhà nghiên cứu trong những năm gần đây [9], [10],
[11].
Bảng 1. Phương pháp phân tích dao động hộp số bánh răng

Chi
máy
Trục

tiết

Khớp nối
Ổ đỡ con
lăn
Bánh răng

Dấu hiệu chẩn đốn
Phân tích điều hịa của
các tần số quay

Phân tích điều hịa bậc
cao của tần số quay
Phân tích phổ đường
bao
Phân tích điều hòa của
các tần số ăn khớp và
tần số quay của bánh
răng

Cơ sở toán
học
FFT
FFT
Lọc số/
FFT/Hilbert
tranfrom
FFT/Ceptrum

Phần tiếp theo của nghiên cứu này sẽ trình bày ngắn
gọn cơ sở lý thuyết, thuật tốn của phương pháp Cepstrum
và các ví dụ minh họa về sự phù hợp của các phương pháp
này trong việc phân tích dao động bánh răng.


Nguyễn Phong Điền, Nguyễn Trọng Du

2. Cơ sở lý thuyết phương pháp Cepstrum
Hàm Cepstrum phổ biến nhất được sử dụng trong phân
tích dao động của máy là Cepstrum năng lượng (power
Cepstrum). Cepstrum năng lượng của tín hiệu x(t), ký hiệu

là C x   , được định nghĩa là phép biến đổi Fourier ngược
của hàm logarit phổ biên độ tần số [11]:
C x    iFFT  logS x  f   



 logS  f  e
x

j 2 ft

df

(1)



trong đó Sx  f  là phép biến đổi FFT của tín hiệu x(t)
được định nghĩa như sau:
Sx  f  



 x t  e

2  ft

(2)

dt



Các thuật ngữ trong Cepstrum được tạo ra bằng cách
đảo ngược âm tiết của các thuật ngữ trong phổ. Thuật ngữ
“Cepstrum” được tạo ra bằng cách đảo ngược âm tiết của
“Spectrum” (phổ), được hiểu như là “phổ của phổ”. Tương
tự “quefrency” được tạo ra bằng cách đảo ngược âm tiết
của “frequency” (tần số), có đơn vị là giây. Tuy nhiên,
“quefrency” là tham số thời gian đặc biệt, không giống như
thời gian bình thường. Tương tự, một số thuật ngữ khác
được trình bày trong bảng 2 [10].

thông qua việc xác định biên độ Cepstrum tại các
vị trí tần số quay đó.
Sơ đồ thuật tốn của phương pháp Cepstrum được
trình bày như trên hình 1. Tín hiệu đo gia tốc được thu thập
từ vỏ hộp số bánh răng sau một loạt các phép biến đổi dựa
trên các hàm toán học thu được phổ biên độ Cepstrum
Theo dõi biên độ Cepstrum tại một vị trí tần số quay
nhất định, nếu thấy biên độ tại vị trí này tăng lên thơng qua
các lần đo khác nhau chứng tỏ hư hỏng có tiến triển. Với
một cặp bánh răng ăn khớp có số răng khác nhau, xuất hiện
biên độ Cepstrum tại 2 vị trí tần số quay. Khi thấy biên độ
Cepstrum giữa 2 tần số quay này chênh lệch q lớn thì
bánh răng có biên độ lớn hơn là hư hỏng cịn bánh răng kia
là bình thường.
Hộp số bánh răng

Đo gia tốc

Phân tích FFT

Bảng 2: Một số thuật ngữ của phương pháp Cepstrum

Cepstrum
Rahmonic
Quefrency
Lifter
Gamnitude
Saphe
Dedomulation

Spectrum (Phổ tần số)
Harmonic (điều hoà)
Frequency (tần số)
Filter (lọc số)
Magnitude (biên độ)
Phase (pha)
Demodulation (điều biến)

Ưu điểm chính của phổ Cepstrum so với phổ tần số là
loại bỏ ảnh hưởng của nhiễu và làm nổi bật thêm các thành
phần điều hồ, là các dải biên, có trong tín hiệu. Do đó
phương pháp này hồn tồn phù hợp để phân tích dao động
của bánh răng. Các bước cơ bản để triển khai ứng dung
phương pháp này sẽ được trình bày ở mục sau.

