bài giảng mô hình điều khiển , mô phỏng trên matlab

T R   N G   I H C BÁCH KHOA
KHOA IN
B MÔN T NG HÓA



















Trn ình Khôi Quc
Email :




2

MC LC

Phn m u
1 Khái nim 4
2 Các nguyên tc iu khin t ng 5
2.1 Nguyên tc gi n nh 5
2.2 Nguyên tc iu khin theo chng trình 5
3 Phân loi h thng KT 5
3.1 Phân loi theo c im ca tín hiu ra 5
3.2 Phân loi theo s vòng kín 5
3.3 Phân loi theo kh nng quan sát tín hiu 6
3.4 Phân loi theo mô t toán hc 6
4 Biêu  iu khin t ng trong mt nhà máy 7
5 Phép bin i Laplace 7

Chng 1: MÔ T TOÁN HC CA CÁC PHN T VÀ CA H! TH"NG I#U KHI$N
T% &NG
1 Khái nim chung 9
2 Hàm truyn t 9
2.1 nh ngh'a : 9
2.2 Phng pháp tìm hàm truyn t 9
2.3 Mt s ví d( v cách tìm hàm truyn t 10
2.4 Hàm truyn t ca mt s thit b in hình 12
3 i s s  khi 12
3.1 Mc ni tip 12
3.2 Mc song song 12
3.3 Mc phn hi 12
3.4 Chuyn tín hiu vào t) tr*c ra sau mt khi 13
3.5 Chuyn tín hiu ra t) sau ra tr*c mt khi 13
4 Phng trình trng thái 15

4.1 *Phng trình trng thái tng quát 15
4.2 Xây dng phng trình trng thái t) hàm truyn t 17
4.3 Chuyn i t) phng trình trng thái sang hàm truyn 19

Chng 2: +C TÍNH &NG HC CA CÁC KHÂU VÀ CA H! TH"NG TRONG
MI#N TN S"
1 Khái nim chung 23
2 Phn ,ng ca mt khâu 23
2.1 Tín hiu tác ng vào mt khâu (các tín hiu tin nh) 23
2.2 Phn ,ng ca mt khâu 23
3 c tính tn s ca mt khâu 24
3.1 Hàm truyn t tn s 24
3.2 c tính tn s 25
4 c tính ng hc ca mt s khâu c bn 26
4.1 Khâu t- l 26
4.2 Khâu quán tính b.c 1 26
4.3 Khâu dao ng b.c 2 28
4.4 Khâu không n nh b.c 1 30
4.5 Khâu vi phân lý tng 31
4.6 Khâu vi phân b.c 1 31
4.7 Khâu tích phân lý tng 32
4.8 Khâu ch.m tr/ 32



3
Chng 3: TÍNH 0N 1NH CA H! TH"NG I#U KHI$N T2 &NG
1 Khái nim chung 34
2 Tiêu chu3n n nh i s 35
2.1 iu kin cn  h thng n nh 35

2.2 Tiêu chu3n Routh 35
2.3 Tiêu chu3n n nh Hurwitz 36
3 Tiêu chu3n n nh tn s 36
3.1 Tiêu chu3n Nyquist theo c tính tn s biên pha 36
3.2 Tiêu chu3n Nyquist theo c tính tn s logarit 36
3.3 Tiêu chu3n n nh Mikhailov 37

Chng 4: CH4T L5NG CA QUÁ TRÌNH I#U KHI$N
1 Khái nim chung 38
1.1 Ch  xác l.p 38
1.2 Quá trình quá  38
2 ánh giá ch6t l7ng  ch  xác l.p 38
2.1 Khi u(t) = U
0
.1(t) 39
2.2 Khi u(t) = U
0
.t 39
3 ánh giá ch6t l7ng  quá trình quá  39
3.1 Phân tích thành các biu th,c n gin 39
3.2 Phng pháp s Tustin 39
3.3 Gii phng trình trng thái 39
3.4 S8 d(ng các hàm ca MATAB 39
4 ánh giá thông qua  d tr n nh 40
4.1  d tr biên  40
4.2  d tr v pha 40
4.3 Mi liên h gia các  d tr và ch6t l7ng iu khin 40

Chng 5: NÂNG CAO CH4T L5NG VÀ T0NG H5P H! TH"NG
1 Khái nim chung 41

2 Các b iu khin – Hiu ch-nh h thng 41
2.1 Khái nim 41
2.2 B iu khin t- l P 41
2.3 B bù s*m pha Lead 41
2.4 B bù tr/ pha Leg 42
2.5 B bù tr/-s*m pha Leg -Lead 43
2.6 B iu khin PI (Proportional Integral Controller) 44
2.7 B iu khin PD (Proportional Derivative Controller) 44
2.8 B iu khin PID (Proportional Integral Derivative Controller) 45

