Góp phần phát triển khả năng sáng tạo bài toán mới thông qua việc dạy học giải bài tập trong sách giáo khoa ( chương dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân đại số và giải tích 11 )

1

TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TỐN

GĨP PHẦN PHÁT TRIỂN KHẢ NĂNG SÁNG TẠO BÀI
TỐN MỚI THƠNG QUA VIỆC DẠY HỌC
GIẢI BÀI TẬP TRONG SÁCH GIÁO KHOA
(Chương “Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân” - Đại số và Giải tích 11)

KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH CỬ NHÂN SƢ PHẠM TOÁN

CÁN BỘ HƢỚNG DẪN KHOÁ LUẬN
ThS. Nguyễn Thị Mỹ Hằng
Sinh viên thực hiện
: Nguyễn Thị Hạnh Nhân
Lớp:
: 47A - Toán

VINH - 2010


2

MỤC LỤC
Trang
MỞ ĐẦU…………………………………………………………………….2
1. Lý do chọn đề tài……………………………………………………2
2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………….4
3. Nhiệm vụ nghiên cứu ………………………………………….......4

4. Giả thiết khoa học………………………………………………….4
5. Phương pháp nghiên cứu……………………………………….......5
6. Đóng góp của luận văn……………………………………………..5
CHƢƠNG I: KHÁI QUÁT VỀ NĂNG LỰC TƢ DUY SÁNG TẠO……7
1. Một số vấn đề về tư duy sáng tạo……………………………………7
1.1. Khái niệm tư duy…………………………………………………..7
1.2. Những đặc điểm cơ bản của tư duy………………………………..7
1.3. Các thao tác trí tuệ của tư duy……………………………………..8
1.4. Hoạt động giải toán của học sinh………………………………….9
1.5. Sự sáng tạo và tư duy sáng tạo…………………………………....11
1.6. Các mức độ của tư duy…………………………………………....13
CHƢƠNG II: BỒI DƢỠNG KHẢ NĂNG SÁNG TẠO BÀI TOÁN…..14
1. Sáng tạo bài toán mới từ bài toán đã cho…………………………...14
2. Khai thác một số bài tập trong sách giáo khoa:……………………..15
3. Hướng dẫn giải một số bài tập trong sách giáo khoa……………….42
4. Hệ thống bài tập của chương “ Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân”…52
KẾT LUẬN…………………………………………………………………64
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………65


3

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
1.1. Chúng ta đang sống trong thế kỉ XXI - thế kỉ của sự sáng tạo và hội
nhập. Đất nước ta đang trong thời kì phát triển và đổi mới. Chính vì vậy những
năm gần đây người ta đòi hỏi nền giáo dục phải trang bị cho học sinh năng lực tư
duy sáng tạo như là một phẩm chất quan trọng của con người hiện đại, đặc biệt là
từ khi thế giới đã bắt đầu chuyển mạnh sang nền kinh tế tri thức. Cho nên phát
triển giáo dục và đào tạo là một động lực quan trọng thúc đẩy sự nghiệp CNH HĐH đất nước, là điều kiện phát huy nguồn lực con người - yếu tố cơ bản để phát

triển xã hội, tăng trưởng kinh tế nhanh và bền vững.
Sự nghiệp giáo dục phải góp phần quyết định vào việc bồi dưỡng cho thế hệ
trẻ tiềm năng trí tuệ, tư duy sáng tạo, năng lực tìm tịi chiếm lĩnh tri thức, năng lực
giải quyết vấn đề. Điều này đã được luật giáo dục nước CHXHCN Việt Nam quy
định: “Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy
sáng tạo của người học, bồi dưỡng năng lực tự học, lịng say mê học tập và ý chí
vươn lên” (Luật GD 1998, chương I điều 4)
Nghị quyết hội nghị lần thứ 4 BCH TW Đảng khoá VII đã nêu rõ một trong
những quan điểm chỉ đạo để đổi mới sự nghiệp GD và đào tạo là phải “Phát triển
giáo dục nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài, đào tạo những con
người có kiến thức văn hố, khoa học, có kĩ năng nghề nghiệp, lao động tự chủ,
sáng tạo và có kỷ luật, giàu lịng nhân ái, yêu nước, yêu CNXH, sống lành mạnh
đáp ứng nhu cầu phát triển đất nước”
Nghị quyết TW 2 (khoá VIII) lại tiếp tục chỉ rõ: “Đổi mới mạnh mẽ phương
pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy
sáng tạo của người học…”
Trong giai đoạn đổi mới hiện nay, trước những thời cơ và thách thức to lớn,
để tránh nguy cơ tụt hậu việc rèn luyện khả năng sáng tạo cho thế hệ trẻ là yêu cầu
cấp thiết của xã hội.


4

1.2. Trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh thì mơn tốn đóng vai
trị quan trọng. Vì dạy học mơn tốn gắn liền với các phép suy luận lơgic và các
phép suy luận có lí, các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, trừu tượng hố, khái
qt hố, tương tự hố… Đó là những thành tố cốt yếu của năng lực trí tuệ và là cơ
sở để hình thành các phẩm chất trí tuệ: Tính linh hoạt, độc lập và sáng tạo.
1.3. Hiện nay các loại sách tham khảo tràn ngập thị trường. Không đề cập
đến chất lượng sách tham khảo ở đây. Xét ở một góc độ nào đó sách tham khảo là

