Giao trinh TRÍ TUỆ NHÂN TẠO Chương 2CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM KIẾM LỜI GIẢI TRONGKHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

Chương 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM KIẾM LỜI GIẢI TRONG
KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI
Quá trình tìm kiếm lời giải của bài toán được biểu diễn trong không gian
trạng thái được xem như quá trình dò tìm trên đồ thị, xuất phát từ trạng thái ban
đầu, thông qua các toán tử chuyển trạng thái, lần lượt đến các trạng thái tiếp theo
cho đến khi gặp được trạng thái đích hoặc không còn trạng thái nào có thể tiếp
tục được nữa. Khi áp dụng các phương pháp tìm kiếm trong không gian trạng
thái , người ta thường quan tâm đến các vấn đề sau:
• Kỹ thuật tìm kiếm lời giải
• Phương pháp luận của việc tìm kiếm
• Cách thể hiên các nút trong quá trình tìm kiếm (mô tả trạng thái bài toán)
• Việc chọn các toán tử chuyển trạng thái nào để áp dung và có khả năng sử
dụng .phương pháp may rủi trong quá trình tìm kiếm.
Tuy nhiên, không phải các phương pháp này có thể áp dụng cho tất cả các bài
toán phức tạp mà cho từng lớp bài toán. Việc chọn chiến lược tìm kiếm cho bài
toán cụ thể phụ thuộc nhiều vào các đặc trưng của bài toán.
Các thủ tục tìm kiếm điển hình bao gồm:
- Tìm kiếm theo chiều rộng (Breadth – First Search)
- Tìm kiếm theo chiều sâu (Depth – First Search)
- Tìm kiếm sâu dần (Depthwise Search)
- Tìm kiếm cực tiểu hoá giá thành (Cost minimization Search).
- Tìm kiếm với tri thức bổ sung (Heuristic Search).
1. Phương pháp tìm kiếm theo chiều rộng.
1.1. Kỹ thuật tìm kiếm rộng.
Kỹ thuật tìm kiếm rông là tìm kiếm trên tất cả các nút của một mức trong
không gian bài toán trước khi chuyển sang các nút của mức tiếp theo.
23
Kỹ thuật tìm kiếm rộng bắt đầu từ mức thứ nhất của không gian bài toán,
theo hướng dẫn của luật trọng tài, chẳng hạn “đi từ trái sang phải”. Nếu
không thấy lời giải tại mức này, nó chuyển xuống mức sau để tiếp tục …

đến khi định vị được lời giải nếu có.
1.2. Giải thuật.
Input:
Cây/Đồ thị G = (V,E) với đỉnh gốc là n
0
(trạng thái đầu)
Tập đích Goals
Output:
Một đường đi p từ n
0
đến một đỉnh n
*
∈ Goals
Method:
Sử dụng hai danh sách hoạt động theo nguyên tắc FIFO (queue) MO và
DONG
Procedure BrFS; (Breadth First Search)
Begin
Append(MO,n
o
)
DONG=null;
While MO <> null do
begin
n:= Take(MO);
if n∈ DICH then exit;
Append(DONG, n);
For m∈ T(n) and m∉DONG+MO do
Append(MO, m);
end;

Write (‘Không có lời giải’);
End;
24
Chú ý: Thủ tục Append(MO,n
0
) bổ sung một phần tử vào queue MO.
Hàm Take(MO) lấy một phần tử trong queue MO.
• Nếu G là cây thì không cần dùng danh sách DONG.
1.3. Đánh giá độ phức tạp của giải thuật tìm kiếm rộng.
Giả sử rằng, mỗi trạng thái khi được xét sẽ sinh ra k trạng thái kế tiếp. Khi
đó ta gọi k là nhân tố nhánh. Nếu bài toán tìm được nghiệm theo phương pháp
tìm kiếm rộng có độ dài d. Như vậy, đỉnh đích sẽ nằm ở mức d+1, do đó số đỉnh
cần xét lớn nhất là:
1 + k + k
2
+ . . . + k
d
.
Như vậy độ phức tạp thời gian của giải thuật là O(k
d
). Độ phức tạp không
gian cũng là O(k
d
), vì tất cả các đỉnh của cây tìm kiếm ở mức d+1 đêu phải lưu
vào danh sách.
1.4. Ưu và nhược điểm của phương pháp tìm kiếm rộng.
1.4.1. Ưu điểm.
• Kỹ thuật tìm kiếm rộng là kỹ thuật vét cạn không gian trạng thái bài toán
vì vậy sẽ tìm được lời giải nếu có.
• Đường đi tìm được đi qua ít đỉnh nhất.

