Một số bài toán về khí lý tưởng

Tr-ờng đại học vinh
Khoa vật lý
=== ===

Hoàng thị giang

một số bài toán về khí lý t-ởng

khóa luận tốt nghiệp đại học
Ngành cử nhân s- phạm vật lý

Vinh, 2010


Tr-ờng đại học vinh
Khoa vật lý
=== ===

một số bài toán về khí lý t-ởng

khóa luận tốt nghiệp đại học
Ngành cử nhân s- phạm vật lý

Cán bộ h-ớng dẫn:

ts. đinh phan khôi

Sinh viên thực hiện:

hoàng thị giang

Lớp:

47A - Vật lý

Vinh, 2010


MỤC LỤC
Trang
A. MỞ ĐẦU ..................................................................................................... 1
B. NỘI DUNG .................................................................................................. 3
Chương I.

KHÍ LÝ TƯỞNG ...................................................................... 3

1.1. Định luật khí lý tưởng ................................................................................ 3
1.2. Thuyết động học phân tử của khí lý tưởng ................................................ 5
1.3. Phân bố vận tốc Maxwell ........................................................................... 8
1.4. Sự giãn nở đẳng nhiệt............................................................................... 11
Chương II. MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ KHÍ LÝ TƯỞNG ........................ 14
2.1. Nội năng và tổng đạo hàm ....................................................................... 14
2.2. Các phương trình bảo tồn nhiệt cho khí lý tưởng .................................. 15
2.3. Entropy của khí lý tưởng .......................................................................... 17
2.4. Thế hố của khí lý tưởng.......................................................................... 18
2.5. Phương trình Euler cho khí lý tưởng ....................................................... 20
2.6. Etropy của các khí lý tưởng ..................................................................... 22
2.7. Vận tốc trung bình và vận tốc có xác suất lớn nhất ................................. 23
2.8. Phân bố vận tốc của các phân tử bay hơi ................................................. 26
C. KẾT LUẬN ............................................................................................... 31
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 32

A. MỞ ĐẦU
I. Lí do chọn đề tài
Khí lý tưởng phản ánh những tính chất cơ bản của chất khí tồn tại trong
thực tế. Dựa vào mẫu khí lý tưởng chúng ta sẽ tìm hiểu được các vấn đề cơ
bản của chất khí và thuận tiện trong việc tính tốn các đại lượng đặc trưng của
chất khí như áp suất, nhiệt độ, hệ số khuyếch tán, nội ma sát,…Bởi vậy
nghiên cứu và tìm hiểu mẫu khí lý tưởng sẽ giúp ta có cơ sở tìm hiểu các vấn
đề tổng qt của vật lí thống kê và tìm hiểu được những ứng dụng có giá trị
quan trọng của Vật lí vào đời sống kỹ thuật (ví dụ như trong kỹ thuật chân
khơng, trong vật lý về sự phóng điện trong chất khí…).
II. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu các nội dung lí thuyết và một số bài tốn liên quan đến khí
lý tưởng.
III. Cấu trúc của khóa luận
Gồm 3 phần:
Phần A. Mở đầu
Phần B. Nội dung
Phần nội dung có 2 chương:
Chương 1. Khí lý tưởng.
Chương 2. Một số bài tốn về khí lý tưởng.
Phần C. Kết luận.
Trong quá trình nghiên cứu và hồn thành khóa luận này, tơi đã nhận được sự
hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của các thầy cơ giáo trong khoa Vật lí, đặc biệt
là thầy giáo hướng dẫn - TS. Đinh Phan Khôi. Tôi xin chân thành cảm ơn

1

các thầy cô giáo, cùng tất cả bạn bè và những người thân trong gia đình đã tạo
mọi điều kiện giúp đỡ tơi hồn thành khố luận này.
Vinh, tháng 5 năm 2010
Sinh viên
Hoàng Thị Giang

2


B. NỘI DUNG
Chương I

KHÍ LÝ TƯỞNG
Để minh họa cho các khái niệm của nhiệt động lực học, ta hãy khảo
sát khí lý tưởng một cách chi tiết. Khí lý tưởng được đặc trưng bởi các đặc
điểm sau:
- Trong một thể tích vĩ mơ của khí lý tưởng có chứa một số rất lớn
phân tử.
- Kích thước phân tử rất nhỏ so với khoảng cách giữa chúng, do đó
trong hầu hết các tính tốn ta có thể bỏ qua kích thước của phân tử và coi
phân tử như chất điểm.
- Các phân tử luôn luôn chuyển động hỗn loạn, chúng va chạm với
nhau và với thành bình.
- Lực tương tác giữa các phân tử chỉ xuất hiện khi va chạm, vì vậy giữa
hai va chạm liên tiếp, các phân tử chuyển động tự do, tức là chuyển động
thẳng đều. Sự va chạm giữa các phân tử với nhau và với thành bình xảy ra
theo quy luật va chạm đàn hồi.
Những tính chất trên phản ánh một cách gần đúng những tính chất cơ
bản của khí thực.
1.1. Định luật khí lý tưởng

