Không gian khả mêtric, không gian g trải và ảnh của không gian mêtric qua các ánh xạ phủ

0

MỤC LỤC

Mục lục

0

1

3

Không gian sn-khả mêtric và các ánh xạ phủ compact

1.1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Các không gian sn-khả mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3. Các không gian sn-khả mêtric và ảnh compact thương của không
gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Không gian g-trải và ánh xạ phủ dãy
2.1. Không gian g-trải và không gian o-mêtric
2.2. Không gian g-trải và ánh xạ phủ dãy
Kết luận

31
. . . . . . . . . . . . 31

. . . . . . . . . . . . . . 33
43

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44


1

LỜI NĨI ĐẦU

Khơng gian mêtric là một khơng gian tơpơ đặc biệt có nhiều tính chất và
trực quan. Người ta thường mở rộng không gian mêtric bằng cách giảm bớt
các điều kiện trong định nghĩa của nó để đạt được những lớp khơng gian tổng
qt hơn. Với cách làm đó người ta đã đưa ra được các định nghĩa không gian
giả mêtric, nửa mêtric, o-mêtric, sn-khả mêtric,... Những người đạt được các
kết quả trong lĩnh vực này phải kể đến là Zhiming Luo, Y.Tanaka, Shouli,
Y.Ge,... Trong khi nghiên cứu các ánh xạ đặc biệt giữa các không gian tôpô
và các khơng gian nói trên có một hướng nghiên cứu đã và đang được các
nhà tốn học quan tâm là tìm các điều kiện để cho một khơng gian nào đó
là ảnh của không gian mêtric qua các ánh xạ đặc biệt.
Mục đích của luận văn là tiếp cận hướng nghiên cứu này để tìm hiểu và
nghiên cứu các tính chất của các không gian sn-khả mêtric, không gian g-trải,
đồng thời nghiên cứu các điều kiện để các không gian này là ảnh compact
thương, phủ dãy, phủ compact, π, σ -ảnh,... của một khơng gian mêtric.
Với mục đích đó, Luận văn được chia làm hai chương.
Chương 1. Không gian sn-khả mêtric và các ánh xạ phủ
compact
Trong chương này, mục thứ nhất chúng tơi trình bày một số khái niệm
và các tính chất cơ bản cần dùng trong luận văn.

Mục thứ hai trình bày khái niệm và một số tính chất của khơng gian
sn-khả mêtric.
Mục thứ ba trình bày các khái niệm của các ánh xạ đặc biệt như π -ánh
xạ, σ -ánh xạ, ánh xạ thương, thương dãy, phủ dãy, ... và các điều kiện để


2

không gian sn-khả mêtric là ảnh của một không gian mêtric qua các ánh xạ
đặc biệt trên.
Chương 2. Không gian g-trải và ánh xạ phủ dãy
Trong chương này, mục thứ nhất chúng tơi trình bày khái niệm và các
tính chất của không gian g-trải, không gian o-mêtric và mối quan hệ giữa
chúng.
Mục thứ hai trình bày các điều kiện để không gian g-trải là ảnh của một
không gian mêtric qua các ánh xạ đặc biệt.
Các kết quả trong luận văn chủ yếu là đã có trong các tài liệu tham khảo,
chúng tơi đã hệ thống trình bày theo bố cục mới, chứng minh chi tiết các
kết quả mà trong các tài liệu khơng chứng minh hoặc chứng minh cịn vắn
tắt. Bên cạnh đó chúng tơi cũng đưa ra một số kết quả mới như: Định lí
1.2.12, Định lí 1.2.13, Định lí 1.2.15.
Luận văn được hồn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo PGS. TS. Đinh Huy Hồng. Tác giả xin bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Thầy. Nhân dịp này, tác giả xin chân
thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn, khoa Sau Đại học và các Thầy, Cơ
giáo trong khoa đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trường.
Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình,bạn bè và các bạn học viên Cao học khố
15 - Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành nhiệm vụ
trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song Luận văn khơng tránh khỏi những thiếu

sót, kính mong qúy Thầy Cơ và bạn đọc góp ý để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2009
Tác giả


3

CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN SN-KHẢ MÊTRIC VÀ CÁC ÁNH XẠ PHỦ
COMPACT

1.1

Kiến thức chuẩn bị

Mục này dành cho việc giới thiệu các khái niệm cơ bản và các kết quả
đã có cần dùng trong luận văn. Trong luận văn này nếu không giải thích gì
thêm thì các khơng gian được hiểu là T1 và chính quy cịn các ánh xạ là tồn
ánh và liên tục.
1.1.1 Định nghĩa. Giả sử P là họ các tập con của không gian tôpô X .
(1) Họ P được gọi là đếm được theo điểm (tương ứng hữu hạn theo
điểm) nếu với mỗi a ∈ X thì
Pa = {P ∈ P : a ∈ P }

là tập đếm được (tương ứng là tập hữu hạn).
(2) Họ P được gọi là hữu hạn địa phương (tương ứng rời rạc, đếm được
địa phương) nếu với mỗi a ∈ X thì tồn tại lân cận U của a sao cho
P = {P ∈ P : P ∩ U = ∅}

là tập hữu hạn (tương ứng có khơng q một phần tử, không quá đếm được).
(3) Họ P được gọi là sao-đếm được nếu mỗi Po ∈ P thì
P(Po ) = {P ∈ P : P ∩ Po = ∅}

là tập đếm được.


4

(4) Họ P = {Pα : α ∈ Λ} được gọi là bảo tồn phép lấy bao đóng di
truyền hay đơn giản là HCP nếu
cl(∪{Bα : α ∈ Λ }) = ∪{clBα : α ∈ Λ },

với bất kì Λ ⊂ Λ và Bα ⊂ Pα với mọi α ∈ Λ , trong đó clB là kí hiệu bao
đóng của tập B .
(5) P là họ σ -(p) nếu P =

{Pn : n ∈ N∗ }, trong đó Pn là họ có tính

chất (p) với mọi n ∈ N.
(6) Khơng gian tôpô X được gọi là k-không gian nếu X được xác định
bởi một phủ gồm các tập con compact.
1.1.2 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô và P ⊂ X .
(1) Dãy{xn } được gọi là nằm trong P từ một lúc nào đó nếu xn −→ x
và tồn tại m ∈ N sao cho
{xn : n

m} ∪ {x} ⊂ P.

(2) Dãy {xn } được gọi là thường xuyên gặp P nếu có một dãy con nào

đó của {xn } nằm trong P từ một lúc nào đó.
1.1.3 Định nghĩa. Giả sử P là phủ của khơng gian tôpô X .
(1) P được gọi là lưới tại x nếu mỗi U mở trong X , x ∈ X đều tồn tại
P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U .
P được gọi là lưới của X nếu nó là lưới tại mọi điểm x ∈ X .