1.4.2. Nhược điểm.
• Tìm kiếm lời giải theo thuật toán đã định trước, do vậy tìm kiếm một cách
máy móc; khi không có thông tin hổ trợ cho quá trình tìm kiếm, không
nhận ra ngay lời giải.
• Không phù hợp với không gian bài oán kích thước lớn. Đối với loại bài
toán này, phương pháp tìm rộng đối mặt với các nhu cầu:
- Cần nhiều bộ nhớ theo số nút cần lưu trữ.
- Cần nhiều công sức xử lý các nút, nhất là khi các nhánh cây dài, số nút
tăng.
- Dễ thực hiện các thao tác không thích hợp, thừa, đưa đến việc tăng
đáng kể số nút phải xử lý.
25
• Không hiệu qủa nếu lời giải ở sâu. Phương pháp này không phù hợp cho
trường hợp có nhiều đường dẫn đến kết quả nhưng đều sâu.
• Giao tiếp với người dùng không thân thiện. Do duyệt qua tất cả các nút,
việc tìm kiếm không tập trung vào một chủ đề.
1.5. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Bài toán đong nước với m = 5, n= 4, k =3
Mức 1: Trạng thái đầu (0;0)
Mức 2: Các trạng thái (5;0), (0;4), Mức 3: (5;4), (1;4), (4,0)
Mức 4: (1;0), (4;4) Mức 5: (0;1), (5;3)
Ở mức 5 ta gặp trạng thái đích là (5;3) vì vậy có được lời giải như sau:
(0;0)→ (0;4) → (4;0) → (4;4) → (5;3)
Để có được lời giải này ta phải lưu lại vết của đường đi, có thể trình bày quá
trình tìm kiếm dưới dạng bảng sau:
i T(i)
↑MO ↓
DONG
(0;0)
(0;0) (5;0) (0;4) (5;0) (0;4) (0;0)

(5;0) (5;4) (0;0) (1;4) (0;4) (5;4)
(1;4)
(0;0) (5;0)
(0;4) (5;4) (0;0) (4;0) (5;4) (1;4)
(4;0)
(0;0) (5;0) (0;4)
(5;4) (0;4) (5;0) (1;4) (4;0) (0;0) (5;0) (0;4) (5;4)
(1;4) (5;4) (0;4) (1;0)
(5;0)
(4;0) (1;0) (0;0) (5;0) (0;4) (5;4) (1;4)
(4;0) (5;0) (4;4) (0;0)
(0;4)
(1;0) (4;4) (0;0) (5;0) (0;4) (5;4) (1;4) (4;0)
(1;0) (5;0) (1;4) (0;1) (4;4) (0;1) (0;0) (5;0) (0;4) (5;4) (1;4) (4;0)
(1;0)
(4;4) (5;4) (0;4) (4;0)
(5;3)
(0;1) (5;3) (0;0) (5;0) (0;4) (5;4) (1;4) (4;0)
(1;0) (4;4)
(0;1) (5;1) (0;4) (0;0)
(1;0)
(5;3) (5;1) (0;0) (5;0) (0;4) (5;4) (1;4) (4;0)
(1;0) (0;1)
(5;3)
26
Ví dụ 2. Bài toán trò chơi 8 số
Bảng xuất phát
2 8 3
1 6 4
7 5

Bảng kết thúc
1 2 3
8 4
7 6 5
Mức 1: Có một trạng thái
2 8 3
1 6 4
7 5
Mức 2: Có ba trạng thái
2 8 3 2 8 3 2 8 3
1 4 1 6 4 1 6 4
7 6 5 7 5 7 5
Mức 3: Có năm trạng thái
2 8 3 2 8 3 2 3
1 4 1 4 1 8 4
7 6 5 7 6 5 7 6 5
2 8 3 2 8 3
6 4 1 6
1 7 5 7 5 4
Mức 4: Có mười trạng thái
8 3 2 8 3
2 1 4 7 1 4
7 6 5 6 5
2 8 2 8 3
1 4 3 1 4 5
27
1 7 5 7 6
2 3 2 3
1 8 4 1 8 4
7 6 5 7 6 5

8 3 2 8 3
2 6 4 6 4
1 7 5 1 7 5
2 8 2 8 3
1 6 3 1 6 4
7 5 4 7 5
Mức 6: Có 12 trạng thái
1 2 3 2 3 4
8 4 1 8
7 6 5 7 6 5
28
8 3 2 8 3
2 1 4 7 1 4
7 6 5 6 5
2 8 2 8 3
1 4 3 1 4 5
7 6 5 7 6
8 3 2 3
2 6 4 6 8 4
1 7 5 1 7 5
2 8 3 2 8
6 7 4 1 6 3
1 5 7 5 4
2 3 2 8 3
1 8 3 1 5 6
7 5 4 7 4
Mức 6: Có 24 trạng thái
1 2 3 1 2 3
8 4 7 8 4
7 6 5 6 5

