Luan VanSKKN 10

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (375.06 KB, 48 trang )

(1)Phần I: Những vấn đề chung I. Lí do chọn đề tài. 1. C¬ së lÝ luËn: Thế hệ trẻ Việt Nam nói chung, giới học sinh nói riêng có may mắn là đợc sinh ra và lớn lên trong thời đại mà các cuộc cách mạng khoa học kĩ thuật công nghÖ ®ang trµo d©ng nh vò b·o, th«ng tin bïng næ tõng phót tõng giê, c¸i míi nµy cha kịp đăng quang đã phải nhờng chỗ cho cái mới khác đến thay thế. Vậy thì mỗi thầy cô giáo, mỗi học sinh phải hành động nh thế nào? Việc học tập hiện nay đang có xu hớng đi vào chiều sâu “học phải đi đôi với hµnh”, do vËy ph¶i cã nh÷ng ph¬ng ph¸p d¹y vµ häc cã hiÖu qu¶ tèi u nhÊt nh»m tìm ra những con đờng ngắn nhất, hay nhất trong việc học tập để giúp chúng ta nắm vững đợc kiến thức và đi đào sâu lợng kiến thức đã học. Để đạt đợc điều đó th× mçi ngêi gi¸o viªn, mçi häc sinh ph¶i trau dåi kiÕn thøc, su tÇm vµ hÖ thèng cho chÝnh m×nh nh÷ng ph¬ng ph¸p häc tËp vµ nghiªn cøu riªng. Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu, viÖc ®i ph©n lo¹i c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i mét d¹ng to¸n hay bÊt k× mét lÜnh vùc nµo, nã gióp chóng ta cã nhiÒu c¸ch nh×n, cách lý giải cho cùng một vấn đề, nó giúp chúng ta nhìn nhận, xem xét một cách kĩ lỡng hơn, dới nhiều góc độ, để chúng ta tìm đợc cách giải quyết cho nhanh nhất, hiÖu qu¶ nhÊt. 2. C¬ së thùc tiÔn: Hiện nay, trong các trờng THCS và ngay cả bậc phổ thông việc giải một phơng trình vô tỉ vẫn là một vấn đề cần bàn, đa số các giáo viên đã truyền đạt hết cho häc sinh nh÷ng kiÕn thøc, nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i nhng cha cã tÝnh hÖ thèng cao, cha ®i s©u vµo ph©n tÝch nh÷ng u ®iÓm, nh÷ng tån t¹i vµ kh¶ n¨ng øng dông cña từng phơng pháp chính, bởi lẽ đó mà những phơng pháp giảng giải của giáo viên thờng hay chồng chéo lên nhau khiến cho việc tiếp thu của học sinh thờng bị động vµ cha cã tÝnh quyÕt to¸n trong viÖc t×m cho m×nh mét ph¬ng ph¸p tèi u nhÊt khi đứng trớc một bài toán giải phơng trình vô tỉ. MÆt kh¸c, ®a sè c¸c em häc sinh kh«ng cã kh¶ n¨ng hÖ thèng cho m×nh nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i lo¹i ph¬ng tr×nh nµy, hay cßn phÇn lín c¸c em kh«ng biÕt cách giải thế nào cho đúng, cho hay, nhất là với học sinh bậc THCS. Các em thờng giải theo phơng pháp lũy thừa và chọn ẩn nhng đa số các em không phán đoán đợc phơng trình sau có tơng đơng với phơng trình đã cho hay không? Chính bởi những lí do trên mà tôi chọn đề tài này để phần nào tháo gỡ những vớng mắc trên, giúp cho quá trình dạy và học đợc tốt hơn và đạt hiệu quả mong muốn..

(2) II. Mục đích nghiên cứu đề tài:. Một là, giúp học sinh nắm đợc các phơng pháp giải một bài giải phơng trình vô tỉ. Trên cơ sở đó, tìm đợc những vớng mắc, khó khăn mà các em thờng gặp phải trong qu¸ tr×nh gi¶i lo¹i bµi tËp nµy. Hai là, hệ thống đợc các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ, trên cơ sở đó ph©n tÝch nh÷ng u viÖt hay h¹n chÕ cña tõng ph¬ng ph¸p. Ba là, thông qua hệ thống ví dụ, giúp các em thấy đợc cách lựa chọn một hoặc nhiều phơng pháp khác nhau để giải một bài toán sao cho nhanh và đạt hiệu qu¶ tèi u nhÊt. III. §èi tîng vµ kh¸ch thÓ nghiªn cøu:. 1. §èi tîng nghiªn cøu: Nghiªn cøu nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ. §¸nh gi¸ tÝnh u viÖt, h¹n chÕ vµ kh¶ n¨ng øng dông cña tõng ph¬ng ph¸p gi¶i. 2. Kh¸ch thÓ nghiªn cøu : Tập trung nghiên cứu trong chơng trình đại số lớp 8, lớp 9 và trong chơng trình to¸n phæ th«ng. 3. Ph¹m vi nghiªn cøu: Do yêu cầu của đề tài nên chỉ tập trung nghiên cứu phần đại số ở lớp 8 và líp 9 cßn l¹i lµ trong ch¬ng tr×nh to¸n cÊp III. IV. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài:. Phải hệ thống đợc cách giải một phơng trình vô tỉ. Phải phân tích đợc những u việt và hạn chế của từng phơng pháp, từ đó đa ra khả năng ứng dụng của từng phơng pháp đối với một bài giải phơng trình vô tỉ. Ph¶i ph©n tÝch vµ t×m ra tõng chç thiÕu sãt, chç sai mµ häc sinh thêng hay m¾c ph¶i vµ ®a ra cho häc sinh nh÷ng c¸ch kh¾c phôc. V. Phơng pháp nghiên cứu đề tài:. 1 - Phơng pháp đọc và phân tích tài liệu. 2 - Ph¬ng ph¸p tæng hîp nh÷ng kinh nghiÖm s¸ng kiÕn cña nh÷ng gi¸o viªn d¹y giái. 3 - Ph¬ng ph¸p kh¶o s¸t thùc tÕ. Phần II: Nội dung chính của đề tài Ch¬ng I: Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n I. Những vấn đề chung của phơng trình:.

(3) 1. Tập xác định của phơng trình: a. Định nghĩa: Tập xác định của một phơng trình là tập hợp các giá trị của một ẩn làm cho mọi biểu thức trong phơng trình có nghĩa. Tập xác định đợc viết tắt lµ TX§. VÝ 2dô : x −6 x =1 a. Ph¬ng tr×nh x 2 – 7x + 1 = 6x 2 + 2 Có tập xác định là D x +4 =R b. Ph¬ng tr×nh √ x −2=x2 +2 có tập xác định là: D = { ∀x ∊ R/x + 4 ≠ 0} = R - {4} c. có tập xác định là: D = { ∀x ∊ R/x - 2 ≥ 0} = R – [4] 2. Hai phơng trình tơng đơng: 2.1. §Þnh nghÜa : Hai phơng trình đợc gọi là tơng đơng nếu chúng có cùng chung một tập nghiệm trong cïng mét tËp sè. 2.2. VÝ dô : a. Cho hai ph¬ng tr×nh : x2 - 7x + 6 = 0 và 2x2 – 14x + 12 = 0 là hai phơng trình tơng đơng vì chóng cã cïng tËp nghiÖm S = {1; 6}. b. Hai ph¬ng tr×nh: x + 1 = 0 và (x + 7).(x - 5) = 0 là hai phơng trình không tơng đơng vì tập nghiÖm cña ph¬ng tr×nh thø nhÊt lµ S = {- 1} cßn cña ph¬ng tr×nh thø hai lµ S = {- 1; 5}. c. Hai ph¬ng tr×nh: x2 + 1 = 0 và x2 + x + 6 = 0 là hai phơng trình tơng đơng vì chúng có cùng chung mét tËp nghiÖm lµ S = φ. 3. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh: Cho ph¬ng tr×nh f(x) = g(x). NghiÖm cña ph¬ng tr×nh xÐt trªn tËp A lµ sè α ∊ A sao cho f(α) = g(α). II. C¸ch gi¶i c¸c bÊt ph¬ng tr×nh, ph¬ng tr×nh c¬ b¶n: b x=− a 1. Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh bËc nhÊt:. -. ax + b = 0 ⇔ ax + b > 0 ⇔. (víi a ≠ 0) b x a (víi a > 0) b x (víi a < 0) a.

(4) 2. BÊt ph¬ng tr×nh bËc hai: b ' (b = ) a. Ph¬ng tr×nh bËc hai cã: 2 ∆ = b2 – 4ac ∆’ = b’2 – ac. b x= ∆ < 0 – ph¬ng tr×nh v« nghiÖm. 2a - b ±√Δ x= ∆ = 0 – ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kÐp. 2a ∆> 0 – ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt. b. Quy t¾c xÐt dÊu tam thøc bËc hai: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) * ∆ ≤ 0 th× f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a. * ∆ ≥ 0 th× f(x) = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1; x2. NÕu f(x) cïng dÊu víi hÖ sè a khi víi ∀ x ∉ (x1; x2); f(x) kh¸c dÊu víi hÖ sè a víi ∀ x ∉ (x1; x2); 3. Ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh tÝch: f(x).g(x) = 0 ⇔ f(x) = 0 hoÆc g(x) = 0 f(x). g(x) > 0 ⇔ f(x) > 0 hoÆc f(x) < 0 g(x) > 0 g(x) < 0 4. Các phép biến đổi tơng đơng: a. f(x) = g(x) + h(x) ⇔ f(x) – g(x) = h(x) f ( x ) g(x ) = b. f(x) = g(x) ⇔ f(x) ± c = g(x) ± c (víi c ∊ R) k k. c. f(x) = g(x) ⇔ k.f(x) = k.g(x) ⇔. (víi k ∊ R*). d. f(x) = g(x) ⇔ (f(x))2k + 1 = (g(x))2k + 1 (víi k ∊ N). e. f(x) = g(x) (víi f(x) ≥ 0; g(x) ≥ 0) ⇔ [f(x)]2k = [g(x)]2k (víi k ∊ N) III. Ph¬ng tr×nh v« tØ:. 1. §Þnh nghÜa: Ph¬ng tr×nh v« tû lµ ph¬ng tr×nh cã chøa dÊu c¨n thøc 2. C¸ch gi¶i chung: Bớc 1: tìm tập xác định của phơng trình. Bíc 2: t×m c¸ch khö c¨n thøc vµ t×m nghiÖm. Bớc 3 : so sánh với tập xác định và kết luận nghiệm của phơng trình. 3.VÝ dô :. √ 2x+3=x Gi¶i ph¬ng tr×nh : 3 x≥− (1) 2 Điều kiện để căn thức có nghĩa 2x + 3 ≥ 0 ⇔ víi ®iÒu kiÖn x ≥ 0 (3) ph¬ng tr×nh (1) ⇔ (2x + 3) = x2 (4). (2).

(5) ⇔ x2 – 2x – 3 = 0. V× a – b + c = 0 nªn (4) cã nghiÖm lµ: x1 = - 1; x2 = 3 x1 = - 1 kh«ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (3) x2 = 3 tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn (2) vµ (3) VËy nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh lµ x = 3. 4. Mét sè kiÕn thøc cÇn nhí: 4.1. §iÒu kiÖn tån t¹i mét c¨n thøc: 2k. √A. 2 k+1. tån t¹i khi ∀ A ≥ 0 (k ∊ N). √A. √ A2. tån t¹i khi ∀ A ∊ R (k ∊ N) = ∣A∣ = A khi A ≥ 0 - A khi A ≤ 0. 4.2. Một số bất đẳng thức quan trọng: a. Bất đẳng thức Côsi:. a1 +a2 +. .. .. . .. . an n ≥ √ a1 . a 2 . .. an NÕu a1, a2..... an lµ c¸c sè kh«ng ©m ta cã: n. đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =.... = an. b. Bất đẳng thức Bunhiacopxki: NÕu a1, a2..... an vµ b1, b2..... bn lµ c¸c sè tuú ý ta cã: (a12 + a22 +..........+ an2).(b12 + b22 +........+ bn2) ≥ (a1b1 + a2b2 + ........ + anbn)2. a1 a2 an = = b2 b 2 b n đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:. c. Bất đẳng thức Trêbsep. NÕu a1 ≥ a2 ≥.....≥ an vµ b1 ≥ b2 ≥......≥ bn, ta cã: (a1 + a2 + ........ + an).(b1 + b2 + .......... + bn) ≥ n.(a1b1 + a2b2 +.......+ anbn). đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ...... = an hoặc b1 = b2 = ....... = bn. d. Lợc đồ Hoocle. Cho ®a thøc f(x) = anxn + an-1xn-1 + ...... + a1x + a0 (víi x = α), ta cã: an an-1..... a1 a0 + + α x an α an + an-1 α.∆ + a1 f(α).

