Xây dựng hệ thống bài tập nâng cao về chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi

TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TOÁN
--------------

XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ
CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN DÃY SỐ, GIỚI HẠN HÀM SỐ
NHẰM BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO
HỌC SINH KHÁ GIỎI

KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH CỬ NHÂN SƢ PHẠM TOÁN HỌC

CÁN BỘ HƢỚNG DẪN KHOÁ LUẬN:
TS. Chu Trọng Thanh
Sinh viên thực hiện: Lê Thị Hiền
Lớp: 47A Toán

Vinh - 2010


2

Mục lục
Trang
Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài…………………………………………………………………3
II. Mục đích nghiên cứu…………………………………………………………….5
III. Nội dung nghiên cứu…………………………………………………………...5
IV. Phƣơng pháp nghiên cứu………………………………….................................5
V. Giả thuyết khoa học………………………………………... ..............................6
VI. Đóng góp của khố luận……………………………………..............................6

VII. Cấu trúc của đề tài…………………………………………..............................6
Chƣơng 1. Cơ sở lí luận và thực tiễn…………………………................................7
1. Năng lực, năng lực toán học…………………………………..............................7
1.1. Năng lực …………………………………………………................................7
1.2. Năng lực toán học………………………………………..............................…8
2. Cấu trúc năng lực toán học…………………………………..............................11
3. Năng lực giải bài tập toán của học sinh THPT……………................................14
3.1. Bài toán…………………………………………………….............................14
3.2. Chức năng của bài tập toán học……………………………............................16
3.3. Vai trị của giải bài tập tốn………………………………..............................18
3.4. Năng lực giải tốn ở trƣờng phổ thơng…………………….............................19
4. Bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, gỏi………..........................….21
4.1. Vấn đề bồi dƣỡng học sinh giỏi……………………………............................21
4.2. Bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi………...........................23
5. Vị trí chủ đề kiến thức dãy số, hàm số, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số……..24
6. Thực trạng dạy học chủ đề giới hạn ở trƣờng PT……………............................25
Chƣơng 2: Xây dựng hệ thống bài tập nâng cao chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn
hàm số nhằm bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi……………….26
2.1. Giới hạn dãy số…………………………………………….........................…26
2.1.1. Một số bài tập điển hình về giới hạn dãy số SGK Đại số và giải tích 11…..26


3
2.1.2. Hệ thống bài tập nâng cao về chủ đề giới hạn dãy số ……...........................32
2.2. Giới hạn hàm số ……………………………………………...........................56
Kết luận…………………………………………………………..........................82
Tài liệu tham khảo.................................................................................................83


4

MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Toán học là một mơn khoa học có tính trừu tƣợng cao độ và tính thực tiễn phổ
dụng lớn. Nó đang phát triển nhƣ vũ bão và ngày càng thâm nhập vào các lĩnh vực
khoa học, cơng nghệ và đời sống. Vì vậy việc dạy và học mơn tốn ở trƣờng phổ
thơng phải xuất phát từ mục tiêu giáo dục nƣớc ta, từ đặc điểm và vị trí mơn tốn.
Trong thƣ gửi bạn trẻ yêu toán tháng 10 năm 1967 thủ tƣớng Phạm Văn Đồng
đã chỉ rõ: “Trong các môn khoa học và kĩ thuật Tốn học giữ vị trí nổi bật. Nó có
tác dụng lớn đối với nhiều ngành khoa học khác nhau, đối với kĩ thuật, đối với sản
xuất và chiến đấu. Nó là mơn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc
rèn luyện phƣơng pháp suy nghĩ, phƣơng pháp suy luận, phƣơng pháp học tập,
phƣơng pháp giải quyết vấn đề, giúp chúng ta rèn luyện trí thơng minh, sáng tạo,
nó cịn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu nhƣ: cần cù và nhẫn nại, tự
lực cánh sinh, ý chí vƣợt khó, u thích chính xác, ham chuộng chân lí. Dù bạn
phục vụ ngành nào, trong cơng tác nào thì các kiến thức và các phƣơng pháp toán
học cũng rất cần cho các bạn” .
Luật giáo dục nƣớc ta quy định: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con ngƣời Việt
Nam phát triển tồn diện, có đạo đức, tri thức, sức khoẻ, thẩm mỹ, và nghề nghiệp,
trung thành với lí tƣởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành và bồi
dƣỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng
và bảo vệ tổ quốc” .
Mục tiêu của giáo dục phổ thông là là giúp học sinh phát triển tồn diện về
đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản nhằm hình thành nhân
cách con ngƣời Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tƣ cách và trách nhiệm công
dân chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham
gia xây dựng bảo vệ tổ quốc.
Do vậy việc dạy và học mơn tốn ở trƣờng phổ thơng càng có ý nghĩa quan
trọng. Định hƣớng đổi mới phƣơng pháp dạy học trong giai đoạn hiện nay là
hƣớng vào tổ chức cho ngƣời học học tập trong hoạt động và bằng hoạt động.