Chng 6: CONTROL SYSTEM TOOLBOX & SIMULINK TRONG MATLAB
1 Control System Toolbox 47
1.1 nh ngh'a mt h thng tuyn tính 47
1.2 Bin i s  tng ng 49
1.3 Phân tích h thng 50
1.4 Ví d( tng h7p 52
2 SIMULINK 54
2.1 Khi ng Simulink 54
2.2 To mt s  n gin 55
2.3 Mt s khi th9ng dùng 56
2.4 Ví d( 57
2.5 LTI Viewer 58
Phn m u
4
















iu khin hc là khoa hc nghiên cu nhng quá trình iu khin và thông tin trong các
máy móc sinh vt. Trong iu khin hc, i tng iu khin là các thit b, các h thng k
thut, các c c sinh vt…
iu khin hc nghiên cu quá trình iu khin các i tng k thut c gi là iu
khin hc k thut. Trong ó « iu khin t ng » là c s lý thuyt ca iu khin hc k
thuât.
Khi nghiên cu các qui lut iu khin ca các h thng k thut khác nhau, ngi ta s
dng các mô hình toán thay th cho các i tng kho sát. Cách làm này cho phép chúng ta
m rng phm vi nghiên cu và tng quát bài toán iu khin trên nhiu i tng có mô t
toán hc ging nhau.
Tài liu này nhm gii thiu mt s kin thc c bn v iu khin t ng h tuyn tính
liên tc. Nó có th dùng làm tài liu hc tp cho sinh viên k thut các ngành không chuyên
v iu khin cng nh làm tài liu tham kho cho sinh viên ngành in.
1 Khái nim
Mt h thng KT 7c xây dng t) 3 b ph.n ch yu theo s  sau :


Trong ó :
- O : i t7ng iu khin
- C : b iu khin, hiu ch-nh
- M : c c6u o l9ng

Các loi tín hiu có trong h thng gm :
- u : tín hiu ch o (còn gi là tín hiu vào, tín hiu iu khin)
- y : tín hiu ra
- f : các tác ng t) bên ngoài
- z : tín hiu phn hi
- e : sai lch iu khin

Ví d v mt h thng iu khin
n gin









C O
M
u
f
y
e
z
h

l
Q
i

Q
0

Phn m u
5
2 Các nguyên tc iu khin t ng
2.1 Nguyên tc gi n nh
Nguyên tc này gi tín hiu ra b:ng mt h:ng s trong quá trình iu khin, y = const. Có 3
phng pháp  thc hin nguyên tc gi n nh gm :
- Phng pháp bù tác ng bên ngoài (a)
- Phng pháp iu khin theo sai lch
- Phng pháp h;n h7p


2.2 Nguyên tc iu khin theo chng trình
Là gi cho tín hiu ra y = y(t) theo mt chng trình ã 7c nh s<n.  mt tín hiu
ra nào ó thc hin theo chng trình, cn phi s8 d(ng máy tính hay các thit b có lu tr
chng trình. Ngày nay, 2 thit b thông d(ng ch,a chng trình iu khin là :
- PLC (Programmable Logic Controller)
- CLC (Computerized Numerical Control)
3 Phân loi h thng KT
3.1 Phân loi theo c im ca tín hiu ra
- Tín hiu ra n nh
- Tín hiu ra theo chng trình
3.2 Phân loi theo s vòng kín
- H h: là h không có vòg kín nào.
- H kín: có nhiu loi nh h 1 vòng kín, h nhiu vòng kín,…
C

O
M
u
f
y
e
a)

M

b)

f
C

u
e
y
O
M
2

c)

f
C

u
e
y

O
M
1

Phn m u
6
3.3 Phân loi theo kh nng quan sát tín hiu
3.3.1 H thng liên tc
Quan sát 7c t6t c các trng thái ca h thng theo th9i gian.
Mô t toán hc : phng trình i s, phng trình vi phân, hàm truyn
3.3.2 H thng không liên tc
Quan sát 7c mt phn các trng thái ca h thng. Nguyên nhân:
- Do không th t 7c t6t c các cm bin.
- Do không cn thit phi t  các cm bin.
Trong h thng không liên t(c, ng9i ta chia làm 2 loi:
a) H thng gián on (S. discret)
Là h thng mà ta có th quan sát các trng thái ca h thng theo chu k= (T). V bn
ch6t, h thng này là mt dng ca h thng liên t(c.
b) H thng vi các s kin gián on (S à événement discret)
- c trng bi các s kin không chu k=
- Quan tâm n các s kin/ tác ng

Ví d v h thng liên tc, gián on, h thng vi các s kin gián on



3.4 Phân loi theo mô t toán hc
- H tuyn tính: c tính t'nh ca t6t c các phân t8 có trong h thng là tuyn tính. c
im c bn: xp chng.
- H phi tuyn: có ít nh6t mt c tính t'nh ca mt phn t8 là mt hàm phi tuyn.

- H thng tuyn tính hóa: tuyn tính hóa t)ng phn ca h phi tuyn v*i mt s iu
kin cho tr*c  7c h tuyn tính gn úng.
Bng
chuyn 2
Piston
3 2

Piston 1

Bng
chuyn 3

Bng
chuyn 1
Phn m u
7
4 Biêu  iu khin t ng trong mt nhà máy

5 Phép bin i Laplace
Gi s8 có hàm f(t) liên t(c, kh tích. nh Laplace ca f(t) qua phép bin i laplace, ký
hiu là F(p) 7c tính theo nh ngh'a:
0
( ) ( )
pt
F p f t e dt
∞
−
=


- p: bin laplace
- f(t): hàm gc
- F(p): hàm nh

Mt s tính cht ca phép bin i laplace

1. Tính tuyn tính
{
}
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
L af t bf t aF p bF p
+ = +
2. nh laplace ca o hàm hàm gc
{
}
'
( ) ( ) (0)
L f t pF p f
= −
Nu các iu kin u b:ng 0 thì:
{
}
( )
( ) ( )
n n
L f t p F p
=
3. nh laplace ca tích phân hàm gc
Qu

n lý nhà máy

iu khin, giám sát,

bo d>ng
B iu khin, iu ch-nh, PLC

Cm bin, c cu chp hành

Niv 4

Niv 2

Niv 1

Niv 0

Niv 3

Qu
n lý sn xut,
lp k hoch sx.