cần thiết cho học sinh. Nó bổ trợ kiến thức, củng cố nâng cao nhận thức tư duy học
tập cho các em nếu các em biết cách sử dụng sách tham khảo. Nhưng tiếc rằng
trong thực tế nhiều học sinh chưa biết học cái hay cái bổ ích từ sách tham khảo, chỉ
biết sao chép sử dụng một cách máy móc. Tạo ra một lối học lười nhác, ỷ lại vào
sách tham khảo, rất lười suy nghĩ, thiếu tinh thần ham muốn học hỏi thấu đáo sâu
sắc, có ý thức phản biện truy tìm đến ngọn nguồn của một bài tốn. Như vậy ở một
góc độ nào đó thì sách tham khảo lại làm hại tư duy học sinh
1.4. Ở nhà trường phổ thơng hoạt động giải bài tập tốn là hoạt động chủ yếu
của hoạt động dạy học. Các bài tập ở chương trình phổ thơng là một phương tiện
khơng thể thiếu được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy.
Đặc biệt mơn giải tích và bài tập giải tích có rất nhiều tiềm năng góp phần phát
triển tư duy trí tuệ cho học sinh.
1.5. Qua thực tế đợt thực tập sư phạm, qua các cuộc điều tra quan sát từ giáo
viên và học sinh tôi thấy việc ra thêm bài tập ngoài, bài tập nâng cao cho học sinh
còn quá phụ thuộc vào các tài liệu tham khảo bên ngồi. Trong khi đó bản thân các
bài tập trong SGK đã tiềm ẩn một khối lượng bài tập đa dạng và phong phú. Từ
một bài tập tưởng chừng rất đơn giản, chỉ mang tính chất củng cố lí thuyết trong
sách giáo khoa, nhưng xuất phát từ nó ta hồn tồn có thể xây dựng, phát biểu
thành một bài tốn tổng qt và từ đó có thể xây dựng một hệ thống các bài tập
tương tự - nếu chúng ta biết thay đổi một số yếu tố của bài tốn bằng các thao tác
trí tuệ như: tương tự, khái qt hố… Đây chính là tiềm năng ẩn tàng của bài tập
SGK.


5

1.6. Dãy số là một chủ đề khó trong chương trình tốn phổ thơng. Tuy nhiên
nó lại cung cấp một khối lượng lớn kiến thức cho các phần sau này. Có rất nhiều
dãy số mang tính chất quy luật, đặc biệt, chẳng hạn như: cấp số cộng, cấp số
nhân,… Do những tính chất mang tính quy luật đó mà ta hồn tồn có thể xây

dựng hệ thống bài tập để rèn luyện khả năng sáng tạo bài mới cho học sinh. Khi đi
sâu vào nghiên cứu phần này chúng ta sẽ thấy được tiềm năng của các bài tập trong
sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 là hết sức phong phú. Vấn đề là ta sẽ khai
thác tiềm năng đó như thế nào? Chính vì lí do đó mà tơi chọn đề tài này: “Góp
phần phát triển khả năng sáng tạo bài tốn mới thơng qua việc dạy học giải bài tập
trong sách giáo khoa (chương “Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân” - Đại số và Giải
tích 11) ”.
2. Mục đích nghiên cứu:
2.1. Giúp học sinh phát triển khả năng sáng tạo thông qua khai thác một số
bài tập trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 nhằm nâng cao hiệu quả dạy và
học mơn tốn ở trường PT.
2.2. Đề xuất một số bài toán trong phần cấp số cộng, cấp số nhân.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu:
3.1. Làm sáng tỏ khái niệm tư đuy sáng tạo và một số đặc điểm của tư duy
sáng tạo.
3.2. Xác định các con đường để khai thác các bài tập trong SGK nhằm phát
triển khả năng sáng tạo.
3.3. Hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ để tìm lời giải cho một số bài tập một
và xây dựng hệ thống bài tập chương “Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân”
4. Giả thiết khoa học
Trong quá trình dạy học toán nếu người giáo viên biết cách khai thác các bài
tập trong SGK nhằm phát huy vai trị tích cực và chủ động của học sinh thì sẽ góp
phần rất lớn giúp các em phát triển tư duy sáng tạo. Từ đó góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học tốn ở trường phổ thơng.


6

5. Phƣơng pháp nghiên cứu
5.1. Nghiên cứu lí luận

- Nghiên cứu chương trình SGK, SGK, các tài liệu có liên quan đến chuyên
đề dãy số trong trường phổ thông.
- Các tạp chí GD, tâm lí học, giáo dục học phục vụ cho đề tài.
- Các cơng trình nghiên cứu, các vấn đề có liên quan đến đề tài (các luận
văn, các chuyên đề…)
5.2. Quan sát
Dự giờ, quan sát việc dạy ở các tiết học luyện tập giải bài tập của giáo viên
và việc học của học sinh
5.3. Điều tra, tổng kết kinh nghiệm
Điều tra, tổng kết kinh nghiệm dạy học các bài tập về dãy số của giáo viên
và học sinh ở trường phổ thơng .
6. Đóng góp của luận văn
- Xác định được các con đường khai thác bài toán trong SGK 11 theo hướng
phát triển năng lực tư duy sáng tạo.
- Xác định tầm quan trọng của bài tập trong SGK.
- Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cùng với hệ thống câu hỏi dẫn dắt.
- Xây dựng được hệ thống bài tập của chủ đề “Dãy số, cấp số cộng, cấp số
nhân”.
- Góp phần phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho học.
- Luận văn có thể sử dụng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên sư phạm
Toán và giáo viên THPT.
7. Cấu trúc của luận văn
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài.
2. Mục đích nghiên cứu.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.
4. Giả thiết khoa học.


