1
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH
KHOA TỐN
-------------------------------------------------
CƠ SỞ GRƯBNER
VÀ CÁC THUẬT TỐN ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGÀNH CỬ NHÂN SƢ PHẠM TOÁN
Chuyên ngành Đại số & Lý thuyết số
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS.TS. NGUYỄN THÀNH QUANG
Sinh viên thực hiện
ĐÀO THỊ BÍCH HỒI
Lớp 47A – Khoa Tốn – Trƣờng Đại học Vinh
VINH 2010
2
MỤC LỤC
Trang
Mở đầu..................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1 ...............................................................................3
CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ ........................................................3
1.1. Vành đa thức nhiều biến ................................................................... 3
1.2. Iđêan đơn thức .................................................................................. 6
1.3. Thứ tự từ ........................................................................................... 7
CHƢƠNG 2...............................................................................18
CƠ SỞ GRÖBNER VÀ ỨNG DỤNG.......................................18
2.1. Iđêan khởi đầu và cơ sở Grưbner.....................................................18
2.2. Thuật tốn chia.................................................................................22
2.3. Thuật tốn Buchberger.....................................................................24
KẾT LUẬN................................................................................28
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................29
3
MỞ ĐẦU
Tính tốn hình thức hay cịn gọi là Đại số máy tính (Computer Algebra) xuất
hiện khoảng ba chục năm nay và gần đây đã trở thành một chuyên ngành độc lập.
Nếu nhƣ thời buổi đầu máy tính chỉ thực hiện đƣợc những tính tốn bằng số cụ thể,
nhƣ giải phƣơng trình với hệ số bằng số, tính tích phân xác định… thì với sự ra đời
của Đại số máy tính ngƣời ta có thể giải phƣơng trình với hệ số bằng chữ, tính tích
phân bất định,… Đây là một chuyên ngành kết hợp chặt chẽ toán học và khoa học
máy tính. Ngƣợc lại sự phát triển của Đại số máy tính cũng có tác dụng tích cực trở
lại trong nghiên cứu toán học lý thuyết. Nhiều kết quả lý thuyết đã đƣợc phán đốn
hoặc có đƣợc phản ví dụ nhờ sử dụng máy tính.
Hạt nhân của việc tính tốn hình thức bằng máy tính trong Đại số giao hốn
và Hình học đại số chính là lý thuyết cơ sở Grưbner. Lý thuyết này đƣợc nhà tốn
học ngƣời Áo Bruno Buchberger đƣa ra trong luận án tiến sĩ của mình vào năm
1965, dƣới sự hƣớng dẫn của ngƣời thầy là Wolfgang Grưbner. Điểm mấu chốt
khởi đầu cho sự hình thành lý thuyết cơ sở Gröbner là việc mở rộng thuật toán chia
hai đa thức một biến sang trƣờng hợp các đa thức nhiều biến.
Nghiên cứu về cơ sở Gröbner và một số thuật tốn ứng dụng chính là nội
dung của khóa luận này.
Trong khóa luận này, chúng tơi trình bày một số kiến thức cơ bản về cơ sở
Gröbner, các tính chất của cơ sở Grưbner và các thuật tốn ứng dụng, các tính chất
của các đa thức dƣ. Nó đƣợc thể hiện qua các mục sau:
Chƣơng 1. Các kiến thức cơ sở.
1.1. Vành đa thức nhiều biến.
1.2. Iđêan đơn thức.
4
1.3. Thứ tự từ.
Chƣơng 2. Cơ sở Gröbner và ứng dụng.
2.1. Iđêan khởi đầu và cơ sở Grưbner.
2.2. Thuật tốn chia.
2.3. Thuật tốn Buchberger.
Qua đó, chúng tơi đã đi vào nghiên cứu một số điều kiện một tập hữu hạn
của iđêan I là cơ sở Gröbner, nghiên cứu một số tính chất về đa thức dƣ khi chia
một đa thức cho một cơ sở Grưbner.
Để hồn thành đƣợc khóa luận này tác giả đã nhận đƣợc sự hƣớng dẫn, chỉ
bảo tận tình của Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang và các thầy cô giáo
trong Tổ Đại số. Nhân dịp này, tác giả xin đƣợc gửi lời cảm ơn chân thành và sâu
sắc nhất tới Thầy giáo PGS.TS Nguyễn Thành Quang và các thầy cơ giáo trong
Khoa Tốn đã tận tình dạy bảo trong chúng em trong suốt khóa học vừa qua.
Mặc dù đã cố gắng nhƣng khóa luận khơng thể tránh khỏi những thiếu sót,
hạn chế. Tác giả rất mong nhận đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và
các bạn.
Vinh, ngày 6 tháng 5 năm 2010.
Tác giả
Đào Thị Bích Hồi
5
CHƢƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1. Vành đa thức nhiều biến
1.1.1. Đa thức. Cho R là một vành và x1 ,..., xn (n 1) là các biến. Ta gọi đơn thức là
một biểu thức có dạng x1a ...xna , trong đó (a1,…,an)
n
1
đƣợc gọi là bộ số mũ của
n
đơn thức. Nếu a1 = … = an = 0 thì đơn thức đƣợc kí hiệu là 1. Phép nhân trên tập
các đơn thức đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
( x1a1 ...xnan )( x1b1 ...xnbn ) x1a1 b1 ...xnan bn .
Nhƣ vậy phép nhân đơn thức tƣơng ứng với phép cộng các bộ số mũ trong nhóm
cộng
n
.
Từ là biểu thức có dạng x1a ...xna , trong đó R đƣợc gọi là hệ số của từ. Phần tử
1
n
của vành đƣợc gọi là phần tử vô hƣớng. Hai từ khác không x1a ...xna và x1a ...xna là
1
n
1
n
đồng dạng với nhau. Nhƣ vậy có thể xem đơn thức là từ có hệ số là 1, phần tử vơ
hƣớng là từ .1 .
