Một số đặc trưng của ánh xạ đóng và ánh xạ đóng phủ dãy

0

MỤC LỤC

Mục lục

0

1 Một số vấn đề cơ sở
1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Một số loại không gian và mối liên hệ giữa chúng . . . . . . . .

3
3
7

2 A´nh xạ đóng và ánh xạ đóng phủ dãy
14
2.1. Thớ của ánh xạ đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. A´nh xạ đóng phủ dãy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Kết luận
27
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28


1

LỜI NĨI ĐẦU

ảnh đóng của khơng gian metric có vai trị rất quan trọng trong lý thuyết
tổng qt hóa khơng gian metric. Vì tầm quan trọng của nó mà có nhiều tác

giả đã nghiên cứu về ảnh đóng của một số không gian và đã đưa ra được một
số kết quả quan trọng như: Foged [8] chỉ ra rằng ảnh đóng của khơng gian
metric là khơng gian Fre´chet với k -lưới với σ -bảo tồn bao đóng di truyền.
Lin [9], Gao và Hattori [10] chỉ ra rằng ảnh đóng Lindelof của không gian
metric là không gian Fre´chet và ℵ-không gian. Tanaka [11] đã đưa ra định
lý sau: "Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ k và ℵ không gian chuẩn tắc
X đến không gian tôpô Y , ∂f −1 (y) là Lindelof với mọi y ∈ Y nếu và chỉ nếu
Y không chứa bản sao nào của Sω1 . Yun [12] đã đưa ra câu hỏi sau: "Giả sử
f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ k và ℵ khơng gian X đến khơng gian tơpơ
Y . Khi đó, khẳng định sau có đúng hay không: "Y không chứa bản sao nào
của Sω1 nếu và chỉ nếu ∂f −1 (y) là Lindelof với mọi y ∈ Y ." Gần đây, Jiang,
Lin và Yan [11] đã có những nghiên cứu mới về ánh xạ đóng phủ dãy [12] và
chứng minh rằng tính khả metric được bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy.
chúng ta có thể đưa ra một đặc trưng nội tại cho ảnh đóng σ -compact
của khơng gian metric hay khơng? Trong luận văn này, chúng ta nghiên
cứu về đặc trưng của các không gian tựa đếm được thứ nhất yếu theo
nghĩa của Sirois-Dumais [13]. Qua đó chỉ ra rằng biên của thớ của ánh xạ
đóng trên các k và ℵ-khơng gian là khơng gian Lindelof nếu và chỉ nếu
nó khơng chứa bản sao đóng nào của Sω . Từ đó cho câu trả lời đối với câu
hỏi trong Yun [12].
Tất cả các khơng gian trong khóa luận này đều là T1 và chính qui, các
ánh xạ là liên tục và tồn ánh. Các định nghĩa được sử dụng trong [2] và [7].
Mục đích của Luận văn là dựa vào các tài liệu tham khảo để nghiên
cứu các mối quan hệ giữa các loại khơng gian, trình bày một số tính chất
của các ánh xạ, từ đó đưa ra một số đặc trưng của các loại ánh xạ đóng và


2

ánh xạ đóng phủ dãy.

Với mục đích đó, Luận văn được chia làm hai chương:
Chương 1. Một số vấn đề cơ sở. Trong chương này, đầu tiên chúng
tôi nhắc lại một số khái niệm cơ bản của tôpô đại cương có liên quan tới nội
dung của luận văn. Trình bày khái niệm về không gian metric, không gian
g-đếm được, g-đếm được thứ nhất, g-đếm được thứ hai, không gian F rechet,
ℵ-không gian, không gian dãy, k -lưới,... và mối quan hệ giữa các loại khơng
gian đó.
Chương 2. Một số tính chất của ánh xạ đóng và ánh xạ phủ
dãy. Trong chương này, chúng tơi tập trung nghiên cứu các tính chất của
ánh xạ đóng, ánh xạ phủ dãy trên các loại khơng gian đã trình bày ở chương
1.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình và nghiêm khắc của thầy giáo PGS. TS. Trần Văn Ân. Tác giả xin
bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất của mình đến Thầy. Nhân dịp này, tác giả
xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Tốn, khoa Sau đại học và các
thầy, cơ trong tổ Giải tích và khoa Tốn đã giúp đỡ tác giả trong suốt quá
trình học tập tại trường. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn đến PGS. TS.
Đinh Huy Hoàng, PGS.TS. Tạ Khắc Cư, PGS. TS. Tạ Quang Hải, TS. Vũ
Thị Hồng Thanh,... đã giúp đỡ trong suốt quá trình học tập và hồn thành
luận văn. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, bạn bè và các bạn học viên Cao
học khố 15 - Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tác giả hoàn thành
nhiệm vụ trong suốt thời gian học tập, nghiên cứu.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng song Luận văn không tránh khỏi những thiếu
sót, kính mong q Thầy Cơ và bạn đọc góp ý để luận văn được hoàn thiện
hơn.
Vinh, tháng 12 năm 2009
Tác giả


3

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ SỞ

1.1

Các khái niệm cơ bản

Mục này dành cho việc giới thiệu các khái niệm cơ bản và các kết quả đã
có cần dùng trong luận văn.
1.1.1 Định nghĩa. Cho tập hợp X . Họ T các tập con của X được gọi là
tôpô trên X nếu thoả mãn điều kiện:
(T1 ) ∅, X ∈ T ;
(T2 ) Nếu Gi ∈ T với mọi i ∈ I thì ∪i∈I Gi ∈ T ;
(T3 ) Nếu G1 , G2 ∈ T thì G1 ∩ G2 ∈ T .

Tập hợp X cùng với tơpơ T trên nó được gọi là khơng gian tơpơ và kí hiệu
là (X, T ) hay đơn giản X .
Các phần tử của X được gọi là điểm của không gian tôpô.
Các phần tử thuộc T được gọi là tập mở.
1.1.2 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô và A ⊂ X . Khi đó,
(1) Tập U ⊂ X được gọi là lân cận của A nếu có tập mở V trong X sao
cho A ⊂ V ⊂ U .
(2) Tập con A của X được gọi là lân cận của điểm x ∈ X nếu tồn tại
tập mở V ⊂ X sao cho x ∈ V ⊂ A.
(3) Tập A được gọi là Gδ -tập nếu A là giao của một họ đếm được các
tập mở.


4

1.1.3 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, A là tập con của X .
Điểm x ∈ A được gọi là điểm cô lập của tập hợp A nếu tồn tại lân cận của
x mà không giao với A tại một điểm nào khác.