7

5. Phương pháp nghiên cứu.
6. Đóng góp của luận văn
CHƢƠNG I. KHÁI QUÁT VỀ NĂNG LỰC TƢ DUY SÁNG TẠO
1. Một số vấn đề về tư duy sáng tạo.
1.1. Khái niệm tư duy
1.2. Những đặc điểm cơ bản của tư duy
1.3.Các thao tác trí tuệ của tư duy
1.4. Hoạt động giải toán của học sinh
1.5. Sự sáng tạo và tư duy sáng tạo
1.6. Các mức độ của tư duy
CHƢƠNG II: BỒI DƢỠNG KHẢ NĂNG SÁNG TẠO BÀI TOÁN
1. Sáng tạo bài toán mới từ bài toán đã cho
2. Khai thác một số bài tập trong sách giáo khoa
3. Bài tập và hướng dẫn giải
4. Một số bài tập tương tự
KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO


8

CHƢƠNG I: KHÁI QUÁT VỀ NĂNG LỰC TƢ DUY SÁNG TẠO
1. Một số vấn đề về tƣ duy sáng tạo
Trước hết ta hãy nói về năng lực tư duy trong triết học. Triết học chỉ có thể ra
đời khi năng lực tư duy trừu tượng của con người đạt đến trình độ phát triển nhất
định cho phép khái quát những hiểu biết riêng lẻ, rời rạc thành một hệ thống những
quan điểm và quan niệm chung về thế giới.
Vào thế kỉ 17 Đềcác cũng đã có câu nói nổi tiếng: ”Tôi tư duy vậy tôi tồn tại”.
Nguyên lý cơ bản của ông mang ý nghĩa tiến bộ trong lịch sử bởi nó khẳng định

được rằng mọi khoa học chân chính đều phải xuất phát từ “sự nghi ngờ”. Nghi ngờ
ở đây khơng phải là hồi nghi chủ nghĩa mà là sự hoài nghi về phương pháp luận,
nghi ngờ để đạt đến sự tin tưởng. Có nghĩa là con người muốn tồn tại thì phải tư
duy.
Vậy tư duy là gì?
1.1. Khái niệm tƣ duy
Có rất nhiều quan điểm khác nhau về tư duy. Theo tâm lý học: Tư duy là một
quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những mối liên hệ bên trong
có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó ta
chưa biết (Theo [7])
1.2. Những đặc điểm cơ bản của tƣ duy
- Tư duy là một quá trình tâm lý có sự tìm kiếm và phát hiện ra cái mới về
chất một cách độc lập
- Tư duy có đặc điểm quan trọng là tính có vấn đề. Tức là trong một hồn
cảnh có vấn đề thì tư duy được nảy sinh
- Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngơn ngữ cho nên kết quả của q trình tư
duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiện qua ngôn ngữ.
- Tư duy là mức độ cao nhất của sự nhận thức lý tính nhưng có quan hệ chặt
chẽ với q trình nhận thức cảm tính. Nó có khả năng phản ánh những thuộc tính
bản chất của sự vật, hiện tượng trên cơ sở những dấu hiệu bên ngoài của sự vật và
hiện tượng qua cảm giác và tri giác.


9

Như V.I.Lênin đã từng nói “Q trình nhận thức của con người phải đi từ trực
quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn” - đó là
con đường biện chứng của sự nhận thức chân lý, nhận thức hiện thực khách quan.
1.3 .Các thao tác trí tuệ của tƣ duy
Sự phát triển trí tuệ của tư duy nói chung được đặc trưng bởi sự tích lũy các

thao tác tư duy thành thạo. Theo [5] các thao tác trí tuệ của tư duy bao gồm: phân
tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa, phép quy nạp, suy diễn, loại
suy..v..v…
1.3.1. Phân tích
Phân tích là hoạt động tư duy phân chia sự vật, hiện tượng thành các yếu tố,
các bộ phận nhằm mục đích nghiên cứu chúng đầy đủ, sâu sắc, trọn vẹn hơn theo
một hướng nhất định.
1.3.2.Tổng hợp
Tổng hợp là hoạt động tư duy kết hợp các bộ phận, các yếu tố riêng lẻ của sự
vật, hiện tượng đã được nhận thức để nhận thức cái tồn bộ
Phân tích và tổng hợp là những yếu tố cơ bản của hoạt động tư duy được dùng
khi hình thành phán đốn mới và các thao thác tư duy khác.
1.3.3. So sánh
So sánh là thao tác tư duy nhằm xác định những điểm giống nhau và khác
nhau của sự vật, hiện tượng. Từ đó làm cơ sở để tìm ra nguyên nhân của sự giống
nhau và khác nhau đó.
1.3.4. Trừu tượng hóa
Trừu tượng hóa là q trình con người dùng trí óc gạt bỏ những mối liên hệ,
quan hệ thứ yếu của sự vật, hiện tượng và chỉ giữ lại những yếu tố cần thiết cho tư
duy.
1.3.5. Khái qt hóa
Khái qt hóa là tìm ra cái chung, cái bản chất trong số các dấu hiệu của sự
vật, hiện tượng rồi quy chúng lại thành khái niệm.


