Sự hiệu chỉnh đầy đủ và nửa đầy đủ trong các phương pháp xấp xỉ giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên

1

MỤC LỤC

Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1
3

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất . . . . . . .
1.1.1 Không gian xác suất tổng quát . . . . . . . . . . .
1.1.2 Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối . . . . . . . . .
1.1.3 Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên . . . . . . . .
1.2 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn . . . . . . . .
1.3 Một số khái niệm về sự hiệu chỉnh đầy đủ và sự hiệu chỉnh
nửa đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Sự hiệu chỉnh đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Sự hiệu chỉnh nửa đầy đủ . . . . . . . . . . . . . .

6
6
6
9
10
13
15
15
16

2 Các phương pháp xấp xỉ giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên
2.1
2.2

2.3

2.4

2.5

Phép xấp xỉ bởi những quy tắc quyết định . . . . . . . . .
Quy tắc quyết định tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Tính khơng khả thi của những quy tắc quyết định
tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quy tắc quyết định tuyến tính lệch . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với quy tắc quyết
định tuyến tính lệch . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.3 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Tính bị chặn của hàm mục tiêu . . . . . . . . . . .
2.3.5 Phép xấp xỉ nón bậc hai với một quy tắc quyết định
tuyến tính lệch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Quy tắc quyết định tuyến tính cơ lập . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.3 Mô hình của các yếu tố ngẫu nhiên cơ lập, U2 . . .
Quy tắc quyết định tuyến tính lệch-cơ lập . . . . . . . . .
2.5.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.5.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
17
18
18
19
19
20
20
21
21
22
25
26
26
27
29
30
30
31


2

2.6

Mơ hình nhiều giai đoạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3 Sự hiệu chỉnh đầy đủ và sự hiệu chỉnh nửa đầy đủ
3.1 Vài nét giới thiệu về nội dung của chương . . . . . . . . .
3.2 Một số tính chất về ma trận hiệu chỉnh đầy đủ, ma trận
hiệu chỉnh nửa đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Ma trận hiệu chỉnh đầy đủ . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ . . . . . . . . . . .
3.2.3 Mối quan hệ giữa ma trận hiệu chỉnh đầy đủ và ma
trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 Thiết lập ma trận hiệu chỉnh đầy đủ và ma trận hiệu
chỉnh nửa đầy đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34
34

Kết luận

43

Tài liệu tham khảo

45

35
35
40
41
42

3

LỜI NĨI ĐẦU

Quy hoạch tuyến tính được ra đời vào năm 1974, khi Dantzig cơng bố
phương pháp đơn hình để giải bài toán xuất phát từ việc lập kế hoạch
cho khơng qn Mỹ. Kể từ đó đến nay, lĩnh vực tối ưu hóa đã phát triển
mạnh mẽ cả trong lý thuyết và trong thực tiễn ứng dụng. Dữ liệu của bài
toán quy hoạch xuất phát từ thực tiễn và áp dụng vào thực tiễn nên phụ
thuộc vào yếu tố ngẫu nhiên. Bài tốn quy hoạch tuyến tính với sự tham
gia của yếu tố ngẫu nhiên được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính ngẫu
nhiên. Trong một bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn điển hình,
những quyết định được xây dựng trong giai đoạn thứ nhất mang yếu tố
ngẫu nhiên. Đôi khi những yếu tố ngẫu nhiên được thực hiện, những quyết
định ở giai đoạn thứ hai tối ưu hoặc những quyết định hiệu chỉnh được
đưa ra.
Sự tối ưu ngẫu nhiên, đặc biệt là mơ hình nhiều giai đoạn địi hỏi những
ghi rõ chính xác sự phân phối xác suất của những yếu tố ngẫu nhiên, điều
thường không khả dụng. Việc tìm một phương án chấp nhận được cho bài
toán quy hoạch ngẫu nhiên đã là một bài tốn khó. Cho nên quan trọng là
phát triển một phương pháp luận dễ xử lí để có thể chấp nhận được xấp xỉ
những quy hoạch ngẫu nhiên. Rất nhiều các nhà khoa học đã nghiên cứu và
công bố nhiều bài báo giải quyết bài tốn tối ưu ngẫu nhiên, có thể kể đến
như: Ben-Tal, Nemirovski, Bertsimas, El-Ghaoui, Shapiro, Campi, Farias,
Van Roy, Erdoˇgan, Iyengar, Henrion, Lagoa, Dyer và Stougie, . . . Đặc biệt
là trong mấy năm gần đây nhóm nghiên cứu gồm Xin Chen, Melvyn Sim,
Peng Sun, Ziawei Zhang đã đề xuất những phương pháp xấp xỉ rất hữu
dụng cho một lớp tổng quát các bài toán tối ưu ngẫu nhiên nhiều giai đoạn
mà dữ liệu chỉ là những thông tin phân phối như: trung bình, giá, hiệp
phương sai. Chen và các cộng sự chỉ ra rằng những quy tắc quyết định

tuyến tính có thể dẫn tới những trường hợp khơng khả thi cho bài tốn
tối ưu ngẫu nhiên với sự hiệu chỉnh đầy đủ. Việc này đòi hỏi chúng ta làm
mịn quy tắc quyết định tuyến tính và từ đó Chen và nhóm nghiên cứu của
mình đã đề xuất hai phép xấp xỉ. Xấp xỉ đầu tiên là "những quy tắc quyết
định tuyến tính lệch", nó phù hợp cho bài toán tối ưu ngẫu nhiên với các
biến hiệu chỉnh nửa đầy đủ. Xấp xỉ thứ hai là "những quy tắc quyết định
tuyến tính cơ lập", nó phù hợp cho bài toán tối ưu ngẫu nhiên với hiệu
chỉnh tổng quát. Điểm đặc biệt liên hệ giữa hai quy tắc này là chúng có


4

thể kết hợp với nhau tạo ra "quy tắc quyết định tuyến tính lệch-cơ lập" và
nó xấp xỉ tốt hơn (mịn hơn) cả xấp xỉ tuyến tính và xấp xỉ tuyến tính lệch.
Chen và các cộng sự chỉ ra rằng ma trận hiệu chỉnh đầy đủ là ma trận
hiệu chỉnh nửa đầy đủ. Vấn đề về sự hiệu chỉnh đầy đủ và hiệu chỉnh nửa
đầy đủ được sử dụng trong các phép xấp xỉ mà nhóm của Xin Chen nghiên
cứu đã đặt ra cho chúng tôi một số vấn đề nổi trội sau đây. Thứ nhất, với
điều kiện nào thì ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ là ma trận hiệu chỉnh
đầy đủ? Hai là, định nghĩa ma trận hiệu chỉnh đầy đủ là khó để kiểm tra
cũng như khó để thiết lập so với định nghĩa ma trận hiệu chỉnh nửa đầy
đủ, làm thế nào để khắc phục điều này? Ba là, bất kỳ bài toán quy hoạch
ngẫu nhiên với hiệu chỉnh đầy đủ là chấp nhận được đối với những quy tắc
quyết định tuyến tính lệch, tuy nhiên quy tắc quyết định tuyến tính lệch
vẫn có thể chấp nhận được nếu thiếu sự hiệu chỉnh đầy đủ - đó là các biến
hiệu chỉnh nửa đầy đủ nhưng khơng hiệu chỉnh đầy đủ, vậy điều đó xảy
ra khi nào? Bốn là, làm thế nào để thiết lập được một ma trận hiệu chỉnh
đầy đủ cũng như ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ một cách tổng quát? Năm
là, mối quan hệ triệt để giữa hai loại hiệu chỉnh này là gì? Chính vì vậy,
chúng tơi đã chọn đề tài: "Sự hiệu chỉnh đầy đủ và nửa đầy đủ trong các