5
Việc áp dụng những phƣơng pháp giáo dục hiện đại để phát huy năng lực tƣ duy
sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh, đặc biệt là đối với hoạt động bồi
dƣỡng học sinh có năng khiếu tốn cần phải đƣợc quan tâm trong suốt q trình
dạy học.
Trong cuốn “Giáo dục học mơn tốn” của tác giả Phạm Văn Hồn, Trần Thúc
Trình, Nguyễn Gia Cốc có viết: “Đảm bảo cho học sinh đạt yêu cầu chất lƣợng phổ
cập về toán học, đồng thời chú trọng phát hiện bồi dƣỡng đƣợc một số học sinh có
tài năng về toán học là rất cần thiết”.
Nhƣ vậy việc bồi dƣỡng học sinh giỏi là việc cần đƣợc quan tâm thƣờng xuyên
và liên tục ở mọi cấp học, bậc học. Nhất là ở trƣờng phổ thơng, việc “gõ vào trí
thơng minh” của học sinh đã đƣợc cố thủ tƣớng Phạm Văn Đồng nhiều lần tha thiết
kêu gọi: “Phải nhắc lại nghìn lần ý muốn lớn của chúng ta trong giáo dục là đào tạo
những thế hệ trẻ thông minh, sáng tạo”.
Trong dạy học tốn ở trƣờng phổ thơng, bài tập tốn là phƣơng tiện có hiệu quả
và khơng thể thay thế đƣợc trong việc giúp ngƣời học nắm vững tri thức, phát triển
tƣ duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo. Bài tập nhằm đánh giá kết quả dạy và học, đánh
giá khả năng độc lập hoạt động toán học và đánh giá trình độ phát triển của học
sinh.Việc giải bài tập tốn có tầm quan trọng để thực hiện tốt mục tiêu của giáo
dục tốn học. Theo A. A. Stơliar: “dạy tốn là dạy hoạt động tốn học”. Trong dạy
tốn có nhiều tình huống điển hình nhƣng có thể xem giải tốn là hình thức chủ
yếu của hoạt động tốn học. Việc dạy học giải bài tập tốn khơng có nghĩa giáo
viên chỉ đơn thuần cung cấp cho học sinh lời giải bài tốn. Biết lời giải bài tốn
khơng quan trọng bằng làm thế nào để giải đƣợc bài toán. Để tăng hứng thú học
tập cho học sinh phát triển tƣ duy, rèn luyện kĩ năng hoạt động độc lập sáng tạo
cho học sinh thầy cần hình thành cho học sinh quy trình chung, các phƣơng pháp
tìm tịi lời giải một bài toán. Mỗi bài toán mà học sinh đã giải cần dạy cho họ kĩ
năng khai thác những tình huống có vấn đề khác nhau, xây dựng những bài tốn

mới phù hợp với nhiệm vụ của nghề dạy học. “Nghề dạy học là nghề cao q vì nó
sáng tạo ra những con ngƣời sáng tạo”. Vì vậy trên thực tế đã có nhiều tài liệu


6
nghiên cứu về giải toán chẳng hạn: Sáng tạo toán học, Giải bài toán nhƣ thế nào,
Toán học và những suy luận có lý của tác giả G. Pơlia, Tâm lý năng lực toán học
của học sinh của tác giả Krutexki, . . .
Chủ đề giới hạn dãy số và giới hạn hàm số là một chủ đề quan trọng của tốn
học nói chung và tốn học phổ thơng nói riêng. Chủ đề này có nhiều ứng dụng về
mặt lí thuyết cũng nhƣ thực tiễn. Đây cũng là một chủ đề gây nhiều khó khăn cho
học sinh vì trƣớc nội dung này chƣa có nội dung nào có tính chất trừu tƣợng đến
nhƣ vậy và các định lý lại đƣợc thừa nhận nhiều. Tuy nhiên đây cũng là chủ đề có
nhiều tiềm năng bồi dƣỡng tƣ duy cho học sinh. Do đó trong dạy học nếu giáo viên
quan tâm đúng mức việc trang bị tri thức phƣơng pháp và rèn luyện các kỹ năng
cho học sinh thì sẽ góp phần phát triển tƣ duy, bồi dƣỡng năng lực toán học và gây
hứng thú học tập.
Vì các lí do trên tơi quyết định chọn đề tài: “Xây dựng hệ thống bài tập nâng
cao về chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán
cho học sinh khá, giỏi”
II. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của khoá luận là đƣa ra hệ thống bài tập nâng cao về các dạng giới
hạn và định hƣớng khai thác một số bài tập trong hệ thống đó nhằm bồi dƣỡng
năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi.
III. Nội dung nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận gồm các vấn đề: Năng lực, năng lực giải toán,
việc bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh khá, giỏi và thực trạng dạy học chủ
đề giới hạn ở trƣờng phổ thông.
- Nghiên cứu nội dung chủ đề giới hạn dãy số và giới hạn hàm số trong
chƣơng trình mơn tốn trung học phổ thơng.

- Xây dựng hệ thống bài tập về chủ đề giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và
đề xuất hƣớng khai thác các bài tập đó vào việc bồi dƣỡng năng lực giải tốn cho
học sinh khá, giỏi.
IV. Phƣơng pháp nghiên cứu


7
Nghiên cứu lí luận: Các tài liệu có liên quan đến tâm lí học, giáo dục học, lí
luận dạy học mơn tốn; nghiên cứu hệ thống bài tập sách giáo khoa đại số giải tích
11, các tài liệu tham khảo, các bài viết về chuyên đề giới hạn.
Nghiên cứu thực tiễn: Phƣơng pháp dự giờ, quan sát việc dạy và việc học
của học sinh.
Thực nghiệm sư phạm: Dạy thử trong các tiết lên lớp và rút kinh nghiệm.
V. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở chƣơng trình sách giáo khoa hiện hành, nếu trong dạy học giáo
viên quan tâm đến việc xây dựng và khai thác hệ thống bài tập về giới hạn dãy số
và giới hạn hàm số một cách hợp lí thì có thể góp phần bồi dƣỡng năng lƣc toán
học và phát triển tƣ duy sáng tạo cho học sinh, qua đó góp phần nâng cao hiệu quả
dạy học.
VI. Đóng góp của khố luận
- Hệ thống hóa đƣợc một số kiến thức về lí luận dạy học làm tƣ liệu tham
khảo về chuyên môn.
- Bƣớc đầu xây dựng đƣợc nguồn tƣ liệu về bài tập toán phục vụ công tác
dạy học và bồi dƣỡng học sinh khá giỏi.
- Tìm tịi một số phƣơng pháp giải các bài tập về giới hạn, có hƣớng dẫn hợp
lí và khai thác một số bài tốn điển hình sẽ góp phần rèn luyện kĩ năng giải toán
cho học sinh.
VII. Cấu trúc đề tài
PHẦN 1. MỞ ĐẦU
PHẦN 2. NỘI DUNG

CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
CHƢƠNG 2: XÂY DỰNG VÀ ĐỊNH HƢỚNG KHAI THÁC HỆ THỐNG
BÀI TẬP NÂNG CAO CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN
PHẦN 3. TÀI LIỆU THAM KHẢO