(6) Chơng II: Phơng pháp biến đổi tơng đơng I. Ph¬ng ph¸p n©ng lòy thõa: ❑ √❑ A ❑√❑B 1. C¸c d¹ng ph¬ng tr×nh v« tØ c¬ b¶n:. ⇔ A ≥ 0 hay B ≥ 0 √❑ A A=B b. =B ⇔ B≥0 3 √❑ A A = B2 2 √ AB c. =B ⇔ A = B3 d + = ⇔ A≥0 ⇔A+B+ =C B C A B≥0 Lu ý: Víi ph¬ng ph¸p lòy thõa hai vÕ. Muèn n©ng hai vÕ ph¬ng tr×nh lªn lòy thõa bËc ch½n, ta ph¶i biÕt ch¾c ch¾n hai vÕ cïng dÊu, tèt nhÊt lµ cïng d¬ng. Để nắm đợc phơng pháp này, chúng ta cùng tìm hiểu một số ví dụ cụ thể: a.. =. ❑. 2. VÝ dô:. √ x −5=x − 7 VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) Gi¶i: Điều kiện để căn thức có nghĩa x – 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5 (2) Víi ®iÒu kiÖn x – 7 ≥ 0 ⇔ x ≥ 7 (3) phơng trình (1) tơng đơng với: x – 5 = (x – 7)2 ⇔ x2 – 15x + 54 = 0 (4) Giải phơng trình (4) ta đợc: x1 = 6 kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn (3) x2 = 9 tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn (2) vµ (3) VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt lµ x = 9. Nhận xét: Trong cách giải trên, ta đặt điều kiện (2) vì lý do s phạm. Thực ra kh«ng cÇn ®iÒu kiÖn nµy. ThËt vËy, khi b×nh ph¬ng hai vÕ cña (1), biÓu thøc x – 5 bằng một bình phơng, đơng nhiên không âm, do đó các giá trị của x thỏa mãn (3) còng sÏ tháa m·n ®iÒu kiÖn (2). x+ 2− √2 x+ 3=0 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh Gi¶i:. √ 2 x +3=x +2 Chuyển vế phơng trình đã cho, ta có: 3 x≥− (1) 2 ph¬ng tr×nh (1) cã nghÜa khi vµ chØ khi: 2x + 3 ≥ 0 ⇔ x+2≥0 với điều kiện (2) thì phơng trình (1) tơng đơng với:. (2) x≥-2.

(7) 2x + 3 = (x + 2)2 ⇔ x2 + 2x + 1 = 0 (3) Giải phơng trình (3) ta đợc nghiệm duy nhất là: x = - 1. Vậy phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = - 1. √ 2 x +3=x +2 Lu ý: NhiÒu em khi gÆp bµi nµy thêng gi¶i theo c¸ch quen thuéc: ⇔ x + 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 2. 2x + 3 = (x + 2)2 ⇔ (x + 1)2 = 0 3 x≤− √ 2 x +3 và cũng tìm đợc nghiệm x = - 1 thoả mãn (x ≥ - 2). 2 Nhng víi ®iÒu kiÖn (- 2 ≤ ) th× l¹i kh«ng tån t¹i v× 2x + 3 < 0. √ 1− x + √ 1− 2 x =√ x +4 VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) Gi¶i: 1 1 x≤ −4≤x ≤ x≤1 2 2 Điều kiện để căn thức có nghĩa: 1 – x ≥ 0 1 – 2x ≥ 0 ⇔ ⇔ (2) x+4≥0. x≥-4. 2. √x+4 ¿ 1− x + √ √ 1− 2 x ¿2=¿ Với điều kiện (2) phơng trình (1) tơng đơng với: ¿ 2 √ (1− x) .(1− 2 x )=x +4. ⇔ 1 – x + 1 – 2x +. 2 √ (1− x) .(1− 2 x )=4 x+2. ⇔. √(1 − x) .(1 −2 x)=2 x +1 ⇔ x≥−. (3). 1 2. víi ®iÒu kiÖn 2x + 1 ≥ 0 ⇔ 2 x +1¿ 2 2 ( √(1 − x ).(1 −2 x) ) =¿. (4) thì phơng trình (3) tơng đơng với: ⇔ 2x2 – 3x + 1 =. 4x2 + 4x + 1. Giải phơng trình (5) ta đợc x = 0 x=−. ⇔ 2x2 + 7x = 0 (5) (tháa m·n ®iÒu kiÖn (2) vµ (4)). 7 2. kh«ng tháa m·n ®iÒu kiÖn (4) VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt lµ x = 2. 1 √ ab= √a . √ b Lu ý: Với điều kiện (2) ta chỉ cần x ≤ 2 thì phơng trình (1) đã tơng đơng với phơng trình (3) vì khi bình phơng thì (x + 4) bằng một bình phơng, đơng nhiên là dơng. Víi , điều này chỉ đúng khi a ≥ 0 ; b≥ 0 và trong trờng hợp a ≤ 0; b ≤ 0 th× √ ab= √ − a . √− b . VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh.

(8) √3 x+1+ √3 x − 1=√3 5x (1) Gi¶i: Lập phơng hai vế phơng trình ta đợc: √3 5x ¿ 3 3 3 √ x+1+ √ x − 1¿ 3=¿ ¿. ⇔. x+1 3 √¿ 3 x+ 1+ x −1+3 . √ (x+ 1).(x - 1).(¿ + √3 x − 1)=5x √3 x2 −1 . √3 5x=x (2). ⇔ ⇔ 5x.(x2 – 1) = x3 ⇔ x.[5.(x2 – 1) – x2] ⇔. x=0. x=0 ⇔. 4x2 x= √ 5 – 5 = 0 2. 5 x=− √ 2 5 x=± √ VËy ph¬ng tr×nh (1) cã 3 nghiÖm ph©n biÖt x1 = 0; 2. Thay l¹i vµo ph¬ng tr×nh (1) ta thÊy víi x = 0 hoÆc ph¬ng tr×nh (1).. 5 x 2,3=± √ . 2. đúng là nghiệm của. Lu ý: - Do từ (1) suy ra (2), ta thực hiện phép biến đổi không tơng đơng nên phơng trình (2) tìm đợc nói chung có nhiều nghiệm hơn phơng trình ban đầu, vì thế việc thay l¹i nghiÖm cña (2) vµo (1) lµ cÇn thiÕt nÕu kh«ng ta sÏ gÆp nghiÖm ngo¹i lai. √3 x+1+ √3 x − 1=√3 5x - Víi d¹ng bµi nµy, chóng ta kh«ng thay thÕ th× ch¾c ch¾n lêi gi¶i sÏ phøc t¹p h¬n rÊt nhiÒu. II. Phơng pháp đa về hằng đẳng thức quen thuộc.. Với phơng pháp này chúng ta thờng phân tích, thêm bớt để đa về dạng: A ± B ¿2n ¿ ¿ 2n √¿ 2n +1. A ±B¿ ¿ ¿ 2n+1 √¿. ∣A∣ = B ⇔ A = B A = - B (víi B ≥ 0) VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau:. √ 2 √ x − 2+ x −1 − √ x − 1− 2 √ x − 2=1 √ x - 2 + 2 √ x −2+1 − √ x − 2− 2 √ x −2+1=1 ⇔ 2. 2. √ ( √ x −2+1 ) − √ ( √ x −2 −1 ) =1 ⇔. |√ x −2+1|−|√ x −2 −1|=1 ⇔.

(9) |√ x −2+1|=|√ x − 2− 1|+1(∗) ⇔ Điều kiện để căn thức có nghĩa x – 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 |√ x −2+1|≥ 1⇒ |√ x −2+1|=√ x −2+1 ⇒. √ x −2 −1 ≥ 0 √ x −2 ≥ 1 ⇔. ⇔ x–2≥0. ⇔x≥3. x–2≥1. |√ x −2 −1|=¿. √ x −2+1 VËy. khi x ≥ 3. − √ x − 2+ 1. khi 2 ≤ x < 3. Tóm lại phơng trình sau tơng đơng với: √ x −2+1=1+ √ x −2 −1 √ x −2+1=1− √ x −2+1 khi x ≥ 3 khi 2 ≤ x < 3. 1 √ x −2= ⇔ - 1 = 0 (v« lÝ) 2. khi 2 ≤ x < 3. 1 9 x − 2= x= ⇔ tháa m·n 2 ≤ x < 3. 4 4 ⇔ 9 x= 4 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ: ¿ A khiLu A ≥ý:0 − A khi A <0 §èi víi ph¬ng ph¸p nµy ta ph¶i thËt khÐo lÐo khi xö lý qu¸ tr×nh: 2 ¿ √ A =| A|={ ¿. NhiÒu b¹n rÊt hay lµm thiÕu trêng hîp (- A). √ x −2 −2 √ x −3=1 √ x −3 − 2 √ x − 3+1=1 VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: (1) ⇔ 2 √ ( √ x −3+1 ) =1 |√ x −3+ 1|=1 ⇔ ⇔ (2) Điều kiện để căn thức tồn tại x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 (3). √ x −3=2 √ x −3 −1=1 ⇔. x=7 với điều kiện (3) phơng trình (2) tơng đơng với:. √ x −3 −1=−1. x − 3=4. x − 3=0. ⇔. √ x −3=0 tháa m·n ®iÒu kiÖn (3) VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm lµ x1 = 3; x2 = 7.. x=3. ⇔.

(10) √ A 2=|A|=¿ Lu ý: | A|=B Ta cã thÓ dïng. ⇔ A=B A = - B (víi B ≥ 0). th× viÖc gi¶i sÏ nhanh h¬n. VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: x − 2 √ x − 1−(x − 1) . √ x + √ x 2 − x=0. (1). Lêi gi¶i: Điều kiện để căn thức có nghĩa: x–1≥0 x≥0. x≥1 ⇔. x≥0. x2 – x ≥ 0. ⇔ x ≥ 1 (*). x ≤ 0 hoÆc x ≥ 1. ( 1 ) ⇔ x −1 −2 √ x −1+1 −(x − 1) . √ x + √ x . √ x −1=0 2. ⇔ ( √ x − 1− 1 ) − . √ x .(x −1). ( √ x −1 −1 ) =0 ⇔ ( √ x − 1− 1 ) − [ √ x −1 −1 − √ x .( x −1) ] .=0 ⇔ ( √ x − 1− 1 ) − [ √ x −1 −1 − √ x .( x −1) ] .=0. ⇔ ( √ x − 1− 1 )=0 ( 2 ) ⇔. √ x −1=1⇔ x −1=1. √ x −1=√ x √ x −1+1 ( 3 ) ⇔ x = 2 tho¶ m·n (*) hoÆc x −1=2 √ x .( x −1)+ x .( x −1)+ 1 với điều kiện x ≥ 1 thì hai vế của (3) đều dơng, bình. phơng hai vế ta đợc: 2. x −1 ¿ −1 2 √ x .( x −1)=− ¿. ⇔. - (x – 1)2 – 1 < 0 víi ∀ x ≥ 1 suy ra ph¬ng tr×nh (3) v« nghiÖm. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt lµ x = 2. III. Phơng pháp dùng miền xác định.. Khi sö dông ph¬ng ph¸p nµy ta thêng chia nhá TX§ cña ph¬ng tr×nh vµ kÕt hîp víi c¸c ®iÒu kiÖn rµng buéc ta sÏ cã nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh. √ x(x −1)+ √ x (x +2)=2 √ x 2 Lêi gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x(x – 1) ≥ 0 x ≤ 0 hoÆc x ≥ 1. (1). x≥1.

(11) x(x + 2) ≥ 0 x ≤ - 2 hoÆc x ≥ 0 - Với x ≤ - 2 ta có phơng trình tơng đơng với: √ − x . √ x −1+ √− x √− x − 2=2 √− x . √− x. √ 1− x +√ − x −2=2 √ − x. x≤-2. ⇔. 1− x - x - 2 + 2 √( x −1).(x + 2)=− 4x 2. ⇔. x +x − 2 2 √ ¿ ¿=1− 2x. ⇔ Vì x ≤ - 2 nên hai vế đều dơng, ta bình phơng hai vế: 9 9 x= (lo¹i)vi 8 8 4x2 + 4x – 8 = 1 – 4x + 4x2 ⇔ 8x = 9 ⇔ - Víi x ≥ 1, ta cã: x . x  1  x x  2 2 x . x (1) ⇔. −2. Bình phơng hai vế ta đợc :. x2 + x − 2 x - 21 + x + 2 + 2 √ ¿ ¿=4x 9 x +x − 2 x= (tháa m·n) ⇔ 8 √ ¿ ¿=− 1+ 2x 9 x= ⇔ 8x = 9 ⇔ 8. VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ : Chú ý : Khi sử dụng phơng pháp này, chúng ta phải xác định TXĐ của phơng trình một cách chính xác và kết hợp với các điều kiện để tìm ra nghiệm. VÝ dô 2 : Gi¶i ph¬ng tr×nh 4x +13 (1) √ x+1+ √ ¿ ¿=√3x + 12 Lêi gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: 13 x≥− x+1≥0 x≥-1 4 4x + 13 ≥ 0 ⇔ ⇔ x≥-1 3x + 12 ≥ 0 x≥-4 x+ 1+ 4x+13+ 2 √(4x+ 13).( x +1)=3x + 12 Bình phơng hai vế phơng trình (1) ta đợc: (1) ⇔ √(4x+13). ( x+1)=x − 1 ⇔ (3) §Ó ph¬ng tr×nh (3) tån t¹i ⇔ - x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≤ - 1 (4) Kết hợp (2) với (4) ta đợc x = - 1 và thỏa mãn (1) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ: x = - 1. VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+2 . √ x −1+ √ x −2 . √ x −1=2 (1) Lêi gi¶i:.

