Tải bản đầy đủ (.pdf) (30 trang)

Về nhóm tôpô giải được

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (757.45 KB, 30 trang )

1

MỞ ĐẦU
Trong lý thuyết nhóm trừu tượng cũng như lý thuyết nhóm tơpơ ta đều thấy lớp
nhóm giải được, vì lớp nhóm giải được là một trong những lớp nhóm được ứng
dụng rộng rãi trong toán học, trong vật lý, nhất là trong lý thuyết giải phương trình
bậc cao (lý thuyết Galoa), nó cịn là một cộng cụ đắc lực cho việc nghiên cứu các
nhóm khác. Do vậy nó được nhiều nhà toán học quan tâm và đạt được kết quả rất
phong phú.
Trong phạm vi khố luận này chúng tơi đi sâu vào nghiên cứu một số tính chất
của nhóm tơpơ giải được và nhóm tơpơ giải được xạ ảnh.
Nội dung của khoá luận gồm hai chương, cùng với phần mở đầu, kết luận và tài
liệu tham khảo.
Chƣơng 1. Tổng quan về nhóm tơpơ và nhóm giải đƣợc.
Trong chương này chúng tơi trình bày những kiến thức cơ bản của lý thuyết
nhóm tơpơ, nhóm con, ước chuẩn, nhóm thương, đồng cấu của nhóm tơpơ, nhóm
compact, compact địa phương va compact sinh ra, nhóm liên thơng và hồn tồn
khơng liên thơng.
Ngồi ra trong chương này chúng tôi cũng nghiên cứu một số tính chất của
nhóm trừu tượng giải được và nhóm hữu hạn địa phương như:
- Nhóm con, nhóm thương, tích trực tiếp của một số hữu hạn của nhóm giải
được là nhóm giải được.
- Mở rộng của một nhóm giải được nhờ một nhóm giải được là nhóm giải
được.
- Mở rộng của một nhóm hữu hạn địa phương nhờ một nhóm hữu hạn địa
phương là nhóm hữu hạn địa phương.
Chƣơng 2. Một số tính chất của nhóm tơpơ giải đƣợc và nhóm tơpơ giải
đƣợc xạ ảnh.
Đây là nội dung chính của khố luận. Chương này chúng tơi nghiên cứu một số
tính chất nhóm tơpơ giải được, nhóm tơpơ hữu hạn địa phương và nhóm tơpơ giải
được xạ ảnh :




2
- Bao đóng của nhóm con giải được của nhóm tơpơ, nhóm thương của nhóm
tơpơ giải được là nhóm tơpơ giải được.
- Trong nhóm tơpơ giải được có dãy nhóm con giải được bao gồm các nhóm
con đóng.
- Đặc trưng compact của nhóm compact địa phương và hữu hạn địa phương
tơpơ là nhóm compact khi và chỉ khi nhóm sinh ra bởi tập compact.
- Nhóm xoắn tơpơ giải được là nhóm hữu hạn địa phương.
- Nhóm con, nhóm thương, tích trực tiếp của hữu hạn nhóm tơpơ giải được xạ
ảnh là nhóm tơpơ giải được xạ ảnh.
- Nhóm tơpơ giải được xạ ảnh, liên thơng thì giải được.
Khố luận được hồn thành nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình, tận tâm của thầy giáo–
Th.s .Nguyễn Quốc Thơ. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn và kính trọng
sâu sắc đền Thầy, người đã dành cho tác giả sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình trong
quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện khoá luận.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô trong Tổ Đại số và
các thầy cơ trong Khoa Tốn - Đại học Vinh đã dạy bảo, dìu dắt tác giả trong
những năm Đại học cũng như đã hết lòng giúp đỡ tác giả trong q trình làm khố
luận.
Vì thời gian có hạn và sự hiểu biết cịn hạn chế nên khóa luận được viết ra chắc
chắn khơng thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả mong nhận được sự đóng góp ý
kiến của q thầy cơ và các bạn.
Vinh, tháng 5 năm 2010
Tác giả.


3


CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ NHĨM TƠPƠ VÀ NHĨM GIẢI ĐƢỢC

Trong chương này chúng tơi trình bày một số tính chất cơ bản của nhóm tơpơ
và nhóm giải được cần thiết cho việc nghiên cứu ở chương sau.
Nội dung chương 1 gồm :
§1. Một số lớp nhóm cơ bản .
§2. Nhóm giải được .
§3. Nhóm hữu hạn địa phương.
§1. MỘT SỐ LỚP NHĨM CƠ BẢN .

1.1 Nhóm tơpơ.
1.1.1 Định nghĩa. Nhóm tơpơ là một tập hợp G, trên đó đã trang bị một cấu trúc
nhóm và một cấu trúc tơpơ , thoả mãn hai điều kiện :
(i) Ánh xạ (x,y)  xy từ G x G vào G liên tục .
(ii) Ánh xạ x  x-1 từ G vào chính nó liên tục .
Khi đó ta nói rằng cấu trúc nhóm và cấu trúc tơpơ tương thích với nhau .
Hai điều kiện (i) và (ii) tương đương với điều kiện : Ánh xạ (x , y)  xy-1 từ
G xG vào G liên tục .
1.1.2 Tính chất.
Tính chất 1. Giả xử G là một nhóm tơpơ và a là một phần tử xác định của G . Khi
đó các ánh xạ :
fa : G → G

,

ga : G → G

x  xa




f: G → G
x  x-1

x  ax

là các đồng phôi.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh cho trường hợp f a .
Vì G là nhóm tơpơ nên ánh xạ (x , y)  xy từ G x G vào G liên tục suy ra ánh xạ
f a liên tục. Ta sẽ chứng minh f a song ánh.

Xét tích ( f a  f a )(x) = f a ( f a (x)) = f a (xa)=xa.a-1 = x =1G (x)
1

1

1


4
( f a  f a ) (x) = f a ( f a  (x)) = f a (xa-1) = xa-1a = x = 1G(x)
1

1

suy ra f a là ánh xạ ngược của f a
1

Suy ra f a song ánh với f a 1 =


f a 1

Ta chứng minh f a liên tục .Vì f a 1 = f a mà ánh xạ f a liên tục khi đó thay a bằng
1

1

a-1 ta có f a 1 liên tục vậy f a là ánh xạ đồng phôi.
Các ánh xạ khác chứng minh tương tự.
Tính chất 2. Giả sử F là tập đóng , U là tập mở P là tập bất kì và a là phần tử tuỳ
ý của nhóm tơpơ G .Khi đó ta có Fa , aF, F-1 là các tập đóng và các tập UP ,PU
,U-1 là các tập mở.
Chứng minh. Theo tính chất 1, ta có f a , ga, f là các ánh xạ đồng phơi suy ra ảnh
của các tập đóng qua ánh xạ đồng phơi là tập đóng và ảnh của các tập mở qua ánh
xạ đồng phơi là tập mở.
Ta có f a (F)=Fa ; ga (F) =aF ; f (F)= F-1. Vì F đóng nên Fa , aF , F-1 là
đóng.
Tương tự f a (U)=Ua ; ga (U)=aU ; f (U)=U-1. Vì U mở nên Ua, aU, U-1 mở .
Mặt khác ta lại có UP =

 Ua

ap

; PU=  aU .Vì G là nhóm tơpơ nên hợp các tập
a p

mở. Do đó UP, PU ,U-1 là mở.
Tính chất 3. Khơng gian tơpơ của nhóm tơpơ G là khơng gian thuần nhất.

