Giáo trình Cơ kỹ thuật (Nghề Hàn)

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH LÀO CAI
TRƯỜNG CAO ĐẲNG LÀO CAI

GIÁO TRÌNH
MƠN HỌC: CƠ KỸ THUẬT
NGHỀ: HÀN
TRÌNH ĐỘ: TRUNG CẤP + CAO ĐẲNG

Lào Cai, năm 2019

1


CÔNG BỐ BẢN QUYỀN
Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thơng tin có thể được phép
dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo.
Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh
thiếu lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm.

2


LỜI GIỚI THIỆU
Hiện nay cùng với sự phát triển của khoa học cơng nghệ trên thế giới, lĩnh vực cơ
khí chế tạo nói chung và nghề hàn ở Việt Nam nói riêng đã có những bước phát triển
mạnh mẽ cả về số lượng và chất lượng đóng góp cho sự nghiệp cơng nghiệp hố, hiện đại
hố đất nước.
Việc biên soạn giáo trình hàn nhằm đáp ứng nhu cầu giảng dạy của đội ngũ giáo
viên cũng như học tập của học sinh nghề hàn tạo sự thống nhất trong quá trình đào tạo
nghề hàn, đáp ứng nhu cầu thực tế sản xuất của các doanh nghiệp và của mọi thành phần
kinh tế là vấn đề cấp thiết cần thực hiện.

Giáo trình cơ kỹ thuật được biên soạn theo chương trình đào tạo Trung cấp và Cao
đẳng nghề Hàn ban hành theo quyết định số ...../QĐ-TCĐN Ngày ... tháng .... năm ......
của Hiệu trưởng Trường Cao đẳng nghề Lào Cai. Nội dung biên soạn ngắn gọn, dễ hiểu.
Các kiến thức trong toàn bộ giáo trình có mối liên hệ chặt chẽ nhằm đảm bảo tốt nhất
mục tiêu đề ra của môn học.
Khi biên soạn giáo trình nhóm tác giả đã cố gắng cập nhật những kiến thức có liên
quan đến mơn học phù hợp với đối tượng sử dụng cũng như cố gắng gắn những nội dung
lý thuyết vào thực tế thường gặp trong sản xuất, đời sống để giáo trình có tính thực tiễn
cao.
Nội dung giáo trình được biên soạn với dung lượng 30 giờ gồm ba chương:
Chương I: Tĩnh học – nghiên cứu khái niệm về vật rắn tuyệt đối, hệ lực phẳng, ngẫu
lực và ý nghĩa của chúng trong các bài toán tĩnh học vật rắn.
Chương II: Sức bền vật liệu – nghiên cứu về nội lực, ngoại lực, ứng suất, giải toán về
các trường hợp chịu lực của thanh.
Chương III: Các cơ cấu truyền động – nghiên cứu về cơ cấu truyền và biến đổi
chuyển động.
Trong quá trình biên soạn nhóm tác giả đã tham khảo nhiều tài liệu liên quan cũng
như tiếp xúc trao đổi với nhiều chuyên gia đào tạo nghề Hàn, các công nhân bậc cao tại
các cơ sở sản xuất cố gắng đưa những kiến thức và kỹ năng cơ bản nhất, phù hợp với
thực tế sản xuất, đặc biệt dễ nhớ, dễ hiểu khơng ngồi mục đích nâng cao chất lượng đào
tạo, đáp ứng tốt yêu cầu sản xuất hiện nay.
Trong quá trình biên soạn giáo trình, mặc dù nhóm tác giả đã có nhiều cố gắng,
xong khơng thể tránh khỏi những thiết sót, hạn chế. Đồng thời để giáo trình ngày càng
hồn thiện, phục vụ tốt hơn cho công tác giảng dạy và học tập, chúng tơi mong nhận
được những góp ý của bạn đọc.
Tham gia biên soạn
1.Chủ biên: Tạ Thị Hoàng Thân
2.Thành viên: Phùng Văn Cảnh
3

GIÁO TRÌNH MƠN HỌC
Tên mơn học: Cơ kỹ thuật
Mã số của môn học: MH 11
Thời gian của môn học: 30 giờ. (Lý thuyết: 25giờ; Bài tập: 4giờ; Kiểm tra: 1giờ)

Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trị của mơn học
- Vị trí: Mơn học được bố trí trước các mơn học, mơ-đun chun mơn bắt buộc.
- Tính chất: Là môn học lý thuyết cơ sở thuộc các môn học, mô đun đào tạo nghề
bắt buộc.
- Ý nghĩa và vai trị của mơn học: mơn học cung cấp cho người học những kiến
thức cơ bản về cơ học lý thuyết, sức bền vật liệu và chi tiết máy để giúp người học có cơ
sở để tiếp thu các kiến thức chuyên môn liên quan khi học các mô đun chuyên ngành.

Mục tiêu mơn học
- Về kiến thức
+ Phân tích được tải trọng và phản lực liên kết, các kiến thức về các khái niệm, cách
biểu diễn lực, các tiên đề, các loại liên kết cơ bản của hệ lực, phương pháp hợp lực,
mơmen của lực và ngẫu lực.
+ Trình bày được khái niệm về kéo nén, xoắn, uốn và nguyên lý hoạt động của các
cơ cấu truyền động để giải thích một số cơ cấu làm việc của máy thơng dụng.
- Về kỹ năng
+ Tính được lực tác dụng và các phản lực liên kết, các mômen của lực đối với một
điểm và ngẫu lực, giải các bài toán về hệ lực đồng quy, hệ lực phẳng bất kỳ và mơ men.
+ Tính được tải trọng và phản lực liên kết, ứng suất, kích thước mặt cắt của thanh
chịu kéo – nén, trục chịu xoắn, dầm chịu uốn ở trạng thái nguy hiểm và trạng thái an toàn
của vật liệu.
+ Chọn được các cơ cấu truyền động bánh răng, cơ cấu bánh vít trục vít, bộ truyền
đai thơng dụng, trục và ổ trục để áp dụng cho từng trường hợp truyền động thực tế.
- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm

+ Rèn luyện tính kỷ luật, kiên trì, cẩn thận, nghiêm túc, chủ động và tích cực sáng
tạo trong học tập.

