Tương đẳng trên e nửa nhóm e ngược

Bộ giáo dục và đào tạo
Tr-ờng đại học vinh

Nguyễn thị nhung

T-ơng Đẳng
trên E nửa nhóm e ng-ợc
Chuyên ngành: Đại số Lý thuyết số
MÃ số: 60.46.05

luận văn thạc sĩ toán học

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học:
PGS.TS. Lê Quốc hán

3


Vinh - 2009

Lời nói đầu

T-ơng đẳng là một khái niệm đ-ợc nhiều nhà khoa học quan tâm,
nghiên cứu và các kết quả của chúng đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong
Toán học. Trong luận văn này, chúng tôi xét một số t-ơng đẳng đặc biệt trên
các E - nửa nhóm E - ng-ợc. Năm 1954, G. B. Preston đà chứng minh đ-ợc
rằng mỗi t-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc S hoàn toàn đ-ợc xác định bởi một
họ các tập con chứa luỹ đẳng đặc biệt của S mà ông gọi là hệ hạt nhân chuẩn
của S. Năm 1986, F. Pastijin và M. Petric đà mô tả các t-ơng đẳng trên nửa
nhóm chính quy theo hạt nhân và vết của chúng. Dựa vào bài báo Certain
Congruences on E - inversive E - semigroups của Barbara Weipoltshammer

đăng trên tạp chí Semigroup Forum số 65(2002) chúng tôi trình bày một
cách chi tiết có hệ thống cấu trúc các t-ơng đẳng nhóm, t-ơng đẳng dàn, cũng
nh- t-ơng đẳng chính quy, t-ơng đẳng tách - luỹ đẳng trên E - nửa nhóm E
ng-ợc.
Luận văn gồm 2 ch-ơng.
Ch-ơng 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong ch-ơng này chúng tôi đà trình bày các kiến thức cơ sở về băng,
nửa dàn, nửa nhóm chính quy, nửa nhóm ng-ợc, t-ơng đẳng trên nửa nhóm
ng-ợc.
Ch-ơng 2: T-ơng đẳng trên E nửa nhóm E ng-ợc
Đây là nội dung chính của luận văn.
Tiết 1 trình bày lại định nghĩa, ví dụ, một số tính chất liên quan đến E nửa nhóm E - ng-ợc.
Tiết 2 trình bày lại một đặc tr-ng mới về t-ơng đẳng nhóm nhỏ nhất
trên các E - nửa nhóm E - ng-ợc, một số t-ơng đẳng nửa dàn trên các E - nửa

4


nhóm E - ng-ợc mà trên nửa nhóm chính quy suy rộng S, chúng bằng t-ơng
đẳng nửa dàn nhỏ nhất trên S.
Tiết 3 chứa một số kết quả về t-ơng đẳng chính quy trên các nửa nhóm
E - ng-ợc và chứng tỏ rằng trên các nửa nhóm chính quy suy rộng, một t-ơng
đẳng chính quy nhỏ nhất nói chung không tồn tại. Bằng ph-ơng pháp sắp thứ
tự bộ phận tự nhiên chúng tôi nhắc lại định nghĩa hai t-ơng đẳng chính quy
mà trên một số nửa nhóm chính quy chúng trùng với quan hệ đồng nhất.
Ngoài ra trong tiết này chúng tôi còn xét t-ơng đẳng - tách luỹ đẳng đ-ợc định
nghĩa trên các nửa nhóm tuỳ ý và đ-a ra các mô tả đặc biệt về t-ơng đẳng trên
các E - nưa nhãm vµ nưa nhãm E - trï mật t-ơng ứng.
Luận văn đ-ợc thực hiện và hoàn thành tại tr-ờng Đại học Vinh. Nhân
dịp này tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS. Lê Quốc

Hán, PGS.TS. Nguyễn Thành Quang, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan cùng các
thầy cô giáo trong tổ Đại Số đà tạo điều kiện giúp đỡ và h-ớng dẫn tác giả
trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Mặc dù đà rất cố gắng, song luận văn không thể tránh khỏi những thiếu
sót, chúng tôi rất mong nhận đ-ợc những đóng góp quý báu của các thầy, cô
giáo và các bạn đồng nghiệp. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.

Vinh, tháng 11 2009
Tác giả

5


Ch-ơng I
Kiến thức chuẩn bị
1.1. Băng và nửa dàn

1.1.1 Định nghĩa.
i, Một quan hệ trên một tập X đ-ợc gäi lµ mét thø tù bé phËn cđa X
nÕu quan hệ đó thỏa mÃn 3 tính chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu.
ii, Giả sử E là tập hợp tất cả các t-ơng đẳng của nửa nhóm S. Khi đó
quan hệ xác định trên E bởi :
e f (e.f E) nếu ef = fe = e đ-ợc gọi là một thứ tự bộ phận tự nhiên trên E.
iii, Phần tử b thuộc tập sắp thứ tự bộ phận X đ-ợc gọi l cận trên của tập
con Y của X nếu y b với mỗi y Y. Cận trên b của tập Y đ-ợc gọi l cận
trên bé nhất, hoặc hợp của tập Y nếu b c với mỗi cận trên của tập hợp Y. Nếu
Y có một hợp trong X, thì rõ ràng hợp trªn là duy nhÊt.
iv, CËn d-íi và cËn d-íi lín nhất đ-ợc định nghĩa một cách đối ngẫu.
Tập sắp thứ tự bộ phận X đ-ợc gọi l nửa dn trên ( d-ới ), nếu mỗi tập con
gồm hai phần tử{ a,b }cđa tËp X cã hỵp (giao) trong X; trong tr-ờng hợp đó

mỗi tập con hữu hạn của X có hỵp( giao). Hỵp (giao) cđa {a,b} sÏ ký hiƯu bëi a
v b (a  b).
v, Mét dàn là mét tËp sắp thứ tự bộ phận, đồng thời vừa l nửa dn trên
vừa l nửa dn d-ới. Dn X đ-ợc gọi l đầy đủ nếu mỗi tập con của X có một
hợp v một giao.
vi, Băng l một nửa nhóm S m mỗi phần tử l luỹ đẳng.
1.1.2 Ví dụ. Giả sử X l tập tất cả các phỏng nhóm con của phỏng nhóm S kể
cả tập rỗng. Thế thì X đ-ợc sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ giao bao hm của
lý thuyết tập.Vì giao của một tập hợp tuỳ ý các phỏng nhóm con của S kể cả
6


tập rỗng, hoặc l một phỏng nhóm con của S nên X l một dn đầy đủ. Giao
của một tập con Y cđa X trïng víi giao theo lý thut tập hợp của các phần tử
thuộc tập hợp Y, trong lúc đó hợp của Y l một phỏng nhóm con của S sinh bởi
hợp theo lý thuyết tập của các phỏng nhóm con thuộc Y. Tất cả các lý luận trên
đều đúng nếu ta thay từ phỏng nhóm con hay tập hợp của S bởi từ tương
đẳng trên S.
Mặt khác, tập hợp các iđêan trái (phải, hai phía) của phỏng nhóm S, kể
cả tập rỗng, đóng đối với phép hợp theo lý thuyết tập cũng nh- giao, nên l
một dn con đầy đủ của đại số Bun tất cả các tập hợp con của S. Băng l một
nửa nhóm S m mỗi phần tử l luỹ đẳng. Nh- vậy S = E nếu S l một băng v
do ó S đ-ợc sắp thứ tự bộ phận tự nhiên (a  b khi và chỉ khi ab = ba = a).
1.1.3.Định lý. Một băng giao hoán S l một nửa dàn d-ới đối với thứ tự bộ
phận tự nhiên trên S. Giao a  b cđa hai phÇn tư a v b của S trùng với tích ab
của chúng. Đảo lại, một nửa dàn d-ới là một băng giao hoán ®èi víi phÐp
giao.
Chøng minh. Nh- ë trªn, ta ®· chøng tá r»ng quan hƯ  là quan hƯ s¾p thø tù
bé phËn trªn S (= E ). Ta chøng tá r»ng tÝch ab ( = ba ) cđa hai phÇn tư a, b
thc S trïng víi cËn d-íi lín nhÊt,bÐ nhÊt cña {a,b}. Tõ baa = ba 2 = ba và

