Tương đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh

1

Mục lục
Trang
Lời nói đầu...2
Ch-ơng I. Các khái niệm cơ bản trên nửa nhóm..4
1.1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập.4
1.2. Băng và nửa dàn...8
Ch-ơng II. T-ơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh..11
2.1. Một số kết quả về nửa nhóm giao hoán...11
2.2. T-ơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh13
Kết luận ..27
Tài liệu tham khảo.28


2

Lời nói đầu
T-ơng đẳng là một trong những khái niệm cơ bản nhất của lý thuyết nửa
nhóm. Thông qua việc mô tả t-ơng đẳng trên một lớp nửa nhóm nào đó chúng ta sẽ
hiểu đ-ợc sâu sắc cấu trúc của các lớp nửa nhóm đó. Một số t-ơng đẳng trên các
lớp nửa nhóm đà đ-ợc khảo sát nh- t-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc (Vagner &
Preston), nửa nhóm chính quy (Pertric), nửa nhóm các phép biến đổi (Mantsev)
Khóa luận của chúng tôi nhằm mô tả t-ơng đẳng trên lớp nửa nhóm giao
hoán hữu hạn sinh thông qua việc chứng minh một cách chi tiết Định lý Rédéi nói
rằng: Nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh là nửa nhóm xác định hữu hạn.
Khóa luận gồm hai ch-ơng.
Ch-ơng I. Các khái niệm cơ bản trên nửa nhóm.
Trong ch-ơng này, chúng tôi trình bày các khái niệm, tính chất liên quan đến
nửa nhóm các quan hệ trên một tập, t-ơng đẳng và nửa nhóm th-ơng, băng và nửa
dàn để làm cơ sở cho việc trình bày ch-ơng sau.

1.1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập.
1.2. Băng và nửa dàn.
Ch-ơng II. T-ơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh.
Đây là phần chính của khóa luận. Trong ch-ơng này, tr-ớc hết chúng tôi
trình bày lại một số kết quả về nửa nhóm giao hoán để làm cơ sở cho việc trình bày
nội dung chính của khóa luận: T-ơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh.
2.1. Một số kết quả về nửa nhóm giao hoán. Trình bày một cách chi tiết các
kết quả của T. Tamura và N. Kimura chứng tỏ rằng một nửa nhóm giao hoán biểu
diễn đ-ợc một cách duy nhất d-ới dạng một dàn các nửa nhóm Archimede (Định lý
2.1.5).
2.2. T-ơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh. Trong tiết này, tr-ớc
hết chúng tôi trình bày lại một cách t-ờng minh Định lý mô tả các t-ơng đẳng trên
nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh trên cơ sở đó chứng minh chi tiết Định lý của
Rédéi: Nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh là nửa nhóm xác định hữu hạn (Định lý
2.2.22). Việc xây dựng các tính chất của t-ơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu
hạn sinh là vấn đề chúng tôi đang tiếp tục nghiªn cøu.


3

Khóa luận đ-ợc hoàn thành d-ới sự h-ớng dẫn của thầy PGS.TS Lê Quốc
Hán. Nhân dịp này, tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy vì đÃ
có nhiều chỉ bảo, giúp đỡ nhiệt tình và những góp ý thiết thực cho tác giả trong quá
trình hoàn thành khóa luận.
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số; các thầy
giáo, cô giáo trong khoa Toán tr-ờng Đại Học Vinh và tập thể lớp 47B Toán đÃ
động viên, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khoá luận này.
Do trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận chắc chắn còn nhiều thiếu sót,
tác giả mong nhận đ-ợc sự góp ý, chỉ bảo của bạn đọc để khóa luận đ-ợc hoàn
thiện hơn.

Vinh, tháng 05 năm 2010.
Tác giả


4

Ch-ơng I
Các khái niệm cơ bản về t-ơng đẳng trên nửa nhóm
1.1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập
Trong ch-ơng này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất mở đầu
của lý thuyết nửa nhóm các quan hệ trên một tập.
1.1.1. Định nghĩa. i) Giả sử

của

đ-ợc gọi là một quan hệ trên tập .

tích Descartes
Giả sử

. Nếu

thì ta cũng sẽ viết
ii) Nếu

là một tập hợp tuỳ ý khác rỗng. Khi đó tập con

, trong đó

là các phần tử thuộc tập

và nói nằm trong quan hệ

và

với .

là các quan hệ trên , thì cái hợp thành

định nghĩa nh- sau:

nếu tồn tại phần tử

của chúng đ-ợc

sao cho

và

.
Do đó

.

Phép toán hai ngôi ( ) là kết hợp. Thật vậy, nếu

và

mỗi một trong các điều khẳng định

)

là các quan hệ trên , thì
và

t-ơng đ-ơng với điều khẳng định: tồn tại các phần tử
và

. Do đó, tập

là một nửa nhóm đối với phép toán ( ). Nửa

x

x

sao cho:
tất cả quan hệ hai ngôi trên

đ-ợc gọi là nửa nhóm các quan hệ

trên tập .
1.1.2. Một số quan hệ hai ngôi đặc biệt.
1) Giả sử

là một tập hợp tuỳ ý. Quan hệ đ-ợc gọi là quan hệ bằng nhau

(hay quan hệ đ-ờng chÐo) nÕu
2) Quan hƯ

. DƠ thÊy

khi vµ chØ khi

, víi mọi

đ-ợc gọi là quan hệ phổ dụng nếu
x

với mọi

là phần tử đơn vị và
là phần tử không của nửa nhóm

3) Giả sử
sau:

x

.