4


CHƯƠNG 1
TĨNH HỌC
1. Các khái niệm cơ bản và các định luật tĩnh học.
1.1. Các khái niệm cơ bản
1.1.1. Lực
1.1.1.1 Khái niệm lực
Lực là sự tác động tương hỗ giữa các vật mà kết quả làm thay đổi trạng thái động
học hoặc hình dáng hình học của các vật đó.
Lực được đặc trương bởi 3 yếu tố:
a. Điểm đặt của lực: Là điểm mà tại đó vật nhận được tác dụng từ vật khác.
b. Phương và chiều của lực: Là phương và chiều chuyển động của chất điểm (vật
có kích thước vô cùng bé ) từ trang thái yên nghỉ dưới tác dụng của cơ học.
c. Cường độ của lực: Là số đo mạnh hay yếu của tương tác cơ học (Hình 1.1)
Đơn vị của lực: NiuTơn (N);
Bội số: Kilơ NiuTơn (1KN = 103N); Mega NiuTơn (1MN = 106N). Mô hình tốn


học của lực là vectơ kí hiệu: F ( hình 1.1 )
B
F

F1
0

A

F2

F2

F1

F4

F3

Hình 1.2

Hình 1.1

Hình 1.3

1.1.1.2 Hệ lực

- Hai hệ lực trực đối: Là hai lực cùng đường tác dụng, cùng trị số nhưng ngược
chiều nhau ( Hình 1.2 )
- Hệ lực: Là tập hợp nhiều lực cùng tác dụng lên một vật.






Ký hiệu:  ( F1 , F 2 ,..., F n ) ( Hình 1.3 )

- Hệ lực tương đương: Hai hệ lực được gọi là tương đương khi chúng có cùng tác
dụng cơ học lên vật rắn. ( Hình 1.4 )






Ký hiệu :  ( F1 , F 2 ,..., F n ) =  ( 1 , 2 ,..., n )




F1



F4


Hình 1.4
5

F2

F3


- Hợp của hệ lực: Là một lực duy nhất tương đương với tác dụng của một hệ lực.
( Hình 1.5)



Ký hiệu:







 ( F1 , F 2 ,..., F n ) = R
F1

F2

F4

R

F3

Hình 1.5
- Hệ lực cân bằng: Là hệ lực khi tác dụng lên vật rắn không làm thay đổi trạng thái
động học của vật, nếu vật đang nằm yên thì nằm yên mãi mãi, nếu vật đang chuyển động
thì sẽ chuyển động đều, hay nói cách khác là tác dụng của hệ lực tương đương với không.
Ký hiệu:







 ( F1 , F 2 ,..., F n ) = 0

1.1.1.3 Phân tích lực
a. Vật tự do và vật bị liên kết
- Vật tự do: Là vật có thể chuyển động tuỳ ý theo mọi phương trong không gian
mà không bị vật nào cản trở.
- Vật bị liên kết (Vật không tự do): Là vật rắn khi một vài phương chuyển động
của nó bị cản trở.
Ví dụ: Quyển sách đặt trên mặt bàn là vật không tự do.
b. Liên kết và phản lực liên kết

N

- Liên kết: Là những điều kiện cản trở
chuyển động của vật. Vật gây ra cản trở chuyển
động của vật khảo sát gọi là vật gây liên kết.
Ví dụ: Quyển sách đặt trên mặt bàn thì
quyển sách là vật khảo sát hay vật bị liên kết, mặt
bàn là vật gây liên kết. ( Hình 1.6 )

F

Hình 1.6



F : Lực tác dụng.



N : Phản lực.

- Phản lực liên kết: Vật bị liên kết hay vật bị khảo sát tác dụng lên vật gây liên kết
một lực gọi là lực tác dụng. Theo tiên đề tương tác, vật gây liên kết tác dụng lên vật khảo
sát một lực, lực đó gọi là phản lực liên kết.

c. Giải phóng liên kết
Khi khảo sát vật rắn, ta phải tách vật rắn khỏi các liên kết và xác định hệ lực tác
dụng lên vật rắn đó. Hệ lực tác dụng gồm các lực đã cho và phản lực.
6


Việc đặt các lực đã cho lên vật khảo sát thường khơng khó khăn, vấn đề quan
trọng là đặt các phản lực cho đúng và đầy đủ. Để thực hiện được điều đó ta lần lượt thay
các liên kết bằng các phản lực liên kết tương ứng, cơng việc đó gọi là giải phóng liên kết.
Sau khi giải phóng liên kết, vật khảo sát được coi như vật tự do cân bằng dưới tác
dụng của hệ lực gồm các lực đã cho và phản lực.
D

NC

D

C

C

NB

P
A

B

A

NA
B

b)

a)

Hình 1.7
Ví dụ: Thanh AD đặt trong máng như hình 1.7a
Sau khi giải phóng liên kết (hình 1.7b) hệ lực tác dụng vào thanh AD là (
 





P, N A , N B , NC ) trong đó P là lực tác dụng, cịn lại là các phản lực.