(12) 2. 2. √ ( √ x −1+1 ) +√ ( √ x −1 −1 ) =2. Phơng trình đã cho tơng đơng với phơng trình sau:. |√ x −1+1|+|√ x −1 −1|=2 ⇔. √ x −1 −1 * Víi. (2). ≥0⇔ x–1≥0 ⇔ x–1≥1 ⇔ x ≤ 2√ xx−1<1 −1 ≥ 0. √ x −1+1+ √ x − 1− 1=2 ⇔ √ x −1=1⇔ x=2(Tho¶m·n) * Víi. x −1<1 ⇔1≤ x <2 ¿{. √ x −1+1+ √ x − 1− 1=2 ⇔2=2 Th×. Th× (2). ⇔ ⇔. (2). luôn đúng với ∀ x ∊ [1;2] Vậy nghiệm của phơng trình đã cho là: 1 ≤ x ≤ 2. IV. Ph¬ng ph¸p dïng lîng liªn hîp:. - §èi víi ph¬ng ph¸p nµy, chóng ta rÊt dÔ ¸p dông nhng nã thêng ph¶i ¸p dông kÕt hîp víi c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c th× míi cã hiÖu qu¶. - Khi sö dông chóng ta thêng ¸p dông c«ng thøc sau: ( √ A − √ B ) . ( √ A + √ B )=| A|−|B|. ( √3 A ± √3 B ) . ( √3 A 2 ± √3 AB+ √3 B2 ) =A − B VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh. 4x +13 √ x+1+ √ ¿ ¿=√3x + 12. (1). Lêi gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: 13 x≥− x+1≥0 x≥-1 4 4x + 13 ≥ 0 ⇔ ⇔ x≥-1 3x + 12 ≥ 0 x≥-4 Ta nhËn thÊy r»ng: ( √ 4 x +13+ √ x+ 1 ) . ( √ 4 x +13 − √ x +1 )=4 x+ 13− x −1=3 x+12 √ 4x + 13 − √ x+ 1=√ 3 x +12 VËy tõ (1) ta cã : (2) Kết hợp (1) và (2) ta đợc : √ 4x + 13+ √ x+ 1=√ 4 x +13 − √ x+ 1 √ x+1=0 ⇔ ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = - 1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn *) VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ : x = - 1. Lu ý : Khi khai căn của một đa thức, chúng ta phải chú ý điều kiện để đa thức dơng và phải chọn lợng liên hợp để rút ngắn lời giải. VÝ dô 2 :.

(13) x 2=. 9 16. Gi¶i ph¬ng tr×nh : (1). Lêi gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa ⇔. x+ √ x 2 + x ≠ 0 2. x − √x +x ≠ 0. x2 + x ≥ 0 x≠0. ⇔ x ≤ - 1 (*) x>0. x2 + x ≥ 0 x≠0 Ph¬ng tr×nh (1) 2 tơng đơng với:. ( x+ √ x 2 + x ) 3 − = 2 2 2 2 ( x+ √ x + x ) . ( x − √ x + x ) ( x+ √ x + x ) . ( x − √ x + x ) x 4 ( x −√ x + x ). 4 ( x − √ x 2+ x ) ( x+ √ x 2 + x ) 3 − = -x x x. 5 . √ x 2+ x −3 x=3 2. 5 . √ x + x =3 x +3. ⇔ ⇔. ⇔ x≥-1. x≥-1. 25(x2 + x) = (3x + 3)2. 16x2 + 7x – 9 = 0. Ta thÊy 16 – 7 – 9 = 0, vËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 9 16 x1 = - 1 (tháa m·n) 9 x 2= (tháa m·n) 16 x 2=. Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm : x1 = - 1; 2+x 2-x − =2 √ 2 VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh √2+ √ 2+ x √ 2− √ 2+ x. (1) Lêi gi¶i:. Điều kiện để phơng trình có nghĩa là:. √ 2+ √ 2+ x 2+x≥0. ≠0 ⇔. x≠0 x≥-2. (*). phơng trình (1) tơng đơng với: ( 2 + x ) . ( √ 2− √ 2+ x ) ( 2 - x ) ( √2+ √ 2+ x ) + =2 √ 2 ( √ 2+ √ 2+ x ) ( √ 2 − √2+ x ) ( √ 2+ √ 2+ x ) . ( √ 2− √ 2+ x ) 2 . √ 2 −2 . √ 2+ x + x . √ 2− x . √ 2+ x +2 . √ 2+ x +2 . √ 2 − x . √ 2+ x − x . √ 2 =2 √ 2 −x. ⇔.

(14) 4 . √ 2− x . √ 2+ x =−2 . √ 2 . x ⇔ 2. √ 2(2+ x)− x . √ 2+ x=0 ⇔ 2 √ 2 √ 2+ x − x=0 ⇔ √ 2+ x . ¿ √ 2+ x=0 2 √ 2 √ 2+ x=x ⇔. x = -2 x 1=4 +4 √ 2. x=-2 x=-2 x>0 x>0 8(2 + x) = x2 - x2 + 8x + 16 = 0. x> 0. ⇔ x 2=4 − 4 √ 2. (lo¹i) VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: x1 = - 2 (tháa m·n (*) x 2=4 +4 √ 2 (tháa m·n (*) { −2 ; 4 +4 √2 } Tãm l¹i: S = VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh. √ 3x2 −7 x+ 3− √ x2 −2= √3 x 2 − 5 x −1 − √ x 2 −3 x +4 (1) Lêi gi¶i: Gọi miền D là miền xác định của phơng trình tức là D đợc xác định bởi hệ sau: 3x2 – 7x + 3 ≥ 0 x2 – 2 ≥ 0 3x2 – 5x – 1 ≥ 0 x2 – 3x + 4 ≥ 0 b»ng c¸ch nh©n liªn hîp cña (1) vÒ d¹ng sau:. √ 3x2 −7 x+ 3− √ 3 x 2 −5 x −1=√ x2 −2 − √ x 2 −3 x +4 1 2 4 . √ 3x −9 x +1=|x −2|( §S:x=3; x = - ) ⇔ 2 5.. √ x −2 =√ x − 4 (§S:x= 8) √2 x − 7. 6 . √ 6 − 4 x + x 2=x+ 4 (§S:x=- 1). ⇔. (5). ¿ 3 x −6 √ x 2 − 2+√ x 2 −3 x + 4 Ta thÊy r»ng víi x > 2 th× ch¾c ch¾n kh«ng ph¶i lµ nghiÖm 0 cña (5) v× víi ¿ mçi x > 2, x ∊ D th×:.

(15) ¿ 3 x −6* 4 – 2x < 0 ⇒ √ x 2 − 2+√ x 2 −3 x + 4 0 ¿ * 3x – 6 > 0 ⇒. ¿ 3 x −6 T¬ng tù nh vËy víi ∀ x < 2, x ∊ √ x 2 − 2+ √ x 2 −3 x + 4 ¿ 0 3 x −6* 4 – 2x < 0 ⇒ ¿ √ x 2 − 2+√ x 2 −3 x + 4 0 ¿ * 3x – 6 > 0 ⇒. D th×:. ¿ v×: râ rµng x = 2 ∊ D tháa m·n (5). 4 − 2. 2 3 . 2− 6 = 2 ⇔ 0=0 2 √3 . 2 −7 . 2+3+√ 3 .2 −5 . 2 - 1 √2 −2+√ 22 − 3. 2 + 4 ¿ 2. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt lµ: x = 2. Bµi tËp ch¬ng II Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh v« tØ sau: 1. √ 25 - x 2=x − 1(§S:x=4 ) 2. √ 3 x2 −9 x +1=x −2(§S:x=3) 3 . √ x 2 −2 x − 4=√ 2 − x (§S:x=- 2). 1 4 . √ 3x2 −9 x +1=|x −2|( §S:x=3; x = - ) 2. 5.. √ x −2 =√ x − 4 (§S:x= 8) √2 x − 7. 6.. 6  4 x  x 2 x  4. (§ S : x - 1). 19  2x 1 (§ S : x 5) x 20  x 20  x 8.   6 (V« nghiÖm) x x 9. 15  x  3  x 6 (§ S : x -1) 7.. 2. 10.. x 5 . 11.. 5x - 5  10x  5  15x  10. 12.. x  3 - 4 x - 1  x  8  6 x  1 1. 13.. 5x - 6  1. x  3 2. (§ S : x 4) (§ S : x 1). 4x  1 x  1 0. .  . 14 . 2 x x 2  4  x  2 4. x 2  4  x  2 Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 15. x  Bµi 2 :. (§ S : 5 x 10). x 1 . x  4  x  9 0. . 1   §S : x   2   § S : x 0.

(16) ¿ 3 1. √12 − x + √ 14 − x=2 3 3 3 2. √ x −2+ √ x +3= √ 2 x+1 3 3 3 3 . √ x − 1+ √ x −2= √ 2 x − 3 ( S= {1,3/2,2 } ) Bµi 3: 3 ( 2+ √ x −2 ) =2 x + √ x +6 ¿ 3. Gi¶i ph¬ng tr×nh sau :. Ch¬ng III : Giải phơng trình vô tỉ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ. - §Ó khö c¨n thøc, ngêi ta cã thÓ ®a thªm mét hoÆc nhiÒu Èn phô. Tuú theo d¹ng cña ph¬ng tr×nh mµ c¸c b¹n lùa chän cho thÝch hîp. - Đây là một “công cụ” tơng đối mạnh và đạt hiệu quả cao trong việc khử căn thức song nó cũng có nhiều chỗ làm cho các bạn nhầm giữa ẩn đã cho với ẩn mới. I. Đặt ẩn phụ để chuyển về phơng trình hữu tỉ :. - Ta thờng đặt một ẩn mới thay ẩn của phơng trình song chúng ta phải chú tới điều kiÖn liªn quan gi÷a Èn cò vµ Èn míi. VÝ dô 1: 2 √ x −3=x −2 ( 1 ). Gi¶i ph¬ng tr×nh:. Lêi gi¶i : Điều kiện để phơng trình có nghĩa là : x – 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 2 2 t=√ x −3 ≥ 0 ⇔ t =x − 3 ⇔t +1=x − 2 §Æt. (2). Thay vµo (1)2 ta đợc phơnh trình mới tơng đơng với phơng trình (1) 2 2 2t =t +1 ⇔t −2 t + 1=0 ⇔ ( t −1 ) =0 ⇒t =1 ( T /M ) t=1⇔ 1=√ x −3 ⇔ x −3=1⇒ x=4 (T / M ) ( 2 ). Víi VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 4 Chó ý :.

(17) t=√ A. th× cha ch¾c t ≥ 0 mµ cßn ph¶i tuú thuéc vµo. - Khi đặt ẩn phụ ví dụ. tập xác định của A mà 0 ≤ t ≤ α (α ∊ R+) chúng ta phải hết sức chú ý điều này, tr¸nh trêng hîp thiÕu hoÆc thõa nghiÖm nh trong vÝ dô sau ®©y: ( x − 3 )( x +1 ) + 4 ( x −3 ) . x+ 1 =−3 x −3. √. x +1 Y =( x −3 ) . x−3. §Æt. √. VÝ dô 1 : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau : (1). Lêi gi¶i : th× Y 2 = (x - 3)(x + 1) nªn ph¬ng tr×nh (1) ®a vÒ. d¹ng : Y2 + 4Y + 3 = 0 ta cã 1 – 4 + 3 = 0 nªn ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt −1= ( x −3 ) .. √. x+1 () x−3. Y = -1 vµ Y = - 3. + Víi Y = 1 ⇔. §Ó (*) cã nghÜa th× x – 3 < 0 ⇔ x < 3 (**). Bình phơng hai vế ta đợc 1 = (x - 3)(x + 1) ⇔ x2 – 2x - 4 = 0 Ta cã ∆ = 1 + 4 = 5 > 0 Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt. x 1=1+ √5> 3 ( Kh«ng tho¶ m·n ) x2 =1− √ 5< 3 ( Tho¶ m·n ( ** ) ) −3=( x − 3 ) .. √. x+ 1 ( *** ) x −3. + Víi Y = - 3. ⇔. Với điều kiện (**) phơng trình (***) tơng đơng với 9 = (x - 3)(x + 1) ⇔ x2 – 2x – 12 = 0 Cã ∆’ = 1 + 12 = 13 > 0. Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: x 1=1+ √13 ( Kh«ng tho¶ m·n (**)) x 2=1− √13 ( Tho¶ m·n ( ** ) ) x 1=1− √5 ; x 2=1 − √ 13 Tãm l¹i: Ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm: t=√(x − 3).( x +1) Chú ý: Rất nhiều bạn khi gặp bài này thờng đặt ẩn phụ là:. , điều này cha đúng khi x – 3 > 0, do đó ta phải đặt nh trên. VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3. √ 2− x=1− √ x −1. (1). Lêi gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x – 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1. t=√3 2− x §Æt. ⇔ t3 = 2 – x ⇒ x – 1 = 1 – t 3. v× x ≥ 1 > 0 ⇔ 1 – t3 ≥ 0 ⇔ t3 ≤ 1 ⇔ t ≤ 1, ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh: t=1− √ 1−t 3 ⇔ √ 1− t . √ 1+t +t 2+t −1=0.