Chứng minh. Không gian tôpô G là không gian thuần nhất nếu hai phần tử x và y
thuộc G bao giờ cũng tìm được phép đồng phơi của G sao cho f (x)= y.
Vì G là một nhóm tơpơ nên ánh xạ f a : x  xa là phép đồng phôi của G. Chọn
-1

-1

f  f a ; a=x y suy ra f đồng phôi và f (x)=x.x y=y.

1.2 Nhóm con và ƣớc chuẩn, nhóm thƣơng của nhóm tơpơ.
1.2.1 Nhóm con và ƣớc chuẩn.
-Giả sử G là nhóm tơpơ. Tập con H của G được gọi là nhóm con của nhóm tơpơ G
nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn:
(i) H là nhóm con của nhóm trừu tượng G.


5
(ii) H là tập con đóng của khơng gian tơpơ G.
-Nhóm con tơpơ N của nhóm tơpơ G được gọi là ước chuẩn, nếu N là ước chuẩn
của G.
2.2 Tính chất của nhóm con và ƣớc chuẩn.
Tính chất 1. Giả sử G là nhóm tơpơ và H là nhóm con (ước chuẩn) trừu tượng của
G. khi đó, H là nhóm con (ước chẩn) tơpơ của G.
Chứng minh. Ta có H là tập con đóng của khơng gian tơpơ G. Khi đó ta chỉ cần
chứng minh H là nhóm con (ước chuẩn) trừu tượng của G.
-Chứng minh H là nhóm con trừu tượng của G.
Giả sử a  H , b  H , khi đó ab-1  H . Thật vậy giả sử W là lân cận tuỳ ý của ab -1
khi đó tồn tại các lân cận U và V của a và b sao cho UV -1  W. Vì a H , b H
nên tồn tại các phần tử x  H, y  H sao cho x  U, y  V. H là nhóm con trừu tượng
của G nên xy-1  H. Mặt khác xy-1  UV-1  W. Do đó xy-1  W  H. Từ đó suy ra

ab-1  H .
-Chứng minh H là ước chuẩn trừu tượng của G.
Ta chứng minh với mọi phần tử h  H và mọi phần tử g  G ta đều có
g-1hg  H . Thật vậy,  h  H ,  g  G ta có: Nếu V là lân cận của g-1hg thì tồn tại
__

lân cận U của h để g-1Ug  V (do phép nhân trong G liên tục ).Vì h  H nên tồn tại x
-1

 H sao cho x  U thế thì g xg  H . Do H là ước chuẩn trừu tượng của G. Mặt

khác g-1xg  g-1Ug  V nên g-1xg  H  V. Vậy mỗi lân cận V tuỳ ý của g-1hg đều
__

có giao khác rỗng với H do đó g-1hg  H .
Tính chất 2. Giả sử C(G) ={ g  G xg =gx ,  x  G } khi đó C(G) là ước chuẩn
tôpô của G và được gọi là tâm của G.
Chứng minh. Hiển nhiên C(G) là ước chuẩn trừu tượng của G nên ta chỉ cần chứng
minh C(G) đóng trong G.
Giả sử a  C (G ) và tồn tại x  G sao cho a  = x-1 ax  a. Khi đó, vì G là khơng gian
chính quy nên tồn tại các lân cận không giao nhau U và U  của a và a  .


6
Đặt V = C (G)  U thế thì, a  V nên a  =x-1ax  x-1 V x = x 1Vx = V mâu thuẫn với
U   V  . .

Vậy a  =x-1ax=a ;  x  G ,suy ra a  C(G). Do đó C (G )  C(G). Mặt

khác, C(G)  C (G ) nên C(G) = C (G ) hay C(G) đóng trong G.

Tính chất 3. Giả sử H là nhóm con trừu tượng của nhóm tơpơ G và H mở. Khi đó
H là nhóm con của nhóm tơpơ G.
Chứng minh. Giả sử a  H khi đó aH là lân cận mở của a nên a H  H   . Do đó
tồn tại b  aH  H . Vì b  aH nên tồn tại h  H sao cho b = ah, khi đó a =bh-1.Vậy
a  H nên . Mặt khác H  H suy ra H = H hay H đóng. Vậy H là nhóm con của
nhóm tơpơ G .
Tính chất 4. Thành phần liên thơng của đơn vị Go của nhóm tơpơ G là ước chuẩn
của tôpô G .
Chứng minh. Giả sử a, b  Go liên thông nên aG o1 liên thông và e aG0 1 . Bởi vậy
aG o1  Go. Do đó ab-1  aG o1  Go nên Go là nhóm con trừu tượng của G.
Giả sử a  Go và x  G . Khi đó x-1Gox liên thơng và chứa e nên x-1Gox  Go, do
đó x-1ax  x-1Gox  Go, nên Go là ước chuẩn trừu tượng của G. Mặt khác, thành
phần liên thông của không gian tôpô ln ln đóng nên Go là ước chuẩn tơpơ G.
1.2.3 Nhóm thƣơng.
Giả sử N là ước chuẩn của nhóm tơpơ G, ta đưa vào nhóm thương G N của nhóm
trừu tượng G một tôpô xác định như sau :
Giả sử  là một cơ sở của G với mỗi U   , xét tập con U* ={Ng  g  U} của G N .
Khi đó B* ={U* U  } là cơ sở của không gian G N và G N với tôpô được xác
định như trên gọi là nhóm thương tơpơ của nhóm tơpơ G theo ước chuẩn N và
đựơc ký hiệu là G * .
1.2.4 Tính chất của nhóm thƣơng.
Tính chất 1. Khơng gian G * là khơng gian thuần nhất.
Tính chất 2. Khơng gian G * là khơng gian chính quy.


7
Tính chất 3. Khơng gian G là khơng gian compact (compact địa phương ) khi đó
N và G N cũng là khơng gian compact ( compact địa phương ).
1.3 Nhóm compact, compact địa phƣơng và compact sinh ra.
1.3.1 Định nghĩa .