1.2. Các tiên đề tĩnh học
1.2.1 Tiên đề 1 (hai lực cân bằng )
Điều kiện cần và đủ để hai lực tác dụng lên vật rắn cân bằng là chúng phải trực đối
nhau. ( Hình 1.8 )
0

0

F1

F2

F1

F2

Hình 1.8

1.2.2 Tiên đề 2 ( Thêm bớt hai lực cân bằng )
Tác dụng của một hệ lực lên vật rắn không thay đổi khi ta thêm vào (hay bớt đi)
hai lực cân bằng nhau.
F4

0

F1

0

F2

F1

F4

F2
F3

F3

Hình 1.9
Hệ quả: Tác dụng của lực lên vật rắn không thay đổi khi ta trượt lực trên đường
tác dụng của nó.

7


1.2.3 Tiên đề 3 ( Hình bình hành lực )

F1

Hai lực đặt tại một điểm tương đương với một lực đặt tại
điểm đó và được biểu diễn bằng đường chéo của hình bình hành
mà hai cạnh là hai véc tơ biểu diễn hai lực đã cho.




R

A



Ký hiệu: R  F1  F2

F2

Hình 1.10

1.2.4 Tiên đề 4 ( Tương tác )

Lực tác dụng và phản lực là hai lực trực đối

N

Chú ý : Lực tác dụng và phản lực không phải là hai
lực cân bằng nhau vì chúng ln đặt vào hai vật

F

Hình 1.11

1.3. Các liên kết cơ bản

1.3.1. Liên kết tựa (khơng có ma sát): Là liên kết cản trở vật khảo sát chuyển

động theo phương vng góc với mặt tiếp xúc chung giữa vật gây liên kết và vật khảo
sát. Phản lực có phương vng góc với mặt tiếp xúc chung, có chiều đi về phía vật khảo


sát. Phản lực ký hiệu ( N ).
NA
A
NB

N
B
P

Hình 1.12

1.3.2. Liên kết dây mềm: Là liên kết cản trở vật khảo sát theo phương của dây.

Phản lực liên kết có phương trùng với phương của dây, hướng từ vật khảo sát đi ra. Phản


lực ký hiệu ( T ).
A

T

B

TA

TB

P

P

Hình 1.13

8

1.3.3. Liên kết thanh

SB

SC

A

C

Là liên kết cản trở chuyển động
theo phương của thanh. Phản lực ký hiệu là


S,

có phương dọc theo thanh, ngược chiều
với xu hướng chuyển động của vật khảo sát
khi bỏ liên kết.

P

B

Hình 1.14

1.3.4. Liên kết bản lề

Y

- Gối đỡ bản lề di động: Phản lực có
phương vng góc với mặt tiếp xúc chung
giữa vật khảo sát và vật liên kết. Hình
1.15a biểu diễn gối đỡ bản lề di động, hình
1.15b và 1.15c là sơ đồ gối bản lề di động.

Y

a)

Y

c)

b)

Hình 1.15



Phản lực ký hiệu là Y
- Gối đỡ bản lề cố định: Bản lề cố
định cản trở vật khảo sát chuyển động theo
phương nằm ngang và phương thẳng đứng.


Y



X

Vì vậy phản lực có hai thành phần X và Y




Y

R



, phản lực toàn phần là R = X + Y . Hình
1.16a biểu diễn gối đỡ bản lề cố định, hình
1.16b là sơ đồ của gối đỡ bản lề cố định.

R
X

a)

b)

Hình 1.16

2. Hệ lực phẳng đồng quy
2.1 Định nghĩa

Hệ lực phẳng đồng quy là hệ lực có đường tác dụng của
các lực cùng nằm trên một mặt phẳng và cắt nhau tại một điểm
( Hình 1.17 ).

F1

F2

F4

2.2 Hợp lực của hai lực đồng quy

F3
Hình 1.17

2.2.1 Qui tắc hình bình hành lực




Giả sử có 2 lực F1 và F2 đồng qui tại O, phương của hai lực hợp với nhau một








góc . Theo tiên đề 3, hợp lực R là đường chéo của hình bình hành R  F1  F2 ( Hình

1.18).
9


Để xác định được hợp lực R, ta phải xác định trị số, phương và chiều của nó.
- Trị số R =

F12  F22  2F1F2 cos  (1-1)

F1
R

- Phương: Nếu phương của R hợp với phương của F1,
F2 một góc tương ứng là 1, 2 thì :
Sin 1 






F1
F
sin  ; Sin  2  2 sin  (1-2)
R
R

o

F2

Hình 1.18
Tra bảng số ta xác định được trị số của góc 1 và 2 - tức là xác định phương của
R - chiều của R là chiều từ điểm đồng quy tới góc đối diện trong hình bình hành.
Các trường hợp đặc biệt:


R

F2

F1



* Hai lực F1 và F2 cùng chiều. phương:
Cos  = 1

F2


F1

R

R = F1 + F2 (1-3)

Hình 1.19



* Hai lực F1 và F2 cùng phương, ngược chiều:
 = 180o => Cos  = -1

F1

R = [F1 - F2 ] ( Nếu F1 > F2 thì R = F1 - F2 ) (1-4)


R



* Hai lực F1 vng góc F2 :
 = 90o => Cos  = 0
R=

F12  F22

0

F2

Hình 1.20

(1-5)

2.2.2. Qui tắc tam giác lực

,

F2

A

C



Ta có thể xác định hợp lực R bằng cách: Từ mút


F1


'
2

R

của F1 ta đặt F song song cùng chiều và có cùng trị số










với F2 nối điểm O với mút của F2' ta được R  F1  F2


Như vậy R khép kín trong tam giác lực OAC tạo




thành bởi các lực thành phần F1 và F2

2.3 Hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy
2.3.1. Qui tắc đa giác lực

10

0

F2

Hình 1.21

B


,
F3

,
F2

F1

R2

R1

,
F4

F2
R

0

,
F3

,
F2

,
F4

F2

F1

R
0

F3

F4

F3

F4
b,

a,
Hình 1.22








Giả sử ta có hệ lực ( F1 , F 2 , F 3 , F4 ) đồng qui tại O. Muốn tìn hợp lực của hệ, trước




hết ta hợp hai lực F 1 và F 2 theo qui tắc tam giác lực, ta được:






R 1  F1  F 2




Tiếp tục, ta hợp hai lực R 1 và F 3 bằng cách tương tự, ta được:












R 2  R 1  F 3  F1  F 2  F 3




Cuối cùng ta hợp hai lực R 2 và F 4 , ta được:














R  R 2  F 4  F1  F 2  F 3  F 4


R là hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui đã cho ( Hình 1.22a ).