1.1.4 Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô, A là một tập con của X .
1) Tập A là tập con rời rạc nếu mỗi điểm của A đều là điểm cô lập.
2) Tập A là tập con rời rạc tương đối nếu A là tập rời rạc.
1.1.5 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T1 -không gian nếu với
hai điểm bất kỳ x, y ∈ X mà x = y tồn tại các lân cận tương ứng Ux , Uy
của x và y sao cho y ∈
/ Ux và x ∈
/ Uy .
1.1.6 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là T2 -không gian hay
không gian Hausdorff nếu với hai điểm bất kỳ x, y ∈ X mà x = y tồn tại
các lân cận tương ứng Ux , Uy của x và y sao cho Ux ∩ Uy = ∅.
1.1.7 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là chính quy nếu với mọi
điểm x ∈ X và mọi tập A đóng trong X khơng chứa x tồn tại các tập U, V
mở trong X sao cho x ∈ U ; A ⊂ V, U ∩ V = ∅.
1.1.8 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là chuẩn tắc nếu với mọi
cặp tập đóng rời nhau A và B trong X tồn tại các tập U, V mở trong X sao
cho A ⊂ U ; B ⊂ V, U ∩ V = ∅.
1.1.9 Định nghĩa. Dãy xn trong không gian tôpô X được gọi là hội tụ
tới x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x tồn tại no ∈ N sao cho xn ∈
U với mọi n ≥ no . Khi đó ta viết xn → x.

1.1.10 Nhận xét. Nếu X là không gian Hausdorff, một dãy trong X hội
tụ thì hội tụ tới một điểm duy nhất.

5

1.1.11 Định nghĩa. Giả sử X , Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f :
X → Y . Ánh xạ f được gọi là liên tục tại x ∈ X nếu mỗi lân cận V của
f (x), tồn tại lân cận U của x sao cho f (U ) ⊂ V . Ánh xạ f được gọi là liên

tục trên X (nói gọn là liên tục) nếu nó liên tục tại mọi điểm của X .
1.1.12 Định nghĩa. Giả sử X , Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f :
X → Y . Ánh xạ f được gọi là mở nếu ảnh của một tập con mở bất kỳ

trong X là một tập con mở trong Y .
1.1.13 Định nghĩa. Giả sử X , Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f :
X → Y . Ánh xạ f được gọi là đóng nếu ảnh của một tập con đóng bất kỳ

trong X là một tập con đóng trong Y .
1.1.14 Định nghĩa. Giả sử X , Y là hai không gian tôpô và ánh xạ f :
X → Y . Ánh xạ f được gọi là ánh xạ thương nếu tập U là mở trong Y khi

và chỉ khi f −1 (U ) mở trong X .
1.1.15 Định lý. Giả sử X và Y là các không gian tôpô và ánh xạ f : X →
Y . Khi đó, các điều kiện sau tương đương

(1) f liên tục.
(2) Nếu E là tập mở trong Y thì f −1 (E) là tập mở trong X .
(3) Nếu E là tập đóng trong Y thì f −1 (E) là tập đóng trong X .
1.1.16 Định nghĩa. Ánh xạ f : X −→ Y từ không gian tôpô X lên không
gian tôpô Y được gọi là đồng phôi nếu f là song ánh và liên tục hai chiều.
Khi đó hai khơng gian X và Y được gọi là đồng phôi với nhau.
1.1.17 Định nghĩa. Ánh xạ f : X −→ Y từ không gian tơpơ X lên khơng
gian tơpơ Y được gọi là hồn chỉnh nếu f là ánh xạ đóng và f −1 (y) là tập

con compact của X với mỗi y ∈ Y .


6

1.1.18 Định nghĩa. Tập con V của không gian tôpô X được gọi là lân
cận dãy của x ∈ X nếu với mỗi dãy {xn } hội tụ về x thì tồn tại no ∈ N sao
cho {xn : n ≥ no } ⊂ V .
1.1.19 Định nghĩa. Phủ P của tập hợp X được gọi là cái mịn của phủ
U khi và chỉ khi mỗi phần tử của phủ P được chứa trong một phần tử nào

đó của phủ U .
1.1.20 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là compact nếu mỗi phủ
mở của nó chứa một phủ con hữu hạn. Tập A ⊂ X được gọi là tập compact
nếu không gian A với tôpô cảm sinh trên X là một không gian compact.
1.1.21 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là compact địa phương
nếu với mọi x ∈ X tồn tại lân cận U của x sao cho U compact.
1.1.22 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là compact theo dãy
nếu mỗi dãy của nó chứa một dãy con hội tụ.
1.1.23 Định nghĩa. Giả sử P là một họ các tập con của không gian tơpơX .
Khi đó,
(1) P được gọi là sao đếm được nếu với mọi P ∈ P, P giao với không
quá đếm được các phần tử của P .
(2) P được gọi là đếm được theo điểm (tương ứng, hữu hạn theo điểm)
nếu với mỗi x ∈ X, x thuộc đếm được (tương ứng, thuộc hữu hạn) phần tử
của P .
(3) P được gọi là hữu hạn địa phương nếu với mọi x ∈ X , tồn tại một
lân cận V của x sao cho V chỉ giao với hữu hạn phần tử của P .
(4) P được gọi là σ -hữu hạn địa phương (tương ứng, σ hữu hạn theo
∞

điểm) nếu P =

Pn , trong đó Pn là hữu hạn địa phương (tương ứng, hữu
i=1

hạn theo điểm).


7

(5) P được gọi là compact hữu hạn (tương ứng, cs-hữu hạn) nếu mỗi
tập compact K ⊂ X (tương ứng, mỗi dãy hội tụ S trong X ) thì K (tương
ứng, S ) chỉ giao với hữu hạn phần tử của P .
(6) P được gọi là σ -compact hữu hạn (tương ứng, σ -cs-hữu hạn) nếu
∞

P=

Pn , trong đó Pn là compact hữu hạn (tương ứng, cs-hữu hạn).
i=1

Ngoài ra một số khái niệm khác được hiểu theo [2].