phương pháp xấp xỉ giải bài toán quy hoạch ngẫu nhiên".
Nội dung của luận văn bao gồm ba chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tơi trình bày các vấn đề sau:
1) Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất.
2) Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn.
3) Một số khái niệm hiệu chỉnh đầy đủ và hiệu chỉnh nửa đầy đủ.
Chương 2: Các phương pháp xấp xỉ giải bài toán quy hoạch ngẫu
nhiên
Chương này cùng với Chương 3 chính là nội dung chính của luận văn.
Trong chương này, chúng tơi trình bày các phương pháp xấp xỉ giải bài
toán quy hoạch ngẫu nhiên, cải tiến cho những quy tắc quyết định tuyến
tính. Chúng tơi trình bày các vấn đề sau:
1) Phép xấp xỉ bởi những quy tắc quyết định.
2) Quy tắc quyết định tuyến tính.
3) Quy tắc quyết định tuyến tính lệch.
4) Quy tắc quyết định tuyến tính cơ lập.
5) Quy tắc quyết định tuyến tính lệch-cơ lập.
6) Mơ hình nhiều giai đoạn.
Trong cả hai xấp xỉ: quy tắc quyết định tuyến tính lệch và quy tắc quyết
định tuyến tính cơ lập thì những quy tắc quyết định tuyến tính là chìa khóa
cho phép cơ cấu sự sử dụng cho những mơ hình nhiều giai đoạn.


5

Xấp xỉ đầu tiên, tư tưởng là để thu được mơ hình quy hoạch ngẫu nhiên
chưa biết những ràng buộc cố định, trong khi thích hợp phạt những vi
phạm ràng buộc của hàm mục tiêu. Sử dụng những quy tắc quyết định
tuyến tính và xấp xỉ cố định của hàm mục tiêu mới (với kỳ hạn phạt), mơ

hình được vận hành trong một quy hoạch nón bậc hai (SOC), điều mà có
thể thu được hiệu quả cả trong lý thuyết và thực hành tính tốn.
Xấp xỉ thứ hai, tư tưởng ở đây là đưa vào một quy tắc quyết định, đó
là một hàm tuyến tính từng khúc của những yếu tố ngẫu nhiên cơ bản.
Chương 3: Sự hiệu chỉnh đầy đủ và sự hiệu chỉnh nửa đầy đủ
Trong Chương này chúng tơi trình bày các nội dung sau:
1) Vài nét giới thiệu về nội dung của chương.
2) Một số tính chất về ma trận hiệu chỉnh đầy đủ, ma trận hiệu chỉnh nửa
đầy đủ.
Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học
của PGS. TS. Trần Xuân Sinh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới
thầy về sự hướng dẫn tận tâm của thầy đối với tác giả trong suốt thời gian
học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới PGS. TS. Nguyễn Văn
Quảng, PGS. TS. Phan Đức Thành, TS. Nguyễn Trung Hồ và các thầy
cơ giáo trong tổ Xác suất Thống kê và Toán ứng dụng, các thầy cơ Khoa
Tốn, Khoa Sau Đại học. Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn tới
gia đình và bạn bè đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện tốt để tác giả
thực hiện luận văn này.
Mặc dù đã cố gắng nhiều, song luận văn không thể tránh khỏi những
sai sót. Tác giả rất mong nhận được những đóng góp ý kiến của q thầy
cơ giáo và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tác giả xin chân thành cảm ơn!
Vinh, tháng 12 năm 2009.
Tác giả


6

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1
1.1.1

Một số kiến thức cơ bản về lý thuyết xác suất
Không gian xác suất tổng quát

1.1.1.1 Đại số và σ-đại số. Giả sử Ω là một tập tùy ý khác rỗng. Ký
hiệu P(Ω) là tập hợp gồm tất cả các tập con của Ω. Khi đó, lớp A ⊆ P(Ω)
được gọi là một đại số nếu:
(i) Ω ∈ A,
(ii) A ∈ A ⇒ A = Ω \ A ∈ A,
(iii) A, B ∈ A ⇒ A ∪ B ∈ A.

(1.1)
(1.2)
(1.3)

Lớp F ⊆ P(Ω) được gọi là σ-đại số nếu nó là đại số và thỏa mãn thêm
điều kiện:
∞

(iv) An ∈ F, ∀n = 1, 2, . . . suy ra

An ∈ F.

(1.4)

n=1

Nhận xét.

Trong điều kiện (i) thì Ω ∈ A có thể thay thế bởi ∅ ∈ A.

Trong điều kiện (ii) thì A ∈ A ⇒ A = Ω \ A ∈ A có thể thay thế bởi
A, B ∈ A ⇒ A \ B ∈ A.
Trong điều kiện (iii) thì A ∪ B có thể thay thế bởi A ∩ B.
Trong điều kiện (iv) thì

∞
n=1 An

có thể thay thế bởi

∞
n=1 An .

1.1.1.2 Độ đo xác suất. Giả sử A ⊂ P(Ω) là một đại số nào đó. Hàm
tập hợp P(·) xác định trên A được gọi là độ đo xác suất hữu hạn cộng tính
(hay cộng tính hữu hạn) nếu:
(i) P(A) ≥ 0, A ∈ A,
(ii) P(Ω) = 1,
(iii) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) nếu A, B ∈ A và A ∩ B = ∅.

(1.5)
(1.6)
(1.7)

7

Hàm tập hợp P(·) xác định trên đại số A được gọi là độ đo xác suất σ-cộng
tính nếu nó thỏa mãn hai điều kiện (i) và (ii) và thỏa mãn:
∞

(iv) Nếu Ai ∈ A, i = 1, 2, . . . ; Ai ∩ Aj = ∅, i = j;

Ai ∈ A thì:
i=1

∞

∞

Ai ) =

P(
i=1

P(Ai ).

(1.8)

i=1

Tính chất. Từ điều kiện (iii), bằng quy nạp ta có thể suy ra rằng
Ai ∈ A, i = 1, 2, . . . , n và Ai ∩ Aj = ∅ với mọi i = j thì:
n

n

Ai ) =

P(
i=1

Ai .

(1.9)

i=1

Cũng từ điều kiện (ii) và (iii) suy ra P(A) = 1 − P(A).
Rõ ràng tính chất σ-cộng tính của độ đo xác suất suy ra tính chất hữu
hạn cộng tính. Điều ngược lại nói chung khơng đúng. Tuy nhiên, phát biểu
sau đây khẳng định điều kiện cần và đủ để một độ đo xác suất hữu hạn
cộng tính trở thành σ-cộng tính:
”Giả sử P là một độ đo xác suất hữu hạn cộng tính trên đại số A. Khi
đó, bốn điều kiện sau đây là tương đương:
1) P là cộng tính đếm được (σ-cộng tính);
2) P liên tục trên, tức là nếu An ∈ A, n = 1, 2, . . . là dãy không giảm
(An ⊆ An+1 ) và limn→∞ An = ∞
n=1 An ∈ A thì:
∞

An ) = lim P(An )”.

P(

n→∞

n=1

(1.10)

3) P liên tục dưới, tức là nếu An ∈ A, n = 1, 2, . . . là dãy giảm (An ⊆ An−1 )
và limn→∞ An = ∞
n=1 An ∈ A thì:
∞

An ) = lim P(An ).