. . .
Ở mức này ta gặp được trạng thái đích.
1 2 3
8 4
7 6 5
2. Phương pháp tìm kiếm theo chiều sâu.
2.1. Kỹ thuật tìm kiếm sâu.
29
Tìm kiếm sâu trong không gian bài toán được bắt đầu từ một nút rồi tiếp
tục cho đến khi hoặc đến ngõ cụt hoặc đến đích. Tại mỗi nút có luật trong tài,
chẳng hạn, “đi theo nút cực trái”, hướng dẫn việc tìm. Nếu không đi tiếp đựoc,
gọi là đến ngõ cụt, hệ thống quay lại một mức trên đồ thị và tìm theo hướng
khác, chẳng hạn, đến nút “sát nút cực trái”. Hành động này gọi là quay lui.
Thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu được hình dung như việc khảo sát một
cây bắt đầu từ gốc đi theo mọi cành có thể được, khi gặp cành cụt thì quay lại
xét cành chưa đi qua.
- Ở bước tổng quát, giả sử đang xét đỉnh i, khi đó các đỉnh kề với i có các
trường hợp:
+ Nếu tồn tại đỉnh j kề i chưa được xét thì xét đỉnh này (nó trở
thành đỉnh đã xét) và bắt đầu từ đó tiếp tục quá trình tìm kiếm với đỉnh
này
+ Nếu với mọi đỉnh kề với i đều đã được xét thì i coi như duyệt
xong và quay trở lại tìm kiếm từ đỉnh mà từ đó ta đi đến được i.
2.2. Giải thuật.
Input:
Cây/Đồ thị G = (V,E) với đỉnh gốc là n
0
(trạng thái đầu)
Tập đích Goals
Output:

Một đường đi p từ n
0
đến một đỉnh n
*
∈ Goals
Method:
Sử dụng hai danh sách hoạt động theo nguyên tắc LIFO (Stack) MO và
DONG
Procedure DFS; (Depth First Search)
Begin
Push (MO,n
o
)
DONG=null;
30
While MO <> null do
begin
n:=pop (MO);
if n∈ DICH then exit;
push (DONG, n);
For m∈ T(n) and m∉DONG+MO do
Push (MO, m);
end;
Write (‘Không có lời giải’);
End;
Chú ý: Thủ tục Push(MO,n
0
) thực hiện việc bổ sung n
0
vào stack MO

Hàm Pop(MO) lấy phần tử đầu tiên trong Stack MO.
2.3. Đánh giá độ phức tạp của thuật toán tìm kiếm sâu.
Gải sử nghiệm của bài toán là đường đi có độ dài d, cây tìm kiếm có nhân
tố nhánh là k. Có thể xãy ra nghiệm là đỉnh cuối cùng được xét ở mức d+1 theo
luật trọng tài. Khi đó độ phức tạp thời gian của thuật toán tìm kiếm theo chiều
sâu trong trường hợp xấu nhất là O(k
d
).
Để đánh giá độ phức tạp không gian của thuật toán tìm kiếm sâu ta có
nhận xét ràng: Khi xét đỉnh j, ta chỉ cần lưu các đỉnh chưa được xét mà chúng là
những đỉnh con của những đỉnh nằm trên đường đi từ đỉnh gốc đến j. Vì vậy chỉ
cần lưu tối đa la k*d. Do đó độ phức tạp không gian của thuật toán là O(k*d).
2.4. Ưu và nhược điểm của phương pháp tìm kiếm sâu.
2.4.1. Ưu điểm.
• Nếu bài toán có lời giải, phương pháp tìm kiếm sâu bảo đảm tìm ra lời giải.
• Kỹ thuật tìm kiếm sâu tập trung vào đích, con người cảm thấy hài lòng khi
các câu hỏi tập trung vào vấn đề chính.
• Do cách tìm của kỹ thuật này, nếu lời giải ở rất sâu, kỹ thuật tìm sâu sẽ tiết
kiệm thời gian.
31
2.4.2. Nhược điểm.
• Tìm sâu khai thác không gian bài toán để tìm lời giải theo thuật toán đơn
giản một cách cứng nhắc. Trong quá trình tìm nó không có thông tin nào hổ
trợ để phát hiện lời giải. Nếu chọn nút ban đầu không thích hợp có thể không
dẫn đến đích của bài toán.
• Không phù hợp với không gian bài toán lớn, kỹ thuật tìm kiếm sâu có thể
không đến lời giải trong khoảng thời gian vừa phải.
2.5. Các ví dụ.
Ví dụ 1. Bài toán đong nước với m = 5, n = 4, k = 3
Nếu ta chọn nhánh ưu tiên đổ đầy bình thứ hai thì sẽ tìm thấy lời giải rất nhanh.

Quá trình tìm kiếm có thể trình bày bằng bảng dưới đây
i T(i)
MO ↓↑
DONG
(0;0)
(0;0) (5;0) (0;4) (5;0) (0;4) (0;0)
(0;4) (5;4) (0;0) (4;0) (5;0) (5;4)
(4;0)
(0;0) (0;4)
(4;0) (5;0) (4;4) (0;0)
(0;4)
(5;0) (5;4)
(4;4)
(0;0) (0;4) (4;0)
(4;4) (5;4) (0;4) (4;0)
(5;3)
(5;0) (5;4)
(5;3)
(0;0) (0;4) (4;0) (4;4)
(5;3)
Lời giải tìm được: (0;0) → (0;4) → (4;0) → (4;4) → (5;3)
Ví dụ 2. Bài toán Tháp Hà nội với n = 3.
Nhắc lại, dùng bộ ba (x
1
; x
2
; x
3
) biểu diễn trạng thái bài toán, với x
i