Phn m u
8
0
( )
( )
t
F p

L f d
p
τ τ
 
 
=
 
 
 


4. nh laplace ca hàm gc có tr/
{
}
( ) ( )
p
L f t e F p
τ
τ
−
− =
5. Hàm nh có tr/
{
}
( ) ( )
at
L e f t F p a
−
= +

6. Giá tr u ca hàm gc
(0) lim ( )
p
f pF p
→∞
=
7. Giá tr cui ca hàm gc
0
( ) lim ( )
p
f pF p
→
∞ =

NH LAPLACE VÀ NH Z CA MT S HÀM THÔNG DNG

f(t) F(p) F(z)
δ(t)
1 1
1
1
p

1
z
z
−

t
2

1
p

( )
2
1
Tz
z −

2
1
2
t

3
1
p

(
)
( )
2
3
1
2 1
T z z
z
+
−

e
-at

1
p a
+

aT
z
z e
−
−

1-e
-at

( )
a
a p a
+

(
)
( )
( )
1
1
aT
aT
e z

z z e
−
−
−
− −

sinat
2 2
a
p a
+

2
sin
2 cos 1
z aT
z z aT
− +

cosat
2 2
p
p a
+

2
2
cos
2 cos 1
z z aT

z z aT
−
− +


Chng 1 Mô t toán hc


9

MÔ T TOÁN HC CA CÁC PHN T
VÀ CA H THNG IU KHIN T NG
1 Khái nim chung
-  phân tích mt h thng, ta phi bit nguyên tc làm vic ca các phn t8 trong s
, bn ch6t v.t lý, các quan h v.t lý, …
- Các tính ch6t ca các phn t8/h thng 7c biu di/n qua các phng trình ng hc,
th9ng là phng trình vi phân.
-  thu.n l7i hn trong vic phân tích, gii quyt các bào toán, ng9i ta mô t toán hc
b:ng hàm truyn t (transfer fuction), phng trình trng thái, v.v
2 Hàm truyn t
2.1 nh ngha :
Hàm truyn t ca mt khâu (hay h thng) là t s gia tín hiu ra vi tín hiu
vào biu din theo toán t laplace, ký hiu là W(p), vi các iu kin ban u trit tiêu.

trong ó
( )
( )
( )
Y p
W p

U p
=
v*i
y(0) = y’(0) = … = y
(n-1)
(0) = 0
u(0) = u’(0) = … = u
(m-1)
(0) = 0
2.2 Phng pháp tìm hàm truyn t
T) phng trình vi phân tng quát ca mt khâu (h thng) có dng
1 0 1 0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
n m
n m
n m
d y t dy t d u t du t
a a a y t b b b u t
dt dt dt dt
+ + + = + + +
bin i laplace v*i các iu kin ban u b:ng 0 và theo nh ngh'a, ta có dng tng quát ca
hàm truyn t
1 0
1 0

( )
( )
( )
m

m
n
n
b p b p b
M p
W p
a p a p a N p
+ + +
= =
+ + +

N(p) : a th,c dc tính

Ví d cách tìm hàm truyn t t phng trình vi phân

Ý ngha
- Quan sát hàm truyn t, nh.n bit c6u trúc h thng
- Xác nh tín hiu ra theo th9i gian (bin i laplace ng7c)
- Xác nh các giá tr u, giá tr xác l.p ca h thng
- Xác nh 7c h s khuch i t'nh ca h thng
- …
Ví d
W(p)

U(p) Y(p)
Chng 1 Mô t toán hc


10
2.3 Mt s ví d v cách tìm hàm truyn t

Nguyên tc chung :
- Thành l.p phng trình vi phân
- S8 d(ng phép bin i laplace
Ví d 1 : Khuch i lc b:ng cánh tay òn



Xét phng trình cân b:ng v mômen :
F
1
(t)*a = F
2
(t)*b  F
1
(p)*a = F
2
(p)*b

2
1
F ( )
W(p)=
F ( )
p a
p b
=


Ví d 2 : ng c in mt chiu kich t) c l.p

Gi s8 t) thông Φ = const, J là mômen quán tính qui v tr(c ng c, B là h s ma sát 
tr(c.
Thành l.p hàm truyn t ca ng c v*i:
u: tín hiu vào là in áp phn ,ng
ω: tín hiu ra là góc quay ca tr(c ng c.
Gii:
Phng trình quan h v in áp phn ,ng:

u
u e
di
u Ri L e
dt
e K
ω
= + +
= Φ

Suy ra

e
di
u Ri L K
dt
ω
= + + Φ
(1.1)
Phng trình quan h v momen trên tr(c ng c:

i
d
K i J B
dt
ω
ω
Φ = + (1.2)
Thay (1.2) vào (1.1), ta 7c:

2
2
e
i i
R d L d d
u J B J B K
K dt K dt dt
ω ω ω
ω ω
 
 
= + + + + Φ
 
 
Φ Φ
 
 

a

b

F
1

F
2

J
u
i
B
Chng 1 Mô t toán hc


11

2
2
e
i i i
LJ d RJ LB d RB
u K
K dt K dt K
ω ω
ω
 
+
= + + + Φ
 
Φ Φ Φ

 

V.y

(
)
2
2 2 0
( ) ( )
U p a p a p a p
ω
= + +
v*i
2 1 0
; ;
e
i i i
LJ RJ LB RB
a a a K
K K K
 
+
= = = + Φ
 
Φ Φ Φ
 

Hàm truyn t ca ng c in mt chiu là:

2

2 2 0
( ) 1
( )
( )
p
W p
U p a p a p a
ω
= =
+ +


Ví d 3: Tìm hàm truyn t ca mch in t8 dùng KTT, gi thit khuch i thu.t toán là
lý tng.


Ta có:
2
2
i
i
V V
dV dV
C V V R C
R dt dt
−
− −
−
−
=  = + (1)

Xét dòng in qua V
+

0
0
1 1
2
i
i
V V V V
V V V
R R
+ +
+
− −
=  = +
(2)
Mt khác, do gi thit KTT là lý tng nên V
-
= V
+
.
T) (1) và (2)

0
2 0 2
i
i
dV dV
R C V R C V

dt dt
+ = −

0 2
2
( )
1
( )
( ) 1
i
V p
R Cp
W p
V p R Cp
−
= =
+


Ví d 4:

Trong ó:
V
i

V
0

R
1

R
1

R
2

C
+V
cc

-V
cc

y(t)

u(t)

r
h
γ
γγ
γ

Chng 1 Mô t toán hc


12
u(t): lu l7ng ch6t l?ng vào; y(t) là lu l7ng ch6t l?ng ra; A là din tích áy ca b ch6t
l?ng

Gi p(t) là áp su6t ca ch6t l?ng ti áy b, bit các quan h sau:
( )
( )
p t
y t
r
= (r là h s)
( ) ( )
p t h t
γ
=

Tìm hàm truyn t ca b ch6t l?ng.
Gii
Theo các quan h trong gi thit, ta có:
( )
( )
p t
y t h
r r
γ
= = (1.3)
 gia tng chiu cao ct ch6t l?ng là:

( ) ( )
dh u t y t
dt A
−
= (1.4)
T) (1.3) và (1.4), suy ra:

( ) ( )
dy u t y t
dt r A
γ
−
= 
( ) ( )
dy
rA y t u t
dt
γ
+ =
Hàm truyn t ca b ch6t l?ng trên là:

( )
( )
( ) 1 1
Y p K
W p
U p rAp Tp
γ
= = =
+ +

2.4 Hàm truyn t ca mt s thit b in hình
- Các thit b o l9ng và bin i tín hiu: W(p) = K
- ng c in mt chiu:
2
1 2 2

K
W(p)=
TT 1
p T p
+ +

- ng c không ng b 3 pha
K
W(p)=
T 1
p
+

- Lò nhit
K
W(p)=
T 1
p
+

- Bng ti
-
W(p)=
p
Ke
τ

3 i s s  khi
i s s  khi là bin i mt s  ph,c tp v dng n gin nh6t  thu.n tin cho
vic tính toán.

3.1 Mc ni tip
1 2
W(p)= .
n
W W W

3.2 Mc song song
1 2
W(p)=
n
W W W
± ± ±

3.3 Mc phn hi


1
1 2
W(p)=
1
W
WW
±



W
1

W

2

-
+
U(p)

Y(p)

Chng 1 Mô t toán hc


13
3.4 Chuyn tín hiu vào t trc ra sau mt khi

3.5 Chuyn tín hiu ra t sau ra trc mt khi


Ví d 1: I#U KHI$N M2C CH4T L@NG TRONG B$ CHAA
Cho mt h thng iu khin t ng mc ch6t l?ng trong b ch,a nh hình vB, bit
r:ng:
- Hàm truyn ca b chuyn i mc ch6t l?ng/dòng in
1
1
)(
+
=
pT
pG
c
LT

v*i T
c
=1
- Phng trình vi phân biu di/n qaun h gia lu l7ng và  cao ct ch6t l?ng là:
)()()(
)(
tQtQth
dt
tdh
ai
+=+
θ
v*i
θ
=25
- Hàm truyn ca c b chuyn i dòng in sang áp su6t và van t ng là:
LT

LIC
LI
VT

LV
h

H
0

Q
i

Q
a

Q
o

M
X P
LT : chuyn i m,c ch6t l?ng
LIC : B hiu ch-nh
LY : chuyn i dòng in/áp su6t

LV : van diu ch-nh t ng
VT : van iu khin b:ng tay
W
U(p) Y(p)

W
U(p) Y(p)

⇔

Y(p)

W
Y(p)

W
U

1
(p)

Y(p)

±

U
2
(p)

W
U
1
(p)

Y(p)

±

U
2
(p)

W
⇔

Chng 1 Mô t toán hc

14
T
i

T
T
T
a

Q
e

=
+
==
1
1
)(
)(
)(
pTpN
pQ
pG
V
e
V
v*i T
v
=4
Yêu cu :