8
CHƢƠNG 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Năng lực, năng lực tốn học
1.1. Năng lực
Q trình hình thành đến phát triển nhân rộng để khẳng định mơ hình “giáo
dục mũi nhọn” là cả một chặng đƣờng dài và hết sức khó khăn. Trong văn kiện Đại
hội lần thứ VII Đảng Cộng Sản Việt Nam ghi rõ: “Giáo dục và đào tạo nhằm nâng
cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dƣỡng nhân tài”. Đó cũng là nhiệm vụ ngành
giáo dục trong thực tiễn xã hội hiện nay: đào tạo ra những con ngƣời mới, những
chủ nhân tƣơng lai của đất nƣớc năng động, sáng tạo góp phần đƣa đất nƣớc đi lên
giàu mạnh, sánh vai với các cƣờng quốc năm châu. Do vậy việc phát hiện ra năng
lực của mỗi ngƣời, nghiên cứu và phát triển năng lực ấy càng có ý nghĩa quan
trọng.
Có nhiều quan điểm khác nhau về năng lực.
Định nghĩa 1: Năng lực là tổ hợp các thuộc tính độc đáo của cá nhân phù
hợp với những yêu cầu của một hoạt động nhất định, đảm bảo cho hoạt động đó có
hiệu quả. Năng lực gắn liền với tính sáng tạo.[13]
Định nghĩa 2: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con ngƣời hoàn
thành một loại hoạt động với chất lƣợng cao.[13]
Định nghĩa 3: Năng lực là tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con ngƣời
đáp ứng đƣợc yêu cầu của một hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để
hồn thành có kết quả một số hoạt động nào đó.[13]
Theo từ điển Tiếng Việt: Năng lực đƣợc hiểu là khả năng, điều kiện tự nhiên
hoặc sẵn có để thực hiện một hoạt động nào đó.

Nhƣ vậy dù là định nghĩa nào thì năng lực chỉ nảy sinh, phát triển và quan
sát đƣợc trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ. Năng lực không chỉ là


9
bẩm sinh mà phát triển trong đời sống, trong hoạt động. Nó gắn liền với tính sáng
tạo, tƣ duy khác nhau về mức độ và biểu thị ở con ngƣời qua những tiêu chí: tính
dễ dàng, linh hoạt, thơng minh.
Một trong những cơng trình tốn học nghiên cứu đầy đủ nhất về năng lực
tốn học là cơng trình: “Tâm lý năng lực tốn học của học sinh” của Crutchetxki.
Theo ơng vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân. Mỗi cá nhân đều có
năng lực nhiều hơn về một mặt nào đó tức năng lực chuyên biệt hoạt động trong
một lĩnh vực chuyên biệt chẳng hạn: năng lực tốn học, năng lực âm nhạc…nhƣng
lại có năng lực ít hơn về một mặt khác. Khi năng lực phát triển tới mức cao nhất,
biểu thị ở mức hoàn chỉnh nhất, kiệt xuất thì ngƣời có năng lực đƣợc gọi là thiên
tài. Năng lực toán học chỉ tồn tại trong hoạt động tốn học và chỉ trên cơ sở phân
tích hoạt động toán học mới thấy đƣợc biểu hiện của năng lực toán học.
1.2. Năng lực toán học.
Theo V.A.Cruchetxki năng lực toán học đƣợc hiểu theo hai nghĩa:
Một là: theo nghĩa năng lực học tập tức là năng lực đối với việc học tốn,
đối với việc nắm giáo trình tốn học ở phổ thơng, nắm đƣợc một cách nhanh chóng
và có hiệu quả những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tƣơng ứng. Đó là trƣờng hợp
những học sinh giỏi tốn mà hằng năm các cơ sở giáo dục thƣờng xuyên chọn bồi
dƣỡng học sinh giỏi.
Hai là, theo nghĩa năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu toán học
với tƣ cách là khoa học, ngƣời có năng lực sáng tạo ra những cơng trình tốn học,
tạo ra những kết quả mới có giá trị đối với xã hội lồi ngƣời.
Theo ông, năng lực toán học cũng đƣợc hiểu là các đặc điểm tâm lý cá nhân
(trƣớc hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt
động học tập toán học và trong những điều kiện vững chắc nhƣ nhau thì đó là

ngun nhân của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học


10
với tƣ cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tƣơng đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc
những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học.
Về bản chất của năng lực toán học: Năng lực toán học khơng phải là những
thuộc tính tốn học bẩm sinh mà đƣợc hình thành trong cuộc sống, trong hoạt
động, sự hình thành này trên cơ sở mầm mống xác định. Việc rèn luyện và phát
triển năng lực toán học ở học sinh là là một nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của
ngƣời thầy giáo vì:
- Tốn học có vai trị to lớn trong sự nghiệp phát triển khoa học kĩ thuật, sự
nghiệp cách mạng cần phải có đội ngũ những ngƣời có năng lực tốn học.
- Nhà trƣờng là nơi cung cấp cho học sinh những cơ sở đầu tiên của tốn học
và thầy giáo chính là những ngƣời hoặc vun trồng, vun xới đầu tiên cho những
mầm mống toán hoặc làm thui chột những mầm mống đó.
Nghiên cứu của ơng về năng lực toán học cho thấy một số vấn đề quan
trọng:
Về mặt lí luận:
- Theo ơng nói đến một học sinh có năng lực tốn học là nói đến trí thơng
minh trong việc giải tốn.
- Trong cùng một điều kiện dạy - học tốn nhƣ nhau có những học sinh tiếp
thu nhanh hơn, vận dụng tốt hơn so với một số em khác. Tuy nhiên các khả năng
đó đƣợc hình thành và phát triển thơng qua hoạt động giải tốn là chủ yếu. Do đó
cần thiết phải nghiên cứu đƣợc bản chất năng lực và con đƣờng hình thành, phát
triển năng lực.
- Vấn đề năng lực chính là sự khác biệt cá nhân khi nói về năng lực tức là giả
định rằng có sự khác biệt về những mặt nào đó giữa các cá nhân chẳng hạn nhƣ
năng lực toán học.