là cọc chứa
đĩa lớn thứ i.
i T(i)
MO ↓↑
DONG
(1;1;1)
(1;1;1) (1;1;2) (1;1;3) (1;1;2) (1;1;3) (1;1;1)
(1;1;3) (1;1;1)(1;1;2)
(1;2;3)
(1;1;2)(1;2;3) (1;1;1)(1;1;3)
(1;2;3) (1;1;3) (1;2;1) (1;1;2)(1;2;1)(1;2;2) (1;1;1)(1;1;3)(1;2;3)
32
(1;2;2)
(1;2;2) (1;2;3) (1;2;1)
(3;2;2)
(1;1;2)(1;2;1)(3;2;2) (1;1;1)(1;1;3)(1;2;3)(1;2;2)
(3;2;2) (1;2;2) (3;2;3)
(3;2;1)
(1;1;2)(1;2;1)(3;2;1) (1;1;1)(1;1;3)(1;2;3)(1;2;2)
(3;2;2)
(3;2;1) (3;2;2) (3;2;3)
(3;3;1)
(1;1;2)(1;2;1)(3;3;1) (1;1;1)(1;1;3)(1;2;3)(1;2;2)
(3;2;2) (3;2;1)
(3;3;1) (3;2;1) (3;3;2)
(3;3;3)
(1;1;2)(1;2;1)(3;3;3) (1;1;1)(1;1;3)(1;2;3)(1;2;2)
(3;2;2) (3;2;1) (3;3;3)
(3;3;3)
Lời giải của bài toán:

(1;1;1) → (1;1;3) → (1;2;3) → (1;2;2) → (3;2;2) → (3;2;1) → (3;3;1) → (3;3;3)
• Cả hai ví dụ trên, chúng ta đều thấy, tìm kiếm theo chiều sâu đều cho lời giải
tốt và nhanh.
Ví dụ 3. Bài toán tìm dãy hợp lý với số hạng đầu a
1
= 26
Nhắc lại: Dãy a
1
, a
2
, …,a
n
được gọi là hợp lý nếu thoả hai điều kiện:
- a
n
là số nguyên tố
- a
k+1
= a
k
+1 hoặc 2*a
k
Như vậy, khi biết a
k
thì ta xác định được a
k+1
. Vì vậy có thể mô tả trạng thái bài
toán tương ứng với giá trj a
k
tại thòi điểm đang xét. Ta có thể chỉ ra một cách

tìm kiếm theo chiều sâu như sau
I T(i)
MO ↓↑
DONG
26
26 27 52 27 52 26
52 53 104 27 53 104 26 52
104 105 208 27 53 105 208 26 52 104
208 209 416 27 53 105 209 416 26 52 104 208
. . .
Với cách tìm kiếm theo theo thuật toán một cách máy móc như vậy thì rõ ràng
không bao giờ đạt được đích. Trong khi chúng ta dễ dàng nhận được lời giải,
chăng hạn:
a
1
= 26; a
2
= 52; a
3
= 53. Như vậy n =3
33
3. Tìm kiếm sâu dần
3.1. Kỹ thuật tìm kiếm sâu dần.
Kỹ thuật tìm kiếm sâu dần là thực hiện việc tìm kiếm với độ sâu ở mức
giưói hạn d nào đó. Nếu không tìm ra nghiệm ta tăng độ sâu lên d+1 và lại tìm
kiếm theo độ sâu tới mức d+1. Quá trình trên được lặp lại với d lần lượt là 1,
2, đến độ sâu max nào đó.
Kỹ thuật tìm kiếm sâu dần thường được thực hiện khi cây tìm kiếm chứa
nhánh vô hạn, và nếu sử dụng tìm kiếm theo độ sâu ta có thể mắc kẹt ở một
nhánh nào đó (thuật toán không dừng) và không tìm ra nghiệm.

n
0
D
34
3.2. Giải thuật.
Thuật toán tìm kiếm sâu dần sử dụng thuật toán tìm kiếm sâu hạn chế như
thủ tục con. Đó là thủ tục tìm kiếm theo chiều sâu nhưng chỉ tới độ sâu d nào đó
rồi quay lên.
Thủ tục tìm kiếm sâu hạn chế (depth_limitedsearch)
Procedure Depth_limited_search(d); {d là tham số độ sâu}
Begin
Push (MO,n
o
);
Depth(n
0
)=0; {hàm depth ghi lại độ sâu mỗi
đỉnh}
DONG=null;
While MO <> null do
begin
n:=pop (MO);
if n∈ DICH then exit;
push (DONG, n);
if depth(n)<=d then
For m∈ T(n) and m∉DONG do
begin
Push (MO, m);
depth(m)=depth(n)+1;
end;

