Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ

1
Tr-ờng đại học vinh
Khoa Toán

------

Nguyễn Thị Hoài

Mở rộng cốt yếu và
bao nội xạ
Khóa luận tốt nghiệp đại học
Ngành cử nhân khoa học toán

Chuyên ngành: Đại số

Cán bộ h-ớng dẫn KHóA LUậN:

Đào Thị Thanh Hà
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Hoài
Lớp: 47B - To¸n
TS.

Vinh 2010


2

Mục lục
Mục lục ................................................................................................................... 1
Lời nói đầu ............................................................................................................. 2
Ch-ơng 1. Kiến thức cơ sở .................................................................................... 4

1.1. Đồng cấu môđun. ............................................................................................. 4
1.2. Môđun nội xạ. .................................................................................................. 5
1.3. Bổ đề Zorn. ....................................................................................................... 5
Ch-ơng 2. Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ ........................................................... 6
2.1. Më réng cèt yÕu .............................................................................................. 6
2.2. Bao néi xạ ......................................................................................................... 14
Kết luận .................................................................................................................. 21
Tài liệu tham khảo ................................................................................................ 22


3

LỜI NĨI ĐẦU
Khái niệm mơđun nội xạ được đưa ra bởi R. Bayer năm 1940 và sau đó là
các khái niệm khác liên quan như bao nội xạ, giải nội xạ, chiều nội xạ, đối sinh nội
xạ,... Chúng có nhiều ứng dụng đối với ngành Đại số nói chung và Đại số giao
hốn nói riêng.
Trên vành giao hốn Noether, mỗi mơđun nội xạ được phân tích một cách
duy nhất thành tổng trực tiếp của các mơđun khơng phân tích dược, và vì vậy
chúng ta biết rõ hơn về cấu trúc của chúng.
Bao nội xạ là mở rộng cốt yếu cực đại và cũng là mở rộng nội xạ tối tiểu.
Lớp môđun nội xạ là lớp môđun quan trọng trong Đại số hiện đại. Hiện nay người
ta đã mở rộng các lớp mơđun đó và đã thu được nhiều kết quả trong việc nghiên
cứu đặc trưng vành. Trong phạm vi khóa luận này chúng tôi đi sâu nghiên cứu lớp
môđun nội xạ với đề tài : “Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ”.
Khoá luận được chia làm 2 chương :
Chương 1 : Kiến thức cơ sở. Trong chương này, chúng tôi giới thiệu một số khái
niệm cơ bản liên quan đến phần nội dung chính của khố luận. Cụ thể, chúng tơi
tóm các khái niệm, ký hiệu và tính chất cơ bản của môđun và môđun nội xạ.
Chương 2 : Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ. Trong chương này chúng tơi đề cập

đến hai nội dung chính. Nội dung thứ nhất trình bày chi tiết và hệ thống các khái
niệm, chứng minh các tính chất về mở rộng cốt yếu của một môđun . Nội dung thứ
hai là ứng dụng của môđun nội xạ và mở rộng cốt yếu của một môđun để định
nghĩa bao nội xạ của mơđun và chứng minh một số tính chất của bao nội xạ.
Trong tồn bộ khóa luận vành ln được giả thiết là giao hốn, có đơn vị.
Khố luận được hồn thành tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn
của cô giáo, Tiến sỹ Đào Thị Thanh Hà. Nhân dịp này, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn
sâu sắc tới cơ, người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và động viên tơi rất nhiều
trong suốt q trình học tập cũng như hồn thành khố luận.


4
Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô giáo, các cán bộ trong Khoa Toán, đặc biệt
là các thầy cơ tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy, giúp đõ tơi trong suốt q trình học
tập. Xin cảm ơn các bạn sinh viên ngành Toán đã động viên giúp đỡ và có nhiều ý
kiến đóng góp trong q trình hồn thành khố luận.
Do trình độ và thời gian có hạn nên khố luận khơng tránh khỏi những thiếu
sót. Tơi rất mong nhận đựơc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và các bạn.
Vinh, tháng 05 năm 2010.
Tác giả.


5

Ch-ơng 1
Kiến thức cơ sở
Trong ch-ơng này chúng tôi đ-a ra các khái niệm và kết quả cần dùng cho các
chứng minh ở ch-ơng 2.
1.1 Đồng cấu môđun
1.1.1 Định nghĩa. Cho M và N là hai R-môđun . Một ánh xạ f : M

N đ-ợc gọi
là đồng cấu môđun, hay còn gọi là R- đồng cấu, nếu nó thoả mÃn hai điều kiện sau
đối với mọi phần tử u, v  M vµ x  R:
f(u+v) = f(u) + f(v).
f(xu) = xf(u).
1.1.2 Chú ý. (i). Trong Định nghĩa trên M, N đều là môđun trên cùng 1 vành
(ii). Nếu M N thì f đ-ợc gọi là tự đồng cấu.
(iii). f đ-ợc gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu môđun, nếu đồng cấu f t-ơng
ứng là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh. Hai môđun M và N đẳng cấu với nhau đ-ợc
ký hiệu là M  N.
(iv). ¶nh: Im f = {f(u) | u  M}= f(M).
Hạt nhân: Ker f = {u M | f(u) = 0N} = f-1(0N).
1.1.3 Định lý. Mỗi đồng cấu R- môđun đều có thể phân tích đ-ợc thành tích của
một toàn cấu và một đơn cấu nghĩa là cho f: M
N là một đồng cấu R-môđun.
Khi đó ta có biểu đồ giao hoán sau đây: f = f p
f
M

N

p
f

M/ Kerf
Trong đó p : M M/ Kerf
x
là toàn cấu chính tắc

x + Kerf

6
và f : M/ Ker f
N là đồng cấu cảm sinh của f.
1.1.4 Định lý. Cho M là một R - môđun, N và P là hai môđun con cđa M sao cho
N  P. Khi ®ã:
M