Năm 1664 R. Boyle và sau đó một thời gian (năm 1676) độc lập với
Boyle, E. Mariotte đã tìm ra mối quan hệ giữa áp suất và thể tích của chất khí
khi nhiệt độ khơng đổi (Hình 1):
pV  p0V0 ,

T = const.

Ở đây ta định nghĩa áp suất là lực tác dụng vng góc lên một đơn vị
diện tích.
3


p(10 Pa)
5
4 -

1200 K
800

3 -

500
2 300
1 -

100

.

0

1

.
3

.
2

.
4

.
5
V(10-3 m3)

Hình 1. Đồ thị pV cho 1 mol khí lí tưởng
Về vi mơ nguồn gốc của áp suất là sự va đập của các hạt vào bề mặt, tại
đó chúng bị phản xạ và truyền một phần động lượng. Mãi đến năm 1802
Gay-Lussac mới xem xét sự phụ thuộc của thể tích khí vào nhiệt độ và tìm
được phương trình :
V 

T
V0 ,
T0

p  const .

Các giá trị p0 ,V0 , T0 là áp suất, thể tích và nhiệt độ tuyệt đối của khí ở

một trạng thái xác định tùy ý.
Bây giờ chúng ta đi tìm mối liên hệ giữa áp suất, thể tích và nhiệt độ
khi chất khí chuyển từ trạng thái ( p0 ,V0 , T0 ) đến trạng thái cuối (p,V,T). Để làm
điều này, đầu tiên ta thay đổi áp suất ở nhiệt độ không đổi cho đến khi đạt áp
suất mong muốn p, khi đó thể tích đạt tới giá trị V0' :
pV0'  p0V0

T0  const .

Tiếp đó ta thay đổi nhiệt độ dưới áp suất không đổi:

4

(1.1)


V 

T
V0'
T0

p  const .

(1.2)

Khử giá trị trung gian ở hai phương trình (1.1) và (1.2) ta thu được:
pV
pV
 0 0  const .

T
T0

Tỉ số

(1.3)

pV
áp dụng cho trường hợp số phân tử khí rất lớn, khi số thì phân tử
T

tăng lên tỉ số này cũng tăng lên. Ta đưa vào giá trị kN với k là hằng số
Boltzman, k = 1,380658.10-23 JK-1 . Phương trình (1.3) được viết lại như sau:
pV
pV
 0 0  Nk , pV  NkT hoặc p   kT
T
T0

(1.4)

Đây là định luật khí lý tưởng. Trong phương trình (1.4)  là mật
độ hạt được xác định bởi tỉ số N / V .
1.2. Thuyết động học phân tử của khí lý tưởng
Nhiệt độ của khí lý tưởng có thể được hiểu một cách đơn giản như
là động năng của các phân tử khí. Trong phần này chúng ta đi tìm hiểu một số
khái niệm của vật lí thống kê sẽ sử dụng phổ biến trong phần tiếp theo.


Mỗi phân tử khí có một véc tơ vận tốc v thay đổi theo thời gian. Ở

trạng thái cân bằng nhiệt động ln ln có cùng một số hạt trong một khoảng
nhất định của vận tốc, mặc dù vận tốc của từng hạt riêng biệt luôn thay đổi.


Bởi vậy khi nói xác suất để một hạt nằm trong khoảng d 3 v của vận tốc là nói
đến phân bố vận tốc của chất khí khơng thay đổi theo thời gian ở trạng thái
cân bằng nhiệt động. Ở đây ta chưa xét đến dạng chính xác của phân bố đó
mà chỉ biết rằng phân bố này tồn tại. Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ nghiên


cứu dạng của sự phân bố này một cách chi tiết. Số lượng các hạt dN ( v ) trong


khoảng vận tốc lân cận v là:
5






dN  N f ( v ) d 3 v ,


f (v)






f (v) 

1 dN
N d3 
v

(1.5)

là hàm phân bố vận tốc thỗ mãn điều kiện chuẩn hố




f (v) d v  1.
3



Như đã nói ở trên áp suất của chất khí bắt nguồn từ sự truyền động
lượng của các phân tử khi chúng phản xạ tại bề mặt.
Chọn trục z của hệ tọa độ vng góc với mặt A. Các hạt tới va chạm và
truyền cho A một phần động lượng.


