De thi va dap an HSG toan 6 Tien Hai 20152016

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI. ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 -2016. m¤N: TOÁN 6 (Thời gian làm bài 120 phút). ĐỀ CHÍNH THỨC. Bài 1: (5,0 điểm). a) Tính giá trị biểu thức:. 11.329  915 A 2 2.314. . . .. b) Tìm số nguyên x, biết: (x  5)  (x  10)  (x  15)  ...  (x  60) 450 . 2 4 6 98 c) Cho S 1  3  3  3  ...  3 . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10.. Bài 2: (4,0 điểm) a) Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 162 và ƯCLN của chúng là 18. Tìm hai số đó. b) Tìm số nguyên tố p sao cho: p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố. Bài 3: (4,0 điểm) a) Tìm tất cả các chữ số a, b, c thỏa mãn: abc  cba 6b3 . b) Chứng minh rằng: Nếu.  ab  cd  eg  11 thì abc deg11 .. Bài 4: (5,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. a) Tính BN khi BM = 2cm. b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao cho     BAx 400 , BAy 1100 . Tính yAx, NAy .. c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất. Bài 5: (2,0 điểm) a) Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó? b) Tìm số tự nhiên n biết: n  S(n) 2016 , trong đó S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n.. Họ và tên thí sinh: .................................................................................................................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Số báo danh: .................................................Phòng..................................................... PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI. KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM. m¤N: TOÁN 6 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 04 trang) Bài 1 (5,0 điểm) 11.329  915 A 2 2.314. . a) Tính giá trị biểu thức:. . b) Tìm số nguyên x, biết:. (x  5)  (x  10)  (x  15)  ...  (x  60) 450 2 4 6 98 c) Cho S 1  3  3  3  ...  3 . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10.. Câu. Nội dung 2 15.  . a) 1.5đ. 11.329  3 A 2.314.2.314 11  3 .329  A 22.328. . 11.329  330  22.328. 0.5đ. 8.329 22.328. 0.5đ. A 6. Þ. b) 1.5đ. Điểm. ( x + 5) +( x +10) +( x +15) +... +( x + 60) = 450 (x + x + .. + x) +( 5 +10 +15 + ... + 60) = 450 1444442444443. 0.5đ 0.5đ. 12soá x. 12.x -. ( 5 + 60) .12. = 450 2  12x  390 450  x 5 .. Þ. 2. 4. 6. 0.5đ 0.5đ. 98. Cho S 1  3  3  3  ...  3 . Tính S và chứng minh S chia hết cho 10. +) Ta có c) 2.0đ. S 1  32  34  36  ...  398.  32.S 32  34  36  ...  3100 2 2 4 6 100 2 4 98  3 .S  S (3  3  3  ...  3 )  (1  3  3  ...  3 ) 3100  1  8 2 4 6 96 98 +) Ta có S (1  3 )  (3  3 )  ...  (3  3 ) 8S 3100  1  S . 4. 96. S 10  3 .10  ...  3 .10. + Suy ra S chia hết cho 10.. 0.5đ 0.5đ 0.5đ 0.5đ. Bài 2: (4,0 điểm) a) Cho hai số tự nhiên có tổng bằng 162 và ƯCLN của chúng là 18. Tìm hai số đó. b) Tìm số nguyên tố p sao cho: p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố..