P 

M

N

P

N

1.1.5 Định lý. Giả sử M là một R- môđun. Cho N và P là hai môđun con của M.
Khi đó ta có:
NP

M
N
P

P

1.2 Môđun nội xạ

1.2.1 Định nghĩa. Một R-môđun E đ-ợc gọi là nội xạ nếu thỏa mÃn tính chất mở
rộng phổ dụng sau đây: với các R- đồng cấu f: N 
 M vµ g: N 
 E, trong đó f
là đơn ánh, luôn tồn tại ít nhất một R- ®ång cÊu h: M 
 E sao cho g = h f, tức
làm cho biểu đồ sau (với dòng trên khớp) là giao hoán
f
0

N

M

g
h
E
Khi đó ta nói h là một mở rộng của f.
1.2.2 Định lý. Mỗi R- môđun luôn đẳng cấu với môđun con của một R-môđun nội
xạ.
1.2.3 Chú ý. Cho M là một R- môđun tuỳ ý, theo Định lý 1.2.2 tồn tại đơn cấu
j: M E, với E là một R- môđun nội xạ. Khi đó có thể dễ dàng chứng minh đ-ợc
rằng tồn tại mét më réng E’ cđa M (tøc E’ lµ R- môđun và M E ) và một
R- đẳng cấu f: E’  E sao cho f(x) = j(x),  x M. Hiển nhiên E cũng là môđun
nội xạ. Vậy Định lý 1.2.2 có thể phát biểu lại d-ới dạng hay đ-ợc sử dụng nh- sau.
Mỗi R- môđun luôn có ít nhất một mở rộng nội xạ.
1.3 Bổ đề Zorn. Nếu mỗi xích của một tập hợp đ-ợc sắp thứ tự X đều có cận trên,
thì X chứa ít nhất một phần tử cực đại.

7
Ch-ơng 2
Mở rộng cốt yếu và bao nội xạ
2.1 Mở rộng cốt yếu
2.1.1 Định nghĩa. (i) Một R-môđun E đ-ợc gọi là mở rộng cốt yếu của một
R-môđun không tầm th-ờng M, nếu M E và với mỗi môđun con khác không N
của E luôn có N

M 0.

(ii) Một mở rộng cốt yếu E của R-môđun M đ-ợc gọi là mở rộng cốt yếu cực đại
của M, nếu mäi më réng thùc sù E’ cđa E kh«ng thĨ lµ më réng cèt u cđa M.
2.1.2 VÝ dơ. XÐt

lµ

- môđun,

là

- môđun, khi đó

là mở rộng cốt yếu của

.
2.1.3 Bổ đề. Mỗi môđun luôn là một mở rộng cốt yếu của chính nó. Ngoài ra khái
niệm mở rộng cốt yếu có tính bắc cầu: Nếu E là một mở rộng cèt u cđa M vµ M
lµ më réng cèt u của N thì E là một mở rộng cốt yếu của N.
Chứng minh. Rõ ràng mỗi môđun luôn là một më réng cèt u cđa chÝnh nã.
NÕu E lµ mét më réng cèt u cđa M vµ M lµ mét mở rộng cốt yếu của N thì E là

một mở réng cèt u cđa N.
ThËt vËy, V× N  M (M lµ mét më réng cèt u cđa N) vµ M  E (E lµ mét më réng
cèt u cđa M) nên N E.
Với mỗi môđun con khác không Q cđa E ta cã Q M  0 (v× E là mở rộng cốt yếu
của M).
Mặt khác, Q M  M vµ Q M   .
Víi x Q M thì x Q, x M và y Q M th× y Q , y  M.
 x + y Q (vì Q là môđun con của E) và x + y M (vì M là môđun con của E).

Nên x + y Q M.
Ta l¹i cã, víi a  R, x  Q M thì ax Q (vì Q là môđun con của E) và ax M (vì M
là môđun con của E).
Do đó, ax Q M.
Q

M là môđun con của M vµ Q M  0.

Do M lµ më réng cèt u cđa N nªn (Q M) N  0 Khi ®ã
(Q N) M  0 do ®ã Q N  0.


8
VËy E lµ mét më réng cèt u cđa N.
2.1.4 Bổ đề. E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M khi và chỉ khi với mỗi phần
tử 0 x E luôn tồn tại phần tử a  R sao cho 0  ax M.
Chøng minh. Gi¶ sử E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M, x 0 và x E thì
khi đó xR 0 và M xR 0. Từ đó suy ra sự tồn tại của a R mà 0 ax M.
Ng-ợc lại, nếu B là môđun con khác không của E, lấy 0 x B và tìm đ-ợc a R
sao cho 0 ax M thì do ax B nên B M  0.
VËy E lµ mét më réng cèt u cđa R-môđun M.