(2) P được gọi là k-lưới của X nếu mỗi tập compact K và mỗi lân cận
V của K , tồn tại họ con hữu hạn F của P sao cho K ⊂ ∪F ⊂ V , trong đó
∪F = ∪{P : P ∈ F}.

(3) P được gọi là cs-lưới (tương ứng cs∗ -lưới) của X nếu với mỗi dãy
{xn } trong X hội tụ tới x ∈ X và mỗi lân cận U của x đều tồn tại P ∈ P

sao cho P ⊂ U và {xn } ở trong P từ một lúc nào đó (tương ứng thường
xuyên gặp P ).
(4) X được gọi là ℵ-không gian nếu X có k-lưới σ -hữu hạn địa phương.


5

1.1.4 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, x ∈ X và P ⊂ X .
(1) Tập P ⊂ X được gọi là lân cận dãy của x nếu mọi dãy hội tụ đến x
đều nằm trong P từ một lúc nào đó.
(2) Tập P ⊂ X được gọi là mở dãy trong X nếu P là lân cận dãy của
mọi điểm thuộc P .
(3) X được gọi là không gian dãy nếu mỗi tập mở dãy của X là mở trong
X.

(4) X được gọi là không gian paracompact nếu mỗi phủ mở của X tồn
tại một các mịn hữu hạn địa phương mở.

1.1.5 Định nghĩa. Giả sử P là phủ của không gian tôpô X .
(1) P được gọi là cs-phủ (tương ứng cs∗ -phủ ) nếu mọi dãy hội tụ đều
nằm trong P từ một lúc nào đó (tương ứng thường xuyên gặp P ), với P ∈ P
nào đó.
(2) P được gọi là sn-phủ nếu với mỗi P ∈ P thì P là lân cận dãy của
điểm x nào đó thuộc X , và với mỗi x ∈ X đều tồn tại P ∈ P sao cho P là
lân cận dãy của x.
(3) P được gọi là cfp-phủ của tập compact K ⊂ X nếu họ hữu hạn
{Kα : α ∈ J} các tập con đóng của K và {Pα : α ∈ J} ⊂ P sao cho
K = ∪{Kα : α ∈ J} và Kα ⊂ Pα với mọi α ∈ J.
P được gọi là cfp-phủ của X nếu bất kì tập con compact K nào của X

đều tồn tại tập hữu hạn P∗ ⊂ P sao cho P∗ là cfp-phủ của K trong X .
1.1.6 Định nghĩa. (1) Giả sử P =

{Px : x ∈ X} là phủ của X , thoả

mãn hai điều kiện sau
(i) Px là lưới tại x với mỗi x ∈ X nghĩa là x ∈ ∩Px và mỗi lân cận
U của x tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ U , trong đó ta viết ∩Px thay cho
∩{P : P ∈ Px };

(ii) Với mọi P1 , P2 ∈ Px , tồn tại P3 ∈ Px sao cho P3 ⊂ P1 ∩ P2 ;
(1) P được gọi là một sn-lưới của X nếu với mọi x ∈ X thì mỗi phần tử
thuộc Px là lân cận dãy của x. Khi đó ta cũng gọi Px là sn-lưới tại x.


6

(2) P được gọi là cơ sở yếu của X nếu với G ⊂ X, x ∈ G, tồn tại P ∈ Px

sao cho P ⊂ G thì G là tập mở trong X . Khi đó Px được gọi là cơ sở lân
cận yếu tại x và mỗi phần tử của Px được gọi là lân cận yếu của x.
1.1.7 Định nghĩa. Giả sử {Pn } là dãy các phủ của không gian tôpô X .
(1) {Pn } được gọi là lưới sao-điểm của X nếu với mỗi x ∈ X thì
{st(x, Pn ) : n ∈ N} là lưới tại x trong X .

(2) {Pn } được gọi là sn-lưới sao-điểm của X nếu với mỗi x ∈ X thì
{st(x, Pn ) : n ∈ N} là sn-lưới tại x trong X .

(3) {Pn } được gọi là dãy các phủ trải được yếu của X nếu với mỗi x ∈ X
thì {st(x, Pn ) : n ∈ N} cơ sở lân cận yếu của X .
Trong đó st(x, Pn ) = ∪{P ∈ Pn : x ∈ P }.
1.1.8 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, P(X) là họ tất cả các
tập con của X và ánh xạ g : N × X −→ P(X). Ánh xạ g được gọi là ánh
xạ phủ mở yếu đếm được và viết tắt là CW C -ánh xạ nếu
(i) x ∈ g(n, x) với mọi x ∈ X , với mọi n ∈ N;
(ii) g(n + 1, x) ⊂ g(n, x) với mọi x ∈ X và với mọi n ∈ N;
(iii) Tập con U của X là mở nếu với mỗi x ∈ U tồn tại n ∈ N sao cho
g(n, x) ⊂ U .

1.1.9 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô và P là phủ của X , với
mỗi họ con F của P , ta kí hiệu
Ints (∪F) = {x ∈ X : ∪F là lân cận dãy của x }.
P được gọi là có tính chất (B) nếu với mọi x ∈ X , mọi lân cận U của x

tồn tại họ con hữu hạn F của P sao cho
(i) x ∈ Ints (∪F) ⊂ ∪F ⊂ U ;
(ii) x ∈ ∩F.

7

1.2

Các không gian sn-khả mêtric

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm và tính chất của
khơng gian sn-khả mêtric.
1.2.1 Định nghĩa. Giả sử X là một không gian tôpô.
(1) Không gian X được gọi là sn-khả mêtric nếu X có sn-lưới σ -hữu hạn

địa phương.
(2) Khơng gian X được gọi là snf-đếm được nếu X có sn-lưới
P = ∪{Px : x ∈ X}

sao cho mỗi Px là họ đếm được.
1.2.2 Bổ đề ([9]). Giả sử X là khơng gian tơpơ.Khi đó các điều kiện
sau là tương đương.
(1) X là khơng gian sn-khả mêtric.
(2) X có sn-lưới σ -rời rạc.
(3) X là không gian snf-đếm được và ℵ-không gian.

1.2.3 Định lý ([9]). Mỗi khơng gian có sn-lưới đếm được địa phương là
không gian sn-khả mêtric.
Chứng minh. Giả sử X là khơng gian có sn-lưới đếm được địa phương
P = ∪{Px : x ∈ X}.