Từ cách trên làm ta có nhận xét, khi đi tìm hợp lực R 1 , R 2 ... thấy xuất hiện


,

,

,



đường gấp khúc hình thành bởi các véc tơ F1 , F 2 , F 3 , F 4 . Véc tơ R đóng kín đường gấp
khúc thành đa giác.

Từ đó ta rút ra phương pháp tổng quát sau:
Muốn tìm hợp lực của hệ lực phẳng đồng qui, từ điểm đồng qui ta đặt liên tiếp các
lực tạo thành một đường gấp khúc trong đó mỗi cạnh của đường gấp khúc biểu diễn một


lực song song, cùng chiều và cùng trị số với một lực trong hệ. Lực R đặt tại điểm đồng
qui đóng kín đường gấp khúc thành đa giác chính là hợp lực của hệ lực đã cho ( hình
1.22b ).


Nhận xét: Hợp lực R có gốc là gốc lực đầu, có mút trùng với mút lực cuối, như


vậy R đã khép kín đa giác lực.
11


* Điều kiện cân bằng qui tắc đa giác lực


Vì lực R khép kín đa giác lực, cho nên để hệ lực phẳng đồng qui được cân bằng,


hợp lực R phải có trị số bằng O.
Kết luận: Điều kiện cần và đủ để
hệ lực phẳng đồng qui được cân bằng là
đa giác lực phải tự đóng kín.

C



Ví dụ:

SB

SC

A

SC

Tại nút C của tam giác ABC,
treo vật nặng có khối lượng m = 20kg.
Xác định phản lực của các thanh CA và
BC.

SB






P

P

Biết  = 30o ,  = 60o.

B

Giải:

Hình 1.23

Xét cân bằng ở nút C. Các lực







tác dụng lên nút C gồm có lực P cho trước và phản lực liên kết S C và S B . Ta có tam giác
lực khép kín.
Sin  

tg 

P
m.g
P
 SB 

Sin  Sin 60 o
SB



SB 

20.10
3
2

 231( N)

SC
 SC  tg.P
P

SC = tg30o.m.g =

3
.20.10 = 116 (N).
3

P = m.g ( g - gia tốc trọng trường, lấy g = 10 m/s2 ).
Vậy phản lực tại các thanh CA và BC là:

SB = 231 (N)
SC = 116 (N)

2.3.2. Quy tắc chiếu lực
2.3.2.1. Chiếu một lực lên hệ trục toạ độ vng góc


Giả sử ta có lực F và hệ toạ độ vng góc xOy (Hình 1.24).
y

y

Fy

Fy

F



F



x
O

x
O

Fx
12

Fx


Hình 1.24


+ Hình chiếu vng góc của F lên hệ trục sẽ là:
Fx   F.Cosα
(1-6)

 Fy   F.Sinα

Trong cơng thức trên:


 là góc nhọn hợp bởi phương của F với trục x.
trục.

Dấu (+) khi chiều từ điểm chiếu của gốc đến điểm chiếu của mút cùng chiều với
Dấu (-) trong trường hợp ngược lại.

y

* Trường hợp đặc biệt:


F

- Nếu lực F song song với trục x (Hình 1.25a) thì:

Fx   F
(1-7)
(vì
F vng góc với trục y)

 Fy  0



x
O

Fx

- Nếu lực F song song với trục y (Hình 1.25b)

Hình 1.25a

 Fx  0
(1-8) (vì F vng góc với trục x)

Fy   F

y
Fy

F
x
O
Hình 1.25b







Chú ý: Khi biết các hình chiếu F x và F y ta hồn toàn xác định được F .
Về trị số: F = Fx2 + Fy2
Phương, chiều: tg =

Fy
Fx

(1-9)
 (1-10)

2.3.2.2. Xác định hợp lực của hệ lực phẳng đồng quy bằng phương pháp
chiếu lực.






Giả sử ta có hệ lực phẳng đồng quy ( F1 , F2 … Fn ) có hình chiều tương ứng trên
các trục toạ độ vng góc xOy là: (F1x, F2x… Fnx) và (F1y, F2y…Fny) như (Hình 1.26)
13


F'2

y
F1

F'n

Fy

R
O

F2

Fn
x
O
F1x

F2x

Fnx

Hình 1.26
- Ta có: Rx = F1x + F2x +…+ Fnx = Fx

(1-11)

Ry = F1y + F2y +…+ Fny = Fy

(1-12)

- Hợp lực R có:
+ Trị số
R = R2x + R2y =

 F  +  F 

2

x

2

(1-13)

y

+ Phương, chiều xác định bởi công thức:
𝑅𝑦

∑ 𝐹𝑦

𝑡𝑔𝛼 = 𝑅 = ∑ 𝐹 (1-14)
𝑥

𝑥









Ví dụ: Hệ lực phẳng đồng quy ( F1 , F2 , F3 , F4 ) cho trên (Hình 1.27).
y

F4
O
80°



F1
50°

70°
R

x

F2

F3

Hình 1.27
Biết F1 = F2 = 100N, F3 = 150N, F4 = 200N. Góc giữa các lực cho như hình vẽ.
Hãy xác định hợp lực của hệ lực.
Bài giải
- Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ.
14