2.1.5 Hệ quả. E là một mở rộng cốt yếu của R-môđun M khi và chỉ khi Rx M  0
víi mäi x  E.
Chøng minh. Tr-íc tiªn ta cã nÕu E lµ mét më réng cèt u cđa R-môđun M với
0 x E suy ra: Rx 0. Theo Định nghĩa 2.1.1 ta có Rx M 0.
Ng-ợc lại, Nếu Rx M 0, với mọi x  E, x  0 ta gi¶ sư 0  X  E mµ M X=0. Do
X  0 nên tồn tại x X mà x 0. Suy ra 0=M X  Rx X  0. v« lý.
VËy X M  0 hay E lµ mét më rộng cốt yếu của R-môđun M.
2.1.6 Bổ đề. Cho M E v M E là những R-môđun. Giả sử ta có biểu đồ sau là
giao hoán
j
M
E

f

f'

M
E
j'
Trong đó j và j là các phép nhúng tự nhiên. Khi đó dễ dàng suy ra đ-ợc rằng, nếu
E là mở rộng cốt yếu của M thì E cũng là mở rộng cốt yếu của M.
Chứng minh. Giả sử 0  x’  E’ ta sÏ chøng minh tån tại phần tử a R sao cho
0 a.x M .
Thật vậy, Vì f là đẳng cấu môđun từ E vào E nên tồn tại y E, y  0.
sao cho f’  y  =x’ mặt khác E là mở rộng cốt yếu của M nªn  a  R sao cho
0  ay  M.
Ta cã f ’ j  ay  = f ’ ( j  ay  )= f ’  ay  = a. f ’  y  = a.x .
Vì biểu đồ trên là giao hoán nên j ’ f = f ’ j .

9
f  ay  = f ’

 j’

j  ay  = ax’ .

Suy ra f  ay  = ax’ nªn ax’  M’ .VËy víi 0  x’ E luôn a R để 0 a x M .
Do đó E là mở rộng cèt u cđa M’ .
2.1.7 MƯnh ®Ị. Cho (Mi)i  I là một họ các R-môđun. Giả sử với mỗi i  I, Ei lµ mét
më réng cèt u cđa Mi. Khi đó Ei là một mở rộng cốt yếu của Mi.
iI

iI

Chứng minh. Đặt M= Mi và E= Ei. Để chứng minh E là mở rộng cèt u cđa M
iI

iI

ta sư dơng Bỉ ®Ị 2.1.4.
Cho x E là một phần tử tuỳ ý. Khi đó x = (x1, …., xn), xk  Eik.

i1, i2,…, in I.

V× E i lµ mét më réng cèt u cđa M i nên tồn tại phần tử a1 R sao cho
1

1

0  a1x1  M i . XÐt tÝch 0  a1x = (a1x1, …., a1xn) E. NÕu a1x1 lµ thành phần khác
1

không duy nhất của a1x thì a1x M và mệnh đề đ-ợc chứng minh.
Trái lại, giả sử p lµ sè bÐ nhÊt sao cho a1x p  0 trong dÃy a1x2,.,a1xn. Lại vì E i là
p

mở rộng cốt yếu của M i nên tồn tại phần tử a p  R sao cho: 0  a p a1x p  M i . Lóc
p

p

nµy ta cịng cã a p a1x1  M i . NÕu a p a1x = (a p a1x1, a p a1x p ) th× đó chính là phần tử
1

khác không nằm trong M cần tìm. Nếu vẫn ch-a đ-ợc ta lại chọn một số q bÐ nhÊt
sao cho a p a1x q  0 trong d·y a p a1x p +1,…., a p a1xn. Tiếp tục quá trình trên, cuối
cùng ta sẽ tìm đ-ợc mét phÇn tư a  R sao cho 0  ax M. Điều này chứng tỏ E là
một mở réng cèt u cđa M.
2.1.8 Bỉ ®Ị. Cho
f
g
 : 0 
 M’ 
 M 
0
 M’’ 

lµ mét d·y khíp ngắn các R-môđun. Khi đó các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng:

(i) DÃy khớp ngắn là chẻ ra.
(ii) Tồn tại một R- đồng cấu f0: M M sao cho f0 f = 1M.
(iii) Tồn tại một R- đồng cÊu g0: M’’  M sao cho g g0= 1M’’.
H¬n nữa, khi các điều kiện t-ơng đ-ơng trên đ-ợc thoả m·n th× ta cã
M  Imf  Kerf0  Kerg  Img0  M’  M’’.
Chøng minh. (i)  (ii). Theo định nghĩa của dÃy khớp ngắn thì để dÃy
f
g
0 
 M’ 
 M 
 0.
 M” 


10
là một dÃy khớp khi và chỉ khi ngoài điều kiện Kerg = Imf ta phải có f là đơn cấu
và g là toàn cấu.
Hơn nữa, trong tr-ờng hợp này ta suy ra M đẳng cấu với môđun con Imf = Kerg
của M và M ẳng cấu với R- môđun th-ơng M

Kerg = M

Imf . Bây giờ ta

có thể giả sử M là một môđun con của M với đồng cấu f là phép nhúng tự nhiên .
Vì dÃy khớp ngắn chẻ ra nên theo Định nghĩa dÃy khớp chẻ ra tồn tại môđun con
L của M để M = M’  L. Khi ®ã phÐp chiÕu chÝnh t¾c f0: M’  L = M 
 M’ tõ M
lªn M’ cho ta fo f = 1M’ .

(ii)  (i). Để chứng minh dÃy khớp ngắn là chẻ ra ta chØ cÇn chøng minh ra r»ng
M=Im f  Ker fo.
Thật vậy, với u M là một phần tử tuỳ ý ta đặt x=f0(u), u1=f(x) Imf và u2=u - u1.
Khi ®ã
fo(u2) = fo(u-u1)
= fo(u) - fo(u1)
= fo(u) - fo( f(x))
= fo(u) - (fo f) (x)
= fo(u) - (fo f) (fo(u))
= fo(u) – 1M’ .fo(u)
= fo(u) - fo(u)
= 0.
Tøc u2  Ker fo tõ u2 = u - u1 suy ra: u = u1 + u2.Suy ra
M = Im f + Ker fo.
Mặt khác, giả sử u Im f

Ker fo. Vì u Im f, tồn tại u  M’ sao cho u = f(u’ ).

Ta suy ra u’ = fo f(u’ ) = fo(u) = 0. §iỊu nµy chøng tá Im f

Ker fo = 0.