. Khi đó, quan hệ ng-ợc
. Dễ thấy:

của

x

.

đ-ợc định nghÜa nh-


5

;
4) Giả sử
kéo theo
trong

x

x

. Vì

x

x

. Khi đó

nếu

.

là tập con của

gồm tất cả các tập con của

, nghĩa là

, nên ta có thể thực hiện

các phép toán Boole: hợp, giao và phần bù.

5) Giả sử

là một quan hệ trên

(và do đó

. Khi đó

; quan hệ

gọi là bắc cầu nếu

đ-ợc gọi là phản xạ nếu

. Một quan hệ

là phản xạ, đối xứng, bắc cầu. Khi đó

đ-ợc gọi là đối xứng nếu

trên

đ-ợc gọi là t-ơng đ-ơng nếu

là một luỹ đẳng của nửa nhóm

1.1.3. Phân hoạch một tập hợp. Giả sử

và đ-ợc

là một quan hệ tuỳ ý trên

x

.
và

.

Khi đó, ta sẽ ký hiệu
và
Nếu

là quan hệ t-ơng đ-ơng thì hai điều kiện sau đây đ-ợc thoả mÃn:

i)

với mọi

.

ii)
Nh- vậy, họ các tập

, trong đó

là một phân hoạch của tập , tức là

các tập đó không giao nhau và hợp của chúng bằng . Ta ký hiệu họ đó là
gọi

là lớp t-ơng đ-ơng của tập

của tập
khi

theo mod chứa . Đảo lại, mọi phân hoạch

xác định một quan hệ t-ơng đ-ơng

và

xạ tự nhiên hay ánh xạ chính tắc từ tập

1.1.4. Bổ đề. Nếu

với mỗi
và

1.1.5. Định nghĩa. Giả sử

khi và chỉ

. Ta gọi ánh xạ

là ánh

và ký hiệu ánh xạ đó là

.

.

và

là nửa nhóm và

gọi là ổn định bên phải (trái) nếu
.

lên tập

, cụ thể

là các quan hệ t-ơng đ-ơng trên

cũng là quan hệ t-ơng đ-ơng trên

mọi

mà

thuộc cùng một tập của phân hoạch

Chú ý rằng

. Ta

và

=

thì

.
là một quan hệ trên . Khi đó
kéo theo

(hay

đ-ợc
, với


6

Quan hệ

đ-ợc gọi là t-ơng đẳng phải (trái) nếu

và ổn định phải (trái), nghĩa là với mọi
Quan hệ

là quan hệ t-ơng đ-ơng

thì

đ-ợc gọi là một t-ơng đẳng trên

nếu

(hay

.

vừa là t-ơng đẳng phải

vừa là t-ơng đẳng trái.
1.1.6. Bổ đề [5]. Một quan hệ t-ơng đ-ơng
nếu và chỉ nếu với mọi

trên nửa nhóm

là một t-ơng đẳng

có:
.

1.1.7. Định nghĩa. Giả sử

là một t-ơng đẳng trên

và giả sử

là tập hợp tất cả các lớp t-ơng đẳng của . Khi đó t-ơng ứng
một phép toán hai ngôi trên

và với phép toán đó

đ-ợc gọi là nửa nhóm th-ơng (của

là

trở thành một nửa nhóm

modun ).

Để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.7 hợp lý, chỉ cần chứng tỏ phép toán hai ngôi
xác định trong

nh- trên có tính chất kết hợp. Thật vậy, với mọi

:

1.1.8. Mệnh đề [5].
i) Nếu

là một họ đẳng của , thì

cũng là một t-ơng

đẳng của .
ii) Giả sử
đẳng trên

là một quan hệ trên . Thế thì
là t-ơng đẳng bé nhất của

1.1.9. Định nghĩa. Giả sử
cho bởi

là một t-ơng

chứa .

là một t-ơng đẳng trên . Khi đó ánh xạ
là một toàn cấu và đ-ợc gọi là toàn cấu chính

tắc.
Vì
chứng minh

là một toàn ánh, nên để chứng tỏ Định nghĩa 1.1.9 hợp lý ta chỉ cần
đồng cấu. Thật vậy, với mọi

, ta có:
là một đồng cấu.


7

1.1.10. Định nghĩa. Giả sử

là một đồng cấu nửa nhóm. Khi đó quan hệ

xác định bởi:
hạt nhân của

là một t-ơng đẳng trên , đ-ợc gọi là
và đ-ợc kí hiệu là

. Chúng ta cũng viết:

trong đó

và

,

đ-ợc hình dung nh- là tích các

quan hệ (thực hiện từ trái qua phải).
Chú ý.

là một t-ơng đẳng đ-ợc suy trực tiếp từ đồng cấu nửa nhóm và

cách xác định

. Nếu

là một t-ơng đẳng trên

thì

.

1.1.11. Hệ quả. Mỗi t-ơng đẳng là một hạt nhân của một đồng cấu nào đó.
1.1.12. Định lý. Giả sử

là một đồng cÊu cđa nưa nhãm t ý. Tån t¹i

duy nhÊt phÐp nhúng

sao cho biểu đồ sau giao hoán:

nghĩa là

.

