Giải đề toán số 1 năm học 2021 2022

Câu 1.
Câu 2.
Câu 3.

ĐỀ TOÁN SỐ 1 GROUP GIẢI TOÁN VẬT LÝ
Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 mà song song với trục Ox là
A. 0 .
B. 3 .
C. 1 .
Hình đa diện nào sau đây khơng có tâm đối xứng?
A. Lăng trụ lục giác đều. B. Hình bát diện đều. C. Hình tứ diện đều.
2x −1
Cho hàm số y =
. Khẳng định nào sau đây đúng?
−x + 3
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3 , tiệm cận ngang y = 2. .

D. 2 .
D. Hình lập phương

B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −3 , tiệm cận ngang y = −2 .
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −3 , tiệm cận ngang y = 2 .
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3 , tiệm cận ngang y = −2 .
Câu 4.

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm y ' = x 2 ( x − 2 ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên ( −;0 ) và ( 2; +  ) .
B. Hàm số đồng biến trên ( 2; +  ) .
C. Hàm số đồng biến trên ( 0; 2 ) .

Câu 5.

D. Hàm số nghịch biến trên .
Số giao điểm đồ thị hàm số y = x 4 − x 2 − 2 và đường thẳng y = −2 là:
A. 1.

Câu 6.

Câu 9.

D. 3.

C. 2 .

B. 0 .

Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
A. ( 2; − 3) .

Câu 8.

C. 4.

Cho hàm số y = 4 x − x , tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là
A. 1 .

Câu 7.

B. 2.
2

B. ( 3; − 2 ) .

D. 3 .
3x − 7
là
x+2

C. ( −3; 2 ) .

D. ( −2;3) .

Cho hình lập phương ABCD.ABCD . Góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng
A. 90 .
B. 45 .
C. 30 .
D. 60 .
Khối đa diện đều loại 4;3 có bao nhiêu cạnh?
A. 8.

Câu 10. Chohàm số y =

B. 12.

C. 20.

D. 6

x −1
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
x−2

A. Hàm số nghịch biến trên tập

\ 2 .

B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng mà hàm số xác định.
C. Hàm số đồng biến trên ( 2; + ) .
D. Hàm số nghịch biến trên ( −;2 )  ( 2; + ) .
2x + 3
trên đoạn  −1;1 bằng
x−2
1
A. −1 .
B. 1 .
C. − .
3
4
2
Câu 12. Cho hàm số y = x − 2 x + 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 11. Giá trị lớn nhất của hàm số y =

A. Hàm số chỉ có đúng hai điểm cực trị.
C. Hàm số có ba điểm cực trị.

5
D. − .
3

B. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị.

D. Hàm số khơng có cực trị

Câu 13. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 1 tại điểm có tung độ bằng 3 là:


1
4
1
1
1
4
x+ .
B. y = x − 3 .
C. y = x + 3 .
D. y = x − .
6
3
6
6
6
3
Câu 14. Trung điểm các cạnh của một hình tứ diện đều là đỉnh của
A. Một hình diện đều.
B. Một hình lục giác đều.
C. Một hình chóp tứ giác đều.
D. Một hình bát diện đều.

A. y =

Câu 15. Tìm m để phương trình x9 + x 7 − 1 − x + m = 0 có nghiệm trên ( −;1

A. m  −2 .

B. m  2 .

C. m  2 .

D. m  −2 .

ax + b
có đồ thị như hình vẽ bên.
x +1
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. 0  a  b .
B. a  b  0 .
C. b  0  a .
D. 0  b  a
Câu 17. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ

Câu 16. Cho hàm số y =

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây
A. (1;3) .
B. (−1; +) .
C. (−2; −1) .

D. ( −; 0) .

Câu 18. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?

A. (1; 4) .
B. (0; 2) .
C. ( −; 0) và ( 2; +  ) .
D. ( − ;1) và ( 4; +  ) .
Câu 19. Cho hàm số f ( x ) = − x3 + 21x 2 + 10 x + 2019 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực đại có
hệ số góc bằng
A. 21 .

B. 0 .

C. 2019 .

D. 10 .

1 − 4 − x2
có số đường tiệm cận đứng là m và số đường tiệm cận ngang là n
x2 − 2 x − 3
. Giá trị của m + n là
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
4
2
Câu 21. Với giá trị nào của m để phương trình x − 3 x = m + 3 có 3 nghiệm phân biệt?
A. −4 .
B. −3 .
C. 0 .
D. −5 .

Câu 20. Đồ thị hàm số y =

Câu 22. Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ), SA = a, AB = a, AC = 2a, BAC = 1200. Tính thể tích khối
chóp S.ABC
A. V =

a3 3
.
2

B. V = a 3 3 .

C. V =

a3 3
.
6

D. V =

a3 3
.
3


Câu 23. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên K và x0  K . Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm

x0 thì
A. f ( x0 ) = 0 .

B. f '' ( x0 )  0 .

C. f ' ( x0 ) = 0 .

D. f '' ( x0 )  0 .

Câu 24. Cho hàm số y = f ( x) = ax 3 + cx + d (a  0) biết max f ( x) = f (2) , tìm giá trị nhỏ nhất của hàm
(0, + )

số y = f ( x) trên đoạn  −3, −1
A. min f ( x) = d + 16a .

B. min f ( x) = d − 16a .

C. min f ( x) = d + 8a .

D. min f ( x) = d + 32a

 −3, −1

 −3, −1

 −3, −1

 −3, −1

Câu 25. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
x −1
A. y =
.

−x −1
x +1
B. y =
.
x −1
x +1
C. y =
.
−x +1
x −1
D. y =
x +1
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD cạnh bằng a và SA ⊥ ( ABCD ) , SA =

a 6
. Tính góc giữa SC và
3

( ABCD ) .
A. 750 .

B. 450 .

C. 60 0 .

D. 30 0 .

Câu 27. Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm kết luận đúng.
A. ac  0 .

B. a + b  0 .
C. bc  0 .
D. ab  0 .
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x) có f '( x)  0, x 

. Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của x để

1
f ( )  f (1) .
x

A. ( −;0 )  ( 0;1) .

B. ( −;1) .

C. ( −;0 )  (1; + ) . D. ( 0;1) .

1
y −y
Câu 29. Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là hai điểm cực trị của hàm số y = x3 − 4 x 2 − x + 4 . Tính P = 1 2 .
x1 − x2
3
17
17
34
.
B.
.
C.
.