VËy M = Im f  Ker fo.
(i)  (iii). Gi¶ sư M = Ker g  L. Ký hiÖu j: Ker g
M là phép nhúng tự nhiên
và h: L M là hạn chế của g lên L. Rõ ràng h là một toàn cầu và cũng là đơn cấu
vì Ker g

L = 0, tức h là đẳng cấu. Ta đặt go = joh-1 : M
M. Khi đó dễ dàng

kiểm tra đ-ợc g g0 = 1M .


11
(iii) (i). Hoàn toàn t-ơng tự nh- chứng minh (i) (ii). Ngoài ra, khi các điều kiện
t-ơng đ-ơng trong định lý thoả mÃn ta dễ kiểm tra đ-ợc r»ng
Im f = Ker g  M’ vµ Ker fo = Im g0  M’ ’ .
Tức M  Im f  Ker f0  Ker g  Im g0 M M .
2.1.9 Định lý (Tiêu chuẩn Baer). Một R-môđun E là nội xạ khi và chỉ khi mỗi
R- đồng cấu I
E từ một iđêan I của R (xem nh- R- môđun) vào E luôn đ-ợc
mở rộng thành một đồng cấu R
E.
Chứng minh. Điều kiện cần là hiển nhiên từ Định nghĩa của môđun nội xạ. Để
chứng minh điều kiện đủ, giả sử f : N
M là một R- đơn cấu và g : N
E.
Khi đó không mất tính tổng quát ta có thể giả thiết thêm rằng N là một môđun con
của M. Ký hiệu là tập hợp những cặp (A, ), trong đó A là một R- môđun thoả
mÃn tính chất N A M vµ  : A 
 E lµ mét më rộng của g.
Ta định nghĩa trên một quan hệ thø tù bé phËn  nh- sau:
Cho (A,  ) , (B, ) là hai phần tử của , ta xác định (A, ) (B, ) nÕu A  B vµ
 lµ mét më réng của . Vì (N, g) nên . Hơn nữa, cho một xích

(A1, 1)  (A2,  2)  …  (An,  n)
Các phần tử trong . Ta xét cặp (A, ) trong đó A =

An và là ánh xạ

n 1

A
E đ-ợc xác định bởi: với mỗi x A tồn tại một số tự nhiên n để x An , khi
đó ta đặt (x) =  n(x). Râ rµng A lµ mét R- môđun con của M chứa An, n và
là R- ®ång cÊu më réng cđa  n ,  n.
Vậy theo bổ đề Zorn luôn tồn tại một phần tử cực đại (B, ) . Khi đó định lý
đ-ợc chứng minh nếu ta chỉ ra rằng B = M. Thật vậy, giả sử ng-ợc lại B  M, tøc
tån t¹i x  M \ B. XÐt tËp hỵp con cđa R
I ={a  R | ax B}
Dễ kiểm tra thấy I là một iđêan. Ta xây dựng một ánh xạ h: I
E xác ®Þnh bëi
h(a) =  (ax),  a  I.


12
Khi đó h là một R - đồng cấu. Theo giả thiết tồn tại một R- đồng cấu : R 
E
sao cho h =  j , trong ®ã j là phép nhúng tự nhiên iđêan I vào R. Bây giờ ta có thể
định nghĩa đ-ợc một t-ơng ứng
: B + Rx
E,

xác định bởi (y+ax) =  (y) +  (a),  y B,  a R.
NÕu y + ax = 0, suy ra ax  B, tøc a  I. Khi ®ã
 (y) +  (a)= -  (ax) +  (j(a)) = - h(a) + h(a) = 0.

Điều này chứng tỏ là một ánh xạ và suy ra cũng là một R- ®ång cÊu tho¶ m·n
tÝnh chÊt  (x) =  (x) = h(x),  x  N, v× N  B.VËy cặp (B + Rx, ) .
Mặt khác B  B + Rx nªn (B,  ) < (B + Rx, ). Điều này mâu thuẫn với tính cực
đại của (B, ) trong và định lý đ-ợc chứng minh.
2.1.10 Bổ đề. Một R-môđun E là nội xạ khi và chỉ khi mọi dÃy khớp ngắn
0
E
M
M
0
các R- môđun với M là môđun xyclic đều chẻ ra.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh một điều kiện mạnh hơn điều kiện cần của
Bổ đề 2.1.10 nh- sau: Nếu E là nội xạ thì mäi d·y khíp ng¾n
f
g
0 
 E 
 M 
0
 M’

đều chẻ ra.
Thật vậy, do E nội xạ, tồn tại một mở rộng h: M
E của ánh xạ ®ång nhÊt 1E,
tøc h f = 1E vµ d·y khíp trên là chẻ ra theo Bổ đề 2.1.8.
Ng-ợc lại, giả sử I là một iđêan của R và : I
E là một R - đồng cấu. Ký
hiệu
j : I
R là phép nhúng tự nhiên I vµo R vµ p : R 

 R / I là phép chiếu tự
nhiên. Xét R- môđun P = ( E  R) / W, trong ®ã W = {( (a), -a) | a I }. Khi đó
các t-¬ng øng  : b
p *: (x+b)+ W

(0,b) + W,  b  R, j *: x

(x,0) + W,  x  E vµ

p(b),  x  E,  b R là những R- đồng cấu, hơn nữa chúng làm

cho biểu đồ sau là giao hoán với các dòng là những dÃy khớp ngắn


13
p

j

0

I

R



0

R/ I

0


p*

j*

0

R/ I

E

P

Vì R/ I là R - môđun xyclic nên theo giả thiết dòng d-ới của sơ đồ là chẻ ra, tức
theo Bổ đề 2.1.8 tồn tại một R- ®ång cÊu  : P 
 E sao cho  j * = 1E. Bây giờ,
nếu ta xác định : R 
 E bëi  (b) = 

 (b),  b  R khi ®ã:  =  j. §iỊu

nµy chøng tá  lµ mét më réng cđa j và khi đó điều kiện đủ của bổ đề đ-ợc chứng
minh nhờ tiêu chuẩn Baer.
2.1.11 Định lý. Cho E là một R- môđun khi đó các mệnh đề sau là t-ơng đ-ơng:
(i) E là R- môđun nội xạ.
(ii) E không cã më réng cèt yÕu thùc sù nµo, tøc nÕu E là một mở rộng cốt yếu của
E thì E = E.

