Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
THANH HĨA
ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
THI VMO NĂM HỌC 2021-2022
MƠN TỐN v2
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi 28/09/2021
Thời gian làm bài :180 phút

Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng
Ngãi.Điện thoại : 0708127776
Bài 1.(7đ).a.Cho dãy số  an  xác định bởi a1  3, a2  7, an2  3an1  an , n 

* với.Tìm

1
k 1 a a
i i 1
n

lim 

b.Cho dãy số  un  ; u1  2, un  3un1  2n  9n  9n  3, n  *, n  2 chứng minh với mọi số
3

2

p 1

nguyên tố lẻ p thì

 u chia hết cho
i 1

i

Bài 2.(7đ).Tìm tất cả các hàm f ;



thỏa ( y  1) f ( x )  f ( x. f ( y)  f ( x  y))  y, x, y 

Bài 3.(7đ).Cho tam giác không cân ABC trung tuyến AM và các đường cao
BB1 , CC1 ( B1  AC, C1  AB) .Đường thẳng qua A vng góc AM cắt

BB1 , CC1 ( B1  AC, C1  AB) lần lượt tại E và F.Gọi (k) là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFM.Giả sử
 k1  ,  k2  là đường tròn tiếp xúc EF đồng thời tiếp xúc cung EF không chứa M của (k)

1)Chứng minh AE=AF
2)Chứng minh nếu  k1  ,  k2  cắt tại P,Q thì P,M,Q thẳng hàng.
Bài 4.(7đ).Xét dãy số gồm 2021 số 1,2,3,..,2021

1.Mỗi lần lấy ra hai số liền kề nhau bất kỳ của dãy rồi xếp chúng vào các vị trí vừa lấy
nhưng theo chiều ngược lại.Hỏi sau 1 số lẻ lần thực hiện liên tiếp như vậy,ta có thể nhận
được dãy viết theo thứ tự ngược lại 2021;2020;...2;1 hay không?
2.Mỗi lần lấy ra 10 số hạng bất kỳ của dãy rồi xếp chúng vào các vị trí vừa lấy nhưng theo
chiều ngược lại.Hỏi sau 1 số lẻ lần thực hiện liên tiếp như vậy,ta có thể nhận được dãy viết
theo thứ tự 1,2,3,..,2021 như ban đầu hay không?
Bài 5(6đ).Giả sử P(x) là 1 đa thức hệ số thực thỏa mãn tính chất với mọi số thực x,y thì

x 2  P( y)  2 y khi và chỉ khi y2  P( x )  2 x .Chứng minh x=0 không phải là nghiệm của phương
trình P(x)=0
Bài 6(7đ).Cho p số nguyên tố >3 ,n là số nguyên dương sao cho các số p-1,p,n,n+1 từng đơi một khơng
p 1
p 2
n 1
có ước số chung > 2.Tìm số nguyên dương x,y thỏa x  x  ...  x  2  y


Bài 7.(7đ).Cho tam giác ABC nhon ABnhau H(D thuộc BC,E thuộc AC,F thuộc AB.Gọi M là trung điểm BC.Đường tròn (J) ngoại tiếp tam giác
AEF cắt (O) tại điểm thứ hai K khác A,AM cắt (J) tại điểm thứ hai Q khác A.
1.Chứng minh KF,EQ,BC đồng quy
2.Gọi U là trung điểm đoạn AM,P là điểm di động trên cung nhỏ AC của (O).X là hình chiếu vng góc
của M trên AP.Gọi I là trung điểm PX.Đường thẳng KI cắt (O) tại X khác K.Lấy T thuộc KX sao cho IT
vng góc UI .Chứng minh ST đi qua điểm cố định khi P di chuyển tên cung nhỏ AC của (O).

02

)

câu hình : a : gọi trung điểm lên BB' và CC' là X Y có đc A E X M đồng viên và F A Y M đồng viên,
biến đổi góc và dùng ∆ đồng dạng => EMF cân
câu b : gọi tiếp điểm của (K1) và (K2) lên EF là G,I, dùng bổ để archimedes => DG HI đồng quy tại M
mà MF² = MG.MD=MI.MH => M thuộc trục đẳng phương của (K1) và (K2) nên có dpcm