Ta kí hiệu x = (x1,…, xn), a = (a1, …, an)
n
và xa = x1a ...xna .
1
n
Đa thức n biến x1, …, xn trên vành R là một tổng hình thức của các từ:
f ( x)
a
a
x a , trong đó chỉ có một số hữu hạn hệ số a 0. Từ a x a với a 0
n
đƣợc gọi là từ của đa thức f ( x) và xa là đơn thức của f ( x) .
Hai đa thức f ( x)
x
a
với mọi a
n
x
và g ( x)
a
a
a
a
a
n
đƣợc xem là bằng nhau nếu a a
n
.
Phép cộng đa thức đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
( a xa ) ( a xa )
a
n
a
n
(
a
n
a
a ) xa .
6
Vì a a 0 nếu a 0 hoặc a 0 nên trong biểu thức của đa thức tổng cũng chỉ
có hữu hạn hệ số khác 0. Nhƣ vậy tổng của hai đa thức là một đa thức.
Bằng cách nhóm các từ đồng dạng, ta có thể viết f ( x) dƣới dạng:
f ( x) 1 xa1 ... p x p ,
a
trong đó a1, …, ap
n
là các bộ số mũ khác nhau. Biểu diễn này là duy nhất và
đƣợc gọi là biểu diễn chính tắc của đa thức f ( x) .
Phép nhân đa thức đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
( a x a ).( a x a )
a
trong đó a
b ,c
n
n
a
n
a
a
xa ,
n
b c .
;b c a
Ta có a 0 khi và chỉ khi tồn tại b và c sao cho b 0 và c 0 để a b c 0 .
Suy ra biểu thức của đa thức tích cũng chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 hay tích của hai
đa thức là một đa thức.
Với hai phép toán cộng và phép tốn nhân đa thức nói trên tập tất cả các đa thức
trên vành R là một vành giao hốn, có đơn vị là đơn thức 1. Kí hiệu vành này là
R[x1, …, xn] hay R[x].
1.1.2. Vành đa thức. Vành R[x1, …, xn] xây dựng nhƣ trên đƣợc gọi là vành đa
thức n biến trên vành R.
1.1.3. Bậc của đa thức. Bậc tổng thể của đa thức f ( x)
x
a
a
a
là số
n
d egf ( x) max a1 ... an a 0 .
Chú ý: Bậc tổng thể của đa thức hằng là 0. Bậc tổng thể của đa thức không đƣợc
quy ƣớc là một số tuỳ ý.
1.1.4. Mệnh đề.
Nếu R là miền nguyên thì vành đa thức R[x] cũng là miền nguyên.
Nếu R là miền nguyên thì với mọi đa thức f ( x), g ( x) R[x] đều có
deg( f ( x) g ( x)) d egf ( x) deg g ( x) và deg( f ( x) g ( x)) max degf ( x),deg g ( x).
1.1.5. Định lí Hilbert về cơ sở. Cho R là vành Noether và x là tập n biến. Khi đó
R[x] cũng là vành Noether.
7
Hệ quả. Mọi ideal của vành đa thức K[x] trên trƣờng K là hữu hạn sinh.
1.1.6. Định nghĩa. Ước chung lớn nhất của các đa thức f1 ,..., f n K[x] là đa thức h
sao cho:
(i) h chia hết f1 ,..., f n nghĩa là tồn tại các đa thức q1 ,..., qn K[x] sao cho
f1 hq1 ,..., f n hqn .
(ii) Nếu p là đa thức khác chia hết f1 ,..., f n thì p chia hết h .
Khi đó ta kí hiệu h UCLN ( f1 ,..., f n ).
1.1.7. Mệnh đề. Cho f1 ,..., f n K[x] , n 2 . Khi đó:
(i) UCLN ( f1 ,..., f n ) tồn tại và duy nhất với sai khác một hằng số khác 0 của K.
(ii) ( f1 ,..., f n ) (UCLN ( f1 ,..., f n )).
(iii) Nếu n 3 thì UCLN ( f1 ,..., f n ) UCLN (UCLN ( f1 ,..., f n1 ), f n ).
8
1.2. Iđêan đơn thức
1.2.1. Định nghĩa. Iđêan I K[x] đƣợc gọi là iđêan đơn thức nếu nó sinh bởi các
đơn thức.
Iđêan đơn thức có dạng I ( x a ; a A) , trong đó A
n
.
1.2.2. Bổ đề. Cho I ( x a ; a A) là iđêan đơn thức. Đơn thức xb I khi và chỉ khi
xb chia hết cho một đơn thức xa với a A nào đó.
1.2.3. Bổ đề. Cho I là iđêan đơn thức và f K[x] . Các điều kiện sau là tƣơng
đƣơng:
(i) f I .
(ii) Mọi từ của f thuộc I .
(iii) f là tổ hợp tuyến tính trên K của các đơn thức thuộc I .
1.2.4. Hệ quả. Hai iđêan đơn thức trong một vành đơn thức bằng nhau nếu chứa
cùng một tập đơn thức.
1.2.5. Bổ đề. Iđêan I là iđêan đơn thức khi và chỉ khi với mọi f I , các từ của f
đều thuộc I .
2.6. Bổ đề Dickson. Mọi iđêan đơn thức I ( x a ; a A) bao giờ cũng viết đƣợc dƣới
dạng I ( x a (1) ,..., x a ( s ) ) , trong đó a(1),..., a(s) A . Nói riêng I hữu hạn sinh.
9
1.3. Thứ tự từ
1.3.1. Thứ tự, giả thứ tự.
1.3.1.1. Quan hệ. Cho X là một tập khác rỗng. Quan hệ (hai ngơi) trên X là một
tập con của tích Decarts X X . Kí hiệu là: xy,( x, y) .
1.3.1.2. Thứ tự, giả thứ tự.
Quan hệ trên tập X đƣợc gọi là một thứ tự (bộ phận) nếu nó thoả mãn các
điều kiện sau với mọi x, y, z X :
(i) xx ;
(ii) Nếu xy, yz thì xz ;
(iii) Nếu xy và yx thì x y .