end;
Write (‘Không có lời giải’);
End
Thuật toán tìm kiếm sâu dần (Depth_deepening_search) sẽ sử dụng thủ tục tìm
kiếm sâu hạn chế như thủ tục con:
35
Procedure Depth_deepening_search;
Begin
For d:=0 to max do
Depth_limited_search(d);
If thành công then exit;
End;
3.3. Nhận xét.
- Luôn tìm ra nghiệm (nếu bài toán có nghiệm), miễn là chọn max đủ
lớn (giống như tìm kiếm theo chiều rộng)
- Có độ phức tạp thời gian là O(k
d
) (giống tìm kiếm rộng)
- Có độ phức tạp không gian là O(k*d) (giống tìm kiếm sâu)
- Giải thuật tìm kiếm sâu dần thương áp dụng cho các bài toán có không
gian trạng thái lớn và độ sâu của nghiệm không biết trước.
4. Phương pháp tìm kiếm tốt nhất đầu tiên (Best First Search).
Cả hai kỹ thuật tìm kiếm rộng và tìm kiếm sâu đều là phương pháp cơ bản
để khai thác không gian bài toán. Chúng đều vét cạn không gian để tìm ra lời
giải theo thủ tục xác định trước. Mặc dù có sử dụng tri thức về trạng thái của bài
toán để hướng dẫn tìm kiếm nhưng không phổ biến. Cho dù có một số ưu điểm,
nhưng chúng là những kỹ thuật thực hiện một cách máy móc. Chính vì vậy
chúng bị gán tên là “kỹ thuật tìm kiếm mù”.
4.1. Kỹ thuật tìm kiếm tốt nhất đầu tiên.
Kỹ thuật tìm kiếm tốt nhất đầu tiên tìm lời giải có dùng tri thức về bài

toán để hướng dẫn. Tri thức này hướng việc tìm kiếm về nút lời giải trong không
gian bài toán.
Tại mỗi nút được xem xét, người ta sẽ quyết định việc tìm kiếm tiếp tục
theo nhánh nào tin tưởng sẽ dẫn đến lời giải.
Trong các chương trình trí tuệ nhân tạo, kỹ thuật tìm kiếm tốt nhất đầu
tiên sử dụng hàm đánh giá. Hàm này dùng các thông tin hiện tại về mức độ quan
trọng của bài toán tại nút đó để gán giá trị cho nút này, gọi là trọng số của nút.
36
Giá trị này được xem xét trong lúc tìm kiếm. Thông thường, nút có trọng số nhỏ
(lớn) nhất sẽ được chọn trong quá trình tìm kiếm.
4.2. Hàm đánh giá
Trong nhiều vấn đề, ta có thể sử dụng kinh nghiệm, tri thức của chúng ta
về vấn đề đó để đánh giá các trạng thái của vấn đề.
Với mỗi trạng thái u, ta sẽ xác dịnh một giá trị số h(u), số này đánh giá
“sự gần đích” của trạng thái u. Hàm h(u) được gọi là hàm đánh giá.
Phương pháp tìm kiếm kinh nghiệm là phương pháp tìm kiếm có sử dụng
đến hàm đánh giá. Trong quá trình tìm kiếm, tại mỗi bước ta sẽ chọn trạng thái
kế tiếp là trạng thái có nhiều hứa hẹn dẫn tới đích nhiều nhất.
Quá trình tìm kiếm trong không gian trạng thái có sử dụng hàm đánh giá
bao gồm các bước cơ bản sau:
• Biểu diễn thích hợp các trạng thái và các toán tử chuyển trạng thái
• Xây dựng hàm đánh giá
• Thiết kế chiến lược chọn trạng thái ở mỗi bước
4.3. Ưu và nhược điểm của phương pháp tìm kiếm tốt nhất đầu tiên.
4.3.1. Ưu điểm.
- Phương pháp tìm kiếm tốt nhất đầu tiên tổ hợp các ưu điểm của phương
pháp tìm kiếm rộng và tìm kiếm sâu.
- Ưu điểm chủ yếu của phương pháp tìm kiếm tốt nhất đầu tiên là dùng tri
thức để dẫn dắt việc tìm kiếm. Tri thức này giúp người ta bắt đầu từ đâu là tốt
nhất và cách tốt nhất để tiến hành tìm lời giải.

- Tìm kiếm tốt nhất đầu tiên tuân theo cách suy lý của một chuyên gia. Do
đó có thể thấy rõ đường đi hơn tìm kiếm rộng và tìm kiếm sâu.
4.3.2. Nhược điểm.
- Quá trình tìm kiếm có thể đi xa khỏi lời giải. Kỹ thuật này chỉ xét một
phần của không gian và coi đó là phần hứa hẹn hơn cả.
37
4.4. Giải thuật.
Dữ liệu tương tự như giải thuật tìm kiếm rông và sâu, sử dụng danh sách
MO để lưu các đỉnh sẽ xét.
Procedure BFS; {Best First Search}
Begin
Push(MO,n
0
);
while MO <> null do
begin
i := Pop(MO);
if i ∈ Goals then
exit;
for j ∈ T(i) do
Push(MO,j);
Sort(MO); {theo thứ tự của hàm đánh giá}
end;
write(‘Khong co loi giai’);
end;
4.5. Các ví dụ.
Ví dụ 1 Trong bài toán tìm kiếm đường đi trên bản đồ giao thông, ta có thể lấy
độ dài của đường chim bay từ một thành phố đang xét tới một thành phố đích
làm giá trị của hàm đánh giá của thành phố đang xét.
Ví dụ 2 Bài toán 8 số. Chúng ta có thể đưa ra hai cách đánh giá

