Về tích tenxơ của các không gian babach

1
TRƯỜNG ĐẠI
HỌC VINH

KHOA TỐN

ĐINH BÍCH HẢO

VỀ TÍCH TENXƠ CỦA CÁC
KHƠNG GIAN BANACH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH CỬ NHÂN SƢ PHẠM TOÁN HỌC

VINH - 2010


2
TRƯỜNG ĐẠI
HỌC VINH

KHOA TỐN

VỀ TÍCH TENXƠ
CỦA CÁC KHƠNG GIAN BANACH

TĨM TẮT
KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH SƢ PHẠM TỐN

Cán bộ hướng dẫn: Ths. Kiều Phƣơng Chi

Sinh viên thực hiện: Đinh Bích Hảo
Lớp:

47A – Tốn

VINH - 2010


1

MỤC LỤC
Mở đầu.................................................................................................................... 2
Chƣơng 1: Tích tenxơ của các khơng gian véctơ ........................................... 4
1.1. Không gian véctơ ..................................................................................... 4
1.2. Không gian định chuẩn ............................................................................ 6
1.3. Tích tenxơ của các khơng gian vectơ ....................................................... 8
Chƣơng 2: Tích tenxơ của các khơng gian Banach ..................................... 18
2.1. Tích tenxơ của khơng gian Banach với chuẩn xạ ảnh ........................... 18
2.2. Tích tenxơ của khơng gian Banach với chuẩn nội xạ ............................ 26
Kết luận ................................................................................................................ 36
Tài liệu tham khảo............................................................................................... 37


2

MỞ ĐẦU

Tích tenxơ của các khơng gian véctơ là phép toán quan trọng của toán học.
Các kết quả của phép tính tenxơ có ứng dụng sâu sắc trong nhiều ngành tốn học
khác nhau như giải tích, đại số và hình học. Đặc biệt phép tính tenxơ có nhiều ứng

dụng quan trọng trong một số ngành khoa học tự nhiên khác như: vật lý lý thuyết,
hố học, sinh học,…Phép tính tenxơ vừa là công cụ, vừa là một đối tượng nghiên
cứu của một số chuyên ngành toán học. Trong Toán giải tích, các vấn đề về trang bị
tơpơ đối với khơng gian tích tenxơ, và nghiên cứu cấu trúc giải tích của chúng đã
được thực hiện trên khơng gian tuyến tính tơpơ, khơng gian lồi địa phương
(xem[1], [3]). Từ đó, người ta thu được các ứng dụng trong Lý thuyết toán tử, Giải
tích phức,… Trong khn khổ một khố luận tốt nghiệp đại học, chúng tơi lựa chọn
trình bày một số vấn đề cơ bản nhất về tích tenxơ của hai khơng gian Banach thơng
qua đề tài:
Về tích tenxơ của các khơng gian Banach.
Dựa vào tài liệu [4], chúng tơi trình bày 2 phương pháp trang bị chuẩn đối
với tích tenxơ của hai không gian Banach và nghiên cứu một số ví dụ, tính chất
của các khơng gian đó. Với nội dung đó khố luận được viết thành 2 chương:
Chương 1. Tích tenxơ của các khơng gian vectơ.
Chương 2. Tích tenxơ của các không gian Banach.


3
Khóa luận được hồn thành tại trường đại học Vinh dưới sự hướng dẫn chu
đáo và nhiệt tình của Ths. Kiều Phương Chi. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu
sắc tới thầy giáo Kiều Phương Chi, các thầy cơ giáo trong khoa Tốn, tập thể lớp
47A, bạn bè và người thân, đặc biệt là gia đình đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp
đỡ tác giả hoàn thành khóa luận.
Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song khóa luận khơng tránh khỏi những
thiếu xót về nội dung và hình thức. Tác giả rất mong sẽ nhận được những lời chỉ
bảo quý báu của thầy cô giáo và sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khóa luận hồn
thiện hơn.
Vinh, ngày 08 tháng 05 năm 2010
Đinh Bích Hảo

4

Chương 1: TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHƠNG GIAN VÉCTƠ
Chương này trình bày một số kết quả về khơng gian véctơ, khơng gian Banach cần
dùng về sau và tích tenxơ của các không gian véctơ.

1.1. Không gian véctơ
1.1.1. Định nghĩa. Tập hợp V   cùng với phép cộng véctơ: V V  V

 x; y 

x y

và phép nhân vô hướng: K V  V

 ; x 

x

được gọi là không gian véctơ trên trường K nếu với mọi x, y , z  V và  ,   K
các điều kiện sau đây thỏa mãn:

i)  x  y   z  x   y  z 
ii) x  y  y  x
iii) Tồn tại véctơ khơng, có tính chất

0 x  x0  x

iv) Tồn tại vectơ  x , gọi là véctơ đối của x , sao cho

x  x  x  x  0
v)   x     x 
vi)     x   x   x

vii)   x  y    x   y
viii ) 1.x  x
Ta gọi phần tử của V là véctơ, phần tử của K là phần tử vơ hướng.
1.1.2. Ví dụ. 1) Cho K là một trường. Khi đó K n   x  ( x1 ,..., xn ) : xi  K là
khơng gian véctơ với hai phép tốn cộng và nhân vô hướng thông thường.
2) Tập tất cả các đa thức một biến K  x với phép cộng đa thức thông thường
và phép nhân đa thức với phần tử của trường là một không gian véctơ.