Vì P là tập đếm được địa phương nên mỗi Px là tập đếm được, do đó X là
khơng gian snf-đếm được. Mặt khác P là sn-lưới nên P là cs-lưới. Thật vậy,
giả sử {xn } là dãy trong X và xn → x và V là lân cận mở của x. Khi đó, vì

P là sn-lưới nên tồn tại P ∈ Px sao cho x ∈ P ⊂ V . Từ P là lân cận dãy

của x suy ra tồn tại no ∈ N sao cho xn ∈ P với mọi n

no . Do đó

{xn : n ≥ no } ∪ {x} ⊂ P ⊂ V.

Vậy P là cs-lưới đếm được địa phương của X . Theo [4] (Bổ đề 2.9) thì P là
k-lưới. Vì thế X là khơng gian snf-đếm được với k-lưới đếm được địa phương.


8

Do đó X là k-khơng gian với k-lưới đếm được địa phương nên X là ℵ-không
gian. Từ bổ đề 1.2.2 ta có X là khơng gian sn-khả mêtric.
1.2.4 Bổ đề ([9]). Giả sử X là khơng gian tơpơ. Khi đó (1) ⇔ (2) ⇒ (3),
trong đó
(1) X có sn-lưới σ -đếm được địa phương.
(2) X là không gian snf-đếm được với cs-lưới σ -đếm được địa phương.
(3) X là không gian snf-đếm được với k-lưới σ -đếm được địa phương.

Chứng minh. (1) ⇒ (2). Suy ra từ cách chứng minh định lí 1.2.3.
(2) ⇒ (3). Giả sử X là khơng gian snf-đếm được với cs-lưới σ -đếm được

địa phương, tức là tồn tại P = ∪{Pn : n ∈ N∗ } sao cho P là cs-lưới và Pn
đếm dược địa phương trong X . Giả sử K ⊂ X là tập compact và V là lân
cận mở của K . Với mỗi n ∈ N∗ ta đặt
An = {P ∈ Pn : n ∈ N∗ , P ∩ K = ∅, P ⊂ V }.

Khi đó, từ Pn đếm được địa phương và tính compact của K suy ra có thể
giả thiết An là tập đếm được. Do đó A = ∪{An : n ∈ N∗ } là tập đếm được.
Kí hiệu A = ∪{Pi : i ∈ N∗ } thì K ⊂

Pi nào đó. Thật vậy, giả sử ngược
i
Pi với n ∈

lại K

N∗ .

Với mỗi n ∈ N∗ ta chọn xn ∈ K \

i
Pi . Vì
i
{P ∩ K, P ∈ P} là cs-lưới đếm được của không gian con K với K là tập

compact nên K là không gian mêtric compact. Vì dãy {xn } ⊂ K nên tồn tại
dãy con {xnk } sao cho xnk −→ x ∈ K . Mà P là cs-lưới nên tồn tại m ∈ N∗
và P ∈ P sao cho
{xnk : k > m} ∪ {x} ⊂ P ⊂ V.

Đặt P = Pj , j ∈ N∗ . Ta chọn l > m sao cho nl > j . Khi đó xnl ∈ Pj .
Điều này mâu thuẫn với xn ∈ K \

Pi , n = 1, 2, . . .. Vậy X là không gian
i
snf-đếm được với k-lưới σ -đếm được địa phương.
(2) ⇒ (1). Giả sử X là không gian snf-đếm được với cs-lưới σ -đếm được

địa phương. Khi đó P = ∪{Pn : n ∈ N∗ } là cs-lưới với Pn đếm được địa


9

phương. Khơng mất tính tổng qt có thể giả thiết mỗi Pm khép kín với
phép giao hữu hạn và X ∈ Pm ⊂ Pm+1 . Vì X là snf-đếm được nên X có
sn-lưới G = ∪{Gx : x ∈ X}, trong đó Gx = {g(n, x) : n ∈ N∗ } là lưới tại x.
Đặt
Fm,x = {P ∈ Pm : g(n, x) ⊂ P, n ∈ N∗ },
Fx = ∪{Fm,x : m ∈ N∗ },
Fm = ∪{Fm,x : x ∈ X},
F = ∪{Fx : x ∈ X}.

Khi đó F là sn-lưới của X . Thật vậy, ta có x ∈ ∩Fx và Fx khép kín với
phép giao hữu hạn. Từ đó suy ra F thoả mãn các điều kiện (i), (ii) trong
Định nghĩa 1.1.6. Với mỗi P ∈ Fx ắt tồn tại g(n, x) sao cho g(n, x) ⊂ P .
Từ g(n, x) là lân cận dãy của x suy ra P cũng là lân cận dãy của x. Vậy F
là sn-lưới của X .
Với mỗi m ∈ N, ta có Fm ⊂ Pm nên Fm đếm được địa phương. Vậy
F=

{Fm : m ∈ N} là sn-lưới σ -đếm được địa phương của X .

1.2.5 Định lý ([9]). Không gian paracompact với sn-lưới σ -đếm được
địa phương là không gian sn-khả mêtric.
Chứng minh. Giả sử X là không gian paracompact với sn-lưới σ -đếm được
địa phương. Từ Bổ đề 1.2.4 ta có X là khơng gian snf-đếm được với k-lưới
σ -đếm được địa phương. Ta sẽ chứng minh X là ℵ-khơng gian.

Giả sử X có k-lưới P = ∪{Pi : i ∈ N} với mỗi Pi đếm được địa phương.
Ta có thể giả thiết Pi ⊂ Pi+1 với mọi i. Vì Pi đếm được địa phương nên
tồn tại phủ mở Ui của X sao cho mỗi phần tử của Ui giao với đếm được các
phần tử của Pi . Vì X là không gian paracompact nên tồn tại Vi là cái mịn
mở của Ui , mà Vi hữu hạn địa phương. Thế thì

{Pi ∧ Vi } là k-lưới σ -hữu
i∈N

hạn địa phương, trong đó
Pi ∧ Vi = {P ∩ V : P ∈ Pi , V ∈ Vi }.


10

Thật vậy, với mỗi V ∈ Vi xác định họ
{P ∈ Pi : V ∩ P = ∅} = {P (V, n) : n ∈ N∗ }.

Đặt
Hi,n = {P (V, n) ∩ V : V ∈ Vi }.

Do Vi là hữu hạn địa phương nên Hi,n là hữu hạn địa phương và
∞

Pi ∧ Vi =

Hi,n .
n=1

(Pi ∧ Vi ) là σ -hữu hạn địa phương. Giả sử K là tập compact và

Vì thế
i∈N

W là tập mở chứa K . Khi đó tồn tại i ∈ N và họ hữu hạn Pi∗ ⊂ Pi sao cho
K ⊂ ∪Pi∗ . Do đó K ⊂ ∪Vi∗ với Vi∗ ⊂ Vi là họ hữu hạn. Vậy thì Pi∗ ∧ Vi∗ là

họ hữu hạn của Pi ∧ Vi và
K ⊂ ∪(Pi∗ ∧ Vi∗ ) ⊂ W.
(Pn ∧ Vn ) là k-lưới của X . Vậy X là ℵ-khơng gian.