11
- Trong cuộc đời của mỗi con ngƣời thực sự tồn tại những thời điểm tỏ ra
thích hợp hơn cho việc hình thành và phát triển năng lực tốn học.
- Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con ngƣời thƣờng không
phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực. Kết quả học tập tốn cũng khơng nằm ngồi
quy luật đó, ngồi ra cịn phụ thuộc vào một số yếu tố khác chẳng hạn là niềm say
mê, thái độ học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáo viên, gia đình và xã hội.
Về mặt thực tiễn:
Trong lĩnh vực đào tạo con ngƣời phải nghiên cứu những năng lực của mỗi
ngƣời trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phƣơng pháp tốt nhất để bồi dƣỡng
năng lực đó.
Ơng khẳng định để bồi dƣỡng năng lực toán học cho học sinh ngồi việc cần
tìm hiểu rõ năng lực của mỗi ngƣời còn phải đặt việc bồi dƣỡng năng lực đó trong
việc bồi dƣỡng năng lực tồn diện của con ngƣời vì chính việc bồi dƣỡng để phát
triển năng lực tốn học sẽ góp phần quan trọng bồi dƣỡng để phát triển toàn diện
con ngƣời.
Với luận điểm trên năng lực tốn học chỉ đƣợc hình thành và phát triển trong
hoạt động tốn học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy đƣợc
biểu hiện của năng lực toán học nên khi nghiên cứu việc bồi dƣỡng để phát triển
năng lực này cần lƣu ý tới hoạt động toán học và đặc biệt là giải toán cả về nội
dung lẫn phƣơng pháp.
Khi xem xét năng lực dƣới một khía cạnh khác, năng lực tạo thành các mối
liên tƣởng khái quát hệ thống của chúng dựa trên tài liệu tốn học thì các năng lực
đã nêu biểu hiện ở các mức độ khác nhau ở học sinh giỏi, trung bình, kém. Ở học
sinh kém thì các mối liên tƣởng đƣợc tạo thành hết sức khó khăn. Ở học sinh trung
bình thì muốn hình thành dần các mối liên tƣởng đó cần phải có cả một hệ thống
bài tập với sự rèn luyện theo một q trình có chủ định, mục đích cụ thể.

12
Trong cuốn “Giáo dục học mơn tốn” của tác giả Phạm Văn Hồn, Trần
Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc khi nói về nhiệm vụ của mơn tốn cũng đã nhấn
mạnh nhiệm vụ phát triển năng lực toán học của học sinh. Đó là một nhiệm vụ
quan trọng của thầy giáo vì: Tốn học có nguồn gốc từ thực tiễn, phục vụ thực tiễn.
Nó có vai trị to lớn trong sự nghiệp phát triển khoa học kĩ thuật. Sự nghiệp cách
mạng này cần địi hỏi phải có đội ngũ những ngƣời có năng lực tốn học.
Mỗi học sinh có năng lực tốn học khác nhau. Các khả năng đó đƣợc hình
thành và phát triển thơng qua hoạt động giải tốn là chủ yếu. Do đó cần thiết phải
ngiên cứu đƣợc bản chất năng lực và con đƣờng hình thành, phát triển năng lực.
Cần tìm hiểu chỗ mạnh, giúp các em phát huy đƣợc mặt mạnh của mình, khắc phục
những mặt yếu. Đồng thời cũng phải đặt việc bồi dƣỡng năng lực toán học trong
việc bồi dƣỡng năng lực toàn diện của con ngƣời vì chính việc bồi dƣỡng để phát
triển năng lực tốn học sẽ góp phần quan trọng trong bồi dƣỡng để phát triển toàn
diện năng lực con ngƣời.
2. Cấu trúc năng lực toán học
Cấu trúc năng lực toán học là một trong những đối tƣợng nghiên cứu của các
nhà toán học, tâm lí học sƣ phạm… A- Paoxănglare nhà tốn học ngƣời Pháp là
một trong những ngƣời khởi xƣớng việc nghiên cứu này trong những năm đầu của
thế kỉ XX với tầm quan trọng ngày càng tăng của việc phát hiện, bồi dƣỡng tài
năng tốn học. Có nhiều nhà nghiên cứu đã đƣa ra những góc độ khác nhau của
cấu trúc năng lực toán học.
Theo quan điểm của Krutxcki V.A bao gồm những thành phần sau.
Xét về mặt thu nhận thơng tin tốn học: Đó là năng lực tri giác hình thức hố
các tài liệu tốn học, năng lực nắm đƣợc cấu trúc của các bài toán.


13
Xét về mặt chế biến thông tin: Là năng lực tƣ duy logic trong phạm vi các
quan hệ số lƣợng và các quan hệ khơng gian, các kí hiệu dấu và kí hiệu số, năng

lực suy nghĩ với các kí hiệu tốn học.
Năng lực rút ngắn q trình suy luận toán học và các phép toán tƣơng ứng,
năng lực suy nghĩ với các cấu trúc đƣợc rút gọn.
Tính mềm dẻo của q trình tƣ duy trong hoạt động tốn học.
Khuynh hƣớng đạt tới sự rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm và hợp lí của bài tốn.
Năng lực thay đổi nhanh chóng, dễ dàng chuyển từ tƣ duy thuận sang tƣ duy
nghịch.
Về mặt lƣu trữ thơng tin tốn học: Đó là trí nhớ tốn học tức là trí nhớ khái
qt về các quan hệ tốn học, về đặc điểm điển hình, các sơ đồ về lí luận, chứng
ninh, phƣơng pháp giải tốn.
Xét về mặt tổng hợp chung: Đó là khuynh hƣớng tốn học trí tuệ, các thành
phần trên liên quan chặt chẽ với nhau, ảnh hƣởng lẫn nhau tạo thành một thể duy
nhất cấu trúc hồn chỉnh của năng lực tốn học. Cơ đọng hơn năng lực tốn học
đƣợc đặc trƣng bởi tƣ duy khái quát gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực các quan
hệ tốn học, hệ thống kí hiệu dấu và số và bởi khuynh hƣớng toán học của trí tuệ.
Theo quan điểm cấu trúc năng lực tốn học của Pellery cấu trúc của năng lực
toán học gồm có:
- Nhìn thấy những quan hệ, những điều cần phải phân biệt (chẳng hạn giả
thiết, kết luận)
- Lƣu trữ và dịch chuyển (qua lời đồ thị, kí hiệu)
- Năng lực theo dõi một hƣớng suy luận.
- Năng lực hiểu bài toán