1.2

Một số loại không gian và mối liên hệ giữa chúng

Phần này dành cho việc trình bày các khái niệm về một s loi khụng
gian nh khụng gian Lindeloăf, k -khụng gian, k -không gian, không gian dãy,

không gian Fre´chet, ℵ-không gian, ℵ0 -không gian, không gian sn-mêtric,
không gian sn-đếm được thứ nhất, không gian sn-đếm được thứ hai, không
gian g -mêtric, không gian g -đếm được thứ nhất, không gian g -đếm được thứ
hai, không gian tựa như đếm được thứ nhất yếu,... cùng một số tính chất
của các khơng gian này và mối liên hệ giữa các khơng gian đó.
1.2.1 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ nhất nếu tại mỗi điểm x tồn tại một cơ sở lân cận đếm được.
1.2.2 Định nghĩa. ([2]) Không gian tôpô X được gọi là thỏa mãn tiên
đề đếm được thứ hai nếu tôpô trên X có một cơ sở đếm được.
1.2.3 Định nghĩa. ([2]) Không gian tôpô X được gọi là không gian Lindelof, hoc cú tớnh cht Lindeloăf nu mi ph m ca X đều tồn tại phủ
con đếm được.
1.2.4 Định nghĩa. ([2]) Khụng gian tụpụ X c gi l meta-Lindeloăf
nu mi ph mở của X đều tồn tại cái mịn mở đếm được theo điểm.
1.2.5 Chú ý. ([2]) Mọi không gian compact đều là không gian Lindelof.


8

1.2.6 Định lý. ([2]) Khơng gian chính quy và thỏa mãn tiên đề đếm
được thứ 2 là không gian Lindelof.
1.2.7 nh lý. ([2]) Khụng gian X cú tớnh cht Lindeloăf khi và chỉ khi
mọi họ các tập con đóng của X có tính chất giao đếm được khác rỗng.
1.2.8 Định lý. ( [2]) Giả sử không gian con A của khụng gian tụpụ X
cú tớnh cht Lindeloăf. Khi ú mi họ {Us }s∈S các tập mở của X sao cho
∞

A⊂

Us đều tồn tại tập đếm được {s1 , s2 , ...} ⊂ S sao cho A ⊂
s∈S

Usi .
i=1

1.2.9 Định lý. ([2]) Nếu tồn tại ánh xạ liên tục f : X Y t khụng
gian Lindeloăf X n khụng gian chính quy Y thì Y là khơng gian Lindelof.
1.2.10 Định lý. ([2]) Nếu tồn tại ánh xạ đóng f : X −→ Y xác định
trên khơng gian chính quy X v mi th f 1 (y) cú tớnh cht Lindeloăf thì
với mọi khơng gian con Z ⊂ Y có tính cht Lindeloăf, nghch nh f 1 (Z)
cng cú tớnh cht Lindeloăf.
1.2.11 nh ngha. ([1]) Khụng gian tụpụ X c gi là k -khơng gian
nếu nó được xác định bởi phủ gồm các tập con compact của X .
1.2.12 Bổ đề. Không gian đếm được thứ nhất là k -không gian.
Chứng minh. Bổ đề được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
1.2.13 Định nghĩa. ([1]) Không gian tôpô X được gọi là k -khơng gian
nếu mỗi tập khơng đóng H ⊂ X và mỗi điểm p ∈ H \ H , đều tồn tại tập
compact K ⊂ X sao cho p ∈ H ∩ K .
1.2.14 Định nghĩa. ([1]) Không gian tôpô X được gọi là không gian dãy
nếu tập A ⊂ X là đóng trong X khi và chỉ khi khơng có dãy nào trong A
hội tụ đến điểm ngồi A, hoặc một cách tương đương X được xác định bởi
phủ gồm các tập con compact metric của X .


9

1.2.15 Định nghĩa. ([1]) Không gian tôpô X được gọi là không gian
Fre´chet nếu mỗi tập con A của X và x ∈ A thì tồn tại dãy {xn } trong A
sao cho dãy {xn } hội tụ tới x.
1.2.16 Định nghĩa. ([1]) Không gian tôpô X được gọi là không gian
Fre´chet mạnh nếu mỗi dãy giảm các tập con {An } của X và x ∈ An với

mọi n ∈ N∗ đều tồn tại dãy {xn } trong X sao cho xn ∈ An với mọi n và
{xn } hội tụ tới x.

1.2.17 Nhận xét. (1) Mọi không gian thỏa mãn tiên đề đếm được thứ
nhất là không gian Fre´chet.
(2) Mọi không gian Fre´chet mạnh là không gian Fre´chet.
(3) Mọi không gian Fre´chet là không gian dãy, mọi không gian dãy là
k -không gian.

(4) Mọi không gian Fre´chet là k -không gian, mọi k -không gian là k -không
gian.
1.2.18 Định nghĩa. Giả sử X là một tập, P (X) là họ tất cả các tập con
của X , S(X) là tập tất cả các dãy điểm trong X . Giả sử (X, c) là không
gian tôpô được trang bị tốn tử đóng c. Khi đó, khơng gian tơpơ X được
gọi là không gian chặt đếm được (hay không gian có tính chặt đếm được)
nếu mỗi tập A ⊂ X , A là tập đóng có tính chất c(C) ⊂ A với mọi tập con
đếm được C ⊂ A.
1.2.19 Nhận xét. Mọi không gian dãy là không gian chặt đếm được.
1.2.20 Định nghĩa. Dãy hội tụ L = {xn } được gọi là nằm trong P ⊂ X
từ một lúc nào đó, nếu tồn tại n0 ∈ N sao cho xn ∈ P với mọi n ≥ n0 .
1.2.21 Định nghĩa. ([7]) Giả sử P là họ các tập con của không gian tôpô
X.


10

(1) P được gọi là lưới tại x ∈ X nếu với mỗi lân cận U của x đều tồn tại
P ∈ P sao cho x ∈ P ⊂ U .

(2) P được gọi là k -lưới của không gian X nếu với mọi tập K compact

trong X , U mở trong X , K ⊂ U thì tồn tại họ hữu hạn F ⊂ P sao cho
K⊂

F ⊂ U.

(3) P được gọi là cs∗-lưới của X nếu mọi dãy S hội tụ đến điểm x ∈ U
với U là tập mở trong X , thì S thường xuyên gặp P ⊂ U với một tập P nào
đó P ∈ P .
(4) P được gọi là cs-lưới của X nếu mọi dãy S hội tụ đến điểm x ∈ U
với U là tập mở trong X , thì S ∪ {x} nằm trong P ⊂ U từ một lúc nào đó
với một tập P nào đó P ∈ P .
1.2.22 Bổ đề. ([7]) Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó, các khẳng
định sau ln đúng
(1) Nếu X là không gian compact với k lưới đếm được theo điểm thì
X là khơng gian metric.