Kí hiệu: , , , .
x y : “ x nhỏ hơn hoặc bằng y ”.
Nếu là một bộ phận thì quan hệ ngược: 1 ( x, y) ( y, x) cũng là thứ tự
và là thứ tự ngược của .
Nếu dùng ,
để kí hiệu thì ,
tƣơng ứng chỉ các thứ tự ngƣợc của chúng.
Kí hiệu x y để chỉ quan hệ x y và x y .
Một quan hệ
có tính chất bắc cầu và với mọi x, y X thì x
y
hoặc y x
hoặc x và y khơng có quan hệ, sẽ sinh ra một quan hệ thứ tự (bộ phận) một
cách tự nhiên: x y nếu và chỉ nếu x y hoặc x
y.
Lạm dụng ngôn ngữ ta
cũng gọi kiểu quan hệ này là thứ tự (bộ phận).
Trên tập X có một thứ tự (bộ phận) , ta nói X là tập được sắp (bộ phận).
Nếu x, y X ; x y hoặc y x thì ta nói x, y so sánh đƣợc với nhau. Ngƣợc lại x, y
không so sánh đƣợc với nhau.
10
Quan hệ thứ tự trên X đƣợc gọi là thứ tự tồn phần (hoặc thứ tự tuyến tính)
nếu mọi cặp phần tử x, y X đều so sánh đƣợc với nhau. Khi đó ta nói tập X là
tập được sắp hoàn toàn.
Quan hệ chỉ thoả mãn tính chất phản xạ và bắc cầu đƣợc gọi là giả thứ tự (bộ
phận, toàn phần).
Cho X là một tập đƣợc sắp bởi thứ tự từ và A X .
Phần tử a A đƣợc gọi là phần tử tối tiểu (tối đại) nếu với mọi b A mà
b a(a b) thì a b , tức là khơng có phần tử nào nhỏ hơn (lớn hơn) a ở trong A .
Phần tử a A đƣợc gọi là phần tử nhỏ nhất (lớn nhất) nếu với mọi b A ta có
a b(b a) .
Phần tử b X đƣợc gọi là chặn trên (chặn dưới) của A nếu mọi b A ta có
a b(b a) .
Tập X đƣợc gọi là tập được sắp thứ tự tốt nếu nó đƣợc sắp hồn tồn với mọi
tập con khác rỗng của nó có phần tử nhỏ nhất. Khi đó, thứ tự tƣơng ứng là thứ
tự tốt.
1.3.1.3. Một số tính chất của thứ tự.
Bổ đề Zorn. Nếu X là tập đƣợc sắp (bộ phận) sao cho mọi tập con khác rỗng
đƣợc sắp hồn tồn của nó bị chặn trong X , thì X có phần tử tối đại.
Định lí. Nếu X là tập đƣợc sắp thì mọi tập con hữu hạn A của X ln có phần
tử tối tiểu và phần tử tối đại. Hơn nữa nếu X là tập đƣợc sắp hồn tồn thì A
ln có phần tử nhỏ nhất và lớn nhất.
Chứng minh. Vì A là tập hữu hạn nên giả sử A x1,..., xn .
Đặt: Ai x A x xi với i 1, n . Ta sẽ chứng minh tồn tại Ai nào đó là tập rỗng hay
khơng có phần tử nào trong A nhỏ hơn xi từ đó suy ra xi là phần tử tối tiểu của A .
+ Nếu A1 thì x1 là phần tử tối tiểu của A .
+ Nếu A1 thì tồn tại một phần tử khác x1 của A thuộc A1 . Khơng mất tính tổng
qt giả sử phần tử đó là x2 . Nhƣ vậy x2 x1 . Suy ra x1 , x2 A2 .(1)
+Nếu A2 thì x2 là phần tử tối tiểu của A .
11
+Nếu A2 thì tồn tại một phần tử của A thuộc A1 . Theo (1) ta có phần tử
đó khác với x1 , x2 . Khơng mất tính tổng quát giả sử phần tử đó là x3 . Suy ra x3 x2 .
Do thứ tự có tính chất bắc cầu nên x3 x1 . Từ đó ta có x1 , x2 , x3 A3 .
… Cứ tiếp tục nhƣ vậy, nếu các tập hợp A1 ,..., An1 khác rỗng thì suy ra x1 ,..., xn An
hay An .
Tƣơng tự bằng cách đặt Bi x A x xi ta cũng chứng minh đƣợc A có phần tử
tối đại.
Nếu tập X đƣợc sắp hồn tồn thì A cũng là tập đƣợc sắp hồn tồn. Khi đó phần
tử tối tiểu chính là phần tử nhỏ nhất, phần tử tối đại chính là phần tử lớn nhất.
Định lí. Cho X là tập vô hạn và là tập các tập con thực sự của X . Cho
x1 , x2 ,... là một dãy vô hạn các phần tử của X . Khi đó với quan hệ thứ tự bao
hàm thức , mỗi phần tử của đều nhỏ hơn hoặc bằng một phần tử tối đại,
nhƣng tập con đƣợc sắp hoàn toàn
A X \ x , x
n
n 1
,... n
không bị chặn trong (Điều này chứng tỏ bổ đề Zorn chỉ cho điều kiện đủ).
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh tập
A đƣợc sắp hoàn toàn bởi quan hệ bao hàm
thức nhƣng không bị chặn trong .
+ Chứng minh là tập A đƣợc sắp hoàn toàn bởi quan hệ bao hàm thức.
Đặt X n X \ xn , xn1 ,... với n .
Vì x1, x2 ,... ... xn , xn1,... ... nên X1 ... X n ... . Nhƣ vậy
A
là tập đƣợc sắp
hoàn toàn gồm dãy tăng thực sự.