- Nhóm tơpơ G được gọi là nhóm compact ( compact địa phương ) nếu không gian
G là không gian compact ( compact địa phương ).
- Nhóm tơpơ G được gọi là nhóm compact sinh ra nếu tồn tại một tập con M
compact của G vafG là bao đóng của nhóm con sinh ra bởi M. Hay G =  M  .
- Phần tử g của nhóm tơpơ G được gọi là phần tử compact nếu nhóm con A   g 
là nhóm compact ( A là bao đóng của nhóm con xyclic sinh ra bởi phần tử g ).
- Nhóm tơpơ G mà mọi phần tử của nó đều là phần tử compact thì được gọi là
nhóm xoắn tơpơ. Ngược lại nếu nhóm tơpơ G mà mọi phần tử của G khác đơn vị
đều không phải là phần tử compact thì G được gọi là nhóm phi xoắn tơpơ.
Nếu ta lấy tơpơ rời rạc thì khái niệm xoắn tơpơ trùng với khái niệm xoắn trừu
tượng, cịn phần tử compact là phần tử có cấp hữu hạn.
1.3.2 Định lý. Giả sử G là nhóm tơpơ, H là ước chuẩn của G. Khi đó:
(i) Nếu G là nhóm compact thì H và G H là nhóm compact.
(ii) Nếu G là nhóm compact địa phương thì H và G H là nhóm compact địa
phương.
Chứng minh. (i) Giả sử U là phủ mở bất kỳ của H, do H là nhóm con của G nên U
bao hàm trong G. Mặt khác, G là compact nên nếu có một phủ V nào đó phủ G sẽ
tồn tại phủ con hữu hạn V * phủ G. Đặt U * = U  V * . Vì V * phủ G nên chứa U do
đó U * là phủ mở hữu hạn được trích ra từ phủ mở U phủ H. Vậy H compact.
Xét ánh xạ chiếu p: G  G * . Khi đó p là ánh xạ mở liên tục. Do G compact, nên
ảnh G * = G H của G qua ánh xạ liên tục mở p cũng compact.
(ii) Do G là nhóm cpmpact địa phương nên mỗi điểm thuộc G đều tồn tại lân cận
compact. Mà H là nhóm con của G suy ra phần tử của H đều tồn tại lân cận
compact, do đó H compact địa phương.


8
Giả sử gH  G H , ta phải chứng minh gH có lân cận compact. Xét đồng cấu tự
nhiên p : G  G H . Khi đó p-1( gH )  G . Do đó G là compact địa phương nên tồn
tại lân cận compact V của p-1 (gH) mà P liên tục nên p(V) là lân cận compact của

gH . Vậy G H = G * compact địa phương.

1.3.3 Mệnh đề. Giả sử G là nhóm tơpơ, P và Q là hai tập compact của nhóm G.
Khi đó PQ cũng là tập compact.
Chứng minh. Ta xét ánh xạ
 : PxQ  PQ

( x , y )  xy.
Rõ ràng  là ánh xạ liên tục và PxQ là tập compact, vì vậy  (PxQ) = PQ là tập
compact.
1.3.4 Định lý. Giả sử G là nhóm compact địa phương sinh bởi tập compact M .
Khi đó trong G tồn tại lân cận U của đơn vị e  G đối xứng compact để G=.
Chứng minh.Vì G là nhóm compact địa phương nên tồn tại lân cận đối xứng
compact V của e  G. Ta đặt W : = MV  V. Khi đó, W và W-1 là lân cận đối
xứng compact nên U : =W  W-1 là lân cận đối xứng compact của G, chứa e vàG
=.
Thật vậy, giả sử G  = khi đó G  là nhóm con mở trong G. Nhưng nhóm con
G  mở thì suy ra G  là nhóm con đóng nên G = G  .

1.3.5 Định lý. Nếu G có ước chuẩn compact H và nhóm thương G

H

compact sinh

ra thì G cũng là compact sinh ra.
Chứng minh. Giả sử f : G  G H là đồng cấu tự nhiên. Gọi V * là tập compact của
không gian G H khi đó V = f -1( V * ) là tập sinh ra G đồng thời f -1( V * ) compact
nên V compact . Vậy G là compact sinh ra.
1.4 Nhóm liên thơng và hồn tồn khơng liên thơng.

1.4.1 Định nghĩa. Nhóm tơpơ G được gọi là liên thơng (hồn tồn khơng liên
thơng) nếu khơng gian tơpơ G liên thơng ( hồn tồn khơng liên thơng).


9
Chú ý
- Thành phần liên thông của đơn vị của nhóm G thường được ký hiệu là nhóm Go.
- Nếu nhóm tơpơ G liên thơng, nghĩa là khơng gian của nó liên thơng, tức là Go =
G.
- Nếu Go ={ e } thì G được gọi là nhóm hồn tồn khơng liên thơng.
1.4.2 Định lý. Giả sử G là nhóm tôpô, Go là thành phần liên thông của đơn vị
trong G. Khi đó G G là nhóm hồn tồn khơng liên thông.
0
Chứng minh. Giả sử  : G  G G là đồng cấu tự nhiên, kí hiệu G * = G G . Khi đó
0
0
 là đồng cấu mở từ G đến G * . Gọi P * là thành phần liên thông của đơn vị trong
G * . Khi đó  : P  P* là ánh xạ mở.

Thật vậy, giả sử U là lân cận nào đó của khơng gian P. Khi đó tồn tại lân cận V
của không gian G sao cho

U = P  V, ta có  (U) = P *  (V ) nhưng  :

G  G* mở nên  ( V ) mở trong G * . Do đó  (U) mở trong P * .

Giả thiết rằng P * còn chứa phần tử khác đơn vị . Khi đó Go là một phần tử khác
đơn vị. Khi đó G  là một phần trọn vẹn của P nên P không liên thơng .
Do đó P = A  B, A  B =  , A, B mở trong P. Nếu a  A thì Goa  A. Nếu
G  a  B   thì Goa phân tích được thành tổng hai tập đóng khơng giao nhau nên

 (A) và  (B) không giao nhau. Các tập này mở trong P * như vậy P * phân tích

được thành hai tập mở trong P * , mâu thuẫn với P * liên thơng.
Suy ra G G hồn tồn khơng liên thơng.
0
1.4.3 Định lý. Nhóm liên thơng G sinh bởi lân cận bất kỳ của đơn vị.
Chứng minh. Giả sử V là lân cận bất kỳ của e  G và giả sử G  {V}. Kí hiệu


H:= {V} = V i . Khi đó H là nhóm con mở của G suy ra H đóng. Vậy H vừa mở
i 1

vừa đóng trong G.


10
Vì G  {V} nên G\H   . Vậy G là tổng của hai tập vừa đóng vừa mở khác rỗng,
tức G = H  ( G \ H ) điều này mâu thuẫn với tính liên thơng của G, chứng tỏ G


i

 {V} là sai. Vậy G ={V} =  V .
i 1

1.4.4 Định lí. Nếu G là nhóm compact địa phương liên thơng thì G là nhóm
compact sinh ra.
Chứng minh. Lấy V là lân cận bất kỳ của của đơn vị e  G mà V compact. Xét
nhóm G * ={V}, vì V mở nên G * là nhóm con mở của G , suy ra G * đóng. Từ đẳng
thức G  G *  (G \ G * ) trong đó vừa đóng vừa mở (do G * vừa đóng vừa mở) và G

là nhóm liên thông nên G \ G * =  . Vậy G  G * hay G là nhóm compact sinh ra.
§2. NHĨM GIẢI ĐƢỢC

2.1 Định nghĩa. Giả sử G là nhóm trừu tượng, x và y là hai phần tử bất kỳ của
nhóm G. Phần tử z = x-1 y-1 xy được gọi là hoán tử của phần tử x và y, kí hiệu
z=[x,y]. Nếu G là nhóm aben thì mọi hốn tử đều bằng đơn vị e của nhóm G.
Nhóm con G  =  x-1 y-1 xy │ x , y  G  được gọi là đạo nhóm của nhóm G và kí
hiệu G ' =[G,G]. Nếu G là nhóm aben thì G ' ={e },với e là đơn vị của nhóm G.