Tất cả các hạt có vận tốc v va chạm với một đơn vị bề mặt A trong
thời gian dt đều nằm trong một hình trụ xiên có đáy là A và chiều cao




vz dt (Hình 2). Chúng chuyển động được một khoảng d r  v dt tới va chạm

vào bề mặt nếu chúng ở trong hình trụ xiên đó tại thời điểm bắt đầu của
khoảng thời gian dt thì số hạt có vận tốc ở trong ống hình trụ xiên là:


dV
3
dN  N
f (v) d v ,
V

(1.6)

dV
là tỉ lệ của tổng thể tích bị chiếm chỗ bởi ống hình trụ, dV  Avz dt . Mỗi
V

hạt truyền một động lượng p  2mvz vì vậy ta có xung lượng của lực trên
diện tích A là:




dFA dt  2mvz dN  2 Nmvz2 f ( v )d 3 v

Adt
V

.

(1.7)

Nếu ta khử dt và chia cả 2 vế cho A ở thì sự đóng góp của các hạt


có vận tốc v chính là áp suất. Áp suất tổng cộng là kết quả của phép lấy tích
phân tất cả các giá trị có thể của vận tốc với thành phần vz > 0 (vì những hạt
chuyển động theo hướng ngược lại khơng va chạm với thành bình).

6


vz dt

z

v

A

Hình 2


p



1

N
dF

A
 dvx  dv y
A
V 



 dv

z

f (v )2mv z2

(1.8)

0



Khi chất khí ở trạng thái cân bằng nhiệt động thì hàm phân bố f ( v )


khơng phụ thuộc vào chiều của v mà chỉ phụ thuộc vào v . Khi đó ta có thể


viết tích phân

 dvz là
0



1
 dvz và thu được:
2 


pV  mN



d 3vf (v )vz2

(1.9)



tích phân này chính là trung bình bình phương vận tốc theo hướng vng góc
với bề mặt. Tuy nhiên vì tính đẳng hướng của chất khí nên nó như nhau theo
mọi hướng trong không gian nghĩa là:

d v
3

f (v ) vz2  vx2  vy2  vz2 ,

(1.10)

2
2
2
2
vì v  vx  vy  vz nên:

vz2 

1 2
1
v 
3
3



.

(1.11)

2
N kin
3

(1.12)

vx2  v 2y  vz2

Từ (1.10), (1.11) và (1.9) ta được:

pV  mN

1
v2
3



7


kin 

1
m v2
2

là động năng trung bình của một hạt. Nếu so sánh với

phương trình (1.4) thì ta được kin 

3
kT , đại lượng kT đo chính xác
2

động năng trung bình của một phân tử khí lý tưởng. Trong phần liên quan đến
hàm phân bố chúng ta sẽ thấy rằng mối quan hệ này khơng chỉ giới hạn cho
khí lý tưởng mà còn là một định luật tổng quát.
1.3. Phân bố vận tốc Maxwell
Bây giờ chúng ta tìm dạng hàm phân bố vận tốc một cách chi tiết hơn.



Vì tính đẳng hướng của chất khí nên f ( v ) chỉ là hàm theo mô đun vận tốc
v (hoặc theo v 2 ). Nói cách khác chúng ta có thể thừa nhận rằng phân bố vận

tốc của phân tử theo một phương nào đó sẽ độc lập với các thành phần khác
nghĩa là:

f (vx2  vy2  vz2 )  f (vx2 ) f (vy2 ) f (vz2 ) .

(1.13)

Hàm toán học thoả mãn (1.13) là một hàm mũ, do đó ta chọn


f (v 2 )  C exp av 2  , C và a là các hằng số khơng phụ thuộc vào v và có thể

chọn tùy ý. Để f  v 2  thoã mãn điều kiện chuẩn hóa thì a < 0.
Một hàm f  v 2  như vậy tương đương với một phân bố Gauss của các
thành phần vận tốc. Hằng số C được xác định từ việc chuẩn hóa hàm f (vi ) .


1

 dv

i





f (vi )  C

 dv

i

exp(  avi2 )



trong đó viết - a với a > 0. Dễ dàng xác định được giá trị của tích phân này là
 / a do đó C  a /  .

