ĐỀ TOÁN SỐ 6 NĂM HỌC 20212022

Câu 1.

ĐỀ TOÁN SỐ 6 NĂM HỌC 2021-2022 GROUP GIẢI TỐN TỐN HỌC
Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 2 và cơng bội q = 2. Tính u3 ?
A. u3 = 8.

Câu 2.

B. u3 = 4.

C. u3 = 18.

Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y =
A. Hàm số nghịch biến trên
B. Hàm số đồng biến trên

D. u3 = 6.

2x +1
là đúng?
x −1

\ 1 .
\ 1 .

C. Hàm số nghịch biến trên ( −;1) và (1; + ) .
D. Hàm số đồng biến trên ( −;1) và (1; + ) .
Câu 3.

Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x3 − 8x 2 + 16 x − 9 trên đoạn 1;3 là
A. max f ( x ) = 5.

1;3

Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.

B. max f ( x ) = −6.
1;3

C. max f ( x ) =
1;3

Số đỉnh của hình mười hai mặt đều là:
A. Mười sáu.
B. Mười hai.
C. Ba mươi.
Chọn hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó.
A. 12.
B. 10.
C. 11.
Đường cong sau đây là đồ thị của hàm số nào?
A. y = − x3 − 3x + 2.

13
.
27

D. max f ( x ) = 0.
1;3

D. Hai mươi.
D. 20.

B. y = x3 − 3x + 2.
C. y = − x3 + 3x + 2.
D. y = x3 + 3x − 2.
7

Câu 7.

Câu 8.

Câu 9.

2

Tìm hệ số h của số hạng chứa x 5 trong khai triển  x 2 +  ?
x

A. h = 84.
B. h = 560.
C. h = 672.
D. h = 280.
x +1
Đồ thị hàm số y =
có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào dưới đây?
4x −1
1
1
A. x = −1.

B. y = −1.
C. y = .
D. x = .
4
4
Bảng biến thiên trong hình vẽ là của hàm số

−2 x + 3
−2 x − 4
2− x
x−4
.
.
.
.
B. y =
C. y =
D. y =
x +1
x +1
x +1
2x + 2
Câu 10. Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn?
A. 2 20.
B. 219 − 1.
C. 220 + 1.
D. 219.

A. y =

Câu 11. Hàm số y = − x3 + 3x 2 − 4 đồng biến trên khoảng nào?


A. ( −;0 ) .
Câu 12. Tìm lim

x →+

B. (1; 2 ) .

C. ( 2; + ) .

D. ( 0;3) .

2x +1
.
x −1

A. 3.
B. 1.
C. −1.
D. 2.
Câu 13. Cho khối chóp có thể tích V , diện tích đáy là B và chiều cao h. Tìm khẳng định đúng?
1
A. V = Bh.
B. V = Bh .
C. V = Bh.
3
Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
và có bảng biến thiên

D. V = 3Bh.

Khẳng định nào dưới đây sai?
A. f ( −1) là một giá trị cực tiểu của hàm số.
B. x0 = 0 là điểm cực đại của hàm số.
C. x0 = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.
D. M ( 0; 2 ) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Câu 15. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2
4 2
B. 2.
3
Câu 16. Đồ thị của hàm số nào sau đây có tiệm cận?

A.

C.

2 2
.
3

D. 2 3.

x −1
.
D. y = 0.
x
Câu 17. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = x3 − 3x 2 tại điểm M (1; −2 ) .

A. y = x 2 .

B. y = 2 x.

C. y =

A. y = −3 x + 1.

B. y = −3 x − 1.

C. y = 3x − 5.

D. y = −2.

Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y = ( m + 2 ) x3 + 3x 2 + mx − 6 có hai điểm cực trị
A. 1.
B. 4.
C. vô số.
D. 2.
Câu 19. Cho khối đa diện đều giới hạn bởi hình đa diện ( H ) , khẳng định nào sau đây là sai?
A. Các mặt của ( H ) là những đa giác đều có cùng số cạnh.
B. Mỗi cạnh của một đa giác của ( H ) là cạnh chung của nhiều hơn hai đa giác.
C. Khối đa diện đều ( H ) là một khối đa diện lồi.
D. Mỗi đỉnh của ( H ) là đỉnh chung của cùng một số cạnh.
Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau


Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M , m. Giá trị biểu thức
P = M 2 + m 2 bằng
1

A. P = .
2

B. P = 1.

1
C. P = .
4

D. P = 2.

Câu 21. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu như sau:

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
A. ( −2;0 ) .

