Tư duy giải toán trắc nghiệm hàm số

BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Cho hàm số y  x 4  2x 2  1 . Gọi A là một điểm trên đồ thị C  của

Câu 1:

hàm số đã cho. Tiếp tuyến tại A với C  cắt C  tại hai điểm phân
biệt M  x1 , y1  , N  x 2 , y2  . Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam
giác OMN ?
A.

3 5
4

B.

83 15
200

C.

64 10
125

D.

23 2
20

☺ PHÂN TÍCH
Về lý thuyết một đường thẳng cắt đồ thị
hàm số bậc 4 trùng phương tại tối đa 4

điểm phân biệt. Do đó nếu như chỉ có 3
giao điểm đó là các điểm A, M , N thì ta
hiểu rằng nguyên nhân ở đây là vì
đường thẳng đó là tiếp tuyến của đồ thị
hàm số tại điểm A . Như vậy nếu ta gọi
đường thẳng đó là y  px  q thì chắc
chắn phương trình hồnh độ giao điểm
phải có dạng sau:
x 4  2x 2  1   px  q    x  x A   x  x M  x  x N 
2

Tuy nhiên việc tìm ra x M , x N khả năng cao là phức tạp và tính tốn dễ nhầm,
do đó chúng ta định hướng cách giải như sau:
 Bước 1: Gọi tiếp tuyến tại A có dạng y  px  q .


Bước 2: Xét phương trình hồnh độ giao điểm và tách nhân tử chắc
chắn xuất hiện là  x  x A  ra.
2



Bước 3: Sau khi tách bên trong sẽ là một đa thức bậc 2 và ta sử dụng
định lý Viet cho 2 giá trị x M , x N .



Bước 4: Gọi tọa độ các điểm M  x M , px M  q  , N  x N , px N  q  và chú
ý sử dụng công thức S 





1
x1 y2  x 2 y1 .
2
☺ LỜI GIẢI





Gọi A a; a 4  2a 2  1 khi đó y  4a 3  4a  x  a   a 4  2a 2  1 là phương
trình tiếp tuyến tại A của đồ thị hàm số.
Trang 1/10


BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Xét phương trình hồnh độ giao điểm:







x 4  2x 2  1  4a3  4a  x  a   a 4  2a 2  1   x  a  x 2  mx  n
2



Tới bước này chắc chắn có nhân tử  x  a  . Bạn đọc có thể tự phân tích nhân
2

tử bằng tay hoặc sử dụng “mẹo nhỏ bằng máy tính CASIO” đặt a  100 , xét





x 4  2x 2  1  4.1003  400  x  100   1004  2.1002  1

phép chia đa thức:

 x  100 

2

.

Bấm CALC thay x  1000 ta được kết quả
1229998  1000000  200000  30000  2

 10002  2.100.1000  3.1002  2
 x 2  2ax  3a2  2





Vậy ta có:  x  a  x 2  2ax  3a 2  2  0 có 3 nghiệm x  a, x  x1 , x  x2 .
2

Dễ dàng có được điều kiện có 3 nghiệm phân biệt là a 2  1, a 2 





1
.
3

Mặt khác chú ý rằng tiếp tuyến viết lại thành: y  4a3  4a x 3a 4  2a 2  1 .
p

q

1
1
x1 y2  x2 y1  x1  px2  q   x 2  px1  q  .
2
2
1
1
2
 q x1  x 2  q  x1  x 2   4x1x 2
2
2

Khi đó ta có: SOMN 
 SOMN

 SOMN 

1
64 10
.
q 8  8a 2  3a 4  2a 2  1 2  2a 2  max S 
2
125

Chú ý: Lựa chọn phân tích bằng máy tính CASIO chỉ là một cơng cụ tham
khảo. Hãy tập luyện phân tích nhân tử bằng tay, nắm vững các kiến thức
cơ bản, chỉ sử dụng CASIO khi bạn q bí ý tưởng và khơng đủ thời gian
giải bài. Khơng nên sử dụng thay thế hồn tồn các cơng cụ giải tay.