Chứng minh. (i) (ii). Giả sử E là nội xạ và E là một mở rộng thực sự cđa E khi ®ã
theo Bỉ ®Ị 2.1.10 mäi d·y khíp ngắn
i
0
E
E
M
0

các R- môđun M là môđun xyclic đều chẻ ra mặt khác theo Bỉ ®Ị 2.1.8 ta cã
E’  E  M. Do đó E phải là một hạng tử trực tiếp của E tức tồn tại một môđun con
0 N của E’ sao cho E’ = E + N vµ E

N = 0. Suy ra E không thể là một mở

rộng cốt yếu của E.
(ii) (i). Dựa vào Bổ đề 2.1.10 ta chØ cÇn chøng minh r»ng, nÕu f : E
F là một
R- đơn cấu thì E phải đẳng cấu với một hạng tử trực tiếp của F. Vì tính nội xạ của
một môđun không thay đổi qua đẳng cấu nên có thể giả thiết thêm mà không làm
mất tính tổng quát rằng f là phép nhúng tự nhiên, tức E F. Ký hiệu là tập hợp
tất cả các R- môđun con X 0 của F mµ X

E = 0. Râ rµng    do giả thiết

(ii). Xét quan hệ thứ tự bao hàm trªn  ta thÊy ngay r»ng mäi xÝch trong  đều bị
chặn (bị chặn bởi 1 phần tử ). Vậy theo bổ đề Zorn tồn tại một phần tử cực đại
E . Khi đó mệnh đề đ-ợc chứng minh nếu ta chỉ ra E là một h¹ng tư trùc tiÕp

14
cña F tøc E + E’ = F. ThËt vËy, giả sử ng-ợc lại F E + E . Theo định lý đẳng cấu
môđun ta có
F / E (E + E’ ) / E’  E / (E E’ ) = E.
Suy ra F / E’  ( E + E’ ) / E’ . Theo gi¶ thiÕt E không có mở rộng thực sự nên
(E + E ) /E cũng không có mở rộng thực sự nào. Do đó tồn tại một môđun con Y
của F sao cho Y  E’ vµ Y / E’

(E + E’ ) / E’ = 0. Ta suy ra Y (E +E’ ) = E’ , tøc

Y E  Y (E+E’ ) = E’
VËy Y E  E E’ =0, tøc Y . Điều này trái với giả thiết cực đại trong của
E
và định lý đ-ợc chứng minh.
2.1.12 Mệnh đề. Cho K là một môđun con khác không của môđun M, M là mở
rộng cốt yếu của A thì khi đó K là mở rộng cốt yếu của A K.
Chứng minh. Giả sử X là một môđun con khác không của môđun K, khi đó X cũng
là môđun con cđa M. Do M lµ më réng cèt u cđa A nªn A X  0 .
  0  a A

X  a  X vµ a  A.

Do vËy a  K  a  ( A K ) X  ( A K ) X  0 .
VËy K lµ më réng cèt u cđa A K.
2.1.13 MƯnh ®Ị. Cho A  B  M nÕu M/A là mở rộng cốt yếu của B/A thì M là mở
rộng cốt yếu của B.
Chứng minh. Giả sử X là môđun con khác không của M. Nếu B X=0 thì ta có
A

X=0 tồn tại một tổng trực tiếp

X A A.

Vì

M/A

là

mở

rộng

cốt

yếu

của

B/A

và

(X A)/A M/A

(B/A) ((X A)/A)  0
  c  A mµ c + A  (B/A) ((X  A)/A).
 c+A = b+A = x+a+A ( víi a  A, b  B, x  X ).
 x = b-a+a’ , a’  A.

Ta cã a’ - a  A  B nªn (b-a+a’ )  B  x  B  x= 0 .

 b  A  c+A=A  c  A điều này mâu thuẫn với giả thiết c A.

Vậy B X  0, tøc lµ M lµ më réng cèt u cđa B.

nªn


15
2.1.14 Mệnh đề. (i) Nếu trong môđun M có dÃy các môđun con A B C và M là
mở rộng cốt yếu của A thì C là mở réng cèt u cđa B.
(ii) NÕu M lµ më réng cèt yÕu cña A i , i  1;2;3;...; n thì M là mở rộng cốt yếu
n

của

Ai .
i 1

Chứng minh.
(i) Giả sử X là môđun con khác không của C. khi đó X cũng là môđun con của M.
vì M là mở rộng cốt yếu của A nên A X  0 suy ra B X  0.
VËy C lµ më réng cèt yÕu cña B.
(ii) Ta chøng minh b»ng ph-ơng pháp quy nạp theo n.
Với i 1 thì dĩ nhiên M là mở rộng cốt yếu của A1. Giả sử bài toán đúng với n 1 ,
n 1

tøc lµ ta cã M lµ më réng cèt yÕu của

Ai .
i 1

Cho X là một môđun con khác không cđa M. Do M lµ më réng cèt u cđa A n nên
An

X 0. Lại do giả thiết quy nạp ta có

n 1

Ai
i 1

n 1
M là mở réng cèt yÕu cña  Ai
 i 1

 An

 n 1

X   0  Ai
 i 1


An 


X  0.