3
3
3
Câu 30. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
A. y = − x 4 + 3x 2 .

A. −

B. y = x 4 − 2 x 2 .
C. y = x 4 + 2 x 2 .
D. y = − x 4 + 2 x 2 .

D. −

34
.
3


Câu 31. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x + 1)

2017

( x − 2)

2018

( x − 3)

2019

( x + 5)

2020

. Hỏi hàm số

f ( x ) có mấy điểm cực trị?
B. 2 .

A. 3 .

D. 4 .

C. 5 .

Câu 32. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn  −2;2
và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.
Đặt M = max f ( x ) , m = min f ( x ) . Khi đó M + m bằng
−2;2

−2;2

A. 0 .
B. 8 .
C. 2 .
D. 4 .
Câu 33. Bảng biến thiên dưới đây là bảng biến thiên của hàm số nào?

A. y = − x 4 + 2 x 2 − 5 .

B. y = x 4 − 2 x 2 − 5 .

C. y = x 4 + 2 x 2 + 1 .

Câu 34. Tìm m để đường thẳng y = 2 x + m cắt đồ thị hàm số y =

D. y = x 4 + 2 x 2 − 5 .

x+3
tại hai điểm M , N sao cho độ
x +1

dài MN nhỏ nhất:
A. 1 .
B. −1 .
C. 2 .
D. 3 .
Câu 35. Cho khối chóp S.ABC có thể tích là 16 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,
SB, SC . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP.
A. V = 2 .
Câu 36. Cho hàm số y =
trình là:
A. y = x + 1 .

B. V = 6 .

C. V = 8 .

D. V = 4 .

3x − 4 x + 5
. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương
x −1
2

B. y = −6 x + 4 .

C. y = 6 x + 4 .

D. y = 6 x − 4 .

Câu 37. Cho khối chóp có diện tích đáy bằng 20cm , chiều cao có độ dài bằng 3cm . Tính thể tích V của
khối chóp.
A. V = 180cm3 .
B. V = 20cm3 .
C. V = 30cm3 .
D. V = 60cm3 .
2

Câu 38. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên

và có đồ thị như hình vẽ

Phương trình f ( x ) = 2 có số nghiệm là
A. 1 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 2 .
Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 2a , tam giác ABC vuông ở C có AB = 2a ,

CAB = 300 . Tính cơ-sin của góc giữa hao mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC )
A.

7
.
9

B.

7
.
14

C.

7
.
7

D.

3 7
.
14


Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a , góc ABC = 60 , SA ⊥ ( ABCD ) ,
3a
. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD . Khoảng cách từ điểm O đến ( SBC ) bằng:

2
5a
3a
5a
3a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
8
8
4
SA =

Câu 41. Có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc đoạn  − 2020; 2020  của bất phương trình

( x + 4)  ( x + 4)

2


A. 2020 .

+ 2 + 1 + x  x 2 + 2 + 1  0 .




B. 2021 .
C. 2022 .

D. 2023 .

Câu 42. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có cạnh bên AA' = a 2 . Biết đáy ABC là tam giác vng
có BA = BC = a , gọi M là trung điểm của BC .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và
B 'C .
A. d ( AM , B ' C ) =

a 2
.
2

B. d ( AM , B ' C ) =

a 5
.
5

a 3
a 7
.
D. d ( AM , B ' C ) =
.
3
7
Câu 43. Cho lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của A ' lên

C. d ( AM , B ' C ) =

( ABC ) trùng với tâm O

của tam giác ABC . Mặt phẳng (P) qua BC và vng góc với AA cắt

a2 3
lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằng
. Thể tích lăng trụ ABC.ABC bằng.
8

A.

a3 3
.
12

B.

a3 6
.
3

C.

a3 2
.
12

D.

a3 6
.
12

Câu 44. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ.
Bất phương trình

f ( x)
36

−

x+3−2
 m đúng với mọi x  ( 0;1)
x −1

khi và chỉ khi
f ( 0)
f (1) + 9
1
..
−
. B. m 
A. m 
36
36
3+2

f ( 0)
f (1) + 36
1
−
. D. m 
.
9
36
3+2
Câu 45. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B , với AC = 2a , BC = a . Điểm S
cách đều các điểm A, B, C . Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 0 .
C. m 

Khoảng cách từ trung điểm M của BC đến mặt phẳng ( SAB ) bằng:
A.

a 39
.
13

B.

3a 13
.
13

C.

a 39
.

26

D.

a 13
26


Câu 46. Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên

, đồ thị của hàm số

y = f '( x ) như hình vẽ. Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x)

trên đoạn [−1; 2]. Khi đó M bằng
A. f (2) .
B. f (1) .
C. f ( −1) .
D. f (0) .
Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SA = 6 2 , góc giữa SB và
mặt phẳng ABCD bằng 450 . Gọi K là trung điểm của SB .
Tính khoảng cách từ K đển mặt phẳng (SAC) .
A. 6
B. 3
C. 6 2
D. 3 2
Câu 48. Cho hình lập phương ABCD  A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh bằng 6.
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của CD, A'C ( Tham khảo hình vẽ
minh họa). Tính thể tích khối tứ diện APQD ' .

A. 18
B. 24
C. 36
D. 12
Câu 49. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hàm số như hình vẽ. Số
giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình
  
m − cos x  f (cos x) nghiệm đúng với mọi  − ;  là
 2 2
A. 3.
B. 0.
C. 1.
D. 2.
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA = 2a và vng góc
với ( ABCD ) . Điểm M thay đổi trên cạnh CD, H là hình chiếu vng góc của S trên BM. Tìm
giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABH theo a .
a3
A.
6

a3
B.
12

a3
C.
4

a3
D.

9


Câu 1.

GIẢI ĐỀ TOÁN SỐ 1 GROUP GIẢI TOÁN VẬT LÝ
Số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 mà song song với trục Ox là
A. 0 .