+ Chứng minh mỗi phần tử của đều nhỏ hơn hoặc bằng một phần tử tối đại.
Gọi Y là một tập con thực sự bất kì của . Khi đó tồn tại phần tử x X mà x Y .
Suy ra Y X \ x . Mà Y X \ x là phần tử tối đại trong .
+ Chứng minh A không bị chặn trong .
12
Giả sử
A
bị chặn trong tức là tồn tại Y nào đó trong sao cho
X \ xn , xn1,... Y với mọi n
. Vì Y nhỏ hơn phần tử tối đại X \ x nào đó của
nên X \ xn , xn1 ,... X \ x(*). Suy ra x x1, x2 ,... . Nhƣ vậy x là một phần tử nào
đó của dãy vơ hạn x1 , x2 ,... hay tồn tại i
sao cho a xi . Khi đó,
X i 1 X \ xi 1, xi 2 ,... chứa xi hay chính là x . Suy ra tồn tại i
sao cho
X i 1 X \ x . Điều này trái với (*) hay điều giả sử là sai.
1.3.2. Thứ tự từ.
1.3.2.1. Định nghĩa. Thứ tự từ là một thứ tự toàn phần trên tập M tất cả các đơn
thức K[x] thoả mãn các tính chất sau:
(a) Với m M thì 1 m .
(b) Mọi m1 , m2 , m M mà m1 m2 thì mm1 mm2 .
1.3.2.2. Một số thứ tự từ.
Cho là một thứ tự từ. Bằng cách đổi chỉ số ta ln có x1 x2 ... xn .
Thứ tự từ điển lex xác định nhƣ sau:
x11 ...xn n lex x11 ...xnn nếu thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơ
(1 1 ,..., n n ) là một số âm. Nói cách khác nếu tồn tại 0 i n sao cho
1 1 ,..., i i nhƣng i 1 i 1 .
Thứ tự từ điển lex là một thứ tự từ.
Thứ tự từ điển phân bậc glex xác định nhƣ sau:
x11 ...xnn glex x11 ...xnn nếu deg( x1 ...xn ) deg( x1 ...xn ) hoặc deg( x1 ...xn ) deg( x1 ...xn ) và
n
1
1
n
1
n
1
n
thành phần đầu tiên khác không kể từ bên trái của véctơ (1 1 ,..., n n ) là một số
âm.
Nói
cách
x11 ...xnn glex x11 ...xnn
khác
1 ... n 1 ... n và x1 ...xn lex x1 ...xn .
1
n
1
n
Thứ tự từ điển phân bậc glex là một thứ tự từ.
Thứ tự từ điển ngược rlex xác định nhƣ sau:
nếu
1 ... n 1 ... n
hoặc
13
x11 ...xn n rlex x11 ...xnn nếu deg( x11 ...xn n ) deg( x11 ...xnn ) hoặc deg( x11 ...xn n ) deg( x11 ...xnn )
và
thành phần đầu tiên khác không kể từ bên phải của véctơ (1 1 ,..., n n ) là một
số.dƣơng.
Thứ tự từ điển ngƣợc rlex là một thứ tự từ.
1.3.2.3. Thứ tự theo trọng. Thứ tự theo trọng liên kết với là thứ tự bộ phận
trên
M xác định bởi
x a x b nếu và chỉ nếu (a) (b) . Trong đó, hàm trọng số
trên K[x] là một phiếm hàm tuyến tính
n
n
.
Ta nói hàm trọng số tƣơng thích với thứ tự từ nếu m1 m2 kéo theo m1 m2 .
Thứ tự theo trọng là một thứ tự bộ phận, không phải là thứ tự từ.
Cho 1 ,..., s là các thứ tự bộ phận trên tập X . Tích từ điển của các thứ tự này là
quan hệ xây dựng nhƣ sau: với mọi x, y X , xy nếu và chỉ nếu tồn tại 1 i s để
x, y không so sánh đƣợc với nhau theo 1 ,..., i1 và x i y . Nói chung tích từ điển
của các thứ tự bộ phận không phải là thứ tự.
1.3.2.4. Tính chất của thứ tự từ.
Bổ đề. Một thứ tự toàn phần trên
M là thứ tự tốt khi và chỉ khi mọi dãy đơn
thức thực sự giảm m1 m2 m3 ... sẽ dừng sau hữu hạn phần tử.
Bổ đề. Mọi thứ tự từ là thứ tự tốt. Ngƣợc lại mọi thứ tự tốt trên
M thoả mãn
điều kiện (b) của định nghĩa 1.3.2.1 là thứ tự từ.
Bổ đề. Tích từ điển của các thứ tự theo trọng là thứ tự bộ phận trên
nữa, nếu tất cả các hàm trọng số nhận giá trị không âm trên
n
M . Hơn
và thứ tự tích là
thứ tự tồn phần, thì thứ tự tích là một thứ tự từ.
Định lí. Cho là một thứ tự từ sao cho x1 ... xn . Khi đó với mọi s 2 ta có
x1s ... xns .
Chứng minh. Với mọi 1 i j n bằng phƣơng pháp quy nạp theo s ta sẽ chứng
minh xis xsj .(1)
+ Với s 2 :
14
xi2 xi x j
Vì xi x j nên theo 4.2.1.b ta có:
2
xi x j x j
Mà thứ tự từ có tính chất bắc cầu nên xi2 x2j hay (1) đúng với s 2 .
+ Giả sử (1) đúng tới k tức là xik xkj .
xik 1 xik x j
k
k
x
x
Khi đó vì i j và xi x j ta có: k
k 1
xi x j x j
Suy ra xik 1 xkj 1 hay (1) đúng với s k 1 .
Nhƣ vậy (1) đƣợc chứng minh hồn tồn.
Từ đó suy ra x1s ... xns với s 2 .
Định lí. Cho là một thứ tự từ. Khi đó nếu m1 \ m2 thì m1 m2 . Điều ngƣợc lại
khơng đúng.
Chứng minh.