Do đó
n∈N

Ta có X là khơng gian snf-đếm được và ℵ-không gian, theo Bổ đề1.2.2,
X là không gian sn-khả mêtric.

1.2.6 Bổ đề ([4]). Giả sử P là phủ có tính chất σ -HCP của X . Nếu P
là cs∗ -lưới thì P là k-lưới của X .
1.2.7 Bổ đề ([8]). Không gian tôpô X là sn-khả mêtric khi và chỉ khi
X là không gian snf-đếm được với cs∗ -lưới (đóng) σ -HCP.

1.2.8 Bổ đề ([9]). Giả sử P là họ có tính chất HCP và L là dãy hội tụ
ở trong ∪P từ một lúc nào đó. Khi đó tồn tại P ∈ P sao cho L thường

xuyên gặp P , nghĩa là L có một dãy con vô hạn ở trong P .
Chứng minh. Giả sử ngược lại. Khi đó L ∩ P là hữu hạn với mọi P ∈ P .
Khơng mất tính tổng qt, giả sử L = {xn : n ∈ N∗ } ⊂ ∪P và L vô hạn.


11

Chọn xn1 ∈ ∪P . Khi đó tồn tại P1 ∈ P sao cho xn1 ∈ P1 . Do L là vô hạn
và L ∩ P1 là hữu hạn nên L \ P1 là tập vô hạn. Ta chọn n2 > n1 . Khi đó
tồn tại P2 ∈ P sao cho xn2 ∈ P2 và xn2 = xn1 . Bằng quy nạp ta xây dựng
được dãy con hội tụ {xnk } của L sao cho xnk ∈ Pk ∈ P , với mọi k ∈ N∗ và
xnk = xnt nếu k = t. Nhưng {{xnk } : k ∈ N∗ } khơng bảo tồn bao đóng di

truyền. Điều này mâu thuẫn với giả thiết P có tính chất HCP.
1.2.9 Bổ đề. Nếu P là họ các tập con của không gian X có tính hữu
hạn địa phương thì P có tính HCP.
Chứng minh. Giả sử P là phủ hữu hạn địa phương và Po là họ con tuỳ ý
của P . Khi đó, Po có tính hữu hạn địa phương. Với mỗi P ∈ Po lấy bất kì
Ap ⊂ P và đặt
A = {Ap : P ∈ Po }.

Từ Po hữu hạn địa phương nên A là hữu hạn địa phương. Ta sẽ chứng tỏ
cl(∪A) = ∪{clA : A ∈ A}.

Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh
cl(∪A) ⊂ ∪{clA : A ∈ A}.

Giả sử x ∈ cl(∪A). Từ tính hữu hạn địa phương của A suy ra tồn tại lân
cận mở U của x sao cho
Ax = {A ∈ A : A ∩ U = ∅}

là tập hữu hạn. Khi đó ta có
U ∩ (∪(A \ Ax )) = ∅.

Vì U mở nên
U ∩ cl(∪(A \ Ax )) = ∅.

Mà
x ∈ cl(∪A) = cl(∪(A \ Ax )) ∪ cl(∪Ax )


12

nên
x ∈ cl(∪Ax ) = ∪{clA : A ∈ Ax }.

Do đó
cl(∪A) ⊂ ∪{clA : A ∈ A}.

Vậy P có tính chất HCP.
1.2.10 Bổ đề ([11]). Mọi khơng gian compact có k-lưới đếm được theo
điểm là khả mêtric.
1.2.11 Bổ đề. Nếu X là khơng gian Fréchet thì mọi lân cận dãy của
x ∈ X đều là lân cận của x.

Chứng minh. Giả sử U là lân cận dãy của x ∈ X nhưng U không là lân cận
của x. Khi đó x ∈ X \ U . Do đó, từ X là không gian Fréchet suy ra tồn tại
dãy {xn } ⊂ X \ U sao cho xn −→ x. Vì U là lân cận dãy của x nên tồn tại
no ∈ N sao cho {xn : n

no } ⊂ U. Ta có một điều mâu thuẫn. Vậy U là

lân cận của x.
1.2.12 Định lý. Với không gian tôpô X hai điều kiện sau là tương đương.
(1) X là không gian sn-khả mêtric.
(2) X có {Gn } là sn-lưới sao-điểm hữu hạn địa phương thoả mãn
(i) Gn+1 là cái mịn của Gn với mỗi n ∈ N;
(ii) Gn là cfp-phủ với mỗi n ∈ N.
Chứng minh. (1) =⇒ (2). Vì X là sn-khả mêtric nên theo [11] (Bổ đề 2.2),
X có sn-lưới J = ∪{Jn : n ∈ N}, trong đó mỗi Jn là một họ rời rạc các tập

con đóng của X . Khi đó ta có thể viết J = ∪{Jx : x ∈ X}, trong đó Jx là
sn-lưới tại x. Với mỗi n = 1, 2, . . . đặt
Kn = {x ∈ X : Jx ∩ Jn = ∅}, Pn = Jn ∪ {Kn }

và
Gn = {G = ∩{Pi : i

n, Pi ∈ Pi }}.


13

Ta sẽ chứng minh {Gn } là sn-lưới sao-điểm thoả mãn (i), (ii). Rõ ràng mỗi
Gn là một phủ của X và Gn+1 là cái mịn của Gn với mỗi n ∈ N.

Giả sử x ∈ X và U là tập mở trong X chứa x. Khi đó, vì ∪{Jt : t ∈ X}
là sn-lưới nên tồn tại P ∈ Jx sao cho P ⊂ U . Do
∪{Jn : n ∈ N} = ∪{Jt : t ∈ X}

nên tồn tại n ∈ N sao cho P ∈ Jn ⊂ Pn . Từ tính rời rạc của Jn suy ra
Jn ∩ Jx = {P }. Mặt khác x ∈
/ Kn nên
st(x, Gn ) ⊂ P ⊂ U,

trong đó st(x, Gn ) = ∪{G ∈ Gn : x ∈ G}. Do đó {st(x, Gn ) : n ∈ N} là lưới
tại x. Từ Gn+1 là cái mịn của Gn với mỗi n ∈ N suy ra
st(x, Gl ) ⊂ st(x, Gn ) ∩ st(x, Gm )

nếu l > max{n, m}. Như vậy {st(x, Gn ) : n ∈ N} thoả mãn điều kiện (ii)
trong Định nghĩa 1.1.6. Giả sử S là một dãy trong X , hội tụ tới x ∈ st(x, Gn ).
Khi đó, nếu Jx ∩ Jn = ∅ thì tồn tại P ∈ Jx ∩ Jn . Vì P là lân cận dãy của
x nên S nằm trong P từ một lúc nào đó. Do đó S nằm trong st(x, Gn ) từ

một lúc nào đó. Nếu Jx ∩ Jn = ∅ thì đặt
U = X \ ∪{P ∈ Jn : x ∈
/ P }.