(2) Nếu X là k -khơng gian với k lưới đếm được theo điểm thì X là
khơng gian dãy.
(3) Nếu X có cs∗-lưới đếm được theo điểm và mỗi tập compact của
X là metric thì X có k -lưới đếm được điểm.

1.2.23 Bổ đề. Nếu X là k -không gian với cs∗-lưới σ -đếm được địa
phương thì X là khơng gian dãy.
Chứng minh. Giả sử P là cs∗-lưới σ -đếm được địa phương của X , K là một
tập compact của X . Đặt PK = {P ∩ K : P ∈ P}, thì PK là cs∗-lưới σ -đếm
được địa phương của K . Vì K là tập compact của X nên tồn tại k lưới đếm
được, theo Bổ đề 1.2.22(1) suy ra K là khả metric. Từ Bổ đề 1.2.22(3) ta có


11

X có k lưới đếm được theo điểm. Theo Bổ đề 1.2.22(2) thì X là khơng gian

dãy.
1.2.24 Bổ đề. ([2]) Nếu X là khơng gian đếm được thứ nhất thì X có
k -lưới đếm được theo điểm.

1.2.25 Định nghĩa. ([1]) (1) Khơng gian X được gọi là ℵ-khơng gian nếu
nó có k -lưới σ -hữu hạn địa phương.
(2) Khơng gian X được gọi là ℵ0 -khơng gian ([1]), nếu nó có k -lưới đếm
được.
1.2.26 Bổ đề. ([3]) Khơng gian tơpơ X là ℵ-khơng gian nếu và chỉ nếu
X có cs-lưới σ -bảo tồn bao đóng di truyền.

1.2.27 Định nghĩa. Giả sử P =

{Px : x ∈ X} là phủ của X . Khi đó,

P được gọi là một cơ sở yếu của X nếu

(i) Px là lưới tại x với mỗi x ∈ X ;
(ii) Với mọi P1 , P2 ∈ Px , tồn tại P3 ∈ Px sao cho P3 ⊂ P1 ∩ P2 ;
(iii) Cho tập A là mở trong X , mỗi x ∈ A tồn tại P ∈ Px sao cho P ⊂ A.
1.2.28 Định nghĩa. ([7]) Cho P =

{Px : x ∈ X} là phủ của X , P được

gọi là sn-lưới nếu mọi phần tử của Px đều là lân cận dãy của x ∈ X , lúc
đó Px được gọi là sn-lưới tại x.
1.2.29 Nhận xét. (1) Cơ sở yếu =⇒ sn-lưới =⇒ cs-lưới.

(2) Trong khơng gian dãy thì cơ sở yếu ⇐⇒ sn-lưới.
1.2.30 Bổ đề. ([3]) Giả sử X là không gian tôpô khả ly với cơ sở yếu
σ -đếm được địa phương. Khi đó, X là khơng gian thỏa mãn tiên đề đếm

được thứ hai.
1.2.31 Bổ đề. ([3]) Giả sử X là không gian Fre´chet khả ly với k -lưới
đếm được theo điểm. Khi đó, X là là ℵ0 -khơng gian.


12

1.2.32 Bổ đề. ([3]) Khơng gian con đóng khả ly của không gian với cơ
sở yếu σ -đếm được địa phương hoặc không gian Fre´chet khả ly với k -lưới
đếm được theo điểm là không gian chuẩn tắc.
1.2.33 Bổ đề. ([2]) Giả sử X là k -không gian với k -lưới σ -bảo tồn bao
đóng di truyền. Khi đó, X là không gian meta Lindelof di truyền.
1.2.34 Định nghĩa. Không gian tôpô X được gọi là ℵ1 -compact nếu mọi
tập con của X với lực lượng ℵ1 đều có điểm tụ.
1.2.35 Bổ đề. Nếu X là ℵ1 -compact thì X là ℵ0 -không gian.
Chứng minh. Bổ đề được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
1.2.36 Định nghĩa. Không gian tôpô X là symmetric nếu tồn tại một
hàm thực không âm d xác định trên X × X thỏa mãn các điều kiện sau
(1) d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y ;
(2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X ;
(3) G ⊂ X là mở trong X nếu và chỉ nếu mọi x ∈ G, S 1 (x) ⊂ G với số
n

tự nhiên n nào đó, trong đó S 1 (x) = {y ∈ X : d(x, y) <
n

1
n }.

1.2.37 Định nghĩa. 1. Không gian tôpô X được gọi là g-metric (tương
ứng là sn-metric) nếu nó có một cơ sở yếu σ -hữu hạn địa phương (tương
ứng là sn-lưới σ -hữu hạn địa phương).
2. Không gian tôpô X được gọi là g-đếm được thứ nhất hoặc yếu đếm
được thứ nhất (tương ứng là sn-đếm được thứ nhất) nếu tồn tại cơ sở lân
cận yếu đếm được (tương ứng là sn-lưới đếm được).
3. Không gian tôpô X được gọi là g-đếm được thứ hai (tương ứng là
sn-đếm được thứ hai) nếu nó có một cơ sở yếu đếm được (tương ứng là
sn-lưới đếm được).


13

1.2.38 Bổ đề. Không gian tôpô X là g -metric nếu và chỉ nếu X là
không gian đếm được thứ nhất và ℵ-không gian.
Chứng minh. Bổ đề này được suy trực tiếp từ định nghĩa và Bổ đề 1.2.24.

1.2.39 Bổ đề. ([3]) Nếu X là khơng gian g -metric thì X là k -không gian
và ℵ-không gian.
1.2.40 Bổ đề. ([6]) Không gian tôpô X là g -metric khi và chỉ khi X là
symmetric và ℵ-không gian.
1.2.41 Bổ đề. ([7]) Không gian tôpô X là g -metric khi và chỉ khi X là
k -không gian và sn-không gian.

1.2.42 Bổ đề. ([7]) Không gian tôpô X là g -đếm được thứ hai khi và chỉ
khi X là k -không gian và sn-đếm được thứ hai.
1.2.43 Bổ đề. ([7]) Không gian tôpô X là g -đếm được thứ nhất khi và

chỉ khi X là không gian dãy và sn-đếm được thứ nhất.
1.2.44 Bổ đề. ([7]) Không gian tôpô X là g -đếm được thứ hai khi và chỉ
khi X là không gian dãy và sn-đếm được thứ hai.
1.2.45 Bổ đề. ([5]) Trong không gian Fre´chet ta có metric ⇐⇒ g -metric
⇐⇒ sn-metric.