10

Trong thực tế các thao tác trên đây đan chéo nhau xen kẽ nhau chứ khơng
tn theo trình tự máy móc.
1.3.6.Phép quy nạp

Là cách phán đốn dựa trên sự nghiên cứu nhiều hiện tượng, trường hợp riêng
lẻ để đi đến kết luận chung, tổng quát về những tính chất, những mối liên hệ tương
quan bản chất nhất, chung nhất.
Trong phép quy nạp sự nhận thức đi từ cái riêng biệt đến cái chung, giúp cho
kiến thức được nâng cao và mở rộng
1.3.7.Phép suy diễn
Phép suy diễn là cách phán đoán đi từ một nguyên lý chung đúng đắn tới một
kết luận thuộc về một trường hợp riêng lẻ, đơn nhất.
Phép suy diễn có tác dụng phát triển tư duy lơgic và phát huy tính tự lập, sáng
tạo của học sinh
1.3.8.Phép loại suy (suy lý tương tự)
Phép loại suy là sự phán đoán đi từ cái riêng biệt này đến cái riêng biệt khác
để tìm ra những đặc tính chung và những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật,
hiện tượng.
Phép loại suy có bản chất là dựa vào sự giống nhau (hoặc tương tự nhau) của
hai vật, hiện tượng về một số dấu hiệu để đi đến kết luận về sự giống nhau của các
dấu hiệu khác nhau nên kết luận của chúng chỉ gần đúng, có tính giả thiết nhưng có
tác dụng tích cực trong nghiên cứu và học tập
Như vậy chúng ta thấy tất cả các thao tác trí tuệ nêu trên đều góp phần bồi
dưỡng năng lực sáng tạo và củng cố kiến thức cho học sinh. Trong thực tế thì các
thao tác tư duy này chủ yếu được hình thành và phát triển ở học sinh thông qua
hoạt động học tập và cụ thể là hoạt động giải bài tập toán
1.4.Hoạt động giải toán của học sinh
Hoạt động giải bài tập toán là một hoạt động chủ đạo trong việc học toán của
học sinh ở trường phổ thông


11

Để giải được một bài tập học sinh phải thực hiện các thao tác trí tuệ. Ngược

lại thơng qua hoạt động giải bài tập tốn sẽ góp phần hình thành, củng cố tri thức,
kĩ năng kĩ xảo cho học sinh, phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những thao tác tư
duy, hình thành những phẩm chất trí tuệ.
Do đó việc rèn luyện việc giải bài tập toán cho học sinh là một trong những
nội dung quan trọng của việc dạy học tốn ở trường phổ thơng.
Tuy nhiên, trong q trình dạy học dạng hoạt động này chúng ta khơng thể
dạy cho học sinh một thuật toán tổng quát để giải một bài tốn. Nhưng chúng ta có
thể hướng dẫn, gợi ý cho học sinh cách suy nghĩ khi đứng trước một bài tốn nói
riêng và một dạng tốn nói chung và từ đó học sinh sẽ tự mình tìm tịi, phát hiện ra
cách giải quyết bài tốn, dạng tốn đó.
Về phương pháp chung để giải một bài tốn dựa theo Polya ta có thể đưa ra
các bước sau:
1.4.1. Tập cho học sinh thói quen phân tích bài tốn, tìm hiểu kĩ nội dung của bài
toán, xác định dạng của bài toán.
Cần lưu ý với học sinh rằng: mỗi bài tốn đều có hai phần:
+ Giả thiết: là những dữ kiện mà bài toán cho
+ Kết luận: là cái cần phải tìm, cần phải chứng minh
Muốn giải được bất cứ bài toán nào bắt buộc học sinh phải xác định tường
minh hai bộ phận đó. Tức là học sinh cần phải xác định được đâu là giả thiết đâu là
kết luận.
Tiếp đó cần phải khai thác triệt để các giả thiết của bài toán và chú ý tập trung
tư duy vào những từ quan trọng của một bài toán
1.4.2.Rèn luyện cho học sinh tự xây dựng chương trình giải. Có thể dẫn dắt để học
sinh có hướng suy nghĩ như sau:
Muốn trả lời câu hỏi của bài toán ta cần phải biết những gì?
Cần phải thực hiện những phép tính nào?
Cái gì đã biết? Cái gì chưa biết?
Muốn tìm cái chưa biết ấy lại cần phải biết những gì? Phải làm những gì?

12

Cứ như thế ta dẫn dắt học sinh đi đến những điều đã cho trong đề tốn.
Như vậy thơng qua hệ thống các câu hỏi dẫn dắt của giáo viên, học sinh sẽ
phác thảo và dự kiến được con đường để đi tới giải quyết bài tốn. Và từ đó học
sinh sẽ rút ra được sơ đồ giải các bài tốn cùng loại.
1.4.3. Trình bày lời giải
Dựa vào kết quả phân tích bài tốn ở trên, xuất phát từ những điều đã cho
trong giả thiết ta lần lượt thực hiện các phép tính để tìm ra đáp số.
Cần lưu ý phải thử lại kết quả xem có thỏa mãn điều kiện bài ra hay không.
1.4.4. Rèn luyện cho học sinh khả năng nghiên cứu lời giải (phần này dành cho
học sinh giỏi)
Tức là sau khi đã giải xong bài toán cần suy nghĩ xem bài tốn có thể giải
bằng cách khác nữa hay khơng? Từ đó học sinh sẽ nghiên cứu, khai thác, phân tích
và tìm tịi lời giải khoa học nhất cho bài toán trên. Việc làm này giúp học sinh có
thói quen tập dượt với hình thức nghiên cứu khoa học, nắm được bản chất cách
giải quyết vấn đề trong giải tốn. Đồng thời góp phần rèn luyện tư duy cho học
sinh.
Ngoài ra giáo viên cần chú trọng hướng dẫn học sinh tìm các bài tập có liên
quan và sáng tạo các bài toán mới.
Muốn vậy trước tiên học sinh cần phải biết phân tích bài tốn để nắm vững
đặc điểm và bản chất các yếu tố thuộc bài toán, thấy được mối liên hệ giữa các bài
toán với nhau. Và cao hơn nữa là giúp học sinh tự sáng tạo ra các bài toán mới từ
bài toán ban đầu bằng nhiều con đường, nhiều cách khác nhau, cụ thể là có thể
thay đổi các dữ kiện các yếu tố đã cho từ bài toán gốc để đi đến một bài tốn mới.
Nhưng sáng tạo là gì?
Và tư duy sáng tạo là gì?
Dạy cho học sinh về tư duy sáng tạo là dạy những nội dung gì? Và quan trọng
hơn nữa là dạy như thế nào để thật sự bồi dưỡng và nâng cao năng lực tư duy sáng
tạo cho học sinh.

