Tải bản đầy đủ (.doc) (19 trang)

1 hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG (1)

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (626.33 KB, 19 trang )

CHƯƠNG 1- HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Hệ thức về cạnh và đường cao
KIẾN THỨC CƠ BẢN
Khi giải các bài toán liên quan đến cạnh và đường cao trong
tam giác vng, ngồi việc nắm vững các kiến thức về định
lý Talet, về các trường hợp đồng dạng của tam giác, cần phải
nắm vững các kiến thức sau:
Tam giác ABC vng tại A , đường cao AH , ta có:
1) a2 = b2 + c2 .
2) b2 = ab
. ';c2 = ac
. '
3) h2 = b'.c '
4) a.h = bc
. .
5)

1
1
1
=
+
.
h2 b2 c2

b' b2
6)
= .
a a2
1
Chú ý: Diện tích tam giác vng: S = ab


2
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH .
Biết AB : AC = 3: 4 và AB + AC = 21cm .
a) Tính các cạnh của tam giác ABC .
b) Tính độ dài các đoạn AH , BH ,CH .
– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


Giải:
a). Theo giả thiết: AB : AC = 3: 4 ,
suy ra

AB
AC
AB + AC
=
=
= 3 . Do đó AB = 3.3 = 9 ( cm) ;
3
4
3+ 4

AC = 3.4 = 12( cm) .
Tam giác ABC vuông tại A , theo định lý Pythagore ta có:
BC 2 = AB 2 + AC 2 = 92 + 122 = 225 , suy ra BC = 15cm .
b) Tam giác ABC vuông tại A , ta có AH .BC = AB.AC , suy ra
AH =

AB .AC

9.12
=
= 7,2( cm) .
BC
15

AH 2 = BH .HC . Đặt BH = x ( 0 < x < 9) thì HC = 15 - x , ta có:
2

( 7,2) = x ( 15 - x) � x - 15x + 51,84 = 0 � x ( x - 5,4) = 9,6( x � ( x - 5,4) ( x - 9,6) = 0 � x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)
Vậy BH = 5,4cm . Từ đó HC = BC - BH = 9,6( cm) .
2

Chú ý: Có thể tính BH như sau:
AB 2 = BH .BC suy ra BH =

AB 2
92
=
= 5,4( cm) .
BC
15

– Website chuyên tài liệu đề thi file
word

5,4) = 0


Ví dụ 2: Cho tam giác cân ABC có đáy BC = 2a , cạnh bên

bằng b( b > a) .
a) Tính diện tích tam giác ABC
b) Dựng BK ^ AC . Tính tỷ số

AK
.
AC

Giải:
a). Gọi H là trung điểm của BC . Theo định lý Pitago ta có:
AH 2 = AC 2 - HC 2 = b2 - a2
1
1
Suy ra SABC = BC .AH = a b2 - a2
2
2
� AH = b2 - a2
b). Ta có

1
1
BC .AH = BK .AC = SABC
2
2

BC .AH
2a 2
=
b - a2 . Áp dụng định lý Pitago
AC

b
trong tam giác vng AK B ta có:
Suy ra BK =

(

)

2

b2 - 2a2
4a2 2
2
2
2
2
2
. Suy ra
AK = AB - BK = b - 2 b - a =
2
b
b

(

AK =

b2 - 2a2
b


)

b2 - 2a2
AK
do đó
.
=
AC
b2

– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B,C và các cạnh
đối diện với các đỉnh tương ứng là: a,b,c .
a) Tính diện tích tam giác ABC theo a
b) Chứng minh: a2 + b2 + c2 �4 3S
Giải:
a). Ta giả sử góc A là góc lớn nhất của tam giác
ABC � B,C là các góc nhọn. Suy ra chân
đường cao hạ từ A lên BC là điểm
H thuộc cạnh BC .
Ta có: BC = BH + HC . Áp dụng định lý
Pi ta go cho các tam giác vng
AHB, AHC ta có: AB 2 = AH 2 + HB 2, AC 2 = AH 2 + HC 2
Trừ hai đẳng thức trên ta có:
c2 - b2 = HB 2 - HC 2 = ( HB + HC ) ( HB - HC ) = a.( HB - HC )
� HB - HC =


c2 - b2
ta cũng có:
a

a2 + c2 - b2
. Áp dụng định lý Pitago cho
HB + HC = a � BH =
2a
tam giác vuông
2

� a2 + c2 - b2 �
� a2 + c2 - b2 �
a2 + c2 - b2 �









AHB � AH = c - �
=
c
c+












� 2a


2
a
2
a



2

2

– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


2
2�

�2

b - ( a - c) � ( a + b + c) ( a + c - b) ( b + a - c) ( b + c - a)

��
(�a + c) - b2 �


=
.�
=
� 2a
�� 2a

4a2





��

Đặt 2p = a + b + c thì

AH 2 =

16p( p - a) ( p - b) ( p - c)
4a2

� AH = 2

p( p - a) ( p - b) ( p - c)

a

.