2.2 Định lý. Đạo nhóm

G  của nhóm G là nhóm con hồn tồn đặc trưng.

Chứng minh. Giả sử  là tự đồng cấu của nhóm G và x-1 y-1 xy là một hốn tử bất
kì của G, khi đó :
 (x

-1

y-1 xy) =  (x)-1.  (y)-1.  (x).  (y) = x 1 y  1 xy  với x  =  ( x) ; y =  ( y ),

cũng là hốn tử của nhóm G nên  (G)  G . Vậy G  là nhóm hồn tồn đặc trưng.

2.3 Định lý. Cho K là ước chuẩn bất kì của G . Khi đó , nhóm thương
G

K

là nhóm aben khi và chỉ khi K chứa G  .


Chứng minh. Ta đặt H := G K .
Xét đồng cấu tự nhiên  : G  H
x  xK
ta có  ( x-1 y -1 xy) =K( x-1y -1xy) =K , từ đó suy ra x-1y -1xy  K hay G   K . Vậy
nếu H là nhóm aben thì suy ra G   K . Giả sử ngược lại nếu G   K , ta xét hoán tử


11
bất kì Kx-1Ky-1KxKy = K ( x-1y -1xy) = K, vì x-1y- 1xy K nên mọi hốn tử của H
đều bằng đơn vị e  H . Vậy H là nhóm aben.

2.4 Định nghĩa. Ta ký hiệu
G  = G, G ,… ,G

(i)

=

[G(i-1) , G(i-1)], khi đó dãy nhóm con hoàn toàn đặc trưng

G  G  ....  G (i )  ....

(1).

(1) được gọi là dãy đạo của nhóm G. Nhóm G được gọi là nhóm giải được nếu như
dãy (1) sau một số hữu hạn bước G (n) ={e} bị dừng tại đơn vị.

2.5 Định lý. Nhóm con, nhóm thương của nhóm giải được là nhóm giải được.
Chứng minh. Giả sử G là nhóm giải được, dãy
G


 G   ...  G

(n)

={e}

là dãy đạo nhóm của G và H là nhóm con của G. Khi đó ta có H  G nên H   G 
và bằng phương pháp quy nạp ta có H(n)  G(n) ={e} vậy
H  H   ...  H (n) ={e}
Nghĩa là H là nhóm giải dược.
Giả sử Q = G K là nhóm thương của nhóm G theo ước chuẩn K và G → Q là đồng
cấu tự nhiên của G lên Q .
Ta có  (G)  Q và tiếp tục q trình trên ta có  (G(n)) =Q(n) ={ e  }. Vậy Q là
nhóm giải được .

2.6 Định lý. Tích trực tiếp của một số hữu hạn các nhóm giải được là nhóm giải
được .

Chứng minh. Ta có thể áp dụng phương pháp quy nạp nên ta chỉ cần chứng minh
cho trường hợp tích trực tiếp của hai nhóm G1 và G 2 giải được.
Giả sử G = G1 x G 2 = { (x , y ) │x  G1 , y  G 2 }
X1 = (x1,y 1)  G; X2 = (x2,y 2)  G
Khi đ ó X1-1 X2-1X1 X2 =( ( x1-1 x2-1x1 x2) ,( y1-1 y2-1y1 y2) )
Từ đó suy ra G  G1  G2 . Bằng phương pháp quy nạp ta có
G ( m )  G1

(m)

 G2


(m)

với m = max (m1, m2) và G (m )  G (m ) ={e}.

Vậy G(m)= {(e, e)} nên G là nhóm giải được

1

2


12

2.7 Định lý. Nhóm G là mở rộng của nhóm giải được H nhờ nhóm giải được K
thì G là nhóm giải được.
Định lý này tương đương với Định lý: Nếu trong G tồn tại ước chuẩn giải được K
để nhóm thương H = G K giải được thì G là nhóm giải được .
Trước hết ta chứng minh bổ đề sau:
Bổ đề. Nhóm G giải được khi và chỉ khi trong G có dãy á chuẩn:
G  A1  A 2  …  An ={e}

(2)

với Ai +1  Ai và Ai A là nhóm aben .
i 1

Chứng minh. Nếu G là nhóm giải được, khi đó dãy đạo nhóm của nhóm, G thoả
mãn điều kiện dãy (2) .
Ngược lại, nếu trong G có dãy (2) ta chứng minh G là nhóm giải được hay chứng

minh dãy đạo nhóm của G bị dừng tại {e} sau một số bước hữu hạn .
Giả sử trong G có dãy
G  A1  A 2  …  An ={e}
với Ai +1  Ai , Ai A
i 1

(2)

aben. Ta có G A là nhóm aben. Theo Định lý 2.3, ta có
1

G   A1 , bằng quy nạp ta cũng có G

(n)

(n)

 An ={e} nên G

= {e}.

Vậy trong G có dãy giải được
G  G  ...  G ( n)  {e}
hay G là nhóm giải được.

Chứng minh định lý. Vì H =

G

K


giải được nên theo bổ đề vừa nêu ta có dãy á

chuẩn G K  A1 K  A2 K  …  An K = K K
Ai

Suy ra

K

Ai 1



Ai

Ai 1 là nhóm aben và Ai

+1

K

G  A1  A2  ...  An  K
với Ai+1  Ai và Ai

Ai 1

là nhóm aben .

Vì K là nhóm giải được nên trong K có dãy á chuẩn


 Ai nên ta có dãy á chuẩn


13
K  K1  K 2  ....  K r  {e}

Với Kj +1  Kj và

K j 1
Kj

là nhóm aben.

cuối cùng ta có dãy chuẩn
G  A1  A2  ….  An=K  K1  K1  ….  Kr ={e}.
K
với Ai+1  A i và Ai A là nhóm aben và Kj+i  Kj và j 1 K là nhóm aben. Vậy G
i 1
j

là nhóm giải được.
§3. NHĨM HỮU HẠN ĐỊA PHƢƠNG
3.1 Định nghĩa. Nhóm trừu tượng G được gọi là nhóm hữu hạn địa phương nếu
mọi nhóm con hữu hạn sinh đều là nhóm hữu hạn.
Nhận xét
(i) Nhóm hữu hạn là nhóm hữu hạn địa phương.Tuy nhiên điều ngược lại khơng
đúng.
(ii) Nhóm con, nhóm thương của nhóm hữu hạn địa phương là nhóm hữu hạn địa
phương.