B. ( 0; + ) .

C. ( −; −2 ) .

D. ( −3;1) .

Câu 22. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và hai mặt bên ( SAB ) , ( SAC )
cùng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC biết SC = a 3.
2a 3 6
.
A.
9

a3 6

a3 3
a3 3
.
.
.
B.
C.
D.
12
4
2
( m − 2n − 3) x + 5 nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận.
Câu 23. Biết rằng đồ thị hàm số y =
x−m−n
2
2
Tính tổng S = m + n − 2.
A. S = 0.
B. S = 2.
C. S = −1.
D. S = 1.
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy và

SA = a 3. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( ABCD ) bằng
3
C. arcsin .
D. 450.
5
Câu 25. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

A. 300.

B. 600.

x 2 + mx + m
y=
trên 1; 2 bằng 2. Số phần tử của S là
x +1

A. 1.

B. 4.

C. 3.

Câu 26. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =

D. 2.
m 3
x − 2mx 2 + ( 3m + 5 ) x đồng
3

biến trên .
A. 6.
B. 2.
C. 5.
D. 4.
Câu 27. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  −4; 4 và có bảng biến thiên trên đoạn  −4; 4 như
sau

Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Hàm số khơng có GTLN, GTNN trên  −4; 4.
B. min y = −4 và max y = 10.
( −4;4 )

( −4;4 )

C. max y = 10 và min y = −10.
 −4;4

 −4;4

D. max y = 0 và min y = −4.
( −4;4 )

( −4;4 )

Câu 28. Cho K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn. Hàm số y = f ( x ) liên tục và xác định trên

K . Mệnh đề nào không đúng?
A. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên K thì f ' ( x )  0, x  K .
B. Nếu f ' ( x )  0, x  K thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên K .
C. Nếu hàm số y = f ( x ) là hàm số hằng trên K thì f ' ( x ) = 0, x  K .
D. Nếu f ' ( x ) = 0, x  K thì hàm số y = f ( x ) khơng đổi trên K .
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA vng góc với mặt
phẳng đáy và SA = a 3. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
A. 2a 3 3.

B.

a3 3
.
3

C.

2a 3 3
.
3

D. a3 3.

Câu 30. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm
số nghiệm thực phân biệt của phương trình f ( x ) = 1.
A. 0.
B. 2.
C. 1.
D. 3.
Câu 31. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và
liên tục trên

, có đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A. 3.
B. 1.
C. 4.
D. 0.
Câu 32. Gọi M ( xM ; yM ) là một điểm thuộc ( C ) : y = x3 − 3x 2 + 2, biết tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt

( C ) tại điểm

N ( xN ; yN ) (khác M ) sao cho P = 5xM2 + xN2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính OM .

10 10
5 10
7 10
10
.
.
.
.
B. OM =
C. OM =
D. OM =
27
27
27
27
Câu 33. Cho k  , n  . Trong các công thức về số các chỉnh hợp và số các tổ hợp sau, công thức nào

A. OM =

là công thức đúng?


A. Cnk+1 = Cnk + Cnk −1 (với 1  k  n).

B. Ank =

n!
(với 1  k  n).
k !( n − k )!

C. Cnk+1 = Cnk +1 (với 1  k  n).

D. Cnk =

n!
(với 1  k  n).
( n − k )!

Câu 34. Cho tứ diện SABC có các cạnh SA, SB, SC đơi một vng góc với nhau. Biết
SA = 3a, SB = 4a, SC = 5a. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện SABC .
A. V = 20a 3 .