- Hình chiếu của R trên các trục toạ độ là:
Rx= Fx = F1x + F2x + F3x+ F4x

Rx = F1. Cos0o + F2. Cos50o- F3. Cos60o- F4. Cos20o
= 100. 1 + 100. 0,629- 150. 0,5- 200. 0,933
= -98,7N
Ry = Fy = F1y + F2y + F3y+ F4y
Ry = F1. Sin0o- F2. Sin50o- F3. Sin60o + F4. Sin20o
= 100. 0 - 100. 0,766- 150. 0,866 + 200. 0,342 = -138,1N
- Trị số của R:
R = R2x + R2y =

 F  +  F 
2

x

2

y

=

 98,7    138,1  = 170 (N)
2

2



- Phương chiều của R :
tg =

Ry
Rx



F
F

y

X

=

 138,1
= 1,4 =>  = 54o33’
 98,7



Vậy R nằm ở góc phần tư thứ ba với góc  = 54o33’

2.4. Điều kiện cân bằng của một hệ lực phẳng đồng quy
2.4.1. Phương pháp hình chiếu
Điều kiện cần và đủ để một hệ lực phẳng đồng quy cân bằng là đa giác lực của hệ
tự đóng kín, tức là mút của véc tơ lực cuối cùng trùng với gốc của véc tơ lực đầu tiên.

2.4.2. Phương pháp chiếu lực


Muốn hệ lực đồng qui tác dụng lên vật rắn được cân bằng thì hợp lực R = 0
mà ta có R =
Trong đó:

(FX ) 2  (FY ) 2

( FX ) 2  0
( FY ) 2  0 Cho nên: R = 0

  FX = 0
  FY = 0

Nếu một thành phần nào đó ≠ 0 ví dụ FX ≠ 0  (FX)2 > 0. Khi đó R ≠ 0 tức là có
hợp lực, kéo theo vật rắn khơng cân bằng, điều vô lý.
Vậy: Điều kiện cần và đủ để hệ lực phẳng đồng qui tác dụng lên vật rắn được cân
bằng là tổng đại số hình chiếu các lực lên hệ trục toạ độ vng góc đều phải bằng 0.

F  0
F  0
X

Y

15

(1-15)


Ví dụ: Ống trụ đồng chất có khối lượng m = 6 (kg) đặt trên giá đỡ ABC và giá
đỡ này vng góc ở B. Mặt BC của giá đỡ hợp với mặt phẳng nằm ngang một góc 60 o.

Xác định phản lực của giá đỡ lên ống trụ tại hai điểm tiếp xúc D và E.
C
O

A

E
D
B

Giải:

Hình 1.28


Ống trụ cân bằng dưới tác dụng của hệ lực: Trọng lực P của ống trụ và các phản




lực N D và N E của giá đỡ lên ống trụ tại hai điểm D và E. Chọn hệ trục toạ độ x0y, có B
≡ O.
x
C

y
O

A

NE

ND

E
D
B

O

Hình 1.29

Ta có hệ phương trình cân bằng:

F
F

X

 0  ND - P. Sin 60o = 0

(1)

Y

 0  NE - P. Cos 60o = 0

(2)

Từ (1)  ND = P . Sin 60o = m . g . Sin 60o = 6 . 10 .

3
= 51,96 (N)
2

Từ (2)  NE = P. Cos 60o = m . g . Cos 60o = 6 . 10 .

1
= 30 (N)
2

P = m.g ( g - gia tốc trọng trường, lấy g = 10 m/s2 ).
Vậy phản lực tại hai điểm tiếp xúc D và E là:

ND = 51,96 (N)
NE = 30 (N)

* Phương pháp giải bài toán hệ lực phẳng đồng qui:
- Phân tích bài tốn: Đặt các lực tác dụng lên vật xét cân bằng bao gồm các lực đã
cho và các phản lực liên kết.

16


- Lập phương trình cân bằng: Chọn hệ trục toạ độ thích hợp với bài tốn. Hệ trục
toạ độ có thể chọn tuỳ ý, không ảnh hưởng tới kết quả bài toán. Tuy nhiên nếu chọn hệ
trục toạ độ hợp lý thì bài tốn sẽ được giải một cách đơn giản. Viết phương trình cân
bằng.
- Giải bài tốn và nhận định kết quả: Sau khi giải được kết quả, cần thử lại hoặc
liên hệ với đầu bài xem kết quả có phù hợp khơng.

3. Ngẫu lực
F
a

3.1 Mơ men của một lực đối với một điểm
3.1.1. Khái niệm

m



Hình 1.30

Giả sử, vật rắn chịu tác dụng của lực F ,vật có thể quay
quanh điểm cố định O (Hình 1.30).


O

Trong thực tế lực tác dụng lên vật không những làm cho
vật di chuyển mà cịn có khả năng làm cho vật quay.



Tác dụng quay mà lực F gây ra cho vật gọi là mơmen của lực F đối với điểm O, kí


hiệu là mo( F ).


Trị số mômen mo( F ) phụ thuộc vào trị số của lực và khoảng cách từ điểm O tới
đường tác dụng lực (còn gọi là cánh tay đòn), chiều quay phụ thuộc vào chiều của lực và


vị trí của đường tác dụng của lực đối với điểm O, ta có: mo( F ) = ± F.a (1-16)
Quy ước:
a - Cánh tay đòn


mo( F ) lấy dấu (+) nếu chiều quay của lực làm vật quay ngược chiều kim đồng hồ.


mo( F ) lấy dấu ( - ) nếu chiều quay của lực làm vật quay cùng chiều kim đồng hồ.
Nhận xét:




- Nếu đường tác dụng của F đi qua O thì mo( F ) = O, vì
cánh tay đòn a = 0.
- Trị số momen cũng được xác định bằng hai lần diện
tích tam giác do lực và điểm O tạo thành.