P(

n→∞

n=1

(1.11)

4) P liên tục tại không, tức là nếu An ∈ A, An ⊇ An+1 , n = 1, 2, . . . và
∞
n=1 An = ∅ thì:
lim P(An ) = 0.
(1.12)
n→∞

Từ ∅ ∪ ∅ = ∅ và từ điều kiện (ii) và (iii) ta suy ra:
P(∅) = 0.

(1.13)


8

Suy từ A ⊆ B ⇒ B = A ∪ (B \ A), A ∩ (B \ A) = ∅ ⇒ P(B) =
P(A) + P(B \ A) nên ta có tính chất đơn điệu của P:
A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B).

(1.14)

Suy từ tính chất trên và A ⊆ Ω nên ta có:
P(A) ≤ 1.

(1.15)

Suy từ A ∪ B = A ∪ (B \ A) và P(B \ A) = P(B) − P(A ∩ B) nên ta có:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

(1.16)

Tổng quát, bằng phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được:
n

n

P(
k=1

(−1)k−1

Ak ) =

P(Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik ).

(1.17)

1≤i1
k=1

Từ tính chất trên suy ra:
P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B).

(1.18)

∞
Suy từ đẳng thức ∞
n=1 An =
n=1 Bn và từ điều kiện (iv), trong đó
n−1
Bn = An \ k=0 Ak , A0 = ∅, ta có:
∞

∞

An ) ≤

P(

n=1

P(An ).

(1.19)

n=1

Nếu An ⊇ Bn , n = 1, 2, . . . thì từ các tính chất trên và từ hệ thức
∞
∞
( ∞
n=1 An ) \ ( n=1 Bn ) ⊆
n=1 (An \ Bn ) ta sẽ có:
∞

P(
n=1

∞

An ) − P(
n=1

∞

Bn ) ≤

(P(An ) − P(Bn )) .

(1.20)

n=1

1.1.1.3 Không gian đo và không gian xác suất. Cặp (Ω, F), trong đó
Ω = ∅ bất kỳ, cịn F là σ-đại số các tập con của Ω được gọi là một không
gian đo.
Ta gọi bộ ba (Ω, F, P) với Ω là một tập hợp tùy ý các phần tử ω, F là
σ-đại số các tập con của Ω, P là độ đo xác suất σ-cộng tính (hay nói gọn
là xác suất trên F), là không gian xác suất.
Tập Ω được gọi là không gian các biến cố sơ cấp, tập A ∈ F được gọi
là các biến cố, P(A) gọi là xác suất của biến cố A. P được gọi là xác suất
trên F.


9

1.1.2

Biến ngẫu nhiên và hàm phân phối

Giả sử (Ω, F) là không gian đo đã cho, R = [−∞, +∞].
1.1.2.1 Biến ngẫu nhiên. Hàm thực X = X(ω) xác định trên Ω, lấy giá
trị trên R gọi là hàm F-đo được (hoặc biến ngẫu nhiên suy rộng) nếu:
{ω : X(ω) ∈ B} = X −1 (B) ∈ F,

(1.21)

với mọi B ∈ B(R), trong đó B(R) là σ-đại số các tập Borel của R.
Thêm vào đó, nếu

X : Ω → R = (−∞, +∞),

(1.22)

thì ta nói X là biến ngẫu nhiên.
1.1.2.2 Tính chất của biến ngẫu nhiên. Giả sử X : Ω → R. Khi đó,
các mệnh đề sau là tương đương:
(a)
(b)
(c)
(d)

X là biến ngẫu nhiên,
{ω : X(ω) < x} ∈ F với mọi x ∈ R,
{ω : X(ω) ≤ x} ∈ F với mọi x ∈ R,
{ω : a ≤ X(ω) < b} ∈ F với mọi a ∈ R, b ∈ R, a < b.

(1.23)
(1.24)
(1.25)
(1.26)

1.1.2.3 σ-đại số sinh bởi biến ngẫu nhiên. Giả sử (Ω, F, P) là không
gian xác suất. Khi đó, nếu X là biến ngẫu nhiên thì họ:
F(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(R)},

(1.27)

lập thành một σ-đại số con của σ-đại số F, nó là σ-đại số bé nhất mà X
đo được và ta gọi nó là σ-đại số sinh bởi biến ngẫu nhiên X.

1.1.2.4 Hàm Borel. Hàm ϕ : (Rn , B(Rn )) → (R, B(R)) được gọi là hàm
Borel nếu nó là B(Rn )-đo được, nghĩa là:
ϕ−1 (B) ∈ B(Rn ) với mỗi B ∈ B(R).

(1.28)

Tính chất. Giả sử X1 , X2 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác
định trên (Ω, F) và ϕ(t1 , t2 , . . . , tn ) là hàm Borel giá trị thực. Khi đó,
Y = ϕ(X1 , X2 , . . . , Xn ) cũng là biến ngẫu nhiên.
Từ đó suy ra rằng nếu X, Y là các biến ngẫu nhiên và a ∈ R thì
aX, X ± Y, X.Y, max(X, Y ), min(X, Y ),
X
X + = max(X, 0), X − = max(−X, 0), |X| = X + + X − , (Y = 0) (1.29)
Y


10

đều là các biến ngẫu nhiên.
Giả sử (Xn , n ≥ 1) là dãy các biến ngẫu nhiên và supn Xn , inf n Xn hữu
hạn trên Ω. Khi đó ta có:
sup Xn , inf Xn , lim sup Xn , lim inf Xn ,
(1.30)
n

n

n

n

là các biến ngẫu nhiên. Đặc biệt, nếu limn→∞ Xn = X, X hữu hạn thì X
cũng là biến ngẫu nhiên.
1.1.2.5 Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên. Giả sử X là
biến ngẫu nhiên xác định trên (Ω, F, P), nhận giá trị trên R = (−∞, +∞).
Khi đó, hàm số
FX (x) = P[X < x], x ∈ R,
(1.31)
được gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X.
Nhận xét. Hàm phân phối F (x) = FX (x) có một số tính chất sau:
Tính đơn điệu, tức là: x ≤ y ⇒ F (x) ≤ F (y).
Tính liên tục trái, có giới hạn phải tại mọi điểm.
F (−∞) := limx→−∞ F (x) = 0, F (+∞) := limx→+∞ F (x) = 1.
1.1.2.6 Tính độc lập. Giả sử (Ω, F, P) là một không gian xác suất. Khi
đó, họ hữu hạn {Fi , i ∈ I} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập nếu:
Ai ) =

P(
i∈I

P(Ai ),

(1.32)

i∈I

với Ai ∈ Fi (i ∈ I) bất kỳ.
Họ vô hạn {Fi , i ∈ I} các σ-đại số con của F được gọi là độc lập nếu
mọi họ con hữu hạn của nó là độc lập.
Họ các biến ngẫu nhiên {Xi , i ∈ I} được gọi là độc lập nếu họ các σ-đại

số sinh bởi chúng {F(Xi ), i ∈ I} là độc lập.
Họ các biến cố {Ai , i ∈ I} ⊆ F được gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu
nhiên {IAi , i ∈ I} là độc lập.
1.1.3

Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên

1.1.3.1 Kỳ vọng toán. Giả sử X : (Ω, F, P) → (R, B(R)) là biến ngẫu
nhiên. Khi đó, tích phân Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được
gọi là kỳ vọng của X và ký hiệu là EX. Vậy,
EX =

XdP.
Ω

(1.33)


11

Lược đồ xây dựng kỳ vọng. Lược đồ xây dựng kỳ vọng chính là lược
đồ xây dựng tích phân Lebesgue.
Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản:
n

ak IAk ,

X=

ak ∈ R, Ai ∈ F, i = 1, 2, . . . , n;

(1.34)

k=1

thì

n

ak P(Ak ).