Rõ ràng x ∈ U . Do Jn rời rạc nên tồn tại lân cận V1 của x sao cho V1 chỉ
giao với nhiều nhất một phần tử của Jn . Từ đó suy ra tồn tại lân cận V của
x sao cho V ⊂ U . Do đó U là lân cận của x. Mặt khác U ⊂ st(x, Gn ). Từ

đó suy ra S nằm trong st(x, Gn ) từ một lúc nào đó. Như vậy st(x, Gn ) là lân
cận dãy của x và ta kết luận được {st(x, Gn ) : n ∈ N} là sn-lưới tại x. Do
đó {Gn } là sn-lưới sao-điểm. Vì Jn là họ rời rạc nên Pn là họ hữu hạn địa
phương. Từ đó Gn là họ hữu hạn địa phương với mỗi n. Vậy Gn là sn-lưới
sao-điểm hữu hạn địa phương thoả mãn (i).
Bây giờ ta chứng minh Gn là cfp-phủ. Giả sử C là tập con compact của
X . Với mỗi x ∈ C , tồn tại lân cận Vx của x sao cho Vx chỉ có giao với nhiều

14

nhất một phần tử của Jn . Từ tính compact của C suy ra C chỉ giao với một
số hữu hạn các phần tử F1 , F2 , . . . , Fk của Jn . Đặt
Cj = Fj ∩ C, j = 1, 2, . . . , k

và
K = C \ (∪{intC Cj : j = 1, 2, . . . , k}),

trong đó intC Cj là phần trong của Cj trong C . Từ giả thiết X là sn-khả
mêtric suy ra X có sn-lưới σ -hữu hạn địa phương B. Do đó, theo Bổ đề 1.2.9,
B là cs-lưới đếm được theo điểm. Theo Bổ đề 1.2.6, B là k-lưới đếm được

theo điểm. Vì C compact nên theo Bổ đề 1.2.10, C là khả mêtric. Do đó C
là không gian Fréchet. Với mỗi x ∈ C và F ∈ Jx , do F là lân cận dãy của
x nên theo Bổ đề 1.2.11 thì x ∈ intC (F ∩ C). Từ đó suy ra K ⊂ Kn . Ta có
k

C=(

Cj ) ∪ K,

j=1

trong đó Cj ⊂ Fj , j = 1, 2, . . . , k và K ⊂ Kn . Vì các Fj là tập đóng nên các
Cj cũng là tập đóng. Kết hợp với tính đóng của K ta kết luận được Pn là

cfp-phủ. Do đó, Gn cũng là cfp-phủ.
(1) =⇒ (2). Giả sử X có sn-lưới sao-điểm hữu hạn địa phương {Gn }. Khi

đó U = ∪{Ux : x ∈ X} là sn-lưới trong X , trong đó
Ux = {st(x, Gn ) : n ∈ N}.

Vì mỗi Ux là đếm được nên X là snf-đếm được. Do đó để chứng tỏ X là
sn-khả mêtric, theo Bổ đề 1.2.7 ta chỉ cần chứng tỏ X có cs∗ -lưới σ − HCP .
Rõ ràng G = ∪{Gn : n ∈ N} là σ -hữu hạn địa phương. Do đó theo Bổ đề
1.2.9, G là σ − HCP . Giả sử {xn } là dãy trong X , hội tụ tới x ∈ X và U là
lân cận của x. Vì {st(x, Gn ) : n ∈ N } là lưới tại x nên tồn tại n ∈ N sao cho
x ∈ st(x, Gn ) ⊂ U.

Mà st(x, Gn ) là lân cận dãy của x nên {xn } nằm trong st(x, Gn ) từ một lúc
nào đó. Theo Bổ đề 1.2.8, tồn tại G ⊂ Gn và x ∈ G sao cho {xn } thường


15

xuyên gặp G. Do đó tồn tại dãy con {xnk } của {xn } sao cho {xnk } ⊂ G. Vì
thế G là cs∗ -lưới của X . Vậy X có cs∗ -lưới σ − HCP .
1.2.13 Định lý. Giả sử X là khơng gian tơpơ. Khi đó các điều kiện sau
là tương đương.
(1) X có sn-lưới sao-đếm được.
(2) X là khơng gian snf-đếm được có cs-lưới sao đếm được.
(3) X là khơng gian snf-đếm được có phủ sao-đếm được có tính chất
(B).
Chứng minh. (1) =⇒ (3). Giả sử P =

{Px : x ∈ X} là sn-lưới sao-đếm

được trong X . Khi đó Px là lưới tại x và mỗi P ∈ Px là lân cận dãy của

x. Do đó với mỗi U mở trong X ắt tồn tại P ∈ Px sao cho x ∈ P ⊂ U và
x ∈ Ints (P ). Từ đó ta có
x ∈ Ints (P ) ⊂ P ⊂ U.

Như vậy P có tính chất (B). Mặt khác từ P là sao-đếm được suy ra Px đếm
được với mỗi x ∈ X , tức là X là không gian snf-đếm được.
(3) =⇒ (2). Giả sử X là không gian snf-đếm được với phủ P có tính sao

-đếm được và tính chất (B). Với mỗi x ∈ X đặt
Px = {P ∈ P : x ∈ P };
(Px )∗ = {∪L : L là họ con hữu hạn của Px };
Gx = {G ∈ (Px )∗ : x ∈ Ints (G)} và G =

{Gx : x ∈ X}.

Từ tính chất sao-đếm được của P suy ra Px là đếm được, do đó (Px )∗ đếm
được với mỗi x ∈ X . Giả sử {xn } là dãy trong X , {xn } hội tụ tới x ∈ X và
U là tập mở trong X sao cho x ∈ U . Khi đó, vì P có tính chất (B) nên tồn

tại họ con hữu hạn L của P sao cho
x ∈ Ints (∪L) ⊂ ∪L ⊂ U và x ∈ ∩L.

Lấy G = ∪L thì G ∈ Gx . Vì xn −→ x nên tồn tại m ∈ N sao cho
{xn : n

m} ⊂ ∪L.