5




3) Không gian l1   x  ( xn )  K :




 xn    với phép toán cộng


n 1

x  y   xn  yn  , x   xn  , y   yn  và phép nhân với vô hướng

 x    xn  ,   K, x   xn  là một không gian véctơ.
1.1.3. Định nghĩa. Cho X là không gian véctơ trên trường K . Một tập con hữu hạn

M   x1 , x2 ,..., xn   X gọi là độc lập tuyến tính nếu 1 ,2 ,...,n K mà
n

 x
i 1

i i

 0 thì 1  2  ...  n  0 . Một tập tùy ý M  X gọi là độc lập tuyến

tính nếu mọi tập con hữu hạn của nó đều độc lập tuyến tính.
Cho M   x1 , x2 ,..., xn  là một họ véctơ của X. Ta gọi tập tất cả những tổ
hợp tuyến tính của các véctơ của M là bao tuyến tính của M, kí hiệu span(M).
1.1.4. Định nghĩa. Cho X , Y là các không gian véctơ trên trường K . Ánh xạ

f : X Y

là ánh xạ tuyến tính nếu

f  x   y    f  x    f  y  ,

x, y  X ;  ,   K . Ánh xạ tuyến tính cịn được gọi là tốn tử tuyến tính. Nếu
f là ánh xạ tuyến tính thì f  0   0 .
Kí hiệu L  X , Y  là không gian véctơ của các ánh xạ tuyến tính từ X vào Y.
Ánh xạ tuyến tính f : X  K gọi là dạng tuyến tính. Không gian vectơ

X #  L  X , K  gọi là đối ngẫu đại số của X.
Nếu f : X  Y là ánh xạ tuyến tính thì ánh xạ f  : Y #  X # xác định bởi

f *  y   y f , y  Y # gọi là ánh xạ đối ngẫu của f.
Ánh xạ tuyến tính f : X  Y là song ánh được gọi là một phép đẳng cấu
đại số, các không gian X, Y gọi là đẳng cấu đại số với nhau.


6

1.2. Không gian định chuẩn
1.2.1. Định nghĩa. Giả sử E là không gian véctơ trên trường K và p : E 

x

:

x là một hàm, hàm p được gọi là một chuẩn trên E nếu thỏa mãn các điều

kiện sau:

i) x  0, x  E; x  0  x  0 ;
ii)  x   x , x  E;   K ;
iii) x  y  x  y , x, y  E.
1.2.2. Định nghĩa. Không gian định chuẩn E được gọi là không gian Banach nếu E
không gian mêtric đầy đủ đối với mêtric sinh bởi chuẩn.
Không gian mêtric X được gọi là đầy đủ nếu với mọi dãy Cauchy trong X
đều hội tụ.
1.2.3. Ví dụ. 1) Xét K n là khơng gian tuyến tính trên K . Với mỗi

x   x1 , x2 ,..., xn  ta xác định hàm: . 1 : K n 

. 2 : Kn 

n
với x 2 :  xi ;
i1

. 3 : Kn 

với x 3 : Max xi .
1in

1

2 2
 n
với x 1 :   xi  ;


 i1


Khi đó . 1 ; . 2 ; . 3 là 3 chuẩn trên K n và K n là không gian Banach với các chuẩn
trên.
2) Cho K là không gian tôpô Hausdorff compact, C ( K ) là không gian các hàm
liên tục trên K . Khi đó C ( K ) là khơng gian Banach với chuẩn f : sup f  x  .

xK

Hơn nữa, nếu X là một không gian Banach thì C ( K , X ) là khơng gian các hàm
liên tục trên K nhận giá trị trong X cũng là không gian Banach với chuẩn


7

f : sup f  x  .
xK



3) l1   x  ( xn )  K :  xn    là không gian định chuẩn với chuẩn xác định

n 1


bởi x 



 xn , x  ( xn )  l1.

n 1

1.2.4. Định nghĩa. Cho X, Y là các không gian định chuẩn trên trường K. Ánh xạ
tuyến tính f : X  Y được gọi là liên tục tại a  X khi và chỉ khi với mọi   0 ,
tồn tại   0 sao cho x  X mà x  a   thì f  x   f  a    . Kí hiệu
L  X,Y  là khơng các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y.
Không gian L  X, K   X  được gọi là không gian liên hợp ( hay đối ngẫu) thứ
nhất của X.