(18) 2. ⇔ √ 1− t . ( √ 1+t+t − √ 1− t ) =0 ¿. ⇔. √ 1− t=0. √ 1+ t+t 2=√ 1− t. ⇔ 1–t=0 1 + t + t2 = 1 - t t=1. ⇔ t=1. ⇔. đều thỏa mãn t ≤ 1. t=0. t2 + 2t = 0. t = -2. 1=√3 2 − x * Víi t = 1 ⇔. ⇔ 1 = 2 – x ⇒ x = 1.. 3. 0=√2 − x * Víi t = 0 ⇔. ⇔ 0 = 2 – x ⇒ x = 2.. 3. −2=√ 2 − x * Víi t = - 2 ⇔. ⇔ - 8 = 2 – x ⇒ x = 10.. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt : x1 = 1 ; x2 = 2 ; x3 = 10. Chó ý : Với điều kiện x ≥ 1 ta suy ra t ≤ 1, việc này sẽ giúp chúng ta giải đợc một cách nhanh chóng khi ta tìm đợc những nghiệm t không thỏa mãn, tránh đợc quá trình gi¶i lan man víi nh÷ng nghiÖm t kh«ng cÇn thiÕt. VÝ dô 4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh √ 3+ x+ √ 6+ x − √(3+ x).(6 − x )=3 (1) Lêi gi¶i: Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: 3+x≥0 6–x≥0. x≥3 ⇔. (3 + x).(6 – x) ≥ 0 2 √ 3+ x+ √ 6+ x ( √ 3+ x+ √ 6 + x ). x≤6. ⇔ -3≤x≤6. (*). -3≤x≤6. X2− 9 =√ (3+ x ).(6 − x) §Æt X = 2. víi X ≥ 0 ⇔. Ta cã X2 =. áp dụng bất¿đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : ∗. 2 2 2 ¿|X|≤ 32 . √ 2 ⇔ 0 ≤ X ≤3 . √ 2 X ≤ (1 + 1 ).(3 + x + 6 – x) = 18 ⇔. X−. X −9 ¿ =3 2. X≥0. Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh :. ⇔ X2 – 2X – 3 = 0. Ph¬ng tr×nh cã 1 + 2 + 3 = 0, nªn ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: X1 = - 1. Kh«ng tháa m·n víi ®iÒu kiÖn (**).

(19) X2 = 3Tháa m·n ®iÒu kiÖn (**) 3= √ 3+ x + √ 6+ x Víi X = 3 ⇔. √(3+ x ).(6 − x)=0. ⇔. ⇔ x+3=0⇔ 6–x=0. x=-3. x=6. Tháa m·n ®iÒu kiÖn (*) VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm: x1 = -3; x2 = 6. VÝ dô 5: Gi¶i ph¬ng tr×nh (x+ 5) .(2 − x)=3 . √ x 2+ 3. (1). Lêi gi¶i: 2. −( x +3)+ 10=3. √ x 2+3. (1) ⇔. Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: x2 + 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ - 3. (2). x≥0 t=√ x2 +3 ≥ 0( ) §Æt. ⇔ t2 = x2 + 3x.. Ph¬ng tr×nh (1) trë thµnh: t2 + 3t – 10 = 0 − 3+7 √ 49=7 t1 = 2 =2 ∆ = 9 – 4.1.(-10) = 49 ⇒ t2 =. − 3− 7 =−5 (lo¹i) 2. 2=√ x 2+ 3 x. Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt:. Víi t = 2 ⇔. Vì hai vế đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc: 4 = x2 + 3x ⇔ x2 + 3x – 4 = 0 Ph¬ng tr×nh cã a + b + c = 0 (1 + 3 – 4 = 0) nªn ph ¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1; x2 = - 4. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1; x2 = 4. VÝ dô 6: Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2 +7 x+ 4 =4 . √ x(1) x +2. Lêi gi¶i: 4 nghÜa: Điều kiện để phơng trình tcó +7 t 2+ 4 x ≥ 0 =4 t t 2 +2 t=√ x ≥ 0 ⇔ t 2=x 4 t 3+ 7 t 2 −8 t+ 4=0( 2) Phơng trình đã cho ⇔ trët −3 thµnh:. t 4 +7 t 2+ 4 =4 t t 2 +2 §Æt 4 3 2 ⇔ t −3 t + 7 t −8 t+ 4=0(2). Ta thÊy t = 1 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (2) v×: 1 – 4 + 7 – 8 + 4 = 0.

(20) áp dụng lợc đồ Hoocle ta có: 1 -4 7 -8 1 1 -3 4 -4 2 1 -1 2 0 2 1 7 2 VËy ph¬ng tr×nh (2) trë thµnh : t + t + 2= t - 2 + 4 > 0 t=1 2) =¿ 0 (3). ( ). 4 0 (t – 1).(t – 2).(t2 – t +. t=2 ¿ V× ¿ ¿ Nªn tháa m·n t ≥ 0 ¿ ph¬ng tr×nh (3) ⇔ (t – 1).(t – 2) = 0 ⇔ √ x=1 ⇔ x=1 (tháa m·n) √ x=2 ⇔ x=4 Víi t = 1 th×. Víi t = 2 th× (tháa m·n) Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là: x = 1; x = 4. Chú ý: Việc áp dụng lợc đồ Hoocle giúp ta tách đợc đa thức bậc cao về tÝch c¸c ®a thøc bËc nhÊt mét c¸ch dÔ dµng h¬n. VÝx dô 7: =1(1) Gi¶i ph¬ng tr×nh x. 2+ 2+. x 1+ √ x +1. Lêi gi¶i: Điều kiện để phơngt2 −1 tr×nh cã nghÜa lµ: x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 1 (2) =1 víi t ≠ −1 2 t=√ x+1 ≥ 0 ⇔ t −1=x t 2 − 1§Æt 2+ t 2 −1 Ph¬ng tr×nh (1) trë2+ thµnh:. t+1 t −1 t −1 t 2 −1 =1 ⇔ =1 ⇔ =1 ⇔t − 1=1 ⇔ t=2 VËy ph¬ng cãt nghiÖm duy −1 t+1 nhÊt x = 3. t 2 − 1 tr×nh 2+ 2+ 2+t 1 II.−§Æt Èn phô, quy ph¬ng tr×nh v« tØ vÒ hÖ ph¬ng tr×nh. Víi t=0 ⇔ √ x +1=2 ⇔ x +1=4 ⇒ x=3 2. 2. Ngoài việc đặt ẩn phụ để đa phơng trình vô tỉ về phơng trình hữu tỉ, chúng ta còn đặt ẩn phụ để đa phơng trình vô tỉ về hệ phơng trình. Đây là cách giải rất thích hợp cho c¸c ph¬ng tr×nh v« tØ. VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh sau x 3+1=2. √3 2 x −1(1) Lêi gi¶i: ¿ 3 3 3 √ 2 x −1 ⇒ y +1=2 x §Æt xy= +1=2 y y 3 +1=2 Khi đó phơng trình đã cho dẫn về hệ phơng trình sau: ¿{ ¿. Trừ hai vế hai phơng trình của hệ ta đợc:.

(21) x3 – y3 = - 2(y – x) ⇔ (y – x).(x2 + xy + y2) + 2(x – y) = 0. x −1=0 ¿⇔ (x – y).( x2 + xy + y2 + 2) = 0 (2) 2 x 2 − x −1=02 y 2 y2 x + xy¿ + y + 2= x+ +3 . + 2> 0 víi ∀ (x , y )∈ R Do 2 4 ⇔ ¿ Nªn ph¬ng tr×nh (3) ⇔ x – y = 0 ⇒ x = y (4) x=1 Thay (4) ¿ vào (1) ta đợc : 1+ √5 x= x3 + 1 = 2x ⇔ x3 – 2x + 1 = 0 ⇔ x3 – x – (x – 1) = 0 2 ⇔ x.(x2 – 1) – (x – 1) = 0 ¿ 1− √ 5 x= ⇔2 (x – 1).(x2 – x – 1) = 0 ⇔ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 1+ √ 5 1− √ 5 x 1=1;¿ x 2= ; x 3= 2 2 ¿ ¿ VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ : ¿ 3 3 tr×nh sau : VÝ dô 2 : Gi¶i¿ph¬ng u + v =2 x+1 √3 x −2+ √3 x +3= √3u23 −x+1 (1) v 3=−5 ¿ 3 u+ v=√ u3+ v 3 3 3 §Æt u − v =−5 ¿ ¿ u= √3 x −2 ⇔ u3=x −2 ; v =√3 x +3 ⇔ v 3=x +3 đó Khi { phơng trình đã cho trở thành hệ sau: ⇒. ( ). (I) LËp ph¬ng hai vÕ ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ (I) ta cã : (u + v)3 = u3 + v 3 ⇔ u3 + v 3 + 3uv(u + v) = u3 + v 3 ⇔ 3uv(u + v) = 0 u=0 ⇔. v=0 u=-v. 3. v =√ 5 3 3 u=− √ 5 - Víi u = 0 th× - v = - 5 ⇔ 3 5 3 5 v = ; u=− 3 2 2 - Víi v = 0 th× u = - 5 ⇔. √. √. - Víi u = - v th× u3 – (- u3)= - 5 ⇔ 2u3 = - 5 ⇒ VËy hÖ ph¬ng tr×nh (I) cã 4 nghiÖm :. ( 0 ; √3 5 ) ; ( − √3 5  ; 0 ) ; 3 5 ; − 3 5 ; − 3 5 ; 3 5. (√ 2 √ 2 ) ( √ 2 √ 2 ).

(22) x=−3 ⇒ x=− 3 ¿ Víi 3 5 ¿ u=− 2 3 5 v= 2 ⇔ 3 5 3 ¿ − =√ x −2 2 3 5 3 = √ x +3 2 ⇔ −5 ¿ =x −2 2 5 =x +3 2 1 ⇒ x=− 2 ¿ Víi 3 5 u= VËy ¿ph¬ng 2 tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt: 1 x=−3 ; x= 5 ; x=2 v=− 3 2 2 ⇔4 √3 x+ 4√ 17 − x=3 (1) VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 5 ¿ = √ x −2 2 ¿ 5 0 3 gi¶i: − 3x ≥Lêi =√ x +3 17 − 2x ≥ 0 ¿ để phơng trình có nghĩa là: ⇔ 0 ≤ x⇔ ≤ 17 §iÒu kiÖn 4 u =x 5{ ¿ ¿=x −2 4 2¿ v =17− x √4 17−5 x √4 x ⇒ u4 + v 4 =17 − =x+3 §Æt u2¿= ≥ 0; v = ¿ { ⇒ ¿ ⇔ u+ v=3 4 4 ¿ u + v =17 { Khi đó phơng trình đã cho trở thành hệ phơng trình sau: (I ) ¿ ¿{ ¿. √. √. √. √. √ √. √ √. Tõ ph¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ (I) ta cã u = 3 – v (2) Thế (2) vào phơng trình thứ hai của hệ (I) ta đợc: (3 – v)4 + v4 = 17 ⇔ 81 – 108v + 54v2 – 12v3 + 2v4 = 17 ⇔ v4 – 6v3 + 27v2 – 54v + 32 = 0 (3) Ta thÊy v = 1 vµ v = 2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh v×: 1 – 6 + 27 – 54 + 32 = 0 16 – 48 + 109 – 108 + 32 = 0 áp dụng lợc đồ Hoocle ta có: 1 -6 27 - 54 32.

(23) 1 1 -5 22 - 32 2 1 -3 16 0 Vậy phơng trình (3) đợc phân tích thành các phơng trình sau: (v – 1).(v – 2).(v2 – 3v + 16) = 0 (4). 0. 2. 3 55 v 2=1 −3 v +16= v − + ≥ 0 V× 2 4 ¿ v =2 ¿ Nên phơng trình (4) tơng đơng với: ¿ ¿ (v – 1).(v – 2) = 0 ⇔ ¿. ( ). Víi v = 1 th× u = 2 Víi v = 2 th× u = 1 u=1 v=2 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm: (1;1)(1;2). 4 1=√ x 4 2=√ 17 − x Víi. ⇒ ¿ 1=x 1=x VËy ph¬ng ⇒ x=1 tháa tr×nh m·n (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x1 = 1; x2 = 16. ¿⇒ 1={ VÝ dô 4: Gi¶i ph¬ng tr×nh { 3 √ x −2+ √ x +1=3 ( 1 ) ¿ v= √ x +1 ≥0 3Lêi gi¶i u=√ x − 2 §iÒu kiÖn ⇔ để phơng trình có nghĩa là x + 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ - 1 2 ¿ v =x +2 u3=x −2 3 §Æt 2 : ⇒ u − v =−3 ¿¿{ ¿ ( 2 ) đã cho trở thành phơng trình sau u+ v=3 Ph¬ng tr×nh 3 2 u −v =−3 ( 3 ) ¿ { ¿. Tõ (2) ta cã v = 3 – u. (4). ThÕ (4) vµo (3) ta cã. u3 – (3 -u)2 = - 3 ⇔ u3 – u2 + 6u – 6 = 0. Ph¬ng tr×nh (5) cã u = 1 lµ nghiÖm v× 1- 1 + 6 – 6 = 0 Theo lợc đồ Hoocle ta có : 1. -1. 6. -6. 1 1 0 6 0 Vậy (5) đợc phân tích thành : (u - 1)(u2 - 6) = 0 ⇔ u – 1 = 0 ⇔ u = 1 Với u = 1 thế vào (4) ta đợc v = 3 – 1 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (1 ; 2). (5).