1.1.13. Định lý (định lý đồng cấu nửa nhóm) [2].Giả sử
cấu nửa nhóm và

là một đồng

là một t-ơng đẳng của . Thế thì tồn tại một đồng

cấu duy nhất

sao cho

, trong đó

là toàn

cấu chính tắc.
Hơn nữa, nếu

là một đồng cấu thoả mÃn

thì

.
1.1.14. Định lý (định lý đẳng cấu) [2]. Giả sử
thì

.

1.1.15. Bổ đề (định lý đồng cấu cảm sinh) [2].

là một đồng cấu. ThÕ


8

Giả sử

và

là các đồng cấu nửa nhóm sao cho

(tức là

.

Khi đó tồn tại một đồng cấu duy nhất
1.1.16. Định nghĩa. Nửa nhóm
một toàn cấu

.

gọi là ảnh đồng cấu của nửa nhóm

nếu tồn tại

.

1.1.17. Hệ quả [2]. Nếu
thì

sao cho

là các t-ơng đẳng trên nửa nhóm

là ảnh đồng cấu của

sao cho

.

1.2. Băng và nửa dàn
Tr-ớc hết ta nhắc lại rằng quan hệ thứ tự

đ-ợc gọi là một thứ

trên một tập



tự bộ phận nếu nó phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu. Ta sẽ dùng kí hiệu
ch

v

.

1.2.1. B [5]. Giả sử

là tập hợp tất cả các t-ơng đẳng của nửa nhóm . Khi đó

quan hệ

bởi:

xác định trên

(vi

E ) nu

.

là một thứ tự bộ phận trên .
Chứng minh. Vì

nên

Hơn nữa, nếu
Do đó quan hệ

v

, do đó

nên quan hệ

thì

v

phản xạ.
nên

.

phản đối xứng.

Ta lại có nếu

v

thì

v

nên
Do đó
1.2.2. Chú ý. Quan hệ

nên quan hệ

bắc cầu.

xác định trong Bổ đề 1.2.1 đ-ợc gọi là thứ tự bộ phận tự

nhiên trên .
2.1.3. Định nghĩa. Giả sử
i) Phần tử

là một thứ tự bộ phận trên tập

đ-ợc gọi là cận trên của

nu

và

là tập con của .

với mọi

;


9

ii) Cận trên

đ-ợc gọi là cận trên bé nhất hay hợp của tập

của

với mọi cận trên

của

(nếu

, nu

có một hợp trong , thì rõ ràng hợp đó là

duy nhất);
đ-ợc gọi là cận d-ới của

iii) Phần tử
iv) Cận d-ới

với mọi

;

đ-ợc gọi là cËn d-íi lín nhÊt hay giao cđa

cđa

víi mäi cËn d-íi

nếu

cđa

(nÕu

nÕu

cã một giao trong , thì rõ ràng giao đó là

duy nhất);
đ-ợc gọi là nửa dàn trên (hay d-ới), nếu mỗi tập

v) Tập sắp thứ tự bộ phận
con gồm hai phần tử

của

mỗi tập con hữu hạn của
đ-ợc kí hiệu là

có hợp (hay giao) trong ; trong tr-ờng hợp đó

có hợp (hay giao) trong

(hay

. Hợp (giao) của

sẽ

);

vi) Một dàn là một tập sắp thứ tự bộ phận, đồng thời là nửa dàn trên và nửa
dàn d-ới;
vii) Dàn

đ-ợc gọi là dàn đầy đủ, nếu mỗi tập con

có một hợp và một

giao.
1.2.4. Định nghĩa. Nửa nhóm

đ-ợc gọi là một băng nếu mọi phần tử của

đều là

luỹ đẳng.
Giả sử
(

là một băng. Khi đó,

với

và

nếu và chỉ nếu

đ-ợc sắp thứ tự bộ phận tự nhiên.
).

1.2.5. Mệnh đề. Một băng giao hoán là một nửa dàn d-ới đối víi thø tù bé phËn tù
nhiªn trªn . Giao

cđa hai phần tử

và

của

trùng với tích

của chúng.

Đảo lại, một nửa dàn d-ới là một băng giao hoán đối với phép giao.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.1, quan hệ
chứng tỏ rằng tích
của

là một thứ tự bộ phận trên

của hai phần tử

. Ta

trùng với cận d-ới lớn nhất

.
Từ

(do
v

suy ra

là băng)
.


10

Giả sử

là một băng giao hoán. Khi đó, nếu đặt
thì

khi và chỉ khi

là nửa dàn trên.

Từ đây về sau, ta sẽ dùng nửa dàn nh- đồng nghĩa với từ băng giao hoán. Hơn
nữa, từ nửa dàn sẽ đ-ợc hiểu là nửa dàn d-ới, nếu không nói thêm gì.
1.2.6. Định nghĩa. Nếu nửa nhóm
con rời nhau

đ-ợc phân chia thành hợp của các nửa nhóm

( là tập hợp các chỉ số nào đó) thì ta nói rằng

đ-ợc thành các nửa nhóm con

phân tích

.

Chú ý rằng sự phân tích trên chỉ có ý nghĩa nếu các nửa nhóm con

thuộc

vào lớp nửa nhóm nào hẹp hơn .
Giả sử
cặp

là sự phân tích của các nửa nhóm

, tồn tại

trong

để cho

bằng cách đặt

ánh xạ
nhóm con

, khi đó

trở thành một băng đối

là hợp băng các nửa nhóm

xác định bởi

nếu

.

là một toàn cấu và các nửa

là các lớp t-ơng đẳng hạt nhân Ker . Đảo lại, nếu

từ một nửa nhóm

lên một băng

là một nửa nhóm con của
.