An  .



n

 M lµ më réng cèt u cđa

Ai .
i 1

2.2 Bao nội xạ
2.2.1 Định nghĩa. Cho M là một R- môđun. Một R-môđun E đ-ợc gọi là bao nội
xạ của M, nếu E là R-môđun nội xạ và lµ mét më réng cèt u cđa M.
2.2.2 VÝ dơ. Giả sử R là một miền nguyên với Q(R) là tr-ờng các phân thức của R.
Khi đó nếu xem Q(R) nh- là R- môđun thì Q(R) là R- môđun nội xạ. Dễ dàng
kiểm tra đ-ợc Q(R) là một mở rộng cốt yếu của R và do đó Q(R) chính là bao nội
xạ của R.
2.2.3 Hệ quả. Cho E là một mở rộng của R-môđun M. Khi đó các mệnh đề sau là
t-ơng đ-ơng:
(i) E là một bao nội xạ của M.
(ii) E là một mở rộng cốt yếu cực đại cña M.


16
Chứng minh. (i) (ii). Giả sử E là một bao nội xạ của M, theo Định nghĩa 2.2.1 ta
suy ra E là R-môđun nội xạ và là một mở rộng cốt yếu của M. Theo Định lý 2.1.11
suy ra E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M.
(ii) (i). Giả sử E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M. Theo Định nghĩa 1.1 và
Định lý 2.1.11 ta suy ra E là một bao nội xạ của M.
2.2.4 Định lý. Mỗi R- môđun M luôn có ít nhất một bao nội xạ. Hơn nữa giả sử E
và E là những bao nội xạ của M. Khi đó tồn tại một R - đẳng cấu f: E 

 E’ sao
cho f(x) = x,  x M.
Chứng minh. Theo Định lý 1.2.2 tồn tại một mở rộng F của M và F là R- môđun
nội xạ. Bây giờ với ph-ơng pháp hoàn toàn t-ơng tự nh- trong chứng minh của
Định lý 2.1.11 ta chỉ ra đ-ợc sự tồn tại một mở rộng E của M là phần tử cực đại
(theo quan hệ bao hàm) trong tập hợp tất cả các môđun con của F lµ më réng
cđa M. Ta sÏ chøng minh E lµ một mở rộng cốt yếu cực đại của M (và khi đó E
chính là bao nội xạ của M nhờ vào Hệ quả 2.2.3).
Thật vậy, cho E1 là một mở réng cèt u cđa E. Ký hiƯu j : E
F và j1:
E
E1 là các phép nhúng tự nhiên. Khi đó, theo tính chất nâng phổ dụng của
môđun nội xạ F tồn tại một mở rộng h: E1 
 F cđa phÐp nhóng j. Do ®ã E

Ker

h = 0. Vì E1 là mở rộng cốt yếu của E nên Ker h = 0. Suy ra h(E1) là mét më réng
cña E chøa trong F, tøc h(E1)  . Vậy, do E là cực đại trong , h(E1) = E, tức E1
= E. Điều này chứng tỏ E là một mở rộng cốt yếu cực đại của M.
Bây giờ giả sử E và E là hai bao néi x¹ cđa M víi i: M 
 E và i: M
E
là các phép nhúng tự nhiên. Khi đó theo chứng minh ở trên, tồn tại một R- đơn cấu
E sao cho i = f
f : E

i. Vì g(E) E, g(E) là môđun nội xạ , do đó theo Bổ

đề 2.1.10 tồn tại một R- môđun con L của E sao cho E = f (E)  L chó ý r»ng E’

lµ mét më réng cèt u cđa M vµ M  f (E) nªn tõ f (E)

L = 0 ta suy ra L = 0.

Vậy f là một đẳng cấu và định lý đ-ợc chứng minh hoàn toàn.
Từ nay trở đi ta sẽ ký hiệu bao nội xạ của môđun M là E(M). Khi đó Định lý 2.2.4
bảo đảm sự tồn tại của E(M) và nó xác định duy nhất sai khác một đẳng cấu
môđun.


17
2.2.5 Chú ý. Cho M là một R- môđun và E là một mở rộng nội xạ của M. Chứng
minh của Định lý 2.2.4 cho phép ta suy ra rằng luôn tồn tại một bao nội xạ E(M)
của M sao cho E(M) E. Vậy R- môđun M là nội xạ khi và chỉ khi E(M) = M.
2.2.6 Hệ quả. Cho f: M N là một R- đẳng cấu vµ i: M  E(M), j: N  E(N) lµ các
phép nhúng tự nhiên của chúng vào bao nội xạ t-ơng ứng. Khi đó tồn tại một đẳng
cấu g: E(M) E(N) sao cho biểu đồ sau giao hoán
i
M

E(M)
g

f

j

N

E(N)

tức g i = j f.
Chøng minh. T-¬ng tù nh- chøng minh của Định lý 2.2.4 tồn tại một mở rộng E
của N sao cho E E(M) và đẳng cấu này là mở rộng của f. Vì E là nội xạ suy ra E
là bao nội xạ của N và E(N) cũng là bao nội xạ của N. Khi đó theo Định lý 2.2.4
E E(N) với g là hợp thành của hai đẳng cấu trên suy ra tồn tại một đẳng cấu
g : E(M)
E(N)

Ta đ-ợc điều phải chứng minh.
2.2.7 Hệ quả. Với mỗi R - môđun M cho tr-ớc, luôn tồn tại một dÃy khớp dài các
R - môđun
f
f
f
f
e E
0
E1
E2
E3
....
M
0
0

1

3

2

Trong ®ã E0=E(M), E1=E(E0/Ime), Ei=E(Ei-1/Im f),  i  2.
Mét d·y khớp nh- trên đ-ợc gọi là phép giải nội xạ cực tiểu của M. Hơn nữa, phép
giải nội xạ là xác định duy nhất sai khác đẳng cấu. Tức, nếu




f
f
f
f
e'
E 1 
 E 2 
 E 3 
 ....
0
M
E 0
'
0

'
1

'
2

'
3

Là một phép giải nội xạ cực tiểu khác của M khi đó tồn tại những R - đẳng cấu


i : Ei
Ei ,  i  0 sao cho e’=  0 e, fi '  i =  i 1

cho biÓu đồ sau là giao hoán.

f i , i 0, nghÜa lµ lµm


18
f0

e

0

M

E0
e

0

M

E1

0

1M

f1

E2

E0

...