Không gian L  X  , K   X  được gọi là không gian liên hợp thứ hai của X.
1.2.5. Định nghĩa. Cho X, Y là các không gian định chuẩn. Ánh xạ f : X  Y
được gọi là một đẳng cự nếu f  x   f  y   x  y , x, y  X .
1.2.6. Định lý. Cho E là không gian Banach. Khi đó E n là khơng gian Banach với
n

chuẩn p( x)   x i , x  ( xi )  E n .
i 1

n

Chứng minh. Dễ dàng kiểm tra được p( x)   x i , x  ( xi )  E n là một chuẩn
i 1

trên E n . Ta chứng minh tính Banach của E n . Thật vậy, giả sử

( x k )k 1  ( x1k ,..., xnk )k 1  E n là một dãy Cauchy. Khi đó, với mọi   0, tồn tại

k0 sao cho
n

p( x k  xl )   xik  xil   , k , l  k0 .
i 1

(1.1)


8
Từ đây suy ra xik  xil   , k , l  k0 , i  1,..., n. Do đó, với mỗi i  1,..., n ,

( xik )k 1 là dãy Cauchy trong E. Vì E là không gian Banach nên

xik  xi  E khi k  .
Đặt x  ( x1 ,..., xn )  E n . Khi đó, trong (1.1) ta cố định k  k0 và cho l   ta
nhận được
n

p( x  x)   xik  xi   , k  k0 .
k

i 1

Vì vậy xk 
 x khi k  . Điều phải chứng minh.
p

Chứng minh tương tự ta nhận được các kết quả sau.
1.2.7. Định lý. Cho E là khơng gian Banach. Khi đó



l1 ( E )   x  ( xn )  E :  xn   

n 1


là không gian Banach với chuẩn


p( x)   x n , x  ( xn )  l1 ( E ).

n 1

1.2.8. Định lý. Cho E là khơng gian Banach. Khi đó

c0 ( E )  x  ( xn )  E : xn  0
là không gian Banach với chuẩn

p( x)   xn   sup n xn .
1.3. Tích tenxơ của các không gian vectơ
1.3.1. Định nghĩa. Cho X , Y , Z là các không gian vectơ trên trường K. Ánh xạ

A : X  Y  Z được gọi là ánh xạ song tuyến tính nếu
1) A 1 x1   2 x2 , y   1 A  x1 , y    2 A x2 , y  ,
2) A  x, 1 y1   2 y2   1 A  x, y1    2 A  x, y2  ,


9
với mọi xi , x  X , yi , y Y và i , i  K., i  1,2. Nếu Z  K thì ta gọi là dạng
song tuyến tính.
Kí hiệu B  X  Y , Z  là tập hợp các ánh xạ song tuyến tính từ X  Y vào
Z, khi đó B  X  Y , Z  là không gian véctơ trên trường K với các phép tốn cộng
và nhân vơ hướng các ánh xạ theo điểm thông thường. Ta ký hiệu B  X  Y  là
không gian véctơ của các dạng song tuyến tính.
1.3.2. Định nghĩa. Cho X , Y là các không gian véctơ trên trường K . Với mỗi

x  X , y  Y xét dạng tuyến tính x  y : B( X , Y )  K. xác định như sau:

 x  y  A 

A, x  y  A  x, y  , A  B( X , Y ).

Khi đó x  y được gọi là tích tenxơ của x và y. Ký hiệu X  Y là tập hợp tất cả
các tích tenxơ của X và Y. Ta dễ dàng kiểm tra được X  Y là không gian con của

B  X  Y  . Từ đó suy ra một tenxơ trong X  Y có dạng
#

n

u   i xi  yi với n  ; i  K ; xi  X ; yi Y .
i 1

Từ định nghĩa ta nhận được các tính chất đơn giản sau của tích tenxơ.
n

i) Nếu u   i xi  yi là một tenxơ và A là một dạng song tuyến tính thì sự tác
i 1

động của u trên A được cho bởi u  A   A,  i xi  yi   i A  xi , yi  .
ii) Ánh xạ:  x; y 

n

n

i 1

i 1

x  y là song tuyến tính. Do đó, ta có:

(a)  x1  x2   y  x1  y  x2  y ;
(b) x   y1  y2   x  y1  x  y2 ;
(c)   x  y     x   y  x    y  ;
(d) 0  y  x  0  0 .