B. 3 .

C. 1 .
Hướng dẫn giải

D. 2 .

ChọnC
Ta có y '( x) = 4 x3 − 4 x .
Vì tiếp tuyến song song với trục hồnh nên hệ số góc của tiếp tuyến tại tiếp điểm bằng 0, suy
x = 0
ra: y ' ( x ) = 0  
.
 x = 1
Trường hợp 1: x = 0  y = 0 suy ra tiếp điểm O (0, 0) . Tiếp tuyến tại điểm O chính là Ox
(trường hợp này loại)
Trường hợp 2: x = 1  y = −1 suy ra tiếp điểm M (1, −1) . Tiếp tuyến tại điểm M là:
y = 0( x − 1) − 1  y = −1

Trường hợp 3: x = −1  y = −1 suy ra tiếp điểm N (−1, −1) . Tiếp tuyến tại điểm N là:
y = 0( x + 1) − 1  y = −1

Câu 2.

Câu 3.

Vậy đồ thị hàm số y = x 4 − 2 x 2 có 1 tiếp tuyến song song với trục Ox .
Hình đa diện nào sau đây khơng có tâm đối xứng?
A. Lăng trụ lục giác đều. B. Hình bát diện đều. C. Hình tứ diện đều. D. Hình lập phương
Hướng dẫn giải
Chọn C

Hình bát diện đều có tâm đối xứng là điểm H (hình vẽ).
Hình lăng trụ lục giác đều có tâm đối xứng là I (hình vẽ).
Hình lập phương có tâm đối xứng là O (hình vẽ).
2x −1
Cho hàm số y =
. Khẳng định nào sau đây đúng?
−x + 3
A. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3 , tiệm cận ngang y = 2. .
B. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −3 , tiệm cận ngang y = −2 .
C. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = −3 , tiệm cận ngang y = 2 .
D. Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = 3 , tiệm cận ngang y = −2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Vì lim = −2 nên y = −2 là tiệm cận ngang.
x→

Vì lim+ = − và lim− = + nên x = 3 là tiệm cân đứng.
x →3

Câu 4.

x →3

Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm y ' = x 2 ( x − 2 ) . Mệnh đề nào sau đây đúng?


A. Hàm số nghịch biến trên ( −;0 ) và ( 2; +  ) .
B. Hàm số đồng biến trên ( 2; +  ) .
C. Hàm số đồng biến trên ( 0; 2 ) .
D. Hàm số nghịch biến trên

.
Hướng dẫn giải

Chọn B
Tập xác định: D =
x = 0
.
Ta có y ' = 0  x 2 ( x − 2 ) = 0  
x = 2
Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta có hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên ( −; 2 ) và đồng biến trên ( 2; +  ) .
Câu 5.

Số giao điểm đồ thị hàm số y = x 4 − x 2 − 2 và đường thẳng y = −2 là:
A. 1.

B. 2.

C. 4.
Hướng dẫn giải

D. 3.

Chọn D
Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x 4 − x 2 − 2 và y = −2
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm:
x = 0
x 4 − x 2 − 2 = −2  x 4 − x 2 = 0  
 x = 1
Vậy đồ thị hàm số y = x 4 − x 2 − 2 và y = −2 cắt nhau tại 3 điểm.
Câu 6.

Cho hàm số y = 4 x − x 2 , tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là
A. 1 .

Câu 7.

B. 0 .

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

Chọn B
Điều kiện: 0  x  4 . Do đó đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang.
Đồ thị hàm số cũng khơng có tiệm cận đứng.

Vậy tổng số đường tiệm cận đứng và ngang của đồ thị hàm số là 0.
3x − 7
Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số y =
là
x+2
A. ( 2; − 3) .

B. ( 3; − 2 ) .

C. ( −3; 2 ) .

D. ( −2;3) .

Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: lim y = 3 tiệm cận ngang của đồ thị hàm số có phương trình là y = 3
x →


lim + y = − 

  Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số có phương trình là x = −2
lim − y = + 
x →( −2 )

x →( −2 )

Suy ra: tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là I ( −2;3) .
Câu 8.

Cho hình lập phương ABCD.ABCD . Góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng
A. 90 .
B. 45 .
C. 30 .
D. 60 .
Hướng dẫn giải
Chọn A

Góc giữa hai đường thẳng AC và BD bằng góc giữa hai đường thẳng AC và BD .
Ta có AC  ⊥ BD '  ( AC; BD ) = 90 .
Câu 9.

Khối đa diện đều loại 4;3 có bao nhiêu cạnh?
A. 8.

B. 12.

C. 20.
Hướng dẫn giải

D. 6

Chọn B
Khối đa diện đều loại 4;3 là khối lập phương  số cạnh là 12.
Câu 10. Chohàm số y =

x −1
. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
x−2

A. Hàm số nghịch biến trên tập

\ 2 .

B. Hàm số nghịch biến trên từng khoảng mà hàm số xác định.
C. Hàm số đồng biến trên ( 2; + ) .
D. Hàm số nghịch biến trên ( −;2 )  ( 2; + ) .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Hàm số y =

x −1
có TXĐ: D =
x−2

\ 2 , y ' =

−1

( x − 2)

2

 0 , x  D .

Vậy hàm số nghịch biến trên từng khoảng mà hàm số xác định.
2x + 3
Câu 11. Giá trị lớn nhất của hàm số y =
trên đoạn  −1;1 bằng
x−2

1
A. −1 .
B. 1 .
C. − .
3
Hướng dẫn giải
Chọn C
−7
y =
 0 x  2  hàm số nghịch biến trên đoạn  −1;1
2
( x − 2)
 max y = y ( −1) =
 −1;1

−1
.
3

5
D. − .
3


Câu 12. Cho hàm số y = x 4 − 2 x 2 + 3. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Hàm số chỉ có đúng hai điểm cực trị.
B. Hàm số chỉ có đúng một điểm cực trị.
C. Hàm số có ba điểm cực trị.
D. Hàm số khơng có cực trị
Hướng dẫn giải

ChọnC
Ta có y ' = 4 x3 − 4 x .

y ' = 0  4 x3 − 4 x = 0  x = 0; x = 1 .
Bảng xét dấu

Vậy hàm số có ba điểm cực trị.
Câu 13. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x − 1 tại điểm có tung độ bằng 3 là:
A. y =