1.2.46 Bổ đề. ([7]) Các khẳng định sau đây là tương đương với khơng
gian X .
(1) X có cs-lưới đếm được địa phương;
(2) X có cs∗-lưới đếm được địa phương;
(3) X có k -lưới đếm được địa phương.


14

CHƯƠNG 2
´
ANH
XẠ ĐÓNG VÀ ÁNH XẠ ĐÓNG PHỦ DÃY

2.1

Thớ của ánh xạ đóng

Trong mục này chúng ta đưa ra một số đặc trưng của ảnh đóng σ -compact
của khơng gian metric và thảo luận về thớ của ánh xạ đóng trên không gian
g -metric.

2.1.1 Định nghĩa. ([2]) Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ từ không gian tơpơ
X đến khơng gian tơpơ Y . Khi đó, nghịch ảnh của tập một điểm của ánh

xạ f được gọi là thớ của ánh xạ f .
2.1.2 Định nghĩa. ([3]) Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là σ -compact nếu
mọi y ∈ Y, f − 1(y) là tập σ -compact.
2.1.3 Định nghĩa. ([3]) Không gian X được gọi là tựa đếm được thứ nhất
yếu nếu mỗi i ∈ N, tồn tại ánh xạ B i : N × X −→ P(X), trong đó P(X) là
họ các tập con của X , thỏa mãn hai điều kiện sau:
(1) Với mọi i ∈ N và với mọi n ∈ N và x ∈ X thì B i (n + 1, x) ⊂ B i (n, x)
và {x} = ∩{B i (n, x) : n ∈ N}.
(2) Tập V ⊂ X được gọi là mở nếu và chỉ nếu mỗi y ∈ V và mỗi i ∈ N
thì tồn tại n(i) ∈ N sao cho B i (n(i), y) ⊂ V .
Nếu B i = B với mọi i ∈ N thì X được gọi là đếm được thứ nhất yếu
hoặc g -đếm được thứ nhất. Hiển nhiên rằng không gian đếm được thứ nhất
yếu là không gian tựa đếm được thứ nhất yếu.


15

Để nghiên cứu vấn đề này chúng ta cần một số bổ đề sau:
2.1.4 Bổ đề. ([3]) Không gian X là ảnh đóng Lindelof của một khơng
gian metric nếu và chỉ nếu nó là Fre´chet hoặc ℵ-khơng gian.
2.1.5 Bổ đề. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ khơng gian chuẩn
tắc X tới khơng gian Y và {Pn : n ∈ N} là lưới giảm tại y ∈ Y . Khi đó
K(y) = {x ∈ ∂f −1 (y): tồn tại một dãy L ⊂ X\f −1 (y) hội tụ tới x, f (L)

là thường xuyên gặp Pn với mỗi n ∈ N} là compact đếm được tương đối.
Chứng minh. Giả sử K(y) không compact đếm được tương đối. Khi đó có
một tập con đóng, đếm được rời rạc {xn : n ∈ N} ⊂ K(y). Vì X là không
gian chuẩn tắc nên tồn tại họ đếm được rời rạc {U (n) : n ∈ N} các tập mở
của X sao cho xn ∈ U (n). Theo giả thiết của Bổ đề, với mỗi n ∈ N tồn tại

dãy Ln ⊂ X \ f −1 (y) hội tụ tới xn . Khơng mất tính tổng qt, ta giả sử
rằng Ln ⊂ U (n). Lấy zn ∈ Ln sao cho f (zn ) ∈ Pn . Khi đó, {zn : n ∈ N} là
tập con đóng rời rạc của X và do f là ánh xạ đóng nên {f (zn ) : n ∈ N} là
tập con đóng rời rạc trong Y . Đây là điều mâu thuẫn vì {f (zn ) : n ∈ N} hội
tụ tới y . Do đó K(y) là compact đếm được tương đối.
2.1.6 Bổ đề. Giả sử {B m (n, x) : m ∈ N, n ∈ N} là họ có tính chất tựa
đếm được thứ nhất yếu tại x. Khi đó mọi dãy L hội tụ tới x, tồn tại
n0 ∈ N sao cho L thường xuyên nằm gặp B n0 (i, x) với mọi i ∈ N.

Chứng minh. Giả sử ngược lại, với mọi m ∈ N tồn tại im sao cho L ∩
B m (im , x) = ∅. Suy ra B m (im , x) ⊂ X \ L với mỗi m ∈ N. Do đó X \ L là

tập mở. Vì thế L là tập đóng. Điều này mâu thuẫn với L hội tụ đến x. Vậy
điều giả sử là sai.
2.1.7 Định lý. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ khơng gian Frechet,
chuẩn tắc X tới không gian tựa đếm được thứ nhất yếu Y . Khi đó, với
mọi y ∈ Y , ∂f − 1(y) là σ -compact đếm được.


16

Chứng minh. Giả sử {B m (n, y) : m ∈ N, n ∈ N} là họ có tính chất tựa
đếm được thứ nhất yếu tại y . Với m ∈ N thì {B m (n, y) : n ∈ N} là một
lưới giảm tại y . Với mọi m ∈ N, đặt K(y) = {x ∈ ∂f −1 (y): tồn tại một
dãy L ⊂ X\f −1 (y) hội tụ tới x, f (L) là thường xuyên gặp B m (n, y), với
mọi n ∈ N}. Theo Bổ đề 2.1.5 Km (y) là họ compact đếm được tương đối.
Đặt Hm = Km (y) thì Hm (y) là tập con compact đếm được của X . Với mọi
x ∈ ∂f −1 (y), x ∈ X \ ∂f − 1(y). Vì X là không gian Fre´chet nên tồn tại một

dãy L ⊂ X\f −1 (y) hội tụ tới x, f (L) hội tụ đến y . Theo Bổ đề 2.1.6, tồn

tại m0 ∈ N sao cho f (L) thường xuyên gặp B m0 (n, y) với mỗi n ∈ N, vì thế
x ∈ Km0 (y). Suy ra ∂f −1 (y) = ∪m∈N Hm . Vậy ∂f −1 (y) là σ compact đếm