(24) 2¿ ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm duy nhÊt x = 3. 2− x ¿VËy 3 u= √ 2−dôx 5 : Gi¶i ph¬ng tr×nh ¿ VÝ 3 7+v= x ¿2√7+ x ¿ ⇔ ¿ ¿¿u3 =2− x Lêi gi¶i: 3 3 x¿ §Æt√v¿3 =7+ 3 2 2 ⇒ u u+ v+ v=9(2) − vu=3 ¿u{3 +v 3=9 ¿ ⇔ (1) tơng đơng với phơng trình sau: Ph¬ng tr×nh. ¿ u2 + v 2=3+ vu ¿u=1 (u+ v)(u 2+ v 2 − vu)=9 v =2 ( I ) ¿ vào (2) ta đợc: ThÕ (1) ¿{ ¿ ¿ v) = 9 ⇔ u + v = 3 ⇔ u = 3 – v (4) ¿ 3(u + u=2 ThÕ (4) ¿ vào (2) ta đợc: v =1 2 2 ¿ (3 – v) + v – (3 – v)v = 3 ⇔¿¿ 9 – 6v + 2v2 – 3v + v2 = 3 ⇔ 3v2 – 9v + 6 = 0 ⇔ ¿ ⇔¿ v2 – 3v + 2 = 0 (5) ¿ 3 Ph¬ng 1=√ 2 tr×nh − x (5) cã : 1 – 3 + 2 = 0 ¿ Nªn 3ph¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ : v = 1 ⇒ u = 2 hoÆc v = 2 ⇒ u = 1. 2=√ 7+ x VËy hÖ ¿ (I) cã hai nghiÖm : (1 ;2) vµ (2 ; 1). ¿ ¿ ¿ ¿ 3 2=√ 2 − x ¿ 3 1= √ 7+ x ¿ Phơng¿ trình đã cho có hai nghiệm phân biệt : x = - 6 ; x = 1. ¿ ⇔VÝ dô 6 : Gi¶i ph¬ng tr×nh ¿ √ 2 x¿2 +5 x+2 −2 √ 2 x 2 +5 x −6=1 ( 1 ) ¿ 1=2 − x gi¶i: Lêi ¿ ¿ §iÒu 28=7+ x 2+kiÖn 5 xx+2để ≥ 0ph¬ng tr×nh cã nghÜa: 2 ¿ 2 x +5 ¿ x − 6 ≥0 ¿ ¿{ ¿¿ ¿ ¿y =1 x − 2ph¬ng VËy trình (1) tơng đơng với phơng trình sau: 2 2 x − y =8 (2) ¿{ ¿ 2 Tõ2 y+1 (2) ta x = 2y + 1 (3) ¿ −cã: y 2=8 Thế 2(3) ¿vào (2) ta đợc : 3 y +4 y −7=0 ¿ (4) ¿ ¿.

(25) V× 3 + 4y– =17 = 0 nªn ph¬ng tr×nh (4) cã hai nghiÖm ph©n biÖt : 7 y=− (lo¹i)vi y ≥ 0 3. Víi ¿ y = 1, thế vào (2) đợc x = 3. Vậy hệ (I) có nghiệm duy nhất. x=1 ; x =−. 7 2 V× 2 + 5 – 7 = 0 nªn ph¬ng tr×nh (2) cã hai nghiÖm ph©n biÖt:. ¿. đều thoả mãn. ¿. 3 VÝ v   u 2  uv  v 2   u  tr×nh 7 v−32x7 : Gi¶i u  v u= u 3√2dô u  vph¬ng  u33 − v3   0 v= uu−v v= u √x v−5 u  v  u  v   u 2  uv  v 2 . 5 ⇒ 3 3  u  v  − x u  uv  v    ¿ u3 =7 . 1  0  gi¶i: 2 2  v=x u  −5 u  uv  v  vLêi 2 2 2 ⇒ 2  u  v   u  uv  v  u  uv  v    ¿ u 3+v. 3=2  0 u 2  uv  v2 §Æt3u  v3    u − v =2 ( 6− x )  u  v  3 3 2uv  u v ⇒6 − x= u.  −2v ( 1 ) 2  0    .uv 0  u  v  u3u+v3 uv  v   u v  tr×nh: ¿ { ¿ 3. 2. VËy tõ (1) vµ (2) ta cã ph¬ng. v 3 u − uv +v = u − + v2 2 4 0 v× ⇔ u=v ⇔ (3) (u – v).uv = 0 vì u, v không đồng thời bằng 0 ¿ u=0(4 ) ¿ v=0(5) ¿ ¿¿ ¿ u=v ¿ u=0 3 u¿ =2 v 32=2 ¿ ⇔⇔ u=v =1 KÕt hîp (3) vµ (2) ta cã: ¿{ ¿ u=0 ¿3 ¿ KÕt vµ (2) ta cã : vv=0 =hîp √2 (4) u=v=1 ⇔ 3 { u3 ¿=2 − x=1 √ 7⇔ ¿ 3 − 5=1 KÕt hîp (5) vµ (2) ta cã : ¿√vx=0 ⇔ 3 u= √2 ¿7 − x=1 ¿{ x − 5=1 ¿ ⇔ x=6 ¿{ 2. 2. ( ).

(26) ¿ u=0 3 v =√ 2 Víi ⇔ 3 ¿ √ 7 −¿x=0 v=0√3 2 √3 x −5= 3 u= ⇔√ 2 Víi ¿ 7 −⇔ x=0 3 3 x −5=2 ¿ √ 7 − x=√ 2 − 5=0 √3⇔x x=7 ¿⇔ { ¿ Víi¿7 − x=2 x − 5=0 ⇔ x=5 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt : x = 6 ; x = 7 ; x = 5. ¿{ ¿ dô 8 : Gi¶i ph¬ng tr×nh VÝ. √ 3+ x+ ¿ √ 6+ x − √ ( 3+ x ) ( 6 − x )=3(1) 3+ xLêi ≥ 0 gi¶i: 6−x≥0 §iÒu kiÖn để phơng trình có nghĩa là: ¿ ⇔ u= 3+3x ¿ x√≥− v=x√≤66− x. ⇔ x≤6 ⇔ − 3≤ 2 ¿ u =3+ ¿{ x 2 ¿−x §Ætv =6 2 ¿ ⇔ u + v 2=9 u+¿v{− uv =3(2) 2 ¿+v 2=9(3) VËy uph¬ng trình (1) tơng đơng với hệ sau: ⇔ ¿ uv=u+ v − 3(4 ) 2 u+v v=−1 ( u+ ) −2 uv =9(5) ¿ ¿ u+ v=3 { : uv = -3 + (u + v), thế (4) vào (3) ta đợc: Tõ (2) ta ¿ cã ¿ u +v=3 ⇔ 2 2 uv =0(u ¿ + v) – 2(u + v) + 6 = 9 ⇔ (u + v) – 2(u + v) – 3 = 0 ¿⇔u≥ 0 §©y lµ ¿ph¬ng tr×nh bËc hai víi u + v, mµ 1 + 2 – 3 = 0 nªn ph¬ng tr×nh cã nghiÖm. u=0; v=3 v¿ ≥ 0 ¿ v =0 ; u=3 ¿¿ ⇔¿ uv =−4 ¿ ( lo¹i) ¿ √3+ x=0 VËy ta cã : uv =0¿ ⇔ ¿ √ 6 − x=0 ¿ ¿ ¿ ¿ VËy ph¬ng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt : x = - 3 ; x = 6. 4 x+1 ⇔≥ 0 x +3 x +1− √3 4x −2 ¿ ≥ 0 √ 3 x −2= 2 (1) VÝ dô 9 : Gi¶i ph¬ng tr×nh ⇔¿ { −1 ¿ x ≥¿Lêi gi¶i: ¿4 Điều kiện để phơng trình có nghĩa là: ¿ ¿2 x≥ 3 2 ⇔ x≥ 3 ¿{ ¿.

(27) ¿ 2 2 u =4 x +1 x≥ u= √ 4 x+ 1≥ 0 ; v =√ 3 x −2 ≥0 3 v2 =3 x −2 §Æt 2 ⇒ u − v 2=x+3 (2) ¿ ¿{ (I) ⇒ ¿ u=v x+ 3 u2 − v2 =0 u − v= VËy 5 phơng trình (1) tơng đơng với: 5 ⇔ x=−3( lo¹i) ¿ ⇔ (u – v).(u + v) ¿– (II)5.(u – v) = 0 ⇔ (u – v).(u + v u=5-v – 5) = 0 x+ 3 VËy 2v=5ta cã hai5 hÖ : 22− x 22 − x 28+ x ⇒ v= ⇒ u=5 − = 10 10 10 ¿ ¿⇒ 28+ x =√ 4 x +1 10 22 − x =√ 3 x − 2 10 3 x≥ 2 ¿{ ¿. v×. Giải ra ta đợc x = 2 là nghiệm. VÝ dô 10 : Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2+3 x +1=( x +3 ) √ x2 +1(1). Lêi gi¶i: Tập xác định của phơng trình D = R. t=√ x2 +1 ≥1 ⇔ t 2=x 2 +1 §Æt Thay thế vào phơng trình ta đợc: t2 + 3x = (x + 3).t ⇔ t2 – (x + 3).t + 3x = 0 (2) §èi víi ph¬ng tr×nh nµy ta coi t lµ Èn, cßn x lµ tham sè, ta cã: ∆ = (x + 3)2 – 43x = x2 + 6x + 9 – 12x = x2 – 6x + 9 = (x – 3)2 ≥ 0 víi x = 3 kh«ng ph¶i lµ nghiÖm cña (1). √ ( x −3 )2=|x − 3| ⇒ ta lÊy ∆ = (x – 3)2 > 0 ⇒ x 3 ⇒|x − 3|=x −3 Víi t1 =. ( x −3 ) ( x − 3 ) =x −3 2. Ta cã Thế vào (2) ta đợc:.

(28) x − 3¿ 2=x 2+1 ⇔ x 2 −6 x +9= x2 +1 ¿ 3(lo¹i) ¿ ¿ ¿ ( x +3 ) − ( x −3 ) ¿ t3 = =3 2 3 ⇔|x −3|=x − 3 Víi ¿x ( x+ 3 ) + ( x − 3 ) t 4= =x ¿ 2. Ta cã. 2. 9=x +1 ¿ 2 x =x 2+1 ¿ ⇔ x 2=8 ⇔ x =±2 √ 2( thỏa mãn) Thế vào (2), ta đợc: ¿ ¿ ¿ ¿ x=−2 √ 2; x=2 √ 2. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt:. VÝ dô 11: Gi¶i ph¬ng tr×nh x+ √17 − x2 + x √ 17 − x 2=9(1). Lêi gi¶i: |x|≤ √ 17 Điều kiện để phơng trình có nghĩa: 17 −x+ x 2 ≥y+ 0⇔ xy=9 2 2 2 x +−yx =17 y=√ 17 ≥ 0 ⇔ x 2 − y 2=17 (2) §Æt ⇔ GhÐp (1) vµ ¿ (2), ta cã hÖ: ¿ x + y=9 − xy(3) x+ y ¿ 2 −2 xy=17(4) ¿ ¿ { (4) ta đợc : ThÕ (3) vµo ¿ (9 – xy)2 – 2xy = 17 ⇔ (x.y)2 – 20xy + 64 = 0 x . y=10+6=16 △¿’= 102 – 64 = 36 x . y=10 − 6=4 Ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt : ¿ ¿ ¿ ¿ ¿. VËy hệ phơng trình trên tơng đơng với hai hệ : x . y=16 x+ y=−7 ¿{ ¿ ¿ x+ y=5 x . y =4 ¿{ ¿ ¿ ¿ X 1=1 X 1=4 X 2=4 X 2=1 ¿{ ¿{ X2 = ¿4 ¿. ⇒ x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : X2 – 7.X +16 = 0 △ = 49 – 4.16 = -15 < 0 (lo¹i) ⇒ x, y lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh : X2 – 5X + 4 = 0 Ta cã : 1 – 5 + 4 = 0 ⇒ NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ : X1 = 1 ; hoÆc.