EX :=

(1.35)

k=1

Nếu X là biến ngẫu nhiên khơng âm thì X là giới hạn của một dãy tăng
các biến ngẫu nhiên đơn giản (Xn , n ≥ 1), chẳng hạn như:
n.2n

Xn =
k=1

k−1
k
I k−1
+ nI(X≥n) .
2n ( 2n ≤X< 2n )

(1.36)

EX := lim EXn .

(1.37)

Khi đó,
n→∞

Nếu X là biến ngẫu nhiên bất kỳ thì X = X + − X − , trong đó X + =
max(X, 0) ≥ 0; X − = max(−X, 0) ≥ 0. Khi đó,
EX := EX + − EX − (nếu tồn tại).

(1.38)

1.1.3.2 Phương sai và hiệp phương sai. Giả sử X, Y là các biến ngẫu
nhiên. Khi đó, số
Cov(X, Y ) := E(X − EX)(Y − EY ) (nếu tồn tại),

(1.39)

được gọi là hiệp phương sai (còn được gọi là Covarian, hay Moment tương
quan) của hai biến ngẫu nhiên X, Y . Đặc biệt, khi X = Y thì số
DX := E(X − EX)2 ,

(1.40)

(hay cịn kí hiệu là V ar(X)) được gọi là phương sai của biến ngẫu nhiên X.
Cho X1 , X2 , . . . , Xn là dãy các biến ngẫu nhiên. Với mỗi cặp 1 ≤ i, j ≤ n,
ta ký hiệu λi,j = Cov(Xi , Xj ). Khi đó, ma trận

λ

1,1 λ1,2 · · · λ1,n
λ
λ
··· λ 
Σ = [λi,j ] =  · ·2,1· · ·2,2· · · · · 2,n
(1.41)
·· ,
λn,1 λn,2 · · · λn,n
được gọi là ma trận Covarian của dãy các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , . . . , Xn .
Rõ ràng ma trận Covarian là một ma trận đối xứng, xác định dương.


12

1.1.3.3 Một số tính chất.

Nếu X ≥ 0 thì EX ≥ 0.

Nếu X = C thì EX = C.
Nếu tồn tại EX thì với mọi C ∈ R ta có E(CX) = CEX.
Nếu tồn tại EX, EY thì E(X ± Y ) = EX ± EY.

 i xi pi nếu X rời rạc nhận các giá trị x1 , x2 , . . .
với P(X = xi ) = pi ,
EX =
 +∞
−∞ xp(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x).
Tổng quát, nếu f : R → R là hàm đo được và Y = f (X) thì:


 i f (xi )pi nếu X rời rạc nhận các giá trị x1 , x2 , . . .
với P(X = xi ) = pi ,
EX =
 +∞
−∞ f (x)p(x)dx nếu X liên tục có hàm mật độ p(x).
(Định lý P. Levi về hội tụ đơn điệu). Nếu Xn ↑ X (tương ứng Xn ↓ X)
và tồn tại n để EXn− < ∞ (tương ứng EXn+ < ∞) thì EXn ↑ EX (tương
ứng EXn ↓ EX).
(Bổ đề Fatou). Nếu Xn ≥ Y với mọi n ≥ 1 và EY > −∞ thì:
ElimXn ≤ limEXn .

(1.42)

Nếu Xn ≤ Y với mọi n ≥ 1 và EY < ∞ thì:
limEXn ≤ ElimXn .

(1.43)

Nếu |Xn | ≤ Y với mọi n ≥ 1 và EY < ∞ thì:
ElimXn ≤ limEXn ≤ limEXn ≤ ElimXn .

(1.44)

(Định lý Lebesgue về hội tụ bị chặn). Nếu |Xn | ≤ Y với mọi n ≥ 1,
EY < ∞ và Xn → X thì X khả tích, E|Xn − X| → 0 và EXn → EX (khi
n → ∞).
Nếu ϕ là hàm lồi, X và ϕ(X) khả tích thì E(ϕ(X)) ≥ ϕ(EX).
Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì E(XY ) = EX.EY.
Tổng quát, nếu (Xn , n ≥ 1) là dãy các đại lượng ngẫu nhiên độc lập thì

với mọi số tự nhiên n > 1 ta đều có:
E(X1 X2 . . . Xn ) = EX1 .EX2 . . . EXn .
Cov(X, Y ) = E(XY ) − EX.EY. Đặc biệt là DX = EX 2 − (EX)2 .

(1.45)


13

DX ≥ 0 và DX = 0 khi và chỉ khi X = EX h.c.c.
D(CX) = C 2 DX, với X là biến ngẫu nhiên và C ∈ R.
Nếu X, Y là hai biến ngẫu nhiên độc lập thì D(X ± Y ) = DX + DY.
Tổng quát, nếu (Xi )i=1,n là họ các biến ngẫu nhiên độc lập thì:
D(X1 ± X2 ± · · · ± Xn ) = DX1 + DX2 + DXn .

(1.46)

1.1.3.4 Bất đẳng thức Markov. Giả sử (Ω, F, P) là không gian xác suất,
X là biến ngẫu nhiên. Khi đó, với mỗi số thực ε > 0 thì ta có:
P{|X| > ε} ≤

E|X|p
,
εp

(1.47)

với mọi p thỏa mãn 0 < p < ∞.
1.1.3.5 Bổ đề Borel-Cantelli. Giả sử (An , n ≥ 1) là dãy các biến cố bất
kỳ. Khi đó,

a) Nếu
∞

P(An ) < ∞,

(1.48)

n=1

thì:
P(lim sup An ) = 0.

(1.49)

n

b) Nếu
∞

P(An ) = ∞,

(1.50)

n=1

và (An , n ≥ 1) độc lập thì:
P(lim sup An ) = 1,

(1.51)

n

trong đó:

∞

∞

lim sup An =
n

1.2

Am .

(1.52)

n=1 m=n

Bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên hai giai đoạn

Một bài toán ngẫu nhiên hai giai đoạn cổ điển với sự hiệu chỉnh cố định
có thể biểu diễn như sau (xem [7]):
min{cT x + E(Q(x, ˜z))}


14

với điều kiện:

Ax = b,
x ≥ 0,

(1.53)

trong đó:
Q(x, z) = min{fT w}
với điều kiện:

T(z)x + Ww = h(z),
wi ≥ 0, ∀i ∈ I ⊆ {1, 2, ..., n2 },

(1.54)

với c, f và b tương ứng là những vectơ trong Rn1 , Rn2 và Rm1 .
Trong công thức này, ˜z ∈ RN là vectơ các yếu tố ngẫu nhiên mà thống
nhất tất cả những yếu tố ngẫu nhiên trong mơ hình ngẫu nhiên và E được
dùng đặc trưng cho kỳ vọng kết hợp với biến ngẫu nhiên ˜z. Chúng ta xét
cho T(˜z) và h(˜z) được xác định như sau:
N
0

N
k

T(˜z) = T +

T z˜k ,

0

hk z˜k ,

h(˜z) = h +

k=1

k=1

với T0 , T1 , . . . , TN ∈ Rm2 xn1 và h0 , h1 , . . . , hN ∈ Rm2 .
Ma trận A và W tương ứng là ma trận trong Rm1 xn1 và Rm2 xn2 .
Cho (x, z), ở giai đoạn thứ hai giá trị Q(x, z) là +∞ nếu tập phương án
của bài toán (1.54) là rỗng, là −∞ nếu hàm mục tiêu của bài toán (1.54)
là khơng bị chặn dưới.
Mơ hình ngẫu nhiên đặc trưng cho một chuỗi các sự kiện. Tại đây vectơ
x và w tương ứng là giai đoạn thứ nhất và giai đoạn thứ hai của biến quyết
định. Quyết định giai đoạn thứ nhất x, phải được tạo ra trước giá trị thực
tế của ˜z thực hiện; sau khi thiết lập quyết định x và sau khi những yếu tố
ngẫu nhiên đã thực hiện, quyết định giai đoạn thứ hai w (quyết định hiệu
chỉnh) có thể được tạo ra.
Với những điều kiện rất tổng quát, bài toán (1.53) là tương đương với:
ZSTOC = min{cT x + E(fT w(˜z))}