được.
2.1.8 Định lý. Khơng gian X là ảnh đóng σ -compact của không gian
metric khi và chỉ khi X là Fre´chet, tựa đếm được thứ nhất yếu và ℵ-không
gian.
Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử X là ảnh đóng σ compact của khơng
gian metric suy ra X là ảnh đóng Lindelof của khơng gian metric. Theo Bổ
đề 2.1.4 ta có X là Fre´chet và ℵ-khơng gian. Mặt khác, vì ánh xạ đóng là
ánh xạ thương và ảnh σ -compact thương của không gian metric là không
gian tựa thứ nhất yếu nên X là không gian tựa đếm được thứ nhất yếu.
Điều kiện đủ: Vì X là Fre´chet và ℵ khơng gian nên theo Bổ đề 2.1.4 ta có
X là s- ảnh đóng của một khơng gian metric M nào đó. Nhờ Định lý 2.1.7

ta có biên của thớ của ánh xạ đóng f : X −→ M là σ -compact. Vì thế X là
ảnh đóng σ -compact của khơng gian metric M .
2.1.9 Bổ đề. ([3]) Giả sử X là k và ℵ-không gian và A = {xα : α ∈ I}
là tập con rời rạc tương đối của X . Khi đó, tồn tại một họ rời nhau
{U (α) : α ∈ I} sao cho x(α) ∈ U (α) và một dãy bất kỳ hội tụ tới x(α) là


17

nằm trong U (α) từ một lúc nào đó với mọi yα ∈ U (α)\A, họ {yα : α ∈ I}
là rời rạc nếu khơng có dãy nào trong {yα : α ∈ I} hội tụ đến một điểm
trong A.
Chứng minh. Giả sử P = ∪n∈N Pn là cs-lưới σ -hữu hạn địa phương của X
trong đó Pn ⊂ Pn+1 và mọi phần tử của P là đóng, Pn là hữu hạn địa
phương với mỗi n ∈ N. Với α ∈ I, n ∈ N, xα ∈ X \ ∪{P ∈ Pn : xα ∈

/ P }, đặt
V (n, α) = X\∪{P ∈ Pn : xα ∈
/ P }, G(n, α) = ∪{P ∈ Pn : xα ∈ P, xβ ∈
/ P, ∀α = β}

và
U (α) = ∪n∈N {G(n, α) ∩ V (n, α)}. Giả sử L là dãy hội tụ tới xα ∈ X \
{xβ : β = α}. Vì P là cs-lưới nên tồn tại n ∈ N và P ∈ Pn sao cho xα ∈ P ⊂
X \ {xβ : β = α} và L là dãy từ một lúc nào đó nằm trong P , P ⊂ G(n, α).

Mặt khác L là dãy nằm trong V (n, α) từ một lúc nào đó, do đó L là dãy
nằm trong P ∩ V (n, α) ⊂ U (n, α) từ một lúc nào đó. Chú ý rằng V (n, α) ∩
G(m, β) = ∅ nếu α = β, n ≥ m, chúng ta có thể thấy rằng {U (α) : α ∈ I}

là họ rời nhau. Bây giờ chúng ta chứng minh rằng {yα : α ∈ I} là đóng, rời
rạc nếu yα ∈ U (α) và khơng có dãy con nào của {yα : α ∈ I} hội tụ đến
một điểm nào trong A. Giả sử rằng {yα : α ∈ I} khơng đóng, rời rạc trong
X , vì X là k -khơng gian và mỗi điểm của X là một Gδ -tập, X là không

gian dãy, nên tồn tại một dãy {yk : k ∈ N} ⊂ {yα : α ∈ I} hội tụ tới điểm
y , y ∈ X \ A, do đó tồn tại P ∈ Pm , P ∩ A = ∅ sao cho {yk : k ∈ N}

nằm trong P từ một lúc nào đó với m ∈ N nào đó. Khơng mất tính tổng
qt, chúng ta giả sử rằng {yk : k ∈ N} ⊂ P . Ta có P ∩ V (n, α) = ∅ nếu
n ≥ m,do đó P ∩ (∪{G(n, α) ∩ V (n, α)} : n ≥ m; α ∈ I) = ∅. Vì {yk :
k ∈ N} ⊂ ∪{U (α) : α ∈ I} = ∪{∪n∈N {G(n, α) ∩ V (n, α) : α ∈ I}. Ta có từ

định nghĩa của V (n, α) chúng ta có một họ đếm được {Pk : k ∈ N} ⊂ Pm
với yk ∈ Pk , Pi = Pj nếu i = j . Lưu ý rằng Pm là họ hữu hạn địa phương,

18

ta có {yk : k ∈ N} là họ các tập con đóng rời rạc. Đây chính là điều mâu
thuẫn. Do đó, {yα : α ∈ I} là tập rời rạc.
2.1.10 Định nghĩa. (1) Đặt L0 = {an : n ∈ N} ∪ {∞} là dãy vô hạn với
giới hạn ∞. Với mỗi n ∈ N kí hiệu Ln là dãy vô hạn hội tụ về an và an ∈ Ln .
Giả sử L là tổng tôpô của Ln , L =

Ln . Ta định nghĩa Sk là không gian

thương thu được từ L bằng cách đồng nhất tất cả các điểm giới hạn an trong
L với điểm ∞. Khi k = ω và k = ω1 ta có định nghĩa cho Sω và Sω1 .

(2) Giả sử X là không gian tôpô,bản copy của Sω trong X là không gian
con X0 xủa X sao cho X0 đồng phôi với Sω .
2.1.11 Bổ đề. ([3]) Nếu X là ℵ-không gian thì X khơng chứa bản sao
nào của Sω1 .
2.1.12 Định lý. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ k và ℵ-khơng
gian X đến khơng gian tơpơ Y . Khi đó, các khẳng định sau đây là tương
đương
(1) Y khơng chứa bản sao đóng nào của Sω1 ;
(2) ∂f −1 (y) là không gian Lindelof với mọi y ∈ Y ;
(3) Y là ℵ-không gian.
Chứng minh. (3) =⇒(1). Nhờ Bổ đề 2.1.11.
(2)=⇒ (3). Được suy ra nhờ tính chất, khơng gian con của ℵ-khơng gian
là ℵ-khơng gian và ánh xạ đóng Lindelof bảo tồn ℵ-khơng gian. Do đó Y là
ℵ-khơng gian.