3.2 Định lý. Mở rộng nhóm G của nhóm hữu hạn địa phương A bởi nhóm hữu hạn
địa phương B là nhóm hữu hạn địa phương.
Chứng minh. Rõ ràng nhóm G là nhóm xoắn. Giả sử {x1 , x2 , ...,xn} là tập hữu hạn
các phần tử của G. Vì B là nhóm hữu hạn địa phương suy ra nhóm H A là nhóm
hữu hạn trong đó H = .
Ta có mỗi lớp ghép của H theo ước chuẩn A chứa ít nhất một phần tử trong tập
{x1, x 2, ….,xn}. Điều này là thực hiện được vì tập x1, x2 ,..., xn  hữu hạn nên nếu cần
ta bổ sung một số hữu hạn phần tử.
Bất kỳ tích xi xj nằm trong lớp ghép của H theo ước chuẩn A, do đó nó được biểu
diễn dưới dạng tích của một phần tử trong tập  x1, x 2, ….,xn  và một phần tử nằm
trong A. Đối với mỗi cặp chỉ số i, j có một biểu diễn xi .x j = xk.aij với aij  A. Vì G
là nhóm xoắn nên bất kỳ phần tử trong nhóm < x 1, x2 ,….,xn > có thể biểu diễn dưới
dạng tích các phần tử xi với chỉ số +1. Do đó nó được biểu diễn ở dạng tích các


14
phần tử x1, ….,xn với phần tử dạng tích các phần tử aij của nhóm sinh bởi các phần
tử aij. Nhóm con sinh bởi aij là nhóm con của nhóm A hữu hạn địa phương nên chỉ
có một số hữu hạn phần tử aij. Từ đó suy ra nhóm con < x1, x2 , ….,xn >. Vậy nhóm
G hữu hạn địa phương .
3.3 Định lý. Mọi nhóm con xoắn aben G đều là nhóm hữu hạn địa phương
Chứng minh. Giả sử G là nhóm aben xoắn và {x1 ,x2 , ……xn } là tập hữu hạn các
phần tử của nhóm G. Ta đi chứng minh nhóm H: = < x1 ,x2 ,……,xn > là nhóm hữu
hạn.Ta ký hiệu Xi =< xi > là nhóm con sinh bởi phần tử xi, i = 1 , 2 ,…, n. Vì G là
nhóm aben nên
H = < x1, x2,…, xn> = X1 . X2 …Xn  X1 X X2 X…x Xn
Vậy H là nhóm hữu hạn .
1.3.4 Định lý. Nhóm xoắn giải được là nhóm hữu hạn địa phương.
Chứng minh. Vì G là nhóm giải được nên trong G có dãy giải được
G  A1  A2  ....  An1  An ={ e }. với Ai+1  Ai và


Ai

Ai 1

là nhóm aben. Ta có

An-1 là nhóm aben hữu hạn địa phưong ( theo Định lý 3.3 ). Khi đó theo Định lý
3.2, nhóm An-2 là nhóm hữu hạn địa phương và G A cũng là nhóm hữu hạn địa
1
phương. Vậy theo Định lý 3.2, G là nhóm hữu hạn địa phương.
3.5 Hệ quả. Tích trực tiếp của một số hữu hạn các nhóm hữu hạn địa phương là
nhóm địa phương .


15

CHƢƠNG 2
NHĨM TƠPƠ GIẢI ĐƢỢC VÀ NHĨM TƠPƠ GIẢI ĐƢỢC XẠ ẢNH
Đây là nội dung chính của khố luận. Trong chương này chúng ta nghiên cứu
một số tính chất của nhóm tơpơ giải được và một số tính chất của nhóm tơpơ giải
được xạ ảnh.
Nội dung chương 2 bao gồm:
§1. Nhóm tơpơ giải được.
§2. Nhóm hữu hạn địa phương tơpơ.
§3. Nhóm tơpơ giải được xạ ảnh.
§1. NHĨM TƠPƠ GIẢI ĐƢỢC
1.1 Định nghĩa. Nhóm tơpơ G được gọi là nhóm tơpơ giải được nếu G là nhóm
trừu tượng giải được. Vậy mọi nhóm trừu tượng giải được đều là nhóm tơpơ giải
được với tôpô rời rạc.

1.2 Mệnh đề. Giả sử H và K là hai nhóm con của nhóm tơpơ G sao cho H  K  H’,


với H’ là đạo nhóm của nhóm H. Khi đó K  H .
Chứng minh. Vì H  K nên H  K . Xét ánh xạ
 :H×H  K

(x,y)  x-1y-1xy.
Ta có  là ánh xạ vì K  H’, và  là ánh xạ liên tục. Khi đó theo định nghĩa tơpơ
tích trực tiếp
-1 -1

 ( H  H )= H x H = {x y xy / x, y  H }

Nên ta có
'

-1 -1

H ={x y xy / x, y  H }  K .

1.3 Định lý. Giả sử H là nhóm con trừu tượng của nhóm tơpơ G. Nếu H là nhóm
giải được, thì bao đóng H của H là nhóm tơpơ giải được. Đặc biệt nếu H là nhóm
con aben thi H cũng là nhóm aben.
Chứng minh. Do H là nhóm con trừu tượng của nhóm tơpơ G nên bao đóng H của
H là nhóm con của nhóm tơpơ G ( theo Tính chất 2, 1.2.2, Chương 1).


16
Bây giờ ta chứng minh H là nhóm giải được.

Vì H là nhóm giải được nên trong H có dãy đạo nhóm hữu hạn
H  H’  …  H(n) = {e}
Từ đó ta suy ra
H  H '  …  H (n ) = {e}
'

Trong Mệnh đề 1.2, ta lấy nhóm K=H’. Khi đó K = H '  H . Từ đó ta suy ra
H (n)  H

(n)

Nên H

(n )

 {e}. Vậy H là nhóm giải được.

Nếu H là nhóm aben thì H có dãy đạo nhóm H  H’={e}. mặt khác,
'

H '  H ={ e } nên suy ra H là nhóm aben.

1.4 Định lý. Nếu G là nhóm giải được thì trong G có dãy giải được gồm các nhóm
con đóng.
chứng minh. Vì G là nhóm giải được nên trong G có dãy đạo nhóm hữu hạn.
G  G’  …  G(n) = {e}

(1)

Ta chứng minh dãy

G  G'  …  G (n ) = {e}

(2)

là dãy giải được. Theo Mệnh đề 1.2, các nhóm G (i ) đều là nhóm con đóng của G.
(i )
Để chứng minh dãy (2) là dãy giải được ta chỉ cần chứng minh G

G (i 1)

là nhóm

aben và G (i ) là ước chuẩn của G.
Thật vậy, giả sử x  G (i ) , gG ta đặt y:=g-1xg và W là lân cận của y. Vì yW nên
tồn tại lân cận U  x để g-1Ug  W. Mặt khác, x G (i ) nên U  G(i)   có nghĩa là
tồn tại kU; kG(i) để g-1kg W. vì G(i) là ước chuẩn của G nên g-1kgG(i). Vậy
G(i)  W   suy ra y G (i ) . Hay G (i ) là ước chuẩn của nhóm tơpơ G.
Ta chứng minh G

(i )

G

minh bằng quy nạp.

( i 1)

là nhóm aben. Ta có nhóm G G  là nhóm aben. Ta chứng



17


Giả sử G

( i 1)

G (i )

là nhóm aben. vậy (2) là dãy giải được.