14
- Năng lực theo dõi những con đƣờng giải toán
- Kết quả, mở rộng bằng tƣơng tự tìm ra mơ hình thích hợp
- Xây dựng một mơ hình tốn học có thể giải tốn
- Xây dựng một thuật tốn để giải tốn.
Cịn theo quan điểm của viện sỹ tốn học A.N.Kơmơgrơp trong cuốn sách “về

nghề nghiệp của các nhà tốn học” thì năng lực tốn học gồm những thành phần:
- Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm đƣợc
con đƣờng giải các phƣơng trình khơng theo quy tắc chuẩn hoặc nhƣ các nhà tốn
học quen gọi là năng lực tính tốn hay năng lực “angơritmic”
- Trí tƣởng tƣợng hay là “trực giác hình học”.
Đi sâu vào vấn đề đại số, E.L.Thorndike đƣa ra những năng lực đại số gồm:
- Năng lực hiểu và thiết lập công thức
- Năng lực biểu diễn các tƣơng quan số lƣợng thành công thức
- Năng lực biến đổi các cơng thức.
- Năng lực thiết lập các phƣơng trình biểu diễn các quan hệ số lƣợng đã cho.
- Năng lực giải các phƣơng trình
- Năng lực biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc của hàm hai đại lƣợng
Một số thành phần say đây có thể khơng nhất thiết phải có mặt trong cấu trúc
năng lực tốn học:
- Nhịp điệu làm việc của cá nhân khơng có ý nghĩa quyết định sự nhanh chóng
của các q trình tƣ duy chỉ là đặc điểm tạm thời. Nhà tốn học có thể khơng suy
nghĩ vội vã và thậm chí chậm chạp nữa nhƣng chín chắn càng sâu sắc.


15
- Những năng lực tính tốn (những năng lực tính và chính xác ngay cả tính
nhẩm)
- Trí nhớ về các chữ số, các số, các công thức
- Năng lực tƣởng tƣợng không gian
- Năng lực biểu diễn trực quan các quan hệ và phụ thuộc toán học trừu tƣợng.
Qua những cơng trình nghiên cứu kể trên ta thấy rằng các vấn đề năng lực tốn
học của học sinh nói chung và đặc biệt sự sáng tạo của học sinh khá giỏi nói riêng
đƣợc các nhà tâm lí, giáo dục quan tâm rất chu đáo. Vì vậy để phát triển năng lực
toán học cho học sinh nhất là đối với học sinh khá, giỏi không thể không quan tâm
tới những vấn đề dạy kiến thức cơ bản, bổ sung thêm kiến thức nâng cao đặc biệt là

vấn đề dạy học giải bài tập toán, khái niệm, định lý.
3. Năng lực giải bài tập tốn của học sinh trung học phổ thơng
3.1. Bài tốn
Có rất nhiều định nghĩa khác nhau về bài tốn:
Theo bách khoa tri thức phổ thơng: “Khái niệm bài tốn đƣợc hiểu là một
cơng việc hồn thành đƣợc nhờ những phƣơng thức đã biết trong những điều kiện
cho trƣớc”.
Theo G.Polya: “bài toán đặt ra sự cần thiết phải phải tìm kiếm một cách có ý
thức phƣơng tiện để đạt tới một mục đích rõ ràng nhƣng khơng thể đạt đƣợc ngay”.
Theo A.N.Lêơnchiev: “Bài tốn là mục đích đã cho trong những điều kiện
nhất định địi hỏi ngƣời giải tốn cần phải hoạt động, tìm kiếm cái chƣa biết trên cơ
sở mối liên quan với cái đã biết”.
Nhƣ vậy, khi giải toán chủ thể phải giải quyết các vấn đề:


16
- Phân tích bài tốn
- Mơ hình hóa và cụ thể mối liên hệ bản chất trong bài toán.
- Phát hiện hƣớng giải quyết và xây dựng kế hoạch giải
- Thực hiện giải bài toán
- Kiểm tra đánh giá tiến trình giải bài tốn
- Thu nhận kiến thức mới do bài tốn mang lại
Cịn theo từ điển Tiếng Việt: “Bài toán là bài ra cho học sinh làm để vận
dụng trực tiếp những điều đã học.
Đối với bài tốn thì kiến thức đã có khơng dẫn trực tiếp đến cách giải mà đòi
hỏi học sinh phải suy nghĩ, sáng tạo huy động nhiều kiến thức mới giải đƣợc.
Đối với một bài tốn có thể nó đơn giản hoặc phức tạp. Xét về mức độ khó,
dễ của bài tốn G.Polya cho rằng: “Khơng dễ dàng xét đốn mức khó của một bài
tốn lại càng khó hơn khi xác lập giá trị giáo dục của nó”. Vì vậy thầy giáo nên
biết cách phân loại mức độ khó, dễ của một bài tốn vì điều đó có ích cho giảng

dạy, phân loại đƣợc học sinh. Có thể phân loại bài tốn nhƣ sau:
Loại 1: Các bài tốn có thể giải đƣợc bằng cách vận dụng trực tiếp quy tắc
mẫu, hoặc tuân theo một cách máy móc các ví dụ mẫu vừa có ngay trƣớc mắt học
sinh do thầy vừa ra.
Loại bài toán thứ 2 khó hơn. Để giải chúng học sinh cần phải kết hợp một số
quy tắc đã đƣợc học hoặc tuân theo một cách máy móc các ví dụ mẫu nhƣng chƣa
biết nên chọn quy tắc mẫu nào cho hợp lí, cần sự lựa chọn thích hợp.
Loại bài tốn thứ 3 khó hơn nữa. Để giải chúng học sinh phải kết hợp một số
quy tắc, định lý, khái niệm. Bài toán sẽ khơng q khó nếu có một tổ hợp nào đấy