1.5. Sự sáng tạo và tƣ duy sáng tạo


13

1.5.1. Sáng tạo
Theo nghĩa thơng thường thì sáng tạo là một tiến trình phát kiến ra các ý
tưởng và quan niệm mới hay một kết hợp mới giữa các ý tưởng và quan niệm đã
có.
Hay đơn giản hơn “sáng tạo là việc tìm ra được cái mới, một cách giải quyết
vấn đề mới, không bị phụ thuộc vào cái đã có”
Với cách hiểu đó thì cái quan trọng nhất đối với sáng tạo là phải có các ý
tưởng. Như lời nói của nhà tốn học Poin Care: “Trong sáng tạo khoa học, ý tưởng
chỉ là những ánh chớp nhưng ánh chớp đó là tất cả”
Hay lời của một nhà khoa học vĩ đại khác Lincds Pauling khi trả lời câu hỏi
làm thế nào mà người ta sáng tạo ra được các lý thuyết khoa học? Ơng nói: “Người
ta phải cố nắm bắt được nhiều ý tưởng” và “con đường để có được một ý tưởng tốt
là có thật nhiều ý tưởng”
1.5.2. Tư duy sáng tạo
Các nhà nghiên cứu đã đưa ra rất nhiều quan điểm khác nhau về tư duy sáng
tạo. Theo Lecne [9] có hai kiểu tư duy cá nhân là:
- Tư duy tái hiện hay tạo lại
- Tư duy tạo mới hay sáng tạo
Theo định nghĩa thông thường và phổ biến nhất của tư duy sáng tạo thì đó là
tư duy tạo ra cái mới. Tư duy sáng tạo dẫn đến những tri thức mới về thế giới và
các phương thức hoạt động
Theo [5] “Tính linh hoạt, tính độc lập và tính phê phán là những điều kiện cần
thiết của tư duy sáng tạo, là những đặc điểm về những mặt khác nhau của tư duy
sáng tạo”
Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ nét ở khả năng tạo ra cái mới, phát hiện

vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới. Nhưng cần phải nhấn mạnh
thêm rằng: tìm ra cái mới khơng có nghĩa là ta sẽ coi nhẹ cái cũ.
Ví dụ: Các khái niệm nhóm, vành, trường là sự trừu tượng hóa, khái quát hóa
những đối tượng, những quan hệ, và những tính chất đã biết trên một tập hợp số.


14

Rõ ràng việc đi từ tập hợp số tới các khái niệm vành, nhóm, trường là một sự sáng
tạo lớn.
Tính sáng tạo có thể dẫn đến những suy nghĩ rất táo bạo nhưng có căn cứ, có
cân nhắc cẩn thận chứ không phải là nghĩ liều làm liều. Vậy tư duy sáng tạo có
những mức độ nào và chúng có mối quan hệ với nhau ra sao?
1.6. Các mức độ của tƣ duy
Như chúng ta đã biết tư duy là một quá trình tâm lý. Vậy quá trình tâm lý này
có những mức độ nào?
Nhà nghiên cứu V.A.Krutexcki đã nêu ra ba mức độ tư duy khác nhau. Đó là:
tư duy tích cực, tư duy độc lập, tư duy sáng tạo. Và ông đã biểu diễn mối quan hệ
giữa ba mức độ tư duy trên bởi một sơ đồ gồm ba đường trịn đồng tâm như sau:
Tư duy tích cực (học sinh chú ý lắng nghe
thầy chứng minh định lý và cố gắng hiểu)

Tư duy độc lập (học sinh tự đọc định lý
và chứng minh theo gợi ý trong sách)

Tư duy sáng tạo (học sinh tự khám phá ra
định lý, tự tìm cách chứng minh mà học
sinh đó chưa biết)
Như vậy tư duy tích cực, tư duy độc lập và tư duy sáng tạo có mối quan hệ
chặt chẽ với nhau. Tư duy tích cực là tiền đề cho tư duy độc lập và tư duy độc lập

lại là tiền đề cho tư duy sáng tạo. Trong tư duy sáng tạo có tư duy tích cực và tư
duy độc lập nhưng khơng phải mọi tư duy tích cực đều là tư duy độc lập và không
phải mọi tư duy độc lập đều là tư duy sáng tạo.