Dựa vào phương trình (1.12) ta có thể tính được hằng số a:

8


kT  m vz2  m  d 3v f (v ) vz2












 m  dvx f (vx2 )  dv y f (v y2 )  dvz f (vz2 ) vz2


 m  dvz f (vz )vz2


a

m



 2m



 dv exp av v
2
z

z

2
z



a





 dv

z

exp avz2  vz2 .

0

1

dx
2 a
x

2
Đặt x  av z thì ta có dvz 

a

1
kT  2m
 2a a



 dxe

x

x

0

chúng ta thường gặp các tích phân dạng này. Chúng được giải bởi số hạng của
hàm  được định nghĩa như sau:


( z ) 

 dxe

x

x z 1

0

với (1 / 2)   , (1)  1 , và công thức truy hồi  ( z  1)  z  ( z) ta có thể
tính tốn được một tích phân tùy ý có dạng như trên với z nguyên dương
hoặc bán nguyên. Ta có:
(3 / 2)  1 / 2.(1 / 2)   / 2 .

Vậy kT  m

1
a 

(3 / 2) 

m
1m
hoặc a 
.
2 kT
2a

Hàm phân bố vận tốc của một khí lý tưởng cho 1 thành phần bởi vậy có
thể viết:
f (vi ) 

a



exp av

2
z



 mvi2 
m
exp 


2 kT
 2kT 

9

(1.14)


Và ta có hàm phân bố đầy đủ là:
 m 
f (v )  

 2 kT 

3/ 2

 mv 2 
exp 
 .
 2kT 

(1.15)

Biến đổi trạng thái - quá trình thuận nghịch và bất thuận nghịch
Những hiện tượng hàng ngày cho thấy rằng một quá trình riêng biệt
tự diễn biến cho đến khi đạt trạng thái cân bằng. Các q trình như vậy khơng
thể tự diễn ra ngược lại nên chúng được gọi là bất thuận nghịch. Ví dụ về
những q trình đó gần như tất cả các quá trình trong cuộc sống hàng ngày, cụ
thể như sự giãn nở của khí từ thể tích nhỏ đến thể tích lớn hơn hay tất cả các

q trình mà có sinh nhiệt do ma sát.
Ví dụ:
Một con lắc đồng hồ khơng có lực dẫn động sẽ tự nó tắt dần dao động
sau một khoảng thời gian, đó là do cơng cơ học chuyển đổi thành nhiệt do ma
sát. Quá trình thuận nghịch của một con lắc tự nó bắt đầu dao động mà khơng
làm nóng mơi trường xung quanh chưa bao giờ được nhìn thấy.
Một đặc điểm của quá trình bất thuận nghịch là chúng biến đổi qua các
trạng thái khơng cân bằng. Nói cách khác, q trình mà chỉ đi qua các trạng
thái cân bằng gọi là quá trình thuận nghịch. Một quá trình thuận nghịch là một
quá trình lý tưởng nói đúng ra là khơng tồn tại, bởi vì: nếu một hệ ở trạng thái
cân bằng thì các biến số trạng thái sẽ nhận các giá trị không phụ thuộc thời
gian. Tuy vậy ta có thể tạo ra những quá trình gần như thuận nghịch bằng
cách tạo ra những biến đổi rất nhỏ (vi phân, vô cùng bé) của biến trạng thái
trong đó trạng thái cân bằng bị ảnh hưởng rất ít nếu sự biến đổi diễn ra đủ
chậm so với sự hồi phục của hệ. Điều quan trọng của quá trình biến đổi thuận
nghịch là: mỗi bước nhỏ trong các quá trình của hệ là một trạng thái cân bằng
với những giá trị xác định của các biến trạng thái, nên biến đổi tổng cộng của
các biến trạng thái có thể nhận được bằng cách lấy tích phân các biến đổi
10


thuận nghịch vơ cùng nhỏ. Với q trình bất thuận nghịch thì điều đó là
khơng thể. Trong q trình bất thuận nghịch nói chung là khơng thể xác định
giá trị của các thông số trạng thái.
1.4. Sự giãn nở đẳng nhiệt
Ta xét sự giãn nở của một chất khí ở nhiệt độ khơng đổi (giãn nở đẳng
nhiệt, xem Hình 3). Một nhiệt độ không đổi trong thực tế được tạo ra bởi 1 bể
nhiệt, ví dụ như một cái bình lớn chứa nước ở nhiệt độ T gắn liền với hệ và ở
trạng thái cân bằng nhiệt với hệ.

