Môđun nội xạ và mở rộng của môđun nội xạ

1

MỞ ĐẦU

I.Lí do chọn đề tài
Thực hiện chủ trương của Đảng, của Bộ giáo dục đào tạo, đáp ứng yêu
cầu mới của xã hội, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ IV của Đảng đã nêu
rõ: “mục tiêu của cải cách giáo dục là đào tạo có chất lượng những người
lao động mới, trên cơ sở đó đào tạo và bồi dưỡng với qui mô ngày càng lớn
đội ngũ công nhân kĩ thuật và cán bộ quản lý, cán bộ khoa học, kỹ thuật và
nghiệp vụ”. Để đáp ứng được nhiệm vụ đó, q trình dạy học ở trường phổ
thông cần đặc biệt chú trọng rèn luyện năng lực trí tuệ tốn cho học sinh,
phải phát huy tính tích cực, tư giác, chủ động sáng tạo của người học, bồi
dưỡng năng lực tự học, sự say mê học tập và ý chí vươn lên.
Có thể nói, giáo dục mũi nhọn phổ thông đã thu được nhiều thành tựu
rực rỡ, được xã hội thừa nhận và bạn bè quốc tế khâm phục. Các đội tuyển
Toán quốc gia tham dự các kì thi Olympic Tốn quốc tế có bề dày thành
tích mang tính ổn định và có tính kế thừa. Kể từ lần đầu thi Olympic Toán
quốc tế năm 1974, Việt nam hầu như chưa chịu lọt khỏi Top 10 trên tổng
số khoảng 100 đội. Từ nhiều năm nay, các hệ và các trường THPT chuyên
thường sử dụng song song các sách giáo khoa đại trà kết hợp với sách giáo
khoa cho hệ THPT chuyên toán.
Năm 2001 Bộ giáo dục và đào tạo đã có qui định 11 chuyên đề bồi
dưỡng học sinh giỏi tốn thống nhất trong tồn quốc, trong đó có chun
đề về số học, và phương trình nghiệm nguyên là một đề tài lý thú của số
học, đã lôi cuốn nhiều người từ các học sinh nhỏ tuổi với các bài toán như:”
trăm trâu trăm cỏ” đến các nhà toán học lớn với các bài toán như định lý
Fecma. Được nghiên cứu từ thời Điôphăng thế kỉ 3, phương trình nghiệm
ngun mãi mãi cịn là đối tượng nghiên cứu của tốn học. Ngồi phương
trình bậc nhất hai ẩn, các bài tốn tìm nghiệm ngun thường khơng có qui
tắc giải tổng quát. Mỗi bài toán, với số liệu riêng của nó địi hỏi một cách

2

giải riêng phù hợp. Điều đó có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm
dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Chính vì thế mà các bài tốn tìm nghiệm ngun
thường có mặt trong các kì thi học sinh giỏi về toán ở tất cả các cấp. Như
vậy việc dạy học giải tốn về phương trình nghiệm ngun cho học sinh
đang là một nhu cầu thực tế.
Việc nghiên cứu các bài toán trong toán học sơ cấp bằng cách ghép
thành những nhóm bài tốn giải được bằng cùng một phương pháp là một
việc làm hết sức cần thiết và có ý nghĩa. Trên cơ sở lý thuyết và bài tập
sách giáo khoa và một số sách toán khác, người giáo viên bằng kiến thức và
kinh nghiệm của mình có thể sử dụng các phương pháp phân loại các bài
toán, vạch ra sự khác biệt giữa các bài toán theo từng kiểu để giúp ích cho
học sinh khi giải tốn. Việc đề ra một hệ thống bài tập cho mỗi một khái
niệm, một tính chất, một phương pháp,… là cần thiết để nâng cao khả năng
cho học sinh. Nếu xây dựng được một hệ thống bài tập thích hợp nhằm tăng
dần mức độ suy nghĩ của học sinh về một kiến thức nào đó và sử dụng hệ
thống đó một cách phù hợp thì có thể làm cho học sinh nhận thức được
định nghĩa, định lý,… một cách chắc chắn và thấy được mối liên hệ giữa
kiến thức cũ và kiến thức mới.
Đối với học sinh, hoạt động giải bài tập toán là một hoạt động cơ bản
và thường xuyên. Hoạt động này có tác dụng phát triển trí tuệ và do vậy
cần được quan tâm nhiều trong dạy học.Và như đã nói ở trên việc giải
phương trình nghiệm ngun chứa đựng tiềm năng phát triển trí tuệ cho học
sinh nếu được chú trọng khai thác trong dạy học.
Từ những lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài:” Hệ thống một
số bài tập và phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên nhằm góp
phần bồi dưỡng học sinh khá giỏi”

II. Mục đích nghiên cứu


3

Mục đích của khố luận này là đưa ra hệ thống các bài tập cùng một số
phương pháp giải phương trình nghiệm ngun nhằm góp phần rèn luyện
năng lực giải tốn tìm nghiệm ngun.

III. Nội dung nghiên cứu
Nghiên cứu về cơ sở lý luận gồm các vấn đề: hoạt động trí tuệ trong
giải tốn, năng lực tốn học. Tiềm năng của chủ đề tìm nghiệm nguyên
trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Bồi dưỡng học sinh khá giỏi năng lực
giải bài tập tốn về chủ đề giải phương trình nghiệm nguyên.

IV. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận: Các tài liệu có liên quan đến tâm lý học, giáo dục
học, lý luận dạy học mơn tốn, …
Phương pháp lấy ý kiến của chuyên gia, tổng kết đúc rút kinh nghiệm.
Các tài liệu tham khảo, các bài viết về chủ đề phương trình nghiệm
ngun.

V. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trong khóa luận này chúng tôi đề ra các nhiệm vụ nghiên cứu bao
gồm:
+ Xây dựng cơ sở lý luận, cơ sở thực tiễn của việc đưa ra hệ thống các
bài tập toán học nâng cao.
+ Xây dựng hệ thống các bài tập cùng một số phương pháp giải
phương trình nghiệm nguyên nhằm rèn luyện năng lực giải toán cho học

sinh khá giỏi.