B. V = 10a 3 .

C. V =

5a3
.
2

D. V = 5a 3 .

Câu 35. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 2, cạnh bên bằng 2a. Gọi  là góc tạo bởi
hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SCD ) . Tính cos  .
A.

21
.
2

B.

21
.
14

C.

21
.
3

D.

21
.
7

Câu 36. Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 có đồ thị như hình vẽ.
Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình
− x 4 + 2 x 2 = m có hai nghiệm phân biệt.
A. m = 1 hoặc m  0. B. 0  m  1.
C. m  1.
D. m  0.
Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y =

tiệm cận đứng?
A. 2.
B. 3.
Câu 38. Cho hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

C. 1.

1+ x +1
x − (1 − m ) x + 2m
2

có hai

D. 0.

x6
Hàm số g ( x ) = f ( x ) − + x 4 − x 2 đạt cực
3
tiểu tại bao nhiêu điểm?
A. 3.
B. 2.
C. 0.
D. 1.
Câu 39. Cho hai dãy ghế đối diện nhau mỗi dãy có 5 ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam, 5 nữ
ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Tính xác suất để mỗi học
sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ.
1
1
8
4

.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
252
945
63
63
Câu 40. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng và có bảng biến thiên
2

như sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f ( x ) = m có ba
nghiệm thực phân biệt.


A. ( −1;1.

(

)

B. − 2; −1 .

(

C. − 2; −1 .

D. ( −1;1) .

Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) , góc giữa đường
thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB
bằng:
a 3
a 2
a 15
a 7
.
.
.
.
B.
C.
D.
7
2
5
7
Câu 42. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trọng tâm các tam giác

A.

ABD, ABC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng MNE chia khối tứ diện ABCD

thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .

A. V =

3 2a 3
.
320

B. V =

9 2a 3
.
320

C. V =

a3 2
.
96

D. V =

3 2a 3
.
80

Câu 43. Cho hàm số y = f ( x ) . Đồ thị hàm số y = f ' ( x )
như hình bên.

Hàm số g ( x ) = f ( 3 − x ) đồng biến trên các
khoảng nào trong các khoảng sau?
A. ( 4;7 ) .

B. ( −1; 2 ) .
C. ( 2;3) .

D. ( −; −1) .

Câu 44. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên

. Đồ

thị hàm số y = f ' ( x ) như hình bên.
Đặt g ( x ) = f ( x ) − x, khẳng định nào sau đây là đúng?
A. g ( −1)  g (1)  g ( 2 ) .
B. g ( −1)  g (1)  g ( 2 ) .
C. g ( 2 )  g ( −1)  g (1) .
D. g (1)  g ( −1)  g ( 2 ) .
Câu 45. Cho phương trình: sin 3 x + 2sin x + 3 = ( 2 cos 3 x + m ) 2 cos 3 x + m − 2 + 2 cos 3 x + cos 2 x + m.
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng một nghiệm
 2 
x   0;
?
 3 
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 1.
Câu 46. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V . Gọi E là điểm trên
cạnh SC sao cho EC = 2ES. Gọi ( ) là mặt phẳng chứa đường thẳng AE và song song với
đường thẳng BD, ( ) cắt hai cạnh SB, SD lần lượt tại M , N . Tính theo V thể tích khối chóp

S.AMEN.

V
V
V
V
.
.
A.
B.
C. .
D. .
12
27
9
6
Câu 47. Cho hình chóp S.ABC có mặt đáy là tam giác đều cạnh bằng 2 và hình chiếu S lên mặt phẳng

( ABC )

là điểm H nằm trong tam giác ABC sao cho AHB = 1500 , BHC = 1200 , CHA = 900.