(29) ⇔ ¿ 1=17 − x 2 16=17 − x 2 ⇔ víi 2 ¿ x =16 x 2=1 ⇔ VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm ph©n biÖt: x = 1; x = 4. 1 ¿ x =± 14 + =2(1) VÝ dô 12: Gi¶i ph¬ng tr×nh x x √=±1 2 − x2 ¿{ ¿ ¿ x ≠ 0Lêi gi¶i: 2 2− xkiÖn > 0 để phơng trình có nghĩa: §iÒu ⇔ ¿ x≠0 |x|< √ 2 ¿{ (I ) y=√¿ 21− x12>0 ⇔ y 2 +x 2=2(2) §Æt + =2 ¿ x + y=2 x y trình (1) tơng đơng với hệ sau: VËy xph¬ng . y=1 x¿2+ y 2=2 ¿ ⇔ x . y=1 ¿ x¿+¿y=2 xy(3) 1 x .yy=− ( x+ )2 −2 1 2xy=2(4 ) x . y= ¿2 ¿ { ThÕx+ (3) vào (4) ta đợc: (2xy)2 – 2xy – 2 = 0 ⇔ 2(xy)2 – xy – 1= 0 (5) ¿y=−1 ⇒ ¿ là phơng trình bậc hai đối với ẩn là (x; y). VËy (5) ¿¿ ¿ x+ y=2 v× cã 2 – 1 – 1 = 0, nªn (5) cã nghiÖm: ⇔ ¿ ¿ x+ y=−1 ¿¿ ¿¿ x=2− y ¿ Hệ (I) tơng đơng với hai hệ sau: ¿¿ 2 ¿ y − ¿2 y +1=0 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 1 2 y + y − =0 2 1+ 3 ¿ x=1 ; x =− √ 2 x + y +1=0 2 y=√ 2¿− x ≥ 0 VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (1) lµ: ¿ Chú¿ ý: Với bài này nhiều khi gặp sai lầm vì khi đặt điều kiện ¿ (thãi quen ⇔ khi đặt ẩn phụ). 4 x +9 7 x 2+7¿x= VÝ dô 13: Gi¶i ph¬ng tr×nh 28 1 4 x+ 9 1 4 x +9 ®iÒu kiÖn 4x + 9 ≥ 0 t+ = ≥ 0 ⇔ t 2+ t+ = 2 28 4 28 4 x+ 9 1 28 x +14 21 ⇔ t 2+ t = 7 x 2 +7−x=x+ +7 x= Lêi28gi¶i: 4 ⇔t §Æt 28 2 ¿ 1 2 7 t +7 t+ x= 2 ⇔ 7 ( x −t )(x+ t)+ 7( x −t)+ x − t=0 Vậy phơng trình đã cho tơng đơng với hệ phơng ¿ tr×nh sau: ¿ ⇔(x −t )(7 x +7 t +8)=0 ¿{ ¿ ¿¿. √. √.

(30) ¿ 1 2 7 t +7√t=t + √⇔14 50=5 2 t + 12t − 1=0 2 ⇒ Víi x = t, ta cã:¿ − 6+5 √ 2 x1 = 14 ¿ △’= 36 +14= 50; − 12− 5 √ 2 x 2= (lo¹i) 28 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ ¿ 2. ¿ − 7 x9− 8 224 151 8 8 1 9 2 t= x +7 x=x − + ⇔ 7 x 2 +8 x+ =0 Víi 16 −7 .7 ==− x=− 7 ⇔7 =16 7 2 14 14 14 7 ¿ 151 △ 14 =. △= bµi tËp ch¬ng III 2 5 x −10 x+ 1 Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng sau: 6 x 2+ tr×nh 6 x −11 2 2. ( x +4 ) ( x +1 ) −3 √ x −5 x +2=6 3 . √ 3 x2 −2 x+ 8 . √ 3 x 2 −2 x +15=7 4 . √ x 2+ x +7+ √ x 2 + x+ 2=√ 3 x 2 −2 x+15 5 . √ x +8 − 2. √ x +7=2 − √ x+1 − √ x +7 4 6 . √ x − √ x 2 −1+ √ x+ √ x 2 − 1=2 7 .3 x 2+15 x +2 √ x 2 +5 x+1=2 8. √ x2 +x +4 + √ x 2+ x +1= √ 2 x 2+2 x +9 2 9. 1+ √ x − x 2= √ x + √ 1− x 3 10 . √ 5 − x + √ x −1+ √ −5+ 6 x − x 2=2 ( 1+ √ 2 ) 1 . √ x − 2=. Híng dÉn gi¶i:.

(31) t=√ x −2 1. §Æt t=√ x2 +5 x+ 2. ®/s: x = 3. 1 x= 2. §Æt 2. ®/s: x= - 7; x = 2.. 2. t=3 x −2 x+ 8 3. §Æt. 4. §Æt t = x2 – 2x + 2. ®/s: x = 1; ®/s : x = - 2 ; x = 1. t=√ x −2 5. §Æt 4 t=√ x − √ x 2 − 1 6. §Æt 0. 7. §Æt t = x2 + 5x. ®/s : x = 2 ®/s: x = 1 ®/s: x = 0; x = - 5.. 2. t=√ x + x +4 8. §Æt. ®/s: x = 0; x = - 1.. t=√ x+ √ 1 − x 9. §Æt. ®/s: x = 0; x = 1.. t=√ 5− x+ √ x −1 10. §Æt. ®/s: x = 3. Bµi 2: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh v« tØ sau 1. √3 12−u= x+√3√312 14+ − xx=2 ; v= √3 14+ x ⇒ u3 + v 3=26 ⇒ u+ v=2 Híng dÉn 3 u + v 3=26 ¿{ §Æt. ®/s: x = -15; x = 13. 2. √4 57 −u= x +4√√457 x +−40=5 x ; v =√4 x + 40⇒ u4 + v 4=26 ⇒ u+ v=5 Híng dÉn: 4 u +v 4=97 ¿{ §Æt. ®/s: x = 41; x = - 24. Bµi 3: Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau 1. x+ √ 17 − x 2 +x . √ 17 − x=9 3 3 2. x . √ 35 − x 3 . ( x + √ 35− x3 ) =30 Híng dÉn: ¿ − x 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2=17 1. §Æt y= 2 √ 17 x + y 2=17 x+ y+ xy=9 Vµ ta chuyÓn vÒ hÖ: ¿{ ¿. ®/s : x = 1 ; x = 4. 3 y=3√ 35¿3− x 3 ≥ 0 ⇔ x 3 + y 3=35 2. §Æt x + y =35 xy .( x+ y)=30 Ta chuyÓn vÒ hÖ : ¿{ ¿. ®/s : x = 2 ; x = 3..

(32) Bµi 4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh sau. √3 x −2+ √3 x +3= √3 2 x+1 ¿ Híng dÉn: 3 u+ v=√ u3 +v 3 v =0 ; u=√3 5 u3 − v 3 =−5 §Æt ¿{ Ta chuyÓn vÒ¿hÖ: u=0; v=√3 5. ®/s:. v =0 ; u=√3 5. x=2 ; x=−3 ; x=−. 1 2 ta đợc. hoÆc.

(33) Ch¬ng IV phơng pháp áp dụng các bất đẳng thức quen thuộc I. bæ tóc vÒ kiÕn thøc:. Cho ph¬ng tr×nh: f(x) = g(x) NÕu ph¬ng tr×nh f(x) ≤ a ∀ x ∊ D g(x) ≤ a ∀ x ∊ D ¿ Ta chuyÓn bµi to¸n vÒ hÖ sau: f ( xsÏ )=a. TX§ lµ D. g( x)=a ¿{ ¿. Và giải hệ đó ta đợc nghiệm của phơng trình. Để tìm số a ta thờng sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc. a+b ≥ √ ab * Bất đẳng thức Côsi: 2. Víi a, b ≥ 0 ta cã §¼ng thøc x¶y ra khi a = b. * Bất đẳng thức Bunhiacopxki : a b = c d. Cho 4 sè a, b, c, d ∊ R Ta cã (a.b + c.d) ≤ (a2 + c2)(b2 + d2) b c khi 2 b b2 b2 §¼ng x¶y .rax 2khi a . x 2 +thøc bx+ c=a + vµ x + chØ =a x + x + − + c (a ≠ 0) 2 2. (. a. ) (. a. a. ). 4.a 4a 2 2 2 b b − 4 ac b − 4 ac a x+ − ≥− ∀ x∈ R 2a 4a 4a. (. bËc hai :. ). (víi a ≥ 0) vµ quay dÊu (≤) víi (a < 0) 2. 1 1 1 3 x 2+ x +1=x 2 + x +1+ − = x + + ∀ x ∈ R II. VÝ dô: 4 4 2 4 1 1 x+ =0 ⇔ x=− 2 2 9 3 2 7 7 − x 2 +3 x − 4=− x2 +3 x + =− x + − ≤ §¼ng thøc x¶y ra 4khi 2 4 4. ( ). (. ) ( ). 3 3 x+ =0 ⇔ x=− 2 2. §¼ng thøc x¶y ra khi VÝ dô 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 − x +4 x= √ x −2+4 (1) Lêi gi¶i:. * Ph©n tÝch hµm.

(34) √ x −2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 2 Ta cã (1) ⇔ x + 4 x − 4=√ x − 2 ⇔ − ( x − 2 ) =√ 2− x 2. √ x −2 ≥ 0 2.. Ta thÊy. TX§ cña ph¬ng tr×nh. VP = - (x – 2)2 ≤ 0 ∀ x ∊ R, đẳng thức xảy ra khi x =. VT = ∀ x ∊ R, đẳng thức xảy ra khi x = 2. VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: x = 2. VÝ dô 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh 2 √ x −2+ ¿ √4 − x=x − 6 x+11 (1). x − 2≥ 0 gi¶i: Lêi 4−x ≥0 §iÒu ⇔ kiện để phơng trình có nghĩa là: ¿ x≥2 x≤4 ⇔2≤x ≤4 { ph¶i cña ph¬ng tr×nh ta thÊy: XÐt¿vÕ ¿ VP= √ x − 2+ √ 4 − x=1. √ x −2+1 . √ 4 − x. Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2. 2. VP2 ≤ ( 12 +12 ) [ ( √ x −2 ) + ( √ 4 − x ) ]=4 ⇒ 0< VP ≤ 2. §¼ng thøc x¶y ra khi x = 3. XÐt vÕ tr¸i: VT = x2 – 6x +11 = x2 – 6x + 9 + 2 = (x – 3)2 + 2 ≥ 2 ¿ §¼ng x −2+ x=2 x¶y ra khi x = 3. √ √4 −thøc ( x − 3 )2+ 2=2 ¿{ VËy ¿ (1) ⇔. NghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ:. x = 3.. VÝ dô 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh. √ 3 x 2 +6 x +7+√ 5 x2 +10 x+ 14=4 − 2 x − x 2 (1) Lêi gi¶i: Ta thÊy: 3x2 + 6x + 7 = 3(x + 1)2 + 4 ≥ 4 ∀ x ∊ R. §¼ng thøc x¶y ra khi x + 1 = 0 ⇔ x = - 1. ⇒ √ 3 x2 +6 x +7 ≥ 2. MÆt kh¸c: 5x2 + 10x + 14 = 5(x + 1)2 + 9 ∀ x ∊ R. §¼ng thøc x¶y ra khi. x + 4 = 0 ⇔ x = - 1..

(35) 2. ⇒ √ 5 x +10 x+ 14 ≥3 2 2 VËy √ 3 x +6 x +7+ √ 5 x +10 x +14 ≥ 5. §¼ng thøc x¶y ra khi x = - 1 MÆt kh¸c 4 – 2x – x2 = - (x - 1)2 + 5 ≤ 5 ∀x ∊ R 2 1. √x¶y 4 − xra+ √ 6+ x=x 5+xx = - 1 §¼ng thøc khi x + 1+2=x+ 0 2 √⇔ 3 2 2. √ 2 x +3+ √1 − x=2 x − √ 3 − x −2 x+2 x + +2 √ 2 VËy ta thÊy : VP ≥ 5 vµ VP ≤ 2 2 2 2 5 3 . √ 4 x +12 x +10+ √ 4 x −2 x+ 4=− 4 x − 12 x − 4. Vậy để phơng trình (1) có nghiệm thì VËy nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ x = - 1 Chú ý : Khi áp dụng phơng pháp này cần phải khéo léo thì mới có đáp án đúng theo yêu cầu, một điều kiện cần chú ý khi áp dụng bất đẳng thức Côsi là các số ph¶i tho¶ m·n ®iÒu kiÖn d¬ng, viÖc thªm bít ë ph¬ng tr×nh bËc 2 ph¶i thËt chuẩn xác. Nếu không sẽ không thể có đáp số đúng. VÝ dô 4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh √ 3+ x+ √6 − x+ √( 3+ x ) ( 6 − x )=2 x 2 −6 x +9+ 3 √2 ¿ √ 3+ x ≥ 0 √ 6Lêi − x ≥gi¶i: 0 √ ( 3+ x )( 6 − x ) ≥ 0 Điều kiện để phơng trình có nghĩa: ⇔−3 ≤ x ≤ 6 ¿{{. ( √ 3+ x+ √ 6 − x )2 ≤ ( 12+ 1 ) ( 3+ x +6 − x )=2. 32 ⇒ 0 < √ 3+ x+ √ 6 − x ≤ 3. √ 2 √ 3+ x=√ 6 − x ⇔ 3+ x =6 − x §¼ng thøc x¶y ra khi 3 ⇔ x= 2. Ta thÊy. (Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki). 3+ x +6 − x 9 = √ ( 3+ x )( 6 − x ) ≤ 2 2. Mặt khác, theo bất đẳng thức Côsi ta có: ¿ x=. 3 2. ¿ VP ≤3 √ 2+. x⇔. 9 2. ¿ x=. 3 2 Và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : 3 + x = 6 –. 2. 3 9 9 ¿ 2. x − 6 x+ 9+ 3 √2=2 x − + +3 √ 2≥ + 3 √2 2 2 2 2. thøc x¶y ra khi XÐt vÕ tr¸i. ( ). VËy. vµ. đẳng.