(ab)b = ab 2 = ab suy ra r»ng ab  a và ab  b. Gi¶ sư c  a và c  b. ThÕ th×
(ab)c = a(bc) = ac = c, và t-¬ng tù, c (ab) = c, từ đó c ab.
Mệnh đề đảo là hiển nhiên.
Ta nêu ví dụ các băng không giao hoán. Giả sử X v Y l hai tập tùy ý.
Ta định nghĩa phép toán hai ngôi trên S = X x Y bằng cách đặt (x 1 , y 1 ) (x 2 ,
y 2 ) = (x 1 , y 2 ), (x 1 , x 2  X ; y 1 , y 2 Y).
Tính kết hợp và luỹ đẳng của phép toán đó là hiển nhiên.
Ta sẽ gọi S là băng chữ nhật trên tập X x Y. Lý do của tên gọi đó nhsau. Ta t-ởng t-ợng X x Y l một bảng chữ nhật gồm các ®iĨm, trong ®ã ®iĨm
(x,y) n»m ë dßng x cét y của bảng.Thế thì a 1 = x 1 , y 1 ) và a 2 = (x 2 , y 2 ) l hai
đỉnh đối diện của một hình chữ nhật trên X x Y v X x Y đẳng cÊu víi nhau
khi vµ chØ khi X = X ' và Y = Y '

7


NÕu X = 1 ( Y = 1 ) th× băng chữ nhật X x Y đẳng cấu với nửa nhóm
các phần tử không bên phải (bên trái) trên Y ( X ).
Ta hiĨu sù ph©n tÝch mét nưa nhãm S là sự phân chia nó thành hợp của
các nửa nhãm con rêi nhau S  (   ). Để sự phân tích đó chính xác hơn, điều
cần thiết là các nửa nhóm con S phải là các nửa nhóm thuộc loại nào đó hẹp
hơn S, chẳng hạn các nửa nhóm đơn hay các nhóm.
Giả sử S =  { S  /   } lµ sù phân tích của nửa nhóm S sao cho với
mỗi cặp phần tử , thuộc tập các chỉ số tồn tại phần tử để
S S   S . DƠ thÊy r»ng  trë thµnh một băng đối với phép toán đó. Ta nói S
là hợp băng các nửa nhóm S . ánh xạ xác định bởi a = nếu a S , là
đồng cấu từ S lên , và các nửa nhóm con S là các lớp t-ơng đẳng 1 .
Đảo lại nếu là một đồng cấu từ một nửa nhóm S lên một băng thì ảnh
ng-ợc S =

1

của mỗi phần tử là một nửa nhóm con của S và S là

hợp của băng các nửa nhóm S ( ). Nếu băng giao hoán, ta nói S là
hợp của nửa dàn các nưa nhãm S  (   ).
NÕu  lµ cấu trúc của mỗi S ( ) là đà biết thì ta có thể nói ta biết
cấu trúc thô của nửa nhóm S. Việc mô tả cấu trúc mịn của S, tức là xét xem
các phần tử của các S khác nhau nhân với nhau nh- thế nào, là một vấn đề
khó hơn.
Ta cũng có thể dùng cách gọi tắt : S là một băng (nửa dàn) các nửa
nhóm kiểu C, để chỉ S là một tập hợp của một băng (nửa dàn) các nửa
nhóm S  (   )   , trong đó mỗi S có kiểu C .
1.2. Nửa nhóm chính quy. Nửa nhóm ng-ợc

1.2.1 Định nghĩa. Phần tử a thuộc nửa nhóm S đ-ợc gọi là phần tử chính quy
nÕu a  aSa hay nãi c¸ch kh¸c: a = axa với x S. Nửa nhóm S đ-ợc gọi là
chính quy nếu mỗi phần tử của nó là chính quy.

8


Nếu axa = a thì e = ax là một lũy đẳng, hơn nữa ea = a. Thật vậy: e 2 =
(ax) (ax) = (axa)x = e vµ ea = axa = a. T-ơng tự f = xa cũng là một luỹ đẳng
của S và af = a. Ta cũng chú ý rằng nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa
nhóm S thì idean chính phải aS 1 = a  aS sinh bëi a b»ng aS , v× a = af kÐo
theo a  aS. T-¬ng tù S 1 a = Sa.
1.2.2. Bổ đề. Phần tử a thuộc nưa nhãm S lµ chÝnh quy khi vµ chØ khi iđêan
chính phải (trái) của nửa nhóm S sinh bởi a sẽ đ-ợc sinh bởi một luỹ đẳng nào
đó, tức là aS 1 = eS 1 (S 1 a = S 1 e).
Chứng minh. Nếu a là chính quy thì axa = a với x nào đó thuộc S và e = ax là

phần tử luỹ đẳng của S mà ea = a . Do ®ã aS 1 = eS 1 .
Đảo lại, giả thiết rằng aS 1 = eS 1 và e 2 = e. Khi đó e = ex với x nào đó thuộc
S, vì vậy ea = e 2 x = ex = a, e = ay víi y nào đó thuộc S 1 ,nên a = ea = aya. NÕu
y = 1 th× a = a 2 với a = aaa. Do đó mọi tr-ờng hợp a aSa, tức là a chính
quy.
1.2.3.Định nghĩa.
i, Hai phần tử a và b thuộc nửa nhóm S đ-ợc gọi là ng-ợc nhau
nếu aba = a và bab = b.
ii, Nửa nhóm S đ-ợc gọi là nửa nhóm ng-ợc nếu mỗi phần tử của nó có
một phần tử ng-ợc duy nhất.
Nếu a và b là các phần tử thuộc nhóm con tối đại H nào đó của một nửa
nhóm S, đặc biệt khi S là một nhóm thì a,b là ng-ợc nhau khi và chỉ khi chúng
là nghịch đảo của nhau trong nhóm với nghĩa thông th-ờng.
Nếu phần tử a thuộc nửa nhóm S có phần tử ng-ợc với nó thì a là chính quy.
1.2.4.Bổ đề. Nếu a là phần tử chính quy thuộc nửa nhóm S, chẳng hạn axa =
a víi x  S, th× a cã Ýt nhÊt mét phần tử ng-ợc với nó , chẳng hạn phần tử xax.
Chứng minh. Giả sử b = xax. Thế thì: aba = a(xax)a = ax(axa)x = xax = b.
Do ®ã b ng-ợc với a.
1.2.5. Bổ đề. Hai phần tử thuộc một nửa nhóm S là nghịch đảo của nhau
trong một nhóm con nào đó của S khi và chỉ khi chúng ng-ỵc nhau.

9


Chứng minh. Giả sử a và b là các phần tử ng-ợc nhau và giao hoán với nhau
thuộc một nửa nhóm S và e = ab(= ba). Khi đó e là luỹ đẳng hơn nữa ea = ae =
a và eb = be = b. Do đó a và b là các phần tử khả nghịch trong eSe và thuộc
nhóm con tối đại He của S chứa e.
Vì ab = ba = e nên a và b là nghịch đảo của nhau trong nhóm He. Mệnh
đề đảo là hiển nhiên.