O

B

F

A



mo( F ) =2SÔOAB
Đơn vị: Nếu lực tính bằng Niutơn (N), cánh tay địn tính
bằng mét (m) thỡ mụmen tớnh bng Niutn một (N.m).

Hỗ
nh 3.2
Hỡnh
1.31

3.1.2. nh lý Varinhong
Mômen của hợp lực của hệ lực phẳng đối với một điểm nào đó nằm trong mặt
phẳng chứa các lực bằng tổng đại số mômen của các lực thành phần đối với điểm đó.

17












Nghĩa là : Hệ lực ( F1 , F 2 , F 3 ,..., F n ) ≈ R thuộc mặt phẳng P; điểm O thuộc P, ta có:








mo( R ) = mo( F1 ) + mo( F 2 ) + ... + mo( F n ) (1-17)
Chứng minh:

3.1.2.1. Trường hợp hệ là hai lực đồng qui






Giả sử có hao lực F 1 và F 2 đồng qui tại A, có hợp lực là R và O là một điểm bất
kỳ trên mặt phẳng của hai lực này.






Ta phải chứng minh: mo( R ) = mo( F1 ) + mo( F 2 )
Thật vậy, Nối O với A, từ O ta vẽ đường thẳng Ox vng góc với AO, rồi từ mút
các lực hạ đường Bb, Cc, Dd vng góc với Ox ( Hình 1.32 ).

Ta có:

C

c



mo( F 1 ) =2SOAB = OA . Ob


mo( F 2 ) =2SOAD = OA . Od

D

d



R

mo( R ) =2SOAC = OA . Oc
Theo hình vẽ: Oc = Ob + bc

b

B

Mặt khác: Od = bc vì là hình chiếu
của hai đoạn thẳng song song bằng nhau

( AD và BC ) lên trục Ox nên: Oc = O
Ob + Od

A
Hỡnh
Hỗ1.32
nh 3.3

Vỡ th:








mo( R ) = OA.(Ob + Od) = OA.Ob + OA.Od  mo( R ) = mo( F1 ) + mo( F 2 )

3.1.2.2. Trường hợp hệ là hai lực song song






Giả sử hệ là hai song song ( F1 , F 2 ) đặt tại A và B có hợp lực là R . O là điểm bất
kỳ nằm trên mặt phẳng của hệ lực (hình 1.33). Ta phải chứng minh:






mo( R ) = mo( F1 ) + mo( F 2 )
B
A

P1

x

a

C

P2

R
c

b

Hỗnh 3.4
Hỡnh
1.33

18

O

Thật vậy, từ O ta kẻ đường Ox vng góc với phương của các lực, ta có:


mo( F 1 ) = F1.Oa


mo( F 2 ) = F2.Ob


mo( R ) = R.Oc
Trong đó: R = F1 + F2 ; Oc = Ob + bc ;


Vì thế:

mo( R ) = (F1 + F2).(Ob + bc) = F1.Ob + F1bc + F2.Ob + F2.bc
F1 BC bc


hay F1.ca = F2.bc
F2 AC ca

Nhưng



Nên

mo( R ) = F1.Ob + F1bc + F1.ca + F2.Ob

= F1.(Ob + bc + ca) + F2.Ob = F1.Oa + F2.Ob


Suy ra:





mo( R ) = mo( F1 ) + mo( F 2 ) (1-18)

3.1.2.3. Trường hợp hệ gồm nhiều hệ lực phẳng bất kỳ








Giả sử hệ gồm n lực bất kỳ ( F1 , F 2 , F 3 ,..., F n ), O là điểm nào đó nằm trên mặt
phẳng chứa các lực.


Ta phải chứng minh:







mo( R ) = mo( F1 ) + mo( F 2 ) + ... + mo( F n ) (1-19)






Thật vây, bằng cách xét từng đôi lực, đầu tiên ta xét hai lực F1 , F 2 có hợp lực R 1 .
Hai lực này hoặc đồng qui hoặc song song nên theo cách chứng minh trên ta có:






mo( R 1 ) = mo( F1 ) + mo( F 2 )






Tiếp tục xét hai lực R 1 và F 3 có hợp lực R 2 :












mo( R 2 ) = mo( R 1 ) + mo( F 3 ) = mo( F1 ) + mo( F 2 ) + mo( F 3 )


Tiếp tục xét lần lượt như thế cho đến lực cuối cùng F n , có hợp lực của hệ lực là


R ta sẽ có điều cần phải chứng minh.

3.2 Ngẫu lực
3.2.1 Khái niệm
Hệ lực gồm hai lực song song, ngược chiều, cùng trị số nhưng không cùng đường
 

tác dụng lực gọi là mt ngu lc , ký hiu ( F, F ).
F

a
F
Hỗnh 3.5

19

Hình 1.34


Khoảng cách giữa đường tác dụng của hai lực gọi là cánh tay địn của ngẫu lực, ký
hiệu a (Hình 1.34).
Ngẫu lực có tác dụng làm cho vật chuyển động quay, tác dụng quay gọi là mômen
của ngẫu lực.
Ngẫu lực được xác định bởi các yếu tố
+ Mặt phẳng tác dụng của ngẫu lực: là mặt phẳng chứa các lực của ngẫu lực
+ Chiều quay của ngẫu lực: là chiều quay vòng theo chiều tác dụng của các lực với
quy ước: chiều dương là chiều ngược chiều kim đồng hồ, còn chiều âm là chiều quay
thuận với chiều kim đồng hồ

F

F

a

a
Hình 1.35

F

F

nh 3.6
+ Trị số mơmen của ngẫu lực: là i Hỗ
lng

xỏc nh bi tớch s
M = F. d (1-20)
Trong đó:
F là trị số của các lực
d là khoảng cách giữa hai lực, còn gọi là cách tay đòn của ngẫu.
M là đại lượng vơ hướng có đơn vị là N.m
Ta thấy các yếu tố xác định ngẫu lực gần tương tự như các yếu tố xác định lực.
Vậy có thể nói ngẫu lực cũng là dạng tối giản của hệ lực phẳng.
Người ta cũng có thể biểu diễn ngẫu lực bằng một vectơ sao cho
+ Phương của vectơ ngẫu lực vng góc với mặt phẳng tác dụng của ngẫu
+ Hướng của vectơ sao cho nhìn từ ngọn vectơ xuống mặt phẳng tác dụng ngẫu
lực có xu hướng quay theo chiều kim đồng hồ.
+ Độ dài của vectơ biểu diễn trị số của momen ngẫu lực.

