Hệ vật rắn cân bằng

Điều kiện cân bằng của
hệ vật rắn
a) Bài toán:
Khảo sát sự cân bằng và xác định phản lực liên kết của hệ
nhiều vật rắn liên kết với nhau, chịu tác dụng của hệ lực
phẳng
b) Phân tích bài tốn:
Để giải bài toán này ta cần phân loại các lực tác dụng lên hệ
thành nội lực và ngoại lực


• Nội lực:
Các lực tác dụng tương hỗ giữa hai vật của hệ.
Ký hiệu: Fki
i
F
Khi đó:  k  0,

i
m
(F
 O k)  0

• Ngoại lực:
Các lực từ bên ngồi tác dụng lên các vật thuộc hệ.
Ký hiệu: Fke


Một số cặp nội lực của các liên kết thường gặp
1) Các vật tựa đơn (không ma sát) vào nhau
Cặp nội lực NB  N'B

2) Các vật nối với nhau bởi dây mềm không giãn
Cặp nội lực TE  TF


3) Các nối với nhau bởi thanh nhẹ
Cặp nội lực SE  SF


4) Các vật nối với nhau bởi (khớp) bản lề
Cặp nội lực XB  X'B , YB  YB'


5) Các vật được ngàm cứng vào nhau trong mặt phẳng
Cặp nội lực XC  XC' , YC  YC' , MC  MC'


Ví dụ:

Hình 6
Cho hệ gồm dầm ABC và dầm CD liên kết khớp với nhau tại
C như hình vẽ.
Xác định đâu là nội lực, đâu là ngoại lực tác dụng lên cơ hệ?


'
'
Nội lực: XC , YC , XC , YC
Trong đó XC  XC' , YC   YC'

Ngoại lực: P, P1 , P2 , Q, ngM, NB , XD , YD , ngMD

Hình 7


c) Phương pháp giải:
Giả sử hệ có n vật, mỗi vật cân bằng có 3 ptcb.
Cả hệ n vật có 3n ptcb.
Hai phương pháp giải bài toán hệ vật:
 PP hóa rắn kết hợp tách vật:
B1: Hóa rắn hệ, coi cả hệ n vật là 1 rắn cân bằng và viết 3
ptcb. Chú ý khi hóa rắn, hệ lực tác dụng lên vật chỉ gồm các
ngoại lực.
B2: Xét cân bằng của (n-1) riêng biệt để có 3(n-1) ptcb
 PP tách vật:
Xét cân bằng từng vật của hệ để có 3n ptcb.
Chọn phương pháp sao cho các phương trình ít ẩn số và có
thể giải ra một vài ẩn ngay từ các phương trình đầu


d) Một số ví dụ:
Ví dụ 1:
Cột AB và khung BC nối với nhau bởi bản lề B. Hệ lực phẳng
tác dụng có: P = 8 kN, q = 2 kN/m, M = 24 kNm. Bỏ qua trọng
lượng kết cấu.
Xác định các phản lực tại A, C và nội lực tại B

Hình 8

Giải (PP hóa rắn)

+) Hóa rắn xét cân bằng
tồn hệ ABC.
+) Hệ lực tác dụng

(P,Q, ngM, XA , YA , XC , YC ) 0
Trong đó Q = 4q = 8 kN
+) Các phương trình cân bằng:

X
Y
m

Hình 9

k

 X A  XC  P  0

(1)

k

 YA  YC  Q  0

(2)

A

 2P  2Q  M  8YC  0 (3)


2P  2Q  M 2.8  2.8  24
 YC 

 7 kN
8
8

Từ (3)

Thay vào (2)  YA  YC  Q  7  8  1kN
+) Xét cân bằng AB
+) Hệ lực tác dụng (XA , YA , XB , YB , P) 0
+) PTCB

X
Y
m

k

 X A  X B  P  0

(4)

k

 YA  YB  0

(5)

 2P  4X B  0

(6)

A

Hình 10


Từ (6)

P
 X B   4 kN
2

Thay vào (4)  X A  X B  P  4  8  12 kN

Từ (5)  YB   YA  1kN
Từ (1)  X C  X A  P  12  8  4 kN


Ví dụ 2:
Các dầm AB và BD nối với nhau bởi bản lề (khớp) B. Hệ lực
tác dụng có
P  8 2 kN, q = 2 kN/m, M = 22 kNm. Bỏ
qua trọng lượng kết cấu. Các kích thước và góc cho như hình

vẽ.
Xác định các phản lực tại A, C và nội lực tại B.

Hình 11


Giải (PP tách vật)
+) Xét cân bằng BD.
+) Hệ lực tác dụng
(P, ngM, XB , YB , NC ) 0
+) PTCB:

2
(1)
 X k  X B  P 2  0
2
 Yk  YB  NC  P 2  0 (2)
2
 mB  6NC  M  8P 2  0 (3)

Hình 12


2
 8 kN
Từ (1)  X B  P
2

M  4 2P 22  4 2.8 2


 7 kN
Từ (3)  N C 
6
6
Thay vào (2)

2
 YB   N C  P
 1kN
2


+) Xét cân bằng AB.
+) Hệ lực tác dụng

(Q, X'B , YB' , XA , YA , ngMA ) 0
1
Trong đó Q  .1,5q.6  9 kN
2
+) PTCB:
'
X

X

X
 k A B 0

'
Y


Y

Y
 k A B Q  0

Hình 13

(4)
(5)

'
m

M

4Q

6Y
 B A
B  0 (6)


Từ (4)  X A  X B  8 kN

Từ (5)  YA  YB  Q  1  9  10 kN

Từ (6)  M A  4Q  6YB'  4.9  6.1  42 kNm

Ví dụ 3:
Cho kết cấu như hình vẽ.
Cho P = 6 2 kN, q = 2 kN/m, M = 15kNm.
Xác định các phản lực tại A, C và nội lực tại B.

Hình 14


Giải (PP tách vật)
+) Xét cân bằng AB.
+) Hệ lực tác dụng

(Q, ngM, NA , XB , YB ) 0
1
Q

.2q.3  6 kN
với
2

Hình 15

+) PTCB:

X
Y
m

k

 XB  0

(1)

k

 N A  YB  Q  0

(2)

A

 3YB  M  2Q  0 (3)


Từ (1)

Từ (3)

 X B  0 kN

M  2Q 15  2.6
 YB 

 1kN
3
3

Thay vào (2)

 N A  YB  Q  1  6  7 kN


+) Xét cân bằng BC.
+) Hệ lực tác dụng

(P, X'B , YB' , XC , YC , ngMC ) 0
với X 'B  X B  0 kN, YB'  YB  1kN
+) PTCB:
2
0
(4)
2
2
'
(5)
 Yk  YC  YB  P 2  0
'
m

M

3Y
 A C B  1,5 2P  0 (6)

 X k  XC  P

Hình 16

2
Từ (4)  X C  P
 6 kN
2
2
 1  6  5 kN
Từ (2)  YC  Y  P
2
'
B

Từ (3)

 MC  3YB 1,5 2P  3 1,5 2.6 2  15kNm