10
n

Sử dụng (c) suy ra u cịn có sự biểu diễn u   xi  yi .
i 1

Mệnh đề sau đưa ra cách xác định cơ sở đối với khơng gian tích tenxơ.
1.3.3. Mệnh đề. Cho X và Y là không gian vectơ.
a) Cho E và F tương ứng là tập con độc lập tuyến tính của X và Y. Khi đó:

x  y : x  E, y  F là một tập con độc lập tuyến tính của

X Y .

b) Nếu ei : i  I  và  f j : j  J  tương ứng là cơ sở của X,Y thì

e  f :  i; j   I  J  là một cơ sở của X  Y .
i

j

n

Chứng minh. a) Giả sử u   i xi  yi = 0; xi  E; yi  F , i K .
i 1

Với mỗi   X # ; Y # , xét dạng song tuyến tính xác định bởi

A  x; y     x   y  . Ta có u  A  0 . Do đó





  .  x   y      ( x ) y  0
n

i 1

với mỗi  Y # , suy ra

i

i

i

n

  ( x )y  0
i 1

i

i

i

n

i 1

i

i

i

với mọi   X # . Vì F độc lập tuyến tính

nên ta có 
( xi )  0 ,   X # . Vì E độc lập tuyến tính nên mỗi xi  0 , ta nhận
i
được i  0 với mọi i  1,..., n.
b) Ta có, x  X : x   xi ei ; y  Y : y   y j f j , với xi , y j  K, i  I , j  J (các
tổng trên là hữu hạn). Ta có

x  y  (  xi ei )  (  y j f j )   ( ( xi ei  y j f j ))   xi y j ei  f j .
Suy ra ei  f j :  i; j   I  J  là hệ sinh của X  Y . Kết hợp với a) ta nhận được

e  f :  i; j   I  J  là cơ sở của X  Y . Mệnh đề được chứng minh.
i

j

1.3.4. Nhận xét. 1) Từ Mệnh đề trên ta nhận được, nếu X, Y là không gian hữu hạn
chiều thì dim  X  Y  = dim(X).dim(Y).


11
n

2) Cho mỗi 0  u  X  Y , giả sử u có sự biểu diễn u   xi  yi với n là một số
i 1

tự nhiên nhỏ nhất. Khi đó, các tập  x1 ; x2 ;...; xn  và  y1 ; y2 ;...; yn  là độc lập tuyến
tính. Số n được gọi là hạng của u.
Mệnh đề sau mô tả đặc trưng của tenxơ không. Từ đây ta nhận được đặc
trưng của 2 tenxơ bằng nhau.
n

1.3.5. Mệnh đề. Cho u   xi  yi  X  Y . Các mệnh đề sau là tương đương:
i 1

i)

u = 0;

ii)

  x   y   0;   X ,   Y
n

#

i

i 1

i

#

;

  x y  0;   X ;
n

iii)

#

i

i 1

i

 x  y   0;   Y
n

iv)

i 1

i

#

i

.

Chứng minh. i)  ii) Với   X # , Y # , xét A( x; y)    x  .  y  . Khi đó

A  B ( X , Y ). Ta có u  A  0 , suy ra
 iii)

Ta có



i 1

i

i

i

i 1

iii)

 iv)

iv)

 i)

i

n

i

i

i 1

   x y  0 , với mọi   X
n

Suy ra

i

i 1



   x   y       x  y  0 với mọi  Y
n

ii)

  x   y   0 .
n

#

i

#

.

.

Lý luận tương tự như trên.

Giả sử

  y x  0 với mọi  Y . Ta cần chứng minh u  0.
n

i 1

#

i

i

Lấy A  B  X  Y  và gọi E, F là các không gian con của X , Y tương ứng sinh
bởi  x1 ; x2 ;...; xn  ;  y1 ; y2 ;...; yn  . Gọi B là hạn chế của A trên E  F .
Chọn trước cơ sở cho các không gian hữu hạn chiều E, F và xét một sự biểu
diễn B dạng


12

B  x; y     j  x  w j  y  , trong đó  j  E # ; w j  F # .
m

j 1

Theo định lý Hahn-Banach chúng ta có thể mở rộng tuyến tính  j , w j tương ứng
lên X, Y. Khi đó, chúng ta có thể xem B như một dạng song tuyến tính trên X  Y
bằng cách sử dụng sự biểu diễn của B được cho ở trên. Lưu ý rằng A và B có thể là
dạng song tuyến tính khác nhau trên X  Y , nhưng chúng bằng nhau trên E  F .
Khi đó ta có

u  A   A  xi , yi    B  xi , yi 
n

n

i 1

i 1

    j  xi w j  yi    j

n

m

m

i 1 j 1

j 1





w  y  x  0.
n

i 1

j

i

i

(đẳng thức cuối cùng là sử dụng iv) với mỗi w j  F # .Ta nhận được

u  A  0, A  B  X  Y  , hay u  0.
1.3.6. Định nghĩa. Một tập S của một không gian đối ngẫu X # được gọi là tách
nếu   x   0,   S thì x  0 .