VI. Giả thuyết khoa học
Trên cơ sở tài liệu tham khảo nếu đưa ra hệ thống các bài tập cùng
phương pháp giải phương trình nghiệm ngun thì có thể góp phần rèn
luyện năng lực giải tốn tìm nghiệm ngun nói riêng và năng lực giải tốn
nói chung cho học sinh, đặc biệt là học sinh khá giỏi.


4

VII. Đóng góp của khóa luận
Việc đưa ra các bài tập cùng một số phương pháp giải phương trình
nghiệm nguyên sẽ góp phần rèn luyện kỹ năng giải tốn cho học sinh.

VIII. Cấu trúc của luận văn
Mở đầu.
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
1. Hoạt động trí tuệ trong giải toán
2. Năng lực toán học
3. Bài tập toán học
4. Năng lực giải bài tập toán
5. Bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh khá giỏi
Chương II: Hệ thống bài tập cùng một số phương pháp giải phương
trình nghiệm nguyên
1.Một số dạng phương trình cơ bản
2. Phương trình vơ định khơng mẫu mực
3.Phương trình vơ định siêu việt
4. Phương trình dạng phân thức
5. Phương trình vơ tỉ

6. Phương trình dạng mũ


5

CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ TRONG GIẢI TỐN
Hoạt động giải bài tập toán là một dạng hoạt động chủ đạo trong việc
học tốn của học sinh ở trường phổ thơng. Để giải một bài tốn thì học sinh
phải thực hiện các hoạt động trí tuệ (hay các thao tác tư duy). Và thơng qua
việc giải tốn sẽ hình thành củng cố kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo cho học sinh,
phát triển năng lực trí tuệ. Do đó việc rèn luyện giải tốn cho học sinh là
một trong những nội dung của việc dạy tốn ở trương phổ thơng. Khơng có
một thuật giải tổng quát cho mọi bài toán, ngay cả với những lớp bài tốn
riêng biệt cũng có trường hợp có, trường hợp khơng có thuật giải. Tuy
nhiên, trang bị cho học sinh một hướng dẫn chung để tìm tịi , phát hiện lời
giải lại có thể làm được và cần thiết nên làm.
Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết
G.Polia (1975) về cách thức giải bài toán đã được kiểm nghiệm trong thực
tiễn dạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài tốn như sau:
Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài
Phát biểu đề bài dưới những dạng thức khác nhau để hiểu rõ nội dung
bài toán
Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm , phải chứng minh.
Có thể dùng cơng thức, kí hiệu, hình vẽ để hỗ trợ cho việc diễn tả đề
bài
Bước 2: Tìm cách giải
Tìm tịi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đốn,
biến đổi cái đã cho, cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho
với cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với bài

toán cũ tương tự, một trường hợp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay một
bài toán nào đó có liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng
dạng toán như chứng minh phản chứng, qui nạp toán học,…


6

Kiểm tra lời giải bằng cách xem lại kĩ từng bước thực hiện hoặc đặc
biệt hố kết quả tìm được hoặc đối chiếu kết quả với một số tri thức liên
quan.
Tìm những cách thức giải khác nhau, so sánh chúng để tìm ra lời giải
thích hợp nhất.
Bước 3: Trình bày lời giải
Từ cách giải đã tìm được sắp xếp các việc phải làm thành một chương
trình gồm các bước theo một trình tự phù hợp và thực hiện các bước đó.
Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải
Nghiên cứu giải những bài toán tương tự, mở rộng hay lật ngược vấn
đề.
Trong hoạt động giải một bài toán, dự đoán lời giải chiếm vị trí trung
tâm của hoạt động. Sau khi đọc kĩ đề bài, người giải toán bắt đầu thực hiện
hành động dự đốn tìm phạm vi lời giải. Vì vậy cần chú trọng đến việc rèn
luyện cho học sinh khả năng tìm tịi, suy đốn để giúp học sinh dự đốn
phạm vi lời giải có hiệu quả. Đứng trước một bài toán, lúc đầu người giải
chỉ thấy bài toán như một bức tường ngăn cách với vốn tri thức của mình,
nhưng khi giải ra được rồi thì người giải lại thấy khác hẳn, bài tốn có
nhiều tri thức kiến thức mà mình đã biết. Để đạt được điều này, trong tư
duy của người giải toán đã diễn ra một loạt trí tuệ mà mở đầu là hành động
trí tuệ động viên kiến thức và hành động tổ chức kiến thức.
Hành động trí tuệ động viên kiến thức là lấy ra, là tách ra từ trí nhớ
những yếu tố có liên quan đến bài tốn, cịn hành động trí tuệ tổ chức kiến

thức là chắp nối những yếu tố đó lại với nhau.
Hành động trí tuệ động viên kiến thức thường được bắt đầu bằng thao
tác ”nhận biết” một yếu tố nào đó chứa đựng trong bài tốn. Tiếp theo của
hành động trí tuệ động viên kiến thức là thao tác ”nhớ lại” những yếu tố
khác đã quen thuộc và có liên quan với yếu tố vừa được nhân biết. Sau khi