+ Vì m1 \ m2 nên tồn tại đơn thức m sao cho m2 mm1 . Vì là một thứ tự từ nên
1 m . Theo
4.2.1.b ta có: 1.m1 mm1 m2 hay m1 m2 .
+ Điều ngƣợc lại không đúng. Thật vậy giả sử với thứ tự từ thì x1 x2 . Khi đó ta
chọn m1 x1 , m2 x2 . Rõ ràng m1 m2 nhƣng m1 không chia hết m2 .
Định lí. Cho là một thứ tự từ và m1 m2 . Khi đó với thứ tự bất kì thì giữa m1
và m2 có thể có vơ số đơn thức (tức là các đơn thức lớn hơn m1 và nhỏ hơn m2 ).
Nhƣng với thứ tự từ phân bậc thì giữa m1 và m2 chỉ có hữu hạn đơn thức.
Chứng minh.
+ Xét thứ tự từ điển lex .
Chọn m1 x3 , m2 x1 . Khi đó m1 lex m2 .
Với các đơn thức dạng m x2k với k
*
thì m1 lex m lex m2 .
Vì có vơ số cách chọn đơn thức m nhƣ vậy nên giữa m1 và m2 có vơ số đơn thức.
+Với thứ tự từ phân bậc:
Ta có: m1 m2 deg(m1 ) deg(m2 ) .
Mà deg(m1 ), deg(m2 )
nên giữa deg(m1 ) và deg(m2 ) có hữu hạn số tự nhiên.
15
Mặt khác với mỗi số tự nhiên a thì tồn tại hữu hạn bộ số (a1 ,..., an )
n
sao cho
a1 ... an a .
Do đó có hữu hạn bộ số (a1 ,..., an )
sao cho deg(m1 ) a1 ... an deg(m2 ) hay tồn
n
tại hữu hạn đơn thức m sao cho deg(m1 ) deg(m) deg(m2 ) .
Định lí. Cho u (u1 ,..., un )
tuyến tính trên
n
sao cho u1 ,..., un là các số thực dƣơng độc lập
. Khi đó quan hệ sau đây là thứ tự từ:
n
n
i 1
i 1
x a u xb ai ui bi ui
Chứng minh.
+ u là một thứ tự:
(i) Với mọi đơn thức xa hiển nhiên ta có
n
n
i 1
i 1
aiui aiui nên x a u x a .
(ii) Với mọi đơn thức x a , xb , x c mà x a u xb , xb u x c . Suy ra
n
n
n
n
a u b u ;b u c u
i 1
Do đó
n
n
i 1
i 1
i i
i 1
i i
i 1
i i
i 1
i i
aiui ciui hay xa u xc .
(iii) Với mọi đơn thức x a , xb mà x a u xb , xb u x a . Điều này tƣơng đƣơng với
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
aiui biui ; biui aiui
Suy ra
n
n
i 1
i 1
aiui biui . Mà u1 ,..., un là các số thực dƣơng độc lập tuyến tính trên
nên ai bi (i 1, n) hay a b . Vậy xa xb .
+ u là một thứ tự toàn phần:
Với hai đơn thức x a , xb bất kì, vì
quan hệ thứ tự thông thƣờng trên
+ u là một thứ tự từ:
(a) Với mọi đơn thức xa ta có:
n
n
i 1
i 1
aiui , biui luôn so sánh đƣợc với nhau theo
nên x a , xb luôn so sánh đƣợc với nhau theo u .
16
n
Vì ai , ui khơng âm với mọi i 1, n nên ta có 0 ai ui . Suy ra 1 u x a .
i 1
(b) Với mọi đơn thức x a , xb , x c mà x a u xb thì
n
i 1
Suy ra:
n
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i 1
n
a u b u
i i
i 1
i i
.
aiui ciui biui ciui
n
n
(ai ci )ui (bi ci )ui
i 1
x
a c
i 1
u x
bc
x .x u x b .x c
a
c
Định lí. Tích từ điển của một thứ tự theo trọng nhận 1 làm phần tử cực tiểu và
một thứ tự từ là một thứ tự từ.
Chứng minh. Giả sử là hàm trọng số, là thứ tự theo trọng liên kết với hàm
trọng số , * là thứ tự từ. Gọi là tích từ điển của và * .
(a) là thứ tự.
* m m với mọi m M .
* Mọi m1 , m2 , m3 M mà m1 m2 , m2 m3 . Ta sẽ chứng minh m1 m3 .
Nếu m1 m2 hoặc m2 m3 thì có ngay điều phải chứng minh. Do đó ta chứng minh
cho m1 m2 , m2 m3 .
Giả sử m1 x a , m2 xb , m3 xc .
Trường hợp 1: m1 m2 . Ta có: (a) (b) .(1)
+ m2 m3 thì m1 m3 (do có tính chất bắc cầu).
+ m2 , m3 khơng so sánh đƣợc với nhau theo thứ tự và m2 * m3 .
Vì m2 , m3 khơng so sánh đƣợc với nhau theo thứ tự và m2 m3 nên
(b) (c) . Kết hợp với (1) ta có (a) (c) . Từ đó suy ra m1 m3 . Vậy
m1 m3 .
Trường hợp 2: m1 , m2 không so sánh đƣợc với nhau theo thứ tự và
m1 * m2 . Nhƣ vậy (a) (b) .(2)
17
+ m2 m3 thì (b) (c) . Kết hợp với (2) ta có (a) (c) . Suy ra m1 m3 . Do đó
m1 m3 .
+ m2 , m3 khơng so sánh đƣợc với nhau theo thứ tự và m2 * m3 . Suy ra
(b) (c) . Kết hợp với (2) suy ra (a) (c) . Nhƣ vậy m1 , m3 không so sánh đƣợc
với nhau theo thứ tự .
Vì * là thứ tự từ nên * có tính chất bắc cầu hay m1 * m3 . Vậy m1 m3 .