1.3.7. Nhận xét. Ta dễ dàng kiểm tra được rằng

n

   0 trong X  Y
i 1

#

i

i

#

khi

   x   y   0, x  X , y  Y .
n

và chỉ khi

i 1

i

i

Giả sử E, F tương ứng là không gian con của khơng gian véctơ X, Y. Khi đó

E  F có thể được xem như khơng gian con của X  Y một cách tự nhiên như sau.
n

Nếu u   xi  yi là một phần tử của E  F thì chúng ta có thể coi u là một phần
i 1

tử của X  Y bởi công thức

u ( A)  A, u   A  xi ; yi  : u ( A); với mọi A  B  X , Y  .
n

i 1


13
Từ đó cho phép ta xác định một ánh xạ tuyến tính: E  F  X  Y xác định bởi
n

u  u. Ánh xạ này là đơn ánh, thật vậy giả sử  xi  yi  0 trên X  Y . Khi đó,
i 1

với mỗi dạng song tuyến tính B trên E  F tồn tại dạng song tuyến tính A trên X  Y
sao cho

 B  xi , yi    A  xi , yi  . Vì
n

n

i 1

i 1

n

x  y 0
i 1

i

i

 Bx , y  = 0
n

i

i 1

i

với mọi B nên

trên E  F . Suy ra điều phải chứng minh.

Mệnh đề sau trình bày sự phân tích tích tenxơ qua tổng trực tiếp của tích
tenxơ các khơng gian con.
1.3.8. Mệnh đề. Nếu Y  F0  F1 thì X  Y   X  F0   Y  F1 
Chứng minh. Rõ ràng X  Y là bao tuyến tính của 2 khơng gian con  X  F0 
và  X  F1  . Ta chỉ cần chứng minh  X  F0 

u   X  F0 

 X  F   0 . Giả sử
1

 X  F .
1

Khi đó

u  n v  y

i
i

i 1
với yi  F0 ; z j  F1 ; vi , w j  X .

m
u   w j  z j
j 1

Với mọi   X # , ta có

   v y     w  z
n

i 1

i

i

i

i 1

   v y  0 ;   X
n

m

#

i

j 1

j

j

. Vì F0

F1  0 nên

. Áp dụng Mệnh đề 1.3.5 ta nhận được u  0.

1.3.9. Nhận xét. Từ Mệnh đề trên suy ra không gian thương X  Y X  F0 được

đồng nhất với X  Y F0  .
Định lý sau trình bày cấu trúc của đối ngẫu đại số của không gian X  Y .


14
1.3.10. Định lý. Nếu X , Y là các không gian véctơ trên trường K thì

B( X  Y )  ( X  Y ) # .
Chứng minh. Cho A : X  Y  K là một dạng song tuyến tính. Xét ánh xạ

A : X  Y  K xác định bởi u  X  Y

A(u )  u ( A). Dễ dàng kiểm tra được

A là dạng tuyến tính trên X  Y . Hơn nữa,

A( x  y)  ( x  y)( A)  A( x, y)
và suy ra
n

n

i 1

i 1

A( xi  yi )   A( xi , yi ).
Bây giờ, giả sử   ( X  Y )# . Khi đó, hợp thành của  với ánh xạ

( x, y )  X  Y

x  y  X Y

là một dạng song tuyến tính A trên X  Y . Hơn nữa dễ dàng kiểm tra được

A  . Vì vậy, ánh xạ A  B( X  Y )

A  X  Y là một đẳng cấu tuyến tính.

Do đó B( X  Y )  ( X  Y )# . Định lý được chứng minh.
Tương tự như chứng minh của Định lý 1.3.10 ta có: nếu A : X  Y Z là
một ánh xạ song tuyến tính. Ta xác định ánh xạ A : X  Y  Z như sau
n

n

i 1

i 1

A( xi  yi )   A( xi , yi ).
n

Giả sử

 xi  yi  0 . Khi đó, với mỗi   Z # , hợp thành  A là một dạng song

i 1

tuyến tính trên X  Y và

n

n

n

i 1

i 1

i 1

 ( A( xi , yi ))    A( xi , yi ) ( xi  yi )( A)  0.
n

Suy ra

 A( xi , yi )  0. Vì vậy A

i 1

hồn tồn xác định. Ta nhận được mệnh đề sau.


15
1.3.11. Mệnh đề (tuyến tính hố) Cho mỗi ánh xạ song tuyến tính: A : X  Y  Z ,
tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính: A : X  Y  Z sao cho

A  x, y   A  x  y  , x  X , y  Y .
Hơn nữa, sự tương ứng A  A là một phép đẳng cấu giữa không gian vectơ

B  X  Y , Z  và L  X  Y , Z  .
1.3.12. Mệnh đề. Cho X và Y là các không gian vectơ. Giả sử tồn tại một không
gian vectơ W và một ánh xạ song tuyến tính B : X  Y  W sao cho mỗi không
gian vectơ Z và mỗi ánh xạ song tuyến tính A : X  Y  Z , có duy nhất một ánh xạ
tuyến tính L: W  Z sao cho A  L B . Khi đó, có một phép đẳng cấu J:

X  Y  W sao cho: J  x  y   B  x, y  với x  X , y  Y .
Chứng minh. Đầu tiên ta chỉ ra W là bao tuyến tính của ảnh X  Y qua ánh xạ B.
Thật vậy, áp dụng giả thiết định lý đối với A  B , Z  spanB( X  Y ) và từ tính
duy nhất của L ta nhận được W  spanB( X  Y ). Tiếp theo, áp dụng giả thiết
định lý cho Z  X  Y và ánh xạ

A : X  Y  X  Y xác định bởi A( x, y )  x  y ,
ta nhận được ánh xạ tuyến tính L : W  X  Y sao cho L( B ( x, y ))  x  y với
mọi x, y. Mặt khác, theo Mệnh đề 1.3.11, tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính

B : X  Y  W sao cho B( x  y)  B( x, y) với mọi x, y. Ta nhận được

B L( B( x, y))  B( x, y) và L B( x  y)  x  y.
Vì X  Y và W là tổ hợp tuyến tính của các phần tử x  y và B ( x, y ) suy ra

J  B là đẳng cấu cần tìm.
Sau đây ta định nghĩa tenxơ của hai ánh xạ tuyến tính.
1.3.13. Định nghĩa. Cho các ánh xạ tuyến tính S : X  E và T : Y  F . Khi đó,
tenxơ của T và S là ánh xạ tuyến tính T  S : X  Y  E  F được cho bởi

( S  T )( x  y )  ( Sx)  (Ty ), x  X ,y  Y .

16
Sau đây ta đưa ra một số ví dụ về tích tenxơ của hai khơng gian.
1.3.14. Ví dụ. 1) Khơng gian của các ma trận
Xét tích tenxơ K n  K m , ở đây K n , K m được cho với cơ sở tiêu chuẩn

e , e ,..., e 
1

2

n

 f , f ,..., f 

và

1

2

m

tương ứng. Tích tenxơ có thể được đồng nhất với

khơng gian vectơ M mn  K  của ma trận cấp m  n với các phần tử thuộc K. Tenxơ

ei  f j được đồng nhất với ma trận có số hạng bằng 1 ở vị trí  i, j  và bằng 0 ở
các vị trí khác.Vì vậy, cơ sở tích tenxơ ei  f j  tương ứng là cơ sở tiêu chuẩn cho

M mn  K  .

2) Không gian hàm nhận giá trị vectơ
Cho F  S  là không gian vectơ của tất cả các hàm từ S vào K , với định nghĩa
phép cộng và phép nhân với vô hướng thông thường. Cho X là một không gian
vectơ và F  S , X  là không gian vectơ của hàm từ S nhận giá trị trong X . Cho

f  s  x và

mỗi f  F  S  và x  X , ta định nghĩa hàm S  X xác định bởi s
ký hiệu là f .x .
Xét dạng song tuyến tính ( f , x)  F  S   X

f .x  F  S , X  . Áp dụng Mệnh

đề 1.3.11, chúng ta thu được một ánh xạ tuyến tính F  S   X  F  S , X  được
n

cho bởi

 f x
i 1

i

i

n

 f .x
i 1

i

i

.

Ta chỉ ra ánh xạ này là đơn ánh. Thật vậy, giả sử

n

 f .x  0 . Khi đó, ta có
i 1

i

i

n

 f (s).x  0, s  S .
i 1

Nhưng những hàm tử định giá f

i

i

f  s  là một tập con tách của khơng gian đối

ngẫu của F  S  .Vì vậy, áp dụng Mệnh đề 1.3.5 ta có

n

 f x 0
i 1

i

i

trong


17

F  S   X . Bằng phép nhúng F  S   X  F  S , X  ta có tích tenxơ

n

 f x
i 1

i

i

của không gian hàm F  S  với không gian X có thể được biểu diễn bởi hàm

 f  s  .x

n

s

i 1

i

i

.


18

Chương 2: TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHƠNG GIAN BANACH
Chương này trình bày hai phương pháp trang bị chuẩn đối với tích tenxơ của
hai khơng gian Banach.

2.1. Tích tenxơ của khơng gian Banach với chuẩn xạ ảnh
Cho X, Y là các không gian Banach và với mỗi u  X  Y ta định nghĩa
n
n

  u   inf  xi yi : u   xi  yi  ,
i 1
 i1


 2.1

trong đó cận dưới đúng được lấy qua mọi sự biểu diễn của u. Rõ ràng

 ( x  y)  x y với mọi x, y  X . Ta ký hiệu X * là đối ngẫu của X . Khi đó ta
có định lý sau.
2.1.1. Định lý. Nếu X và Y là các không gian Banach thì  là một chuẩn trên

X Y.
Chứng minh. Đầu tiên, ta chỉ ra rằng   u      u  . Thật vậy, khi   0 thì
n

n

i 1

i 1

  0   0 , vì thế giả sử   0 . Nếu u   xi  yi thì  u     xi   yi . Do đó
n

  u     xi yi  
i 1

n


i 1

xi yi

Suy ra   u      u  với mọi sự biểu diễn của u. Tương tự, ta có

  u      1u      u 
1

với

mọi

sự

biểu

diễn

của

u.