<span class='text_page_counter'>(3)</span> Câu. a) 2.0đ. b) 2.0đ. Nội dung Điểm Gọi hai số tự nhiên phải tìm là a và b, giả sử a b 0.5đ Vì ƯCLN(a, b) = 18 nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: m  n a = 18m; b = 18n và ƯCLN(m, n) = 1, (1) 0.5đ Ta có a  b 18m  18n 162  m  n 9 (2) Từ (1) và (2) suy ra ta chọn các cặp số nguyên tố cùng nhau m, n có tổng bằng 9 và m n như sau: m 1 2 4. n 8 7 5. a 18 36 72. b 144 126 90. Vậy hai số tự nhiên cần tìm là: 18 và 144; 36 và 126; 72 và 90 + Với p = 2  p  2 4; p  4 6  p + 2 và p + 4 là các hợp số.  p = 2 không thỏa mãn + Với p = 3  p + 2 = 5 là số nguyên tố p + 4 = 7 là số nguyên tố  p = 3 thỏa mãn + Với p là số nguyên tố và p > 3. 0.75đ 0.25đ 0.5đ. *  p chỉ có thể có dạng p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k  N ) * Nếu p = 3k + 1 thì p + 2 = 3k + 1 + 2 = 3k + 3 3 và p + 2 > 3  p + 2 là hợp số (trái với đề bài). 0.5đ. * Nếu p = 3k + 2 thì p + 4 = 3k + 2 + 4 = 3k + 6 3 và p + 4 > 3  p + 4 là hợp số (trái với đề bài) Vậy p = 3 thì p + 2 và p + 4 cũng là các số nguyên tố.. 0.5đ 0.5đ. Bài 3 (4,0 điểm) a) Tìm tất cả các chữ số a, b, c thỏa mãn: abc  cba 6b3 b) Chứng minh rằng: Nếu Câu.  ab  cd  eg  11 thì abc deg11 Nội dung. Điểm. Điều kiện a 0,c 0 Vì abc  cba 6b3  100a  10b  c  100c  10b  a 6b3. 0.5đ.  99  a  c  6b3. a) 2.0đ.  6b399  b 9  a  c 693 : 99 7  a 7  c Do 0  a 9  0  c  7 9  c 1 hoặc c 2. 0.5đ 0.5đ. (vì c 0 ). Với c = 1 suy ra a = 8 Với c = 2 suy ra a = 9 Vậy a = 9, b = 9, c = 2 hoặc a = 8, b = 9, c = 1 b) 2.0đ. 0.5đ. Ta có: abc deg 10000.ab  100.cd  eg. 0.5đ 0.5đ. y  cd  eg) = (9999.ab  99.cd)  (ab x.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 400. N. ). A (9999.ab  99.cd)  11 (ab  cd  eg)11 Do và theo bài ra Suy ra: abc deg 11. M. B. 0.5đ 0.5đ. Bài 4 (5,0 điểm): Cho đoạn thẳng AB = 5cm. Lấy điểm M thuộc đoạn thẳng AB, trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AN = AM. a) Tính BN khi BM = 2cm. b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB, vẽ các tia Ax và Ay sao cho     BAx 400 , BAy 1100 . Tính yAx, NAy .. c) Xác định vị trí của điểm M trên đoạn thẳng AB để đoạn thẳng BN có độ dài lớn nhất. 0 0 0 0 0 · · 0.5đ hay 110 + NAy =180 Þ NAy = 180 - 110 = 70 Vì BN = AB + AN = 5 + AN 0.5đ Suy ra BN có độ dài lớn nhất khi AN có độ dài lớn nhất c) 1.5đ. Mà AN = AM  BN có độ dài lớn nhất khi AM có độ dài lớn nhất Có AM  AB  AM lớn nhất khi AM = AB khi đó điểm M trùng với điểm B. Vậy khi điểm M trùng với điểm B thì BN có độ dài lớn nhất.. Bài 5 (2,0 điểm):. 0.5đ 0.5đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> a) Cho 1000 điểm phân biệt, trong đó có đúng 3 điểm thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đường thẳng tạo bởi hai trong 1000 điểm đó? b) Tìm số tự nhiên n biết: n  S(n) 2016 , trong đó S(n) là tổng các chữ số của số tự nhiên n. Câu. a) 1.0đ. Nội dung 1000.999 2 Số đường thẳng tạo bởi 1000 điểm phân biệt là: đường thẳng 3.2 3 Số đường thẳn tạo bởi 3 điểm không thẳng hàng là: 2 đường thẳng. Theo bài ra vì có 3 điểm thẳng hàng nên số đường thẳng giảm đi là: 3 – 1 = 2 đường thẳng.. Điểm 0.5đ. 0.5đ. 1000.999  2 499498 2 Vậy số đường thẳng tạo thành là: ( đường thẳng) Nếu n là số ít hơn 4 chữ số suy ra n 999 và S(n) 27  n  S(n) 1026  2016 (không thỏa mãn). Vì n  n  S(n) 2016  n  2016  n không có 5 chữ số Vậy n có 4 chữ số. Suy ra S(n) 9.4 36  n 2016  36 1980 b) 1.0đ. Vì 1980 n 2016 nên n 19ab hoặc n 20cd +) Với n 19ab  19ab  1  9  a  b 2016  11a  2b 106 (1). 1.0đ.  a 2. Vì 11a = 106 – 2b  106 – 2.9 = 88  8 a 9 và a 2  a 8 , thay a = 8 vào (1) được b = 9 +) Tương tự n 20cd suy ra c = 0 và d = 7 Vậy số cần tìm là 1989 hoặc 2007. *) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm. *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất. *) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làm tròn..

<span class='text_page_counter'>(6)</span>