De thi va dap an HSG toan 8 Tien Hai 20142015

<span class='text_page_counter'>(1)</span>PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2014-2015 m¤N: TOÁN 8. (Thời gian làm bài 120 phút). Bài 1 ( 5 điểm): a) Tìm x, y biết: 2x2 + y2 + 6 = 4(x – y) b) Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x2 + y = y2 + x x2  y2  xy A xy  1 Tính giá trị của biểu thức c) Cho a > b > 0. Trong hai số sau số nào lớn hơn 1  a  a 2  ...  a n  1 1  b  b 2  ...  b n  1 A B  1  a  a 2  ...  a n và 1  b  b2  ...  bn Bài 2 ( 4 điểm): ax  1 b a(x 2  1)   2 x  1 (1) Cho phương trình: x  1 x  1 a) Giải phương trình khi a = 2; b = - 3 b) Giải và biện luận phương trình (1) Bài 3 ( 3,5 điểm): a) Cho A = a2 + b2 + c2 , trong đó a;b là hai số tự nhiên liên tiếp và c = a.b. Chứng minh A là một số chính phương lẻ. b) Cho số tự nhiên n > 3. Chứng minh nếu 2 n = 10a + b ( 0 < b < 10) thì tích a.b chia hết cho 6. Bài 4 ( 6 điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A. Kẻ đường cao AA’, Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của A’ lên AC và AB. Chứng minh rằng: a) AA'C BAC từ đó suy ra AC2 = CA’.CB CE AC 3  3 b) BF AB c) D là một điểm nằm trên cạnh huyền BC; M,N là hình chiếu của D lên AB và AC. Chứng minh DB.DC = MA.MB + NA.NC Bài 5 ( 1.5 điểm): Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích S và O là điểm nằm trong tứ giác sao cho OA2 + OB2 + OC2 + OD2 = 2S. Chứng minh rằng ABCD là một hình vuông có tâm O.. Họ và tên thí sinh: ........................................................................................................ Số báo danh: ........................................................................................................................