Biết tổng diện tích các mặt cầu ngoại tiếp các hình chóp S .HAB, S .HBC , S .HCA là
thể tích khối chóp S. ABC.
9
4
A. .
B. .
2
3
Câu 48. Cho hàm số f ( x ) xác định và liên tục trên

C. 4a 3 .

124
 . Tính
3

D. 4.

. Đồ thị

hàm số f ' ( x ) như hình vẽ
1
3
3
g ( x ) = f ( x ) − x 3 − x 2 + x + 2019.
3
4
2
Trong các mệnh đề sau:

Xét hàm số

( I ) g ( 0)  g (1) .
g ( x ) = g ( −1) .
( II ) min
 −3;1
( III ) Hàm số g ( x ) nghịch biến trên ( −3; −1) .
g ( x ) = max g ( −3) ; g (1).
( IV ) max

 −3;1
 −3;1
Số mệnh đề đúng là
A. 2.
B. 1.
C. 3.
D. 4.
Câu 49. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Hai điểm M , N lần lượt thuộc các
AB
AD
+2
= 4. Kí hiệu V , V1
AM
AN
lần lượt là thể tích của các khối chóp S.ABCD và S.MBCDN. Tìm giá trị lớn nhất của tỉ số
V1
.
V
2
1
3
17
.
A. .
B. .
C. .
D.
3
6
4

14

đoạn thẳng AB và AD ( M và N không trùng với A) sao cho

Câu 50. Cho một tấm nhôm hình vng cạnh 6 ( cm ) . Người ta muốn cắt
một
hình
thang
như
hình
vẽ.
Trong
đó
AE = 2 ( cm ) , AH = x ( cm ) , CF = 3 ( cm ) , CG = y ( cm ) . Tìm tổng

x + y để diện tích hình thang EFGH đạt giá trị nhỏ nhất.
A. x + y = 7.
B. x + y = 5.
C. x + y =

7 2
.
2

D. x + y = 4 2.


Câu 1.

GIẢI ĐỀ TOÁN SỐ 6 NĂM HỌC 2021-2022 GROUP GIẢI TOÁN TOÁN HỌC

Cho cấp số nhân ( un ) có u1 = 2 và cơng bội q = 2. Tính u3 ?
A. u3 = 8.

B. u3 = 4.

C. u3 = 18.

D. u3 = 6.

Hướng dẫn giải
Chọn
A.
Ta có: u3 = u1.q2 = 2.22 = 8.
Câu 2.

Kết luận nào sau đây về tính đơn điệu của hàm số y =
A. Hàm số nghịch biến trên
B. Hàm số đồng biến trên

2x +1
là đúng?
x −1

\ 1 .
\ 1 .

C. Hàm số nghịch biến trên ( −;1) và (1; + ) .
D. Hàm số đồng biến trên ( −;1) và (1; + ) .
Hướng dẫn giải
Chọn

C.
Tập xác định D =
Ta có y ' = −
Câu 3.

\ 1.

3

( x − 1)

 0 với mọi x  D. Suy ra, hàm số nghịch biến trên ( −;1) và (1; + ) .

2

Giá trị lớn nhất của hàm số f ( x ) = x3 − 8x 2 + 16 x − 9 trên đoạn 1;3 là
A. max f ( x ) = 5.

B. max f ( x ) = −6.

1;3

1;3

C. max f ( x ) =
1;3

13
.
27

D. max f ( x ) = 0.
1;3

Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Hàm số liên tục trên đoạn [1;3].
 x = 4  1;3
+ Ta có: f ' ( x ) = 3 x − 16 x + 16; f ' ( x ) = 0  3 x − 16 x + 16 = 0  
 x = 4  1;3

3
2

Câu 4.

Câu 5.

Câu 6.

2

13
 4  13
+ f (1) = 0; f ( 3) = −6; f   = . Vậy max f ( x ) = .
1;3
27
 3  27
Số đỉnh của hình mười hai mặt đều là:

A. Mười sáu.
B. Mười hai.
C. Ba mươi.
D. Hai mươi.
Hướng dẫn giải
Chọn
D.
Hình mười hai mặt đều có 20 đỉnh.
Chọn hình chóp có 20 cạnh. Tính số mặt của hình chóp đó.
A. 12.
B. 10.
C. 11.
D. 20.
Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Giả sử hình chóp có đáy là đa giác n cạnh ( n  3) nên có n cạnh bên.