* Mọi m1 , m2 M mà m1 m2 , m2 m1 . Ta sẽ chứng minh m1 m2 . Thật vậy, giả sử
m1 m2 . Theo chứng minh trên ta có m1 m1 hay m1 m1 vơ lí vì m1 m1 theo thứ tự
.
(b) là thứ tự tồn phần.
Vì * là thứ tự từ nên nếu hai đơn thức nào đó khơng so sánh đƣợc với nhau theo
thứ tự thì lại ln so sánh đƣợc với nhau theo * . Nhƣ vậy hai đơn thức bất kì
đều có thể so sánh đƣợc với nhau theo thứ tự .
(c) là thứ tự từ:
* Mọi m M ta có:
+ Nếu m so sánh đƣợc với 1 theo thứ tự thì do nhận 1 làm phần tử cực tiểu
nên 1 m . Suy ra 1 m .
+ Nếu m không so sánh đƣợc với 1 theo thứ tự thì do * là thứ tự từ nên 1 * m .
Vậy 1 m .
*Mọi m, m1 , m2 M mà m1 m2 .
Giả sử m x a , m2 xb , m3 x c .
Ta sẽ chứng minh mm1 mm2 hay xab xac .
Nếu m1 m2 thì ta có ngay điều phải chứng minh. Vì vậy ta chứng minh cho trƣờng
hợp m1 m2 .
+ Nếu m1 m2 thì (b) (c) .
Từ đó suy ra : (a) (b) (a) (c) (a b) (a c) x a b x a c .
+ m1 , m2 không so sánh đƣợc với nhau theo thứ tự và m1 * m2 .
18
Vì m1 m2 nên (b) (c) . Từ đó suy ra mm1 mm2 và (a b) (a c) nên mm1 , mm2
không so sánh đƣợc với nhau theo thứ tự .
Mặt khác * là thứ tự từ nên mm1 * mm2 . Vậy mm1 mm2 .
Định lí. Cho là một thứ tự từ. Hình nón dƣơng của thứ tự từ này là tập
P
n
bao gồm các hiệu a b sao cho xa xb . Khi đó, P là tập nón lồi thực sự
theo nghĩa:
(a) u, v P pu qv P nếu 0 p, q
và pu qv
n
.
(b) u P u P .
Chứng minh.
(a) Giả sử u, v P . Suy ra tồn tại a, b, c, d
n
sao cho:
u a b, x a x b
c
d
v c d , x x
+ Nếu p, q
ta có: pu qv p(a b) q(c d ) ( pa qc) ( pb qd ) .
u a b, x a x b
x pa x pb
Mà
nên
qc
c
d
qd
v c d , x x
x x
Suy ra x pa .xqc x pb .xqd
x pa qc x pb qd
( pa qc) ( pb qd ) P
Hay pu qv P .
+ Nếu 0 p, q
thì:
s
t
k
l
Giả sử p ; q (k , l , s, t
k
l
s
t
Khi đó: pu qv .u .v
Vì u, v P ; k , l , s, t
Do đó tồn tại g , h
Vì pu qv
g i hi
lt
n
nên
*
n
*
).
ktu slv
.
lt
nên theo chứng minh trên ta có kut slv P .
sao cho ktu slv g h mà x g xh (*)
g h
lt
n
. Suy ra:
với mọi i 1, n hay ( gi hi ) lt với mọi i 1, n .
19
Nhƣ vậy, gi và hi đồng dƣ với nhau khi chia cho lt .
Đặt
gi ltei ri
hi ltw i r
Khi đó:
gi hi lt (ei w i )
gi hi
ei w i pu qv e w
.
lt
Ta sẽ chứng minh xe x w . Thật vậy, giả sử xe x w .
Suy ra xelt r xwlt r hay x g xh . Điều này trái với (*).
Vậy xe x w hay pu qv P .
(b) Vì u P nên tồn tại a, b
n
sao cho u a b, x a xb .
Ta sẽ chứng minh u P .
Giả sử u P . Khi đó tồn tại c, d
n
sao cho u c d , x c x d .
x a xb
Ta có: c d x a c xb d (1)
x x
Mặt khác lại có:
0 1.u 1(u )
0 ( a b) ( c d )
ac bd
x a c xb d (2)
(1) và (2) mâu thuẫn với nhau nên điều giả sử là sai.
Vậy u P .
Robiano. Mọi thứ tự từ là tích từ điển của tối đa n thứ tự theo trọng. Ngƣợc lại
tích từ điển của n thứ tự theo trọng liên kết với n hàm trọng số độc lập tuyến
tính là một thứ tự từ, nếu hàm trọng số đầu tiên không âm.
20
CHƢƠNG 2
CƠ SỞ GRÖBNER VÀ ỨNG DỤNG
2.1. Iđêan khởi đầu và cơ sở Gröbner
2.1.1. Từ khởi đầu, đơn thức đầu.
2.1.1.1. Định nghĩa. Cho là một thứ tự từ và f R K [x1 ,..., xn ] . Từ khởi đầu của
f kí hiệu là in ( f ) , là từ lớn nhất của đa thức f đối với thứ tự từ .
Nếu in ( f ) x a với 0 K , thì lc ( f ) đƣợc gọi là hệ số đầu và lm ( f ) x a là
đơn thức đầu của f đối với thứ tự từ .
Nếu thứ tự từ đã đƣợc ngầm hiểu, ta sẽ viết in( f ) (tƣơng ứng lc( f ), lm( f ) ) thay
cho in ( f ) (tƣơng ứng lc ( f ), lm ( f ) ).
Từ khởi đầu của đa thức 0 đƣợc xem là khơng xác định (có thể nhận giá trị tuỳ ý).
Từ khởi đầu còn gọi là từ đầu hay từ đầu tiên. Nhƣ vậy, nếu trong biểu diễn chính
tắc của đa thức f ta viết các từ theo thứ tự giảm dần, thì in( f ) sẽ xuất hiện đầu
tiên. Cách viết này cũng nhƣ từ khởi đầu phụ thuộc vào thứ tự từ đã chọn.