Một phÇn tư chÝnh quy cã thĨ cã mét sè phÇn tử ng-ợc với nó. Nửa
nhóm ng-ợc là nửa nhóm trong đó mỗi phần tử có một phần tử ng-ợc duy
nhất. Hiện nay các nửa nhóm ng-ợc lập thành lớp các nưa nhãm cã nhiỊu triĨn
väng nhÊt cho viƯc nghiªn cøu vì chúng khá gần các nhóm.
1.2.6. Bổ đề. Nếu e, f, ef, và fe là các luỹ đẳng thuộc nửa nhóm S thì ef và fe ng-ợc
nhau.
Chứng minh. Ta có (ef)(fe)(ef) = ef2e2f = effe = (ef)2 = ef. T-¬ng tự (fe)(ef)(fe)
= fe.
1.2.7 Định lý. Ba điều kiện sau đối với nửa nhóm S là t-ơng đ-ơng:
(i)

S chính quy và hai luỹ đẳng bất kỳ của nó giao hoán với nhau.

(ii)

Mỗi iđêan chính phải và mỗi iđêan chính trái của S có một phần tử
sinh luỹ đẳng duy nhất.

(iii)

S là nửa nhóm ng-ợc (tức là mỗi phần tử thuộc S có một phần tử
ng-ợc duy nhất).

Chứng minh. (i) (ii). Theo bổ đề 1.2.2, mỗi iđêan chính phải của S có ít
nhất một phần tử sinh luỹ đẳng. Giả thiết rằng e và f là các luỹ đẳng cùng sinh
ra một iđêan chính phải tức là eS = fS. Khi ®ã ef = f vµ fe = e. Nh-ng theo (i),
ef = fe nªn e = f.
(ii)  (iii). Theo bổ đề 1.2.2, nửa nhóm S chính quy. Chỉ cần chứng
minh sự duy nhất của phần tử ng-ợc. Giả sử b và c ng-ợc với a. Khi đó aba =
a, bab = b, aca = a, cac = c. Tõ ®ã abS = aS = acS vµ Sba = Sa = Sca = Sa = Sca

nên ab = ac và ba = ca (theo (ii)). Do ®ã b = bab = bac = cac = c.
(iii)  (i). Râ rµng một nửa nhóm ng-ợc thì chính quy. Chỉ còn phải
chứng tỏ rằng hai luỹ đẳng bất kỳ giao hoán với nhau. Tr-íc hÕt ta ph¶i chøng
minh tÝch ef cđa hai luỹ đẳng e và (af)a(ef) = ef, a(ef) = a.
10


Đặt b = ae. Thế thì: (ef)b(ef) = efae 2 f = efaef = ef.
b (ef)b = ae 2 fae = aefae = ae =b.
Do đó b cũng là phần tử ng-ợc của ef, nên theo tính chất (iii) ae = b =a
T-¬ng tù cã thĨ chøng minh r»ng fa = a. Do ®ã a 2 = (ae)(fa) = a(ef)a =
a. Nh-ng một luỹ đẳng là phần tử ng-ợc với chính nó và lại dùng điều kiện
(iii) ta kết luận a = ef. Nh- vậy ef là luỹ đẳng. Bây giờ giả sử e và f là hai luỹ
đẳng bất kỳ, theo điều vừa chứng minh, ef và fe cũng luỹ đẳng. Theo Bổ đề
1.2.6 chúng ng-ợc nhau. Vậy ef và fe đều ng-ợc ef, do đó ef = fe.
1.2.8. Bổ đề. Đối với phần tử a,b tuỳ ý thuộc nửa nhóm ng-ợc S có các hệ
thức (a 1 ) 1 = a vµ (ab) 1 = a 1 b 1 .
Chứng minh. Hệ thức thứ nhất là hiển nhiên. Ta chøng minh hÖ thøc thø hai.
Ta cã (ab)(b 1 a 1 )(ab) = a(b b 1 )( a 1 a)(b b 1 )b = a(a-1a)(b-1b)b = ab,
(b 1 a 1 )(ab) (b 1 a 1 ) = b-1(a-1a)(bb-1)a-1 = b 1 (bb 1 )( a 1 a)a 1 = b 1 a 1 . Do ®ã
b 1 a 1 ng-ợc với ab.
1.2.9. Bổ đề. Nếu e và f là các luỹ đẳng của nửa nhóm ng-ợc S thì Se  Sf =
Sef (=Sfe).
Chøng minh. NÕu a  Se  Sf thì ae = af = a nên aef = af = a và vì vậy a Sef.
Đảo lại, nÕu a  Sef (= Sfe) th× aef = afe = a tõ ®ã ae = af = a, tøc là a Sef( =
Sfe) thì aef = afe = a từ đó ae = af = a, tức là a Se Sf.
1.3. T-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc
1.3.1. Tính di truyền của ảnh
1.3.1.1. Bổ đề. Giả sử S là một nửa nhóm ng-ợc và :S P là một đồng cấu
nửa nhóm. Thế thì (S) là một nửa nhóm con ng-ợc của P.

Chứng minh. Vì  (x) =  (xx 1 x) =  (x)  ( x 1 )  (x) nªn  (S) là một nửa
nhóm chính quy. Giả sử g,h E ( (S)). Khi đó tồn tại e, f E(S) sao cho g =
 (e) vµ h =  (f). Do ®ã gh =  (e).  (f) = (ef) = (fe) = hg nên các luỹ

đẳng của (S) giao hoán. Từ đó (S) là nửa nhóm con ng-ợc của P.
1.3.1.2. Hệ quả. Nếu là một t-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc S thì S / là
một nửa nhóm ng-ợc.

11


1.3.1.3. Hệ quả. i, Giả sử là một t-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc S. Thế
thì:
x y x 1  y 1 (x, y  S),
ii, Gi¶ sử : S P là đồng cấu từ nửa nhóm ng-ợc S lên nửa nhóm
ng-ợc P. Thế thì:  ( x 1 ) =  ( x) 1 , x S.
Định nghĩa. Một nửa nhóm con T của nửa nhóm ng-ợc S đ-ợc gọi là một nửa
nhóm con ng-ợc nếu đối với mọi x T, có x 1 T, trong đó x 1 là phần tử
ng-ợc của x trong S.
Chú ý rằng không phải nửa nhóm con của một nửa nhóm ng-ợc đều là
nửa nhóm con ng-ợc.
1.3.1.4. Bổ đề. Giả sử A là một nửa nhóm con của nửa nhóm ng-ợc S. Thế thì
A là một nửa nhóm con ng-ợc của S nếu và chỉ nÕu x 1  A víi mäi x  A.
1.3.1.5. Hệ quả. Giả sử : S P là một đồng cấu từ nửa nhóm ng-ợc S vào
nửa nhóm P. Nếu e E(P) thì

1

(e) là một nửa nhãm con ng-ỵc cđa S.

Chøng minh. NÕu  ( x) = e =  ( y) th×  (xy) =  ( x)  ( y) = e.e = e 2 = e
nªn xy 

1

(e). VËy 

NÕu x  


1

1

1

(e) là một nửa nhóm con của S.

(e) thì ( x) = e nªn  ( x 1 ) =  ( x) 1 = e 1 = e. Do đó

(e) là nửa nhóm con ng-ợc của S.