3. Ứng dụng Cepstrum vào phân tích dao
động bánh răng

Việc áp dụng Cepstrum để phân tích dao động của
bánh răng dễ dàng được thực hiện thơng qua một số bước
chính như sau:
 Bước 1: Phân tích phổ tần số của tín hiệu trên cơ
sở phép biến đổi Fourier theo phương trình (2)
 Bước 2: Thực hiện phép biến đổi Fourier ngược
lograit phổ tần số tín hiệu theo phương trình (1)
 Bước 3: Thu được phổ Cepstrum theo trục
quenfrency
 Bước 4: Quan sát trên phổ Cepstrum để dị tìm các
thành phần tần số ăn khớp và tần số quay
 Bước 5: Đánh giá mức độ hư hỏng bánh răng

Phân tích iFFT

Cepstrum

Bánh răng
bình thường

Bánh răng
có hư hỏng

Hình 1: Sơ đồ thuật toán phương pháp Cepstrum

4. Một số kết quả thực nghiệm
4.1. Kết quả xử lý trên bộ dữ liệu mơ phỏng
Ta xét một tín hiệu mơ phỏng dao động của bánh răng
bình thường được đưa ra dưới dạng sau [12]:
5


 5

x  t    a0  ak cos  2 kfnt k   bk cos  2 kfzt k      t 
k 1

 k 1

(3)
với tần số ăn quay của bánh răng là fn=15, số răng là 28,
tần số ăn khớp là fz=Z.fn=420, và   t  là nhiễu ngẫu
nhiên. Tín hiệu mơ phỏng bánh răng có hư hỏng sẽ bao
gồm tín hiệu của bánh răng bình thường và một tín hiệu
dao động tắt dần s(t):

y t   x t   s t 

(4)


Nghiên cứu phép biến đổi Cepstrum ứng dụng trong phát hiện hư hỏng bánh răng
trong đó s  t   e2 fvt A cos  2 ft  với f=600 là tần số dao

a)

động tắt dần hay còn gọi là tần số dao động riêng của bánh
răng có hư hỏng, v=0.05, A=2. Tín hiệu được lấy mẫu với
tần số lấy mẫu 10 kHz. Tín hiệu mơ phỏng được biểu diễn
trên hình 2.

a)

b)

Hình 2: Tín hiệu trong miền thời gian của bánh răng bình
thường (a) và bánh răng có hư hỏng (b)

Hình 3a và hình 3b lần lượt là thấy phổ của bánh răng
bình thường và phổ của bánh răng có hư hỏng. Hai đồ thị
phổ đều thể hiện tần số ăn khớp cơ bản tại 420 Hz và các
thành phần điều hồ bậc cao của nó.
Cả hai đồ thị phổ đều cho thấy các dải biên xung quanh
tần số ăn khớp cách đều nhau 15 Hz. Trong trường hợp
bánh răng bình thường vẫn có khả năng xuất hiện các dải
biên xung quanh tần số ăn khớp. Tuy nhiên để phân biệt
bánh răng có hư hỏng và bánh răng bình thường cần căn
cứ vào biên độ của các dải biên đó.
Khi phân tích phổ tần số, biên độ dải biên trong hai
trường hợp bánh răng bình thường và có hư hỏng chênh
lệch nhau khơng đáng kể. Do đó khó có thể biết được đâu
là bánh răng có hư hỏng và đâu là bánh răng bình thường
nếu chỉ căn cứ vào phân tích phổ. Điểm khác biệt duy nhất
có thể thấy trên phổ tần số là với trường hợp bánh răng có
hư hỏng sẽ có sự xuất hiện tần số dao động riêng tại vị trí
600 Hz. Tuy nhiên trong thực tế việc quan sát tần số dao
động riêng này là rất khó do ảnh hưởng của nhiễu.