15

CHƢƠNG II: BỒI DƢỠNG KHẢ NĂNG SÁNG TẠO BÀI TOÁN
1. Sáng tạo bài tốn mới từ bài tốn đã cho
Có rất nhiều con đường để sáng tạo bài toán mới từ bài toán đã cho. Nhưng ở
đây chúng ta chỉ đi sâu vào nghiên cứu hai con đường phổ biến nhất đó là khái
quát hóa và tương tự hóa.
Đây là hai con đường phổ biến nhất và hơn nữa còn giúp học sinh phát huy
tính tích cực sáng tạo của mình. Và nhiệm vụ của người giáo viên là phải xây dựng
được hệ thống các hoạt động để hướng dẫn học sinh đề xuất các bài toán tương tự
và khái qt hóa bài tốn. Vậy hoạt động khái qt hóa bài tốn là gì?
Khi đứng trước một bài tốn nào đó đơi lần ta đã nghĩ đến khả năng thay các
số cho trong các điều kiện của bài toán bằng những số khác (chủ yếu là các số lớn
hơn) hoặc tổng quát hơn là ta thay số bằng chữ để tạo nên những bài tốn khái qt
hóa. Như Đề-Các đã từng nói “hãy tước bỏ khỏi vấn đề những cái dư thừa và dẫn
nó đến những yếu tố đơn giản nhất”
Có nghĩa là từ một bài tốn ban đầu ta xây dựng bài toán mới nhờ bỏ đi một
số yếu tố của bài tốn cũ. Hay nói cách khác là ta hãy làm yếu đi giả thiết của bài
toán cũ hoặc bỏ bớt đi một số điều kiện ràng buộc, hoặc bỏ đi một số đòi hỏi của
kết luận, hoặc thay hằng bởi một biến nào đó.
Đa số học sinh thường cảm thấy khó khăn và lúng túng khi chuyển bài tốn
cụ thể sang bài tốn tổng qt. Do đó muốn học sinh khái qt hóa được bài tốn
người thầy phải dạy cho học sinh biết suy đoán và tưởng tượng. Nhưng sự suy
đốn đó khơng phải là đốn mị mà phải là sự suy đốn hợp lý và có căn cứ rõ
ràng.

Để khái qt hóa bài tốn có hiệu quả và đi đến bài tốn tổng qt nhất thì
trước hết cần phải biết phân tích bài tốn để tìm ra dấu hiệu đặc trưng và xét bài
tốn đó trên từng dấu hiệu để khái quát. Tiếp theo là sự kết hợp các dấu hiệu để có
bài tốn khái qt hơn.
Có một điều cũng khơng kém phần qn trọng trong việc khái qt hóa bài
tốn mà ít người quan tâm đến đó là việc cố gắng giải các bài tốn gốc theo nhiều


16

cách khác nhau. Vì có những bài tốn khi giải theo cách này sẽ khó tìm ra bài tốn
tổng qt nhưng khi giải theo cách khác sẽ rất rõ ràng để có được điều đó
Sau đây, chúng tơi đi vào khai thác một số bài toán trong SGK Đại số và Giải
tích 11 - Nâng cao, chương “Dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân” để từ đó ta có thể
sáng tạo ra những bài toán mới và xây dựng được một hệ thống bài tập nâng dần
mức độ khó.
2. Khai thác một số bài tập trong sách giáo khoa:
2.1. Dãy tuyến tính cấp 1
Bài tập ban đầu: Bài 15 trang 109, SGK Đại số và giải tích 11 Nâng cao
Cho dãy số u n  xác định bởi:
u 1  3 và u n 1  u n  5 với mọi n  1

a) Tính u 2 , u 4 , u 6
b) CMR: u n  5n  2, n  1
Hƣớng dẫn giải:
Câu a dễ dàng tính được. Ở đây ta chú ý đến câu b. Ta có thể làm theo một
trong hai cách sau đây:
Cách 1: Chứng minh bằng quy nạp
Với n  1 ta có: u 1  5.1  2  3 (đúng)
Giả sử công thức u n  5n  2 đúng với n  k tức là ta có u k  5k  2 .

Ta cần chứng minh công thức đúng với n  k  1 .
Thật vậy ta có: u k 1  u k  5  5k  2  5  5k  3  5k  1  2 (đúng)
Vậy u n  5n  2, n  1 .□
Thiết nghĩ bài toán trên nếu ta đưa ra ngay kết luận u n  5n  2, thì sẽ hạn
chế khả năng tư duy của học sinh. Chúng ta có thể giấu đi kết luận của bài toán và
nhiệm vụ của học sinh là đi tìm cơng thức tổng qt của dãy số đã cho. Việc làm
này sẽ giúp học sinh phát huy được hết khả năng sáng tạo và tư duy lơgic của
mình. Từ đó ta có cách giải thứ 2 cho bài toán trên như sau:
Cách 2: Coi như ta chưa biết kết luận của bài toán. Bây giờ chúng ta sẽ đi tìm cơng


17

thức tổng quát của dãy u n  cho bởi công thức truy hồi trên.
Dễ dàng nhận thấy dãy số u n  ở trên là một cấp số cộng với công sai d = 5,
số hạng đầu u 1  3 .
Theo cơng thức tính số hạng tổng qt của cấp số cộng ta có cơng thức tổng
qt của dãy u n  là u n  3  5 n  1,  n  1.
Nhận xét:
Với bài toán như trên sẽ làm giảm khả năng sáng tạo của học sinh, học sinh
không biết được tại sao dãy số u n  lại có cơng thức như vậy? Do đó chúng ta có
thể tuỳ từng đối tượng học sinh để đặt những câu hỏi như sau:
Bài toán: Cho dãy số u n  xác định bởi:

u1  3

u n 1  u n  5; n  1
Tìm công thức tổng quát của dãy u n  xác định ở trên.
Với cách đặt câu hỏi như vậy học sinh được đặt vào một tình huống có vấn
đề, các em phải suy nghĩ tìm tịi để giải quyết vấn đề đó.