7

nhận xét thấy một kết hợp đại số quen thuộc trong cơng thức, người giải
tốn có thể thiết lập được mối quan hệ qua lại giữa bài toán và vốn kiến
thức đã được lĩnh hội từ trước nhất là kiến thức thích ứng với bài tốn.
Hành động trí tuệ tổ chức kiến thức bao hàm trong đó các thao tác “bổ
sung” và “nhóm lại”. Thao tác “bổ sung” là một thao tác quan trọng trong
hành động tổ chức kiến thức vì với thao tác ấy người giải có quan niệm
ngày càng đầy đủ hơn về bài tốn.
Nói chung, những kiến thức mới được động viên, được liên kết với
quan niệm về bài toán làm phong phú thêm, lấp chỗ trống, hay nói cách
khác bổ sung cho quan niệm này. Tuy nhiên, quan niệm bài toán theo
hướng này chưa chắc đã giải quyết được bài tốn đơi khi chúng ta cần
chuyển hướng suy nghĩ quan niệm bài toán theo một hướng khác, đưa yếu
tố của bài toán vào trong một mối quan hệ khác sẽ làm cho bài toán cách
giải quyết bài tốn đi theo hướng thích hợp hơn, đây chính là thao tác nhóm
lại.
Như vậy quan niệm bài tốn theo một hướng khác ta có thể giải quyết
bài tốn trong cả trường hợp tổng quát và dĩ nhiên quan niệm theo cách này
có lợi hơn nhiều.
Hai thao tác “bổ sung” và “ nhóm lại” thường hỗ trợ lẫn nhau.
Hoạt động trí tuệ trong giải tốn cịn được thể hiện thơng qua hành
động “tách biệt” và “kết hợp”. Tách biệt là tách một chi tiết, một bộ phận

cụ thể ra khỏi cái tồn thể bao quanh nó, tập trung mọi chú ý vào bộ phận
này. Các bộ phận có thể gợi ý cái tồn thể, có thể dẫn tới cái thiết lập cái
tồn thể. Hành động trí tuệ “tách biệt” khơng thể diễn ra bên ngồi thao tác
đối lập với nó – hành động trí tuệ “kết hợp”, sau khi đã nghiên cứu một loạt
chi tiết, một loạt bộ phận hành động kết hợp liên kết, những chi tiết, những
bộ phận đã được xem xét lại với nhau trong cái tình huống thống nhất của
nó rõ nét hơn. Hành động “tách biệt” dẫn đến hành động “kết hợp”, hành


8

động “kết hợp” lại dẫn đến hành động “tách biệt” mới, tách biệt với những
chi tiết mới, bộ phận mới, đó là tiến trình suy nghĩ làm sao người giải hiểu
bài toán và giải được bài toán.
Những hành động và những thao tác trí tuệ có thể được các tác giả
Phạm Văn Hoàn – Nguyễn Gia Cốc – Trần Thúc Trình tóm tắt trong sơ đồ
sau.
Tách biệt
Nhận biết
Động viên

Nhóm lại
Dự đốn

Tổ chức
Bổ sung

Nhớ lại
Kết hợp

Với vị trí trung tâm, hành động trí tuệ đối lập nhưng thống nhất: Động
viên - tổ chức; tách biệt – kết hợp được đặt ở những vị trí đối nhau của hình
vng. Các thao tác trí tuệ được đặt trên các cạnh của hình vng và khi
đọc từ trái qua phải chúng ta tóm tắt hành động của trí tuệ như sau:
Từ những chi tiết được động viên đi đến một cái tồn thể có tổ chức,
một chi tiết vừa mới được phân biệt, tách biệt ra, được tập trung nghiên
cứu, có thể dẫn tới việc thay đổi quan niệm của người giải về bài toán.
Cũng như vậy một chi tiết mà chúng ta nhớ lại được và tỏ ra thích ứng khi
kết hợp, sẽ làm cho hiểu biết của người giải về bài toán được phong phú
thêm bổ sung cho cái toàn thể.
Tập hợp các hành động trí tuệ, các thao tác trí tuệ cùng mối liên hệ
giữa chúng mà ở sơ đồ trên gợi cho ta ý niệm về cơ chế của hoạt động trí
tuệ khi giải tốn. Khi giải quyết một bài tốn cụ thể thì những thao tác trí


9

tuệ có dạng xác định và những câu hỏi tương ứng (tức là những nhiệm vụ
nhận thức làm xuất hiện những thao tác ấy) như sau:
Hãy sử dụng định nghĩa (thao tác nhận biết).
Hãy nhớ lại định lý hay bài toán (thao tác nhớ lại).
Hãy biến đổi bài toán, hãy đưa bài tốn về dạng quen biết (thao tác
nhóm lặp).
Hãy thêm vào những yếu tố phụ (ẩn phụ, đường phụ) (thao tác bổ
sung).
Những dấu hiệu của sự tiến triển và sự đạt tới đích hoạt động trí tuệ
trong giải tốn như sau:
Dấu hiệu nhận biết có kết quả những chi tiết: có cảm giác hiểu được
bài tốn.
Dấu hiệu tách biệt có những kết quả chi tiết: các chi tiết được tri giác

một cách rõ ràng rành mạch.
Dấu hiệu nhóm lại có kết quả chi tiết: quan điểm về bài tốn đã ổn
định, người giải khơng có cảm giác cần thiết phải nhóm lại các yếu tố nữa.
Dấu hiệu nhớ lại có những kết quả chi tiết: có sự tương hợp bên trong
của bài tốn, những liên hội thích hợp với tình huống của bài tốn.
Dấu hiệu kết hợp có kết quả những chi tiết: quan niệm về bài tốn có
được hài hòa, cân đối tức là chứa đựng tất cả những chi tiết và ngoài ra
những chi tiết ấy đều quen thuộc.
Dấu hiệu bổ sung có kết quả những chi tiết: quan niệm về bài tốn có
được tính đầy đủ, tồn vẹn người giải có cảm giác khơng cần phải bổ sung
thêm gì nữa.
Dấu hiệu dự đốn đúng: người giải cảm thấy rõ ràng là mình nắm
được tư tưởng chủ đạo để giải bài toán, cảm thấy tự tin thỏa mãn sung
sướng trong niềm vui sáng tạo.