17
tƣơng tự nó nhƣng khơng phải là nó. Nếu tổ hợp này hoàn toàn mới hoặc cần phải
phối hợp nhiều phần thì bài tốn thƣờng rất khó.
3.2. Chức năng của bài tập tốn học
Một bài tốn dù khó hay dễ, dù để tạo tiền đề xuất phát hay gợi động cơ,
kiểm tra, đánh giá....cũng đều có chức năng sau:
Chức năng dạy học: Nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức,
kĩ năng, kĩ xảo, những vấn đề của lí thuyết đã học. Trong nhiều trƣờng hợp giải
tốn là một hình thức hữu hiệu dẫn dắt học sinh đi tìm kiến thức mới, có khi bài
tốn lại là một định lí mà vì một lí nào đó do khơng đƣợc đƣa vào lí thuyết cho nên
qua việc giải tốn học sinh mở rộng đƣợc tầm hiểu biết của mình.
Chức năng giáo dục: Hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện
chứng, hứng thú học tập, niềm tin và nhân cách đạo đức của con ngƣời. Toán học
xuất phát từ thực tiễn nên qua việc giải toán học sinh hiểu rõ hơn về nguồn gốc và
tính thực tiễn của toán học.
Chức năng phát triển: Nhằm phát triển năng lực tƣ duy của học sinh đặc biệt
là rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tƣ duy trí tuệ.
Ví dụ để tập luyện cho học sinh năng lực dự đốn có những vấn đề thầy u
cầu học sinh độc lập dự đốn, có những vấn đề thầy dẫn dắt học sinh dự đốn,

nhƣng cũng có những vấn đề thầy giáo thuyết trình q trình tị mị dự đoán của
bản thân và chỉ yêu cầu học sinh hiểu đƣợc.
Chẳng hạn: Nếu thầy giáo yêu cầu học sinh tính tổng sau:
1 1
1
1


 ... 
2 2.3 3.4
9.10

Đứng trƣớc bài tốn này nếu học sinh chỉ quan niệm là tính tổng của 9 số
hạng thì học sinh sẽ giải quyết bài toán bằng cách lấy giá trị các hạng tử cộng lại


18
với nhau để tính tổng. Vậy câu hỏi đặt ra nếu đây không phải là tổng của 9 số mà
là của nhiều số thì có tính tổng theo cách đó đƣợc nữa khơng? Có cách nào để giải
quyết bài tốn.

B

1 1
1

 .... 
2 2.3
n.(n  1)

Đến đây ta phải dự đoán cách giải bài toán theo một hƣớng khác
Nếu ta nhận thấy

1
1
1
thì bài tốn sẽ đƣợc giải quyết rõ ràng
 
n.(n  1) n n  1

hơn. Khi đó B  1 

1
n
1 1 1
1
1
1

   ....  
2 2 3
n n 1
n 1 n 1

Nhƣ vậy quan niệm bài tốn theo một hƣớng khác ta có thể giải quyết bài
tốn trong cả trƣờng hợp tổng qt có lợi hơn nhiều.
Chức năng kiểm tra: Bài tập toán học nhằm đánh giá mức độ, kết quả dạy và
học, đánh giá khả năng độc lập học tốn và trình độ phát triển của học sinh. Tác
dụng của mỗi bài tập toán phụ thuộc vào nội dung cũng nhƣ khả năng khai thác lời
giải của nó. Trong việc lựa chọn bài tốn và hƣớng dẫn học sinh giải toán, giáo

viên phải chú ý đến tác dụng nhiều mặt của bài toán, phải quan tâm đến lời giải bài
toán. Lời giải phải đảm bảo u cầu:
- Lời giải khơng có sai lầm
- Lời giải phải có cơ sở lí luận
- Lời giải phải đầy đủ
- Lời giải phải ngắn nhất
3.3. Vai trò của giải bài tập toán


19
Bài tập tốn có vai trị to lớn trong việc dạy và học tốn. Nó là phƣơng tiện
hiệu quả và không thể thay thế trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát
triển tƣ duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo. Hoạt động giải toán là hoạt động chủ yếu,
là điều kiện thực hiện các mục đích dạy tốn. Theo A.A.Stơlia: “dạy tốn là dạy
hoạt động tốn học. Trong dạy học tốn có nhiều tình huống điển hình nhƣng có
thể xem giải tốn là hình thức chủ yếu của hoạt động tốn học. Nó có vai trị sau:
- Hình thành và khắc sâu tri thức, kĩ năng, kĩ xảo tốn học của những giai
đoạn khác nhau của q trình toán học.
- Bồi dƣỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập và niềm tin,
phẩm chất ngƣời lao động mới.
- Bài tập nhằm phát triển tƣ duy, hình thành phẩm chất của tƣ duy khoa học,
rèn luyện những thao tác trí tuệ.
- Bài tập nhằm đánh giá kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học
tốn và trình độ phát triển của học sinh.
Khi nói đến vai trị, vị trí của việc giải bài tập tốn G.Plya có viết: “Việc dạy
giải tốn phải là một bộ phận của nhiều giáo trình, của mọi quá trình tốn học có
ích trong phổ thơng. Nắm vững mơn tốn đó là biết giải tốn”.
P.M.Ecdunhiep: “Việc nắm vững tốn học đƣợc thực hiện trong q trình
giải các bài tốn và vì thế sự phát triển của các phƣơng pháp dạy học toán sẽ đi
theo con đƣờng vận dụng các hình thức và các dạng mới của các bài tập tốn nhằm

kích thích tính tích cực tƣ duy của học sinh.
Ở nƣớc ta Vũ Dƣơng Thụy và Nguyễn Bá Kim trong “Phương pháp dạy học
mơn tốn” nhấn mạnh: “Ở trƣờng phổ thơng việc tổ chức có hiệu quả dạy giải bài
tập tốn có vai trị quyết định đối với chất lƣợng dạy học toán. Dạy học giải bài tập
toán là một trong những phƣơng pháp bồi dƣỡng học sinh giỏi hiệu quả nhất”.