1. Thành l.p s  iu khin ca h thng.
2. Tìm các hàm truyn t
0
( ), ( ), ( )
a
HU HQ HQ
W p W p W p

3. Gi s8 cha có b iu khin C(p) = 1. Tìm giá tr xác l.p ca ct n*c  ngõ ra nu u(t)=
5.1(t) và Q
a
= 2.1(t).

S


Ví d( 2 : Cho mô hình ca mt b iu hòa nhit  ch6t l?ng nh hình vB


Trong ó :
- T
i
: nhit  ch6t l?ng vào b
- T : nhit  ch6t l?ng trong b
- T
a
: nhit  môi tr9ng

Bit r:ng :
- Nhit l7ng ch6t l?ng mang vào b : Q
i
= VHT
i

v*i H là h s nhit ; V là lu l7ng ch6t l?ng vào b.
- Nhit l7ng in tr cung c6p cho b Q
e
(t)
- Nhit l7ng ch6t l?ng mang ra kh?i b Q
0
= VHT

- Nhit l7ng tn th6t qua thành b do chênh lch v*i môi tr9ng
( )
1
s a
Q T T
R
= −
Bit nhit l7ng ch6t l?ng nh.n 7c sB làm tng nhit  ch6t l?ng theo biu th,c
l

dT
Q C
dt
=
Hãy thành l.p mô hình iu khin ca b trao i nhit  trên.

Gii
Phng trình cân b:ng nhit ca b ch6t l?ng

0
l i e a
Q Q Q Q Q
= + − −

Hay
C(p)

G
V
(p)

G(p)

G
LT
(p)

Q
a

Q
o

Q
i
Y
U
ε

X H
Chng 1 Mô t toán hc


15

a
i e
T T
dT
C VHT Q VHT
dt R
−
= + − −
⇔
1 1
i e a
dT
C VH T VHT Q T
dt R R
 

+ + = + +
 
 

⇔
(
)
1 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )
i e a
a p a T p b T p Q p c T p
+ = + +
⇔
[ ]
0 0
1 0
1
( ) ( ) ( ) ( )
i e a
T p b T p Q p c T p
a p a
= + +
+

Mô hình iu khin là :


4 Phng trình trng thái
4.1 *Phng trình trng thái tng quát
4.1.1 Khái nim

- i v*i mt h thng, ngoài tín hiu vào và tín hiu ra cn phi xác nh, ôi khi ta cn quan
sát các trng thái khác. Ví d( i v*i ng c in là dòng in, gia tc ng c, tn hao,
v.v…
- Các trng thái này có gì khác v*i tín hiu ra ? Nu là tín hiu ra thì phi o l9ng 7c b:ng
các b cm bin, còn bin trng thái thì hoc o 7c, hoc xác nh 7c thông qua các i
l7ng khác.
- T) ó ng9i ta xây dng mt mô hình toán cho phép ta có th xác nh 7c các bin trng
thái.
4.1.2 Dng tng quát ca phng trình trng thái
Xét h thng có m tín hiu vào và r tín hiu ra.


H thng có :
- m tín hiu vào: u
1
(t), u
2
(t), …, u
m
(t), vit
1

m
u
U
u
 
 
=
 

 
 
,
m
U ∈



H thng
u
1
(t)
u
m
(t)
y
1
(t)
y
r
(t)
1 0
1
a p a
+


b
0

c
0

Q
e

T
a

T
i

T
Chng 1 Mô t toán hc


16
- r tín hiu ra: y
1
(t), y
2
(t), …, y
r
(t), vit
1

r
y
Y
y

 
 
=
 
 
 
,
r
Y
∈


- n bin trng thái : x
1
(t), x
2
(t), …, x
n
(t), vit
1

n
x
X
x
 
 
=
 
 

 
,
n
X
∈


Phng trình trng thái dng tng quát ca h thng 7c biu di/n d*i dng :

X AX BU
Y CX DU

= +

= +



V*i , , ,
nxn nxm rxn rxm
A B C D∈ ∈ ∈ ∈
   

A, B, C, D gi là các ma tr.n trng thái, nu không ph( thuc vào th9i gian gi là h thng
d)ng.

Nhn xét :
- Phng trình trng thái mô t toán hc ca h thng v mt th9i gian d*i dng các phng
trình vi phân.
- H thng 7c biu di/n d*i dng các phng trình vi phân b.c nh6t.

4.1.3 Ví d thành lp phng trình trng thái
Ví d 1
Xây dng phng trình trng thái ca mt h thng cho d*i dng phng trình vi phân nh
sau :

2
2
2 5
d y dy
y u
dt dt
+ + =


Gii
H có mt tín hiu vào và mt tín hiu ra.
t
1
2
x y
dy
x y
dt
=
= =


T) phng trình trên, ta có :

2 2 1

2 5
x x x u
+ + =


Nh v.y :

1 2
2 1 2
5 1 1
2 2 2
x y x
x x x u
= =



= − − +


 


⇔
[ ]
1 1
2 2
1
2
0 1 0

5 1 1
2 2 2
0 1
x x
u
x x
x
y
x
   
   
   
= +
   
   
− −
   
   
   
 
=
 
 



t A, B, C, D là các ma tr.n tng ,ng, suy ra
X AX BU
Y CX DU


= +

= +




Chng 1 Mô t toán hc


17
Ví d 2
Cho mch in có s  nh hình vB sau, hãy thành l.p phng trình trng thái cho
mch in này v*i u
1
là tín hiu vào, u
2
là tín hiu ra.