u = đích =
- Hàm h
1
: Với mỗi trạng thái u thì h
1
(u) là số quân không nằm đúng vị trí
của nó trong trạng thái đích.
Với ví dụ trên, ta có h
1
(u)=4
38
3 2 8
6 4
7 1 5
1 2 3
8 4
7 6 5
- Hàm h
2
: Gọi h
2
(u) là là tổng khoảng cách giữa vị trí của các quân trong
trạng thái u và vị trí của nó trong trạng thái đích. Ở đây, khoảng cách được hiểu
là số lần dịch chuyển ít nhất theo hàng hoặc cột để đưa một quân ở vị trí của
hiện tại tới trạng thái đích.
Với ví dụ trên, ta có:h
2
(u)=2+3+1+3= 9 (vì quân 3 cần ít nhất 2 dịch
chuyển, quân 8 cần ít nhất 3 dịch chuyển, quân 6 cần ít nhất 1 dịch chuyển và
quân 1 cần ít nhất 3 dịch chuyển)

5. Tìm kiếm đường đi có giá thành cực tiểu - Thuật toán AT
Cho đồ thị G= (V, E) biểu diễn bài toán với đỉnh xuất phát n
0
và tập đích
DICH xác định.
Với mỗi phép chuyển trạng thái n
i
→n
i+1
tốn chi phí c(n
i
, n
i+1
) ký hiệu c(u)
với u= (n
i
, ni
+1
)∈E
c(u)
n
i
n
i+1
Vấn đề:
Tìm đường đi p: n
0
n
*
∈ DICH sao cho

min)()( →=
∑
∈pu
ucpc
Chẳng hạn trong bài toán tìm đường đi trong bản đồ giao thông, giá của
cung (i,j) chính là độ dài của đường nối thành phố i với thành phố j. Độ dài
đường đi được xác định là tổng độ dài các cung trên đường đi. Vấn đề đặt ra là
tìm đường đi ngắn nhất từ trạng thái ban đầu đến trạng thái đích.
• Phương pháp giải
1) Nếu
Euconstkuc ∈∀= )()(
thì
min#min)( →⇔→ ppc
⇒ Dùng phương pháp
tìm kiếm theo chiều rộng.
2) Gọi g(n) là giá của đường đi cực tiểu từ đỉnh n
0
đến n, khi đó bài toán có thể
phát biểu như sau:
Tìm đường đi từ đỉnh
DICHnn
k
∈→
0
sao cho:
{ }
DICHnngng
k
∈= /)(min)(
Lúc đó, ta có:

0)(
0
=ng
{ }
),()(min)(
),(
mncngmg
Emn
+=
∈
39
Dùng 2 danh sách MO, DONG như trên. Tại mỗi thời điểm chọn đỉnh n
trong MO ra xét là đỉnh thoả.
• Thuật toán AT
Input:
Đồ thị G = (V,E), Đỉnh xuất phát n
0
Hàm chi phí c: E → R
+

c(i,j): xác định chi phí chuyển từ đỉnh i sang đỉnh j với (i,j) ∈ E
Tập các đỉnh đích DICH
Output:
Đường đi từ đỉnh n
0
đến đỉnh n
*
∈ DICH sao cho g(n
*
) = c(p) = min{g(n)|

n∈DICH}.
Procedure AT;
{ Dùng g
0
(n) là chi phí cực tiểu của đường đi từ đỉnh xuất phát đến đỉnh n tại
thời điểm đang xét và xem như hàm g}
Begin
g(n
0
):= 0;
push(MO, n
0
);
While MO<>null do
begin
)(min:)( mgng
MOm∈
=
if n∈DICH then
exit {xay dung duong di cuc tieu}
push(DONG, n);
if T(n) <>null then
for m∈T(n) do
if m∉MO+DONG then
begin
push(MO,m);
40
g(m):=g(n)+c(n,m);
cha(m):=n;
end

else
if g(m) >g(n)+c(n,m) then
begin
g(m):=g(n)+c(n,m);
cha(m):=n;
end;
end;
writeln(‘Khong co duong di’);
End;
Ví dụ 1. Bài toán Tháp Hà Nội -với chi phí chuyển đĩa như sau:
Chi phí chuyển đĩa nhỏ giữa 2 cọc gần 1
Chi phí chuyển đĩa nhỏ giữa 2 cọc xa 3
Chi phí chuyển đĩa vừa giữa 2 cọc gần 2
Chi phí chuyển đĩa vừa giữa 2 cọc xa 5
Chi phí chuyển đĩa lớn giữa 2 cọc gần 4
Chi phí chuyển đĩa lớn giữa 2 cọc xa 8
Xuất phát từ đỉnh (1,1,1), ta có g(1,1,1) = 0.
Khi xét đỉnh (1,1,1) ta có các đỉnh kề và chi phí tương ứng :
g(1,1,2) = 1; g(1,1,3) = 3; như vậy đỉnh (1,1,2) được chọn
Các đỉnh kề của (1,1,2) có giá trị hàm g:
g(1,1,3) = 2 (ở đây giá của đỉnh (1,1,3) được tính lại); g(1,3,2) = 5; chọn
đỉnh (1,1,3), ta lại tính tiếp giá trị hàm g của các đỉnh kề với đỉnh này:
g(1,2,3) = 2; lại chọn đỉnh (1,2,3); chi phí của các đỉnh kề với nó:
g(1,2,1) = 2 + 3 = 5; g(1,2,2) = 2 + 1 = 3; chọn đỉnh (1,2,2)
g(1,2,1) = 3 +1 = 4 (được tính lại); g(3,2,2) = 3 + 8 = 11, chọn đỉnh
(1,2,1)
41
Cứ tiếp tục như vậy cho đến khi xét đỉnh (3,3,3).
Ví dụ 2
A