1
Từ đó tính được S = BC .AH = p( p - a) ( p - b) ( p - c)
2
b). Từ câu a) ta có: S = p( p - a) ( p - b) ( p - c) . Áp dụng bất
đẳng thức Cô si ta có:
3


� p3
p - a + p - b + p - c�

. Suy ra
=

( p - a) ( p - b) ( p - c) ��



3

� 27
2

p3
p2
( a + b + c) . Mặt khác ta dễ chứng

S � p.
=
. Hay S �
27 3 3
12 3
2

(

)

minh được: ( a + b + c) �3 a2 + b2 + c2 suy ra
S�

(

3 a2 + b2 + c2
12 3

) �a

2

+ b2 + c2 �4 3S

Dấu bằng xảy ra hki và chỉ khi tam giác ABC đều.
Ví dụ 4. Cho tam giác nhọn ABC đường cao CK ; H là trực
tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên CK sao cho

AMB

= 900 . S, S1, S2 theo thứ tự là diện tích các tam giác
AMB, ABC và ABH . Chứng minh rằng S = S1.S2 .
Giải:
Tam giác AMB vuông tại M có
– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


MK ^ AB nên MK 2 = AK .BK

(1).

D AHK : D CBK vì có
� H = CK
� B = 900 ; K
�AH = K
�CB
AK
� ). Suy ra AK = HK , do đó
(cùng phụ với ABC
CK
BK
AK .K B = CK .K H (2)
Từ (1) và (2) suy ra MK 2 = CK .HK nên MK = CK .HK ;
1
1
1
1
SAMB = .AB.MK = AB . CK .HK =
AB .CK . AB .HK = S1S2 .

2
2
2
2
Vậy S = S1.S2 .
Ví dụ 5. Cho hình thang ABCD có
� =D
� = 900, B
� = 600,CD = 30cm,CA ^ CB . Tính diện tích của
A
hình thang.
Giải:
� = ABC
� = 600 (cùng phụ với CAB
� ), vì thế trong tam
Ta có CAD
giác vng ACD ta có AC = 2AD .
Theo định lý Pythagore thì: AC 2 = AD 2 + DC 2 hay

( 2AD )

2

= AD 2 + 302

Suy ra 3AD 2 = 900 � AD 2 = 300 nên AD = 10 3 ( cm) .

– Website chuyên tài liệu đề thi file
word



Kẻ CH ^ AB . Tứ giác AHCD là hình chữ nhật vì có
�=D
�=H
� = 900 , suy ra AH = CD = 30cm;CH = AD = 10 3( cm)
A
.
Tam giác ACB vng tại C , ta có: CH 2 = HA.HB , suy ra
2

HB =

CH
=
HA

(

)

10 3
30

2

=

300
, do đó
= 10( cm)

30

AB = AH + HB = 30 + 10 = 40( cm) .
1
1
SABCD = CH ( AB + CD ) .10 3.( 40 + 30) = 350 3 cm2 .
2
2

(

)

Vậy diện tích hình thang ABCD bằng 350 3cm2 .
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Các tỉ số lượng giác của góc nhọn a (hình) được định
nghĩa như sau:
sin a =

AB
AC
AB
AC
;cosa =
;tan a =
;cot a =
BC
BC
AC

AB

+ Nếu a là một góc nhọn thì
0 < sin a < 1;0 < cosa < 1;
tan a > 0;cot a > 0
2. Với hai góc a, b mà a + b = 900 ,
ta có: sin a = cosb;cosa = sin b;tan a = cot b;cot a = tan b .
– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


Nếu hai góc nhọn a và b có sin a = sin b hoặc cosa = cosb
thì a = b .
3. sin2 a + cos2 a = 1;tga.cot ga = 1.
4. Với một số góc đặc biệt ta có:
1
2
sin300 = cos600 = ;sin450 = cos450 =
2
2
cos300 = sin600 =

3
1
;cot 600 = tan300 =
2
3

tan450 = cot 450 = 1;cot 300 = tan600 = 3 .
Ví dụ 1. Biết sin a =


5
. Tính cosa, tan a và cot a .
13

Giải:
Cách 1. Xét D ABC vuông tại A .
� = a . Ta có: sin a = AC = 5
Đặt B
BC
13
suy ra