Từ bài tốn trên ta có thể khái qt hố bài tốn như sau:
Bài tập 1. Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức truy hồi:

u1  a

u n 1  u n  b; n  1

a, b = const

Hƣớng dẫn giải:
Rõ ràng đây là một cấp số cộng. Áp dụng cơng thức tìm số hạng tổng qt
của cấp số cộng ta có số hạng tổng quát của dãy u n  là u n  a  bn  1 .
Ở bài tốn này việc xác định cơng thức tổng quát của dãy u n  là hoàn toàn
dễ dàng. Học sinh có thể thấy ngay đây là một cấp số cộng. Tuy nhiên có những
bài tốn việc tìm số hạng tổng quát lại không hề dơn giản.
Một số bài tập tương tự:
1.1) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức truy hồi:


18

u1  0

u n 1  u n  2010; n  1
1.2) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức truy hồi:

u1  2010

u n 1  u n  2010; n  1
1.3) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức truy hồi:

u1  19

u n 1  u n  5; n  1
1.4) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức truy hồi:

u1  1890

u n 1  u n ;  n  1
Từ bài tốn trên ta có thể thay đổi cách cho dãy u n  để có bài tốn mới như
sau:
Bài tập ban đầu: Bài tập số 4, trang 122, SGK Đại số và Giải tích 11 - Nâng cao
Cho dãy số u n  xác định bởi u 1  1 và u n 1  5u n  8
a) Chứng minh rằng dãy số v n  , với v n  u n  2 , là một cấp số nhân. Hãy
tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó.
b) Dựa vào kết quả phần a, hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số u n 
Bài tập trên sẽ khó khăn hơn nếu ta ra đề dưới dạng như sau:

u  1
Cho dãy số u n  xác định bởi  1
u n 1  5u n  8;  n  1
Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  .
Trước hết ta hãy nghiên cứu lời giải cho bài toán trên như sau:
Đặt v n  u n  2 .
Từ cơng thức xác định u n  ta có:
v n 1  u n 1  2  5u n  8  2  5u n  2  5v n


19

Vậy v n  là một cấp số nhân với công bội q = 5 và số hạng đầu
v1  u 1  2  3 . Vậy số hạng tổng quát của v n  là vn  v1.q n1  3.5n1 .

Theo cách đặt ta có cơng thức tổng quát của dãy u n  là

u n  vn  2  3.5n1  2 .
Nhận xét:
Ta thấy đây là một lời giải đẹp, ngắn gọn, nhưng có vẻ hơi thiếu tự nhiên.
Học sinh sẽ thắc mắc tại sao ta lại nghĩ ra được cách đặt v n  u n  2 ? Đây là một
sự ngẫu nhiên hay may mắn? Và làm thế nào để ta có thể tự làm được những bài
tốn tương tự?
Để có thể hình dung được cách giải được hình thành bằng cách nào, chúng
ta có thể hướng dẫn học sinh các hoạt động giải bài tốn đó như sau:
- Trước tiên yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa của cấp số nhân
- Hãy nhận xét xem dãy số đã cho có phải là một cấp số nhân hay khơng?
- Tìm a sao cho: u n 1  a  5u n  a 
- Nếu đặt v n  u n  2 thì dãy v n  có dạng đặc biệt nào?
- Hãy tìm số hạng tổng quát của u n 
Với cách hướng dẫn như trên học sinh sẽ khơng thấy có sự áp đặt trong cách
đặt v n  u n  2
Từ đó học sinh sẽ giải quyết được câu hỏi trên và có thể tự mình giải được
những bài tốn tương tự.
Câu hỏi đặt ra: Bài tốn trên cịn có thể giải bằng cách nào khác nữa khơng?
Trả lời: Ngồi cách giải trên chúng ta có thể nghĩ tới một hướng làm khác như sau:
Cách 2:
Hƣớng dẫn giải: Ta nhận thấy u n 1  5u n  8
u n  5u n 1  8
u n 1  u n  5u n  u n 1 

Vậy nếu đặt v n  u n 1  u n thì dãy v n  có gì đặc biệt?

- (Dự kiến): v n  là cấp số nhân với công bội bằng 5 và số hạng đầu v1  12


20

- Hãy tìm số hạng tổng quát của v n ?
- (Dự kiến): Số hạng tổng quát của v n  là v n  12.5n1
- Hãy tìm số hạng tổng quát của u n ?
- (Dự kiến): Theo cách đặt ta có v n  u n 1  u n = 5u n  8  u n = 4u n  8

 u n  3.5n1  2
Cách 3:
Ngồi hai cách giải trên ta cịn có thể giải bài tốn bằng phương pháp quy nạp
như sau:
Ta có: u 1  1
u 2  5.1  8
u 3  55.1  8  8 = 52.1  5  18

u 4  552.1  5  18  8 = 53.1  5 2  5  18
……………………………
(Dự đoán): u n  5n1.1  5n2  5n1  ...  18
=5

n 1

11  5n 1 

8
1 5

= 3.5n 1  2
Bây giờ ta dễ dàng chứng minh được số hạng tổng quát của dãy u n  là:

u n  3.5n1  2 bằng quy nạp
Nhận xét: Với cách giải này thực sự khó khăn trong việc dự đốn cơng thúc tổng
qt.
Từ bài tốn này ta có bài tập thứ 2 như sau:
Bài tập 2. Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức:

u1  a
, b 1

u n 1  bu n  c; n  1
(dãy số xác định như trên được gọi là dãy tuyến tính thuần nhất cấp 1)
Hƣớng dẫn giải:


21

Đặt v n  u n 

c
;b 1
b 1

Khi đó v n 1  u n 1 
 v

n

c
c
= bu n  c 
b 1
b 1

 là cấp số nhân với công bội b, số hạng đầu:

v1  u 1 

c
c
= a
(*)
b 1
b 1

Bây giờ ta sẽ kiểm tra lại công thức (*) với các số liệu đã cho ở bài toán 1
Trong bài toán 1: a = 1, b = 5, c = 8.