Định nghĩa. Với mỗi iđêan I của nửa nhóm S, kí hiệu S/I là th-ơng Rees và S
đ-ợc gọi là một mở rộng iđêan của I bởi S / I.
1.3.1.6. Mệnh đề. Giả sử I là một iđêan của nửa nhóm S. Khi đó S là một
th-ơng Rees và S đ-ợc gọi là một nửa nhóm ng-ợc nếu I và S / I là các nửa
nhóm ng-ợc.
1.3.2. Hạt nhân và vết
Định nghĩa. Giả sử là một t-ơng đẳng trên nửa nhóm S chứa luỹ đẳng. Khi
đó ta định nghĩa hạt nhân của  lµ tËp:

Ker (  ): = {x  S | x e với e E(S) nào đó} vµ vÕt cđa  lµ tËp tr (  ): =
{(e,f) | e,f  E(S)}.

12


1.3.2.1. Mệnh đề. Giả sử S là một nửa nhóm ng-ợc, và là các t-ơng đẳng
trên S. Thế th×      e  E(S): e   e  .
Chøng minh. Mét chiỊu cđa kh¼ng định là hiển nhiên.
Giả sử e e ,  e  E(S). ThÕ th×:
x  y  xx  yx 1  xx 1  y  yx 1  x  x 1 x
x  y  x 1 x  x 1 y  x 1 xy  x 1 y  yx 1 x yx 1 y
Và do đó x y x yx
1

Mặt khác x y x

1

y (1)

y

1

x

1

y y

1

y  yx

1

y   y (2). Tõ

(1),(2) cã x  y. Tõ ®ã    .
1.3.2.2. HƯ quả. Giả sử và là các t-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc S.
Thế thì:
= e E(S): e = e .

1.3.2.3. Định lý. (Định lý Vagner)
Giả sử và là các t-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc S. Thế thì:
=   ker(  ) = ker(  ) vµ tr(  ) = tr(  ).

Nãi c¸ch kh¸c, nÕu  : S  P vµ  : S  T là các toàn cấu nửa nhóm
ng-ợc S thì ker (  ) = ker (  ) nÕu vµ chØ nÕu víi mäi x  S vµ e,f E(S) cã:
 (x)  E(P)   (x)  E(T)

 (e) =  (f)   (e) =  (f).

Chøng minh. Một chiều khẳng định là hiển nhiên
Giả sử ker (  )=ker (  ) vµ tr (  ) = tr (  ). NÕu e  E(S) cã:
e  x   f  E(S): f  xe  x  fx-1 = f  xx-1.
Nh- vËy e f và f x đúng, nên e x do đó e e . T-ơng tù e  =e  . Tõ ®ã
 =  theo hệ quả 1.3.2.2.

1.3.3. Sự phân loại theo vết
1.3.3.1. Bổ đề. Giả sử S là nửa nhóm ng-ợc, x S và e E(S). Thế thì
x 1 ex E(S).

13


Định nghĩa. Với mỗi t-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc S, chúng ta thu
đ-ợc một t-ơng đẳng
x

min

min

bằng cách ®Þnh nghÜa:

y   e  E(S): xe = ye,x 1 x  e vµ y 1 y  e.

1.3.3.2. Định lý. Đối với mỗi t-ơng đẳng trên nửa nhóm ng-ợc S,

min

là

t-ơng đẳng bé nhất có vết bằng tr (  ).
Chøng minh. ThËt vËy gi¶ sư x 

min

y vµ e  E(S). Sao cho xe = ye. Khi ®ã  x

 S cã z 1 ez: = f E(S) theo bổ đề 1.3.3.1 và xzf = xz z 1 ez = xez z 1 z = yez

z 1 z = yz z 1 ez = yf. Hơn nữa (xz) 1 xz = z 1 x 1 xzpz 1 ezpz 1 y 1 yz nên
xz

min

yz. Mặt kh¸c xe = ye kÐo theo ex 1 = ey 1 . Bằng cách nghịch đảo cả

hai vế,và sử dụng ®iÒu ®ã cã (xz) 1 zx = x 1 z 1 xz =x 1 xx 1 zx  ex 1 z 1 zx; (zy)
1

zy = y 1 z 1 zy = y 1 yy 1 z 1 zyy 1 y  ey 1 z 1 zye = ex 1 z 1 zxe  ex 1 z 1 zxx 1 x

= ex 1 z 1 zx ®iỊu ®ã chØ ra r»ng zx


min

min

zy, vì ex 1 z 1 zx là một luỹ đẳng. Do đó

là một t-ơng đẳng trên S.
Ta chứng minh tr ( 

min

) = tr(  ). Gi¶ sư g, f  E(S), f 

min

g   e  E:

fe = ge, f  e, g  e  f g.
Mặt khác, giả thiết rằng f g. Khi ®ã, ®èi víi e = fg cã fe = ffg = fg =
fgg = gfg = ge, vµ râ ràng f e, g e. Do đó f
Cuối cùng cần chứng tỏ rằng

min

min

g nên tr (

min

) = tr ( ).

là t-ơng đẳng bé nhất có tính chất

trên. Thật vậy, giả sử là một t-ơng đẳng tuỳ ý trên S với tr(
Khi đó, x, y S mà x
đó x

1

min

y, e  E(S):xe = ye va xx

x  e, y 1 y  e  x  y vµ do ®ã 

min

1

 e, y

min

1

) = tr(  ).
y  e. Khi

. Từ đó suy ra điều phải chứng

minh.
Nói riêng, ta có

min

với mọi t-ơng đẳng trên S.

1.3.3.3. Định nghĩa. Tập A = {A i I} đ-ợc gọi là hệ hạt nhân chuẩn của
một nửa nhóm ng-ợc S nếu:
(k 1 ) Mỗi A i là một nửa nhãm con ng-ỵc cđa S.

(k 2 ) A i  A j =  khi i  j,
14


(k 3 ) Mỗi luỹ đẳng của S đ-ợc chứa trong A i nào đó thuộc A ,
(k 4 ) §èi víi bÊt kú a  S vµ i  I tån t¹i j  I sao cho aA i a  A j .
(k 5 ) NÕu a, ab, bb

1

A i thì b A i .

Định nghĩa. Giả sử là đồng cấu của nửa nhóm S. Tập các luỹ đẳng của nửa
nhóm S / đ-ợc gọi là hạt nhân của đồng cấu và của t-ơng đẳng , trong
đó là t-ơng đẳng hạt nhân của đ-ợc xác định bởi (a,b) (a)= (b)
(a,b S).
1.3.3.4.Bổ đề. Giả sử là một t-ơng đẳng của nửa nhóm S. Thế thì hạt nhân
của t-ơng đẳng là hệ hạt nhân chn cđa nưa nhãm S.
Chøng minh. Gi¶ sư A = {A i |i I} là tập luỹ đẳng của S / , nghĩa là A là hạt
nhân của t-ơng đẳng . Ta cần chứng minh A thoả m·n k 1 - k 5 .
Ta thÊy ngay ®iỊu kiện k 2 thoả mÃn suy từ điều kiện 1.3.1.5. Ký hiệu




là ánh xạ tự nhiên từ S lên S / . Mỗi luỹ đẳng thuộc S qua ánh xạ

đ-ợc biến thành một luỹ đẳng cua S /  tõ ®ã suy ra ®iỊu kiƯn k 3 . Điều kiện
k 4 là hiển nhiên.
Ta còn phải thử ®iỊu kiƯn k 5 . Gi¶ sư a, ab, ab

1

 A i với i I nào đó.

Thế thì  (a) =   (a)   (b) =   (b)   (b

1

S /  nªn bỉ ®Ò 1.3.1.1 cã   (b

. Tõ ®ã suy ra   (b) =   (b)

(   (b))

1

1

) = [   (b)]

1

) = A i . Lµ một luỹ đẳng của

(b) = (a)   (b) = A i .