n
0
=A
DICH={F,K} B C D
E F G H I
K
Có thể trình bày quá trình tìm kiếm bằng bảng dưới đây. Ký hiệu giá trị g(n) là
chỉ số dưới tương ứng đỉnh n: n
g(n)
i T(i) MO DONG
A
0
A B C D B
8
C
4
D
5
A
C G B
8
D
5
G
5
A C
D H I B
8
G
5

H
14
I
6
A C D
G B
8
H
14
I
6
A C D G
I K B
8
H
14
K
8
A C D G
B E F H
14
K
8
E
10
F
11
A C D G B
K
Lời giải của bài toán là A→ D → I → K và chi phí của đường đi tìm được là 8

Ví dụ 3.
n
0
= A; DICH = {G}
A
B C
D
E G
F
i T(i) MO DONG
A
0
A B C D B
5
C
3
D
6
A
C A B E F D B
4
D
6
E
7
F
11
A C
42
8

2
5
4
3 1
9
1
2
5
1
7 4
4
8
3
6
3
2
9
5
B A C E D
6
E
7
F
11
A C B
D A C F G E
7
F
9
G

15
A C B D
E B C F F
9
G
15
A C B D E
F C D E G G
14
A C B D E F
G
Đường đi tìm được p: A → D → F → G. Chi phí của đường đi là 14.
6. Tìm kiếm cực tiểu sử dụng hàm đánh giá - Thuật toán A
*
Đối với nhiều bài toán, việc tìm kiếm đường đi cực tiểu sẽ được định
hướng tập trung xung quanh đường đi tốt nhất; nếu sử dụng các thông tin đặc tả
về bài toán gọi là các heuristic.
Đối với việc tìm kiếm đường đi với chi phí cực tiểu, người ta sử dụng
hàm đánh giá heuristic như sau:
Gọi g(n): giá cực tiểu đường đi từ n
0
→n. Tại đỉnh n, g(n) xác định được.
Gọi h(n): giá cực tiểu đường đi từ n→DICH, h(n) không xác định được ⇒
người ta tìm cách ước lượng giá trị này.
Đặt f
0
(n)=g
0
(n)+h
0

(n): dự đoán chi phí cực tiểu của đường đi từ
n
0
→DICH có đi qua đỉnh n.
g
0
(n) là chi phí của đường đi từ đỉnh xuất phát đến đỉnh n tại thời điểm
đang xét. h
0
(n) là ước lưọng (dự đoán) chi phí đường đi từ đỉnh n đến đích. Việc
chọn giá trị xấp xỉ h
0
(n) của h(n) không có một phương pháp tổng quát và được
xem như một nghệ thuật. Giá trị này sẽ do các chuyên gia đưa ra.
Lúc này giải thuật tìm kiếm cực tiểu sẽ thay việc xét hàm g bởi hàm f.
Tuy nhiên, người ta cũng chứng minh được 2 kết quả như sau:
Kết quả 1: Nếu h
0
(n) có tính chất:
nnhnh ∀≤≤ )()(0
0
và
Euuc ∈∀> 0)(
thì thủ
tục TKCT sử dụng hàm f
0
(n) để chọn phần tử trong MO ra xét (thay g(n)) sẽ cho
đường đi từ n
0
→n

*
∈DICH sao cho
)(min)(
*
ngng
DICHn∈
=
43
Kết quả 2: Giả sử dùng 2 hàm ước lượng
0
1
h
và
0
2
h
thoả tính chất:
),()()(
0
2
0
2
nmhnhmh ≤−
(giá cực tiểu của đường đi từ m→n) và
)()()(0,
0
2
0
1
nhnhnhNn ≤≤≤∈∀

. Khi đó #DONG
2
≤ #DONG
1
Nhận xét:
⇒≡ hh
0
phương án tốt nhất
⇒≡ 0
0
h
phương án tồi nhất
Thuật toán A
*
Input:
Đồ thị G = (V,E), Đỉnh xuất phát n
0
Hàm chi phí c: E → R
+

c(i,j): xác định chi phí chuyển từ đỉnh i sang đỉnh j với (i,j) ∈ E
h: V → R
+
; h(n) xác định dự đoán chi phí tối ưu của đường đi từ đỉnh n
đến đích. (ký hiệu h thay cho h
0
, (tương tự g))
Tập các đỉnh đích DICH
Output:
Đường đi từ đỉnh n