AC
BC
=
= k , do đó
5
13

AC = 5k, BC = 13k . Tam giác ABC vuông tại A nên:
2

2

AB 2 = BC 2 - AC 2 = ( 13k) - ( 5k) = 144k2 , suy ra AB = 12k .
Vậy cosa =
cot a =

AB

12k 12
AC
5k
5
=
= ; tan a =
=
= ;
BC
13k 13
AB
12k 12

AB
12k 12
=
=
AC
5k
5

– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


Cách 2. Ta có sin a =

5
25
suy ra sin2 a =

, mà
13
169

2
2
sin2 a + cos2 a = 1, do đó cos a = 1- sin a = 1-

ra cosa =

25
144
, suy
=
169 169

12
.
13

tan a =

sin a
5 12
5 13
5
=
:
= . = ;
cosa 13 13 13 12 12


cot a =

cosa 12 5
12 13 12
=
:
= . = .
sin a
13 13 13 5
5

Ở cách giải thứ nhất ta biểu thị độ dài các cạnh của tam
giác ABC theo đại lượng k rồi sử dụng định nghĩa tỉ số
lượng giác của góc nhọn để tính cosa,tan a,cot a . Ở cách giải
5
để tính sin2 a rồi tính
13
cosa từ sin2 a + cos2 a = 1. Sau đó ta tính tana và cot a qua
sina và cosa .

thứ hai, ta sử dụng giả thiết sin a =

Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE
cắt nhau tại H . Biết HD : HA = 1: 2 . Chứng minh rằng
tgB .tgC = 3 .
Giải:
Ta có: tgB =

AD

AD
.
;tgC =
BD
CD

Suy ra tan B .tanC =

AD 2
BDCD
.

(1)

� = CAD

� ); HDB
� = ADC
� = 900 .
(cùng phụ với ACB
HBD
– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


DH
BD
, do đó
=
DC

AD
BD.DC = DH .AD (2). Từ (1) và (2) suy ra

Do đó D BDH : D ADC (g.g), suy ra

tan B .tanC =

AD 2
AD
=
DH .AD
DH

(3). Theo giả thiết

HD
1
= suy ra
AH
2

HD
1
HD
1
=
hay
= , suy ra AD = 3HD . Thay vào
AH + HD
2+1

AD
3
(3) ta được: tan B .tanC =

3HD
= 3.
DH

Ví dụ 3. Biết sin a.cosa =

12
. Tính sin a,cosa .
25

Giải:
12
. Để tính sin a,cosa ta cần tính sin a + cosa
25
rồi giải phương trình với ẩn là sina hoặc cosa .
Biết sin a.cosa =

Ta có:

( sin a + cosa )

2

= sin2 a + cos2 a + 2sin a.cosa = 1+ 2.

ra sin a + cosa =


12 49
. Suy
=
25 25

7
7
nên sin a = - cosa . Từ đó ta có:
5
5


� 12
7
7
12


cosa �
cos
a
=
� cosa - cos2 a =




5
5

25

� 25
� 25cos2 a - 35cosa + 12 = 0 � 5cosa ( 5cosa - 4) - 3( 5cosa - 4) = 0
� ( 5cosa - 4) ( 5cosa - 3) = 0. Suy ra cosa =

+ Nếu cosa =

4
3
hoặc cosa = .
5
5

4
12 4 3
thì sin a =
: = .
5
25 5 5

– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


+ Nếu cosa =

Vậy sin a =

3

12 3 4
thì sin a =
: = .
5
25 5 5

3
4
4
3
, cosa = hoặc sin a = ,cosa = .
5
5
5
5

Hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông.
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Trong một tam giác vng, mỗi cạnh góc vng bằng:
a) Cạnh huyền nhân với sin góc đối hay nhân với cosin góc
kề.
b) Cạnh góc vng kia nhân với tan của góc đối hay nhân
với cot của góc kề.
b = a.sin B = a cosC ;c = a.sinC = a.cosB;b = ctgB
.
= c.cot gC ;
c = btgC
.
= b.cot gC
2. Giải tam giác vuông là tìm tất cả các cạnh và các góc chưa biết của tam

giác vng đó.
� = 600 .
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có AB = 16, AC = 14 và B
a) Tính độ dài cạnh BC
b) Tính diện tích tam giác ABC .
Giải:
a). Kẻ đường cao AH .
Xét tam giác vng ABH , ta có:
1
BH = AB .cosB = AB.cos600 = 16. = 8
2
– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


3
= 8 3 . Áp dụng định lý
2
Pythagore vào tam giác vng AHC ta có:
AH = AB .sin B = AB .sin600 = 16.