Nh- vËy b  A i . Điều đó chứng tỏ rằng điều kiện k 5 cũng đ-ợc thoả mÃn.

15

Ch-ơng II
T-ơng đẳng trên E- nửa nhóm E - ng-ợc
2.1. E- nửa nhóm e-ng-ợc

2.1.1. Định nghĩa. Giả sử S là một nửa nhóm. Thế thì ES = E(S) là ký hiệu tập
hơp tất cả các lũy đẳng của S và Reg(S) là tập hợp tất cả các phần tử chính quy
của S. Đối với mỗi a S, ký hiệu V(a)={ x  S: a = axa, x = xax}. Một phần
tử a S đ-ợc gọi là E - ng-ợc nếu tồn tại x S sao cho ax E(S).
Nửa nhóm S đ-ợc gọi là E - ng-ợc nếu mỗi phần tử của S đều là phần tử
E - ng-ợc.
Giả sử a S, khi đó W(a)= {a S: xax = x} là ký hiệu tập hợp các
phần tử nghịch đảo yếu của a.
2.1.2. Ví dụ:
+ Nửa nhóm nhân các số tự nhiên S = (N,.) là nửa nhóm E - ng-ợc.
+ Nửa nhóm nhân các số tự nhiên khác không S = (N*,.) không phải là
nửa nhóm E ng-ợc.
2.1.3. Bổ đề. Một phần tử a của nửa nhóm S là E - ng-ợc nếu và chỉ nếu W(a)
ỉ. Từ đó, một nửa nhóm S là E- ng-ợc nếu và chỉ nếu W(a) ỉ đối với mọi

a S.
Một nửa nhóm S đ-ợc gọi là chính quy suy rộng nếu mỗi phần tử của S
đều có một lũy thừa là phần tử chính quy ( nghĩa là với mọi a S, tồn tại số
nguyên d-ơng n sao cho a n là phần tử chính quy). Mỗi nửa nhóm chính quy
suy rộng đều là nửa nhãm E - ng-ỵc ( H. Mitsch, 1990).

16

Một nửa nhóm đ-ợc gọi là E - trù mật nếu nó là E - ng-ợc với các lũy
đẳng giao hoán.
Nh- đà nhắc đến ở trên, một nửa nhóm mà các lũy đẳng của nó tạo
thành một nửa nhóm con đ-ợc gọi là E - nửa nhóm.
Các ví dụ về E - nửa nhóm E - ng-ợc: Mỗi băng, nhóm giao hoán hay
mỗi nửa nhóm orthodox nghĩa là mỗi nhóm E- nửa nhóm chính quy; mỗi E
- nửa nhóm chính quy suy rộng và đặc biệt là mỗi E - nửa nhóm hữu hạn, mỗi
E - nửa nhóm đơn, mỗi E - nửa nhóm với phần tử không.
2.1.4. Bổ ®Ị. §èi víi nưa nhãm S tïy ý víi W(S) ỉ, các điều kiện sau đây là t-ơng
đ-ơng:
(1) S lµ E - nưa nhãm.
(2) (  a, b  S): W(b)W(a)= W(ab).
2.1.5. Bổ đề. Giả sử S là một E - nưa nhãm. Khi ®ã:
(1) (  a  S, a,  W(a), e, f  E(S)aa,, a,f vµ c¶ ea,  W(a).
(2) (  a  S, a,  W(a), e,  E(S)) a,ea, aea,  E(S).
(3) (  e  E(S) W(e)  E(S).
(4) (  e, f  E(S)) W(ef) = W(fe).
Ngoµi ra, chóng ta sÏ sử dụng sự mô tả sau đây của các nhóm E - ng-ợc
mà các lũy đẳng của nó tạo thành một băng.
2.1.6. Bổ đề. Đối với nửa nhóm E - ng-ợc tùy ý các điều kiện sau đây là t-ơng
đ-ơng:
(1) E(S)là một băng chữ nhật.
(2) ( a, b S) (W(a)  W(b) ≠ Ø)  W(a) = W(b)
(3) E(S) là một băng và W(a) = V(a) đối với a Reg(S).
Chú ý rằng ảnh đồng cấu của một E - nửa nhóm E - ng-ợc không nhất
là mét E - nưa nhãm. Gi¶ sư T = { a, b, c, d} là một nửa nhóm đ-ợc cho bëi
b¶ng Cayley:
a

a

b

c

d

a

a

a

a

17


b

a

a

b

a

c

a

a

c

a

d

a

b

b

d

Thế thì T là một nửa nhóm E - ng-ợc nh-ng E(T) không tạo thành một
nửa nhóm con của T. Giả sử S là một nửa nhóm tự do trên tập hợp {a, b, c, d}
với một phần tử không đ-ợc bổ sung. Thế thì S là một nửa nhóm E - ng-ợc,
E(S) = {0} là một nửa nhóm con của S, và T là ảnh đồng cấu của S theo Howie
(1995).
Ng-ợc lại, nếu S là một E- nửa nhóm chính quy suy rộng thì bổ đề
Lallement đúng, do đó mỗi ảnh đồng cấu của S là một E - nửa nhóm chính
quy suy rộng.
2.2. T-ơng đẳng nhóm và t-ơng đẳng dàn
trên E - nửa nhóm E - ng-ợc

2.2.1. T-ơng đẳng nhóm nhỏ nhất

Sự tồn tại của t-ơng đẳng nhóm nhỏ nhất trên các nửa nhóm E - ng-ợc
đà đ-ợc chứng minh bởi Hall và Munn (1985). Năm 1990, Mutsch đà đ-a ra
một sự mô tả chi tiết về t-ơng đẳng này. Hơn nữa, các đặc tr-ng của t-ơng đẳng
nhóm nhỏ nhất trên các nửa nhóm E - ng-ợc có thể tìm thấy trong Zheng
(1997).
T-ơng đẳng nhóm nhỏ nhất ở trên các E - nửa nhóm E - ng-ợc đà đ-ợc
đặc tr-ng bởi S. Reither vào năm 1994. Giả sử S là một E - nửa nhóm E ng-ợc, thế thì đối với a, b S:
a b e, f E(S): ea = bf.
Mệnh đề sau đây đ-a ra một cách mô tả khác.
2.2.1.1. Mệnh đề. Giả sử S là một E- nửa nhóm E - ng-ợc. Thế thì t-ơng đẳng
nhóm nhỏ nhất trên S đ-ợc cho bëi

18


a  b  W(a)  W(b) ≠ Ø.
Chøng minh. Gi¶ sư a, b  S sao cho a 

b. Thế thì theo ther, tồn tại e,f

E(S) sao cho ea = bf. Gi¶ sư a,  W(a). Ta cã: fa,e  W(a) vµ fa,e.b. fa,e =
fa,e.bf. fa,e = fa,e.ea. fa,e = fa,e.a. fa,e = fa,e. Do ®ã fa,e  W(b), suy ra W(a)
W(b) ỉ.
Đảo lại, giả sử x  W(a)  W(b) ≠ Ø. ThÕ th× bx và xa thuộc E(S) sao
cho bx.a = b.xa, do đó theo S.Reither a b.
Chú ý 1. T-ơng đẳng trên nửa nhóm S đ-ợc gọi là t-ơng đẳng nhóm nÕu
S /  lµ mét nhãm.
Chó ý 2. NhËn xÐt rằng trên nửa nhóm E - ng-ợc S mà E(S) không phải là một
nửa nhóm con, quan hệ afb W(a)  W(b) ≠ Ø (a,b  S) nãi chung không
phải là một t-ơng đẳng ( thậm chí không phải là một quan hệ t-ơng đ-ơng).