b)

Hình 3: Phổ tần số của bánh răng bình thường (a) và bánh răng

có hư hỏng (b)

Tiếp tục xử lý tín hiệu đó bằng phương pháp Cepstrum.
Hình 4a và 4b là phổ Cepstrum của bánh răng bình thường
và bánh răng có hư hỏng. Ta nhận thấy ngay rằng ở bánh
răng có hư hỏng thì biên độ Cepstrum tại 0.0667 s (tương
ứng với tần số quay là 15 Hz) là 0.12. Biên độ này đã tăng
mạnh (gấp đơi) so với vị trí này ở bánh răng bình thường
là 0.06.
Sự gia tăng biên độ Cepstrum tại vị trí tần số quay của
bánh răng điều đó đồng nghĩa với việc biên độ tại các tần
số dải biên của bánh răng có hư hỏng đã tăng lên, đây chính
là dấu hiệu chẩn đốn để phân biệt bánh răng có hư hỏng
và bánh răng bình thường.
Kết quả xử lý tín hiệu đã cho thấy hồn tồn phù hợp
với phương trình tốn học được đưa vào mơ phỏng. Điều
đặc biệt là khi xử lý tín hiệu bằng phổ thì khơng loại bỏ
được nhiễu, trong khi đó nếu xử lý tín hiệu bằng Cepstrum
thì đã loại bỏ được ảnh hưởng của nhiễu. Trên phổ
Cepstrum chỉ có các thành phần tần số chính như tần số ăn
khớp hoặc các dải biên là các thơng tin hữu ích cần được
kiểm tra.


Nguyễn Phong Điền, Nguyễn Trọng Du

a)

b)

Hình 5: Mơ hình hộp số máy bay trực thăng có bánh răng bị nứt

Hình 4: Cepstrum của bánh răng bình thường (a) và bánh răng
có hư hỏng (b)

4.2. Kết quả xử lý trên bộ số liệu thực
Dữ liệu đo dao động của một máy bay chiến đấu thuộc
trung tâm không quân - hải quân, Trenton, New Jersey,
Hoa Kỳ vào năm 1997 đã được sử dụng. Các kết quả đo
được chia sẻ miễn phí cho các nhà khoa học tại trang web:
/>Đối tượng đo là hộp số bánh răng côn xoắn một cấp
với bánh dẫn là 25 răng, bánh bị dẫn là 31 răng, đây là một
bộ phận của máy bay trực thăng SH-60 (hình 5). Hộp số
này đã chạy được tổng cộng khoảng 2 triệu vòng với tải
trọng lớn nhất cho phép. Tốc độ quay của trục vào, trên đó
gắn bánh răng có vết nứt, là 68.5 Hz; tần số lấy mẫu là
100.000 Hz.
Dữ liệu đo được tiến hành trong một thời gian dài từ
trước khi vết nứt xuất hiện cho tới khi máy được dừng hẳn
để kiểm tra. Có 3 bộ dữ liệu đo được cung cấp miễn phí tại
lần đo thứ 7, 21, và 34. Có hai kênh đo là kênh đo gia tốc
và kênh đo tín hiệu pha được gắn ở bên ngoài hộp giảm
tốc. Kết quả sau khi tháo hộp số cho thấy rõ vết nứt tại
bánh răng dẫn. Bánh răng dẫn có sự hình thành và phát
triển vết nứt ngay trong quá trình đo. Ba bộ dữ liệu đo
tương ứng với các giai đoạn mới hình thành vết nứt (lần đo
thứ 7), vết nứt tiến triển (lần đo thứ 21) và giai đoạn vết
nứt phát triển mạnh không thể kiểm sốt (lần đo thứ 34).

Hình 6: Kết quả phân tích phổ tại lần đo thứ 7, 21, 34.