<span class='text_page_counter'>(2)</span> PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TIỀN HẢI. KI THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011-2012 hƯỚNG DẪN CHẤM THI TOÁN 8. Bài 1 a) * §K: x -1; y 1; x+y 0 ( 5 điểm) 2 2 2 2. A. x (1  x)  y (1  y)  x y (x  y) (x  y)(1  y)(1  x). x 2  x3  y 2  y3  x 2 y 2 (x  y) A (x  y)(1  y)(1  x) A. (x 2  y 2 )  (x3  y3 )  x 2 y 2 (x  y) (x  y)(1  y)(1  x). A. (x  y)(x  y)  (x  y)(x 2  xy  y 2 )  x 2 y 2 (x  y) (x  y)(1  y)(1  x). A. (x  y)(x  y  x 2  xy  y 2  x 2 y 2 ) (x  y)(1  y)(1  x). (x  y)  (x  xy)  (y  y 2 )  (x 2  x 2 y 2 )    A (x  y)(1  y)(1  x) (x  y)(1  y)(x  y  x 2  x 2 y) A (x  y)(1  y)(1  x) (x  y)(1  y)(1  x)(x  y  xy) A (x  y)(1  y)(1  x) A x  y  xy. b) A 2  x  y  xy 2  x  y  xy  2 0  (1  y)(x  1) 1. V× x, y nguyªn  (1  y 1 vµ x-1=1) hoÆc (1+y=-1 vµ x-1=-1). 0,5 đ. 0,5đ. 0,75đ. 0,5đ. 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ.  y=0 vµ x=2 hoÆc y=-2 vµ x=0 ( t/m điều kiện) Vậy x=2; y=0 hoÆc x=0; y=-2 thì A=2. Bài 2 (4 điểm). x  60 x  50 x  10 x  2    0 30 10 18 a) 40 x  60 x  50 x  10 x 2 (  1)  (  1)  (  1)  (  1) 0 40 30 10 18 x  20 x  20 x  20 x  20     0 40 30 10 18 1 1 1 1  (x  20)(    ) 0 40 30 10 18  (x  20) 0  x  20. Vậy Tập nghiệm của pt: S   20. 2đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 1 1 1 1    b)Cho các số nguyên a, b,c thoả mãn: a b c abc . Cứng minh rằng: 1  a 2 1  b 2 1  c2. . . . . 2đ. là số chính phương.. 1 1 1 1     ab  bc  ca 1 Ta có: a b c abc  1  a 2 ab  bc  ca  a 2 a(a  b)  c(a  b) (a  b)(a  c)  1  b 2 ab  bc  ca  b 2 b(a  b)  c(a  b) (a  b)(b  c)  1  c2 ab  bc  ca  c2 b(a  c)  c(a  c) (a  c)(b  c) 2  (1  a 2 )(1  b 2 )(1  c2 ) (a  b)2 (b  c)2 (a  c)2  (a  b)(b  c)(c  a). . . Vì a, b, c là các số nguyên  (a  b)(b  c)(c  a)  Z. 0,5đ. 0,5đ 0,5đ 0,5đ.  (1  a 2 )(1  b 2 )(1  c2 ) là số chính phương A D H. F O. B. K. -Vẽ hình sai không chấm a) C/m: AHB đồng dạng với EOF. C E. I. E, F lµ trung ®iÓm cña BC, AC (gt)    EF lµ ® êng trung b×nh cña ABC  EF//AB  BAC EFC (1)   BH  AC(gt)  BAC  ABH 90 0. Do. (2). 0   Bài 3 Lại có: OF  AC ( t/c ® êng trung trùc)  EFC  OFE 90 (3) ( 5 điểm).   Từ (1) (2) (3)  ABH OFE (4) . . - Chứng minh tương tự:  BAH OEF (5) - Từ (4) và (5). Suy ra AHB đồng dạng với EOF (g.g) b) C/m 3 điểm H, E, I thẳng hàng * FA=FC(gt); OA=OI (gt).  OF là đg trung bình của tam giác ACI  CI / / 2OF (a) * BH / /OF (  AC) (b) . BH AB 1    BH 2OF OF EF 2 (b). * AHB đồng dạng với EOF - Từ (a) (b) (c).  BH / / IC - Vậy E là trung điểm của đường chéo BC nên E cũng là trung điểm của HI. Vậy H, E, I thẳng hàng. 2đ 0,5đ. 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 2đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> BC 2 4 c) C/m: - Chứng minh được: ABK CHK AK CK    KH.KA BK.CK BK KH (BK  CK)2 BC 2 BK.CK   4 4 Mà:. 1đ. KH.KA .  KH.KA  Bài 4 (2điểm). 0,25đ 0,25đ 0,25đ. BC 2 4. 0,25đ. B. C M O. N. E. 2đ. G A. D. F. Kẻ BM//EF; DN//EF.. 0,5đ. AD AN  FG//DN AF AG AB AM   EG//BM AE AG AD AB AN  AM    (1) AF AE AG - Chứng minh được: ADN CBM(g.c.g)  AN CM. 0,25đ. . . Bài 5 (4điểm). 0,25đ 0,25đ (2). AD AB CM  AM AD AB AC     = AF AE AG AF AE AG. - Từ (1) và (2) a) Cho 3 số a, b, c thoả mãn abc=2012. Tính giá trị của biểu thức : 2012a b c   ab  2012a  2012 bc  b  2012 ac  c  1 abc.a b c  S   ab  abc.a  abc bc  b  abc ac  c  1 Thay 2012=abc abc.a b c  S   ab(1  ca  c) b(c  1  ac) ac  c  1 ac 1 c S   1  ca  c c  1  ac ac  c  1 ac  1  c S 1 1  ca  c S. b)Cho các số không âm thoả mãn: a+b+c=1. Chứng minh rằng: b  c 16abc Ta cã : b  c (b  c)  a  (b  c) . Áp dụng BĐT:. 2đ. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ. 0,5đ. (1).  a  (b  c). 0,25đ. 2đ. 2. (A  B)2 4AB . 0,25đ. 2. 4a(b  c). 0,5đ.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> V× b,c kh«ng ©m  b  c 0 2.  (b  c)  a  (b  c) 4a(b  c)2 4a.4bc (2) Từ (1) và (2)  b  c 16abc. 0,5đ 0,5®.

<span class='text_page_counter'>(6)</span>