1
4
x+ .
6
3

B. y =

1
1
x −3.
C. y = x + 3 .
6
6
Hướng dẫn giải

D. y =

1
4

x− .
6
3

Chọn A
Ta có: y0 = 3  3 = x − 1  9 = x − 1  x0 = 10 nên M (10;3) là tiếp điểm.

y =

1
1
 k = y (10 ) = .
6
2 x −1

1
1
4
( x − 10 ) + 3 = x + .
6
6
3
Câu 14. Trung điểm các cạnh của một hình tứ diện đều là đỉnh của
A. Một hình diện đều.
B. Một hình lục giác đều.
C. Một hình chóp tứ giác đều.
D. Một hình bát diện đều.
Hướng dẫn giải
Chọn D

Phương trình tiếp tuyến tại M là: y =

A

E

G

F

E

G
F
I

B
D

I

H

J

J

H
C

Gọi Tứ diện đều là ABCD cạnh có độ dài a .
Gọi E , F , G , H , I , J lần lượt là trung điểm của các cạnh AB , AC , AD , BC , BD , CD . Nối
các trung điểm ta được hình bát diện EFGHIJ
a
Ta có : EF = EG = EI = EH = JF = JG = JI = JH = FG = FH = IH = IG =
2
( Vì đều là các đường trung bình của các tam giác đều)


1
a
2
Mỗi đỉnh của bát diện EFGHIJ là đỉnh chung của đúng 4 tam giác đều
 bát diện EFGHIJ là bát diện đều.
Vậy trung điểm các cạnh của hình tứ diện đều là đỉnh của hình bát diện đều.

 Các mặt của bát diện là các tam giác đều cạnh có độ dài

Câu 15. Tìm m để phương trình x9 + x 7 − 1 − x + m = 0 có nghiệm trên ( −;1
A. m  −2 .

B. m  2 .
C. m  2 .
Hướng dẫn giải

D. m  −2 .

Chọn A
Ta có x9 + x7 − 1 − x + m = 0  m = 1 − x − x9 − x 7
Xét hàm số f ( x) = 1 − x − x 9 − x 7 trên ( −;1 , ta thấy f ( x ) liên tục và

−1
− 9 x8 − 7 x 6  0, x  ( −;1) . Ta có bảng biến thiên:
2 1− x
x
1
−
y'
−
y
+

f ( x) =

−2
Dựa vào bảng biến thiên để phương trình phương trình x9 + x 7 − 1 − x + m = 0 có nghiệm trên

( −;1

thì m  −2 . Chọn. A.

ax + b
có đồ thị như hình vẽ bên.
x +1
Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. 0  a  b .
B. a  b  0 .
C. b  0  a .
D. 0  b  a
Hướng dẫn giải

Chọn A
Tiệm cận ngang y = a , đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ ( 0,b ) .

Câu 16. Cho hàm số y =

Từ đồ suy ra a = 1, b = 3 . Vậy 0  a  b .
Câu 17. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như hình vẽ

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây
A. (1;3) .
B. (−1; +) .
C. (−2; −1) .
Hướng dẫn giải
Chọn A

D. ( −; 0) .


Từ bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên các khoảng: ( −1;1) và (1; +) mà

(1;3)  (1; + ) nên hàm số đồng biến trên khoảng (1;3) .
Nhận xét: Các khoảng (−1; +) , (−2; −1) , ( −; 0) không phải là tập con của các khoảng đồng
biến của hàm số đã cho nên các đáp án B, C, D loại.
Câu 18. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị như hình vẽ
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào
dưới đây?
A. (1; 4) .
B. (0; 2) .
C. ( −; 0) và ( 2; +  ) .
D. ( − ;1) và ( 4; +  ) .

Hướng dẫn giải
Chọn B
Từ đồ thị suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng: (0; 2) .
Câu 19. Cho hàm số f ( x ) = − x3 + 21x 2 + 10 x + 2019 . Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực đại có
hệ số góc bằng
A. 21 .

B. 0 .

C. 2019 .
Hướng dẫn giải

D. 10 .

Chọn B
Tập xác định: D =
f  ( x ) = −3x 2 + 42 x + 10

21 − 471
x =
3
f  ( x ) = 0  −3x 2 + 42 x + 10 = 0  

21 + 471
x =
3

Bảng xét dấu
−
21 − 471

21 + 471
x
3
3

0
0
y
+
−

Từ bảng xét dấu ta có hàm số đạt cực đại tại x0 =

+
−

21 + 471
3

 21 + 471 
Hệ số góc tại điểm cực đại là: k = f  
 = 0 .

3



1 − 4 − x2
có số đường tiệm cận đứng là m và số đường tiệm cận ngang là n
x2 − 2 x − 3

. Giá trị của m + n là
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Tập xác định: D =  −2; 2 \ −1

Câu 20. Đồ thị hàm số y =

Dựa vào tập xác định của hàm số ta suy ra đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang hay n = 0.


1 − 4 − x2
1 − 4 − x2
;
=
+
lim
= − .
2
2
x →( −1) x − 2 x − 3
x →( −1)− x − 2 x − 3
Do đó, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Như vậy đồ thị hàm số có 1
tiệm cận đứng hay m = 1.
Vậy m + n = 1.
Câu 21. Với giá trị nào của m để phương trình x 4 − 3 x 2 = m + 3 có 3 nghiệm phân biệt?
A. −4 .