2

1
f0

f2

f1

E1

f2

E2

...

Chứng minh. Theo Định lý 2.2.4 tồn tại một bao nội xạ E(M) của M. Khi đó ta đặt
E0= E(M) và e là phép nhúng tự nhiên M
E0.Tiếp theo giả sử E1= E(E0/M) ta
xác định R- đồng cấu f0 : E0
E1 là ánh xạ hợp thành của phép chiếu tự nhiên
E0
E0/M với phép nhúng tự nhiên E0/M
E(E0/M). Rõ ràng ta đ-ợc
M= Im e = Ker f0. Bây giờ giả sử ta đà có các môđun Ei và R-đồng cấu fi-1, i 1 thoả
mÃn các tính chất của Hệ quả. Ta xây dựng Ei+1 và fi : Ei
Ei+1 giống nh- quá
trình vừa làm nh- sau: Ei+1= E(Ei / Im fi-1) và fi là ánh xạ hợp thành cđa phÐp chiÕu
tù nhiªn Ei 
 Ei / Im fi-1 víi phÐp nhóng tù nhiªn Ei / Im fi-1 
 Ei+1. Cuối cùng
ta thu đ-ợc một dÃy khớp dài theo đòi hỏi của Hệ quả. Theo Hệ quả 2.2.6 ta suy ra
e’ =  0 e, fi '  i =  i 1

fi ,  i  0

hay phÐp giải nội xạ là xác định duy nhất sai khác đẳng cấu và Hệ quả đ-ợc chứng
minh.
2.2.8 Định nghĩa. Một R -môđun E đ-ợc gọi là đối sinh nội xạ của R , nếu E là
nội xạ và với mỗi R -môđun M và x M là một phần tử khác không tuỳ ý, luôn tồn
tại một R -đồng cÊu f : M 
 E sao cho f ( x) 0 .
Mệnh đề sau cho ta thấy môđun đối sinh có thể xem là đối ngẫu với môđun tự do
trong phạm trù MR.
2.2.9 Mệnh đề. Giả sử E là một đối sinh nội xạ của R .Khi đó mọi R -môđun M

luôn có thể nhúng chìm vào một tích trực tiếp các bản sao của E .
Chứnh minh. Mệnh đề là hiển nhiên khi M 0 . Giả sử M 0 .Ta đặt M M \ 0 .


Vì E là đối sinh nội xạ, nên với mỗi phần tử x M tồn tại R -®ång cÊu
f x : M 
E

sao cho

f x  x 0 . Khi đó ta định nghĩa một

yM E , xác định bởi f ( y )  ( f x ( y )) xM  , y  M . .
f : M 

R -®ång cÊu


19
Râ rµng f  y   0 khi y M nên f là một R -đơn cấu.
2.2.10 Bổ đề. Trong một vành giao hoán R luôn tồn tại ít nhất một iđêan cực đại.
Chứng minh. Xét tập hợp tất cả các iđêan khác R . Khi đó với thứ tự bao hàm
theo nghĩa tập hợp sẽ lập thành một tập hợp đ-ợc sắp bộ phận. Vì {0} nên
. Giả

sử
a1 a2 a3 ....

Là một xích tuỳ ý các iđêan trong . Rõ ràng
a



ai
i 1

Lại là một iđêan của R . Hơn nữa, a . Vì, nếu 1 a , thì tồn tại một iđêan an
trong xích sao cho 1 an , tøc an  R . Suy ra a là một chặn trên của xích . Vậy
là một tập hợp khác rỗng và mọi xích trong đều có chặn trên. Khi đó theo Bổ ®Ị
Zorn trong  cã Ýt nhÊt mét phÇn tư cùc đại m. Hiển nhiên khi đó m là một iđêan
cực đại của R

.

2.2.11 Hệ quả. Mọi iđêan thực sự của một vành giao hoán luôn nằm trong một
iđêan cực đại.
Chứng minh. Cho a la một iđêan thực sự của vành giao hoán R. Vì R là vành giao
hoán có đơn vị là 1 nên vành th-ơng R/a co đơn vị là 1 1 a. áp dụng Bổ đề 2.2.10
cho vành th-ơng R/a ta có vành th-ơng R/a có iđêan cực đại M/a với M là iđêan
của R chứa a. Rõ ràng M là iđêan cực đại của R chứa a. Hệ quả đ-ợc chứng minh.
2.2.12 Bổ đề. Cho Ei iI là một họ các R -môđun. Khi đó tích trực tiếp



iI

Ei , là

nội xạ khi và chỉ khi Ei , i I là nội xạ.
Chứng minh. Đặt E =
E
và ji : Ei



iI

Ei là toàn cÊu chÝnh t¾c
Ei , i  I ta ký hiƯu Pi : E

là đơn cấu chính tắc xác định bởi tích trực tiếp E. Giả sử E là

nội xạ. Ta sÏ chøng minh r»ng Ei , i  I , là nội xạ.
Ei là một R - đồng cấu tuỳ
N là R đơn cấu và g : N 
ThËt vËy, cho f : M 

ý. V× E là nội xạ và ji g là R -đồng cấu từ N vào E , nên tồn tại một mở rộng
Ei là một R đồng cấu.
h : M 
 E cđa ji g ®Ĩ ji g  h f . Đặt k pi h : M 


20
DƠ thÊy r»ng pi ji  1E , do ®ã ta suy ra k f  pi h f  pi ji g g điều này
i

chứng tỏ Ei là một R -môđun nội xạ.