(1)=⇒(2). Đặt A = {x ∈ ∂f −1 (y) : tồn tại dãy L ⊂ X \ f −1 (y) hội tụ

tới x}.
Trước tiên ta chứng minh A = ∂f −1 (y). Giả sử ngược lại, đặt B =
f −1 (y) \ A, C = ∂f −1 (y) \ A. Với mọi dãy K hội tụ đến một điểm x ∈


19

B , nếu x ∈intf −1 (y), K là nằm trong B từ một lúc nào đó nếu x ∈ C ,
A∪(X\f −1 (y)) không chứa dãy con nào của K . Mặt khác, do K nằm trong B

từ một lúc nào đó và B là một dãy mở vì thế nó mở, do đó B ⊂ int(f −1 (y)).
Nhưng C ⊂ B , C ∩ int(f −1 (y)) = ∅. Đây là điều mâu thuẫn.
Nếu A là ℵ1 compact, thì theo Bổ đề 1.2.35 suy ra A là ℵ0 -khơng gian.
Do đó A khả ly. Suy ra A cũng khả ly. Vì thế ta có ∂f −1 (y) cũng khả ly.
Theo Bổ đề 1.2.33 ta có ∂f −1 (y) là Lindelof.
Nếu A khơng là ℵ1 -compact, thì tồn tại tập con rời nhau tương đối không
đếm được {xα : α < ω1 }, mà nó là tập đóng rời rạc trong A. Theo Bổ đề 2.1.9
tồn tại một họ rời nhau {U (α) : α < ω1 } sao cho x(α) ∈ U (α) và một dãy
hội tụ tới x(α) là nằm trong U (α) từ một lúc nào đó. Lấy yα ∈ Uα \ f −1 (y)
với mỗi α. Khi đó {yα : α < ω1 } khơng có dãy nào trong {yα : α < ω1 }
hội tụ đến điểm x ∈ {xα : α < ω1 } \ {xα : α < ω1 }. Nếu ngược lại, vì
{xα : α < ω1 } là tập rời rạc trong A, x ∈
/ A, nên x ∈ ∂f −1 (y) \ A. Mặt

khác, từ định nghĩa của A , suy ra x ∈ A. Đây là điều vô lý, do đó theo Bổ
đề 2.1.9 {yα : α < ω1 } là tập đóng rời rạc. Chọn dãy Lα ⊂ X \ f −1 (y) hội
tụ tới xα với mọi α < ω1 , suy ra {y} ∪ {f (Lα )} là bản sao đóng của Sω1 .

2.1.13 Hệ quả. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ khơng gian
g -metric X lên khơng gian tơpơ Y . Khi đó, ∂f −1 (y) là Lindelof với mọi

y ∈ Y nếu và chỉ nếu Y không chứa bản sao đóng nào của Sω1 .

Chứng minh. Hệ quả được suy trực tiếp từ Định lý 2.1.12 và Bổ đề 1.2.33

2.1.14 Định lý. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ khơng gian dãy
X mà trong đó mọi tập con đóng khả ly là chuẩn tắc, lên một khơng

gian tơpơ Y . Khi đó, ∂f −1 (y) là compact đếm được với mọi y ∈ Y nếu


20

Y khơng chứa bản sao đóng nào của Sω .

Chứng minh. Đặt A = {x ∈ ∂f −1 (y) : tồn tại dãy L ⊂ X \f −1 (y) hội tụ tới
x}. Theo Định lý 2.1.12 ta có A = ∂f −1 (y). Giả sử ∂f −1 (y) không là tập con

compact đếm được điểm nào đó y ∈ Y và Y khơng chứa bản sao đóng nào của
Sω . Khi đó tồn tại tập con đóng rời rạc đếm được {xn : n ∈ N} ⊂ ∂f −1 (y).

Vì X là khơng gian dãy, X có tính chặt đếm được, với mỗi n ∈ N, tồn tại
tập con đếm được {x(m) : m ∈ N} của A sao cho xn ∈ {xn (m) : m ∈ N}.
Giả sử Lnm là dãy trong X \ f −1 (y) hội tụ tới xn (m) với mọi n, m ∈ N, đặt
B = {xn (m) : n, m ∈ N} ∪ {Lnm : n, m ∈ N}. Khi đó B là khơng gian con

chuẩn tắc và tồn tại các tập con mở rời rạc đếm được {U (n) : n ∈ N} trong
B với xn ∈ U (n). Với mỗi n ∈ N, tồn tại mn ∈ N sao cho xn (mn ) ∈ U (n).
Lnmn nằm trong U (n) từ một lúc nào đó. Khơng mất tính tổng qt, chúng

ta giả sử rằng Lnmn ⊂ U (n). Khi đó, {f (Lnmn ) : n ∈ N} ∪ {y} là bản sao

đóng của Sω . Đây là điều mâu thuẫn. Vậy ∂f −1 (y) là compact đếm được với
mọi y ∈ Y nếu Y khơng chứa bản sao đóng nào của Sω .
2.1.15 Hệ quả. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ khơng gian X với
cơ sở yếu σ -đếm được địa phương hoặc không gian Frechet với k -lưới đếm
được theo điểm lên một không gian tơpơ Y . Khi đó, ∂f −1 (y) là compact
với mọi y ∈ Y nếu Y không chứa bản sao đóng nào của Sω .
Chứng minh. Hệ quả trên được suy trực tiếp từ Bổ đề 1.2.32.
2.1.16 Hệ quả. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ không gian dãy
meta Lindelof X lên không gian tôpô Y . Khi đó, ∂f −1 (y) là compact với
mọi y ∈ Y nếu Y khơng chứa bản sao đóng nào của Sω .
Chứng minh. Hệ quả này được suy trực tiếp từ Định lý 2.1.14 và nhận xét
mọi không gian meta Lindelof khả ly là không gian Lindelof, do đó nó là
khơng gian chuẩn tắc.


21

2.1.17 Định nghĩa. Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là ánh xạ phủ-compact
nếu với mọi tập con compact K ⊂ Y , tồn tại một tập compact L ⊂ X sao
cho f (L) = K .
2.1.18 Hệ quả. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ khơng gian
dãy meta Lindelof X lên khơng gian tơpơ Y . Khi đó, f là ánh xạ phủ
compact.
Chứng minh. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng từ khơng gian dãy
meta Lindelof X lên không gian tôpô Y , và K là một tập compact của
Y . Đặt g = f |f −1 (K) : f −1 (K) −→ K . Ta có g là ánh xạ đóng từ khơng

gian dãy meta Lindelof f −1 (K) lên K . Vì K là tập compact suy ra nó
khơng chứa bản sao đóng nào của Sω . Theo Định lý 2.1.14 thì ∂g −1 (y) là
compact với mọi y ∈ K . Khi đó tồn tại tập con đóng M của f −1 (K) sao

cho g : M −→ K là ánh xạ hoàn chỉnh. Khi đó (g |M )−1 (K) là tập compact
và f ((g |M )−1 (K)) = K . Do đó, f là ánh xạ phủ compact.