Nghiên cứu phép biến đổi Cepstrum ứng dụng trong phát hiện hư hỏng bánh răng
Quan sát hình 6 ta thấy các dải biên xung quanh tần số
ăn khớp tại các đo lần thứ 7 và lần thứ 21 có biên độ phổ
là gần giống nhau. Điều này dễ gây nhầm lẫn khi cho rằng
tại lần đo thứ 21 vết nứt không tiến triển so với lần đo thứ
7. Tuy nhiên trong thực tế vết nứt vẫn tiến triển liên tục
qua các lần đo khác nhau.
Khi xử lý dữ liệu đo tại 3 lần đo vào cùng một đồ thị
và tiến hành lọc xung quanh tần số quay của bánh răng có
vết nứt dễ dàng nhận thấy biên độ Cepstrum tại thành phần
tần số quay này khác nhau trong ba lần đo (hình 7). Tại vị
trí tần số quay của bánh răng 68.5 Hz biên độ lầ đo thứ 7
là 0.06, lần đo thứ 21 biên độ là 0.09 và lần đo thứ 34 là
0.2. Phù hợp với sự tiến triển của vết nứt theo thời gian.
Vết nứt phát triển lớn nhất tại lần đó thứ 34 và sau đó máy
được khuyến cáo dừng hoạt động để bảo dưỡng và sửa
chữa.
Với những phân tích, nhận định đánh giá ở trên có thể
thấy việc áp dụng phương pháp Cepstrum cho hiệu quả cao
cả với tín hiệu mơ phỏng hoặc tín hiệu thực. Khi đưa vào
xử lý Cepstrum tín hiệu đã được lọc bỏ nhiễu đo và các các
thành phần khác không cần thiết. Dựa trên phổ Cepstrum
ta chỉ cần quan sát tại các vị trí quefrency tương ứng với
các tần số quay của bánh răng. Khi thấy có sự gia tăng biên
độ tại một ví trí tần số quay nào đó có thể khẳng định bánh
răng đó có hư hỏng.

lớn hoặc bị ảnh hưởng nhiều bởi nhiễu. Sau khi đánh giá

tổng quan những mặt ưu và nhược điểm của phép biến đổi
Fourier, bài báo đã trình bày cơ sở tốn học của Cepstrum.
Cepstrum là một biến thể từ phép biến đổi Fourier có khả
năng làm nổi bật các thành phần điều hồ có trong tín hiệu
và loại bỏ tối đa ảnh hưởng của nhiễu đo. Biên độ của các
thành phần điều hòa (như dải biên xung quanh tần số ăn
khớp) là một trong những dấu hiệu chẩn đốn hư hỏng có
trong bánh răng.
Các dải biên của tín hiệu có cấu trúc điều hoà đã được
làm nổi bật trên phổ Cepstrum đã cho thấy được điểm
mạnh của Cepstrum so phương pháp phổ truyền thống. Để
đi sâu vào việc đánh giá định tính ưu điểm Cepstrum
những thí dụ mơ phỏng dao động bánh răng có hư hỏng đã
được trình bày. Kết quả xử lý cho thấy cepstrum nhanh
chóng phát hiện sự gia tăng biên độ dải biên đồng nghĩa
với việc có sự khác biệt giữa bánh răng có hư hỏng và bình
thường.
Bên cạnh đó một bộ số liệu đo dao động từ vỏ hộp số
máy bay trực thăng đã được áp dụng. Kết quả cho thấy biên
độ Cepstrum gia tăng cùng với sự phát triển của vết nứt
răng, trong khi đó phổ tần số chỉ có thể phát hiện hư hỏng
được khi vết nứt đã phát triển mạnh và gây nguy hiểm cho
quá trình hoạt động của máy móc.
Đóng góp cơ bản của bài báo so với các nghiên cứu
trước đây là đã xây dựng lại một cách chi tiết cơ sở toán
học của thuật toán Cepstrum. Đã rút ngắn thời gian chẩn
đoán khi sử dụng phương pháp này so với các phương pháp
truyền thống. Thuật tốn Cepstrum hồn tồn có thể được
ứng dụng để phát hiện hư hỏng trên nhiều bánh răng khác
nhau, cũng có thể được sử dụng để phát hiện các hư hỏng

có trong các phần tử khác như trục hoặc ổ đỡ lăn.