(36) ¿ VP ≤3 √ 2+. 9 2. 3¿ 3 ¿ x − =0 ⇔9x= 2 √ 2+ 2 VT ≥3 2 §¼ng thøc x¶y ra khi ¿ ¿ √ 6 − x+ √( 3+ x ) ( 6 − x )= 9 +3 √2 ¿ √ 3+ x+ ¿ 2 { ¿ VËy ta¿ cã: 9 2¿ x 2 −6 x +9+3 √ 2= +3 √ 2 2 3 ⇔ x= 2 ¿ Do đó để có nghiệm th× : ¿ ¿ { 3 ¿ x= ¿ 2 ¿ VËy ¿ -2<1ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt lµ: ¿ -8 <2 ¿ Chú ý: Nếu ta có f(x) ≤ a và g(x) ≤ b thì f(x) – g(x) ≤ a – b (điều đó ¿ { cha¿ ch¾c đã xảy ra). Ví dụ: th× (-8).(-2) < 1.2 lµ v« lý. ¿ ¿.

(37) bµi tËp ch¬ng iv ¿1 . x 4 +3 x 2 +1= √ − x2 +1 Bµi 1: Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: 2 2 2. −3 x +6 x −1=√ x −2 x+ 5. 4. (. 2. 2. ¿ VP=x +3 x +1= x +. 2. 3 5 + ≥ 1 Híng dÉn: 2 4. ). 1. Ta thÊy ¿ √ 1 − x 2 ≤1. §¼ng thøc x¶y ra khi x = 0. đẳng thức xảy ra khi 1 – x2 = 0 ⇔ x = ± 1. Vµ. 2. 2. ¿ VP= √ x − 2 x +5= √( x −1 ) +4 ≥ 2. ⇒ Phơng trình đã cho vô nghiệm.. 2. Ta thÊy §¼ng thøc x¶y ra khi x = 1. 2 1. √ 4c¸c − xph¬ng + √ 6+ x=x x+ 2 √ 5+ x Bµi 2 : Gi¶i tr×nh+2sau. 3 2. √ 2 x +3+ √1 − x=2 x 2 − √ 3 − x −2 x+2 x + +2 √ 2 2 3 . √ 4 x +12 x +10+ √ 4 x −2 x+ 4=− 4 x − 12 x − 4 2. 2. 2. Híng dÉn 2 √ 4 x 2 − 2 x + 4= 4, − 32 −2 . − 32 + 4=4 C©u 1, 2 lµm nh c©u 3.. 3. Ta thÊy x= x=. 3 2 3 2. §/s :. √(. ) ( ). Mµ - (2x + 3)2 + 5 ≤ 5 ⇒ x¶y ra dÊu b»ng khi.

(38) PhÇn III : KÕt luËn chung ViÖc nghiªn cøu c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ lµ mét trong nh÷ng vấn đề tơng đối hay và khó. Mỗi một phơng pháp giải nh là một chìa khóa giúp chúng ta tìm đợc những con đờng đi ngắn nhất trong quá trình khám phá chân lý cña tri thøc nh©n lo¹i. Quá trình nghiên cứu của đề tài đã phần nào đó giúp cho học sinh có cách nh×n mét c¸ch kh¸i qu¸t h¬n vÒ mét c¸ch gi¶i mét ph¬ng tr×nh v« tØ. Ngay từ phơng pháp lũy thừa là phơng pháp rất hay đợc sử dụng trong quá trình giải, đề tài đã đi vào phân tích đợc những vớng mắc cơ bản mà đa số học sinh hay nhÇm lÉn trong khi sö dông ph¬ng ph¸p nµy. Tiếp theo là phơng pháp đặt ẩn phụ cũng là một công cụ mạnh trong quá trình khử căn thức. Đa số học sinh đã biết cách đặt và chuyển phơng trình đã cho vÒ ph¬ng tr×nh h÷u tØ míi, song c¸c em vÉn cha biÕt t×m mèi liªn hÖ h÷u c¬ gi÷a Èn mới và ẩn cũ. Đề tài này đã phần nào giúp các em việc nhìn nhận đợc mối tơng quan gi÷a Èn cò vµ Èn míi. Đề tài đã giúp cho các em hệ thống đợc các phơng pháp giải một phơng trình vô tỉ, trên cơ sở đó mà các em có đợc tất cả các công cụ khi đứng trớc một bài to¸n vµ cã thÓ lùa chän ph¬ng ph¸p nµo h÷u hiÖu nhÊt. Tóm lại, đề tài này đã phần nào giải quyết đợc những vớng mắc cơ bản khi giải một phơng trình vô tỉ. Trên cơ sở đó hệ thống đợc cho các em các phơng pháp gi¶i vµ cã tÇm nh×n bao qu¸t h¬n vÒ ph¬ng tr×nh v« tØ..

(39) bµi so¹n LuyÖn tËp: Ph¬ng tr×nh v« tØ. A. Môc tiªu: - Cñng cè c¸c kiÕn thøc vÒ ph¬ng tr×nh v« tØ. - RÌn luyÖn kÜ n¨ng gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ b»ng mét sè ph¬ng ph¸p: + Ph¬ng ph¸p n©ng lªn lòy thõa. + Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. + Phơng pháp đặt ẩn phụ. + Ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh. + Phơng pháp bất đẳng thức. - Gi¸o dôc tÝnh cÈn thËn, chÝnh x¸c trong lµm viÖc. - Phát triển t duy cho học sinh thông qua việc lựa chọn phơng pháp thích hợp để gi¶i tõng ph¬ng tr×nh. B. ChuÈn bÞ cña gi¸o viªn vµ häc sinh: - Giáo viên: Máy chiếu, giấy trong ghi đề bài tập và lời giải và một số kiến thức cÇn nhí – M¸y tÝnh bá tói – PhiÕu häc tËp. - Häc sinh: GiÊy trong, b¶ng nhãm, bót viÕt b¶ng, giÊy nh¸p, «n tËp c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ. M¸y tÝnh bá tói. C. Hoạt động dạy học: Hoạt động của thày. Hoạt động của trò. I, Hoạt động 1 : Kiểm tra và nh¾c l¹i mét sè kiÕn thøc c¬ b¶n. HS 1 lªn b¶ng tr¶ lêi HS 1: ThÕ nµo lµ ph¬ng tr×nh v« - PTVT lµ ph¬ng tr×nh chøa tØ. LÊy vÝ dô?. Èn trong dÊu c¨n. 5 1 H·y nªu mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i 3 √ 15 x − √ 15 x −2= 3 √ 15 x V ph¬ng tr×nh v« tØ.. D: Ph¬ng tr×nh. Ghi b¶ng.

(40) HS 2: H·y ph©n tÝch sai lÇm trong lêi gi¶i sau:. - Nªu vµi ph¬ng ph¸p gi¶i ph-. * Gi¶i ph¬ng tr×nh:. ¬ng tr×nh v« tØ. 2. x −1=5 x −1+3 x − 2+2 √15 x − 13 x +2(3) HS 2 lªn b¶ng ph©n tÝch. Lêi gi¶i:. nh÷ng sai lÇm trong lêi gi¶i. - Sai lÇm thø nhÊt lµ kh«ng. Hoạt động của thày. Hoạt động của trò. x=. Ghi b¶ng. 2 11 chú ý đến điều kiện để. ChuyÓn vÕ: √ x −1=√ 5 x − 1+ √ 3 x −2(2). c¨n thøc cã nghÜa. ë ®©y ta ph¶i. B×nh ph¬ng hai vÕ:. cã ®iÒu. x −1=5x −1+3x −2+¿+2 √ 15x2 −13x+ kiÖn x2(3) ≥ 1. Do đó giá trị ¿ 7x ≥ 0 cña (1). kh«ng lµ2− nghiÖm ( 2− 7x )2 =4 ( 15x 2 − 13x+2 ) Rót gän: - Sai ¿ 2 2− 7 x=2 √ 15 x − 13 x +2( 4) lầm thứ hai¿ {là không đặt điều ¿. B×nh ph¬ng hai vÕ:. kiện để biến đổi tơng đơng. Các. 4 – 14x + 49x2 =. ph¬ng tr×nh (4) vµ (5) kh«ng t-. 4(15x2 – 13x + 2)(5). ơng đơng. Phơng trình (4) tơng. Rót gän:. đơng với hệ:. 11x2 – 24x +4 = 0 x 1=. 2 ; x =2 (11x – 2)(x 11 2. – 2) = 0 V× vËy x = 2 còng kh«ng lµ nghiÖm cña (1) GV: Đa đề bài và lời giải lên HS: Cả lớp theo dõi và nhận xét mµn h×nh.. bµi cña tõng b¹n trªn b¶ng.. GV Gäi HS ë díi líp lÇn lît HS: C¶ líp theo dâi lêi gi¶i nhận xét phần trả lời của HS đúng trên màn hình. 1 vµ HS 2. GV đa lời giải đúng trên HS đọc to đề bài màn hình để HS dới lớp theo HS: Cả lớp suy nghĩ tìm ra phdõi và rút kinh nghiệm.. ¬ng ph¸p gi¶i.. GV cho ®iÓm 2 HS II, Hoạt động 2:. Bµi tËp 1:.

(41) Gi¶i ph¬ng tr×nh:. LuyÖn tËp. √3 x+1+ √3 7 − x=2. 1. Ph¬ng ph¸p n©ng lªn lòy thõa. GV : ®a bµi tËp 1 lªn mµn h×nh Hoạt động của thày. Hoạt động của trò. Ghi b¶ng. Gọi 1 HS đọc đề bài. HS hoạt động nhóm Giải :. GV cho c¶ líp suy nghÜ t×m. theo yêu cầu của đề Lập phơng hai vế (áp dụng HĐT):. ph¬ng ph¸p gi¶i. Nãi râ kiÕn bµi.. (ax+ + 1+7 b)3 − = x+ a3 3+√3b( x3 +1 + 3ab(a b) ) (7 − x ) + . 2=8. thøc cÇn ¸p dông khi gi¶i ph- §¹i diÖn ba nhãm ¬ng tr×nh nµy.. nªu ph¬ng ph¸p lµm. îc:. ⇔ ( x +1 ) ( 7− x )=0 ⇔ x1 =−1 ; x2 =7. §-. GV cho HS hoạt động theo Nói rõ kiến thức đợc nhãm (Mçi nhãm 2 bµi).. ¸p dông.. GV gọi đại diện ba nhóm HS : 1 em đại diện nªu ph¬ng ph¸p gi¶i cña cho nhãm cã lêi gi¶i VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm: nhãm m×nh.. b»ng. ph¬ng. ph¸p x1= - 1; x2 = 7.. n©ng lªn lòy thõa GV gọi 1 nhóm cử đại diện đem bảng nhóm lên ®em b¶ng nhãm lªn b¶ng b¶ng tr×nh bµy. tr×nh bµy (b»ng ph¬ng ph¸p HS tr¶ lêi. n©ng lªn lòy thõa).. GV : T¹i sao trong ph¬ng trình này ta không đặt điều kiÖn cho sù tån t¹i cña c¨n tríc khi b×nh ph¬ng hai vÕ.. Bµi tËp 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh √ x+2 √ x −1+ √ x − 2 √ x −2=2(1). GV tæng kÕt.. Gi¶i:. thức và không đặt điều kiện. 2√ x − 1+ 1=2 √(x −1)− 2. Ph¬ng ph¸p ®a vÒ ⇔ √(x −1)+2 √ x − 1+1+2 ¿+ §iÒu kiÖn x¸c định: x≥1 2 ⇔ √ ( √ x −1+1 ) + √ ( √ x −1 −1 ) =2 ph¬ng tr×nh chøa Èn trong Ta cã: (1) ⇔ √ x − 1+ 1+|√ x −1 −1|=2 dấu giá trị tuyệt đối. - 1 HS đọc đề⇔bài tËp |√ x − 1− 1|=1 √ x −1+ GV đa đề bài tập 2 lên màn 2..