Fa

p1 , V1

Hình 3
Ta có thể thực hiện một cách đơn giản sự giãn nở đẳng nhiệt của
khí từ thể tích V1 đến V2 bằng cách tác dụng một ngoại lực Fa lên một pít tơng
và giữ pít tơng cân bằng. Bằng cách đó chất khí sẽ nhanh chóng giãn nở đến
thể tích V2, khi đó áp suất trong hệ sẽ thay đổi và gradient nhiệt độ cũng như
mật độ sẽ tìm thấy.
Q trình này tự xảy ra và sẽ khơng bao giờ tự đảo lại được. Vì vậy
nó là bất thuận nghịch.
Trong q trình giãn nở chúng ta khơng thể gán giá trị cho các tham số
vĩ mô được mà ta chỉ có thể làm điều này sau khi trạng thái cân bằng được
xác lập lại. Công thực hiện bởi sự giãn nở của hệ bằng 0 khi sử dụng 1 pít
tơng lý tưởng khơng trọng lượng.

11


Tuy nhiên ta cũng thực hiện quá trình giãn nở đẳng nhiệt thuận nghịch,
hoặc ít nhất là gần thuận nghịch, nếu ta giảm lực tác dụng tại mỗi bước một
lượng vô cùng nhỏ và đợi cân bằng được xác lập tại trạng thái mới. Khoảng
thời gian chờ đợi phụ thuộc vào thời gian hồi phục của hệ. Sự khác biệt cơ
bản so với quá trình giãn nở đẳng nhiệt bất thuận nghịch là trong trường hợp
này các biến nhiệt động có các giá trị xác định trong mỗi giai đoạn tức thời
và do đó, phương trình trạng thái được áp dụng. Nếu xét khí lý tưởng ta sẽ có
p  NkT / V , và có thể tính cơng tổng cộng thực hiện bởi sự giãn nở của hệ

như sau:

2

V2

V2

1

V1

V1

 dW    pdV   NkT 

V
dV
  NkT ln 2
V
V1

(1.16)

Trái lại với quá trình giãn nở bất thuận nghịch, hệ của chúng ta phải
thực hiện công để chống lại ngoại lực Fa. Ta nhớ rằng trong quá trình thuận
nghịch thì cơng của hệ sinh ra là lớn nhất.
Sự giãn nở của chất khí nằm giữa 2 trường hợp hoàn toàn bất thuận
nghịch  W  0 và hoàn toàn thuận nghịch  W   NkT ln V2 / V1  . Quá trình
thuận nghịch và bất thuận nghịch được minh họa ở giãn đồ Hình 4.
p

p

p

p2

p2

p2

p1

p1

p1

V1

V2

V1

V2
Hình 4

12

V1

V2

Trong trường hợp bất thuận nghịch ta chỉ có thể xác định được trạng
thái đầu và trạng thái cuối, tất cả các điểm của đồ thị pV chỉ đạt được trong
quá trình thuận nghịch. Mặc dù trạng thái đầu và cuối là như nhau trong cả
hai q trình, cơng sinh ra lại hồn tồn khác nhau. Ta thấy q trình thuận
nghịch làm thất thốt cơng. Ta cũng có kết quả tương tự khi xét quá trình nén
đẳng nhiệt. Trong quá trình thuận nghịch cần một cơng:
1

V1

V1

 dW    pdV   NkT ln V
2

2

V2

 NkT ln

V2
0
V1

Ở đây ta đã thừa nhận rằng trong mỗi bước lực tác dụng vào pít tơng
chỉ tăng một lượng vơ cùng bé. Nếu thay vào đó ta nén pít tơng với một lực
lớn, ta sẽ phải sử dụng một công lớn hơn, cuối cùng tỏa ra dưới dạng nhiệt.

13


Chương II

MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ KHÍ LÝ TƯỞNG
2.1. Nội năng và tổng đạo hàm
Như một bài tốn ta tính nội năng của một khí lý tưởng. Trong
phần “Thuyết động học phân tử của khí lý tưởng” ta có phương trình sau:
pV  NkT 

trong đó kin

2
N kin ,
3

là động năng trung bình của 1 chất điểm. Trong trường hợp

của khí lý tưởng, các chất điểm chỉ có động năng khơng có thế năng do vậy
kin

cũng chính là tổng năng lượng trung bình. Tuy nhiên nội năng trong

hệ được tính bằng tổng năng lượng trung bình của cả hệ, nghĩa là:

U  Ekin  N kin
U 

3
NkT
2

(2.1)

Tiếp theo muốn xác định nhiệt dung riêng của khí lý tưởng ta xét một
bình chứa khí với thể tích khơng đổi trong bể ở một nhiệt độ T. Nếu
nhiệt độ này thay đổi 1 lượng là dT thì ta có:
dU  W   Q

Mặt khác công trao đổi với xung quanh là:

W   pdV  0

V  const .