Tài liệu tham khảo
[1]

Heneghan, Khanna, C., Flock, S. M., Ulfendahl, A., &
Brundin, M. Investigating the nonlinear dynamics of
cellular motion in the inner ear using the short-time
Fourier and continuous wavelet transforms. IEEE
Transactions on Signal Processing, vol 42(12), pp. 33353352, 1994 .

[2]

Aherwar, A., & Khalid, M. S. Vibration analysis
techniques for gearbox diagnostic: A review. International
Journal of Advanced Engineering Technology, vol 3(2), pp.
4-12, 2012 .

[3]

Alexander Bliznyuk, I. D., Renata Klein and Jacob
Bortman. Gear Diagnostics - Fault Type Characteristics.
Proceeding of Annual Conference of the Prognostics and
Health Management Society, pp. 1-10, 2014.

[4]

Industrial, aerospace and automotive applications. New

Hình 7: Kết quả phân tích Cepstrum biểu diễn trên cùng

một đồ thị với 3 lần đo 7, 21, và 34.

5. Kết luận
Bài báo đã đề xuất một phương pháp hiệu quả trên cơ
sở phép biến đổi Cepstrum để khắc phục những nhược
điểm của phép biến đổi Fourier khi xử lý tín hiệu có tần số

Randall, R. B. Vibration-based Condition Monitoring:
York: Wiley. 2011.

[5]

Xin, H., Feng, X., Xin, Y., & Tian, Y. Condition Monitoring
and Fault Diagnosis for Wind Turbine Gearbox Based on
Waterfall. IOP Conf. Series: Materials Science and
Engineering,

vol

899X/398/1/012029.

398,

2018.

doi:10.1088/1757-


Nguyễn Phong Điền, Nguyễn Trọng Du
[6]

Costa, C. D., Gama, R. S. D., & Nascimento, C. E. Orbit
Analysis For Imbalance Fault Detection In Rotating
Machinery. IOSR Journal of Electrical and Electronics
Engineering, vol 13(1), pp. 43-53, 2018 .

[7]

Bechhoefer, E., & Kingsley, M. A. A Review of Time
Synchronous Average Algorithms. Proceeding of Annual
Conference of the Prognostics and Health Management
Society, San Diego, CA, Sept, pp. 24-33, 2009.

[8]

Chen, J., Li, Z., Pan, J., Chen, G., & Zi, Y. Wavelet
transform based on inner product in fault diagnosis of
rotating machinery: A review. Mechanical Systems and
Signal Processing, vol 70-71, pp. 1-35, 2016 .

[9]

Hao, T., Xiao-yong, K., Yong-jian, L., & Jun-nuo, Z. Fault
Diagnosis of Gear Wearing Based on Order Cepstrum
Analysis. Applied mechanics and materials, vol 543-547,
pp. 922-925, 2014 .

[10] Hwang, Y.-R., Jen, K.-K., & Jen, K.-K. Application of
Cepstrum and neural network to bearing fault detection.
Journal of Mechanical Science and Technology, vol 23, pp.

2730~2737 2009 .
[11] Randall, R. B. A history of Cepstrum analysis and its
application to mechanical problems. Mechanical Systems
and Signal Processing, vol 97, pp. 3-19, 2016 .
[12] Khang, N. V., Cau, T. M., & Dien, N. P. Modelling
Parametric Vibration of Gear-Pair Systems as a Tool for
Aidding

Gear

Fault

Diagnosis.

MECHANIK, vol 24, pp. 198-205, 2004 .

TECHNISCHE