(42) h×nh.. HS nªu ph¬ng ph¸p. Gọi 1 HS đọc to đề bài. gi¶i bµi tËp 2. - C¶ líp lµm bµi vµo giÊy trong. Hoạt động của thày. Hoạt động của trò. Ghi b¶ng. GV gäi HS nªu ph¬ng ph¸p 1 HS lªn b¶ng lµm + NÕu x > 2 √ x −1+√ x − 1− 1=1 gi¶i bµi tËp nµy. bµi. Th× cã ph¬ng tr×nh: ⇔ 2 √ x −1=2 ⇔ √ x − 1=1 GV cho HS hoạt động cá ⇔ x − 1=1 ⇔ x=2. nh©n, lµm BT vµo giÊy trong. Gäi 1 HS lªn b¶ng lµm bµi.. Ba HS thu bài để GV cïng c¶ líp nhËn xÐt. HS nhËn xÐt bµi cña (kh«ng thuéc kho¶ng ®ang xÐt) + NÕu 1 ≤ x ≤ 2, ta cã ph¬ng tr×nh: √ x −1+1 − √ x − 1+ 1=2 ⇔ 0 . √ x − 1=0. GV thu bµi cña vµi em ®a lªn b¹n trªn b¶ng. màn hình để cả lớp nhận xét. GV tiÕp tôc cho c¶ líp nhËn Mét vµi HS tr¶ lêi. xÐt bµi cña HS lµm trªn. Ph¬ng tr×nh cã v« sè nghiÖm. b¶ng.. 1≤x≤2. Nêu vấn đề: Ngoài phơng. VËy ph¬ng tr×nh (1) cã nghiÖm:. ph¸p trªn, ta cßn cã thÓ gi¶i. 1≤x≤2. phơng trình này theo cách HS nghe để linh hoạt nµo kh¸c?. vËn dông.. GV chèt l¹i: §èi víi bµi tËp 2 ta nªn chän ph¬ng ph¸p ®a về phơng trình chứa ẩn trong HS 1 đọc to đề bài. Bµi tËp 3: Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 x2 +21 x+ 18+ 2 √ x 2+ 7 x+7=2(1). dấu giá trị tuyệt đối là tốt bài tập 3.. Gi¶i:. h¬n.. 3. Phơng pháp đặt ẩn HS 2: Nêu phơng Điều kiện x2 + 7x + 7 ≥ 0 phô. ph¸p gi¶i bµi tËp 3.. √ x2 +7 x +7= y ( y ≥ 0 ) §Æt ⇒ x2 + 7x + 7 = y2 (*). GV đa đề bài tập 3 lên màn. 2 + 2y – −5 ph¬ng (1) ⇔ y3y=1 ;y = 5=0. h×nh. Nªn. Gọi 1 HS đọc to đề bài.. pháp đặt ẩn phụ, đa. chän. 1. 2. 2 a+b+c= −5 y 1=1 ( TM ) ; y 2= ( lo¹i ) GV cho HS suy nghÜ vµ hái ph¬ng tr×nh v« tØ vÒ 3 + 2 – 5 = 0 2. ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh gi¶i ph¬ng tr×nh h÷u.

(43) nµy. Theo em ta nªn chän tØ. ph¬ng ph¸p nµo? V× - Thay y = 1 vµo (*), ta cã: Hoạt động của thày. Hoạt động của trò. Ghi b¶ng. sao?. x2 + 7x + 7 = 1. GV gäi 1 HS lªn b¶ng lµm.. HS 3: Lªn b¶ng gi¶i ⇔ x2 + 7x + 6 = 0. GV yêu cầu HS cả lớp hoạt bằng phơng pháp đặt. a–b+c=1–7+6=0. động nhóm. nªn x1 = - 1 ; x2 = - 6 (tháa m·n. Èn phô.. - Một nửa lớp làm theo ph- - Nửa lớp hoạt động điều kiện x2 + 7x + 7 ≥ 0). ơng pháp đặt ẩn phụ.. nhãm. theo. ph¬ng VËy ph¬ng tr×nh (1) cã hai nghiÖm :. - Một nửa lớp thực hiện pháp đặt ẩn phụ.. x1 = - 1 ; x2 = - 6.. chuyÓn vÕ vµ b×nh ph¬ng hai - Nöa líp lµm theo vÕ råi gi¶i b»ng c¸ch quy vÒ c¸ch 2 nh yªu cÇu ph¬ng tr×nh bËc hai. (Nhê. ph¬ng. ph¸p. cña GV (2 bµn 1 nhÈm nhãm).. nghiÖm). GV gäi nhãm lµm theo ph- Nhãm I: NhËn xÐt ơng pháp đặt ẩn phụ nhận bài. cña. b¹n. trªn. xÐt bµi lµm cña b¹n trªn b¶ng. bảng (bổ sung cho hoàn Nhóm II: Cử đại diện thiÖn).. lªn b¶ng tr×nh bµy. GV gäi nhãm lµm theo ph- c¸ch 2 ¬ng ph¸p 2 ®em b¶ng nhãm HS c¶ líp nhËn xÐt, lªn b¶ng tr×nh bµy.. rót ra ph¬ng ph¸p. Cho c¶ líp nhËn xÐt vµ rót ra gi¶i ng¾n nhÊt. ph¬ng ph¸p tèi u cho c¸ch gi¶i bµi tËp nµy. Một HS đọc to đề bài 4. Ph¬ng ph¸p hÖ ph- Mét HS nªu vµi ph- Bµi tËp 4 : Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 ¬ng tr×nh. ¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp √ x −2+ √ x +1=3(∗) GV ®a bµi tËp 4 lªn mµn 4 Gi¶i: h×nh. §KX§: x ≥ - 1 (1) √3 x −2= y Gọi 1 HS đọc to đề bài. √ x+1=z( z ≥ 0) §Æt GV cho c¶ líp suy nghÜ t×m.

(44) ph¬ng ph¸p gi¶i. Hoạt động của thày. Khi đó x – 2 = y3 Hoạt động của trò. Ghi b¶ng. GV: ë bµi tËp nµy cã mét sè. x + 1 = z2 (**). c¸ch gi¶i kh¸c nhau, song Mét HS nªu §KX§.. Y + Z=3(2) Ph¬ng trình đã cho đa đợc về hệ : 2 3. chóng ta cïng nhau gi¶i theo ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh.. Ba HS tr×nh bµy hÖ. GV gọi 1 HS nêu ĐKXĐ của phơng trình đã lập đphơng trình.. Nªn Z2¿– Y3 = 3. îc.. GV yêu cầu HS đặt ẩn phụ. Z −Y =3 (3) Z ≥ 0( 4) ¿{{ ¿. Rót Z tõ (2) ta cã Z = 3 – y (5).. và đa đến việc giải hệ phơng HS trả lời theo yêu Thay vào (3) ta đợc : tr×nh.. cÇu cña GV.. y3 – y2 + 6y – 6 = 0. GV lần lợt gọi HS đứng tại. ⇔ (y – 1)(y2 + 6) = 0. chç lµm miÖng gi¶i ph¬ng. ⇔ y = 1 (cßn y2 + 6 ≥ 6).. tr×nh.. Thay y = 1 vµo (5) cã Z = 2 (TM. GV ghi trªn b¶ng.. (4)) HS đọc to đề bài tập Thay z = 2 vào (**) ⇒ x = 3 (TM 5.. (1)).. 5. Ph¬ng ph¸p bÊt đẳng thức. GV ghi và đa đề bài tập 5 lên 2. 2. a/ √ x +6=x −2 √ x −1 b/ √ 2 x 2 +8 x+ 6+ √ x2 −1=2 x +2 Gọi 1 HS đọc đề bài. phơng pháp bất đẳng Bµi 2 c / √ x −2+ √ 4 − x=x − 6 x+11 3 GV cho HS suy nghĩ 2 phút thức (dùng tính đối tập 5: Giải ph¬ng√3 2tr×nh d / x +1=2 x−1. mµn h×nh.. HS: Em nªn sö dông. råi nªu c©u hái:. nghÞch ë hai vÕ).. §Ó gi¶i ph¬ng tr×nh nµy ta cã nªn dïng ph¬ng ph¸p:. Gi¶i: √ 3 x 2 +6 x +7+√ 5 x2 +10 x+ 14 2. 2. √ 3 ( x+1 ) + 4+ √5 ( x+ 1 ) + 9. - N©ng lªn lòy thõa. - §a vÒ ph¬ng tr×nh chøa dÊu. tr¸i:. VÕ. √ 4+ √ 9. giá trị tuyệt đối. - §Æt Èn phô.. Mét HS lªn b¶ng lµm. đợc không?. BT 5.. Theo em, ta dïng ph¬ng. - 5 HS lµm bµi vµo VËy vÕ tr¸i cã gi¸ trÞ ≥ 5 (1) phiÕu häc tËp.. DÊu “=” x¶y ra ⇔ (x + 1)2 = 0 ⇔x=-1.

(45) Hoạt động của thày. Hoạt động của trò. Ghi b¶ng. nào hay hơn để giải phơng Cả lớp làm và nhận Vế phải: tr×nh nµy?. xÐt bµi cña b¹n trªn. Gäi 1 HS lªn b¶ng lµm.. b¶ng.. 4 – 2x – x2 = -(x2 + 2x + 1) + 5 = - (x + 1)2 + 5 ≤ 5 (2). Ph¸t 5 phiÕu häc tËp cho 5. DÊu “=” x¶y ra ⇔ x = - 1.. häc sinh lµm.. Tõ (1), (2) ⇒ VP cã gi¸ trÞ b»ng VT. Yêu cầu cả lớp làm sau đó. th× chóng còng b»ng 5.. nhËn xÐt bµi cña b¹n trªn. T¹i x = - 1.. b¶ng.. VËy ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm. GV gäi HS nhËn xÐt bæ sung. x = - 1.. cho bµi cña b¹n trªn b¶ng Thu 5 phiếu học tập để nhận xÐt vµ chÊm ®iÓm. III. Hoạt động 3: Củng cố. Gi¸o viªn chèt l¹i : Chúng ta đã đợc học về phơng trình vô tỉ và cách giải các phơng trình vô tỉ. Mỗi ph¬ng tr×nh cã thÓ cã nhiÒu c¸ch gi¶i kh¸c nhau, song chóng ta thêng gÆp mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i c¬ b¶n sau: - Ph¬ng ph¸p n©ng lªn lòy thõa. - Phơng pháp đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. - Phơng pháp đặt ẩn phụ. - Ph¬ng ph¸p hÖ ph¬ng tr×nh. - Phơng pháp bất đẳng thức... C¸c em cÇn nghiªn cøu s©u s¾c c¸c ph¬ng ph¸p nµy vµ tïy tõng bµi tËp cô thÓ mµ sử dụng phơng pháp giải cho phù hợp để đạt hiệu quả tốt. Một điều vô cùng quan träng lµ §KX§ cña ph¬ng tr×nh. IV. Hoạt động 4: Hớng dẫn về nhà.. Xem kÜ c¸c bµi tËp võa luyÖn. Lµm c¸c bµi tËp sau: Bµi tËp 1: Gi¶i ph¬ng tr×nh. a / x 2  4x 8 x  1 b / 4x  1 . 3x  4 1. c / x  2  4 x  2  x  7  6 x  2 1.

(46) a / x 2  6 x  2 x 2  1 b / 2x 2  8x  6  x 2  1 2x  2 c / x  2  4  x x 2  6x  11 d / x 3  1 23 2x  1 Bµi tËp 2: Gi¶i ph¬ng tr×nh. Tµi liÖu tham kh¶o.

(47) 1 – Phơng pháp thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học trong sinh viên – NXB Khoa häc vµ KÜ thuËt. 2 - §¹i sè líp 8 vµ líp 9 – NXB Gi¸o dôc. 3 – To¸n båi dìng §¹i sè 8, 9, 10 – NXB Hµ Néi. 4 – 630 bµi to¸n §¹i sè – Gi¶i tÝch – NXB TrÎ-TP Hå ChÝ Minh. 5 – 45 đề thi toán lớp 9 – NXB Giáo dục. 6 – Bộ đề tuyển sinh môn Toán – NXB Giáo dục. 7 – Các dạng toán luyện thi đại học – NXB Hà Nội. 8 – C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh – NXB H¶i Phßng. 9 – Chuyên đề Đại số – NXB Trẻ TP Hồ Chí Minh. 10 – C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh – NXB Khoa häc vµ KÜ thuËt. 11 – Tuyển tập giới thiệu đề thi môn toán vào các trờng cao đẳng và đại häc n¨m 1997, 1998, 1999, 2000, 2001 – NXB Gi¸o dôc & NXB TrÎ TP Hå ChÝ Minh.. môc lôc. Trang. phần i: những vấn đề chung. 1. I. Lý do chọn đề tài. 1. 1 – C¬ së lý luËn. 1.

(48) 2 - C¬ së thùc tiÔn II. Mục đích nghiên cứu của đề tài. 1 2. III. Đối tợng nghiên cứu của đề tài. 2. 1 - §èi tîng nghiªn cøu 2 – Kh¸ch thÓ nghiªn cøu 3 – Ph¹m vi nghiªn cøu IV. Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài. 2 2 2 2. V. Phơng pháp nghiên cứu của đề tài. 2. phần ii: Nội dung chính của đề tài. 3. Ch¬ng I: Nh÷ng kiÕn thøc c¬ b¶n. 3. I. Những vấn đề chung của phơng trình. 3. II. C¸ch gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh vµ bÊt ph¬ng tr×nh c¬ b¶n. 4. III. Ph¬ng tr×nh v« tØ. 4. Chơng II: Phơng pháp biến đổi tơng đơng. 6. I. Ph¬ng ph¸p n©ng lòy thõa. 6. 1 - C¸c d¹ng c¬ b¶n 2 - C¸c vÝ dô II. Phơng pháp đa về hằng đẳng thức. 6 6 9. III. Phơng pháp dùng miền xác định. 11. IV. Ph¬ng ph¸p dïng lîng liªn hîp. 12. Bµi tËp ch¬ng II. 16. Ch¬ng III: Gi¶i ph¬ng tr×nh v« tØ. 17. I. Đặt ẩn phụ để chuyển về phơng trình hữu tỉ. 17. II. §Æt Èn phô, chuyÓn ph¬ng tr×nh v« tØ vÒ hÖ ph¬ng tr×nh 21 h÷u tØ Bµi tËp ch¬ng III. 33. Chơng IV: Phơng pháp áp dụng các bất đẳng 35 thøc quen thuéc. I. Bæ tóc vÒ kiÕn thøc. 35. II. C¸c vÝ dô minh ho¹. 35. Bµi tËp ch¬ng IV. 39. phần iii: kết luận chung của đề tài. 40.

(49)

Luan VanSKKN 10

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về