Ax = b,



T(˜z)x + Ww(˜z) = h(˜z),
với điều kiện: wi (˜z) ≥ 0 ∀i ∈ I,



x ≥ 0,


w(˜z) ∈ Y,

(1.55)

với Y là một không gian các ánh xạ từ RN tới Rn2 , nó là đo được đối với
khơng gian xác suất trên đó vectơ ngẫu nhiên ˜z là xác định. Hàm w(·) là


15

vectơ của giai đoạn thứ hai, hoặc hiệu chỉnh cho sự thực hiện của ˜z.
Trong hầu hết các bài toán, chúng ta thừa nhận rằng ma trận W khơng
có điều kiện bất định. Đây là chỉ dẫn chung cho những bài toán với hiệu
chỉnh cố định.
Trong phần tiếp theo, chúng tôi không đưa ra hiểu biết thông tin phân
phối một cách đầy đủ của những yếu tố ngẫu nhiên. Phần nào đó, chúng tơi
giả thiết rằng những yếu tố ngẫu nhiên {˜
zj }j=1,N là những biến ngẫu nhiên
có trung bình bằng không với hiệp phương sai Σ và giá trị ˜z ∈ W = [−z, ¯z],
¯
với một số thành phần z và ¯z có thể vơ hạn, phản ánh những giá trị không
¯
bị chặn.

1.3

1.3.1

Một số khái niệm về sự hiệu chỉnh đầy đủ và sự
hiệu chỉnh nửa đầy đủ
Sự hiệu chỉnh đầy đủ

1.3.1.1 Quan hệ hiệu chỉnh đầy đủ. Bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên
(1.53) được gọi là có quan hệ hiệu chỉnh đầy đủ nếu với bất kỳ phương án
x ∈ {x|Ax = b, x ≥ 0} thì Q(x, ˜z) < +∞ với xác suất 1.
Nhận xét. Trong những bài toán với quan hệ hiệu chỉnh đầy đủ, bài
toán giai đoạn hai hầu như chắc chắn chấp nhận được cho bất kỳ sự lựa
chọn cho tính chấp nhận được của vectơ quyết định giai đoạn một x.
Nói chung khơng dễ để nhận ra những điều kiện về quan hệ hiệu chỉnh
đầy đủ (Xem [6]). Do đó, chúng ta xem xét tới một trường hợp rất tổng
quát của nó, đó là sự hiệu chỉnh đầy đủ, nó được định nghĩa thông qua ma
trận hiệu chỉnh W và ta gọi là ma trận hiệu chỉnh đầy đủ.
1.3.1.2 Ma trận hiệu chỉnh đầy đủ. Ma trận W cấp m × n được gọi
là ma trận hiệu chỉnh đầy đủ, nếu với mỗi vectơ cột t cấp m × 1 đều tồn
tại vectơ cột w = [w1 w2 . . . wn ]T cấp n × 1 sao cho wj ≥ 0, ∀j = 1, n và
Ww = t.
Nhận xét. Ta gọi W1 , W2 , . . . , Wn là các vectơ cột của ma trận W (ma
trận W là ma trận hiệu chỉnh đầy đủ). Từ Định nghĩa 1.3.1.2 suy ra hệ
các vectơ cột {W1 , W2 , . . . , Wn } là phụ thuộc tuyến tính. Ta suy ra
rank(W) ≤ min{m, n − 1}.

(1.56)

Nhận thấy rằng, định nghĩa sự hiệu chỉnh đầy đủ chỉ được quyết định
trên cấu trúc của ma trận W, điều này làm cho nó dễ kiểm tra. Hơn nữa,
nhiều bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên có sự hiệu chỉnh đầy đủ.

16

Nghiên cứu các tính chất về sự hiệu chỉnh đầy đủ và sự hiệu chỉnh nửa
đầy đủ, ta cần tới Mệnh đề sau:
1.3.1.3 Mệnh đề. Trong không gian vectơ k-chiều Rk , một hệ các vectơ
→
→
→
→
{−
v1 , −
v2 , . . . , −
vs } có hạng bé hơn k thì ln có thể bổ sung một vectơ −
v−
s+1 để
→
→
→
→
→
rank{−
v ,−
v ,...,−
v−→} = rank{−
v ,−
v ,...,−
v } + 1,
(1.57)

1

2

s+1

1

2

s

→
− −
→
→
→
−
nghĩa là vectơ −
v−
s+1 không thuộc không gian vectơ con v1 , v2 , . . . , vs sinh
→
→
→
bởi hệ vectơ {−
v1 , −
v2 , . . . , −
vs }.
1.3.2

Sự hiệu chỉnh nửa đầy đủ

1.3.2.1 Bài toán xuất phát. Để cải tiến quy tắc quyết định tuyến tính,
đầu tiên chúng tôi khảo sát tỉ mỉ cấu trúc ma trận hiệu chỉnh W bằng việc
xem xét bài toán tối ưu tuyến tính sau đây:
f i = min{fT p}

Wp = 0,
với điều kiện: pi = 1,

pj ≥ 0, j ∈ I,

(1.58)

với mỗi i ∈ I. Nếu bài toán tối ưu tương ứng là khơng chấp nhận được,
chúng ta có f i = ∞. Để thuận tiện, chúng ta định nghĩa những tập hợp
sau đây:
I2 I\I1 .
(1.59)
I1 {f i < ∞ | i ∈ I},
Khi f i hữu hạn, chúng ta ký hiệu p
¯i là phương án tối ưu tương ứng.
Hơn nữa, nếu bài toán gốc (1.55) bị chặn dưới, chúng ta có f i ≥ 0.
1.3.2.2 Ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ. Tập hợp tất cả các cột i ∈ I1
của ma trận hiệu chỉnh W cho ta một ma trận W s . Chúng ta gọi W s là
một ma trận hiệu chỉnh nửa đầy đủ.
Bài toán (1.55) miêu tả tổng quát hơn hệ thống hiệu chỉnh cố định mô
tả trong công thức tối ưu ngẫu nhiên cổ điển (1.53). Chúng ta lưu ý rằng
hầu hết đều thừa nhận một bài toán tối ưu ngẫu nhiên hai giai đoạn với
quan hệ hiệu chỉnh đầy đủ có thể chấp nhận xấp xỉ tốt bởi những xấp

xỉ mẫu ngẫu nhiên. Trong sự vắng mặt của quan hệ hiệu chỉnh đầy đủ,
phương án thu được từ những xấp xỉ mẫu có thể khơng có ý nghĩa. Dù
là bài tốn gốc khơng chấp nhận được, giá trị hàm mục tiêu thu được từ
một xấp xỉ mẫu có thể bị chặn. Điều này thúc đẩy chúng ta xem xét tìm
ra những bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên sử dụng những quy tắc quyết
định, nó có tiềm năng dẫn tới những bài tốn hiệu chỉnh tổng qt hơn và
những mơ hình nhiều giai đoạn.