0
đến đỉnh n
*
∈ DICH
Procedure A
*
;
Begin
g(n
0
):= 0;
push(MO, n
0
);
While MO<>null do
begin
)(min:)( mfnf
MOm
∈
=
if n∈DICH then
exit {xay dung duong di cuc tieu}
push(DONG, n);
if T(n) <>null then
for m∈T(n) do
44
if m∉MO+DONG then
begin
push(MO,m);
tính f(m);

cha(m):=n;
end
else
if f
mới
(m) > f
cũ
(n) then
begin
f(m):= f
mới
(m);
cha(m):=n;
end;
end;
writeln(‘Khong co duong di’);
End;
Ví dụ 1. Cho đồ thị biểu diễn bài toán và giá trị dự đoán h
0
như sau:
n A B C D E F G H
h
0
(n) 14 10 10 5 5 4 4 0
A
B D
C
E
F
G

H
Tìm đường đi từ đỉnh A đến đỉnh H.
Trước tiên đỉnh A được đưa vào danh sách MO
g(A) = 0; h(A) = 14; f(A) = 14
Xét đỉnh A, (đưa A vào danh sách DONG) ta có các đỉnh kề B, C, D:
45
5
3
7
4
2
6
5
3
2
3
12
7
g(B) = 5; f(B) = 15; g(C) = 3; f(C) = 13; g(D) = 7; f(D) = 12  chọn đỉnh D.
Xét đỉnh D (đưa D vào danh sách DONG) có các đỉnh kề A, C, E. Đỉnh A đã ở
trong danh sách DONG, ta tính lại f(C) và tính f(E):
f(C) không thay đổi; f(E) = g(D) +c(D,E) + H(E) = 7 + 6 + 5 = 18; f(E) = 18,
chọn đỉnh C, có các đỉnh kề A, D, E. Tính lại f(E) = 12, chọn E. Các đỉnh kề
của E là C, D, F, G. Tính f(F) = 14; f(G) = 16, chọn F. Các đỉnh kề của F là E,
G, B và f(B), f(E), f(G) không đổi, chọn B. Các đỉnh kề của B là F, H. f(H) =
17, chọn G. Tính lại f(H) = 15 và dừng.
Đường đi tìm được là p: A  C  E  G  H với chi phí đường đi là 15
7. Phương pháp tìm kiếm leo đồi (hill-climbing search)
7.1. Kỹ thuật tìm kiếm leo đồi.
Tìm kiếm leo đồi là tìm kiếm theo độ sâu được hướng dẫn bởi hàm đánh

giá. Song khác với tìm kiếm theo độ sâu, khi phát triển một đỉnh u thì bước tiếp
theo ta chọn trong số các đỉnh con của u, đỉnh có hứa hẹn nhiều nhất để phát
triển, đỉnh này được xác định bởi hàm đánh giá.
7.2. Giải thuật.
Input:
Đồ thị G = (V,E), đỉnh xuất phát n
0
.
Hàm đánh giá h(n) đối với mỗi đỉnh n.
Tập đỉnh đích DICH
Output:
Đường đi từ đỉnh n
0
đến DICH
Procedure HLC; {Hill Climbing Search}
begin
Push(MO,n
0
);
while MO <> null do
begin
i = Pop(MO);
if T(i) ∩ DICH <> null then
46
begin
L:= null;
for j ∈ T(i) do
if j chưa xét then
đưa j vào danh sách L
sắp xếp L theo thứ tự hàm đánh giá;

chuyển danh sách L vào đầu danh sách MO;
end;
write(‘Khong co loi giai’);
end;
7.3. Nhận xét.
Phương pháp tìm kiếm leo đồi chú trọng tìm hướng đi dễ dẫn đến trạng
thái đích nhất. Cách đó được đưa ra nhằm làm giảm công sức tìm kiếm. Thuật
toán tìm kiếm leo đồi thực chất là thuật toán tìm kiếm theo chiều sâu, song tại
mỗi bước ta sẽ ưu tiên chọn một trạng thái có hứa hẹn nhanh tới đich nhất để
phát triển trước. Vấn đề quan trọng là biết khai thác kheo léo thông tin phản hồi
để xác định hướng đi tiếp và đẩy nhnah quá trình tìm kiếm. Thông thường ta gán
mỗi trạng thái của bài toán với một số đo (hàm đánh giá) nào đó nhằm đánh giá
mức độ gần đích của nó. Điều đó có nghĩa là nếu trạng thái hiện thời là u thì
trạng thái v sẽ được phát triển tiếp theo nếu v kề với u và hàm đanh giá của v đạt
giá trị max (hoặc min).
Tuy nhiên phương pháp này không được cải thiện so với các phương pháp
khác trong một số trường hợp sau:
• Cực trị địa phương: nút đang xét tốt hơn các nút lân cận, nhưng đó
không phải là phương án tốt nhất trong toàn thể, ví vậy có thể phải
quay lui về nút trước để đi theo hướng khác. Giải pháp này đòi hỏi ghi
nhớ lại nhiều đường đi.
47