G (i 1)

G (i )

là nhóm aben suy ra G(i-1)’=G(i). từ đó ta có G (i 1)  G (i )  G (i ) . Vậy

1.5 Định lý. Giả sử G là nhóm tơpơ và H1, H2 là các ước chuẩn giải được của
nhóm G. Khi đó H 1 H 2 là nhóm giải được.
Chứng minh. Theo lý thuyết nhóm ta có H1H2 là ước chuẩn của nhóm G. Đồng thời
ta có H 1 H 2 H  H 2 H  H nên H1H2 là ước chuẩn giải được của nhóm trừu tượng
1
1
2
G (vì mở rộng của nhóm giải được nhờ một nhóm giải được là giải được). Theo
Định lí 1.3, ta có H 1 H 2 là ước chuẩn giải được của nhóm tơpơ G.
1.6. Định lý. Giả sử G là nhóm liên thơng, giải được, xoắn tơpơ. Khi đó G là nhóm
aben compact.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh nhận xét sau:
Nếu G là nhóm liên thơng thì đạo nhóm G’ của G cũng liên thông.

Thật vậy, ánh xạ f: G  G  G
(x,y)  xyx-1y-1
liên tục. Vì G liên thơng nên G  G liên thông suy ra N=f(G  G ) là tập liên thông


chứa đơn vị. Mặt khác G’={N} =  N n nên G’ là tập liên thông chứa đơn vị.
i 1

Bây giờ ta chứng minh rằng nếu M là tập liên thơng bất kỳ trong nhóm G thì M
cũng là tập liên thơng.
Thật vậy, giả sử M khơng liên thơng. Khi đó tồn tại các tập con A và B khác rỗng
sao cho A  B  A  B  M =  và AB= M . Ký hiệu A’=AM, B’=BM. Vì
AB= M nên trong hai tập A’ và B’ tồn tại một tập khác rỗng. Khơng mất tính
tổng qt giả sử A’   .
Nếu B’   thì A  B M A  B  M =  nên

A  B   M   trong đó A’   ,

B’   điều này mâu thuẫn với tính liên thơng của M. Vậy B’=  . Từ B’=  suy ra
MA. Do đó
A  B  M  A  B  M = M  B  M B   .


18
Điều này mâu thuẫn với A  B  M =  . Vậy M liên thơng.
Vì G là nhóm giải được nên dãy đạo nhóm của G dừng tại {e} sau một số hữu hạn
bước. Nghĩa là tồn tại số tự nhiên n sao cho
G  G’… G(n-1)G(n)={e}
Trong đó G(i) là ước chuẩn của G; đặc biệt G(n-1) là ước chuẩn giao hốn. Do đó
G  G   G   ...  G ( n1)  G ( n ) ={e}


Theo các nhận xét trên ta có G(i); i=1,2,…,n liên thơng, do đó G (i ) ;i=1,2,…,n liên
thơng. Nhóm G ( n1) là liên thơng aben. Hơn nữa mọi phần tử của G ( n1) là compact.
Vì ánh xạ f: G  G  G
(x,y)  xyx-1y-1
Liên tục và f(G(n-1)G(n-1))G(n-1) nên f( G ( n1)  G ( n1) suy ra G ( n1)  G ( n1) là nhóm
aben. Vì G ( n1) liên thơng nên G ( n1)  G ( n1) liên thông, hơn nữa mọi phần tử của
G ( n 1)  G ( n 1) compact do đó G ( n 1)  G ( n 1) compact. Kết hợp với G ( n1) compact suy

ra G ( n  2 ) compact. Tiếp tục lí luận như trên cuối cùng sau một số hữu hạn bước ta
có G compact. Vì G là nhóm giải được compact và liên thơng nên G là nhóm aben.
§2. NHĨM HỮU HẠN ĐỊA PHƢƠNG TƠPƠ
2.1 Định nghĩa. Nhóm tơpơ G được gọi là nhóm hữu hạn địa phương tơpơ nếu như
bao đóng của mọi nhóm con hữu hạn sinh ra đều là compact.
Nhận xét
-Nếu trong G ta lấy tơpơ rời rạc thì nhóm hữu hạn điạ phương tơpơ trùng với nhóm
hữu hạn địa phương trừu tượng.
-Nhóm hữu hạn địa phương tôpô là xoắn tôpô.
2.2 Định lý. Nhóm compact địa phương và nhóm hữu hạn địa phương tơpơ là
nhóm compact khi và chỉ khi nhóm G sinh bởi tập compact M.
Chứng minh. Nếu G là nhóm compact thì hiển nhiên G là nhóm sinh bởi tập
compact ( ta lấy tập compact M là cả nhóm G).
Ngược lại, giả sử G là nhóm sinh bởi tập compact M. Khi đó theo Định lý 1.3.4,


V i . Vì
trong G tồn tại lân cận compact đối xứng V của đơn vị e  G để G== U
i 1



19
V là tập compact nên theo Mệnh đề 1.3.3, V2 là tập compact và tập các tập mở giV
phủ V2. Nhưng V2 là tập compact nên tồn tại phủ mở hữu hạn g1V,….,gkV phủ V2
k

hay V 2   g iV Ta kí hiệu A= {g1 ,...,g k } ; khi đó V2  AV. Bằng quy nạp, ta chứng
i 1

minh được V n  V . Thật vậy Vn =Vn-1V  AVV=AV2  AVV=AV. Vậy G=AV là
nhóm compact (theo Mệnh đề 1.3.3).
2.3 Định lý. Giả sử G là nhóm tôpô sinh ra bởi tập compact M, và trong G có
nhóm con H hữu hạn địa phương tơpơ trù mật trong G ( H =G). Khi đó G là nhóm
compact.
Chứng minh. Theo Định lý 1.3.4, trong G ln có lân cận compact xứng V của


2
V i . V ì V là tập compact mở nên theo Mệnh đề 1.3.3, V cũng
e  G đ ể G== U
i 1

là tập compact và tập hợp giV phủ mở V2. Vì V 2 là tập compact nên tồn tại phủ hữu
hạn g1V…gkV phủ V2. Vì H =G nên ta có thể lấy các gi, i=1, k là phần tử của H.
Thật vậy, nếu gG, khi đó gV là lận cận của g nên gVH  , nên tồn tại
hH,vV để gv=h hay g=hv-1hV, với hH. Ta đặt A=  g1 ,...,g k  và V2AV.
Bằng quy nạp ta chứng minh được VnAV. Khi đó G=AV, vì H là nhóm hữu hạn
địa phương tơpơ nên A là nhóm compact. Vậy G=AV là compact ( theo Mệnh đề
1.3.3).
2.4 Định lý. Giả sử G là nhóm tơpơ, H là nhóm con hữu hạn địa phương tơpơ. Khi
đó bao đóng H của nhóm H cũng là nhóm hữu hạn địa phương tơpơ.