. Ta định nghĩa một phép toán đại số

nếu

với phép toán đó. Ta nói rằng

sao cho với mọi

thì ảnh ng-ợc
và

là hợp của nửa dàn

l một toàn cấu
của mỗi phần tử
các nửa nhóm


11

Ch-ơng II
T-ơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh
Đây là phần chính của khóa luận. Trong ch-ơng này, tr-ớc hết chúng tôi
trình bày một số kết quả của nửa nhóm giao hoán để làm cơ sở cho việc trình bày
nội dung chính của khóa luận: T-ơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh.
2.1. Một số kết quả về nửa nhóm giao hoán
Ta nhắc lại rằng một nửa nhóm
toán trên

thoả mÃn

, mọi

2.1.1. Định nghĩa. Giả sử

, tồn tại các số nguyên d-ơng

sao cho

là một t-ơng đẳng trên nửa nhóm . Khi đó

đ-ợc gọi

n o đó thuộc .

là một băng.

2.1.3. Định nghĩa. Giả sử
trên

là nửa nhóm giao hoán tuỳ ý. Ta xây dựng quan hệ

nh- sau:

nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên d-ơng

v các phần tử

sao cho

2.1.4. Định lý. Quan hệ
và

trên một nửa nhóm giao hoán

là một t-ơng đẳng trên

là ảnh đồng cấu của nửa nhóm tối đại .

Chứng minh. Rõ ràng quan hệ
*Với

là phản xạ và đối xứng. Thật vậy:

, ta có :

thoả mÃn

phản xạ.
*Giả sử

và

Suy ra
Để chứng minh
Khi đó
Vì

giao hoán nên

đ-ợc gọi là nửa
v

với

2.1.2. Định nghĩa. Giả sử

là luỹ đẳng nếu

.

là một nửa nhóm giao hoán. Khi đó

nhóm Archimede nếu
v

đ-ợc gọi là nửa nhóm giao hoán, nếu phép

.
. Do đó

đối xứng.

bắc cầu, giả sử
với

.

là các số nguyên d-ơng và
hay


12

T-ơng tự ta có:

với

hay

Tiếp theo ta cần chứng minh
Giả sử

và

Suy ra

. Do đó

với

c. Và rõ ràng

. Vì

Ta có

với mọi

hoán. Vậy

,

.

nên

. Và

Do đó

hay có tính bắc cầu.

ổn định.

. Khi đó

hay

;

. Ta có:

nên

giao hoán nên

Vậy là t-ơng đẳng trên .

nên

là luỹ đẳng và do

giao hoán nên

là nửa dàn.

Chứng minh sẽ kết thúc nếu chúng ta chứng tỏ đ-ợc rằng

một luỹ đẳng

. Thế thì tồn tại các số nguyên

sao cho

.

là luỹ đẳng nên

Do đó

Suy ra

, (by)

các nửa nhóm Archimede

cấu nửa dàn tối đại

của , và các

,

và các phần tử

.

Nh- vậy

2.1.5. Định lý. Một nửa nhóm giao hoán
nửa dàn

đ-ợc chứa trong

bất kỳ trên .

Giả sử

Vì

giao

và ta kết luận

biểu diễn đ-ợc một cách duy nhất thành
. Nửa dàn

đẳng cấu với ảnh đồng

là các lớp t-ơng đ-ơng của

theo

modul .
Chứng minh. Giả sử

là một nửa nhóm giao hoán và

định nh- sau:

các phần tử
nửa dàn và

là quan hệ trên

đ-ợc xác

nếu và chỉ nếu tồn tại các số nguyên d-ơng
sao cho

Theo Định lý 2.1.4,

là ảnh đồng cấu của . Ta sẽ chứng tỏ

và
là một

là nửa dàn các nửa nhóm


13

Archimede nếu ta chứng tỏ đ-ợc rằng mỗi lớp t-ơng đ-ơng

của

modul

là một

nửa nhóm con Archimede của
Rõ ràng

là một nửa nhóm con của

Giả sử

vì

là luỹ đẳng.

, thế thì

với

nào đó thuộc

và

mà

và

là các số nguyên d-ơng nào đó. Thế thì
và
Từ đó,

và

Nh- vậy

Suy ra

và

nên

đối với , nghĩa là

Về tính duy nhất, giả sử

là một nửa dàn

là Archimede.

các nửa nhóm con Archimede

Chứng minh kết thúc nếu chứng tỏ đ-ợc rằng
modul , vì

là các lớp t-ơng đ-ơng

đ-ợc suy ra một cách trực tiếp.

Giả sử

Ta chứng tỏ rằng

cùng thuộc

cùng thuộc

thì mỗi phần tử chia hết một luỹ thừa của phần tử kia vì

Archimede, và do đó ta có
với
Giả sử

khi và chỉ khi

và giả sử

nào đó thuộc

khi đó

. Nh- vậy

và

và

Vì

. Nếu
là

nên ta có:

nguyên d-ơng nào đó.

. Thế thì

trong nửa dàn . Do đối xứng,

và do đó
nên

.