M là R đơn cấu và
Ng-ợc lại, giả sử Ei là nội xạ với mäi i  I . Cho f : N 
 Ei
: N
E là một R -đồng cấu tuỳ ý. Khi đó tồn tại một mở rộng i : M 

 Ei . B©y giê ta x©y dùng mét ®ång cÊu  : M 
cho R - ®ång cÊu pi  : N 
E

  x  (i ( x))iI , x M .

đ-ợc xác ®Þnh bëi

  x  y    i  x  y  iI , x, y  M .

Mặt khác

(i x i y )iI , x, y  M .

  i  x  iI   i  y  iI , x, y  M .
   x    y .
  a.x    i  a.x  iI , x  M , a  R.
  a.i  x  iI , x  M , a  R.
 a.  i  x  iI , x  M , a  R.

 a.  x  , x  M , a  R.

VËy,suy

ra





 f  i  f  y



iI

là



R đồng

một

pi y



iI

cấu

và

với

mọi

yN

ta

có

y .

Vậy E là nội xạ.
2.2.13 Định lý. Luôn tồn tại môđun đối sinh nội xạ trong phạm trù các R môđun

MR.
Chứng minh. Ký hiệu là tập tất cả các iđêan cực đại của R . Chó ý r»ng   
( xem Bỉ ®Ị 2.2.10 ) . Ta xét R môđun E m E  R / m . Ta sÏ chøng minh rằng
E là R môđun nội xạ. Theo Bổ đề 2.2.12, E là R môđun nội xạ. Bây giờ với M

là một R môđun bất kỳ và 0 x M là một phần tử tuỳ ý cho tr-ớc, ta xét iđêan
I 0: Rx a  R | a.x  0. HiĨn nhiªn I  R vì x 0. Vậy, tồn tại m sao cho
R / m xác định bởi
I m ( xem HƯ qu¶ 2.2.11 ). Ta xÐt mét t-¬ng øng f ' : Rx 

f '  ax   a  m, a  R. Nõu ax  0, tøc a  I  m, nªn a m 0R / m , điều này chứng tá


21
f ' xác định một ánh xạ va suy ra là một R đồng cấu với f ' x   1R  m  0R/ m. Gäi g

là

đồng

cấu

hợp

thành

của

f'

với

các

R / m
E R / m
E. khi đó, từ biểu đồ

0

Rx

phép

nhúng

tự

nhiên

i
M

g
E
E sao
Với i là phép nhúng tự nhiên và E là nội xạ, tồn tại R -đồng cấu f : M
cho g f i . V× g ( x)  f i( x)  f (i( x))  f ( x) nªn ta suy ra f ( x)  g ( x) f '( x) 0 .
Định lý đ-ợc chứng minh.
2.2.14 Hệ quả. Mọi R - môđun đều có thể nhúng chìm vào một tích trực tiếp các
bao nội xạ của những R - môđun đơn.
Chứng minh. Từ chứng minh của Định lý 2.2.13 ta có E m E R / m là một
môđun đối sinh và với chó ý r»ng R / m , m   là R môđun đơn. Theo Mệnh đề
2.2.12 Hệ quả đ-ợc chứng minh.
2.2.15 Mệnh đề. Cho A,B là các môđun con của môđun M và A B=0. Khi đó bao
nội x¹ E(A  B)=E(A)  E(B).
Chøng minh. Ta cã E(A) E(B) là môđun nội xạ chứa A B còn E(A B) là
môđun nội xạ bé nhất chứa A  B. Do ®ã
E(A  B)  E(A)  E(B)

(1)

Mặt khác E(A) là mở rộng cốt yếu của A và E(B) là mở rộng cốt yếu của B nên
E(A)  E(B) lµ më réng cèt u cđa (A  B). Mµ E(A  B) lµ më réng cèt yÕu cực
đại của (A B) nên ta có E(A) E(B)  E(A  B)

Tõ (1) vµ (2) suy ra E(A  B) = E(A)+E(B).

(2)


22
Kết luận
Trong to n b Khoá luận dựa vào các tài liệu tham khảo chúng tôi đà hoàn
thành đ-ợc những việc sau:
1. Trình bày một cách hệ thống, chi tiết khái niệm và một số tính chất về mở rộng
cốt yếu của môđun.
2. Trình bày chi tiết lời giải bài toán về sự tồn tại bao nội xạ của một môđun bất
kỳ.
3. ĐÃ trình bày chi tiết lời giải một số bài toán về mở rộng cốt yếu và bao nội xạ
của môđun.


23
Tài liệu tham khảo
Tiếng việt

1 Nguyễn Tự C-ờng (2003), Giáo trình đại số hiện đại , NXB Đại học quốc gia
Hà Nội.
2 Nguyễn Hữu Việt H-ng (1998), Đại số đại c-ơng, NXB Giáo dục Hà Nội.
3 Nguyễn Tiến Quang, Nguyễn Duy Thuận (2001), Cơ sở lý thuyết môđun và
vành, NXB Giáo dục Hà nội .
Tiếng anh
[4] .F.W.Anderson and K.R.Fullers (1974), Rings and categories of modules ,
Springer-Verlag.