Do đó ta có:
dU  CV (T )dT .

(2.2)

Ở đây CV biểu thi nhiệt dung với thể tích khơng đổi. Lưu ý rằng  Q có
thể được đo bằng phương pháp thực nghiệm. Đối với các khí lỗng, nhiệt
dung là khơng đổi. Từ phương trình (2.2) ta có:
U (T )  U 0 (T0 )  CV (T  T0 )

14

Nếu coi nhiệt dung riêng tỷ lệ thuân với số hạt, CV  NcV thì ta có:
U (T )  U 0 (T0 )  NcV (T  T0 )

(2.3)

trong đó cV là nhiệt dung riêng khơng đổi trên một chất điểm của khí lý
tưởng. So với phương trình (2.1):
cV 

3
k
2

hoặc

CV 

3
Nk
2

Nhiệt dung riêng có tầm quan trọng lớn trong thực tiễn. Với phương
trình (2.2) ta có thể xác định được nội năng của các khí thực từ việc đo nhiệt
dung riêng của chúng. Nhìn chung, ta có thể xác định được nhiệt dung riêng
ở một thể tích khơng đổi theo cơng thức:
CV 

U
T

V

hơn nữa phương trình (2.3) có ý nghĩa tổng quát. Nhiệt dung riêng của một
số chất có thể được coi là hằng số trong một khoảng nhiệt độ nhất định. Do
vậy phương trình (2.3) cũng đúng cho cả các kim loại và khí thực khi có sự
chênh lệch về nhiệt độ khơng q lớn.
2.2. Các phương trình bảo tồn nhiệt cho khí lý tưởng
Hãy xét mối tương quan giữa nhiệt độ và thể tích của một khí lý tưởng
nếu khơng có sự trao đổi nhiệt với mơi trường xung quanh.
Lời giải
Một q trình mà khơng có sự trao đổi nhiệt được gọi là q trình bảo
tồn nhiệt. Theo định luật thứ nhất của nhiệt động lực học, với  Q  0 và

 Wrev   pdV ta có:
dU   Wrev   pdV .

Với một q trình bảo tồn nhiệt thuận nghịch. Nếu hệ được nén với
thể tích dV thì năng lượng của hệ tăng lên dU   pdV  0 (dV  0) .

15


Từ phương trình (2.1) ta thấy rằng đối với một khí lý tưởng (cũng với dV
≠ 0) dU  CV dT . Do đó ta có được mối quan hệ giữa dT và dV với những
thay đổi bảo toàn nhiệt của thể tích khí lý tưởng:

CV dT   pdV .
Nếu ta áp dụng định luật khí lý tưởng vào phương trình trên ta có:
CV dT  

NkT
dV
V

(2.4)

đây là phương trình vi phân biểu diễn mối quan hệ giữa V và T trong các biến
đổi trạng thái bảo toàn nhiệt. Với CV = const kết hợp với phương trình (2.4)
bằng việc lấy tích phân từ trạng thái ban đầu (T0,V0) đến trạng thái cuối (T, V)
T



T0

V

CV dT
C
dV
T
V
 
 V ln
  ln .
Nk T
V
Nk T0
V0
V0

Thay CV  3 / 2 Nk vào phương trình trên ta có:
T 


 T0 

3
2



V0
.
V

(2.5)

Kết hợp với định luật về khí lí tưởng ta có thể dẫn ra những phương
trình tương đương cho những quan hệ giữa p và V hoặc p và T tương ứng cho
quá trình đoạn nhiệt:
5
2

T 
p
  
và
p0
 T0 

5

p  V0  3
  .
p0  V 

(2.6)

Các phương trình (2.5) và (2.6) là các phương trình bảo tồn nhiệt cho
khí lý tưởng. Lưu ý rằng chúng khác nhau một cách lơgic với định luật khí lý
tưởng, do ở đây ta xét một quá trình đặc biệt (quá trình bảo tồn nhiệt). Đối
với các q trình nhiệt độ khơng đổi (đẳng nhiệt), áp suất không đổi (đẳng
áp), hay thể tích khơng đổi (đẳng tích), ta có thể loại bỏ một biến của phương
trình khí lý tưởng. Như ta thấy, với các q trình bảo tồn nhiệt thuận nghịch