10

Qua những phân tích trên đây, trong dạy học hiện nay việc rèn luyện
phát triển năng lực dự đoán cho học sinh là vô cùng quan trọng. Trước đây,
việc dạy học vẫn nặng nề theo phương pháp “thầy giảng, trò nghe” làm cho
học sinh thụ động trong việc lĩnh hội tri thức. Có nhiều kiến thức đối với
thầy giáo là “tầm thường” nhưng đối với học sinh thì đây là lần đầu tiên
được tiếp xúc nên việc nắm được nó không phải là dễ dàng. Theo tác giả
Nguyễn Bá Kim: “Tri thức không phải là điều dễ dàng cho không. Để dạy
một tri thức nào đó, thầy giáo thường khơng thể trao ngay cho học sinh điều
thầy muốn dạy. Cách làm tốt nhất thường là cài đặt những tri thức đó vào
những tình huống thích hợp để học sinh chiếm lĩnh nó thơng qua hoạt động
tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo”. Do đó, muốn phát triển năng lực
dự đốn cho học sinh, khơng chỉ đơn thuần thầy giáo tiến hành các bước dự

đoán để học sinh theo dõi mà còn phải dẫn dắt học sinh chiếm lĩnh các thao
tác của dự đoán để học sinh vận dụng vào những bài tốn khác. Hiện nay,
vẫn cịn nhiều giáo viên chưa thay đổi được phương pháp dạy học của
mình, dường như học sinh không được tham gia vào các hoạt động dự
đốn. Những điều này cũng khơng phải là khơng có lý do: khối lượng kiến
thức cần truyền thụ cho học sinh thì nhiều mà cơng việc tiến hành cho học
sinh dự đốn lại mất khơng ít thời gian. Tuy nhiên, cho học sinh tiến hành
hoạt động dự đoán sẽ rất hữu ích, việc mất nhiều thời gian sẽ được đền bù
khi tư duy độc lập của học sinh được phát triển.
Qua đó chúng ta nhận ra một điều rằng, cần phải luyện tập cho học
sinh dự đoán, nhưng khơng phải khi nào cũng cho học sinh dự đốn. Có
những vấn đề thầy giáo yêu cầu học sinh độc lập dự đốn, có những vấn đề
thầy giáo dẫn dắt học sinh dự đốn, nhưng cũng có những vấn đề thầy giáo
thuyết trình q trình mị mẫm dự đốn của bản thân và chỉ yêu cầu học
sinh hiểu được.


11

Cơng việc dự đốn mới chỉ là khoanh vùng phạm vi đi tìm lời giải cho
bài tốn. Khơng phải bao giờ điều dự đoán cũng đúng nên cần làm cho học
sinh hiểu được cần phải chứng minh sự đúng đắn của điều dự đốn.
Trong q trình dạy học, tùy thuộc vào hoàn cảnh cụ thể, yêu cầu của
lời giải, kiến thức thông tin cần truyền thụ mà thầy giáo cần có thái độ đúng
mực với những điều dự đốn của học sinh.
Qua phân tích ở trên chúng ta đã thấy vai trị của dự đốn trong hoạt
động tốn học. Tuy nhiên, học sinh chưa chắc đã nắm được ý nghĩa của
điều này, giáo viên cần nhấn mạnh hiệu quả của việc này đối với việc giải
quyết vấn đề đặt ra.
Để phát triển năng lực dự đoán của học sinh, thầy giáo cần chú ý đến

việc cho học sinh làm việc với các bài tập địi hỏi phải có tìm tịi dự đốn.
2. NĂNG LỰC TỐN HỌC.
2.1. Các vấn đề chung về năng lực toán học
Thực tiễn xã hội đặt ra nhiệm vụ cho ngành giáo dục hiện nay là đào
tạo ra những người lao động mới có hiệu suất cao nhất trong một lĩnh vực
hoạt động nhất định. Do đó ,cần phải nghiên cứu năng lực của mỗi người
và phát triển những năng lực ấy.
Cũng có những quan điểm khác nhau về năng lực. Những quan điểm
đứng trên lập trường về tính tiền định sinh vật hoặc tính di truyền trực tiếp
của năng lực cho rằng: Não người có những bướu đặc biệt tương ứng với
tài năng khác nhau. Người có bướu tốn thì có tài năng tốn. Nhưng với
Đềcác và Lépnít làm sao có thể xác định bướu của họ thuộc bướu tốn học
hay triết học;Galtơng dựa trên tiểu sử của các nhà tốn học có tên tuổi đưa
ra luận điểm về di truyền của tài năng. Luận điểm của Galtông chỉ nhằm
củng cố đặc quyền cho giai cấp thống trị; vào cuối thế kỉ XX các nhà tư
tưởng của chủ nghĩa phát xít đồng nhất tính di truyền kéo theo năng lực dựa
trên số liệu nghiên cứu không đầy đủ về những cặp trẻ sinh đôi. Quan điểm


12

này đã thể hiện rõ sự thiếu khoa học của nó vì số liệu nghiên cứu khơng đầy
đủ của nó, mặt khác người ta cũng quan sát trên thực tế có sự khác biệt
trong phẩm hạnh và năng lực ở những cặp trẻ sinh đơi.
Một trong những cơng trình nghiên cứu đầy đủ nhất về năng lực tốn
học là cơng trình “Tâm lý năng lực tốn học của học sinh” của
V.A.Cruchetxki. Theo ơng, vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá
nhân. Mỗi cá nhân đều có năng lực nhiều hơn về một mặt nào đó và có
năng lực ít hơn về một mặt khác.
Năng lực khơng chỉ là bẩm sinh, mà phát triển trong đời sống, trong

hoạt động. Các năng lực không phải nhất thành bất biến, mà hình thành và
phát triển trong quá trình học tập, luyện tập để nắm được hoạt động tương
ứng.
Từ đó chúng ta thấy, năng lực chỉ tồn tại trong một loại hoạt động nhất
định, chỉ trên cơ sở phân tích những hoạt động đó mới thấy biểu hiện của
năng lực. Do đó, năng lực chỉ tồn tại trong hoạt động tốn học và chỉ trên
cơ sở phân tích hoạt động tốn học mới thấy được biểu hiện của năng lực
toán học.
Năng lực tốn học có thời kì thích hợp nhất cho việc hình thành và
phát triển chúng. Kết quả của năng lực toán học phụ thuộc vào một tổ hợp
năng lực.
2.2. Năng lực toán học ở học sinh
Theo quan điểm tâm lý học, khái niệm năng lực toán học được hiểu
theo hai khía cạnh:
Một là, những năng lực sáng tạo trong nghiên cứu toán học với tư cách
là toán học, người có năng lực sáng tạo trong hoạt động nghiên cứu tốn
học cống hiến cho lồi người những cơng trình tốn học có ý nghĩa đối với
hoạt động thực tiễn của xã hội nói chung.