3.2.2 Điều kiện cân bằng
3.2.2.1. Hợp hệ ngẫu lực phẳng
Giả sử cho hệ ngẫu lực phẳng có mơmen lần lượt là m1, m2, ... , mn (hình 1.36).












Biến đổi hệ ngẫu lực này thành hệ ngẫu lực ( F1 , F1 ); ( F 2 , F 2 ); ... ; ( F n , F n ) có cùng cánh

tay địn a.








Hợp lực R của các lực F1 , F 2 ,..., F n đặt tại A, B là hai lực song song, ngược chiều,
có cùng trị số:
 

R = RA = RB = F1  F2  ...  Fn tạo thành ngẫu lực ( R , R )
20


 

Ngẫu lực ( R , R ) gọi là ngẫu lực tổng hợp, có mơmen:
M = R.a = F1.a - F2.a + ... + Fn.a = m1 - m2 + ... + mn
Fn
R

F2

a

A
F1

F1
B
F2

R
Hình 1.36

Fn

nh 3.8
Như vậy: Một hệ ngẫu lc phngHỗ
cho
ta mt h ngu lc tng hp cú mụmen bằng
tổng đại số mômen của các ngẫu lực thuộc hệ.
n

M=

m
i 1

i

= m (1-21)

Ví dụ: Hệ ngẫu lực phẳng gồm m1 = 60 Nm; m2 = 120 Nm; m3 = -30 Nm.
- Hãy xác định ngẫu lực tổng hợp.
- Nếu ngẫu lực tổng hợp có cánh tay địn là 0,5 m, trị số lực của nó bằng bao
nhiêu?

Bài giải:
- Theo cơng thức tính ngẫu lực tổng hợp M ta có :
M = m = m1 + m2 + m3 = 60 + 120 - 30 = 150 Nm
- Theo công thức tính trị số của ngẫu lực tổng hợp
M = R.a  R =

M 150

 300 N
a
0,5

Vậy: - Ngẫu lực tổng hợp là : M = 150 Nm
- Trị số ngẫu lực tổng hợp là: R = 300 N.

3.2.2.2. Điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phẳng
Muốn hệ ngẫu lực phẳng cân bằng thì ngẫu lực tổng hợp của nó phải cân bằng,
nghĩa là M = 0. Mà M =

n

m
i 1

i

nên điều kiện cân bằng của hệ ngẫu lực phải là:

n

m
i 1

i

=0

Điều kiện cần và đủ để một hệ ngẫu lực phẳng cân bằng là tổng đại số mômen của
các ngẫu lực thuộc hệ bằng 0.
Ví dụ:
21


 

Dầm có hai gối đỡ A và B chịu tác dụng bởi ngẫu lực ( P, P ) có mômen m = 3.105
Nm.
Xác định phản lực tại các gối đỡ của dầm.
NB
P

P
B

A
2m

2m

NA

10 m

Bài giải:
 

Ở hai gối đỡ có các phản lực tạo thành ngẫu lực cân bằng với ngẫu lực ( P, P ) cho
nên theo điều kiện cân bằng ta có:
∑m = 0  P.10 - NB.6 = 0
P.10 3.10 5
 NA = N B =

 5.10 4 N = 50 kN
6
6

Vậy phản lực tại hai gối đỡ của dầm là : NA = NB = 50 kN.

4. Hệ lực phẳng bất kỳ
4.1. Định nghĩa
Hệ lực phẳng bất kì là hệ lực gồm các lực có đường tác dụng nằm bất kỳ trong
cùng một mặt phẳng.
Chẳng hạn, cần trục trên hình 1.37 chịu tác dụng cuả hệ lực phẳng bất →
kỳ→
(P,→Q,
→
NB , →
XA, YA).
Hệ lực phẳng bất k l trng hp tng quỏt ca h lc phng
y

N

B

C

D
C



h




N

P

C

T
E

Hỗnh 3.9

Hình 1.37

22

A

x


4.2. Thu hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm
4.2.1. Định lý dời lực song song
Định lý: Khi dời song song một lực, để tác dụng cơ học không đổi phải thêm vào
một ngẫu lực phụ có mơ men bằng mơ men của lực đối với điểm mới dời đến

F

F

F

F

O
A

A

O

O

A

F

a)

m

F

b)

c)

Hình 1.38




Lực F tác dụng tại A tương đương với tác dụng của nó tại O (lực F ' ) và một ngẫu


lực có mơmen bằng mơmen của lực F đối với điểm O.