17

Chương 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ GIẢI BÀI TOÁN QUY
HOẠCH NGẪU NHIÊN

2.1

Phép xấp xỉ bởi những quy tắc quyết định

Với giả thiết rằng tham số ngẫu nhiên có phân phối độc lập, Dyer và
Stougie (năm 2006) chứng tỏ rằng những bài tốn quy hoạch ngẫu nhiên
hai giai đoạn là P-khó. Dưới giả thiết tương tự, họ đã chứng tỏ được rằng
những bài toán quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn cố định là PSPACEkhó. Do số trường hợp có khả năng xảy ra là vô cùng lớn, những phương
pháp mẫu Monte Carlo là một phương án xấp xỉ quan trọng xấp xỉ tới
những bài toán tối ưu ngẫu nhiên. Mặc dù chấp nhận độ lớn về xấp xỉ
này, hiệu quả thực hiện của nó chỉ phù hợp trong lý thuyết. Các ví dụ
đưa ra địi hỏi xấp xỉ những quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn với độ
chính xác trung bình phát triển theo hàm mũ với số các giai đoạn (xem [8]).
Điều đã biết khác nữa về những mô hình tối ưu ngẫu nhiên là cần đưa
ra chính xác những phân phối xác suất của tất cả tham số ngẫu nhiên để

quản lý mẫu ngẫu nhiên. Mặc dù vậy, những phân phối chính xác khơng
thể giúp ích trong thực hành tính tốn. Từ đó, một xấp xỉ hữu dụng cho
mơ hình (1.55) bằng cách hạn chế những quyết định hiệu chỉnh của những
quy tắc quyết định lý thuyết đã được đưa ra. Ben-Tal và cộng sự vào năm
2005 đã sử dụng những quy tắc quyết định tuyến tính để điều chỉnh sự
tương ứng mạnh; và vào năm 2007 thì Chen cùng cộng sự đã sử dụng
những quy tắc quyết định tuyến tính và thơng báo đầy triển vọng những
kết quả sử dụng tính tốn bằng máy tính cho những quy hoạch ngẫu nhiên
với ràng buộc ngẫu nhiên.
Trong các mục tiếp theo, chúng tôi xét tới những biến hiệu chỉnh nửa
đầy đủ và đưa ra những quy tắc quyết định tổng qt hơn để có thể giải
quyết những bài tốn với hiệu chỉnh nửa đầy đủ. Chúng tôi đầu tiên kiểm
tra lại những quy tắc quyết định tuyến tính và chỉ ra những hạn chế. Sau
đó, chúng tơi giới thiệu những quy tắc quyết định tuyến tính lệch và những
quy tắc quyết định tuyến tính cơ lập, nó mở rộng cho những quy tắc quyết


18

định tuyến tính. Cuối cùng, trong mục cuối, chúng tơi đưa ra sự mở rộng
cho xấp xỉ cho những bài toán quy hoạch ngẫu nhiên nhiều giai đoạn.

2.2

Quy tắc quyết định tuyến tính

Sử dụng những quy tắc quyết định tuyến tính, chúng ta hạn chế những
biến hiệu chỉnh, gọi là w(˜z), được dựa vào những yếu tố ngẫu nhiên. Tất
nhiên, chỉ trong những trường hợp rất hiếm, những quy tắc quyết định
tuyến tính là tối ưu. Thật vậy, ưu điểm của những quy tắc quyết định

tuyến tính chỉ là tính dễ sử dụng của chúng. Như Shapiro và Nemirovski
(xem [8], trang 142) phát biểu:
"Chỉ lí do về tính hạn chế của chúng với những quy tắc quyết
định gần như tuyến tính xuất phát từ mong muốn kết thúc với
một bài tốn dễ xử lý bằng tính tốn bằng máy tính. Chúng tôi
không bịa ra những quy tắc quyết định tuyến tính xấp xỉ tốt cho
những quy tắc tối ưu - dù nó có hay khơng, nó hiệu chỉnh vào
bài tốn, và chúng ta thường khơng có khả năng để hiểu làm cách
nào là tốt trong khía cạnh này ở bài tốn đặc biệt mà chúng tơi
sẽ giải quyết. Lí do đằng sau việc hạn chế những quy tắc quyết
định tuyến tính là thực sự tin tưởng rằng trong sự ứng dụng hiện
nay thì tốt hơn là đưa ra cái đích bình thường và có thể thực hiện
được hơn là một cái đích đầy tham vọng mà chúng ta khơng thể
biết làm cách nào để có thể thực hiện".
2.2.1

Khái niệm

Chúng ta ký hiệu L là khơng gian các hàm tuyến tính. Với w(·) ∈ L ⊆ Y
dẫn đến tồn tại một tập hợp các vectơ w0 , . . . , wN sao cho:
N
0

wk z˜k .

w(˜z) = w +

(2.1)

k=1

Khi đó, chúng ta có thể xấp xỉ bài tốn ngẫu nhiên (1.55) như sau:
ZLDR = min{cT x + fT w0 }

Ax = b,




Tk x + Wwk = hk , ∀k ∈ {0, 1, . . . , N },
với điều kiện: wi (z) ≥ 0, ∀z ∈ W, ∀i ∈ I,


x ≥ 0,



w(·) ∈ L.

(2.2)

Quy tắc quyết định xác định bởi công thức (2.1) được gọi là quy tắc
quyết định tuyến tính.


19

2.2.2

Tính chất

2.2.2.1 Định lý. Với cùng điều kiện khách quan cho các bài toán quy hoạch
ngẫu nhiên (1.55) và (2.2); ta ln có:
ZSTOC ≤ ZLDR .

(2.3)

Chứng minh. Bởi vì với cùng điều kiện khách quan thì bất kỳ phương án
chấp nhận được nào của bài tốn (2.2) vẫn cịn chấp nhận được ở bài tốn
(1.55) nên chúng ta có ZSTOC ≤ ZLDR .
2.2.2.2 Bản chất của bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với quy tắc
quyết định tuyến tính. Với W = [−z, ¯z], ràng buộc nửa vô hạn:
¯
wi (z) ≥ 0, ∀z ∈ W,
(2.4)
là tương đương với:
N

wi0

≥

(z j sj + z j tj ),

(2.5)

j=1

với s, t ≥ 0 thoả mãn sj − tj = wij , j = 1, . . . , N . Do đó, bài tốn (2.2) về
bản chất là một bài tốn tối ưu tuyến tính.

2.2.3

Tính khơng khả thi của những quy tắc quyết định tuyến
tính

Mặc dù những quy tắc quyết định tuyến tính đã thành công trong việc
sử dụng một cách đa dạng các ứng dụng, chẳng hạn như các kết quả của
Ben-Tal và cộng sự vào năm 2005, Chen cùng cộng sự vào năm 2007.
Tuy nhiên, có rất nhiều trường hợp mà những quy tắc quyết định tuyến
tính khơng cịn khả thi cho bài tốn tối ưu ngẫu nhiên ngay cả khi có sự
hiệu chỉnh đầy đủ. Ví dụ như, ta xét cho giá của ˜z là W = (−∞, ∞). Khi
đó, những ràng buộc không âm sau đây:
N
0

wk z˜k ≥ 0.

w(˜z) = w +

(2.6)

k=1

dẫn tới

wk = 0, ∀k ∈ {1, . . . , N },

(2.7)

và quy tắc quyết định rút gọn được w(˜z) = w0 , và từ đó có tính độc lập

của những yếu tố ngẫu nhiên.