13

Hai là, những năng lực trong học tập ,trong việc nắm vững tốn học
với tư cách là một mơn học, người học sinh có năng lực học tốn nắm được
nhanh chóng và có hiệu quả những kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng.
Đó là trường hợp những học sinh giỏi toán mà hàng năm các cơ sở giáo dục
thường xuyên chọn đề tài bồi dưỡng.
Năng lực toán học theo quan điểm của V.A.Kơrutecxki được hiểu là
những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm hoạt động trí
tuệ) đáp ứng những yêu cầu của hoạt động học tập toán học, và những điều

kiện vững chắc như nhau thì là ngun nhân của sự thành cơng trong việc
nắm vững một cách sáng tạo toán học với tư cách là một môn học đặc biệt
nắm vững tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ
xảo trong lĩnh vực tốn học.
Mỗi học sinh đều có năng lực toán học khác nhau. Trong cùng một
điều kiện giảng dạy học tập như nhau có những em học nhanh, học giỏi có
những em học kém hơn. Có những em đạt thành tích cao mà khơng cần
phải tốn nhiều cơng sức lắm, cũng có những em dù đã cố gắng hết sức mà
thành tích đạt được cũng khơng là bao. Do đó, giáo viên cần nghiên cứu để
nắm bắt được những học sinh yếu để giúp các em nâng cao dần năng lực ở
mặt này và giúp các em có năng lực phát huy hết khả năng của mình.
Viện sỹ tốn học A.N.Kơnmơgrơp trong cuốn sách “Về nghề nghiệp
của nhà tốn học” có đề cập đến những năng lực tốn học. Theo ơng, trong
thành phần của những năng lực tốn học có:
1. Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực
tìm được con đường giải các phương trình khơng theo quy tắc chuẩn hoặc
như các nhà tốn học quen gọi các năng lực tính tốn hay năng lực
“angơritmic”.
2. Trí tưởng tượng hình học hay là “trực giác hình học”.


14

Trong cơng trình nghiên cứu của mình, xuất phát từ những luận điểm
đúng đắn về mối quan hệ giữa tâm lý và hoạt động để nghiên cứu những
năng lực về một hoạt động nào đó thì phải nghiên cứu những năng lực
chính trong hoạt động ấy. V.A.Kơrutecxki đã tiến hành phân tích q trình
giải bài tập của các học sinh thực nghiệm có trình độ phát triển năng lực
tốn học khác nhau và ông đã đưa ra cấu trúc năng lực toán học ở lứa tuổi
học sinh bao gồm những thành phần sau:

Về mặt thu nhận những thơng tin tốn học: Đó là năng lực tri giác hình
thức hóa các tài liệu toán học, năng lực nắm được cấu trúc hình thức của
bài tốn.
Về mặt chế biến các thơng tin toán học
a. Năng lực tư duy logic trong phạm vi các quan hệ số lượng và các
quan hệ không gian, các ký hiệu dấu và ký hiệu số, năng lực suy nghĩ với
các ký hiệu toán học.
b. Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng quan hệ,
các phép toán của toán học.
Năng lực rút ngắn quá trình suy luận tốn học và hệ thống phép tốn
tương ứng, năng lực suy nghĩ với những cấu trúc được rút gọn.
Tính mềm dẻo của q trình tư duy trong hoạt động toán học.
Khuynh hướng đạt tới sự rõ ràng, sự đơn giản tính tiết kiệm và tính
hợp lý của lời giải. Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hướng suy
nghĩ, dạng tư duy thuận chuyển qua tư duy ngược (tính đảo ngược của q
trình tư duy khi suy luận tốn học).
Về mặt lưu trữ các thơng tin tốn học: đó là trí nhớ tốn học (tức là trí
nhớ khái qt về các quan hệ tốn học, về các đặc điểm điển hình, các sơ đồ
suy luận và chứng minh, về các phương pháp giải toán và các nguyên tắc
xem xét các bài toán ấy).


15

Về thành phần tổng hợp chung thì đó là khuynh hướng tốn học trí
tuệ.
Các thành phần trên có liên quan chặt chẽ với nhau, có ảnh hưởng lẫn
nhau tạo thành một hệ thống duy nhất, một cấu trúc hoàn chỉnh, một tư chất
của tốn học trí tuệ (hay thường gọi là “năng khiếu toán học”).
Nhà trường là nơi cung cấp cho học sinh những cơ sở đầu tiên của

toán học, khơng ai khác chính thầy giáo là những người hoặc vun xới cho
mầm mống năng khiếu toán học ở học sinh hoặc thui chột chúng. Chính vì
vậy, việc phát triển năng lực toán học ở học sinh là nhiệm vụ đặc biệt quan
trọng của người thầy giáo.
3. BÀI TẬP TOÁN.
3.1. Phân loại
Các bài toán thường được chia thành các dạng sau:
Loại 1: Các bài tốn có thể giải được bằng cách vận dụng trực tiếp quy
tắc mẫu hoặc tuân theo một cách máy móc các ví dụ mẫu vừa có ngay trước
mắt học sinh do thầy giáo vừa ra.
Loại 2: Loại này khó hơn, nó được giải tuy cũng vận dụng trực tiếp
quy tắc đã được học hoặc tuân thủ máy móc theo ví dụ mẫu đã biết nhưng
học sinh chưa rõ nên chọn quy tắc nào nên cần có sự chọn lọc trong phạm
vi nào đó.
Loại 3: Loại này khó hơn nữa, để giải chúng học sinh cần phải kết hợp
một số quy tắc và ví dụ đã học. Bài tốn sẽ khơng q khó nếu có một tổ
hợp nào đấy tương tự với nó (nhưng khơng phải là chính nó). Nếu tổ hợp
này hồn tồn mới hoặc cần phải phối hợp nhiều thành phần thì bài tốn
thường rất khó.
3.2. Chức năng của bài tập tốn
Một bài tốn dù khó hay dễ, dù để tạo tiền đề xuất phát hay gợi động
cơ, kiểm tra, đánh giá… cũng có các chức năng sau:


16

+ Chức năng dạy học: Nhằm hình thành củng cố cho học sinh những
tri thức, kỹ năng kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.
+ Chức năng giáo dục: Hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật
biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và nhân cách đạo đức của con

người.
+ Chức năng phát triển: Nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh
đặc biệt là rèn luyện thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy
khoa học.
+ Chức năng kiểm tra: Bài tập toán học nhằm đánh giá mức độ, kết
quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học tốn và trình độ phát triển
của học sinh. Tác dụng của mỗi bài tập toán phụ thuộc vào nội dung cũng
như khả năng khai thác lời giải của nó.
3.3. Vai trị của giải bài tập tốn
Bài tập tốn có vai trị to lớn trong việc dạy và học tốn. Bài tập tốn
là phương tiện có hiệu quả và không thể thay thế trong việc giúp học sinh
nắm vững tri thức, phát triển tư duy hình thành kỹ năng, kỹ xảo cho học
sinh.
Nói về vai trị vị trí của việc giải bài tập nhà sư phạm, nhà giáo dục
học G.polia viết: Nắm vững mơn tốn đó là “biết giải bài tốn khơng chỉ
các bài tốn thơng thường mà cả những bài tốn địi hỏi tư duy độc lập nhất
định, có óc phán đốn, tính độc đáo sáng tạo”.
A.A.Xtotiar trong “Giáo dục mơn học tốn” cho rằng: “dạy học qua
bài tập toán là vấn đề đã biết từ lâu và được thảo luận rộng rãi trong các tài
liệu giáo dục tốn học. Tuy nhiên cho đến nay vẫn chưa có cách giải quyết
thỏa đáng. Cách giải quyết thích hợp địi hỏi phải soạn thảo hệ thống bài tập
tương ứng với chương trình và thích hợp với hoạt động tốn học…”.
P.M.Ecdunhiep đã nói “việc nắm vững tốn học được thực hiện trong
chương trình giải các bài tập, và vì thế sự phát triển của các phương pháp


17

dạy học toán sẽ đi theo con đường vận dụng các hình thức và các dạng mới
của các bài tập tốn nhằm kích thích tính tích cực tư duy của học sinh”.

Ở nước ta, các tác giả Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thụy trong
“Phương pháp dạy học mơn tốn” đã nhấn mạnh: Ở trường phổ thơng, dạy
tốn là dạy hoạt động tốn học. Đối với học sinh, có thể xem việc giải toán
là hoạt động chủ yếu của hoạt động tốn học. Các bài tốn ở trường phổ
thơng là một phương tiện rất có hiệu quả, hoạt động giải bài tập toán là điều
kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học tốn ở trường phổ thơng.
Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập tốn có vai trị quyết
định đối với chất lượng dạy học tốn, dạy học giải bài tập tốn có vai trị to
lớn góp phần bồi dưỡng học sinh giỏi, đó là một trong những phương pháp
để bồi dưỡng học sinh khá giỏi
4. NĂNG LỰC GIẢI BÀI TẬP TOÁN
Đây là một trong những năng lực học tập tốn. Nói đến năng lực giải
tốn là nói đến khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết bài toán. Năng
lực giải toán được thể hiện qua các mặt sau:
+ Tìm và liên hệ những kiến thức đầu vào và dữ kiện đầu ra.
+ Khả năng vận dụng các phương pháp toán học khác nhau để giải bài
tốn. Nhìn nhận bài tốn dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Từ đó vận dụng
kiến thức để giải quyết những bài toán.
+ Khả năng chuyển từ bài tốn khó thành bài tốn đơn giản hơn, huy
động các kiến thức có liên quan đến khái niệm, những khái niệm cơ bản đó
lựa chọn trong số kiến thức đó gần gũi với bài tốn nhất để giải quyết nó.
Nhà toán học A.Ia.Khin-xin cho rằng những nét độc đáo của phong
cách tư duy toán học là:
* Suy luận theo sơ đồ logic chiếm ưu thế;
* Khuynh hướng đi tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích;


18

* Phân chia rành mạch các bước suy luận;

* Sử dụng chính xác các ký hiệu;
Tính có căn cứ đầy đủ các lập luận, đặc biệt không bao giờ chấp nhận
những khái qt khơng có suy luận, những phép tương tự khơng có cơ sở
5. BỒI DƢỠNG NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI.
Trong phiên họp ngày 30/3/1966 của ủy ban thường vụ Quốc hội bàn
về cải cách giáo dục, chủ tịch ủy ban thường vụ Quốc hội Trường Chinh đã
nêu: "vấn đề phát triển năng khiếu của học sinh rất quan trọng. Học sinh
cần phải học kiến thức phổ thơng tồn diện, nhưng đối với các em có năng
khiếu cần có kế hoạch hướng dẫn riêng".
Trong buổi nói chuyện tại hội nghị sơ kết kinh nghiệm các lớp bồi
dưỡng học sinh giỏi toán ngày 20/9/1968,Thủ Tướng Phạm Văn Đồng nhấn
mạnh: "Nếu trong tất cả các em vào trường phổ thơng từ cấp I đến cấp II, ta
có cách gì phát hiện được phần lớn và đừng bỏ xót những em có năng khiếu
đặc biệt, rồi ta có cách dạy...nâng đỡ cho các em phát huy tài năng của các
em, nếu ta làm việc này qua cấp II, cấp III rồi lên nữa thì trong 10 năm nữa
ta có thể có những nhà tốn học trẻ tuổi có triển vọng ghê gớm. Đối với
ngành toán phải làm như vậy mới kịp người ta".
Tuân theo lời chỉ dẫn của Đảng và chính phủ Bộ giáo dục đã quan tâm
từ lâu đến công tác phát hiện và bồi dưỡng học sinh có năng khiếu tốn, đây
là một vấn đề nóng hổi của việc dạy toán ở nước ta hiện nay.
Bồi dưỡng học sinh giỏi là một hình thức dạy học phân hóa. Việc này
cần được tiến hành ngay cả trong những tiết học đồng loạt bằng những biện
pháp phân hóa nội tại thích hợp. Hai hình thức bồi dưỡng học sinh giỏi
thường dùng là: nhóm học sinh giỏi tốn và lớp phổ thơng chun tốn.
5.1.Nhóm học sinh giỏi tốn