Chứng minh. Vì ta xét nhóm G là nhóm compact địa phương, nên nhóm con H
cũng là nhóm compact địa phương và nhóm thương H

H0

phương hồn tồn khơng liên thơng. Khi đó, trong nhóm H
compact Q

H0

là nhóm compact địa

H0

có nhóm con mở

, từ đó suy ra Q là nhóm sinh bởi tập compact mở của H . Nếu

g1,…,gk là tập con hữu hạn của H , ta kí hiệu T=  g1 ,...,g k , Q  . Ta có T là nhóm
sinh bởi tập compact mở. khi đó TH là nhóm con trù mật trong T ( vì H là nhóm


20
con trù mật trong H ). Theo Định lý 2.3, T là nhóm compact. Vậy  g1 ,...,g k  là
nhóm compact hay H là nhóm hữu hạn địa phương tơpơ.
2.5 Định lý. Giả sử G là nhóm compact địa phương, H là ước chuẩn hữu hạn địa
phương tôpô của nhóm G để G H là nhóm hữu hạn địa phương tơpơ. Khi đó, G là
nhóm hữu hạn địa phương tơpơ.
Chứng minh. Giả sử H và G H là nhóm hữu hạn địa phương tơpơ. Ta kí hiệu L là
nhóm con mở với nhóm thương L G là nhóm compact, trong đó G 0 là thành phần

0
liên thơng của đơn vị e G và B là nhóm compact cực đại của L. Vì tích của ước
chuẩn hữu hạn địa phương tơpơ với nhóm con hữu hạn địa phương tơpơ là nhóm
con hữu hạn địa phương tơpơ, nên suy ra  =B (L  H) là nhóm hữu hạn địa
phương tơpơ. Nếu g  H  L thì  g, B  là nhóm compact. Vì B là nhóm compact
cực đại nên suy ra g  B, =B. Vì L là nhóm compact sinh ra nên ta
có LH H  L L  H . Nhóm L L  H là nhóm sinh bởi tập compact và hữu hạn địa
phương tơpơ nên theo Định lí 2.2, L L  H là nhóm compact. Vậy LH H là nhóm
compact.
Ta có  là nhóm compact nên LH  là nhóm compact, suy ra nhóm L là nhóm
compact.
Giả sử g1,g2,…,gk  G. Ta xét nhóm =  g1 , g 2 ..., g k  , nhóm 1= <,L>, nhóm
T=1.H là nhóm con mở trong G, vì L là nhóm con mở trong G. Nhờ nhóm 1 sinh
bởi tập compact nên ta có T H  1   H là nhóm compact. Nếu  =LH thì tập
1
T



là tập rời rạc và compact nên T  là tập hữu hạn. Từ đó suy ra tồn tại nhóm

compact mở bất biến  để tập T  là nhóm hữu hạn. Ta có  = LH là nhóm
hữu hạn địa phương tơpơ. Vậy  là nhóm hữu hạn địa phương tơpơ. Ta có thể lấy
phần tử đại diện cho lớp ghép T  là gi . Giả sử gi.gj= g k .wij, khi đó nhóm
ij


21
k


   g i  wij  . Nhưng nhóm  wij , (i, j  1, k ) là nhóm compact vì  là nhóm hữu
i 1

hạn địa phương tơpơ. Vậy  là nhóm compact hay G là nhóm hữu hạn địa phương
tơpơ .
2.6 Mệnh đề. Giả sử G là nhóm aben xoắn tơpơ. Khi đó G là nhóm hữu hạn địa
phương tơpơ.
Chứng minh. Giả sử g1, g2,…,gk là tập hữu hạn các phần tử của nhóm G. Ta kí
hiệu Ai =  g i  . Vì gi là các phần tử compact nên nhóm con Ai, i=1,2,…,n là nhóm
compact.
Ta xét nhóm A =  g1 , g 2 ...g k  . Vì G là nhóm aben nên các nhóm con Ai là nhóm
con bất biến compact của G và nhóm A1A2…Ak là nhóm con compact của G. Ta
có A=A1A2…Ak , nên A là nhóm compact hay G là nhóm hữu hạn địa phương
tơpơ.
2.7 Định lý. Nếu nhóm G xoắn tơpơ, giải được thì G là nhóm hữu hạn địa phương
tơpơ.
Chứng minh. Theo Định lý 1.4, trong G có dãy giải được gồm các nhóm con đóng
G  A1 A2 … Ak={ e }
với Ai = Ai và Ai

Ai 1

là nhóm aben.

Ta có nhóm con Ak-1 là nhóm aben theo Mệnh đề 2.6, Ak-1 là nhóm hữu hạn địa
phương tôpô. Theo giả thiết Ak 2 A là nhóm aben nên Ak 2 A cũng là nhóm hữu
k 1
k 1
hạn địa phương tôpô.Vậy theo Định lý trên Ak-2 cũng là nhóm hữu hạn địa phương
tơpơ. Bằng qui nạp ta chứng minh được nhóm Ak-1,Ak-2,…,A1, A là nhóm hữu hạn

địa phương tơpơ. Nhưng vì A là nhóm hữu hạn sinh nên A là nhóm compact. Vậy
G là nhóm hữu hạn địa phương tôpô.
2.8 Hệ quả. Giả sử G là nhóm sinh bởi tập compact M giải được xoắn tơpơ. Khi
đó G là nhóm compact
Chứng minh. Theo Định lý 2.7, G là nhóm hữu hạn địa phương tơpơ. Khi đó theo
Định lý 2.3, G là nhóm compact.


22
2.9. Hệ quả. Giả sử G là nhóm xoắn tơpơ giải được. Khi đó G 0 là xuyến tơpơ,
trong đó G 0 là lân cận của đơn vị e  G .
Chứng minh. Vì g là nhóm giải được xoắn tơpơ nên G 0 là nhóm giải được , liên
thơng, xoắn tơpơ. Mặt khác vì G 0 là nhóm compact địa phương liên thông nên tồn
tại lân cận V compact đối xứng của đơn vị eG để G 0 =  V  . Vậy G 0 là xuyến
tôpô.
2.10 Định lý. G là nhóm liên thơng mà mọi nhóm con trừu tượng hữu hạn sinh là
nhóm con giải được. Khi đó G là nhóm giải được.
Chứng minh. Trước hết ta chứng minh nếu G là nhóm compact thì Định lý đúng.
Theo định lý Yamabe G = lim (G,, >) với G là nhóm Lie, liên thơng,
compact và nhóm Lie liên thơng compact thì G là bao đóng của nhóm con hữu hạn
sinh. Do đó G là nhóm giải được. Vậy G là xuyến. Nếu G khơng phải là nhóm
compact, khi đó theo định lý Yambe trong G có ước chuẩn K để G K là nhóm Lie.
Theo chứng minh trên K0 là xuyến và nhóm con đặc trưng của nhóm K0 nên suy ra
K0 là ước chuẩn của G và thuộc tâm của G.
Ta có nhóm K K là nhóm compact hồn tồn khơng liên thơng của nhóm liên
0
G
thơng K vì K K bất biến nên K K thuộc tâm của G K . Thật vậy ta xét ánh xạ
0


0

K : G  G K  K   K K

0

0



0

0

g   g 1 K  g 

Ánh xạ  K là ánh xạ liên tục nên  K (G )  K  . Vậy K * thuộc tâm G * , hay là K K là




0

nhóm aben. Từ đó suy ra K là nhóm giải được.
Vì G K là nhóm liên thơng Lie nên G K có nhóm con hữu hạn trù mật .Vậy G K là
nhóm giải được và theo trên K cũng là nhóm giải được nên G là nhóm giải được
(mở rộng của nhóm giải được là nhóm giải được).