2.1.1.2. Bổ đề. Cho f , g R và m M. Ta có:
(a) in( fg ) in( f )in( g ) .
(b) in(mf ) min( f ) .
(c) lm( f g ) max lm( f ), lm( g ) .
Dấu “<” xảy ra khi in( f ) in( g ) .
2.1.2. Iđêan khởi đầu:
2.1.2.1. Định nghĩa. Cho I là iđêan của vành R và là một thứ tự từ. Iđêan khởi
đầu của I kí hiệu là in ( I ) là iđêan của R sinh bởi các từ dấu của các phần tử của
I , nghĩa là in ( I ) (in ( f ), f I ) .
Tƣơng tự ta cũng có thể viết in( I ) thay cho in ( I ) khi đã biết rõ thứ tự từ .
2.1.2.2. Bổ đề. Cho là một thứ tự từ và I , J là hai ideal của vành R . Khi đó:
21
(a) Tập tất cả các đơn thức trong in( I ) là tập lm( f ) f I .
(b) Nếu I là iđêan đơn thức thì in( I ) I .
(c) Nếu I J thì in( I ) in( J ) . Hơn nữa nếu I J và in( I ) in( J ) thì I J .
(d) in( I )in( J ) in( IJ ) .
(e) in( I ) in( J ) in( I J ) .
2.1.2.3. Định lí Macaulay. Với mọi thứ tự từ , tập B tất cả các đơn thức của
M
nằm ngoài in ( I ) lập thành một cơ sở của không gian véctơ R / I trên trƣờng K .
2.1.2.4. Định lí. Cho ideal I R và là một thứ tự từ trên R . Khi đó:
(a) Nếu là một thứ tự từ phân bậc và s
thì
dim K ( Rs / I s ) dim K ( Rs / (in ( I ))s )
(b) Nếu một trong hai không gian véctơ R / I và R / in(I ) hữu hạn chiều thì khơng
gian kia cũng hữu hạn chiều và dim R / I dim R / in( I ) .
2.1.3. Cơ sở Gröbner.
2.1.3.1. Định nghĩa. Cho là một thứ tự từ và I là một iđêan của R . Tập hữu hạn
các đa thức khác không g1 ,..., gs I đƣợc gọi là một cơ sở Gröbner của I đối với
thứ tự từ nếu: in ( I ) (in ( g1 ),..., in ( gs )) .
Tập g1 ,..., g s đƣợc gọi là cơ sở Grưbner nếu nó là cơ sở Grưbner của iđêan sinh bởi
chính các phần tử này.
Đơi khi ngƣời ta cũng gọi cơ sở Grưbner là cơ sở chuẩn tắc.
2.1.3.2. Bổ đề. Cho I là một ideal tuỳ ý của R . Nếu g1 ,..., g s là cơ sở Gröbner của
I đối với thứ tự từ nào đó thì g1 ,..., g s là cơ sở của I .
2.1.3.3. Cơ sở Gröbner tối tiểu.
Định nghĩa. Cơ sở Gröbner tối tiểu của I đối với một thứ tự từ đã cho là một
cơ sở Gröbner G I thoả mãn các tính chất sau:
(a) lc( g ) 1 với mọi g G .
(b) Mọi g G không tồn tại g ' G để in( g ') \ in( g ) .
22
Hệ qủa. Cho là một thứ tự từ. Khi đó, mọi iđêan đều có cơ sở Grưbner tối
tiểu và mọi cơ sở Gröbner tối tiểu của cùng một iđêan đều có chung một số
lƣợng phần tử và chung tập từ khởi đầu.
2.1.3.4. Cơ sở Gröbner rút gọn.
Định nghĩa. Cơ sở Gröbner rút gọn của iđêan I đối với một thứ tự từ đã cho là
một cơ sở Grưbner G của I thoả mãn các tính chất sau:
(a) lc( g ) 1 với mọi g G .
(b) Với mọi g G và mọi từ m của g không tồn tại g ' G \ g để in( g ') \ m .
Mệnh đề. Cho I 0 . Khi đó với mỗi thứ tự từ I có duy nhất một cơ sở
Grưbner rút gọn.
2.1.3.5. Định lí. Cho G I là tập hữu hạn của ideal I . Khi đó, G là cơ sở Gröbner
nếu và chỉ nếu mọi f I , in( f ) chia hết cho in( g ) của g G nào đó.
Chứng minh. Giả sử G g1,..., gs .
Ta có: G là cơ sở Grưbner của I in( I ) (in( g1 ),..., in( g s ))
Ta sẽ chứng minh in( I ) (in( g1 ),..., in( g s )) mọi f I , in( f ) chia hết cho in( g ) của
g G nào đó.
) Giả sử in( I ) (in( g1 ),..., in( g s )) .
Với mọi f I thì in( f ) in( I ) (in( g1 ),..., in( g s )) . Theo bổ đề 2.2 phải tồn tại gk G
nào đó sao cho in( f ) chia hết cho in( g k ) .
) Giả sử mọi f I , in( f ) chia hết cho in( g ) của g G nào đó.
* Hiển nhiên in( I ) (in( g1 ),..., in( gs )) .(1)
* Mọi f I , in( f ) chia hết cho in( g ) của g G nào đó nên với mọi f I thì
in( f ) in( I ) (in( g1 ),..., in( g s )) hay in( I ) (in( g1 ),..., in( g s )) .(2)
Từ (1) và (2) suy ra in( I ) (in( g1 ),..., in( g s )) .
2.1.3.6. Định lí. Cho f R K[x] sao cho f ( x1 ,..., xn ) . Khi đó ( x1 ,..., xn , f ) R .
Chứng minh. Đặt I ( x1 ,..., xn , f ) và G x1,..., xn ,1 .