Suy

  u      u  với mọi  K và u  X  Y .

ra

   u     u  . Do đó,


19
Tiếp theo ta chỉ ra  thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Với u, v  X  Y

và cho   0 tuỳ ý. Khi đó từ tính chất của cận dưới đúng ta chọn được các biểu
n

diễn u   xi  yi và v 
i 1

n


i 1

Khi đó

m

w

j

j 1

 z j sao cho

xi yi    u  

n

m

i 1

j 1





m

và

2

w
j 1

z j   v  .
2

j

 xi  yi   w j  z j là một sự biểu diễn của u+v và
n

m

i 1

j 1

  u  v    xi yi   w j z j    u     v    .
Vì  tuỳ ý nên suy ra   u  v     u     v  .
Cuối cùng, giả sử   u   0 . Khi đó, với mọi   0 , tồn tại một biểu diễn
n

u   xi  yi của u sao cho
i 1

n


i 1

xi yi   . Do đó, với mọi   X  ,  Y  ta

có
n

  x   y   
i

i 1

i

  .

n

Từ giá trị của tổng

  x   y  không phụ thuộc sự biểu diễn của u và bất
i

i 1

i

n

đẳng thức trên suy ra

  x   y   0 . Từ X
i 1

i

i



, Y  là tập con tách của đối ngẫu

đại số tương ứng X # , Y # và theo Mệnh đề 1.3.5 suy ra u  0 .
2.1.2. Định nghĩa. Chuẩn  trên X  Y xác định như trong (2.1) được gọi là
chuẩn xạ ảnh của khơng gian tích tenxơ X  Y .
2.1.3. Mệnh đề. Nếu x  X và y  Y thì  ( x  y)  x y .


20

Chứng minh. Rõ ràng   x  y   x y . Áp dụng hệ quả của Định lý HahnBanach, tồn tại   X * ,  Y * sao cho,   1,   x   x và   1,

  y   y . Xét dạng song tuyến tính bị chặn B trên X  Y được cho bởi
B  w, z     w   z  . Áp dụng Mệnh đề 1.3.11 ta được một dạng tuyến tính B
trên X  Y sao cho
n

n

i 1

i 1

B( xi  yi )   B( xi , yi ) .
Ta có
n
n
n
 n

B   xi  yi    B  xi  yi      xi   yi    xi yi
i 1
i 1
 i 1
 i 1

Suy ra B  u     u  , u  X  Y . Do vậy, B là một hàm tuyến tính bị chặn trên
khơng gian được định chuẩn  X  Y ,   và B  1. Suy ra

x y   ( x) ( y )  B( x, y )  B  x  y     x  y  .

Ta nhận được  ( x  y)  x y .
2.1.4. Nhận xét. Ta sẽ ký hiệu tích tenxơ X  Y được cho bởi chuẩn xạ ảnh,  là

X  Y . Ta có X  Y khơng đầy đủ nếu X , Y đồng thời là vô hạn chiều, tức là
X  Y không phải là không gian Banach. Bao đầy của X  Y được ký hiệu
bởi X  Y . Không gian Banach X  Y được gọi là tích tenxơ xạ ảnh của các
khơng gian Banach X, Y.
Mệnh đề sau mơ tả tích tenxơ xạ ảnh của một không gian hữu hạn chiều và
không gian Banach.
2.1.5. Mệnh đề. Nếu X là một không gian Banach thì K n  X  X n ,trong
đó X n là không gian Banach với chuẩn được xác định như trong Định lý 1.2.5.


21
Chứng minh. Lập ánh xạ  : X n  K n  X xác định bởi
n

( x1 ,..., xn )   ei  xi với mọi x  ( x1 ,..., xn )  X n .
i 1

Dễ dàng kiểm tra được  là một ánh xạ tuyến tính. Ta chứng minh  là một đơn

 

n

ánh. Giả sử ( x)  ( x1 ,..., xn )   ei  xi  0. Khi đó, với mọi   K n
i 1

*

ta

có
n

 2.2 

 (ei ) xi  0

i 1

Với mỗi i  1, 2,..., n ta xét  i : K n  K xác định bởi

 i (1 ,..., n )  i .