23

§3. NHĨM TƠPƠ GIẢI ĐƢỢC XẠ ẢNH.
3.1 Định nghĩa. Nhóm tơpơ G được gọi là nhóm tơpơ giải được xạ ảnh nếu mọi
lân cận V của đơn vị e  G, tồn tại một ước chuẩn H  V sao cho G H là nhóm giải
được.
3.2 Định lý. Nhóm con và nhóm thương của nhóm giải được xạ ảnh là nhóm giải
được xa ảnh .
Chứng minh. Giải sử H là nhóm con của nhóm tơpơ giải được xạ ảnh G, W là lân
cận bất kỳ của đơn vị e  H. Khi đó, theo định nghĩa tơpơ cảm sinh trong G sẽ tồn
tại lân cận U của đơn vị e  G để W = U  H. Do G là nhóm tơpơ chuẩn giải được
xạ ảnh và U là lân cận của đơn vị e  G nên trong G có ước chuẩn K  H để
nhóm thương G K là nhóm tơpơ giải được. Đặt K  =K  H. Khi đó K  là ước
chuẩn của H và
K   W.

Ta chứng minh H K  là nhóm giải đựoc. Vì nhóm thương HK K là nhóm con của
nhóm giải đựơc H K nên HK K là nhóm giải được (Định lý 2.15 Chương 1) .
Xét ánh xạ đồng cấu tự nhiên

f : HK  HK

K

. Vì K là hạt nhân của đống cấu f

f ( HK )  f ( H ) f ( K )  f ( H ) .

nên ta có :

Xét ánh xạ f h : HK  HK K . Khi đó fH cũng là ánh xạ đồng cấu và hật nhân đồng
cấu của f trên H là H  K . Do đó theo Định lý đồng cấu ta có :

HK

K

 f ( HK )  f ( H )  H

H K

H

K

.

Vậy nhóm H K  là nhóm giải đựơc hay H là nhóm tơpơ giải được xạ ảnh.
Giả sử K là ước chuẩn của nhóm tơpơ giải được xạ ảnh G. Ta chứng minh nhóm
thương G K là nhóm tơpơ giải được xạ ảnh.
Ta ký hiệu G *  G K , giả sử U * là lân cận của đơn vị e*  G * . Khi đó, theo Định
nghĩa tơpơ thương, trong G tồn tại lân cận U của đợn vị e  G sao cho U * = { xi K /


24
x i  H }. Vì U là lân cận của đơn vị e  G và G là nhóm tôpô giải được xạ ảnh,

nên tồn tại ước chuẩn H  U để G H là nhóm giải đuợc.
Ta đặt H * = { xi K / xi  H }. Khi đó H * là ước chuẩn của G * và H *  U * ví H  U.
G

Ta có G H  H HK


G
K

*

H

*

, nên G * là nhóm tơpơ giải được xạ ảnh.

3.3 Định lý. Cho G là nhóm compact địa phương và H là nhóm giải được xạ ảnh
của G. Khi đó H cũng là nhóm con giải được xạ ảnh của G.
Chứng minh. Giả sử U là một lân cận của đơn vị của e  H . Vì H là khơng gian
tơpơ chính quy nên tồn tại một lân cận V của e  H để V  U. Vì H là nhóm tôpô
giải đựoc xạ ảnh nên tồn tại ước chuẩn F  V để H F là nhóm giải được. Ta có H F
là nhóm giải được (Định lý 2.1.3 ). Mà nhóm H F  H tơpơ giải được nên H là
F
F
nhóm tơpơ giải được và F  V  U. Vậy H là nhóm tơpơ giải được xạ ảnh.
3.4 Định lý. Giả sử nhóm G là nhóm compact địa phương, H1 và H 2 là các ước
chuẩn giải được xạ ảnh của G. Khi đó H 1 H 2 cũng là ước chuẩn giải được giải
được xạ ảnh của G.
Chứng minh. Do H1 và H2 là ước chuẩn của G nên theo lý thuyết nhóm H1H2 là ước
chuẩn của G suy ra H 1 H 2 là ước chuẩn của G.
Giả sử Vi là lân cận bất kỳ của đơn vị e  Hi ; i =1 ,2. Vì H là ước chuẩn giải đựơc
xạ ảnh nên trong dãy đạo nhóm .
H i  H i1  ...  H i2  ....

tồn tại các chỉ số 1j và 2k sao cho H (1 )  V1 và H ( 2 )  V2 với H 1 / H (1 ) và H 2 / H ( 2 )

j

j

k

j

là nhóm giải được .
Đặt H : =H1H2. Giả sử V là lân cận bất kỳ của đơn vị e  H. Khi đó, tồn tại lân cận
V1 và V2 của H1 và H2 sao cho V1V2  V. Đặt T : = H (1 ) H ( 2 ) . Khi đó T  V1V2  V
j

k

và T là ước chuẩn của H. Ta chứng minh H T là nhóm giả được.
Xét ánh xạ đồng cấu f : H T  H 1T T


25
Khi đó hạt nhân của đồng cấu f là H 2T T . Theo định lý đồng cấu nhóm ta có:
H

T

H 1T

nên

H 2T


T

 H 1T

T

, vì H 1T T

là ước chuẩn của H T vói i= 1,2. Hơn nữa

T

 H1

H

T

Hi T

H 2T

và H 1 H  T  H 1 (1 ) ; H 2
H
1
H2 T  H2

là nhóm giải được


j

H

( 2k )

là nhóm giải được. Do đó H T là nhóm giải được (mở rộng của
T

nhóm giải được là nhóm giải được). Vậy H là nhóm giải được xạ ảnh.
Theo Định lý 2.3, ta suy ra H  H 1 H 2 là nhóm giải được xạ ảnh . Vậy H 1 H 2 là ước
chuẩn giải được xạ ảnh.
3.5 Định lý. Giả sử H1, H2 , …Hk là một tập hợp hữu hạn các nhóm tơpơ giải được
xạ ảnh. Khi đó tích trực tiếp của H1,H2,…Hk là nhóm giải được xạ ảnh.
Chứng minh. Gọi H là tích trực tiếp của H1,H2,…Hk. Sử dụng phương pháp chứng
minh qui nạp ta chỉ cần chứng minh cho trường hợp k =2. Khi đó H= H1x H2.
Giả sử V là một lân cận của e  H. Theo định nghĩa tơpơ tích trực tiếp tồn tại lân
cận V1 của e1  H1 và V2 của e2  H2 để cặp (V1 ,V 2 )  V . Ta có H1 là nhóm tôpô giải
được xạ ảnh và dãy
H1  H 1  H1  …  H 1( k )  …
là dãy đạo nhóm của H1. Khi đó tồn tại H 1( k )  V1 sao cho H 1

H1

(k )

là nhóm giải

được. Tương tự dãy đạo nhóm của H2 là
H 2  H 2'  H 2''  ....  H 2( n )  ...


Khi đó tồn tại H 2 ( n )  V2 sao cho H 2

H2

( n)

là nhóm giải được. Đặt R = H 1( k )  H 2( n ) .

Khi đó R là ước chuẩn của H vì H 1( k ) là nhóm con đặc trưng của nhóm H1 và H 2( n)
là nhóm con đặc trưng của H2.