2.2. T-ơng đẳng trên nửa nhóm giao hoán hữu hạn sinh
2.2.1. Định nghĩa. Một nửa nhóm giao hoán tự do trên
hợp tất cả các từ

trong đó

thời bằng 0. Tích hai phần tử

là tập

là số nguyên không âm không đồng
và

là phần tử

. Nửa nhóm này đẳng cấu với tập tất cả các dÃy
, trong đó
cộng:

là số nguyên không âm không đồng thời bằng 0 vµ phÐp
.

14

Bây giờ ta xét nhóm tự do trên , đó là nửa nhóm giao hoán tự do trên
thêm phần tử đơn vị (là các dÃy

ghép

). Nó đẳng cấu với tích trực tiếp của các

nửa nhóm xyclic vô hạn ghép thêm đơn vị. Nó cũng đẳng cấu với vị nhóm
trong đó

và biểu diễn này chứng tỏ rằng một nửa

nhóm giao hoán tự do hữu hạn sinh là nửa nhóm xác định hữu hạn. Ta sẽ ký hiệu vị
nhóm giao hoán tự do xác định hữu hạn này là .
Rõ ràng

đ-ợc chứa trong một nhóm Abel tự do với

gồm tất cả các dÃy hữu hạn các số nguyên

phần tử hữu hạn sinh,
độ dài . Nhóm này sẽ

đ-ợc ký hiệu là .
2.2.2. Định nghĩa. Ta định nghĩa quan hệ

trên

nh- sau:
.

Quan hệ

là một thứ tự bộ phận trên , hơn nữa

là dàn đối với thứ tự bộ phận

đó. Nếu

thì

lần l-ợt là cận trên
đúng và cận d-ới đúng của tập

Thứ tự bộ phận
trong
phận

trong

tự dàn và

trên

, trong đó

max

và

min

đ-ợc mở rộng một cách tự nhiên lên , bằng cách đặt

khi và chỉ khi
và

. Khi đó

thì

là một dàn ®èi víi thø tù bé

. Nh- vËy

lµ mét nhãm Abel sắp thứ

là tập các phần tử d-ơng của nó.

Ta sẽ dùng các ký hiệu sau đây. Đối với

Thế thì

.

. Hơn nữa, với

, ta định nghĩa:

tuỳ ý, có:

.
Ta cũng chú ý rằng, nếu

và

thì

.


15

Bây giờ ta xét một t-ơng đẳng

tuỳ ý trên . Đặt t-ơng ứng

với tập hợp

(1).
Khi đó

là một nhóm con của . Thật vậy, giả sử
;

trong đó

vì

nên

Mỗi phần tử

,

thế thì

và
Do đó

là các phần tử thuộc

là một t-ơng đẳng.

là một nhóm con.

xác định một iđêan

của

cho bởi:
.

Theo định nghĩa (1) của nhóm con
và

tồn tại vì các phần tử

. Thế thì

sao cho

. Thật vậy:
và

.Ngoài ra vì

là một t-ơng đẳng nên
với mọi

thì

với mọi

2.2.3. Bổ đề. Giả sử
(1),

.
kéo theo

. Nh- vậy, nếu

. Chứng tỏ

là một iđêan của .

một t-ơng đẳng trên ,

là một nhóm con xác định bởi

là tập ánh xạ từ nhóm con vào tập các iđêan của

xác định bởi (2).

Thế thì:

với mọi
với mọi
trong đó

là ký hiệu của

Chứng minh. Các tính chất

và

với mọi

.

suy ra từ tính đối xứng và tính phản xạ của

quan hệ .
Để chứng minh

ta xét phần tử

Theo định nghĩa của iđêan

thì phần tư

.
thc

khi vµ chØ khi


16

.
T-ơng tự ta có
Đặt

.
. Thế thì

,
.

Theo tính chất bắc cầu của , từ
Suy ra

và

.

. Do đó

nghĩa là

. Từ đó

.

2.2.4. Định nghĩa.
(i) Giả sử
iđêan của

là một nhóm con tuỳ ý của

và

là một ánh xạ từ

vào tập các

thoả mÃn các tính chất (i) (iii) của Bổ đề 2.2.3. Khi đó cặp

đ-ợc gọi là một cặp ánh xạ - nhóm trên .
(ii) Một cặp ánh xạ - nhóm tuỳ ý

xác định bởi quan hệ

cho bởi

trên

(3).

2.2.5. Bổ đề. Nếu

là một cặp ánh xạ - nhóm thì quan hệ

xác định

bởi (3) là một t-ơng đẳng trên .
Chứng minh. Nếu

thì

vì

theo (i). Vậy

có tính chất phản xạ.
T-ơng tự, tính chất (ii) bảo đảm tính đối xứng của . Giả thiết rằng
và
của

. Thế thì

. Do đó vì

nên ta có

. Suy ra

nên

Để chứng minh tính chất bắc cầu của , giả sử
Khi đó

là một iđêan

và

kéo theo

và

.

; mà từ

và

suy ra
và
Do đó

ổn định.

.
.


17

áp dụng (iii), ta đ-ợc

.

Nghĩa là

.