16

Vì vậy tồn tại G ∈ G sao cho
{xn : n

m} ∪ {x} ⊂ G ⊂ U.

Do đó G là cs-lưới của X .
Bây giờ ta chứng tỏ G có tính sao-đếm được. Giả sử G ∈ G . Khi đó tồn
tại x ∈ X và P1 , P2 , . . . , Pn ∈ Px sao cho G =

Pi . Giả sử G ∈ G .
i n

Pi với P1 , P2 , . . . , Pm ∈ Py ,

G =
i m

trong đó y là điểm nào đó thuộc X . Nếu G ∩ Pi = ∅ thì tồn tại Pj sao cho
Pi ∩ Pj = ∅. Vì P có tính sao-đếm được nên Pi chỉ có thể giao với không

quá đếm được phần tử P ∈ P và mỗi phần tử P này lại chỉ có thể giao
với không quá đếm được các phần tử của P . Từ đó suy ra mỗi Pi chỉ có thể
giao với không quá đếm được phần tử G ∈ G và do đó G chỉ có thể giao với
khơng q đếm được phần tử G ∈ G . Vậy G sao-đếm được.
(2) =⇒ (1). Giả sử X là không gian snf-đếm được với cs-lưới sao-đếm

được. Khi đó X có một sn-lưới B = ∪{Bx : x ∈ X}, trong đó mỗi Bx là đếm
được và một cs-lưới sao-đếm được P . Vì mỗi Bx là đếm được nên ta có thể
kí hiệu
Bx = {B(x, n) : n ∈ N},

và có thể giả thiết B(x, n + 1) ⊂ B(x, n) với mọi n. Đặt
P∗ = {∩L : L là họ con hữu hạn của P}.

Khi đó P∗ là cs-lưới và nó cũng có tính sao-đếm được. Do đó ta có thể giả
thiết P khép kín với phép giao hữu hạn (nếu cần có thể thay P bởi P∗ ). Với
mỗi x ∈ X , từ tính sao-đếm được của P suy ra họ
Px = {P ∈ P : x ∈ P }

là đếm được. Do đó ta viết Px = {P1 , P2 , . . . , Pn , . . .}. Đặt
Lx = {P ∈ Px : B(x, n) ⊂ P với n nào đó }.


17

Khi đó Lx = ∅. Thật vậy, nếu Lx = ∅ thì với mọi m, n ∈ N đều có
B(x, n)

Pm .

Từ đó suy ra tồn tại dãy {xn,m } với xn,m ∈ B(x, n) \ Pm với m, n ∈ N. Ta
thiết lập dãy {xk } bằng cách đánh số các phần tử của dãy {xn,m } như sau
đầu tiên đánh số k theo chiều tăng của n, với mỗi n đánh số k theo chiều
tăng của m. Chẳng hạn
x1 = x11 , x2 = x21 , x3 = x22 , x4 = x31
x5 = x32 , x6 = x33 , x7 = x41 , . . . .

Như vậy ta có k = m + n(n − 1)/2. Với mỗi tập mở U chứa x, vì
{B(x, n) : n ∈ N}

là lưới tại x nên tồn tại n ∈ N sao cho B(x, n) ⊂ U . Từ B(x, n+1) ⊂ B(x, n)
với mọi n suy ra với mỗi n ∈ N tồn tại ko ∈ N sao cho xk ∈ B(x, n) với mọi
k

ko , n ∈ N. Từ đó suy ra xk −→ x. Vì P là cs-lưới nên tồn tại Pmo ∈ Px

và k1 ∈ N sao cho
{xk : k

k1 } ⊂ Pmo .

Mặt khác theo cách dây dựng dãy {xk } thì tồn tại k sao cho k > k1 và
xk = xn,mo với n > k1 , tức là xk ∈
/ Pmo với k > k1 . Ta có một điều mâu

thuẫn. Do đó Lx = ∅ với mọi x ∈ X . Đặt
L = ∪{Lx : x ∈ X}.

Giả sử U là tập mở trong X sao cho x ∈ U . Từ P là cs-lưới, tương tự như
chứng minh Lx = ∅ ta chứng minh được tồn tại P ∈ Px và n ∈ N sao cho
B(x, n) ⊂ P ⊂ U . Do đó Lx là lưới tại x. Hiển nhiên x ∈ ∩Lx . Giả sử P và
P thuộc Lx . Khi đó tồn tại B(x, n) ⊂ P và B(x, n ) ⊂ P . Vì P khép kín

với phép giao hữu hạn nên P ∩ P ∈ P . Mặt khác với n = max{n, n } ta có
B(x, n ) ⊂ P ∩ P . Do đó P ∩ P ∈ Lx . Cuối cùng, vì B là sn-lưới nên mỗi
B(x, n) là lân cận dãy của x. Từ đó suy ra mỗi P ∈ Lx cũng là lân cận dãy


18

của x. Do đó L là sn-lưới trong X . Vì L ⊂ P mà P là sao-đếm được nên L
cũng là sao-đếm được.
1.2.14 Bổ đề ([10]). Nếu P là họ sao-đếm được các tập con của khơng
gian X thì có thể biểu diễn P = ∪{Pα : α ∈ Λ}, trong đó Pα là họ đếm
được với mọi α ∈ Λ và nếu α = β thì
(∪Pα ) ∩ (∪Pβ ) = ∅.

1.2.15 Định lý. Nếu X là không gian Fréchet với sn-lưới sao-đếm được
thì X là khả mêtric.
Chứng minh. Giả sử P = ∪{Px : x ∈ X} là sn-lưới sao-đếm được của X .
Khi đó, mỗi P ∈ Px là lân cận dãy của x. Vì X là không gian Fréchet nên
theo bổ đề 1.2.11, mỗi P ∈ Px cũng là lân cận của x. Do đó
x ∈ intP ⊂ P với mỗi P ∈ Px .

Đặt U = {intP : P ∈ P}. Từ P là sao-đếm được suy ra U là sao-đếm được.
Do đó, theo Bổ đề 1.2.14, tồn tại tập chỉ số Λ sao cho
U = ∪{Uα : α ∈ Λ},

trong đó mỗi Uα là đếm được và nếu α, β ∈ Λ mà α = β thì
(∪Uα ) ∩ (∪Uβ ) = ∅.

(∗)

Vì Uα đếm được nên ta có thể viết
Uα = {Uα,1 , Uα,2 , . . .}, α ∈ Λ.

Đặt
Vn = {Uα,n : α ∈ Λ}, n = 1, 2, . . .

và

V = ∪{Vn : n = 1, 2, . . .}.