8  n 1
8

Thay vào () ta có số hạng tổng quát của dãy số u n  là u n  1 
.5 
5 1
 5 1
hay u n  3.5n1  2 (đúng)
Nhận xét: Bài tốn khái qt 2 có mức độ khái qt cao hơn bài toán khái quát 1.
Xét bài toán khái quát 2 ta có các trường hợp đặc biệt sau:

c  0
 u n  là cấp số nhân công bội b, số hạng đầu u1  a
- Nếu 
b  1

a  0

- Nếu b  1  u n  : 0, 0, 0… tức là: u n  0 ,  n  1
c  0

a  1
 u n  : 1, b, b 2 ,... tức là u n  b n1  n  1
- Nếu 
c  0

b  1
 un  a , n 1
- Nếu 
c

0


Một số bài tập tương tự:
2.1) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức:

u1  0

u n 1  2u n ; n  1
2.2) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức:

22

u1  8

u n 1  3un  11;n  1
2.3) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức:

u1  22

u n 1  2un  88;n  1
2.4) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức:

u1  9

u n 1  11un  9; n  1
Bài tập 1 ta có thể viết lại cách cho dãy u n  như sau:

u  1
Dãy số u n  cho bởi công thức truy hồi:  1
u n 1  5u n  0.n  8; n  1
Ở cách cho dãy u n  trên nếu ta thay số “0” bởi số “1” thì ta có bài tập mới
như sau:
Bài tập 3. Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức:

u1  1

u n 1  5un  n  8; n  1
Hƣớng dẫn giải:

Tương tự như cách giải thứ 1 của bài toán 1. Nhiệm vụ của chúng ta là đi
tìm một cách đặt hợp lí cho bài tốn trên.
- Hãy tìm các hệ số a,b sao cho u n 1  a n  1  b  5 u n  an  b 
- (Dự kiến) Ta có:
5u n  n  8  an  a  b  5an  5b

 4an  4b  n  8  a
Đồng nhất hệ số ta có:
1

a


4a  1
4



4b  a  8
b  33

16


23

1
33
Với cách đặt v n  u n  n 
thì dãy v n  có gì đặc biệt?

4
16

- (Dự kiến):
Ta có:
 v

n

5
165
v n 1  5u n  n 
= 5v n
4
16

 là cấp số nhân với công bội bằng 5, số hạng đầu

 Số hạng tổng quát của v  :
n

vn 

v1 

53
16

53 n 1
.5

16

Theo cách đặt suy ra số hạng tổng quát của u n  là:
1
33 53 n 1 1
33
u n  vn  n 
 .5  n 
4
16 16
4
16

Từ bài toán trên thay thế các số “1” trong u 1  1 , số “5” và “n + 8” trong
u n 1  5u n  n  8 bởi a, b, cn + d ta có bài tốn khái qt như sau:

Bài tập 4. Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức truy hồi:

u1  a

u n 1  bu n  cn  d; n  1, b  1
Trong đó a, b, c, d là các số thực
Hƣớng dẫn giải:
Vì b  1 nên ta xó thể đặt:

vn  u n 
Khi đó:

c
db  d  c

n
;b 1
b 1
b  12

v n 1  u n 1 
= bu n 

c
n  1  db  d 2 c ; b  1
b 1
b  1

cnb bdb  d  c

;b 1
b 1
b  12


c
db  d  c 
n
= b u n 
= bv n
b 1
b  12 

 v n  là một cấp số nhân với công bội b, số hạng đầu:

24

v1  u1 

c
db  d  c
db  d  bc
= a

2
b  1 b  1
b  12

 Số hạng tổng quát của v

n

:

 db  d  bc  n 1
vn  v1.q n1 = a 
2
.b


b

1



 Số hạng tổng quát của là:

u n  vn 

c
db  d  c  db  d  bc  n 1
c
db  d  c
.b 
= a 
n
n
2
2

b  1 
b 1
b 1
b  12
b  1


Một số bài tập tương tự:
4.1) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức truy hồi:

u1  0

u n 1  2u n  n;  n  1
4.2) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức truy hồi:

u1  1

u n 1  3un  2n  2010; n  1, b  1
4.3) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức truy hồi:

u1  2

u n 1  5un  4n  2;  n  1
4.4) Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức truy hồi:

u1  1890

u n 1  2un  2n  5;  n  1, b  1
- Bây giờ ta xét trường hợp b  1
Với trường hợp b  1 ta có dạng bài tốn mới như sau:
Bài tập 5. Tìm số hạng tổng quát của dãy số u n  cho bởi công thức truy hồi:

u1  a
(a, c, d  R)

u

u

cn

d;

n


1
 n 1
n
Hƣớng dẫn giải:


25

Với bài tốn này ta khơng thể áp dụng cách đặt như trên hãy thử với cách 2
của bài toán 1.
Ta thấy:
u n 1  u n  cn  d
u n  u n 1  c n  1  d
u n 1  u n  u n  u n 1  c

- Vậy nếu đặt v n  u n 1  u n thì dãy số v n  có gì đặc biệt?
- (Dự kiến): v n  là cấp số cộng với công sai bằng c, số hạng đầu.
v1  u 2  u 1 = a  cn  d   a  cn  d
 Số hạng tổng quát của v

n

 là:

v n  cn  d  n  1 c  2cn  d  c

- Hãy tính tổng n số hạng đầu tiên của v n 
- (Dự kiến): Tổng n số hạng đầu tiên của v n  là:
Sn  v1  v 2  ...  v n

Mà

Sn 

v

 u 2  u 1  u 3  u 2  ...  u n 1  u 1

1

cn  d  2cn  d  c n
 vn n
=
2
2
=

3cn  2d  c n
2

3cn  2d  c n

 u n 1  u 1 

2

 u n 1  u1 

= a

3cn  2d  c n
2

3cn  2d  c n
2

Số hạng tổng quát của (un) là:
un  a 

3cn n  1  2d  cn  1

a

2

3cn  2d  4c n  1
2