Nh- vậy

.Và vì

luận rằng

nên ta kết

. Do đó

nên

Ta đà chứng minh rằng mỗi t-ơng đẳng

trên

xác định một ánh xạ - nhóm

và đảo lại mỗi cặp ánh xạ - nhóm
đẳng

có tính chất bắc cầu.

xác định một t-ơng

. Thực tế t-ơng ứng đó giữa các t-ơng đẳng và các cặp ánh xạ - nhóm là
là hàm hạt nhân liên kết với .

t-ơng ứng một một. Ta sẽ gọi
2.2.6. Định lý. ánh xạ

xác định bởi (1) và (2) là ánh xạ

t-ơng ứng một - một từ tập tất cả các t-ơng đẳng trên

lên tập tất cả các cặp ánh

xạ - nhóm liên kết với .ánh xạ ng-ợc của ánh xạ đó là ánh xạ:
xác định bởi (3).
Chứng minh. Giả sử
minh

là một t-ơng đẳng trên . Đặt

. Ta sẽ chứng

.

Vì mỗi một trong các điều kiện

kéo theo

và

nên ta chỉ cần chứng tỏ rằng đối với mỗi một phần tử
thì

khi và chỉ khi

, nghĩa là khi và chỉ

khi

. Nh-ng điều kiện này đ-ợc thoả

mÃn vì

và

Đảo lại, giả sử

là một cặp ánh xạ - nhóm tuỳ ý liên kết với . Đặt

. Ta chứng minh
Tr-ớc hết ta giả sử
tử nào đó sao cho
Nh- vậy
Giả sử

.

và

.

. Khi đó theo (1) ta có
. Nh-ng theo (3) từ

.
. Chọn

. Thế thì:

đối với các phÇn
suy ra

.


18

và

. Do đó theo (2) có

có

. Nh- vậy
Nếu

nghĩa là

thì

, nên theo (1)
.

khi vµ chØ khi

, nghÜa lµ khi
nh- vËy

.

TiÕp theo chúng ta chứng minh định lý Rédéi nói rằng mỗi t-ơng đẳng trên
là hữu hạn sinh.
2.2.7.Định nghĩa. Giả sử
tối tiểu của

nếu

và đối với

2.2.8. Định lý. Giả sử
tiểu của

là một tập con của . Khi đó
, từ

đ-ợc gọi là một phần tử

suy ra

hoặc

là một tập con của . Thế thì tập

là một tập hữu hạn. Ngoài ra nếu

.

tất cả các phần tử tối

thì tồn tại

sao cho

.
Chứng minh. Quy nạp theo số phần tử sinh

của nhóm . Định lý là hiển nhiên khi

. Giả sử mệnh đề đó thoả mÃn đối với nửa nhóm giao hoán tự do với
phần tử sinh. Xét tập các số nguyên có mặt tại thành phần thứ
thuộc

và giả sử

thuộc

mà thành phần thứ bằng . Theo giả thiết quy nạp, tập

tử tối tiểu của

là số bé nhất trong tập đó. Kí hiệu

là tập tất cả các phần tử tối tiểu của

bé hơn hoặc bằng .

với thành phần thứ

theo giả thiết quy nạp mỗi tập

Đặt

. Thế thì

là thành phần

.

. Khi đó mỗi phần tử thuộc

thoả mÃn hệ thức

tất cả các phần

. Giả sử

thứ lớn nhất của các phần tử thuộc tập (hữu hạn)

Kí hiệu

là tập tất cả các phần tử

là hữu hạn. Đặt

Đặt

trong các phần tử

là

hữu hạn.

là một tập hữu hạn. Hơn nữa

là tập

tất cả các phần tử tối tiểu của .
Thật vậy, giả sử
thì

với mọi

là một phần tử tối tiểu tuỳ ý của
. Vì vậy theo định nghĩa cña

. NÕu

ta cã


19

. Nh- vậy

và do đó mỗi phần tử thuộc

bé hơn , trái với giả thiết

là phần tử tối tiểu của .
Khẳng định cuối cùng của Định lý 2.2.8 suy ra từ chỗ mỗi chuỗi giảm thực sự
các phần tử của

là hữu hạn.

2.2.9. Định nghĩa. Tập tất cả các phần tử tối tiểu của tập con của

đ-ợc gọi là cơ

sở của tập .
2.2.10. Hệ quả. Giả sử

là một nhóm con của

một phần tử khác không. Thế thì
cơ sở của tập

và

và vì vậy

Nh- vậy hoặc

. Thế thì tồn tại

sao cho

.

hoặc

sao cho

. Do đó nếu

thì tồn

. Từ đó lại lập luận nh- trên, hoặc

. Quá trình này phải kết thúc sau một số hữu hạn b-ớc nào đó và

ta đ-ợc

, điều đó chứng tỏ

2.2.11.Hệ quả. Quả sử
của

là một nửa nhóm con hữu hạn của . Chẳng hạn

là cơ sở của tập

. Do đó

hoặc

chứa ít nhất

là tập sinh hữu hạn của nửa nhóm .

Chứng minh. Giả sử

tại

và

sinh bởi

là một iđêan của

là cơ sở của nó. Thế thì iđêan

sẽ bằng . Ngoài ra, một tập sinh tuỳ ý của iđêan

Nh- vậy một iđêan tuỳ ý của
Chứng minh. Giả sử

phải chứa .

chứa một tập sinh hữu hạn tối tiểu duy nhất.

. Thế thì tồn tại

phần tử
Giả sử

và



là tập sinh của .