Khi đó, ta có V = U và từ (∗) suy ra mỗi Vn là một họ mà các phần tử của
nó đơi một rời nhau. Để hồn thành chứng minh định lí ta sẽ chứng tỏ V


19

là cơ sở σ -rời rạc trong X . Với mỗi x ∈ X và mỗi lân cận U của x, vì P là
sn-lưới nên tồn tại P ∈ Px sao cho x ∈ P ⊂ U . Do đó
x ∈ intP ⊂ P ⊂ U.

Đặt V = intP . Khi đó, V ∈ U = V . Vì thế V là cơ sở trong X . Mặt khác,
với mỗi x ∈ X ắt tồn tại U ∈ V sao cho x ∈ U . Khi đó tồn tại m ∈ N sao
cho U ∈ Vm và do đó U = Uα,m với α nào đó thuộc Λ. Vì các phần tử của
Vn đôi một rời nhau với mỗi n ∈ N nên U chỉ có thể giao với khơng quá một

phần tử của Vn với mỗi n = 1, 2, . . .. Do đó mỗi họ Vn là rời rạc. Vì thế V
là cơ sở σ -rời rạc của X . Vậy X là khả mêtric.

1.3

Các không gian sn-khả mêtric và ảnh compact
thương của không gian mêtric

Trong mục này chúng tơi trình bày khái niệm của các ánh xạ đặc biệt
và điều kiện để không gian sn-khả mêtric là ảnh của một không gian mêtric
qua các ánh xạ đặc biệt.
1.3.1 Định nghĩa. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ với (X, d) là không gian
mêtric. f được gọi là π -ánh xạ nếu với mỗi y ∈ Y và U là lân cận của y thì

d(f −1 (y), X \ f −1 (U )) > 0.

1.3.2 Định nghĩa. Giả sử X, Y là các không gian tôpô. Ánh xạ f : X → Y .
(1) f được gọi là ánh xạ thương nếu f −1 (U ) mở trong X thì U mở trong
Y.

(2) f được gọi là ánh xạ thương dãy nếu mọi dãy S hội tụ trong Y , tồn
tại dãy L trong X sao cho f (L) là dãy con của S .
(3) f được gọi là ánh xạ phủ dãy nếu mỗi dãy {yn } hội tụ trong Y , tồn
tại dãy {xn } hội tụ trong X sao cho xn ∈ f −1 (yn ) với mọi n ∈ N.
(4) f được gọi là σ -ánh xạ nếu tồn tại một cơ sở B của X sao cho f (B)
là họ σ -hữu hạn địa phương của Y .


20

(5) f được gọi là ánh xạ compact nếu mỗi y ∈ Y , f −1 (y) là tập compact.
(6) f được gọi là ánh xạ 1-phủ dãy nếu mỗi y ∈ Y , tồn tại x ∈ f −1 (y)
sao cho mọi dãy {yn } hội tụ tới y ∈ Y thì tồn tại dãy {xn } hội tụ tới x ∈ X
và xn ∈ f −1 (yn ) với mọi n ∈ N.
1.3.3 Bổ đề ([4]). Nếu X là π -ảnh, thương dãy của khơng gian mêtric
thì X có sn-lưới sao-điểm và vì thế X là snf-đếm được.
Chứng minh. Giả sử f : M −→ X là π -ánh xạ thương dãy, (M, d) là không
gian mêtric. Đặt
Pn = {f (B(z, 1/n)) : z ∈ M }, với n ∈ N.

Khi đó {Pn } là sn-lưới sao-điểm của X . Thật vậy, với x ∈ U mở trong X ,
vì f là π -ánh xạ nên tồn tại n ∈ N sao cho
d(f −1 (x), M \ f −1 (U )) > 1/n.

Với n ∈ N, tồn tại m ∈ N sao cho m

2n và Pm là phủ của X . Do đó tồn

tại z ∈ M sao cho x ∈ f (B(z, 1/m)). Rõ ràng
f −1 (x) ∩ B(z, 1/m) = ∅.

Do đó B(z, 1/n) ⊂ f −1 (U ). Thật vậy, giả sử ngược lại. Khi đó tồn tại
y ∈ B(z, 1/n) ∩ (M \ f −1 (U )).

Ta lấy t ∈ f −1 (x) ∩ B(z, 1/m) thì
d(t, y)

d(t, z) + d(z, y) < 2/m

Điều này mâu thuẫn với giả thiết, do đó
B(z, 1/n) ⊂ f −1 (U ).

Vậy st(x, Pm ) ⊂ U nên st(x, Pn ) là lưới tại x.

1/n.


21

Ta có st(x, Pn ) và st(x, Pm ) với m, n ∈ N. Vì B(z, 1/n) và B(z, 1/m) là
các tập mở nên B(z, 1/n) ∩ B(z, 1/m) là tập mở, do đó tồn tại k ∈ N sao
cho k > max{n, m} thì
B(z, 1/k) ⊂ B(z, 1/n) ∩ B(z, 1/m).

Vì vậy Pk = {f (B(z, 1/k)) : z ∈ M } thoả mãn
st(x, Pk ) ⊂ st(x, Pn ) ∩ st(x, Pm ).

Cuối cùng ta chứng minh st(x, Pn ) là lân cận dãy của x. Với x ∈ X và
n ∈ N, giả sử S là dãy hội tụ tới x. Do f là ánh xạ thương dãy nên tồn tại

dãy con L hội tụ tới t ∈ f −1 (x) ⊂ M sao cho f (L) là dãy con của S . Ta đặt
B = B(t, 1/n). Khi đó f (B) ∈ Pn . Do B mở trong M và L nằm trong B từ

một lúc nào đó nên f (L) nằm trong f (B) ⊂ st(x, Pn ) từ một lúc nào đó. Vì
vậy S nằm trong st(x, Pn ) từ một lúc nào đó hay st(x, Pn ) là lân cận dãy
của x. Vậy Pn là sn-lưới sao-điểm. Ta đặt
Px = st(x, Pn ) và P = ∪{Px : x ∈ X}.

Khi đó X là không gian snf-đếm được.
1.3.4 Bổ đề ([5]). Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ, {yn } là dãy hội tụ tới
y ∈ Y . Nếu {Bk } là lưới giảm tại x ∈ f −1 (y) trong X và {yn } nằm trong
f (Bk ) từ một lúc nào đó với mọi k ∈ N, thì tồn tại dãy {xk } hội tụ tới
x sao cho {f (xk )} là dãy con của {yn }.

Chứng minh. Giả sử {Bk } là lưới giảm tại x ∈ f −1 (y) trong X và {yn }
nằm trong f (Bk ) từ một lúc nào đó với mọi k ∈ N. Thế thì với mọi k ∈ N,
tồn tại nk ∈ N sao cho yn ∈ f (Bk ) với mọi n > nk . Vì thế
f −1 (yn ) ∩ Bk = ∅ với mọi n > nk .