20
3.4. Năng lực giải tốn ở trường phổ thơng
Để giải đƣợc bài toán học sinh cần nắm chắc đƣợc chắc các khái niệm, định
lí, quy tắc, các kiến thức trong mối quan hệ tốn học của chƣơng trình đã học. Nói
đến năng lực giải tốn là nói đến khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết bài
toán.
Bài toán đƣợc xem là đã đƣợc giải khi đảm các điều kiện: khơng sai sót, lập
luận khoa học, tồn diện, tối ƣu. Theo G.Polya giải một bài tốn là q trình tìm
kiếm những hoạt động thích hợp để đạt kết quả. Theo ơng để giải bài tập tốn gồm
4 bƣớc:
- Tìm hiểu nội dung bài tốn
- Xây dựng chƣơng trình giải
- Kiểm tra lời giải và nghiên cứu lời giải
Theo Nguyễn Bá Kim - Vũ Dƣơng Thụy khi nghiên cứu về dạy học phát
hiện giải quyết vấn đề đã xem bài tập toán là vấn đề cần giải quyết gồm 3 bƣớc:
- Tri giác vấn đề
- Giải quyết vấn đề
- Kiểm tra và nghiên cứu lời giải
Còn Rubinsterin cho rằng: các bƣớc giải bài tập tốn đƣợc hình thành theo
hƣớng tâm lí hoạt động. Tiến trình giải bài tập tốn gồm 4 bƣớc:
- Quan sát bài tập toán
- Vạch kế hoạch
- Làm

21
- Đánh giá
Năng lực giải bài tập tốn cịn thể hiện qua các mặt:
- Tìm và liên hệ những kiến thức đầu vào và dữ kiện đầu ra
- Khả năng vận dụng các phƣơng pháp khác nhau để giải toán, nhìn nhận bài
tốn dƣới nhiều khía cạnh khác nhau từ đó vận dụng kiến thức để giải
- Khả năng chuyển từ bài tốn khó về bài tốn đơn giản hơn huy động các
kiến thức có liên quan để giải quyết nó.
Nhà bác học A.Ia.Khin - xin cho rằng những nét độc đáo của phong cách tƣ
duy toán học là:
- Suy luận theo sơ đồ logic chiếm ƣu thế
- Khuynh hƣớng đi tìm con đƣờng ngắn nhất dẫn đến mục đích
- Phân chia rành mạch các bƣớc suy luận
- Sử dụng chính xác các kí hiệu
- Tính có căn cứ đầy đủ các lập luận, không bao giờ chấp nhận những khái
qt khơng có suy luận, những phép tƣơng tự khơng có cơ sở.
4. Bồi dưỡng năng lực giải tốn cho học sinh khá giỏi
4.1. Vấn đề bồi dƣỡng học sinh giỏi
Dạy học phân hóa xuất phát từ sự biện chứng của thống nhất và phân hóa, từ
yêu cầu đảm bảo thực hiện tốt các mục đích dạy học đối với tất cả mọi học sinh,
đồng thời khuyến khích phát triển tối đa và tối ƣu những khả năng của cá nhân.
Trong nghị quyết Bộ Chính Trị Trung ƣơng Đảng số 142 - NQ/TƢ ngày 28
thánh 06 năm 1966 về việc đào tạo và bồi dƣỡng cán bộ khoa học, kĩ thuật và cán


22
bộ quản lí kinh tế có đoạn viết: “Muốn có học sinh giỏi vào các trƣờng đại học
phải có kế hoạch phát hiện và bồi dƣỡng học sinh giỏi ngay từ lớp 1, lớp 8”.

Trong phiên họp ngày 30/03/1966 của Ủy Ban Thƣờng vụ Quốc Hội bàn về
cải cách giáo dục, chủ tịch ủy ban thƣờng vụ Quốc hội Trƣờng Chinh đã nêu: “Vấn
đề phát triển năng khiếu của học sinh rất quan trọng. Học sinh cần phải có kiến
thức phổ thơng tồn diện, nhƣng đối với các em có năng khiếu cần có kế hoạch
hƣớng dẫn riêng.
Trong buổi nói chuyện tại hội nghị sơ kết kinh nghiệm các lớp bồi dƣỡng
học sinh giỏi toán ngày 20/09/1968, Thủ tƣớng Phạm Văn Đồng nhấn mạnh: “Nếu
trong tất cả các em vào trƣờng phổ thông từ cấp 1 đến cấp 2 ta có cách gì phát hiện
đƣợc phần lớn và đừng bỏ xót những em có năng khiếu đặc biệt rồi ta có cách dạy,
nâng đỡ cho các em phát huy tài năng của các em, nếu ta làm việc này qua cấp 2,
cấp 3 rồi lên nữa thì trong 10 năm ta có thể có những nhà tốn học trẻ tuổi có triển
vọng ghê gớm. Đối với ngành tốn phải làm nhƣ vậy mới kịp ngƣời ta”.
Trong cuốn “Giáo dục học mơn tốn” của tác giả Phạm Văn Hồn, Trần
Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc có viết: “Đảm bảo cho học sinh đạt yêu cầu chất
lƣợng phổ cập về toán học, đồng thời chú trọng phát hiện, bồi dƣỡng đƣợc một số
học sinh về toán học là rất cần thiết.
Tuân theo lời chỉ dẫn của Đảng và Chính phủ, Bộ giáo dục đã quan tâm từ
lâu đến công tác phát hiện và bồi dƣỡng học sinh có năng khiếu tốn. Đây là một
vấn đề đƣợc quan tâm ở nƣớc ta hiện nay. Việc này cần tiến hành ngay trong cả
những tiết học đồng loạt trên cơ sở lấy trình độ chung làm nền tảng và bằng những
biện pháp phân hóa nội tại, tổ chức thích hợp. Hai hình thức tổ chức thƣờng dùng
là: nhóm học sinh giỏi tốn và lớp phổ thơng chun tốn.
4.1.1. Nhóm học sinh giỏi tốn