. Vì

sao cho

nên thuộc iđêan

. Vì
sinh bởi tập .

là một tập sinh tuỳ ý của iđêan . Thế thì mỗi phần tử thuộc

viết d-ới dạng
. Đặc biệt nếu

, trong đó
thì

còn

bằng một tổng, nh- vậy

lớn hơn bất kỳ phần tử nào đó thuộc
một phần tử tối tiểu của

là tổng (khác

nên

.

nên

có thể

của các phần tử thuộc
. Từ đó suy ra rằng

khác nó tham gia trong tổng . Vì

là



20

2.2.12. Định nghĩa. Hai phần tử

và

đ-ợc gọi là t-ơng thích nếu với mọi

thuộc

các bất đẳng thức

và

là t-ơng đ-ơng.
đ-ợc gọi là một tập

Tập các phần tử đôi một t-ơng thích với nhau thuộc
t-ơng thích.
2.2.13. Bổ đề. Giả sử

là một t-ơng thích các phần tử thuộc
trong đó mỗi

và

.

Thế thì

.
Chứng minh. Bổ đề trên đ-ợc suy ra từ nhận xét: với mọi phần tử
đ-ợc thu từ

bằng cách bỏ các thành phần âm và

Ta ký hiệu
đẳng cấu

, phần tử

.

là nhóm con của nhóm tự đẳng cấu của nhóm

gồm tất cả các

chỉ đổi dấu một số thành phần của mỗi phần tử thuộc . Giả sử
thế thì

(

là dÃy các số 0 và 1 xác định . Nhóm
, tự đẳng cấu

2.2.14. Bổ đề. Giả sử
hạn

), trong đó

của

chứa

phần tử. Với mỗi

là một phép biến đổi đồng nhất của .
là một nhóm con của

sao cho mỗi phần tử thuộc

. Thế thì tồn tại một tập con hữu

biểu diễn đ-ợc d-ới dạng tổng các bội

không âm của các phần tư thc mét tËp con t-¬ng thÝch cđa .
Chøng minh. Giả sử

. Kí hiệu

Khi đó nếu tập
Nếu

là nhóm con của nhóm .

thì nó có cơ sở hữu hạn
thì ta đặt

.

nào ®ã.

21

Ký hiệu

. Thế thì

mỗi phần tử thuộc
mỗi

hữu hạn và

là một tập con t-ơng thích của

đều thuộc . Đặt

. Thế thì

hữu hạn. Rõ ràng

Bây giờ ta xét một phần tử

hữu hạn vì

.
sao cho

. Thế thì với

. áp dụng Hệ quả 2.2.10 ta đ-ợc
phần tử thuộc

đó ta có

là tổng không âm của các

trong đó

. Nh- vậy vì

vì

và

nên

trong đó



.

Nhận xét. Nh- một hệ quả trực tiếp của Bổ đề 2.2.14, ta thu đ-ợc kết quả: mỗi
nhóm con của một nhóm Aben tự do hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh; từ đó suy
ra rằng mỗi nhóm con của một nhóm Aben hữu hạn sinh là nhóm hữu hạn sinh.
2.2.15. Bổ đề. Giả sử
và

là một t-ơng đẳng trên

là một tập con t-ơng thích của

,

. Khi đó nếu

thì

.

Chứng minh. Tr-ớc hết ta chứng minh mệnh đề với k=1. Ta cần chứng tỏ
với mọi số nguyên không âm m. Tiến hành quy nạp theo m. Rõ ràng
ta có bao hàm thức đó đối với
. Giả sử

vì

. Giả thiết rằng nó xảy ra với

nghĩa là
, nghĩa là

. Theo giả thiết quy nạp,
,

. Nh-ng

và
Do đó (

.

. Theo tính ổn định của , có

((

.

Nghĩa là ((

.

Ta lại có
((

hay
và do ®ã

.


22

Vậy

kéo theo

ra với mọi số nguyên
Bây giờ giả sử

. Do đó bao hàm thức này xảy

.
là hai phần tử t-ơng thích. Thế thì

và

kéo theo
2.2.13 và nhớ rằng

, áp dụng Bổ đề

t-ơng thích ta nhận đ-ợc:
. Nh- vậy

.

Bây giờ ta có thể tiến hành quy nạp theo . Bổ đề đà đ-ợc chứng minh đối với
.
Giả thiết rằng nó thoả mÃn với mọi tập t-ơng thích gồm
và

. Thế thì

phần tử. Đặt

và

vậy theo điều vừa chứng minh ta có

t-ơng thích và vì

. Theo giả thiết quy nạp

đối với k ta có:

. Tr-ờng hợp

đó

, có

. Do


.

2.2.16.

Định

nghĩa.

Giả

sử

là

một

t-ơng

đẳng

là cặp ánh xạ - nhóm liên kết với

thì

2.2.17. Định lý. Lõi

.

là một iđêan của nủa nhóm .
của t-ơng đẳng

trên

là khác rỗng.

2.2.18. Định nghĩa.a/ Giả sử A là một iđêan tuỳ ý của
cơ sở của nó. Ta định nghĩa chuẩn
chuẩn

và

đ-ợc gọi là lõi của t-ơng đẳng .

Khi đó tập
Nếu

trên

của phần tử

của iđêan

và

là

bởi

trong đó

đ-ợc xác định bởi:
.

b/ Lõi của t-ơng đẳng
(hay

) của t-ơng đẳng

trên

là một iđêan của

(hay cặp t-ơng đẳng
.