Gii
Gi s8 mch h ti và các iu kin u b:ng 0. Gi i là dòng in chy trong mch, ta có :

0
0
0
1
1
t

i
t
di
u Ri L idt
dt C
u idt
C

= + +




=





t các bin trng thái là :
1 2 0
,
x i x u
= =
, ta có :


1 1 2
2 1
i

u Rx Lx x
Cx x
= + +


=



hay
1 1 2
2 1
1 1
1
i
R
x x x u
L L L
x x
C

= − − +




=





và
2 0
x u
=

V.y :

[ ]
1 1
2 2
1
0
2
1
1
1
0
0
0 1
i
R
x x
L L
u
L
x x
C
x
u

x
 
− −
 
 
   
 
= +
 
   
 
   
 
 
 
 
 
 
=
 
 




H?i : Tr9ng h7p t
1 0 2
,
x u x i
= =

, phng trình trng thái ca mch in sB có dng nh
th nào ?

Nhn xét
- V*i cùng h thng sB có nhiu phng trình trng thái khác nhau.
- Hàm truyn t ca h thng là duy nh6t.
4.2 Xây dng phng trình trng thái t hàm truyn t
4.2.1 Khai trin thành các tha s n gin
Nu hàm truyn t 7c biu di/n d*i dng tích các th)a s nh sau :

( )
1
( ) 1
( )
( )
n
i
i
Y p
W p K
U p p p
=
= =
−
∏


R L
C
u

i
u
0

Chng 1 Mô t toán hc


18


t các bin trung gian nh hình vB, ta có :

1 1 1
2 2 2 1
1

n n n n
x p x Ku
x p x x
x p x x
−
= +


= +




= +





và y = x
n
Suy ra phng trình trng thái là :

[ ][ ]
1 1
2 2
1 2
1
0
0 1
0
0 0 1
n n
T
n
x p
K
x p
u
x p
y x x x
   
 
   
 

   
 
= +
   
 
   
 
   
 
   
=




4.2.2 Khai trin thành tng các phân thc n gin
Nu hàm truyn t 7c khai trin d*i dng :

1
( )
( )
( )
n
i
i
i
K
Y p
W p
p p U p

=
= =
−


1
( ) ( )
n
i
i
i
K
Y p U p
p p
=
 
=
 
−
 



S  c6u trúc nh sau :

Nh v.y :
i i i
pX p X U
= +


i i i
x p x u
= +


1
1
p p
−

2
1
p p
−

1
n
p p
−

U
X
1

X
2

Xn

K

1

K
2

K
n

Y
1

Y
2

Yn

Y
1
K
p p
−

2
1
p p
−

1
n
p p

−

U
Y x
1

x
2

x
n

Chng 1 Mô t toán hc


19
Hay
[ ][ ]
1 1
2 2
1 2 1 2
1
1
1
0
1
n n
T
n n
x p

x p
u
x p
y K K K x x x
   
 
   
 
   
 
= +
   
 
   
 
   
 
   
=




4.2.3 S dng mô hình tích phân c bn
Tr9ng h7p hàm truyn t có dng

1 0
( )
( )
( )

n
n
Y p K
W p
U p a p a p a
= =
+ + +

t
( 1) ( )
1 2 1 3 2
, , , , ,
n n
n n
x y x x y x x y x y x y
−
= = = = = = =
      

Suy ra :

1 2
2 3
11
1


n
n n
n n n

x x
x x
a
a K
x x x u
a a a
−
=
=
= − − − +




4.3 Chuyn i t phng trình trng thái sang hàm truyn
1
( ) ( )
W p C pI A B D
−
= − +


M&T S" BÀI TCP CHDNG 1

Bài tp 1 I#U KHI$N LU L5NG CH4T L@NG TRONG "NG DEN
Cho s  iu khin mc lu l7ng ca mt 9ng ng dFn ch6t l?ng nh hình vB


Bit hàm truyn ca c c6u chuyn i t) dòng in sang áp su6t + van LV + 9ng ng + b
chuyn i t) lu l7ng sang dòng in là

12.2)(
)(
)(
+
==
−
p
e
pX
pY
pH
p


Hãy thành l.p mô hình iu khin ca h thng.

Bài tp 2 I#U CHGNH NHI!T & CA MÁY LOI KHÍ CHO NHI HDI
N*c tr*c khi 7c a vào lò hi cn phi qua máy loi khí nh:m loi b*t khí CO
2

và O
2
trong n*c. Các loi khí này kém tan, chính vì v.y sB làm áp su6t hi th6p, nhit 
FE
FT
FIC

FY
Y

X

FE : o lu l7ng
FT : chuyn i lu l7ng/ dòng in

FIC : b iu khin lu l7ng
FY : chuyn i dòng in/áp su6t
LV
Chng 1 Mô t toán hc


20
cao. N*c trong máy loi khí này có áp su6t th6p và nhit  bão hòa khong 104°C. S 
diu ch-nh nhit  ca máy loi khí nh sau :



Hàm truyn ca van iu ch-nh TV + ni hi + b o TE là

18
2
)(
)(
)(
4
+
==
−
p
e

pX
pY
pT
p

B chuyn i in áp/dòng in TY có nhim v( chuyn i tín hiu in áp ( vài micro
volt) t- l v*i nhit  thành tín hiu dòng in I (4-20mA)  a n b iu ch-nh TIC.
Hàm truyn ca b chuyn i TY là :

13.0
1
)(
)(
)(
+
==
ppY
pI
pC

Hãy thành l.p mô hình iu khin ca h thng.