Nửa nhóm S đ-ợc cho bởi bảng nhân Cayley:
s

a

b

c

d

e

f

g

h

a

a

c

c

f

g

f

g

a

b

d

b

e

d

e

h

b

h

c

f

c

g

f

g

a

c

a

d

d

e

e

h

b

h

b

d

e

h

e

b

h

b

d

e

d

f

f

g

g

a

c

a

c

f

g

a

g

c

a

c

f

g

f

h

h

b

b

d

e

d

e

h

là một nửa nhóm E - ng-ợc, víi W(a) = {a, e, g, h}, W(b) = { b, f, g, h},
W(f)= { b, c, d, f }. Nh- vËy a  b, b  f nh-ng ( a, f) .
Trên một nửa nhóm orthodox, t-ơng đẳng ng-ợc nhỏ nhất đ-ợc cho bởi
= {(a,b) S x S: V(a)   V(b) ≠ Ø}.
(Chó ý: T-ơng đẳng f trên nửa nhóm S đ-ợc gọi là t-ơng đẳng ng-ợc nếu S /
f là một nửa nhóm ng-ỵc).

19


Mệnh đề 2.1.1 chứng tỏ rằng nếu trong đẳng thức trên chúng ta thay thế các
tập V(a) và V(b) bởi các tập W(a) và W(b) t-ơng ứng và nếu đối víi S chóng
ta lÊy mét E- ng-ỵc thay thÕ nưa nhóm orthodox, chúng ta nhận đ-ợc t-ơng
đẳng nhóm nhất trên S. Ngoµi ra quan hƯ  = {(a, b)  S x S: W(a)  W(b)
≠ Ø} vµ {(a, b)  S: W(a) = W(b)} chØ trïng nhau trong tr-êng hợp sau.
2.2.1.2. Hệ quả. Giả sử S là một nửa nhóm E - ng-ợc thế thì t-ơng đẳng
trên S cho bëi  = {(a, b)  S x S: W(a) = W(b)} nếu và chỉ nếu E(S) là một

băng chữ nhật.
Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử e, f E(S)., vì là t-ơng đẳng nhóm nên
e f. Theo giả thiết, W(e) = W(f) vì e W(e) = W(f) nên efe = e, nh- vậy
E(s) là một băng chữ nhật.
Điều kiện đủ. Giả sử a b . Theo mƯnh ®Ị 2.2.1.1 W(a)  W(b) ≠ ỉ,
do đó theo 1.4, W(a) = W(b). Đảo lại, nếu W(a) = W(b) th× W(a)  W(b) =
W(a) ≠ Ø nên theo mệnh đề 2. 2.1.1 có a b.
2.2.2. T-ơng đẳng nửa dàn
Ta nhắc lại rằng một t-ơng đẳng trên nửa nhóm S đ-ợc gọi là t-ơng
đẳng nửa dàn, nếu S / là một nửa dàn.
Năm 1966, J.M.Howie và G.Lallement [11] đà chứng minh đ-ợc rằng
t-ơng đẳng nửa dàn bé nhất trên một nửa nhóm chính quy S đ-ợc cho bởi
d#, t-ơng đẳng sinh bởi quan hƯ Green d, vµ bao hµm thøc d#  ŋ đúng với
nửa nhóm tùy ý. Hơn nữa, trên nửa nhóm E - ng-ợc, nói chung d# không phải
là t-ơng đẳng nửa dàn; chẳng hạn lấy một nửa nhóm các phần tử không S tùy
ý, thế thì d# = iS và do ®ã ®èi víi a ≠ 0 tïy ý, ta có a 2 = 0i/Sa nên d# không
phải là t-ơng đẳng nửa dàn.
Trên các E- nửa nhóm E- ng-ợc, bằng cách sử dụng d# , một t-ơng
đẳng nửa dàn có thể đ-ợc xác định mà trên các E - nửa nhóm chính quy suy
rộng nó trùng với t-ơng đẳng nửa dµn nhá nhÊt.

20


2.2.2.1. Định lý. Giả sử S là một E - nửa nhóm E - ng-ợc và là một t-ơng
,

đẳng trên S chứa d. Thế thì quan hệ cho bëi: a  b  (  a ,  W(a),  b 
,

,

W(b) sao cho a ,  b;  b  W(b),  a ,  W(a) sao cho a , b ) là một t-ơng
đẳng nửa dàn trên S sao cho | Re g ( s ) =  | Re g ( s ) ).
Chứng minh. Rõ ràng là một quan hệ t-ơng đ-ơng.
Giả sử a b và c S. Giả sử x W(ac). Khi đó tồn tại a ,  W(a),
c ,  W(c) sao cho x = a , c , . Theo định nghĩa của , tån t¹i b  W(b) sao cho
,

,

a ,  . Vì là một t-ơng đẳng nên x = c , a ,  c , b vµ theo 1.2, c , b  W(bc).
T-¬ng tù cã thĨ chøng minh đ-ợc rằng đối với x W(bc) tồn tại y  W(ac) sao
cho x  y. Do ®ã ac  bc và ổn định phải. Tính ổn định trái của đ-ợc
chứng minh t-ơng tự.
Giả sử a S, a ,  W(a). ThÕ th× a , a r a , và do đó theo giả thiết a , a a , .
Vì là t-ơng đẳng nên a , = a , a a ,  a , a , ; khi ®ã a , a’  W(a 2 ). Đảo lại, giả sử
x W(a 2 ), đặt y = ax vì yay = a. xaax= ax = y nên y là nghịch đảo yếu của a.
Tõ a.x = y, xa.y= xaax = x suy ra xly, do ®ã x  y. Nh- vËy ta ®· chứng minh
đ-ợc a a 2 , nghĩa là là một t-ơng đẳng băng.
,

Bây giờ, giả sử a, b S và x W(ab). Khi đó tồn tại a ,  W(a), b 
,

,

W(b) sao cho x = b a , rõ ràng a , và b đ-ợc chứa trong Reg(S). Vì Reg(S) là
một nửa nhóm orthodox của S nên ( dReg(s))# là t-ơng đẳng nửa dàn nhỏ nhất
trên Reg(S), do đó ba ( dReg(s))# ab. Theo Howie(1995), ( dReg(s))#  (dS)#

  , do ®ã x = b , a ,  a , b , , ta cã a , b ,  W(ba). T-¬ng tù ta có thể chứng

minh rằng đối với mỗi x W(ba) tån t¹i y  W(ba) sao cho x  y. Do đó ab
ba, và là t-ơng đẳng nửa dàn.
Giả sử a,b Reg(S) với a b. Gi¶ sư a ,  W(a), b *  W(b) tïy ý. ThÕ
th× a , = a , aa ,  a , ba , = a , b b * b a ,  a , a b * a a , trong ®ã a , a b * a a ,  W(b) (
xem 1.3(1)). T-¬ng tù, ta có thể chứng minh đ-ợc rằng đối với mỗi b ,  W(b)
tån t¹i a ,  W(a) sao cho a ,  b , nh- vËy a  b vµ  | Re g ( s )   |

Re g ( s )

.

21


Giả sử a, b Reg(S) và a b. Gi¶ sư a *  V (a)  W(a). ThÕ thì tồn tại
b * W(b) sao cho a * b , . Vì (dReg(s))# là một t-ơng đẳng nửa dàn trên Reg(S),
do đó s(dReg(s))# s 2 và st (dReg(s))# ts ®èi víi mäi st  Reg(S). Tõ (dReg(s))#  (d s)#
  suy ra s  s 2 , st ρ ts ®èi víi mäi s,t  Reg(S). Do ®ã

a = aa* a  aaa*  aa*  a b , = a b , b b ,
 a b , b , b  a b , b  aa*b  aaa*b  aa*ab = ab.