F  F ' và m  m0 ( F )

Chứng minh:


Giả sử lực F đặt tại A cần phải dời lực song song đến điểm O (Hình 1.38a). Đặt tại






O hai lực cân bằng ( F ' , F ' ' ) có cùng trị số với lực F (Hình 1.38b) thỏa mãn các điều kiện












sau: F = F ' = F ' ' và F // F ' // F ' '
















Ta có: F R ( F , F ' F ' ' ). Phân tích hệ lực ( F , F ' F ' ' ) có: F ' // cùng chiều và cùng trị














số với F nên có thể coi F ' là F dời từ A đến O. Còn F và F ' ' tạo thành ngẫu lực ( F , F ' '




) có mơmen m = F.a, mặt khác m0( F ) = F.a nên m  m0 ( F ) (Hình 1.38c)






Như vậy F R F ' + m0( F ) định lý đã được chứng minh.
Định lý đảo: Một lực và một ngẫu lực cùng nằm trong một mặt phẳng tương
đương với một lực song song cùng chiều, cùng trị số với lực đã cho và có mơmen với
điểm đặt của lực đã cho bằng mômen của ngẫu lực.
Từ định lý ta thấy lực tương đương phải có vị trí sao cho khi lấy mơ men đối với
điểm đặt của lực đã cho có dùng chiều quay của ngẫu lực và có cánh tay địn a = m/F

4.2.2 Thu gọn hệ lực phẳng bất kỳ về một tâm cho trước.






Giả sử cần phải thu hệ lực phẳng bất kỳ ( F1 , F2 , F3 ) (Hình 1.39a) về tâm O.
Theo định lý dời lực song song, ta dời song song các lực đã cho về O (tâm thu gọn)






F1  F1/ và ngẫu lực m1 = mo( F1 )
23














F2  F2/ và ngẫu lực m2 = mo( F2 )
F3  F3/ và ngẫu lực m3 = mo( F3 )

Tại điểm mới dời đến O hệ lực đã cho tương đương với một hệ lực phẳng đồng
quy và một hệ ngẫu lực phẳng (Hình 1.39b).
F3

F1
F3

F1
m3

R

m1
O

O
A

C

Mo

m2

B

F2
F2

a)

b)

c)

Hình 1.39








Thu hệ lực phẳng đồng quy ( F1/ , F2/ , F3/ ) được R /


Thu hệ ngẫu lực phẳng được ngẫu lực có mô men: Mo = m1 + m2 + m3 = mo( F1 )




+ mo( F2 ) + mo( F3 ) =

m

o


F.
 



R / được gọi là véctơ chính cịn Mo được gọi là mơmen chính của hệ ngẫu lực

phẳng đã cho đối với điểm O (Hình 1.39c).
Vậy ”Hệ lực phẳng bất kỳ tương đương với một lực có véc tơ bằng véctơ chính
của hệ lực và một ngẫu lực có mơmen bằng mơmen chính của hệ lực đối với tâm thu
gọn”.












- Xác định Véctơ chính. Vì hình chiếu F1/ , F2/ , F3/ và F1 , F2 , F3 luôn bằng
nhau nên ta có:


+Trị số của R / :


+ Hướng của R / :

𝑅 ′ = √(𝐹𝑥)2 + (𝐹𝑦)2 (1-22)
∑ 𝐹𝑥

𝑐𝑜𝑠𝛼 = ′
𝑅
{
∑ 𝐹𝑦
𝑠𝑖𝑛𝛼 = ′
𝑅

hay
∑ 𝐹𝑦

𝑡𝑔𝛼 = ∑

𝐹𝑥

(1-24)

- Xác định mơmen chính.
24

(1-23)


Mo =

m

o


 F  (1-25)
 

Từ công thức trên cho chúng ta thấy:
Vec tơ chính khơng phụ thuộc vào tâm thu gọn
Mơ men chính thay đổi theo tâm thu gọn (vì với mỗi tâm thu gọn khác nhau lực có
cánh tay đòn và chiều quay khác nhau)

4.3. Điều kiện cân bằng của hệ lực phẳng bất kỳ
4.3.1. Điều kiện cân bằng
Điều kiện cần và đủ để một hệ phẳng bất kỳ cân bằng là véc tơ chính và mơ men
chính của hệ đối với một tâm bất kỳ đều phải đồng thời bằng không.
R’ = 0
Mo = 0

4.3.2. Các dạng phương trình cân bằng
* Dạng 1: Điều kiện cần và đủ để một hệ phẳng bất kỳ cân bằng là tổng hình
chiếu của các lực nên hai trục tọa độ vng góc và tổng đại số mơ men của các lực đối
với một tâm bất kỳ trên mặt phẳng đều bằng không.
∑ 𝐹𝑥 = 0
∑
𝐹𝑦 = 0
{
∑ 𝑚𝑜 (𝐹⃗ ) = 0

(1-26)

Thật vậy theo điều kiện R’ = 0 và Mo = 0


R có hai hình chiếu lên trục x và y.

Rx = ∑Fx
Ry = ∑Fy
Mà 𝑅 ′ = √(𝐹𝑥)2 + (𝐹𝑦)2 mà (∑Fx)2 và (∑Fy)2 là những số dương nên R’ = 0 chỉ
khi ∑Fx = 0 và ∑Fy = 0
mà

Mo =


m
 o  F 

nên

Mo = 0 khi 𝑚𝑜 (𝐹⃗ ) = 0

* Dạng 2: Điều kiện cần và đủ để một hệ phẳng bất kỳ cân bằng là tổng đại số
mô men của các lực đối với hai điểm bất kỳ trên mặt phẳng và tổng hình chiếu các lực
lên trục x không vuông gốc với đường thẳng đi qua hai điểm bất kỳ đó đều bằng không
∑ 𝑚𝐴 (𝐹⃗ ) = 0
{∑ 𝑚𝐵 (𝐹⃗ ) = 0

x khơng vng góc với AB (1-27)

∑ 𝐹𝑥 = 0

Thật vậy ∑ 𝑚𝐴 (𝐹⃗ ) = 0 và ∑ 𝑚𝐵 (𝐹⃗ ) = 0 thỏa mãn mơ men chính Mo = 0, mặt
khác hệ có hợp lực thì 𝑅⃗⃗′ phải nằm trên phương AB, nhưng trục x khơng vng góc với
AB nên ∑Fx = 0 thì R = 0 hệ lực cân bằng.
25