16


tổng entropy của hệ là không đổi (chúng được gọi là đẳng entropy). Đường
đẳng entropy ( pV 5/3  cons t ) trong đồ thị pV là dốc hơn so với đường đẳng
nhiệt ( pV  const ).
2.3. Entropy của khí lý tưởng
Biểu diễn entropy của một lượng khí lý tưởng xác định (có số hạt
khơng đổi) như một hàm của T và V.
Lời giải
Đối với các quá trình biến đổi trạng thái thuận nghịch từ định
luật thứ nhất ta có:

dU  TdS  pdV

(2.7)

Với khí lý tưởng khi dN  0 và có các phương trình:
U 

3
NkT
2

,

pV  NkT

thì từ phương trình (2.7) ta có thể suy ra dS:
dS 

3
dT
dV
NkT
 Nk
2
T
V

Lấy tích phân của phương trình trên từ trạng thái T0 , V0 với entropy S0 ta
có:
3/2


3
T
V
 T   V
S (T , p)  S0 (T0 , p0 )  Nk ln  Nk ln
 Nk ln   
2
T0
V0
 T0   V0




  (2.8)



Và nếu thay V  T / p :
5/ 2

 T   p0  

S (T , p)  S0 (T0 , p0 )  Nk ln 
 
 .
 T0   p  



Do vậy entropy của khí lý tưởng tăng cùng với nhiệt độ và thể tích.
Tuy nhiên lưu ý rằng dù N xuất hiện trong phương trình (2.8) song phương
trình này khơng phụ thuộc tường minh vào N đối với hệ có số hạt thay đổi.

17


Để làm điều đó ta cộng thêm số hạng  dN vào trong phương trình (2.7) và
sẽ được hàm  ( N ,V , T ) . Tuy nhiên ta có kết luận như sau: vì entropy
là một đại lượng cộng tính nên nó phải tỷ lệ thuận với số hạt N :
5/ 2


 T   p 

 

S ( N , T , p)  Nk S0 (T0 , p0 )  ln   
 .

T0   p0   






(2.9)

2.4. Thế hóa của khí lý tưởng

Thơng qua hệ thức Gibbs-Duhem hãy tính thế hóa của khí lí tưởng như
1 hàm của nhiệt độ T và áp suất p.
Lời giải
Đối với 1 hạt hệ thức Gibbs-Duhem có dạng:
0  S dT  V dp  N d 

hoặc:
d  ( p, T )  

S ( p, T )
V ( p, T )
dT 
dp .
N
N

Nếu thay S (T, p) từ phương trình (2.9) và thay V (T , p)  NkT / p vào
phương trình trên ta được:
5/2


 T   p0  
dp

 

d  ( p, T )   s0 k  k ln      dT  kT

T
p 

p

 0    



(2.10)

 là một hàm trạng thái và như vậy ta có một vi phân đầy đủ. Có thể biểu

diễn phương trình (2.10) bởi đồ thị như Hình 5.

18


p
p 2
p0 1

.

.

T0

T

Hình 5
Lấy tích phân 2 vế phương trình (2.10) ta được:
p


 T 
5
dp
  p, T   0  p0 , T0      s0 k  k ln    dT  kT 
,
2
p
 T0  
T0 
p0
T

(2.11)

khi p = p0 và dp = 0 ở tích phân 1, dT = 0 ở tích phân 2 ta có thể viết (2.11)
như sau:
5
T 5
p
  p, T   0  p0 , T0   s0 k T  T0   kT ln  k T  T0   kT ln
2
T0 2
p0

 T 5/2  p    5

   p0 , T0   kT ln    0      s0  k T  T0  .

 T0   p    2

(2.12)

Thế hóa chỉ phụ thuộc chủ yếu vào động năng trung bình của các hạt,
cụ thể là nó tỉ lệ thuận với kT.
Để thêm một hạt vào một khí lí tưởng trong trạng thái cân bằng ở nhiệt
độ T và áp suất p chúng ta phải có   p, T  theo phương trình (2.12), khơng kể
đã có bao nhiêu hạt trước đó.
2.5. Phương trình Euler cho khí lý tưởng
Hãy chỉ ra rằng đối với một khí lý tưởng, phương trình Euler:
U  TS – pV   N

19

(2.13)


được

nghiệm

đúng khi  ( p0 , T0 ) và S ( p0 , T0 ) thoã mãn một hệ thức

nhất định
Lời giải:
Đầu tiên, ta chỉ ra các kết quả trước đây với các số hạng cụ thể. Ta
chọn N, p và T làm các biến số độc lập.
U 