19

Nhóm học sinh giỏi tốn bao gồm những học sinh cùng một lớp hoặc

cùng một khối lớp có khả năng về tốn, u thích mơn tốn và tự nguyện
xin bồi dưỡng nâng cao mơn này.
* Mục đích bồi dưỡng nhóm học sinh giỏi toán là:
+ Nâng cao hứng thú học tập mơn tốn
+ Đào sâu và mở rộng tri thức trong giáo trình
+ Làm cho học sinh thấy rõ hơn vai trị của tốn học trong đời sống
+ Bồi dưỡng cho học sinh tác phong, phương pháp nghiên cứu, thói
quen tự đọc sách
* Nội dung bồi dưỡng nhóm học sinh giỏi tốn:
+ Nghe thuyết trình những tri thức tốn học bổ sung cho nội khóa
+ Giải những bài tập nâng cao:
. Bài tập tổ hợp đòi hỏi vận dụng phối hợp nhiều kiến thức
. Bài tập nghiên cứu yêu cầu học sinh độc lập cao độ trong các khâu
phát hiện, giải quyết vấn đề, trình bày và bảo vệ kết quả.
. Bài tập nghiên cứu yêu cầu học sinh vận dụng tri thức toán học để
giải quyết vấn đề trong thực tiễn có thể mang tính chất địa phương và thời
sự
. Bài tập toán vui
. Học chuyên đề
5.2. Lớp phổ thơng chun tốn
Hiện nay ở nước ta, những học sinh giỏi tốn ở trường phổ thơng
thường được tập hợp thành những lớp đặc biệt giao cho một số trường đại
học hoặc tuyển chọn những giáo viên giỏi toán ở trường phổ thơng phụ
trách. Đó là những lớp phổ thơng chun toán.
Mục tiêu của những lớp này là phát hiện những học sinh có năng lực
tốn học bồi dưỡng các em phát triển tốt về mặt này trên cơ sở giáo dục


20

tồn diện, góp phần đào tạo đội ngũ cán bộ khoa học kĩ thuật giỏi, trong đó
có thể trở thành nhân tài cho đất nước.
Nội dung mơn tốn ở các lớp phổ thơng chun tốn về cơ bản vẫn
giống là nội dung môn này ở trường phổ thông nhưng bổ sung một số yếu
tố theo bốn hướng sau:
+ Mở rộng đào sâu hệ thống hóa kiến thức cơ bản trong sách giáo
khoa
+ Chú trọng những ứng dụng thực tiễn của tốn học
+ Tăng cường một số yếu tố của lơgic học
+ Bổ sung một số yếu tố của toán học hiện đại.


21

CHƢƠNG 2:
HỆ THỐNG MỘT SỐ BÀI TẬP CÙNG PHƢƠNG PHÁP
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
1. MỘT SỐ DẠNG PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN

1.1. Phƣơng trình vơ định bậc nhất
1.1.1. Phƣơng trình vơ định bậc nhất hai ẩn
Dạng tổng quát của phương trình vô định bậc nhất hai ẩn x và y là:
a.x+b.y+c=0, ở đây a, b, c  Z (*)
. Cách giải:
-Rút gọn phương trình, chú ý đến tính chất chia hết của các ẩn.
- Biểu thị ẩn mà hệ số có giá trị tuyệt đối nhỏ (chẳng hạn ẩn x) theo
ẩn kia.
- Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức của ẩn x.
- Đặt điều kiện để phân số trong biểu thức của x bằng một số nguyên t,
ta được một phương trình bậc nhất hai ẩn y và t.

- Cứ tiếp tục làm như trên cho đến khi các ẩn đều được biểu thị dưới
dạng một đa thức với các hệ số nguyên.
. Chú ý: Ngoài cách giải bằng phương pháp tách riêng giá trị nguyên như
trên ta có thể giải phương trình a.x+b.y+c=0 theo phương pháp tìm một
nghiệm riêng nhờ áp dụng định lý sau:
Nếu trong phưong trình (*) những hệ số a,b nguyên tố cùng nhau và
(x 0 , y 0 ) là một nghiệm nguyên thì tất cả nghiệm ngun của phương trrình

nhận từ cơng thức:

x  x 0  bt

y  y 0  at

t Z


22

Ví dụ 1: Tìm nghiệm ngun của phương trình: 11x+18y = 120. (1)
Giải: Chú ý đến tính chia hết, ta thấy 11x  6 nên x  6. Đặt x = 6k, k Z.
Thay vào (1) và rút gọn ta có: 11k+3y = 20.
Biểu thị ẩn mà hệ số của nó có giá trị tuyệt đối nhỏ (là y) theo k ta
được: y =

20 11k
3

Tách riêng giá trị nguyên ở biểu thức này: y = 7 - 4k +
Lại đặt

k 1
3

k 1
 t, t  Z , suy ra k = 3t+1. Do đó:
3

y = 7 - 4(3t + 1) + t = 3 - 11t; x = 6k = 6(3t + 1) = 18t + 6
Thay các biểu thức của x và y vào (1), phương trình được nghiệm
đúng.
x  6  18t