B. −3 .
C. 0 .
D. −5 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ta có x 4 − 3 x 2 = m + 3  x 4 − 3 x 2 − 3 = m .
Ta có lim +

Do đó để phương trình x 4 − 3 x 2 = m + 3 có 3 nghiệm phân biệt thì
phương trình x 4 − 3 x 2 − 3 = m cũng có 3 nghiệm phân biệt.
Ta suy ra đường thẳng y = m phải cắt đồ thị hàm số y = x 4 − 3x 2 − 3
tại 3 điểm phân biệt.
Dựa vào đồ thị, ta thấy giá trị duy nhất thỏa mãn đề bài là m = −3 .
Vậy m = −3 thì phương trình x 4 − 3 x 2 = m + 3 có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 22. Cho khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ), SA = a, AB = a, AC = 2a, BAC = 1200. Tính thể tích khối
chóp S.ABC
a3 3
A. V =
.
2

a3 3
B. V = a 3 .
C. V =
.
6
Hướng dẫn giải
3

a3 3

D. V =
.
3

Chọn C

Áp dụng định lý cosin trong tam giác ABC ta có diện tích ABC là:
1
1
3
3a 2
AB. AC.sinBAC = .a.2a.
=
.
2
2
2
2
SA ⊥ ( ABC ) nên SA là chiều cao khối chóp S.ABC . Thể tích khối chóp S.ABC là:

S ABC =

1
1
3a 2 a 3 3
V = SA.S ABC = .a.
=
.
3
3

2
6

Câu 23. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai trên K và x0  K . Nếu hàm số đạt cực trị tại điểm

x0 thì
A. f ( x0 ) = 0 .

B. f '' ( x0 )  0 .

C. f ' ( x0 ) = 0 .

Hướng dẫn giải
Chọn C
Theo điều kiện cần để hàm số đạt cực trị tại điểm x0 thì f ' ( x0 ) = 0 .

D. f '' ( x0 )  0 .


Câu 24. Cho hàm số y = f ( x) = ax 3 + cx + d (a  0) biết max f ( x) = f (2) , tìm giá trị nhỏ nhất của hàm
(0, + )

số y = f ( x) trên đoạn  −3, −1
A. min f ( x) = d + 16a .

B. min f ( x) = d − 16a .

C. min f ( x) = d + 8a .

D. min f ( x) = d + 32a

 −3, −1

 −3, −1

 −3, −1

 −3, −1

Hướng dẫn giải
Chọn A
Vì max f ( x) = f (2) nên ta suy ra a  0 và phương trình f ( x) = 0 có hai nghiệm là 2 hoặc
(0, + )

−2 nên hàm số đồng biến trên khoảng ( −2, 2 ) và hàm số nghịch biến trên các khoảng khoảng

( −, −2) ; ( 2; + ) .
f ( x) = 3ax 2 + c  f (2) = 0 = c + 12a = 0 .
Mà −2 thuộc  −3, −1 nên min f ( x) = f ( −2) = −8a − 2c + d = d + 16a .
 −3, −1

Câu 25. Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
x −1
A. y =
.
−x −1
x +1
B. y =
.
x −1

x +1
C. y =
.
−x +1
x −1
D. y =
x +1
Hướng dẫn giải
Chọn B
Vì đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 1 ,tiệm cận ngang y = 1 nên loại đáp án A,C.
Vì đồ thị của hàm nghịch biến nên ta loại D chọn B.
Câu 26. Cho hình chóp S.ABCD cạnh bằng a và SA ⊥ ( ABCD ) , SA =

a 6
. Tính góc giữa SC và
3

( ABCD ) .
A. 750 .

B. 450 .

C. 60 0 .
Hướng dẫn giải

ChọnD

Góc giữa SC và ( ABCD ) là góc SCA .

D. 30 0 .

Ta có AC = a 2 và tan SCA =

SA
3
=
 SCA = 300 .
AC
3

Câu 27. Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ bên.
Tìm kết luận đúng.
A. ac  0 .
B. a + b  0 .
C. bc  0 .
D. ab  0 .
Hướng dẫn giải
Chọn C
Nhìn vào đồ thị ta có nhận xét:
- Bề lõm quay lên trên nên a  0 .
- Đồ thị hàm số có 3 cực trị nên a.b  0  b  0 .
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0; c) với c  0 .
Dựa vào các nhận xét trên ta có bc  0 chọn đáp án
C.
Câu 28. Cho hàm số y = f ( x) có f '( x)  0, x  . Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của x để
1
f ( )  f (1) .
x

A. ( −;0 )  ( 0;1) .

B. ( −;1) .

C. ( −;0 )  (1; + ) . D. ( 0;1) .

Hướng dẫn giải
Chọn C
Vì f '( x)  0, x 

nên hàm số y = f ( x) đồng biến trên

.

1
 x  1
x  1
1

Do đó f ( )  f (1)  
.
x
x  0
1  0
 x
1
y −y
Câu 29. Gọi A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) là hai điểm cực trị của hàm số y = x3 − 4 x 2 − x + 4 . Tính P = 1 2 .
x1 − x2
3

A. −

17
.
3

B.

17
.
3

C.

34
.
3

D. −

34
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn D

128 + 34 17
 x = 4 + 17  y = −

3
y ' = x2 − 8x − 1 . y ' = 0  
.

−128 + 34 17
 x = 4 − 17  y =
3


34
128 + 34 17  
−128 + 34 17 
Khi đó: A  4 + 17; −
. Vậy P = − .
;
B
4
−
17;




 

3
3
3

 




Câu 30. Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của hàm số nào?
A. y = − x 4 + 3x 2 .
B. y = x 4 − 2 x 2 .
C. y = x 4 + 2 x 2 .
D. y = − x 4 + 2 x 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Từ đồ thị suy ra đây là hàm số bậc 4 trùng phương có dạng y = ax 4 + bx 2 + c ( a  0 ) có 3 cực
trị nên a  0, b  0 . Do đó loại đáp án A, C,
Câu 31. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = ( x + 1)

D.
2017

( x − 2)

2018

( x − 3)

2019

( x + 5)

2020

. Hỏi hàm số

f ( x ) có mấy điểm cực trị?
B. 2 .

A. 3 .

C. 5 .
Hướng dẫn giải

D. 4 .

Chọn B

 x = −1
x = 2
Cho f ' ( x ) = 0  
x = 3

 x = −5
Trong đó chỉ có hai nghiệm x = −1 ; x = 3 là nghiệm bội lẻ nên hàm số f ( x ) có hai điểm cực
trị là x = −1 và x = 3 .
Câu 32. Cho hàm số y = f ( x ) xác định và liên tục trên đoạn  −2;2
và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ.
Đặt M = max f ( x ) , m = min f ( x ) . Khi đó M + m bằng
−2;2

A.
B.
C.
D.

−2;2

0.

8.
2.
4.

Hướng dẫn giải
Chọn A
Từ đồ thị suy ra M = 4 và m = −4 .
Vậy M + m = 4 − 4 = 0 .
Câu 33. Bảng biến thiên dưới đây là bảng biến thiên của hàm số nào?