3

NkT
2

5/ 2

 T   p0  

TS  NkTS0  NkT ln 
 

T
p 

 0  

pV  NkT

(2.14)

Trong phương trình (2.14) ta sử dụng phương trình (2.9). Từ Phương
trình (2.12), ta suy ra:
5/2

 T   p0  

5

N   N 0    S0  Nk (T  T 0 )  NkT ln     
2


 T0   p  



Do vậy phương trình (2.13) trở thành:

3
 T 
NkT  NkTS0  NkT ln  
2
T

 0 

5/2

 p0  


   NkT  N 0
 p 


5/2

5
 T   p0  

 Nk (T  T0 )  S0 Nk (T  T0 )  NkT ln      .
2

 T0   p  



Sau khi sắp xếp lại cho phù hợp, ta có:
5

 S0  kT0
2


0   ( p0 , T0 )  

(2.15)

phương trình này khơng cịn phụ thuộc vào p, T nên phương trình Euler cho
khí lý tưởng ln đúng, khi  ( p0 , T0 ) và S ( p0 , T0 ) thoã mãn một hệ thức
nhất định (2.15). Khi thay phương trình (2.15) vào phương trình (2.12), ta có
một phương trình chặt chẽ cho thế hóa khí lý tưởng:

20


5/ 2





 p0  

T


0
 ( p, T )  kT 
 ln 
 
  .
T
p
 kT0


0








Entropy và nội năng nhiệt động lực học
Trong nhiều ví dụ đã ta thấy rằng entropy hay nội năng, tương ứng là
những hàm trạng thái cơ bản. Nếu chúng được xem như những biến tự nhiên
(U, S, V, N,...) của một hệ cô lập thì đảm bảo rằng tất cả các biến số nhiệt
động khác cũng hồn tồn được tìm thấy. Ví dụ nếu biết U (S, V, N,....), và
biết rằng
dU  T dS  p dV   dN  ...
T

U
S

,  p
V , N ...

U
V

(2.16)

, 
S , N ...

U
N

,...

(2.17)

S ,V ...

Vì vậy nhiệt độ, áp suất, và thế hóa học cũng được xem như các biến tự
nhiên. Một sự khẳng định tương tự cho entropy S (U, V, N,...), nếu chúng ta
viết lại phương trình (2.16)
dS 

1

p

d U  d V  d N  ...
T
T
T

1 S

T U

,
V , N ...

p S

T V

,
U , N ...


T



(2.18)
S
N

,...

(2.19)

U ,V ...

2.6. Entropy của các khí lý tưởng
Hãy chỉ ra rằng entropy của các khí lý tưởng như một thế nhiệt động.
Xét entropy của khí lý tưởng như đã đưa ra trong phương trình (2.9):
5/ 2


 p0  
 T 

S ( N , T , p )  Nk  S 0 (T0 , p0 )  ln 


  .
T
p



0









Lời giải

21


Nếu ta viết lại phương trình này theo các biến số độc lập U, N và V
sử dụng U 

3
3
NkT và pV  NkT ( U 0  N 0 kT0 và
2
2

p0V0  N 0 kT0 tương

ứng) ta có:
3/ 2
5/ 2


N0   U   V


S ( N ,V ,U )  Nk  S0 ( N 0 ,V0 ,U 0 )  ln 
 
 

N   U 0   V0











(2.20)

Khi đã biết phương trình (2.20), tất cả các phương trình trạng thái
khí lý tưởng có thể đặt được thông qua phép lấy đạo hàm riêng theo phương
trình (2.19)
S
U
S
V

S
N



1
3
1

3
 Nk
 U  NkT
T
2
U
2



p
1
 Nk
 pV  NkT
T
V

N ,V

N ,U

3/ 2
5/ 2


N0   U   V


   k  S0  ln 
 

 
T
N   U 0   V0








U ,V

(2.21)

(2.22)

 5
  k

 2

(2.23)

Nếu thay phương trình (2.21) và (2.22) vào (2.23), ta sẽ nhận được
giá trị của thế hóa
5/ 2

 T   p0  


5

 ( p, T )  kT   S0   kT ln   
 .
T
p 
2


 0  


(2.24)

Thêm vào đó, bằng cách so sánh ta lại có được hệ thức
5

 S0  kT0 .
2


0  

Chú ý theo phương trình (2.24) thế hóa khơng tạo ra phương trình
trạng thái độc lập nào ngoại trừ liên quan tới T và p thông qua hệ thức
Gibbs-Duhem.

22