Trang 2/10


BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Câu 2:

Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị
như hình vẽ bên. Hỏi phương trình

f  f  x    x có tất cả bao nhiêu nghiệm

phân biệt?

A. 6.

B. 5.

C. 4.

D. 7.

☺ LỜI GIẢI
Cách 1: Sử dụng tư duy về đảo trục:
Đặt y  f  x  , khi đó số nghiệm của phương
trình f  f  x    x bằng với số nghiệm của hệ

 f  y   x
phương trình 
.
 y  f  x 
Ta chú ý rằng đồ thị hàm số x  f  y  chính
là đồ thị hàm số y  f  x  nhưng đảo chiều
của 2 trục Ox và Oy . Và ta mơ phỏng như hình vẽ bên. Chọn B.
Cách 2: Sử dụng tư duy về ghép trục:
Đầu tiên sử dụng kỹ thuật ghép trục ta có bảng biến thiên của hàm số
y  f  f  x   được mô phỏng như dưới đây:

Tới đây ta đã có được bảng biến thiên của hàm số y  f  f  x   . Tuy nhiên số
nghiệm của phương trình f  f  x    x là số giao điểm của đường thẳng

Trang 3/10

BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – 0902.920.389

y  x và đồ thị hàm số y  f  f  x   . Vì vậy ta cần quan tâm xem rằng làm thế
nào để có thể vẽ được đường thẳng này.
Ta chú ý rằng đường thẳng y  x sẽ đi qua 2 điểm đặc biệt đó là  0;0  và

1;1 . Tuy nhiên 2 điểm đó nằm ở đâu?
Đầu tiên ta quan sát ta thấy điểm có hoành độ x  0 chắc chắn sẽ nằm giữa
x  1 và x  1 trên bảng biến thiên.
Kế tiếp đó ta thấy thế này, y  0   f  f  0    f  2   4 . Như vậy là trên đồ thị
hàm số y  f  f  x   ta có điểm  0;4  . Vì vậy chắc chắn rằng điểm này sẽ nằm
trên đường nối từ điểm  1;   đến  c;0  trên bảng biến thiên và từ đó ta xác
định được vị trí của điểm  0;0  (quan sát hình vẽ phía dưới).

Trong khi đó điểm 1;1  sẽ dễ dàng xác định hơn rất nhiều bởi vì ta đã có sẵn
điểm 1;2  trên bảng biến thiên. Tới đây ta kẻ đường thẳng đi qua 2 điểm này
và ta quan sát thấy có tất cả 5 giao điểm (chú ý ở dưới điểm b;0  ). Chọn B.
Chú ý: Cách giải số 2 chắc chắn là cần nhiều bước tính tốn và lâu hơn so
với cách giải số 1. Tuy nhiên việc biết thêm 1 cách giải sẽ giúp bạn đọc có
thêm 1 định hướng cho bài tốn của mình.
Cách 3: Sử dụng máy tính CASIO:
Ta nhận thấy f  x   x 3  3x  2 . Xét TABLE với START  5 , END  5 , STEP

 0,5 của F  x    x 3  3x  2   3  x 3  3x  2   2  x ta được:
3

Trang 4/10


BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – 0902.920.389

Ta thấy các vùng giá trị khả nghi nằm trong vùng từ  2.5,2  do đó ta quan
sát kỹ hơn ở vùng này. Ta chọn lại START  2,5 , END  0 , STEP  0,1

Như vậy trong vùng này ta có duy nhất 1 nghiệm x  2,25 và có vẻ như sẽ
chuẩn bị có tiếp 1 nghiệm nằm ngay gần giá trị x  0 . Ta tiếp tục khảo sát với
START  0 , END  2 , STEP  0,1

Như vậy trong vùng này ta có thêm 4 nghiệm nữa đó là x  0,25
x  1,25

x  0,55

x  1,65 . Chọn B.