20

Điều này có thể dẫn tới một ví dụ khơng khả thi ngay cả trong trường
hợp hiệu chỉnh đầy đủ. Cho ví dụ, xem xét mơ hình tối ưu ngẫu nhiên sau
đây xác định E(|b(˜z)|):
min{E(w1 (˜z) + w2 (˜z)) | w1 (˜z) − w2 (˜z) = b(˜z), w1 (˜z) ≥ 0, w2 (˜z) ≥ 0}, (2.8)
là một hiệu chỉnh đơn. Giả thiết rằng ˜z có giá vơ hạn. Chúng ta phải có
w1 (˜z) = w10 và w2 (˜z) = w20 ,

(2.9)

và từ đó nó sẽ khơng thể thoả mãn ràng buộc đẳng thức.
Mục đích của chúng tơi trong những mục tiếp theo là cải tiến những
quy tắc quyết định tuyến tính cho các biến với đặc tính hiệu chỉnh nửa đầy
đủ. Như chúng ta sẽ thấy, điều kiện hiệu chỉnh nửa đầy đủ có ý nghĩa dù
có một vi phạm ràng buộc do w(˜z), chúng ta vẫn có thể hướng về phương
án chấp nhận được bằng cách cho nó một giá trị hữu hạn.

2.3
2.3.1

Quy tắc quyết định tuyến tính lệch
Khái niệm

Xét bất kỳ quy tắc quyết định r(˜z) thoả mãn:
T(˜z)x + Wr(˜z) = h(˜z),
ri (˜z) ≥ 0 ∀i ∈ I2 ,

(2.10)

và không nhất thiết không âm cho những biến hiệu chỉnh nửa đầy đủ
rj (˜z), j ∈ I1 .
Xuất phát từ quy tắc quyết định r(˜z) ở trên, chúng ta định nghĩa w(˜z)
như sau:
w(˜z) = r(˜z) +
(ri (˜z)− )¯
pi ,
(2.11)
i∈I1

với một đại lượng vô hướng đã cho v, v − = max(0, −v).
Dễ dàng kiểm tra được rằng:
wi (˜z) ≥ 0, ∀i ∈ I; Ww(˜z) = Wr(˜z).

(2.12)

Bởi vậy, với bất kỳ quyết định giai đoạn thứ nhất x đã cho, chỉ cần tồn
tại một quy tắc quyết định giai đoạn hai r(˜z) thoả mãn (2.10), chúng ta có
thể tìm ra một quy tắc quyết định chấp nhận được w(˜z) (chẳng hạn, xác
định bởi cơng thức (2.11)), ta gọi nó là quy tắc quyết định tuyến tính lệch.
Chúng ta chú ý rằng sự khả thi của bài toán (2.10) phụ thuộc vào
phương án trong giai đoạn thứ nhất x.


21

2.3.2

Bài toán quy hoạch ngẫu nhiên với quy tắc quyết định
tuyến tính lệch

Từ cơng thức (2.11), chúng ta có:
f¯i E[ri (˜z)− ].

fT w(˜z) = fT r(˜z) +

(2.13)

i∈I1

Vì thế, sử dụng quy tắc quyết định tuyến tính lệch w(·) xuất phát từ
quy tắc quyết định tuyến tính r(·) , chúng ta có thể xấp xỉ bài tốn (1.55)
như sau:
f¯i E[ri (˜z)− ]}
ZDLDR = min{cT x + fT r0 +
i∈I1


Ax = b,




Tk x + Wrk = hk , ∀k ∈ {0, . . . , N },
với điều kiện: rj (˜z) ≥ 0, ∀j ∈ I2 ,



x ≥ 0,



r(·) ∈ L.

(2.14)

Chú ý là trong cơng thức thu được ở bài tốn trên, chúng ta không thực
sự cần p
¯i định nghĩa ở mục 1.3.2.1. Thực ra, chúng ta thật sự cần ¯fi , i ∈ I.
2.3.3

Tính chất

2.3.3.1 Định lý. Nếu W là một ma trận hiệu chỉnh đầy đủ, chúng ta có
I2 = ∅ và với bất kỳ x, tồn tại một quy tắc quyết định tuyến tính r(·) ∈ L
thoả mãn:
T(˜z)x + Wr(˜z) = h(˜z).
(2.15)
Chứng minh. Ta có:
N
0

rk z˜k .

r(˜z) = r +

(2.16)

k=1

Từ giả thiết của sự hiệu chỉnh đầy đủ, tồn tại r0 , r1 , . . . , rN sao cho:
Tk x + Wrk = hk ,

∀k ∈ {0, . . . , N }.

(2.17)

Điều này dẫn đến kết quả thu được.
2.3.3.2 Định lý. Với cùng điều kiện khách quan cho các bài toán quy hoạch
ngẫu nhiên (1.55), (2.2) và (2.14) thì ta ln có:
ZSTOC ≤ ZDLDR ≤ ZLDR .

(2.18)


22

Chứng minh. Bởi vì bất kỳ phương án chấp nhận được (x, w(˜z)) của bài
tốn (2.14) thì quy tắc quyết định:
(ri (˜z)− )¯
pi ,

w(˜z) = r(˜z) +

(2.19)

i∈I1

là chấp nhận được cho bài toán (1.55) nên với cùng điều kiện khách quan
chúng ta có ZSTOC ≤ ZDLDR .
Hơn nữa, với phương án chấp nhận được bất kỳ (x, w(˜z)) của bài toán
(2.2), chúng ta thấy rằng:
E[f¯i wi (˜z)− ] = 0, ∀i ∈ I1 .
(2.20)
Do đó, từ đẳng thức r(˜z) = w(˜z) và với cùng điều kiện khách quan chúng
ta thu được một phương án chấp nhận được của bài toán (2.14). Vậy nên,
chúng ta có ZSTOC ≤ ZDLDR ≤ ZLDR .
Chú ý. Như vậy, với khẳng định trong mục 2.3.1 và Định lý 2.3.3.1 ta suy
ra rằng những quy tắc quyết định tuyến tính lệch ln chấp nhận được
với bất kỳ bài toán quy hoạch ngẫu nhiên (2.10) với hiệu chỉnh đầy đủ.
Người đọc có thể hỏi vì sao chúng ta còn đưa ra khái niệm " hiệu chỉnh
nửa đầy đủ " mà tính chấp nhận được của những quyết định tuyến tính
lệch là khơng đảm bảo. Lí do đó là hiệu chỉnh nửa đầy đủ là dễ để kiểm
tra và những quy tắc quyết định tuyến tính lệch vẫn có thể chấp nhận
được nếu thiếu sự hiệu chỉnh đầy đủ. Vì thế, có thể thử những quy tắc
quyết định tuyến tính lệch với điều kiện là bài tốn chứa ma trận phụ hợp
(submatrix) hiệu chỉnh nửa đầy đủ.
Đáng tiếc là, việc giải quyết bài tốn (2.14) cịn gặp khó khăn bởi vì
đại lượng E[f¯i wi (˜z)− ] trong hàm mục tiêu là khơng tuyến tính. Trong phần
tiếp theo, chúng ta sẽ xấp xỉ bài toán (2.14) bởi kỹ thuật tối ưu mạnh mà
kết quả của bài toán là dạng quy hoạch SOC (quy hoạch nón bậc hai), nó
có thể thu được hiệu quả cả trong lý thuyết và trong thực hành tính tốn.
2.3.4

Tính bị chặn của hàm mục tiêu

2.3.4.1 Tính bị chặn. Cho một biến ngẫu nhiên r˜ với giá trị trung bình
µ và độ lệch tiêu chuẩn σ, khi đó:

1
E(˜
r−) ≤
−µ + µ2 + σ 2 .
(2.21)
2
Do đó, nếu giả thiết rằng y(˜z) = y0 + yT ˜z ∈ L với y = (y1 , . . . , yN ),
chúng ta có:
E(y(˜z)− ) ≤