 

*

Ta có  i  K n . Áp dụng (2.2) lần lượt cho các  i ta nhận được các xi  0. Suy
ra x  0. Tiếp theo ta chỉ ra  là một toàn ánh. Giả sử u    x  K n  X với

  (1 ,..., n )  K n và x  X . Xét phần tử v  (1 x,..., n x)  X n . Ta có
n

 (v)   (1 x,..., n x)   ei  i x   i ei  x    i ei   x  (1 ,..., n )  x.
i 1
i 1
 i 1


Vậy  là một song ánh. Do đó, tồn tại một song ánh tuyến tính ( là ánh xạ ngược
n

của  )  : K n  X

n

X n sao cho (  x)  (i x) . Ta có
n

n

n

i 1

i 1

i 1

 (u )   (  x)   i x   i x  ( i ) x   x   (u ).
Vậy  là một đẳng cự, đẳng cấu tuyến tính. Suy ra  là một đẳng cấu, tức là

K n  X  X n . Định lý được chứng minh.
Ta dễ dàng nhận được hệ quả sau.
2.1.6. Hệ quả. Tích tenxơ xạ ảnh của khơng gian hữu hạn chiều với không gian
Banach là một không gian Banach.

22
Mệnh đề sau mơ tả cấu trúc của hình cầu đơn vị đóng của khơng gian tích
tenxơ xạ ảnh. Ta ký hiệu BX là hình cầu đơn vị đóng của khơng gian Banach X .
2.1.7. Mệnh đề. Hình cầu đơn vị đóng của X  Y là bao lồi đóng của tập

BX  BY .
Chứng minh. Vì hình cầu đơn vị đóng của X  Y là bao đóng của hình cầu đơn
vị đóng của tích tenxơ X  Y nên ta chỉ cần chứng minh mệnh đề cho không
gian X  Y . Giả sử u nằm trong hình cầu mở của X  Y . Khi đó, theo định
nghĩa của chuẩn xạ ảnh, tồn tại biểu diễn của u sao cho
n

u   xi  yi , xi , yi  0 và
i 1

Đặt wi  xi

1

xi , zi  yi

1

n


i 1

xi yi  1.
n

yi và i  xi yi . Khi đó, u   i w i  zi trong

đó wi  BX , zi  BY , i  0 và

i 1

n


i 1

i



 1 . Do đó, u  co B X  BY

 (bao lồi của

BX  BY ). Suy ra hình cầu đơn vị đóng của X  Y được chứa trong bao đóng,
lồi của B

X

 B . Rõ ràng, B  B được chứa trong hình cầu đơn vị đóng của
Y
X
Y

X  Y . Suy ra điều phải chứng minh.
Định lý sau cho phép mô tả cấu trúc của đối ngẫu của khơng gian tích tenxơ
xạ ảnh.
2.1.8. Định lý. Giả sử B : X  Y  Z là một ánh xạ song tuyến tính bị chặn. Khi
đó, tồn tại duy nhất một ánh xạ B : X  Y  Z thoả mãn B( x, y)  B( x, y) với
mọi x  X và y  Y . Hơn nữa, tương ứng B  B là một đẳng cấu đẳng cự giữa
các không gian Banach B ( X  Y , Z ) và L( X  Y , Z ) .


23
Chứng minh. Theo Mệnh đề 1.3.11, tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính

B : X  Y  Z sao cho B( x, y)  B( x, y) với mọi x  X và y  Y . Ta chỉ ra B
n

là toán tử bị chặn đối với chuẩn xạ ảnh trên X  Y . Với u   xi  yi  X  Y ta
i 1

có
n

B(u )  B( xi , yi )  B
i 1

n

 xi yi

i 1

(bởi vì B là song tuyến tính bị chặn). Bất đẳng thức trên đúng với mọi sự biểu diễn
của u . Suy ra B(u)  B  (u) với mọi u  X  Y . Vậy B là bị chặn và

B  B . Mặt khác
B( x, y)  B( x  y)  B  ( x  y)  B x y
với mọi x  X , y  Y . Suy ra B  B . Vậy B  B . Bây giờ ta mở rộng bảo

ˆ Y Z
tồn chuẩn (duy nhất) tốn tử B : X  Y  Z thành toán tử B : X 
(ta vẫn ký hiệu toán tử mở rộng là B ). Khi đó, ánh xạ B
kiểm tra ánh xạ B

B là đẳng cự. Ta cần

ˆ  Y , Z ) . Khi đó, ánh
B là một toàn ánh. Với mọi L  ( X 

xạ song tuyến tính bị chặn được xác định bởi B ( x, y )  L( x  y ) với mọi x  X
và y  Y thoả mãn B  L. Suy ra ánh xạ B

B là một đẳng cự, đẳng cự giữa

B ( X  Y , Z ) và L( X  Y , Z ) . Định lý được chứng minh.
Với Z là trường vô hướng ta nhận được hệ quả sau.
2.1.9. Hệ quả. Đối ngẫu của không gian tenxơ xạ ảnh X  Y là khơng gian các
dạng song tuyến tính liên tục B ( X  Y ) .
Sau đây chúng ta trình bày một ví dụ về tích tenxơ xạ ảnh quan trọng.
2.1.10. Ví dụ. Khơng gian tích tenxơ xạ ảnh l1  X .