. Ta định nghĩa chuẩn
) bởi:

23

Giả sử M là một nhóm con của G. Thế thì M xác định một t-ơng
đẳng

trên :
=
T-ơng đẳng

.

là cái thu hẹp trên

của t-ơng đẳng trên G xác định bởi -ớc

chuẩn M.
Ta sẽ chứng minh rằng t-ơng đẳng trên F là hữu hạn sinh bằng cách quy nạp
hai lần theo chuẩn của t-ơng đẳng đó và theo số phần tử sinh của nhóm

Ta bắt

đầu từ tr-ờng hợp chuẩn bằng không, những t-ơng đẳng nh- vậy đ-ợc mô tả trong
Bổ đề sau đây:
2.2.19. Bổ đề. Giả sử

là một t-ơng đẳng trên . Thế thì các mệnh đề sau đây là

t-ơng đ-ơng

i)

đối với một nhóm con M nào đó của G.

ii)
iii)
Khi đó nhóm con M nêu trong điều kiện (i) trùng với

.

Chứng minh. Rõ ràng

. Do đó (ii) và (iii) t-ơng

khi và chỉ khi

đ-ơng.
Giả sử

thế thì

. Giả sử

, từ định nghĩa của

.Thế thì

.

Vì

nên

nghĩa là từ (i) suy ra (ii) và (iii) và
Giả

thiết

rằng

. Do đó

điều

kiện

(iii)

là

biệt,

do

,

đó

thoả

mÃn.

Giả

sử

thì theo định nghĩa của M ta có

Đảo lại, giả thiết rằng
Đặc

và

.

Nếu

.

suy ra

.Vì
suy

ra

rằng

nên từ đó suy ra
,

nghĩa

.
Từ đó

. Nh- vậy (iii) kÐo theo (i).

□


24

2.2.20. Bổ đề. Giả sử

là một t-ơng đẳng trên

và

thế thì

hữu hạn

sinh.
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.2.19 có
một tập con hữu hạn

với

. Theo Bổ đề 2.2.14,

sao cho mỗi phần tử thuộc

có

có thể biểu diễn đ-ợc d-ới

dạng tổng của các bội không âm của các phần tử thuộc một tập con t-ơng thích nào
đó của . Nh- vậy ,nếu

thì

trong đó

là các số nguyên không âm, còn

là một tập con t-ơng thích của

. Khi đó theo Bổ đề 2.2.13, có

Vì
và

và vì mỗi
suy ra

thuộc

, nên

có thể thu đ-ợc từ

bằng các phép - chuyển sơ cấp liên tiếp,

trong đó mỗi phép - chuyển thay thế
Đặt

bởi

. Thế thì

rằng

với mọi

thuộc , nghĩa là

.

hữu hạn,

, và ta đà chứng tỏ

. Bây giờ giả sử
. Đặt

. Vì
Từ đó

. Từ các biểu thức trên của

. Thế thì

và

,

.

nên
. Do đó

là một phần tử tuỳ ý

, nên

. Nh- vậy

hữu hạn sinh.

Để tiến hành quy nạp, tr-ớc hết ta phải xét tr-ờng hợp n=1, nghĩa là khi

là

nửa nhóm giao hoán tự do với một phần tử sinh. ở đây ta thử trực tiếp rằng mỗi
t-ơng đẳng hữu hạn sinh, hơn nữa trong mỗi t-ơng đẳng tồn tại tập con gồm một
phần tử sinh ra nã.
Mét trong c¸c b-íc chøng minh cđa chóng ta là xuất phát từ một t-ơng đẳng
nào đó trên

phải xây dựng đ-ợc các t-ơng đẳng khác có chuẩn bé hơn.

2.2.21. Bổ đề. Giả sử
cơ sở của lõi

là một t-ơng đẳng trên

sao cho một phần tử nào đó thuộc

có thành phần đầu tiên khác không. Ta kí hiệu

là phần tử


25

.Định nghĩa quan hệ

nh- sau :
Thế thì

là một t-ơng đẳng trên

và

.
Chứng minh. Rõ ràng

đ-ợc thừa kế các tính chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu và

ổn định của . Nh- vậy
Ta kí hiệu tập đó là

là một t-ơng đẳng trên . Hơn nữa, rõ ràng

.

Tr-ớc hết, ta chứng tỏ

và

, nghĩa là

. Thật vậy, nếu

với mọi

thì

,

, nghĩa là

đó

.

. Do đó

với

, từ

. Mệnh đề thứ hai cũng chứng minh t-ơng tự.

Sau đây ta sẽ dùng hai hệ thức đó mà không nói thêm gì.
Giả sử

là cơ sở của lõi

. Giả thiết rằng

là các

phần tử của cơ sở có thành phần thứ nhất d-ơng. Theo giả thiết
với
cơ sở của lõi

thế thì

là các thành phần khác nhau thuộc

. Thật vậy, tr-ớc hết

. Hơn nữa

, nghĩa là
từ đó

và

. Nh-ng

phần tử thuộc cơ sở của lõi

thì

là

, từ đó

vì

. Thế thì

thuộc cơ sở của lõi
và

, sao cho

là thành phần thuộc

thì thành phần thứ nhất của phần tử
, do đó

là một

, nghĩa là ta đà chứng tỏ rằng

tuỳ ý thuộc cơ sở của lõi

và vì vậy tồn tại phần tử

Nh-ng

vì

.

Bây giờ ta xét một phần tử

. Nếu

.
do đó

. Từ đó

một phần tử thuộc cơ sở của lõi

. Nếu

. Thật vậy
,

với mọi

Thế thì

. Đặt

là một phần tử tối thiểu của

và vì vậy
.

.