T-¬ng tù, chúng ta có thể chứng minh đ-ợc rằng b ab, từ đó a b và
nh- vậy:
| Re g ( s ) =  | Re g ( s ) .

2.2.2.2. Hệ quả. Giả sử S là một E - nửa nhóm E - ng-ợc. Thế thì quan hÖ 
cho bëi.

a b  (  a’ W(a),  b ,  W(b) ,  b’ W(b),  a’ W(a) sao cho ad# b) là
một t-ơng đẳng nửa dàn trên S và | Re g ( s ) = d#| Re g ( s ) . NÕu S là một nửa nhóm
chính quy suy rộng thì là t-ơng đẳng dàn nhỏ nhất trên S.
Chứng minh. Phần thứ nhất của hệ quả đ-ợc suy ra trực tiếp từ định lý 2.2.2.1.
Giả sử S là một E nửa nhóm chính quy suy rộng, là một t-ơng đẳng
nửa dàn trên S và a b. Vì S là nửa nhóm chính quy suy rộng nên tồn tại các số
tự nhiªn n, m sao cho an , bn  Reg(S). V×
an a b bm. V×



/ Re g ( s ) = d# /

Re g ( s )

là

một t-ơng đẳng nửa dàn nên

và vì mỗi t-ơng đẳng nửa dàn đều chứa

d# nên ta có an bn. Vì là một t-ơng đẳng nửa dàn nên a an bm b do đó
.

2.3. T-ơng đẳng chính quy và t-ơng đẳng tách
lũy đẳng trên E- nửa nhóm E- ng-ợc

2.3.1. Các t-ơng đẳng chính quy

22

2.3.1.1. Định nghĩa. T-ơng đẳng trên nửa nhóm S đ-ợc gọi là t-ơng đẳng
chính quy nếu S / là nửa nhóm chính quy.
Mục đích chính của tiết này nhằm tìm t-ơng đẳng chính quy trên các
nửa nhóm E - ng-ợc. Tr-ớc tiên chúng tôi chỉ ra rằng trên một E- nửa nhóm
E - ng-ợc hay thậm chí trên mét E - nöa nhãm chÝnh quy suy réng mét t-ơng
đẳng chính quy nói chung không tồn tại.
2.3.1.2. Ví dụ.
Giả sử S là một nửa nhóm đ-ợc cho bởi bảng Cayley.
S

a

b

c

d

e

f

g

a

e

g

a

e

e

g

e

b

c

d

e

d

e

e

f

c

e

f

c

e

e

f

e

d

e

d

e

d

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

f

c

e

e

e

e

e

f

g

a

e

e

e

e

e

g

Thế thì S là một nửa nhóm chính quy ruy rộng với các lũy đẳng giao
hoán. E(S) = {c, d, e, g}, Reg(S) = {a, c, d. e, f, g}, nghĩa là b là phần tử
duy nhất không chính quy của S. Các phân hoạch {{b, d}, {a, c, e, f, g}}
và {{b, f},{a}, {e},{d, e}, {g,}} xác định các t-ơng đẳng chính quy 1 và
2 trên S (mỗi

1

- lớp và mỗi 2 - lớp chứa một phần tử chính quy của S).

Giả thiết rằng tồn tại một t-ơng đẳng chính quy nhỏ nhất trên S. Thế thì
đ-ợc chứa trong giao của 1 vµ  2 . Nh-ng  1  

2

lµ quan hệ đồng nhất

i s và do đó = i s , mâu thuẫn vì S không chính quy.
Chúng ta sẽ sử dụng thứ tự bộ phận tự nhiên để định nghĩa hai t-ơng
đẳng chính quy trên các nửa nhóm E - ng-ỵc cho tr-íc.

23


Nhắc lại rằng thứ tự bộ phận tự nhiên trên một nửa nhóm S đ-ợc xác định
bởi a b nÕu vµ chØ nÕu a = xb = by, xa = a = ay ®èi víi x, y  S1 nào đó.
Cái thu hẹp của thứ tự đó trên E(S) là quan hệ quen thuộc trên các lũy đẳng
của S: e ≤ f nÕu vµ chØ nÕu e = ef = fe.
NÕu a,b  S vµ a  Reg(S) thì a b nếu và chỉ nếu a = eb = bf đối
với e, f E(S) nào đó (Reither, 1994).
Thứ tự bộ phận tự nhiên đ-ợc gọi là tầm th-ờng nếu tất cả các phần tử
không so sánh đ-ợc.
2.3.1.3. Bổ đề. Giả sử S là một nửa nhóm. Gi¶ sư a  S, a , a*  W(a) sao cho
a , ≤ a*. ThÕ th× a , a a*a và aa , aa*.
Đối với nửa nhóm chÝnh quy suy réng ta cã kÕt qu¶ sau.
2.3.1.4. Bỉ đề. Giả sử S là một nửa nhóm chính quy suy rộng, là một t-ơng
đẳng trên S và a, b  S. NÕu b   W(a  ) thì tồn tại a , W(a) sao cho
a , b.
2.3.1.5. Bổ đề. Giả sử là một t-ơng đẳng trên nửa nhóm chính quy suy rộng
S. Thế thì là t-ơng đẳng chính quy nếu và chỉ nếu mỗi a S tồn tại a ,
W(a) sao cho a  a a , a.
Chøng minh. §iỊu kiƯn cần. Theo giả thiết ta có V(a ) Ø. Gi¶ sư b   V(a  ) 

W(a ). Thế thì tồn tại a , W(a) sao cho a , b, và do đó a  = (a  ) (b  )
(a  ) = (a  ) (a ,  ) (a  ) = (a a , a) .
Điều kiện đủ: hiển nhiên.
Đối với nửa nhóm tùy ý, ta có kết quả sau.
2.3.1.6. Bổ đề. Giả sử S là một nửa nhóm và là một t-ơng đẳng trên S, giả
sử a  S vµ a , a*  W(a) víi a , ≤ a*. ThÕ th× a  a a*a.
Chøng minh: Theo bỉ ®Ị 2.3.1.3 a , ≤ a* kÐo theo a , a ≤ a*a, do ®ã a a*a  a a , a.
a*a = a a , a a*a = a a , a  a.
Tõ bỉ ®Ị 2.3.1.4 và bổ đề 2.3.1.5 suy ra: Để đạt đ-ợc một t-ơng đẳng
chính quy nhỏ nhất có thể trên nửa nhóm chính quy S cần liên hệ mỗi phần tử

24


không chính quy a S với phần tử a a , a  Reg(S) sao cho a ,  W(a) lµ lín
nhÊt cã thĨ trong thø tù bé phËn tự nhiên và để tạo ra t-ơng đẳng đ-ợc sinh ra
bëi quan hƯ Êy.
Trong nưa nhãm chÝnh quy suy réng S sao cho đối với mỗi s S, tập
hợp W(s) của các nghịch đảo yếu của s chứa phần tử lớn nhất rõ ràng chúng ta
sẽ chọn phần tử a , lín nhÊt thc W(a).
VÝ dơ trong tiÕt 3 (2.3.1.2) chỉ ra trong các nửa nhóm E - ng-ợc, các tập
hợp E(S) nói chung không có phần tử cực đại. Rõ ràng nếu S là một nửa nhóm
hữu hạn hay mét nưa nhãm E - ng-ỵc chøa mét sè hữu hạn phần tử chính quy
mỗi W(a) (a S) chứa một phần tử tối đại. Hơn nữa, các ví dụ đối với các nửa
nhóm E - ng-ợc với tính chất đó cho bởi định lý sau.
2.3.1.6. Định lý. Trong các nửa nhóm sau đây mỗi W(a) (a S) có ( ít nhất ) một
phần tử tối đại.
(1) Các nưa nhãm chÝnh quy.
(2) C¸c nưa nhãm chÝnh quy suy réng S sao cho Reg(S) lµ mét nưa
nhãm con hoµn toàn chính quy.