2.2

´
Anh
xạ đóng phủ dãy

Mục này chúng ta nghiên cứu tính chất di truyền của một số khơng gian
metric hóa qua ánh xạ đóng phủ dãy.
2.2.1 Định nghĩa. Ánh xạ f : X −→ Y được gọi là ánh xạ phủ dãy
(tương ứng, ánh xạ phủ dãy con) nếu L là dãy trong Y hội tụ đến y ∈ Y ,
tồn tại một dãy M trong X thỏa mãn M hội tụ đến x ∈ f −1 (y) sao cho
f (M ) = L (tương ứng, f (M ) dãy con của L).

2.2.2 Bổ đề. ([3]) Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng phủ dãy. Giả
thiêt rằng X là khơng gian có cơ sở yếu đếm được theo điểm. Khi đó, Y
là khơng gian g -đếm được thứ nhất.


22

2.2.3 Định lý. Không gian với cơ sở đếm được theo điểm bảo tồn qua
ánh xạ đóng phủ dãy.
Chứng minh. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng phủ dãy và X là khơng
gian có cơ sở đếm được theo điểm. Theo Bổ đề 2.2.2 suy ra Y là không gian
Frchet và Y là không gian g -đếm được thứ nhất. Do đó Y là khơng gian
thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Theo Bổ đề 1.2.24 suy ra Y có k -lưới
đếm được theo điểm, suy ra Y là khơng gian có cơ sở đếm được điểm.

2.2.4 Định lý. ℵ-không gian được bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy.
Chứng minh. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng phủ dãy và P là cs-lưới
σ -bao đóng di truyền. Vì một họ bảo tồn bao đóng di truyền được di truyền

qua ánh xạ đóng và tính chất cs-lưới được di truyền qua ánh xạ đóng phủ
dãy, do đó f (P) là cs-lưới σ -bao đóng di truyền cs-lưới của Y . Theo Bổ đề
1.2.26 ta có Y là ℵ-khơng gian.
2.2.5 Nhận xét. Tính metric được bảo tồn qua ánh xạ hồn chỉnh,
nhưng ánh xạ hồn chỉnh khơng bảo tồn tính chất g -metric.
2.2.6 Ví dụ. Kí hiệu S2 = (N × N) ∪ N ∪ {∝} là không gian mà mỗi điểm
của N × N là cơ lập. Mỗi cơ sở của điểm n ∈ N bao gồm tất cả các tập có
dạng {n} ∪ {(m, n) : m ≥ k} và U là một lân cận của ∝ nếu và chỉ nếu
∝∈ U và U là lân cận của tất cả các số hữu hạn n ∈ N.

Khi đó khơng gian Sω là ảnh qua ánh xạ hồn chỉnh của khơng gian S2 ,
không gian S2 là g -đếm được thứ hai, nhưng Sω không là không gian g -đếm
được thứ nhất.
Yan, Lin và Jiang[11] đã chứng minh rằng tính chất metric được bảo tồn
qua ánh xạ đóng, ánh xạ phủ dãy và Lin đã đặt ra câu hỏi: Không gian


23

g -metric có được bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy khơng? Nghiên cứu câu

hỏi đó chúng ta có được câu trả lời như sau:
2.2.7 Định lý. Không gian g -metric bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy.
Chứng minh. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ đóng phủ dãy và X là khơng
gian g -metric. Theo Bổ đề 2.2.2 ta có Y là khơng gian g -đếm được thứ
nhất, theo Định lý 2.2.4 ta có Y là ℵ-khơng gian. Do đó Y là khơng gian

g -metric.

2.2.8 Hệ quả. Không gian symmetric và ℵ-không gian được bảo tồn qua
ánh xạ đóng phủ dãy.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.40 ta có khơng gian symmetric và ℵ-khơng
gian là khơng gian g -metric. Nhờ Định lý 2.2.7 ta có k -không gian và snmetric bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy.
2.2.9 Hệ quả. k -khơng gian và ℵ-khơng gian bảo tồn qua ánh xạ đóng
phủ dãy.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.39 ta có khơng gian g -metric là k -không gian
và ℵ-không gian. Nhờ Định lý 2.2.7 ta có k -khơng gian và ℵ-khơng gian bảo
tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy.
2.2.10 Hệ quả. Khơng gian đếm được thứ nhất và ℵ-khơng gian bảo
tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.38 ta có khơng gian g -metric khi và chỉ khi X
là không gian đếm được thứ nhất và ℵ-không gian. Từ Định lý 2.2.7 ta có
khơng gian đếm được thứ nhất và ℵ-khơng gian bảo tồn qua ánh xạ đóng
phủ dãy.


24

2.2.11 Hệ quả. Không gian g -đếm được thứ nhất và g -đếm được thứ
hai bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ dãy.
Chứng minh. Hệ quả này được suy trực tiếp từ định nghĩa.
2.2.12 Hệ quả. Không gian dãy và sn-đếm được thứ nhất bảo tồn qua
ánh xạ đóng phủ dãy.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.43 ta có là khơng gian g -đếm được thứ nhất
khi và chỉ khi X là không gian dãy và sn-đếm được thứ nhất. Từ Định lý
2.2.7 ta có khơng gian dãy và sn-đếm được thứ nhất bảo tồn bởi ánh xạ
đóng phủ dãy.

2.2.13 Hệ quả. Không gian dãy và sn-đếm được thứ hai bảo tồn qua
ánh xạ đóng phủ dãy.
Chứng minh. Theo Bổ đề 1.2.44 ta có là khơng gian g -đếm được thứ hai khi
và chỉ khi X là không gian dãy và sn-đếm được thứ hai. Từ Định lý 2.2.7
ta có khơng gian dãy và sn-đếm được thứ hai bảo tồn qua ánh xạ đóng phủ
dãy.
2.2.14 Nhận xét. Định lý 2.2.7 cho chúng ta câu trả lời khẳng định đối
với câu hỏi của Lin ở trên. Một câu hỏi rất tự nhiên được đặt ra là nếu
chúng ta thay điều kiện ánh xạ phủ dãy bởi giả thiết ánh xạ phủ dãy con
trong định lý trên thì kết quả cịn đúng nữa không? Câu trả lời là không.
Thật vậy, mọi ánh xạ đóng trên khơng gian dãy là ánh xạ phủ dãy con.
Trong phần tiếp theo chúng ta bàn về mối liên hệ giữa ánh xạ đóng, mở
và ánh xạ phủ dãy.
2.2.15 Định lý. Giả sử f : X −→ Y là ánh xạ vừa đóng vừa mở. Nếu
mỗi điểm của X là một Gδ -tập thì f là ánh xạ phủ dãy.