Bài tp 3 I#U CHGNH NHI!T & CA B& TRAO 0I NHI!T
S  ca mt b trao i nhit nh hình vB, trong ó θ
1
>T
1
.

LT

TE

TY

TIC
Q
v

Q
e

Hi

n ni
hi
N
*c

TE : u dò nhit  TV : van t ng iu ch-nh nhit 
TY : chuyn i in áp/dòng in LT : b chuyn i m,c
TIC : b iu ch-nh nhit  LV : van iu ch-nh m,c
LV
TV

Y
I
X
T
Chng 1 Mô t toán hc

21

Yêu cu iu khin là gi cho nhit  ra T
2
ca ch6t l?ng cn làm nóng không i v*i mi
lu l7ng Q
f
.
Mt tín hiu iu khin X a n van sB khng ch nhit  T
2
ca ch6t l?ng, nhit  này
7c th hin qua tín hiu o l9ng Y. Hàm truyn ca van TV + b trao i nhit + b o
TT là
( )
3
12
4.1
)(
)(
)(
+
==
p
pX
pY
pH . Mt khác, nu gi tín hiu iu khin X không i nhng
lu l7ng Q
f

ca ch6t l?ng cn làm nóng thay i cIng làm nh hng n nhit  ra T
2
.
nh hng ca Q
f
n T
2
7c cho bi hàm truyn
( )
2
15.0
2
)(
)(
)(
+
−==
p
pQ
pY
pD
f

Hãy thành l.p mô hình iu khin ca h thng.

Bài tp 4 I#U KHI$N NHI!T & CA M&T MÁY HÓA L@NG GA (liquéfacteur)
S  khi ca mt máy hóa l?ng ga 7c cho trong hình sau :


Trong ó :

TT : b chuyn i nhit 
TIC : b iu ch-nh nhit 
FT
1
: b chuyn i lu l7ng (in t))
FT
2
: b chuyn i lu l7ng v*i o l9ng tuyn tính
M

FT
1

TIC

FT
2

TT
Q
2
, T
1

Q
2
, T
2

Q

1
, T
3

Q
1
, T
4

Ga cn hóa l?ng
Ga l?ng
Ch6t làm lnh
Y

X

FIC

X
1

TT
TIC
TV
FT
Q
f
,T
1

Q
f
,T
2

Q
c
,
θ
2

Q
c
,
θ
1

Ch6t l?ng cn làm nóng

Ch
6t l?ng
mang nhit
Y

X

TT : b chuyn i nhit  TV : van iu ch-nh nhit 
TIC : b iu ch-nh nhit  FT : b chuyn i lu l7ng
Chng 1 Mô t toán hc

22

 iu khin nhit  ca ga ã 7c hóa l?ng, ng9i ta i lu l7ng Q
1
ca ch6t
làm lnh bi b iu khin TIC. Ga tr*c khi hóa l?ng có nhit  T
1
, sau khi 7c hóa l?ng
sB có nhit  T
2
. Hàm truyn ca các khâu trong s  7c nh ngh'a nh sau :

p
eK
pQ
pT
pH
p
1
1
1
2
1
1)(
)(
)(
1
θ
τ

+
==
−

)(
)(
)(
2
2
2
pQ
pT
pH =
)(
)(
)(
3
2
3
pT
pT
pH =
)(
)(
)(
1
2
4
pT
pT

pH = 1
)(
)(
)(
2
5
==
pT
pY
pH 1
)(
)(
)(
1
6
==
pX
pQ
pH

V*i K
1
=2,
τ
1
=1 min,
θ
1
=4 min.

Hãy thành l.p mô hình iu khin ca h thng.
Chng 2 c tính ng hc

23

C TÍNH NG HC CA CÁC KHÂU
VÀ CA H THNG TRONG MIN TN S
1 Khái nim chung
- Nhim v( ca chng : xây dng c tính ng hc ca khâu/h thng trong min tn s. M(c
ích :
+ Kho sát tính n tính
+ Phân tích tính ch6t
+ Tng h7p b iu khin
- Khâu ng hc : nhng i t7ng khác nhau có mô t toán hc nh nhau 7c gi là khâu ng
hc. Có mt s khâu ng hc không có phn t8 v.t lý nào tng ,ng, ví d(
( ) 1
W p Tp
= +
hay
( ) 1
W p Tp
= −
.
2 Phn ng ca mt khâu
2.1 Tín hiu tác ng vào mt khâu (các tín hiu tin nh)
2.1.1 Tín hiu bc thang n v
1 0
( ) 1( )
0 0
t

u t t
t
≥

= =

<



Dng tng quát

0 0
0 0
0
U
( ) 1( )
0
t t
u t U t t
t t
≥

= − =

<


2.1.2 Tín hiu xung n v
0 0

1( )
( ) ( )
0
t
d t
u t t
t
dt
δ
≠

= = =

∞ =



Tính ch6t :