Tổng số cạnh của hình chóp là 2n = 20  n = 10. Khi đó hình chóp có 10 mặt bên và 1 mặt
đáy. Vậy hình chóp có 11 mặt.
Đường cong sau đây là đồ thị của hàm số nào?


A. y = − x3 − 3x + 2.

B. y = x3 − 3x + 2.

C. y = − x3 + 3x + 2.

D. y = x3 + 3x − 2.

Hướng dẫn giải
Chọn
B.
Đồ thị hình vẽ là đồ thị hàm số bậc ba có hệ số a  0, đồ thị hàm số đi qua điểm ( 0; 2 ) nên chỉ
có hàm số y = x3 − 3x + 2 thỏa mãn điều kiện trên.
7

Câu 7.

2

Tìm hệ số h của số hạng chứa x trong khai triển  x 2 +  ?
x

A. h = 84.
B. h = 560.
C. h = 672.
Hướng dẫn giải
Chọn
D.
Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là:
5

D. h = 280.

k

2
Tk +1 = C ( x )   = C7k 2k .x14−3k .

 x
Vì số hạng có chứa x 5 nên: 14 − 3k = 5  k = 3.
k
7

2 7−k

Vậy hệ số cần tìm là h = C73 .23 = 280.
Câu 8.

Đồ thị hàm số y =
A. x = −1.
Chọn

Câu 9.

x +1
có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào dưới đây?
4x −1
1
1
B. y = −1.
C. y = .
D. x = .
4
4
Hướng dẫn giải

C.

1
1
1
Ta có: lim y = ; lim y =  đường thẳng y = là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm
x →+
4 x→−
4
4
số.
Bảng biến thiên trong hình vẽ là của hàm số

A. y =

−2 x + 3
.
x +1

B. y =

−2 x − 4
2− x
.
.
C. y =
x +1
x +1
Hướng dẫn giải

D. y =

x−4
.
2x + 2


Chọn
A.
Do đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y = −2 nên loại đáp án C và
Xét đáp án A có y ' =

−5

( x − 1)

2

D.

 0, x  D, tiệm cận ngang là đường thẳng y = −2, tiệm cận

đứng là đường thẳng x = −1 nên chọn.
2
Xét đáp án B có y ' =
 0, x  D nên loại.
2
( x + 1)
Câu 10. Cho tập A có 20 phần tử. Hỏi tập A có bao nhiêu tập con khác rỗng mà có số phần tử chẵn?
A. 2 20.
B. 219 − 1.
C. 220 + 1.

D. 219.
Hướng dẫn giải
Chọn
B.
k
Số tập hợp con khác rỗng của tập hợp A mà có k phần tử là C20
( k  , 0  k  20) .
2
4
20
Khi đó tổng số tập hợp con khác rỗng mà có số phần tử chẵn là S = C20
+ C20
+ ... + C20
.
0
1
2 2
20 20
Xét (1 + x ) = C20
+ C20
x + C20
x + ... + C20
x .
20

0
1
2
20
+ C20

+ C20
+ ... + C20
Cho x = 1, ta được 220 = C20
(1)
0
1
2
20
Cho x = −1, ta được 0 = C20
− C20
+ C20
− ... + C20
( 2) .

Công vế theo vế (1) và (2), ta được

0
2
4
20
220 = 2 ( C20
+ C20
+ C20
+ ... + C20
)  2 ( S + 1) = 220  S = 219 −1.

Câu 11. Hàm số y = − x3 + 3x 2 − 4 đồng biến trên khoảng nào?
A. ( −;0 ) .