23
Vì f ( x1 ,..., xn ) nên đa thức f có dạng f mi .1 trong đó mi là các từ khác 1
i
và 0 K .
Ta sẽ chứng minh G là cơ sở Gröbner của I .
Thật vậy, với mọi đa thức h I ta có in(h) ln chia hết cho 1 in(1) .
Theo định lí 2.1.3.5 suy ra G là cơ sở Gröbner của I .
Rõ ràng với mọi đa thức trong R ln biểu diễn tuyến tính đƣợc qua các đa thức
của G x1,..., xn ,1 . Vậy ( x1 ,..., xn , f ) R .
2.1.3.7. Định lí. Cho S là tập sinh đơn thức của in( I ) . Với mỗi m S kí hiệu g m là
đa thức tối tiểu trong I có in( g m ) m . Khi đó gm m S lập thành cơ sở Grưbner
rút gọn của I .
Chứng minh. Chú ý rằng in( I ) là iđêan đơn thức. Theo bổ đề Dickson ta có in( I )
hữu hạn sinh. Do đó ta chứng minh với S là tập sinh tối tiểu hữu hạn. Nhƣ vậy
g
m
m S có hữu hạn phần tử và hiển nhiên gm m S I .
Với mọi đa thức f I ta có in( f ) in(I ) . Suy ra in( f ) chia hết cho m S nào đó hay
in( f ) chia hết cho in( g m ) . Theo định lí 4.3.5 suy ra gm m S là cơ sở Gröbner của
I.
Bây giờ ta sẽ chứng minh gm m S là cơ sở Gröbner rút gọn của I .
(i) Rõ ràng lc( gm ) 1 với mọi m S .
(ii) Với mọi g m và mọi từ m của g m ta chứng minh không tồn tại g m sao cho
1
1
2
in( g m2 ) \ m .
Thật vậy, gọi g m , g m là hai đa thức bất kì thuộc gm m S . Giả sử tồn tại từ nào đó
1
2
của g m sao cho từ đó chia hết cho in( g m ) . Gọi m là từ lớn nhất trong các từ chia
1
2
hết cho in( g m ) .Vì S là tập sinh đơn thức tối tiểu nên m in( g m ) .
1
2
Vì m2 in( g m ) \ m nên m in(I ) . Suy ra tồn tại đa thức g I sao cho in( g ) m . Vì I
2
là iđêan nên đa thức h g m g I . Mà m in( g m ) nên in(h) in( gm ) . Hơn nữa
1
1
h g m1 . Điều này mâu thuẫn với cách chọn g m1 . Vậy điều giả sử là sai.
1
24
2.2. Thuật tốn chia
2.2.1. Định lí. Cố định một thứ tự trên
M và cho
F f1,..., f s R K[x1,..., xn ] .
Khi đó mọi đa thức f R có thể viết dƣới dạng f q1 f1 ... qs f s r , trong đó
qi , r R thoả mãn các điều kiện sau:
(i) Hoặc r 0 hoặc khơng có từ nào của r chia hết cho một trong các từ khởi đầu
in( f1 ),..., in( f s ) hơn nữa in(r ) in( f ) .
(ii) Nếu qi 0 thì in(qi fi ) in( f ) với i 1, s .
2.2.2. Định nghĩa. Đa thức r ở trên đƣợc gọi là đa thức dư hoặc phần dư của f
khi chia cho F và đƣợc kí hiệu là r RemF ( f ) . Biểu diễn trên của f đƣợc gọi là
biểu diễn chính tắc của f theo f1 ,..., f s .
2.2.3. Thuật tốn chia đa thức.
Định lí 5.1 đƣợc chứng minh bằng thuật tốn sau:
Tìm PHANDU ( f ; f1 ,..., f s ) : r khi chia f cho f1 ,..., f s
Input: f1 ,..., f s , f : các đa thức trong K [x]
Output: q1 ,..., qs , r : các đa thức trong K [x]
q1 : 0,..., qs : 0, r : 0
p : f
WHILE p 0 DO
i : 1
Chiahet : false
WHILE i s AND Chiahet : false DO
IF in( fi ) \ in( p) THEN
25
qi qi in( p ) / in( f i )
p : p (in( p ) / in( f i )) f i
Chiahet : true
ELSE
i : i 1
IF Chiahet : false THEN
r : r in( p)
p : p in( p)
Thuật toán này dừng sau hữu hạn bƣớc thực hiện.
2.2.4. Mệnh đề. Giả sử F f1,..., f s là một cơ sở Gröbner đối với một thứ tự cho
trƣớc. Khi đó với mỗi đa thức f R , đa thức dƣ r của phép chia f cho hệ F trong
định lí 2.2.1 là duy nhất.
Nói riêng, kết quả thực hiện Thuật tốn chia đa thức trong trƣờng hợp này không
phụ thuộc vào thứ tự các đa thức chia trong F .
Hệ quả. Giả sử F f1,..., f s là một cơ sở Gröbner của iđêan I với một thứ tự cho
trƣớc và đa thức f R . Khi đó f I khi và chỉ khi đa thức dƣ r của phép chia f
cho hệ F bằng 0.
2.2.5. Định lí. Trên vành đa thức K [x1 ,..., xn ] cho hệ đa thức F f2 ,..., fn trong đó:
fi xi x1i với i 2, n .
Khi đó mọi đa thức f đều có thể viết dƣới dạng:
f h2 f 2 ... hn f n r , trong đó r chỉ phụ thuộc x1 .
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh mỗi đơn thức x1a ...xna đều biểu diễn đƣợc dƣới
1
n
dạng:
x1a1 ...xnan h2 f 2 ... hn f n r , trong đó r chỉ phụ thuộc x1 .
+ Nếu ai 0 với i 2, n nào đó thì chọn hi 0 .
+ Gọi k là chỉ số nhỏ nhất sao cho ak 0 . Ta có:
x1a1 ...xnan xakk ...xnan xakk 1...xnan ( xk x1k ) x1k xakk 1...xnan