0
( ) 1
t dt
δ
∞
=


2.1.3 Tín hiu iu hòa
u(t) = U
m

sin(ωt + ϕ)
Biu di/n d*i dng s ph,c
(
)
( )
j t
m
u t U e
ω ϕ
+
→
2.1.4 Tín hiu bt k
i v*i mt tín hiu vào b6t k=, ta luôn có th phân tích thành tng ca các tín hiu n gin  trên.
2.2 Phn ng ca mt khâu
Cho mt khâu 7c mô t toán hc nh hình vB :

W(p)
U(p)
Y(p)
u(t)
y(t)
t

u

1

t

δ

(t)
Chng 2 c tính ng hc

24
nh ngh'a: Phn ng ca mt khâu (h thng) i vi mt tín hiu vào xác nh chính là c
tính quá  hay c tính thi gian ca khâu ó.
2.2.1 Hàm quá  ca mt khâu
Hàm quá  ca mt khâu là phn ng ca khâu i vi tín hiu vào 1(t).
Ký hiu : h(t)
Biu th,c :
1
( )
( )
W p
h t L
p
−
 
=
 
 

2.2.2 Hàm trng lng ca mt khâu
Hàm trng lng ca mt khâu là phn ng ca khâu i vi tín hiu vào
δ
δδ
δ
(t).
Ký hiu : ω
ωω

ω(t)
Biu th,c :
{
}
1
( ) W(p)
t L
ω
−
= hay
( )
( )
dh t
t
dt
ω
=

Ví d : Cho mt khâu có hàm truyn t là

5
( )
2 1
W p
p
=
+

Tìm phn ,ng ca khâu i v*i tín hiu u(t) = 2.1(t-2)-2.1(t-7).
3 c tính tn s ca mt khâu

3.1 Hàm truyn t tn s
3.1.1 nh ngha:
Hàm truyn t tn s ca mt khâu, ký hiu là W(j
ω
ωω
ω
), là t s gia tín hiu ra vi tín
hiu vào  trng thái xác lp khi tín hiu vào bin thiên theo qui lut iu hòa
( ) sin
m
u t U t
ω
= .

- J trng thái xác l.p (nu h thng n nh): y
xl
(t)= Y
m
sin(ωt + ϕ)
- Biu di/n d*i dng s ph,c :

(
)
( )
j t
u t e
ω
→

(

)
( )
j t
m
y t Y e
ω ϕ
+
∞
→
- Theo nh ngh'a :
(
)
( )
( )
( )
( )
j t
j
xl m m
j t
m
m
y t Y e Y
W j e
u t U
U e
ω ϕ
ϕ
ω
ω

+
= = =
Nhn xét: Hàm truyn t tn s
- Là mt s ph,c
- Ph( thuc vào tn s tín hiu.

Do W(jω) là s ph,c nên có th biu di/n nó nh sau :

( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
j
W j A e
W j P jQ
ϕ ω
ω ω
ω ω ω
=
= +

3.1.2 Cách tìm hàm truyn t tn s t hàm truyn t ca mt khâu
Có th ch,ng minh 7c hàm truyn t tn s 7c tìm 7c t) hàm truyn t ca mt
khâu (h thng) theo quan h sau :
( ) ( )
p j
W j W p
ω
ω
=
=

Ví d : Tìm hàm truyn t tn s ca khâu có hàm truyn
5
( )
2 1
W p
p
=
+
.
Ý ngha ca W(jω
ωω
ω)
Chng 2 c tính ng hc

25
- Xác nh 7c h s khuch i / góc lch pha i v*i tín hiu xoay chiu
- Xác nh 7c phng trình ca tín hiu ra  trng thái xác l.p.
3.2 c tính tn s
3.2.1 c tính tn s biên pha (Nyquist)
Xu6t phát t) cách biu di/n hàm truyn t tn s
( ) ( ) ( )
W j P jQ
ω ω ω
= +

- Xây dng h tr(c v*i tr(c hoành P, tr(c tung Q.
- Khi ω bin thiên, vB nên c tính tn s biên pha.
nh ngha : c tính tn s biên pha (TBP) là qu o ca hàm truyn t tn s W(j
ω
ωω

ω
) trên
mt ph ng phc khi
ω
ωω
ω
bin thiên t -
∞
∞∞
∞
n
∞
∞∞
∞
.

c im :
- TBP i x,ng qua tr(c hoành nên ch- cn xây dng
½ c tính khi ω bin thiên t) 0 n ∞ và l6y i
x,ng qua tr(c hoành  7c toàn b c tính.
- Có th xác nh 7c môdun A, góc pha ϕ t) TBP

3.2.2 c tính tn s logarit (Bode)
Quan sát s bin thiên ca biên  và góc pha theo tn s
Xây dng h gm 2 c tính :


*  c tính tn s biên  logarit TBL
- Hoành  là ω hay logω [dec]
- Tung  L [dB]. Hàm L 7c xác nh

20log ( )
L A
ω
=

TBL biu di/n bin thiên ca h s khuch i tín hiu theo tn s tín hiu vào.

*  c tính tn s pha logarit TPL
- Hoành  là ω hay logω [dec]
- Tung  ϕ [rad], 7c xác nh trong W(jω).
TPL biu di/n bin thiên ca góc pha theo tn s tín hiu vào.

* c im ca c tính logarit
Khi h thng có n khâu ni tip :

1 2
1 2


n
n
L L L L
ϕ ϕ ϕ ϕ
= + + +
= + + +

log
ω

ω
L
log
ω

ω
ϕ

P

jQ

A
ϕ