(3) Các nửa nhóm E - ng-ợc sao cho E(S)thỏa mÃn điều kiện tối đại
(nghĩa là mỗi chuỗi tăng của các lũy đẳng bắt đầu từ một phần tử
e E (S) tùy ý là hữu hạn).
Chứng minh. (1) Xem [mệnh đề 2.3.1.3]
(2). Xin nhắc lại rằng một nửa nhóm S đ-ợc gọi là mở rộng
idean của nửa nhãm T bëi nưa nhãm Q víi Zero nÕu T lµ mét idean cđa S vµ
S / T - nưa nhóm th-ơng Rees của S bởi T đẳng cấu với Q. Một nửa nhóm S
với Zero đ-ợc gọi là nửa nhóm lũy linh nếu đối với mỗi a S, tồn tại n
sao cho a n = e.
Giả sư S lµ mét nưa nhãm chÝnh quy suy réng sao cho Reg(S) lµ mét
nưa nhãm con hoµn toµn chÝnh quy cđa S, thÕ th× theo Shevrin ( 1995), S là
một nửa dàn Y của các mở rộng iđêan S ( Y) của các nửa nhóm đơn

25


hoàn toàn T bởi các nửa nhóm lũy linh Q . Rõ ràng không có một Q nào
chứa phần tử lũy đẳng khác Zero, do đó Reg(S α ) = T α víi mäi α  Y.
Gi¶ sử a S là một phần tử tùy ý, a  S α víi mét α  Y nµo đó. Vì S
là một mở rộng của nửa nhóm E- ng-ợc, nên theo Mitsh và Petrich, S cũng
là nửa nhóm E - ng-ợc. Nh- vậy tồn tại a  W(a)  Reg(S α ) = W(a)  T .
Chúng ta chứng tỏ rằng a , là phần tử tối đại của W(a). Giả sử y W(a) víi a , ≤
y, nghÜa lµ a , = ey = yf đối với e, f E(S) nào đó. NÕu β, γ Y víi y  S β , e


S γ th× S α = S β γ , do ®ã α ≤ β. Tõ yay = y suy ra S β = S β  β , nh- vËy β ≤ α

suy ra α = β vµ y W(a) S , chính xác hơn: y  W(a)  T α . Ta cã a , = ey =
eya.y = a , a.y = yf = y.ayf = y.a a , trong ®ã a , a, a a , E(s)  S α = E(T α ). Do ®ã
a , ≤ α y trong T α theo quan hƯ thø tù bé phËn tù nhiªn ≤ trên T . Vì S là

đơn hoàn toàn, là thứ tự tầm th-ờng trên S . Từ đó = y.
(3) Giả thiết rằng a S sao cho W(a) không chứa một phần tử tối đại, nghĩa là
tồn tại các phần tử an  W(a) (n  ) sao cho a n ≤ an+1 đối với mọi n .
Đặt e n = a n a. Theo bỉ ®Ị 3.1.4, e n ≤ e n + 1 ®èi víi mäi n   chính
xác hơn, e n e n + 1 đối víi mäi n  , v× e n = en n + 1   bÊt kú) sÏ
kÐo theo

a n = a n .a a n = a n .a a n a a an+1 (

a n ≤ an+1 theo bỉ ®Ị

2.3.1.2) = a n a. an+1 = e n an+1 = en+1 an+1 = an+1 a an+1 = an+1 mâu thuẫn với
an< an+1 đối với mọi n . Nh- vậy, bằng mâu thuẫn với giả thiết, E(S) chứa
một dÃy tăng vô hạn.
Chú ý. Các ví dụ đối với các nửa nhóm dạng 3.3.6(3) là các nửa nhóm
E - ng-ợc S với E(S) hữu hạn hay đ-ợc sắp thứ tự tầm th-ờng.
Tiếp theo, trên các nửa nhóm E- ng-ợc S sao cho mỗi W(a) (a S) có
một phần tử tối đại, chúng ta sẽ xây dựng hai t-ơng đẳng chính quy, mà trên
các nhóm chính quy nào đó trùng với quan hệ đồng nhất.
2.3.1.7. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm E- ng-ợc sao cho mỗi W(a) (a
S) có một phần tử tối đại. Nếu ta định nghĩa a 1 b z  W(a)  W(b) sao
cho

26


{x  W(a): x  z}= { x  W(b): x z }.
Thế thì # là một t-ơng đẳng chính quy trên S. Nếu S còn là một E - nửa
nhóm, thế thì

#
1

là một t-ơng đẳng ng-ợc trên S.

Chứng minh. Giả sử a S và a , W(a) là phần tử tối đại của W(a). Thế thì a
aa Reg(S) và chúng ta sẽ chứng tá r»ng a  1 a a , a, chÝnh xác hơn đối với
a , W(a) W(a a , a) ta cã { x  W(a): x  a’}= {x  W(a a , a): x ≥ a , }. Gi¶
sư x  W(a), x ≥ a , , theo giả thiết (a , tối đại trong W(a)), x = a , , tõ ®ã x
 W(a

a , a) với x a , . Đảo lại, giả sö x  W(a a , a), x ≥ a , thế thì, vì a

W(a), từ bổ đề 3.1.2 suy ra aa , a.x ≥ aa , a.a , = a a , , trong ®ã a a’, a
a , ax  E(S). Suy ra xax = xa a , ax.ax = x.a a , ax.ax= x. a a’.ax=
x.a a , a.x= x, nghÜa lµ x  W(a) víi x ≥ a , . Nh- vËy ta ®· chøng minh
đ-ợc rằng mỗi 1 #- lớp chứa một phần tử chính quy do đó

#
1

là một t-ơng

đẳng chính quy.
Bây giờ giả thiết rằng S cũng là một E - nửa nhóm. Vì mỗi
chứa một phần tử chính quy, nên
với a

#
1

,b

#
1



#
1

#
1

- lớp

là một toàn ánh - lũy đẳng, nghĩa là đối

E(S / 1 #) bất kú tån t¹i e, f  E(S) víi e  1 #a, f  1 #.

Theo 2.1.3 (4), W(ef) = W(fe), do ®ã ef  1 fe, tõ ®ã
(a  1 #)(b  1 #)= (ef)# = (fe)#= (b  1 #)( a 1 #) nh- vậy

#
1

là một

t-ơng đẳng ng-ợc trên S.
2.3.1.8. Mệnh đề. Nếu S là một nửa nhóm ng-ợc thì 1 = is.

Chứng minh. Giả sử a 1 b, thế thì tồn tại z  W(a)  W(b) sao cho: {x 
W(a): x  z}= { x  W(b): x  z }. Suy ra phần tử nghịch đảo a-1 của a là
phần tử lớn nhất của W(a), nên a-1 z, nghĩa là a-1  {x  W(a): x  z}. Tõ
gi¶ thiÕt suy ra a-1 W(b), vì b-1 là phần tử lớn nhất của W(b) nên a-1 b-1, do
đó a-1 = b-1. Tính duy nhất của phần tử nghịch đảo trong S, suy ra a = b.
2.3.1.9. Định lý. Giả sử S là một nửa nhóm E - ng-ợc sao cho mỗi W(a) (a


S) có một phần tử tối đại. Nếu ta định nghĩa a 2 b z  W(a) 

27