23
Nhóm học sinh giỏi tốn gồm những học sinh cùng một lớp hoặc cùng một
khối lớp, có khả năng về tốn, u thích mơn tốn và tự nguyện xin bồi dƣỡng
nâng cao về mơn này.
Mục đích bồi dƣỡng nhóm học sinh giỏi tốn:

- Nâng cao hứng thú học tập mơn toán
- Đào sâu và mở rộng những tri thức trong giáo trình
- Làm cho học sinh thấy rõ hơn vai trị của tốn học trong cuộc sống
- Bồi dƣỡng cho học sinh tác phong, phƣơng pháp nghiên cứu, thói quen tự
đọc sách
Nội dung bồi dƣỡng nhóm học sinh giỏi tốn gồm:
- Nghe thuyết trình những tri thức tốn học bổ sung cho nội khóa
- Nghe giải những bài tập nâng cao: bài tập đòi hỏi vận dụng phối hợp nhiều
kiến thức, yêu cầu học sinh độc lập cao độ.
- Học chuyên đề
- Tham quan, thực hành và ứng dụng toán học
- Làm nồng cốt cho những sinh hoạt ngoại khóa về tốn
4.1.2. Lớp phổ thơng chun tốn
Hiện nay ở nƣớc ta thƣờng tập hợp những học sinh giỏi toán ở trƣờng trung
học phổ thông thành những lớp đặc biệt giao cho một số trƣờng đại học hoặc
tuyển chọn những giáo viên giỏi tốn ở trƣờng phổ thơng phụ trách. Đó là lớp
phổ thơng chun tốn.


24
Mục tiêu của những lớp này là phát hiện những học sinh có năng lực tốn
học, bồi dƣỡng các em phát triển tốt về mặt này trên cơ sở giáo dục tồn diện
góp phần đào tạo đội ngũ cán bộ khoa học kĩ thuật giỏi trong đó có thể trở thành
nhân tài của đất nƣớc.
Nội dung mơn tốn ở các lớp phổ thơng chun tốn về cơ bản vẫn là nội
dung môn này ở trƣờng phổ thông nhƣng bổ sung thêm một yếu tố theo 4
phƣơng hƣớng sau:
- Mở rộng, đào sâu, hệ thống hóa kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa
- Chú trọng những ứng dụng thực tiễn của toán học.
- Tăng cƣờng một số yếu tố của logic học

- Bổ sung một số yếu tố của toán học hiện đại: lí thuyết tập hợp, đại số
vectơ...ở những mức độ sâu và đầy đủ hơn
4.2. Bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi
Bài tập toán có vai trị quan trọng trong mơn tốn và bồi dƣỡng học sinh
khá, giỏi tốn. Thơng qua hoạt động giải bài tập toán học sinh hiểu sâu sắc kiến
thức hơn đồng thời rèn luyện cho học sinh các thao tác tƣ duy, phát triển năng
lực suy luận logic chặt chẽ.
Việc bồi dƣỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi gồm 2 nội dung:
- Hình thành các dạng tốn điển hình và quy trình giải
- Bồi dƣỡng năng lực suy đốn, năng lực tìm tịi phƣơng pháp giải các bài
tốn
Đối với học sinh biết lời giải bài tốn khơng quan trọng bằng làm thế nào
giải đƣợc bài toán. Mỗi bài toán giải đƣợc thầy giáo cần dạy cho họ kĩ năng
hƣớng về những tình huống có vấn đề khác nhau, biết phân biệt tình huống, biết


25
lựa chọn hành động, một hƣớng đi giải quyết vấn đề. Trong tốn học, nắm vững
phƣơng pháp bộ mơn quan trọng hơn nhiều so với khối lƣợng kiến thức thuần
túy. Nắm vững mơn tốn là phải biết giải tốn từ những bài tập cơ bản đến
những bài tập nâng cao địi hỏi sự độc lập, óc phán đốn. Đó cũng là mục đích
chính của dạy học phổ thơng: dạy suy nghĩ bằng mọi cách cho học sinh nghệ
thuật chứng minh, đồng thời khơng qn nghệ thuật phỏng đốn, phƣơng pháp
giải tốn....
5. Vị trí chủ đề kiến thức dãy số, hàm số, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số
Ở các lớp dƣới qua việc giải bài tập ta đã làm quen với khái niệm dãy số.
Khi nói tới dãy số ta hiểu đó là kết quả thu đƣợc khi viết liên tiếp các số theo
một quy tắc nào đó. Sách Đại số và giải tích 11 nghiên cứu định nghĩa dãy số
tăng, dãy số giảm, cách cho dãy số... chủ yếu nghiên cứu hai dãy số chính là:
cấp số cộng và cấp số nhân.

Khái niệm sơ khai về hàm số đã có từ 1000 năm trƣớc cơng ngun và sau
này càng hoàn thiện do nhu cầu thực tiễn
Chủ đề giới hạn là một chủ đề cơ bản của toán học nói chung và tốn học
phổ thơng nói riêng. Nó có nhiều ứng dụng về mặt lí thuyết cũng nhƣ thực tiễn,
là cơ sở đối với hai phép tính cơ bản của giải tích là phép tính đạo hàm và phép
tính vi phân. Giới hạn đƣợc áp dụng nhƣ một phƣơng pháp để giải quyết các bài
tốn: tiệm cận, tính liên tục của hàm số, sự tồn tại nghiệm của phƣơng trình và
bất phƣơng trình. Đây cũng là một cơ sở cho học sinh tiếp cận với nền toán học
cao cấp.
6. Thực trạng dạy học chủ đề giới hạn ở trường phổ thơng
Chủ đề giới hạn gây nhiều khó khăn cho học sinh vì lần đầu tiên học sinh
làm quen với kiểu tƣ duy “vơ hạn, liên tục...” Vì vậy trong dạy học giáo viên
chủ yếu là ngƣời cung cấp tri thức và tiến hành bài tập vận dụng. Việc khai thác
bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi ít đƣợc quan tâm. Thực tế cho thấy các tiết dạy