Chú ý: Cách giải bằng máy tính CASIO chỉ mang tính chất tham khảo và sử
dụng khi bạn khơng có lựa chọn khả thi hơn hoặc có thể sử dụng như một
cơng cụ để kiểm tra đáp số mà bạn đã đưa ra nhằm củng cố niềm tin.
Câu 3:

Cho hàm số bậc bốn y  f   x  có đồ
thị như hình vẽ bên. Biết rằng
f 1   2 . Tìm số điểm cực trị của hàm

 

số y  f x 2  2x 3 ?
A. 5

B. 7

C. 9

D. 3

Trang 5/10


BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
☺ LỜI GIẢI

 

Số điểm cực trị của hàm số y  f x 2  2x 3 là số nghiệm đơn của phương



2
3 
trình  f x  2x  2x f  x 2  3x


gx 
g  x 



  

 





  0 . Do đó ta có các bước giải sau:





Bước 1: Giải phương trình g   x   0 tìm ra các nghiệm đơn.



Bước 2: Từ đó lập Bảng biến thiên của y  g  x  và kết luận.

Cách 1: Sử dụng tương giao của đồ thị:
Xét g   x   0 ta có x  0, f  x 2  3x .

 










 f  t   3 t x  t  0
Xét f  x  3x  
.
 
f
t


3
t
x


t

0



Ta thấy chỉ có các nghiệm x  1, x  a .
Vậy g   x   0 sẽ có các nghiệm đơn x  0; x  1; x  a . Do đó:

 
2



Do vậy g  x   0 có thêm 2 nghiệm đơn nữa. Có tất cả 5 điểm cực trị. Chọn C.
Cách 2: Sử dụng phương pháp chọn hàm:

Gọi f   x   ax 4  bx 3  cx 2  dx  e .
Dựa vào các điểm đặc biệt của đồ thị ta có:
 f  1  a  b  c  d  e  3

 f   2   16a  8b  4c  2d  e  3

 f   3   81a  27b  9c  3d  e  3

 f   4   256a  64b  16c  4d  e  0
 f   4   256a  48b  8c  d  0

Do đó ta có f   x  

Trang 6/10

11 4 29 3 421 2 154
x 
x 
x 
x  28 .
12
3
12
3


BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – 0902.920.389

 

 f  x 2  3x 

x  1
11 8 29 6 421 4 154 2
x 
x 
x 
x  3x  28  0  
12
3
12
3
 x  a  2,2

Ta chú ý tìm nghiệm bằng SOLVE và TABLE. Từ đó ta có bảng biến thiên:

Do vậy g  x   0 có thêm 2 nghiệm đơn nữa. Có tất cả 5 điểm cực trị. Chọn C.
Chú ý: Cách sử dụng phương pháp chọn hàm chỉ sử dụng khi ta đã q bí
về mặt ý tưởng và có khả năng chọn ra được hàm số phù hợp yêu cầu bài
toán đưa ra.
Câu 4:

Cho

hàm

số

f  x   x 2  2x  m với

m  10,10  .

Biết

f  f  x   1  f  x   2  x  1 có 4 nghiệm phân biệt, khi đó có bao

nhiêu giá trị nguyên của m thỏa mãn?
A. 7

B. 4

C. 8

D. 6

☺ LỜI GIẢI
Cách 1: Đưa bài tốn về dạng cơ lập theo tham số và vẽ đồ thị biện luận:
Ta có: PT  f  f  x   1  2  f  x   1  f  x   2x .

1

Vì hàm đặc trưng khơng đơn điệu do đó ta khơng
thể dùng hàm đặc trưng trong trường hợp này
mà phải chuyển sang phân tích đa thức thành
nhân tử. làm như sau:
Đặt a  f  x   1 ta có f  a   2a  f  x   2x

a  x
 a 2  4a  m  x 2  4 x  m  
a  x  4  0

f x  1  x  0
 x 2  2x  m  1  x  0
m  x 2  x  1

.


2
2
m


x

3
x

5
 f  x   1  x  4  0  x  2x  m  1  x  4  0


Trang 7/10


BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Để có 4 nghiệm phân biệt thì điều kiện cần và đủ là đường thẳng y  m cắ cả
2 đồ thị hàm số y  x 2  x  1 và y  x 2  3x  5 tại 4 điểm phân biệt.
Dựa vào đồ thị của 2 hàm số ta suy ra m  10; 9;...; 5; 4 . Chọn A.
Cách 2: Sử dụng tư duy về đảo trục (Hoàng Thế Việt – Học sinh trường

THPT Chuyên Sư Phạm):

 y  x 2  2x  m  1

Đặt f  x   1  y ta có hệ mới 
1 2 3
m 1
x  y  y 

2
2
2

 P1 
 P2 

.