1
−y0 +
2

y02 +

1

Σ2 y

2
2

,

(2.22)


23

với Σ là ma trận hiệp phương sai của ˜z.
Tính bị chặn ở trên không dẫn tới hiệu quả của giá trị phân phối, mà
nó có thể hạn chế tính xấp xỉ. Chẳng hạn, nếu y(˜z) ≥ 0 thì nó dẫn tới một
cách tầm thường rằng E(y(˜z)− ) = 0. Tương tự, nếu y(˜z) ≤ 0 thì chúng ta
có E(y(˜z)− ) = −y0 . Với những trường hợp này, tính bị chặn là yếu.
Từ đó, chúng tơi đưa ra tính bị chặn chặt sau đây để giải quyết những
tình huống này trong khi vẫn giữ ưu điểm của quy hoạch SOC.
2.3.4.2 Định lý. Cho ˜z ∈ RN là một vectơ của những biến ngẫu nhiên
có trung bình 0 với ma trận hiệp phương sai Σ và nhận giá trị trong
W = [−z, ¯z].
¯
(a) E (y0 + yT ˜z)− ≤ h(y0 , y), trong đó:
h(y0 , y)
+

min

s, t, u, v≥0

1
−y0 + (s + v)T ˜z + (t + v)T z +
2
¯

(−y0 + (s − v)T ˜z + (t − v)T z)2 +
¯

1

Σ 2 (−y − s + t + u − v)

2
2

.
(2.23)

(b) Hơn nữa,
h(y0 , y) ≤

1
−y0 +
2

y02 +

1

Σ2 y

2
2

.

(2.24)

(c) Giả thiết rằng y(z) ≤ 0, ∀z ∈ W thì:
E (y0 + yT ˜z)− = h(y0 , y) = −y0 .

(2.25)

Tương tự, nếu y(z) ≥ 0, ∀z ∈ W thì:
E (y0 + yT ˜z)− = h(y0 , y) = 0.

(2.26)

Chứng minh. (a) Bởi vì −z ≤ ˜z ≤ ¯z, chúng ta nhận thấy rằng:
¯
T
T
(¯z − ˜z) s ≥ 0, (z + ˜z) t ≥ 0, (¯z − ˜z)T u ≥ 0, (z + ˜z)T v ≥ 0, (2.27)
¯
¯
với mọi s, t, u, v ≥ 0. Bởi vậy,
E (y0 + yT ˜z)− ≤ E (y0 + yT ˜z − (z + ˜z)T t − (¯z − ˜z)T s)−
¯
= E (y0 − (−y + t − s)T ˜z − zT t − ¯zT s)−
¯
= E −y0 + (−y + t − s)T ˜z + zT t + ¯zT s +
¯
+ (y0 − (−y + t − s)T ˜z − zT t − ¯zT s)+
¯
= E −y0 + zT t + ¯zT s + (y0 − (−y + t − s)T ˜z − zT t − ¯zT s)+
¯
¯

(2.28)

24

≤ E −y0 + zT t + ¯zT s + (y0 − (−y + t − s)T ˜z − zT t − ¯zT s +
¯
¯
+ (z + ˜z)T v + (¯z − ˜z)T u)+
¯
= E −y0 + zT t + ¯zT s + (y0 − (−y + t − s + u − v)T ˜z −
¯
− zT (t − v) − ¯zT (s − u))+
¯
= zT v + ¯zT u + E (y0 − (−y + t − s + u − v)T ˜z − zT (t − v) − ¯zT (s − u))−
¯
¯
(2.29)
1
≤ zT v + ¯zT u +
− y0 + zT (t − v) + ¯zT (s − u)+
2
¯
¯
+

(−y0 + zT (t − v) + ¯zT (s − u))2 +
¯

1

2
2

Σ 2 (−y + t − s + u − v)

(2.30)
=

1
2

− y0 + zT (t + v) + ¯zT (s + u)+
¯
+

(−y0 + zT (t − v) + ¯zT (s − u))2 +
¯

1

Σ 2 (−y + t − s + u − v)

2
2

,

(2.31)
với đẳng thức (2.28) và (2.29) suy ra từ x = x+ − x− . Bất đẳng thức (2.30)
là do tính bị chặn (2.21).
(b) Chú ý rằng với s, t, u, v = 0, chúng ta có:
1

2

− y0 + (s + u)T ¯z + (t + v)T z+
¯
+

=

(−y0 + (s − u)T ¯z + (t − v)T z)2 +
¯

1
−y0 +
2

y02 +

1

Σ2 y

2
2

1

Σ 2 (−y − s + t + u − v)

.

2
2

(2.32)

Do vậy,
h(y0 , y) ≤

1
−y0 +
2

y02 +

1

Σ2 y

2
2

.

(c) Chúng ta giả thiết rằng y0 + yT z ≤ 0, ∀z ∈ W. Tiếp theo, cho
s = t = 0, uk = (yk )+ , vk = (−yk )+ với k = 1, . . . , N và
zk∗ =

z¯k nếu yk > 0,
−z k với những trường hợp cịn lại.

Vì z∗ ∈ W, chúng ta có y0 + yT z∗ ≤ 0. Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra được
rằng:
y = u − v và y0 + uT ¯z + vT z = y0 + yT z∗ ≤ 0.
¯


25

Chúng ta có:
1
2
+

− y0 + (s + u)T ¯z + (t + v)T z+
¯
(−y0 + (s − u)T ¯z + (t − v)T z)2 +
¯

1

Σ 2 (−y − s + t + u − v)

2
2

= −y0 .

Từ đó,
− y0 = E (y0 + yT ˜z)− ≤ h(y0 , y) ≤ −y0 .

(2.33)

Tương tự, nếu xảy ra trường hợp y0 + yT z ≥ 0, ∀z ∈ W thì chúng ta cho
v = u = 0, sk = (−yk )+ , tk = (yk )+ với k = 1, . . . , N và
zk∗ =

z¯k nếu yk < 0,
−z k với những trường hợp cịn lại.

Vì z∗ ∈ W nên chúng ta có y0 + yT z∗ ≥ 0. Hơn nữa, dễ dàng kiểm tra
được rằng:
y = t − s và y0 − sT ¯z − tT z = y0 + yT z∗ ≥ 0.
¯
Từ đó, chúng ta có:
1
2

− y0 + (s + u)T ¯z + (t + v)T z+
¯
+

=

(−y0 + (s − u)T ¯z + (t − v)T z)2 +
¯

1

Σ 2 (−y − s + t + u − v)

1
−y0 + sT ¯z + tT z + | −y0 + sT ¯z + tT z | = 0.
2
¯
¯
Do vậy, ta có:

2.3.5

2
2

(2.34)

0 = E (y0 + yT ˜z)− ≤ h(y0 , y) ≤ 0.

Phép xấp xỉ nón bậc hai với một quy tắc quyết định tuyến
tính lệch

2.3.5.1 Bài tốn tối ưu SOC. Tổng hợp những kết quả trước, chúng ta
đưa ra sự xấp xỉ cho bài toán (1.55) như sau:
f¯i gi }

¯ DLDR = min{cT x + fT r0 +
Z
i∈I1


Ax = b,






Tk x + Wrk = hk , ∀k ∈ {0, . . . , N },


r (z) ≥ 0, ∀z ∈ W, ∀j ∈ I2 ,
với điều kiện: j
gi ≥ h ri0 , (ri1 , . . . , riN ) , ∀i ∈ I1 ,




x ≥ 0,



r(·) ∈ L.

(2.35)