(

)

2

HC 2 = AC 2 - AH 2 = 142 - 8 3 = 196 - 192 = 4 . Suy ra HC = 2
. Vậy BC = CH + HB = 2 + 8 = 10.
1

1
b) Cách 1. SABC = BC .AH = .10.8 3 = 40 3 (đvdt)
2
2
1
1
3
Cách 2. S
= BC .BA.sin B = .10.16.
= 40 3 (đvdt)
ABC
2
2
2
� = 450, ACB
� = 600
Ví dụ 2: Tính diện tích tam giác ABC biết ABC
bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R .
Giải:
Giả thiết có các góc có số đo đặc biệt , nhưng tam
giác ABC là tam giác thường nên ta sẽ tạo ra tam
giác vuông bằng cách. Dựng các đường
thẳng qua C , B lần lượt vng góc với
AC , AB . Gọi D là giao điểm của hai đường
thẳng trên. Khi đó tam giác ABD và ACD là các tam giác
vng và 4 điểm A, B,C , D cùng nằm trên đường trịn đường
kính AD = 2R .
Ta có: AB = AD.sin600 = AD. 3 = R 3 . Kẻ đường cao AH suy
2
ra H �BC .Tức là: BC = BH + CH . Tam giác AHB vng góc

– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


tại H nên AH = BH = AB.sin450 = AB 2 = AD 3 . 2 = R 6 .
2
2 2
2
Mặt khác tam giác ACH vuông tại H nên
AC 2 = AH 2 + CH 2 � CH =

được diện tích S =

(

R
2

� BC =

(

) . Từ đó tính

R 1+ 2
2

).

R2 3+ 3

4

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với các đỉnh A, B,C và các cạnh
đối diện với các đỉnh tương ứng là: a,b,c . Chứng minh rằng:
a) a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
b) Gọi D là chân đường phân giác trong góc A . Chứng

A�

2bc.cos�
��


minh:
�2 �

AD =
b+c
Giải:
a). Dựng đường cao BH của tam giác
ABC ta có:

Cách 1: Giả sử H thuộc cạnh AC .
Ta có: AC = AH + HC .
Áp dụng định lý
Pi ta go cho các tam giác vng
AHB, BHC ta có: AB 2 = AH 2 + HB 2, BC 2 = BH 2 + HC 2
– Website chuyên tài liệu đề thi file
word



Trừ hai đẳng thức trên ta có:
c2 - a2 = HA2 - HC 2 = ( HA + HC ) ( HA - HC ) = b.( HA - HC )
c2 - a2
ta cũng có:
� HA - HC =
b
HA + HC = b � AH =
có: cosA =

b2 + c2 - a2
. Xét tam giác vuông AHB ta
2b

AH
b2 + c2 - a2
=
� a2 = b2 + c2 - 2bc cosA .
AB
2bc

Cách 2: Xét tam giác vng CHB ta có:
2

BC 2 = BH 2 + HC 2 = BH 2 + ( AC - AH ) = BH 2 + AH 2 + AC 2 - 2AC .AH
Ta có: AH = CB.cosA suy ra
BC 2 = BH 2 + AH 2 + AC 2 - 2AC .CB .cosA hay
� BC 2 = BA 2 + +AC 2 - 2AC .CB .cosA � a2 = b2 + c2 - 2bc cosA
b). Để chứng minh bài toán ta cần kết quả sau:
+ sin2a = 2sin a.cosa

1
+ S = absinC
2
� = 900 , gọi M là trung
*) Thật vậy xét tam giác vuông ABC , A
điểm của BC , dựng đường cao AH . Đặt
� = a � AMB

ACB
= 2a .
Ta có sin a = sinC =

cosa = cosC =

AH
h
=
AC
b

AC
b
=
BC
a

– Website chuyên tài liệu đề thi file
word



AH
h 2h

sin2a = sin AMH
=
= =
AM
a
a .
2
Từ đó ta suy ra: sin2a = 2sin a.cosa .
*) Xét tam giác ABC . Dựng đường cao BE ta có:
1
1
SABC = BE .AC = BE .b (1)
2
2
Mặt khác trong tam giác vuông AEB
ta có: sin A =

BE
� BE = c.sin A
AB

thay vào (1)
1
Ta có: S = absinC
2
Trở lại bài tốn:


1
1
A�

��
Ta có SABD = AD.AB sin A1 = AD.c.sin�



2
2
�2�

1
1
A�

SACD = AD.AC sin A2 = AD.b.sin�
��


2
2
�2 �

Suy ra SABC = SACD + SABD =

– Website chuyên tài liệu đề thi file
word




1
A�
1



= AD sin �
c + b�

. Mặt khác SABC = bc sin A �





2
�2�
2

A�


AD sin�
c + b�
= bc sin A � AD =
��






2
��

bc sin A
=


A



( b + c) sin�


�2 �


A
2
c +b

2bc cos

Chú ý rằng: Ta chứng minh được kết quả sau:
cos2a = 2cos2 a - 1 = 1- 2sin2 a .
� = 900 , gọi M là trung
Thật vậy xét tam giác vuông ABC , A

điểm của BC , dựng đường cao AH . Đặt
� = a � AMB

ACB
= 2a .
Ta có : cosa = cosC =
sin a = sinC =

AC
b
=
BC
a

AB
c
= ,
BC
a

AM 2 + MB 2 - AB 2

cos2a = cosAMH =
2AM .MB
2

2

a
a

2
2
+ - c2
��
��
a2 - 2c2
c�
a2 - b2
b�
4
4


�= 1- 2.
�- 1.
=
=
= 1- 2�
= 2�




a a
a�
a�
a2
a2
��
��

2 .
2 2
Từ đó suy ra cos2a = 2cos2 a - 1 = 1- 2sin2 a
� 2A
2
2
2
2
2
2
2cos �
Áp dụng a = b + c - 2bc cosA � a = b + c - 2bc �

2




1�
.




2

( b + c) - a2 . Thay vào
b2 + c2 - a2
2A
2A

� 2cos
=
+ 1 � cos
=
2
2bc
2
4bc
– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


cơng thức đường phân giác ta có:
2

b + c) - a2
(
A
2bc
2bc cos
bc ( b + c - a) ( b + c + a) .
4bc
2=
AD =
=
c +b
b +c
b +c
Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có:
b+c

bc -=‫�ޣ‬
AD
2
2p = a + b + c .

( b + c - a) ( b + c + a)

p(p

2

a) với

Áp dụng công thức: a2 = b2 + c2 - 2bc cosA . Ta cũng chứng
minh được hệ thức rất quan trọng trong hình học phẳng
( Định lý Stewart) đó là:
‘’Cho điểm D nằm trên cạnh BC của tam giác ABC khi đó

(

)

2
2
2
ta có: AB .CD + AC .BD = BC AB + BD.DC ’’

+ Thật vậy :Ta giả kẻ AH ^ BC
không mất tính tổng quát,
ta giả sử D nằm trong đoạn

HC . Khi đó ta có:
� = AD 2 + BD 2 - 2DB .DH (1)
AB 2 = AD 2 + BD 2 - 2AD.BD.cosADB
Tương tự ta có: AC 2 = AD 2 + DC 2 + 2DH .DC (2). Nhân đẳng
thức (1) với DC đẳng thức (2) với BD rồi cộng lại theo vế ta
có:

(

AB 2.CD + AC 2.BD = BC AB 2 + BD.DC

)

Ví dụ 3. Khơng dùng máy tính và bảng số hãy chứng minh
– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


rằng sin750 = 6 + 2 .
4
Giải:
Vẽ tam giác ABC vuông tại A
với BC = 2a ( a là một độ dài tùy ý)
� = 750 .
, C� = 150 , suy ra B
Gọi I là trung điểm của BC , ta có
� là góc ngồi tại đỉnh I của tam
IA = IB = IC = a . Vì AIB
� = 2C� = 300 . Kẻ AH ^ BC thì
giác cân IAC nên AIB

IH = AI .cos300 =

a
a 3;
AH = AI .cos300 = ;
2
2

CH = CI + IH = a +

(

)

a 3 a 2+ 3 .
=
2
2

Tam giác AHC vuông tại H , theo định lý Pythagore, ta có:
AC 2 = CH 2 + AH 2 =

=

(

)

4


2

(

sin750 = sin B =

2

)

2
a2 a 4 + 4 3 + 3 + 1
+ =
4
4

) = a ( 2 + 3) , suy ra AC = a

4a2 2 + 3
4

(

a2 2 + 3

2+ 3 .

AC
a 2+ 3
2+ 3

4+2 3
=
=
=
BC
2a
2
2 2

– Website chuyên tài liệu đề thi file
word


=

(

)

3 +1
2 2

2

=

3 +1
2 2

=


2

(

)=

3 +1

2 2. 2

6+ 2 .
4

Vậy sin750 = 6 + 2 .
4

– Website chuyên tài liệu đề thi file
word



×