Khơng mất tính tổng qt, ta có thể giả sử 1 < nk < nk+1 với mọi k ∈ N.
Với mỗi n ∈ N, lấy xn ∈ f −1 (yn ) nếu n < nk và xn ∈ f −1 (y) ∩ Bk nếu


22

nk < n < nk+1 thì xn ∈ f −1 (yn ) với mọi n ∈ N. Do đó {f (xn )} là dãy con

của {yn }. Bây giờ ta còn phải chứng minh {xn } hội tụ đến x. Thật vậy, lấy
U là lân cận mở của x. Khi đó tồn tại k ∈ N sao cho x ∈ Bk ⊂ U . Với mỗi
n > nk , tồn tại k > k sao cho
nk

n

nk +1 .

Vì vậy xn ∈ Bk ⊂ Bk ⊂ U. Vậy {xn } hội tụ tới x.
1.3.5 Định lý ([4]). Giả sử X là khơng gian tơpơ. Khi đó các điều kiện
sau là tương đương.
(1) X là không gian sn-khả mêtric.
(2) X là σ -ảnh, thương dãy, compact của không gian mêtric.
(3) X là σ, π -ảnh, thương dãy của không gian mêtric.
Chứng minh. (1) =⇒ (2). Giả sử X là không gian sn-khả mêtric. Khi đó
theo Định lí 1.2.12, X có sn-lưới sao-đếm được hữu hạn địa phương {Pn }.
Ta viết Pn = {Pα : α ∈ Λn } với mọi n ∈ N, trong đó các {Λn } là đơi một
rời nhau. Với mọi n = 1, 2, . . . ta đặt
Fn = {

Pαi : αi ∈ Λi , i = 1, 2, . . .},
i n

Z = {a = (αn ) ∈

Λn : {Pαn } là lưới tại xa ∈ X}.

n∈N

Ta trang bị tôpô rời rạc cho mỗi Λn , n ∈ N.Khi đó Fn là hữu hạn địa phương.
Do Λn là không gian rời rạc nên Λn là không gian mêtric rời rạc với mọi
n ∈ N. Vì thế Z là khơng gian con của khơng gian tích Tychonoff

Λn
n∈N

nên Z là không gian mêtric.
Ta sẽ chứng minh mỗi điểm xa là duy nhất. Thật vậy, giả sử {Pαn : n ∈ N}
là lưới tại xa và xb . Khi đó {xa , xb } ⊂ Pαn với mọi n ∈ N. Nếu xa = xb thì
tồn tại lân cận mở U của x sao cho xb ∈
/ U . Vì {Pαn } là lưới tại xa trong X
nên tồn tại no ∈ N sao cho
xa ∈ Pαno ⊂ U.


23

Suy ra xb ∈
/ Pαno . Ta có một mâu thuẫn. Vậy xa = xb hay xa là duy nhất.
Xét tương ứng f : Z −→ X cho bởi f (a) = xa thì f là ánh xạ. Ta có f
là toàn ánh và liên tục. Thật vậy, với bất kì x ∈ X thì
{x} ∈ {Pα : α ∈ Λn }.

Vì vậy tồn tại αn ∈ Λn sao cho {x} = Pαn với mọi n ∈ N. Do đó
{Pαn : n ∈ N}

là lưới tại x ∈ X . Đặt a = (αn ) ta có a ∈ Z và f (a) = xa . Vậy f toàn ánh.

Giả sử a = (αn ) ∈ Z và f (a) = xa , U là lân cận mở của xa . Vì {Pαn : n ∈ N}
là lưới tại xa ∈ X nên tồn tại k ∈ N sao cho
xa ∈ Pαk ⊂ U.

Đặt
V = {b = (βn ) ∈ Z : βk = αk }.

Khi đó V là lân cận mở của a và
f (V ) ⊂ Pαk ⊂ U.

Vậy f liên tục.
Bây giờ ta sẽ chứng minh f là σ -ánh xạ, compact và thương dãy.
(i) f là ánh xạ thương dãy.
Với x ∈ X và S là dãy hội tụ tới x, với n ∈ N thì st(x, Pn ) là lân cận
dãy của x. Do đó S nằm trong st(x, Pn ) từ một lúc nào đó. Mặt khác, Pn
là hữu hạn theo điểm nên tồn tại dãy con S ⊂ S sao cho S nằm trong P
từ một lúc nào đó với mọi phần tử P ∈ Pn . Ta xét
L = Lo = {xn : n ∈ N} ∪ {x}.
Lo hội tụ tới x. Với mỗi n ∈ N, chọn αn ∈ Λn và dãy con Ln ⊂ Lo sao cho
Ln ⊂ Ln−1 và Ln nằm trong Pαn ∈ Pn từ một lúc nào đó. Đặt
a = (αn ) ∈

Λn ,
n∈N


24

Zn = {b = (βk ) ⊂ Z : βk = αk , k

n}.

Khi đó {Zn } là cơ sở tại a và
Pαk , n ∈ N.

f (Zn ) =
k n

Thật vậy, với b = (βk ) ∈ Zn thì
f (b) ∈

Pβk ⊂
k∈N

Vì thế f (Zn ) ⊂

k n

Pαk và với y ∈
k n

Pα k .

Pαk sẽ tồn tại c = (γk ) ∈ Z sao cho
k n

f (c ) = y . Với k ∈ N đặt
γk =

αn nếu k n

γk nếu k > n

Pγn nên c ∈ Zn và f (c) = y , suy ra y ∈ f (Zn ).

và đặt c = (γk ). Do y ∈
n∈N

Pαk ⊂ f (Zn ). Vậy

Vì thế
k n

Pαk , n ∈ N.

f (Zn ) =
k n

Do cách xác định dãy Ln nên Ln nằm trong Pαk từ một lúc nào đó với mọi
k

n. Vì thế Ln nằm trong f (Zn ) từ một lúc nào đó. Theo Bổ đề 1.3.4, tồn

tại dãy {an } hội tụ tới a sao cho {f (an )} là dãy con của L. Vậy f là ánh vạ
thương dãy.
(ii) f là ánh xạ compact.
Với mỗi x ∈ X . Đặt
Γn = {α ∈ Λn : x ∈ Pα }.

Khi đó Γn là tập hữu hạn nên Γn là tập compact. Do đó

Γn là tập
n∈N

Λn . Mặt khác, a ∈

compact trong
n∈N

f −1 (x)

thì f (a) = x. Do đó a = (αn )