A. y = − x 4 + 2 x 2 − 5 .

B. y = x 4 − 2 x 2 − 5 .

C. y = x 4 + 2 x 2 + 1 .

D. y = x 4 + 2 x 2 − 5 .

Hướng dẫn giải
Chọn B
+ Từ BBT ta thấy hàm số có 3 điểm cực trị  a.b  0 do đó loại đáp án C,
+ Nhánh cuối đồ thị hướng đi lên chứng tỏ hệ số a  0 do đó loại đáp án

D.
A.

Câu 34. Tìm m để đường thẳng y = 2 x + m cắt đồ thị hàm số y =
dài MN nhỏ nhất:
A. 1 .

B. −1 .

x+3
tại hai điểm M , N sao cho độ
x +1

C. 2 .
Hướng dẫn giải

D. 3 .

Chọn D
Ta có phương trình hồnh độ giao điểm:

x+3
= x + m (1)
x +1

 f ( x ) = 2 x 2 + ( m + 1) x + m − 3 = 0 ( 2 )



 x  −1

Đường thẳng y = 2 x + m cắt đồ thị hàm số y =

x+3
tại hai điểm M , N khi phương trình (1)
x +1

có hai nghiệm phân biệt  ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt khác −1
2

m2 − 6m + 25  0

( m + 1) − 8 ( m − 3)  0
  0



 m  R


−2  0
 f ( −1)  0
2 − m − 1 + m − 3  0

Gọi x1 ; x2 là nghiệm của pt ( 2 ) khi đó M ( x1; 2 x1 + m ) , N ( x2 ; 2 x2 + m )

 MN = 5 ( x2 − x1 ) = 5 ( x2 + x1 ) − 20 x2 x1
2

2

−m − 1

 x1 + x2 = 2
Theo Viet ta có 
x x = m − 3
 1 2
2
m−3
5
5
2
 −m − 1 
 MN = 5 
=
m2 − 6m + 25 =
( m − 3) + 16  2 5
 − 20
2
2
2
 2 
Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = 3 .
Câu 35. Cho khối chóp S.ABC có thể tích là 16 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA,
2

SB, SC . Tính thể tích V của khối tứ diện AMNP.

A. V = 2 .

B. V = 6 .

C. V = 8 .
Hướng dẫn giải

D. V = 4 .

Chọn A
S

M

P
N

A

C

B

Ta có:

VSANP SA SN SP 1
1
1
=
.
.
=  VSANP = .VSABC = .16 = 4
VSABC SA SB SC 4
4

4


VAMNP AM AN AP 1
1
1
=
.
.
=  VAMNP = .VASNP = .4 = 2
VASNP
AS AN AP 2
2
2

Vậy V = 2 .
Câu 36. Cho hàm số y =
trình là:
A. y = x + 1 .

3x 2 − 4 x + 5
. Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương
x −1
B. y = −6 x + 4 .

C. y = 6 x + 4 .

D. y = 6 x − 4 .

Hướng dẫn giải

ChọnD

3− 2 3
 x1 =
 y1 = 2 − 4 3
3x − 6 x − 1
3
Ta có: y ' =
.
=0

2

3+ 2 3
( x − 1)
 y2 = 2 + 4 3
 x2 =
3

2

 3− 2 3
  3+ 2 3

Tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: A 
;
2
−
4
3

,
B
;
2
+
4
3



 3
 
3

 

Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có phương trình: y = 6 x − 4 .

Câu 37. Cho khối chóp có diện tích đáy bằng 20cm 2 , chiều cao có độ dài bằng 3cm . Tính thể tích V của
khối chóp.
A. V = 180cm3 .
B. V = 20cm3 .
C. V = 30cm3 .
D. V = 60cm3 .
Hướng dẫn giải
Chọn B
1
1
Thể tích khối chóp: V = B.h = 20.3 = 20cm3 .
3

3
Câu 38. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên

và có đồ thị như hình vẽ

Phương trình f ( x ) = 2 có số nghiệm là
A. 1 .
B. 3 .
C. 4 .
D. 2 .
Hướng dẫn giải
Chọn D
Đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng y = 2 cắt nhau tại 2 điểm phân biệt nên phương trình

f ( x ) = 2 có số nghiệm là 2 nghiệm.
Câu 39. Cho hình chóp S.ABC có đường cao SA = 2a , tam giác ABC vng ở C có AB = 2a ,

CAB = 300 . Tính cơ-sin của góc giữa hao mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC )
A.

7
.
9

B.

7
.
14

C.
Hướng dẫn giải

Chọn C

7
.
7

D.

3 7
.
14


Trong mp ( ABC ) , kẻ CH ⊥ AB, H  AB ; Vì SA ⊥ ( ABC )  CH ⊥ ( SAB )  CH ⊥ SB (1)
Trong mp ( SAB) , kẻ HK ⊥ SB, K  SB (2)
Từ (1) và (2) suy ra SB ⊥ ( CHK )  SB ⊥ CK
( SAB )  ( SBC ) = SB

Vậy ta có  KH  ( SAB ) , CK  ( SBC )  ( ( SAB ) ; ( SBC ) ) = HKC
 KH ⊥ SB, CK ⊥ SB

SA = 2a; AB = 2a .
BC = AB.sin CAB = 2a.sin 300 = a
AC = AB.cosCAB = 2a.cos300 = a 3
SC = SA2 + AC 2 = 4a 2 + 3a 2 = a 7
CA.CB

ABC vuông tại C và CH là đường cao nên CH =
SBC vuông tại C và CK là đường cao nên CK =

CA2 + CB 2
CS .CB
CS + CB
2

2

=

a 3.a
a 3
=
2
3a + a

=

a 7.a
a 7
=
7a + a
8

2

7a 3a 2
a

−
=
CHK vuông tại H nên HK = CK − CH =
8
4
8
2

và cos HKC =

2

HK
a
8
7
=
.
=
. Do đó chọn đáp án.
KC
7
8 a 7

C.

Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a , góc ABC = 60 , SA ⊥ ( ABCD ) ,
3a
. Gọi O là tâm của hình thoi ABCD . Khoảng cách từ điểm O đến ( SBC ) bằng:
2

5a
3a
5a
3a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
4
8
8
4
Hướng dẫn giải
Chọn B
SA =


Ta có: d ( O, ( SBC ) ) =

1
d ( A, ( SBC ) )
2
Gọi M là trung điểm của BC .
Xét tam giác ABC có: AB = BC và góc ABC = 60 nên tam giác ABC đều
Suy ra AM vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao của tam giác đều ABC
 AM ⊥ BC , AM=

a 3
.Mà SA ⊥ BC ( do SA ⊥ ( ABCD ) )  ( SAM ) ⊥ BC
2

 ( SAM ) ⊥ ( SBC )

( SAM )  ( SBC ) = SM
Trong mặt phẳng ( SAM ) từ
Xét tam giác vuông SAM :
 d ( 0, ( SBC ) ) =

A kẻ AH ⊥ SM  AH ⊥ ( SBC )  d ( A, ( SBC ) ) = AH
1
1
1
3a
3a
+
=
 AH =
 d ( A, ( SBC ) ) =
2
2
2
SA
AM
AH
4
4

3a
8

Vậy khoảng cách từ điểm O đến ( SBC ) bằng

3a
8 .

Câu 41. Có bao nhiêu nghiệm nguyên thuộc đoạn  − 2020; 2020  của bất phương trình

( x + 4)  ( x + 4)

2


A. 2020 .

+ 2 + 1 + x  x 2 + 2 + 1  0 .



B. 2021 .

C. 2022 .
Hướng dẫn giải

D. 2023 .

Chọn C

TXĐ: D =
Ta có BPT tương đương: ( x + 4 ) 

Xét hàm số: f ( t ) = t

(

( x + 4)

2

)

t 2 + 2 + 1 với t 

Ta có f  ( t ) = t 2 + 2 + 1 +
Mặtkhác f ( t ) liên tục trên

t2
t2 + 2

 0, t 

+ 2 + 1  − x 



(−x)

2

+ 2 + 1 (1)


.
. Vậy f ( t ) là hàm sốđồng biếntrên

.

.

Do đó bất phương trình (1)  f ( x + 4 )  f ( − x )  x + 4  − x  x  −2 .
Kết hợp điều kiện ban đầu ta có: x  ( −2;2020 . Vậy có 2022 nghiệm nguyên.
Câu 42. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có cạnh bên AA' = a 2 . Biết đáy ABC là tam giác vng
có BA = BC = a , gọi M là trung điểm của BC .Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và
B 'C .
A. d ( AM , B ' C ) =

a 2
.
2

B. d ( AM , B ' C ) =

a 5
.
5

C. d ( AM , B ' C ) =

a 3
.
3

D. d ( AM , B ' C ) =

a 7
.
7

Hướng dẫn giải
Chọn D


- Bước 1: Dựng khoảng cách.
Trong mặt phẳng ( BCC ' B ') kẻ đường thẳng MN / / B ' C , suy ra B ' C / / ( AMN ) .
Khi đó d ( AM , B ' C ) = d ( B ' C; ( AMN ) ) = d ( C; ( AMN ) ) .
Đường thẳng BC cắt ( AMN ) tại điểm M . Khi đó
d ( C; ( AMN ) )
d ( B; ( AMN ) )

=

CM
= 1  d ( B; ( AMN ) ) = d ( C; ( AMN ) ) . Ta sẽ tính d ( B; ( AMN ) ) .
BM

Trong ( BMN ) kẻ đường cao BI ⊥ MN ; I  MN , trong ( AMN ) kẻ đường cao BK ⊥ AI với

K  AI .

Xét tam giác ABC vuông tại B nên AB ⊥ BC . Mặt khác do ABC.A ' B ' C ' là lăng trụ đứng
nên BB ' ⊥ ( ABC )  BB ' ⊥ AB . Từ đó có AB ⊥ ( BCC ' B ')  AB ⊥ ( BMN )  AB ⊥ MN .
Ta lại có BI ⊥ MN nên MN ⊥ ( ABI ) và ( AMN ) ⊥ ( ABI ) .
( ABI ) ⊥ ( AMN )

Ta có: ( ABI )  ( AMN ) = AI  BK ⊥ ( AMN ) . Từ đó d ( B; ( AMN ) ) = BK .
 BK ⊥ AI


- Bước 2: Tính khoảng cách d ( B; ( AMN ) ) = BK .
Ta có tam giác ABC vng tại B nên BM =

BC a
1
a 2
a
= và BN = BB ' =
=
.
2
2
2
2
2

Xét tam giác BMN vng tại B có:

1
1
1

2
4
6
a 6
=
+
= 2 + 2 = 2  BI =
.
2
2
2
BI
BN
BM
a
a
a
6

Xét tam giác ABK vng tại B có:

1
1
1
1
6
7
a 7
=
+ 2 = 2 + 2 = 2  BK =

.
2
2
BK
AB
BI
a
a
a
7

Vậy d ( B; ( AMN ) ) = BK =

a 7
.
7
Câu 43. Cho lăng trụ ABC.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu vng góc của A ' lên
( ABC ) trùng với tâm O của tam giác ABC . Mặt phẳng (P) qua BC và vng góc với AA cắt

lăng trụ theo thiết diện có diện tích bằng
a3 3
A.
.
12

Chọn A

a2 3
. Thể tích lăng trụ ABC.ABC bằng.
8

a3 6
a3 2
B.
.
C.
.
3
12
Hướng dẫn giải

a3 6
D.
.
12


Gọi M là trung điểm của BC , H là hình chiếu vng góc của B lên AA .
Khi đó ( P )  ( BCH ) . Do góc AAM nhọn nên H nằm giữa AA . Thiết diện của lăng trụ cắt
bởi ( P ) là tam giác BCH .
Do ABC đều cạnh a nên AM =
Theo đề bài S BCH =