Ta nhận xét rằng  P1  có trục đối xứng x  1 và  P2  có trục đối xứng
3
y   , cả hai parabol sẽ lần lượt di chuyển dọc theo 2 trục đối xứng này.
2

Để có thể định hướng rõ hơn, ta xét tình huống m  2 và có hình vẽ:

Ta thấy như hình vẽ thì hiện tại mới chỉ có thể có 2 giao điểm. Ngồi ra để có
thể có 4 giao điểm ta phải đẩy lùi các parabol xuống dưới và sang trái hơn
nữa. Ta chú ý thêm rằng ở đây m và cứ tịnh tiến  P1  xuống 2 đơn vị thì
tương ứng  P2  tịnh tiến sang trái 1 đơn vị. Do vậy ta phải hạ tối thiểu thêm 2
đơn vị nữa tức là m  4 mới có thể tồn tại được 4 giao điểm phân biệt (nếu

cẩn thận có thể thấy m  3 sẽ có sự tiếp xúc và bị loại trường hợp này) và ta
thấy khi càng tiếp tục hạ giá trị của m thì càng có đủ 4 giao điểm phân biệt.
Vậy các giá trị ngun cần tìm đó chính là m  4 . Chọn A.

Trang 8/10


BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Câu 5:



Cho hàm số y  f x 3  3x 2



có đồ

thị như hình vẽ bên dưới. Số điểm
cực
trị
của
hàm
số





y  f x 2  x  3   4 là:

A. 1

B. 3

C. 5
D. 7
Cách 1: Sử dụng biến đổi đồ thị:
Ta để ý rằng x 2  x  3   4  x  3 x  4 . Bên cạnh đó ta xét thử mối quan
3

2

hệ của y1  x 3  3x 2 và y2  x 3  3x 2  4 . Ta dự đoán rằng ở đây tồn tại một
phép biến đổi đồ thị. Tuy nhiên làm thế nào để nhìn ra nó một cách nhanh
2

 y   3x  6x  0  x  0 / x  2
chóng đây nhỉ? Khi đó ta xét thử:  1
.
2


 y2  3x  6x  0  x  0 / x  2
Như vậy ta nhận thấy rằng y2 có khả năng được sinh ra từ y1 bằng cách tịnh

tiến sang trái 2 đơn vị (để biến x  0 
 x  2 / x  2 
 x  0 ).
Thật vậy ta có: y1  x  2    x  2   3  x  2   x 3  3x 2  4  y2  x  .

3

2





Do vậy bằng phép tịnh tiến sang trái 2 đơn vị, ta có được y  f x 3  3x 2 trở









thành y  f x 3  3x 2  4  h  x  và cuối cùng ta có y  f x 2  x  3   4 bản
chất chính là đồ thị hàm số y  h  x  . Do đó Chọn B.

Cách 2: Sử dụng ghép trục ngược (Trương Minh Phước – Học sinh
trường THPT Chuyên KHTN Hà Nội):
Ta xây dựng bảng biến thiên như sau:

Trang 9/10


BIÊN SOẠN: ĐỒN TRÍ DŨNG – 0902.920.389

Ta thấy rằng ở đây ta đang thể hiện bảng biến thiên của hàm hợp y  f  u 
với u  x 3  3x 2 (trong đó u  0  x  0 / x  2 ).
Vì vậy dựa vào đồ thị ta chắc chắn rằng a  5 và tương ứng khi thay vào biểu
thức u  x 3  3x 2 ta được b  50 . Như vậy đồ thị hàm số y  f  x  sẽ đi qua
các điểm  0; c  0,8  ,  4; e  0,5  , 50; f  3,2  và ta dựng bảng biến thiên:

Ta dễ dàng có nốt bảng biến thiên hàm hợp y  f  u  với u  x 2  x  3   4 :

Trang 10/10