Vậy các nghiệm nguyên của (1) là: 

 y  3  11t

tZ

Ví dụ 2: Tìm các nghiệm nguyên của: 12x - 7y = 45
Giải: Đặt y = 3k, k  Z. Thay vào phương trình đã cho và rút gọn ta có:
4x - 7k = 15.
Đặt

k 1
 t  k  4t  1 .Do đó:
4
y = 3(4t-1) = 12t-3; x = 7t + 2

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên của:

9x + 20y = 547

Giải: Từ phương trình đã cho ta có: x =
Đặt

547  20y
21  y
 61 2y 
9
9

1 y
 t  y  9t  1, t  Z  x  63  20t
9

Ví dụ 4: Tìm nghiệm ngun của phương trình: 11x + 8y = 73.
Giải: Từ phương trình đã cho ta có: y =

73  11x
33  x 
.
 8 x 
8
8


23

Đặt

3 x
 t  x  3  8t  y  5  11t,t  Z
8

Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:
a. 12x - 19y + 21 = 0
b. 24x + 35y = 365
c. 24x + 7y = 73.
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
6x + 8y = m+1, với m là số ngun cho trước.
1.1.2. Phƣơng trình vơ định bậc nhất nhiều ẩn.
Dạng chung của phương trình vơ định bậc nhất k ẩn là:
a1x1  a 2 x 2  ...  a k x k  b; k  1; a1 , a 2 , ..., a k , b Z;
a1  0, a 2  0, ..., a k  0

1

Câu hỏi đặt ra là giải phương trình vô định bậc nhất nhiều ẩn như thế
nào, đặc biệt là khi số ẩn lớn hơn 2. Ta sẽ dùng tư tưởng sau: Đưa phương
trình vơ định k ẩn về phương trình vơ định k-1 ẩn. Ta tiếp tục q trình đó
cuối cùng đưa về giải phương trình vơ định 2 ẩn.
Qui trình tìm nghiệm:
Ta kí hiệu d là ước chung lớn nhất của các hệ số a k 1 , a k

a k 1 , a k   d . Ta có: a k 1  da 'k 1,



a k  d a 'k ,



ở đây a 'k 1 , a 'k  1 . Phương trình đã cho viết lại:





a1x1  ...  a k  2 x k  2  d a 'k 1x k 1  a 'k x k  b (2)

Ta đưa vào ẩn mới u bằng đẳng thức: a 'k 1x k 1  a 'k x k  u

(3).


24

Từ (2) viết lại:
a1x1  ...  a k  2 x k  2  du  b (4)

Cho x1 ,..., x k  2 , u là một nghiệm của phương trình (4). Với số xác
định u, phương trình (3) có nghiệm x k 1 , x k vì ước số chung lớn nhất của
hai số a 'k 1 , a 'k là 1. Nhưng những số x1 , x 2 ,..., x k là nghiệm của (2) mà nó
tương đương với phương trình dã cho. Dễ kết luận rằng mọi nghiệm nguyên
của phương trình đã cho là nghiệm của (4) với điều kiện (3). Tất nhiên nếu
phương trình vơ định đã cho khơng có nghiệm ngun thì (4) cũng khơng
có nghiệm ngun.
Như vậy từ phương trình vơ định k ẩn ta đưa về phương trình vơ định

k-1 ẩn và tiếp tục như vậy cuối cùng nhận được phương trình vơ định 2 ẩn.
Mỗi lần giảm số ẩn như vậy ta lại giải phương trình 2 ẩn. Cuối cùng ta được
hệ nghiệm phụ thuộc vào k-1 tham số.
Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên: 2x + 3y + 4z = 5
Giải: Ta đưa vào ẩn mới u = 3y + 4z. Với u là số nguyên, phương trình :
3y + 4z = u có nghiệm ngun y, z vì (3,4)=1 và 1 là ước số của u. Một
nghiệm nguyên riêng của y, z là: y 0  4  u, z 0  3  u , khi đó tất cả

y  4  u  4t1
nghiệm nguyên là: 
z  u  3  3t1

t1  Z

Từ phương trình đã cho ta có: 2x + u = 5. Ta tìm tất cả nghiệm nguyên
của phương trình này. Một nghiệm nguyên riêng là x 0  0, y  u 0  5 , khi

x  t 2
t2  Z
đó tất cả nghiệm ngun của phương trình này là: 
u

5

2t

2
Bằng cách thay u và các biểu thức của y, z ta nhận được công thức
nghiệm:
x  t 2 ; y  1  2t 2  4t 1 ; z  2  2t 2  3t 1

25

Công thức nhận được cho tất cả các nghiệm của phương trình đã cho.
Ví dụ 2: Tìm nghiệm ngun của phương trình: 2x + 3y + 4z + 6t = 5.
Giải: Ta đưa vào ẩn mới u = 2z + 3t, phương trình đã cho viết lại:
2x +3y + 2u = 5. Phương trình sau cùng lại đưa vào ẩn mới
v = 3y + 2u và nhận được phương trình 2x + v = 5
Giải phương trình 2z + 3t = u trong số nguyên đối với z, t, ta có
nghiệm riêng z 0  u, t  u , khi đó tất cả các nghiệm là:

z  u  3t1

t  u  2t1

t1  Z

Nghiệm nguyên y, u của 3y + 2u = v với một nghiệm nguyên riêng
y 0  v; u 0   v ; khi đó tất cả các nghiệm ngun của phương trình đang

xét là:

y  v  2t 2
t2 Z

v

3


2t

2
Tất cả những nghiệm nguyên của 2x + v = 5 với một nghiệm nguyên
riêng x 0  1, v 0  3 , khi đó tất cả nghiệm ngun của phương trình đang
xét là:

x  1  t 3
t3  Z

v

3

2t
3

Vậy nghiệm của phương trình đã cho ta tính được:
x  1  t 3 ; y  3  2t 3  2t 2 ;
z  3  2t 3  3t 2  3t 1; t  3  2t 3  3t 2  2t 1

Bài tập đề nghị:
Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:
a. 2x + 3y - 5z = 4
b. 5x – y + 2z = 3