a 3
2
a 3
, AO = AM =
.
2
3

3

a2 3
1
a2 3
a 3
 HM .BC =
 HM =
8
2
8
4

3a 2 3a 2 3a
−
=
4
16
4

AH = AM 2 − HM 2 =

Do hai tam giác AAO và MAH đồng dạng nên
A 'O =

A ' O HM
=
suy ra
AO
AH

AO.HM a 3 a 3 4 a
=
= .
AH
3
4 3a 3

Thể tích khối lăng trụ: V = A ' O.S ABC =

1
1aa 3
a3 3
A ' O. AM .BC =
a=
.
2
23 2
12

Câu 44. Cho hàm số y = f ( x ) . Hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ.
Bất phương trình

f ( x)
36

x+3−2
 m đúng với mọi x  ( 0;1)
x −1

−

khi và chỉ khi
f ( 0)
f (1) + 9
1
..
−
. B. m 
A. m 
36
36
3+2
C. m 

f ( 0)
f (1) + 36
1
.
−
. D. m 
9
36
3+2
Hướng dẫn giải

Chọn C
Xét hàm số g ( x ) =
Hàm số y = g ( x ) =

f ( x)
36

−

x+3 −2
.
x −1

f ( x)
1
−
có:
36
x+3 +2
f '( x)
1
g '( x) =
+
36
2 x+3 x+3 +2

(

(Vì f ' ( x )  0, x  ( 0;1) )

)

2

 0, x  ( 0;1)


Suy ra hàm số g ( x ) đồng biến trên ( 0;1) .

f ( 0)
1
−
, x  ( 0;1) .
36
3+2
f ( 0)
1
−
..
Do đó g ( x )  m, x  ( 0;1)  m 
36
3+2
Câu 45. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B , với AC = 2a , BC = a . Điểm S
cách đều các điểm A, B, C . Biết góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 60 0 .
 g ( x )  g ( 0 ) , x  ( 0;1)  g ( x ) 

Khoảng cách từ trung điểm M của BC đến mặt phẳng ( SAB ) bằng:
A.

a 39
.
13

B.

3a 13
a 39
.
C.
.
13
26
Hướng dẫn giải

D.

a 13
26

Chọn A
Ta có S cách đều các đỉnh A, B, C nên đường cao của hình chóp là đường nối từ đỉnh đến tâm
đường trịn ngoại tiếp ABC
Gọi H là trung điểm của AC , ta có SH ⊥ ( ABC )
0
0
SB tạo với ( ABC ) góc 60 nên góc SBH = 60 .

Mặt khác MH / / ( SAB ) nên d ( M , ( SAB ) ) = d ( H , ( SAB ) ) = KH ( I là trung điểm của AB ; K
là hình chiếu của H lên SI )
1
BC a
= .
Ta có BH = AC = a và SH = BH .tan 600 = a 3 ; HI =
2

2
2
1
1
1
a 39
=
+
 KH =
.
2
2
2
KH
HI
SH
13
Câu 46. Cho hàm số y = f ( x) xác định và liên tục trên

Khi đó

, đồ thị của hàm số

y = f '( x ) như hình vẽ.Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x)

trên đoạn [−1; 2]. Khi đó M bằng
A. f (2) .
B. f (1) .
C. f ( −1) .
D. f (0) .

Lời giải
Chọn B
Từ đồ thị hàm y = f  ( x) ta có bảng biến thiên
Từ đó suy ra giá trị lớn nhất của hàm số trên
[−1; 2] là f (1) .


Câu 47. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SA = 6 2 , góc giữa SB và
mặt phẳng ABCD bằng 450 . Gọi K là trung điểm của SB .
Tính khoảng cách từ K đển mặt phẳng (SAC) .
A. 6
B. 3
C. 6 2
D. 3 2
Lời giải
Chọn B
+) (SB,( ABCD)) = SBA = 450  AB = SA = 6 2
d ( B, ( SAC )) BS
1
=
= 2  d ( K , ( SAC )) = d ( B, ( SAC ))
d ( K , ( SAC )) KS
2
+) BO ⊥ AC , BO ⊥ SA  BO ⊥ (SAC )  d ( B, (SAC )) = BO

+)

1
1

BO = BD = 3
2
4
Câu 48. Cho hình lập phương ABCD  A ' B ' C ' D ' có tất cả các cạnh bằng 6.
Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của CD, A'C ( Tham khảo hình vẽ
 d ( K , ( SAC )) =

minh họa). Tính thể tích khối tứ diện APQD ' .
A. 18
B. 24
C. 36
D. 12
Lời giải
Chọn A
+) Dễ thấy BD đi qua Q , xét tứ diện D ABP ta có:
1
1
S ABCD = 18  VD ABP =  DD  S ABP = 36
2
3

Xét chóp D .ABP có Q là trung điểm của BD
S ABP =

1
Nên VD APQ = VD ABP = 18
2
Câu 49. Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị hàm số như hình vẽ. Số

giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình

  
m − cos x  f (cos x) nghiệm đúng với mọi  − ;  là
 2 2
A. 3.
B. 0.
C. 1.
D. 2.
Bài giải
Chọn C
Ta có m − cos x  f (cos x)  m  f (cos x ) + cos x
(1)

Đặt t = cos x  t  (0;1]


Khi đó (1) trở thành m  f (t ) + t = g (t ), t  (0;1]
Xét g (t ) = f (t ) + t trên [0; 1]  g  (t ) = f  (t ) + 1  0, t [0;1]  min t[0:1] g (t ) = g (0) = 1
  
Để bất phương trình nghiệm đúng với mọi  − ;   m  1
 2 2
Vậy có đúng 1 giá trị nguyên dương của tham m.
Câu 50. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA = 2a và vng góc
với ( ABCD ) . Điểm M thay đổi trên cạnh CD, H là hình chiếu vng góc của S trên B M. Tìm

giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp S.ABH theo a .
a3
a3
a3
B.
C.

6
12
4
Chọn A
Lời giải
 BH ⊥ SH
 BH ⊥ ( SAH )  BH ⊥ AH
Do 
 BH ⊥ SA
nên H thuộc đường trịn đường kính AB
Gọi K là hình chiếu vng góc của H lên cạnh AB

A.

D.

a3
9

1
1
2a 2  HK a 2  HK
 VS . ABH = SA  SABH = 2a  S ABH =
=
3
3
6
3
khi H là điểm chính giữa cung AB, tức là H trùng với tâm hình vng A B C D hay M trùng

với D. Khi đó HK =

a
a3
. Vậy Vmax =
2
6