B. (1; 2 ) .

C. ( 2; + ) .

D. ( 0;3) .

Hướng dẫn giải
Chọn

B.

x = 0
Ta có y ' = −3x 2 + 6 x = 0  
x = 2

−

x

0
−

y'

0

+

2
+

0

−

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; 2 ) .
Câu 12. Tìm lim

x →+

2x +1
.
x −1

A. 3.
Chọn

B. 1.

C. −1.
Hướng dẫn giải

D. 2.

D.

1

1
x2 + 
2+

2x +1
x
 = lim
x = 2.
= lim 
Ta có lim
x →+ x − 1
x →+
 1  x→+ 1 − 1
x 1 − 
x
 x
Câu 13. Cho khối chóp có thể tích V , diện tích đáy là B và chiều cao h. Tìm khẳng định đúng?
1
A. V = Bh.
3

B. V = Bh .

C. V = Bh.

Hướng dẫn giải

D. V = 3Bh.


Chọn

A.

1
Thể tích của khối chóp đã cho là V = Bh.
3
Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên
và có bảng biến thiên

Khẳng định nào dưới đây sai?
A. f ( −1) là một giá trị cực tiểu của hàm số.

B. x0 = 0 là điểm cực đại của hàm số.

C. x0 = 1 là điểm cực tiểu của hàm số.

D. M ( 0; 2 ) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm

số.
Hướng dẫn giải
Chọn
D.
M ( 0; 2 ) là điểm cực đại của đồ thị hàm số.
Câu 15. Tính thể tích khối tứ diện đều có cạnh bằng 2
A.

4 2
3

B.

C.

2.

2 2
.
3

Hướng dẫn giải
Chọn

C.

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD, M là trung điểm của CD ta có:
BM = 2

3
2
2 3
= 3; BG = BM =
2
3
3

D. 2 3.


AG ⊥ ( BCD) = AG ⊥ BG = SG = AB 2 − BG 2 = 22 − (
SBCD =

2 3 2 2 6
) =

.
3
3

1
1
BM .CD = . 3.2 = 3
2
2

1
1
2 6 2 2
AG.S BCD = . 3.
=
3
3
3
3
Câu 16. Đồ thị của hàm số nào sau đây có tiệm cận?
= VABCD =

A. y = x 2 .

B. y = 2 x.

C. y =

x −1
.

x

D. y = 0.

Hướng dẫn giải
Chọn

C.
x −1
Hàm số y =
có tập xác định D = ( −;0 )  ( 0; + ) .
x
Ta có:
lim y = 1; lim y = 1. Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là y = 1.
x →−

x→+

lim y = −; lim− y = +. Suy ra đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = 0.

x →0+

x →0

Vậy đồ thị của hàm số y =

x −1
có tiệm cận.
x

Câu 17. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = x3 − 3x 2 tại điểm M (1; −2 ) .
A. y = −3 x + 1.

B. y = −3 x − 1.

C. y = 3x − 5.

D. y = −2.

Hướng dẫn giải
Chọn
A.
Ta có y ' = 3x 2 − 6 x
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại M là k = y ' (1) = −3
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( C ) : y = x3 − 3x 2 tại điểm M (1; −2 ) là
y = y ' (1)( x − 1) − 2 = −3x + 1.

Câu 18. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để hàm số y = ( m + 2 ) x3 + 3x 2 + mx − 6 có hai điểm cực trị
A. 1.

B. 4.

C. vô số.
Hướng dẫn giải

D. 2.

Chọn
D.
Tập xác định D = .

Nếu m = −2 thì y = 3x 2 − 2 x − 6 là hàm số bậc hai nên không thể có hai điểm cực trị.
Xét m  −2 lúc đó y = ( m + 2 ) x3 + 3x 2 + mx − 6 là hàm số bậc ba, hàm số có hai điểm cực trị
 y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt.

Ta có y ' = 3 ( m + 2 ) x 2 + 6 x + m, phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt   '  0

 9 − 3m ( m + 2 )  0  m2 + 2m − 3  0  −3  m  1.
Vậy tập các giá trị m để hàm số có hai điểm cực trị là m  ( −3;1) \ −2 . Do đó có tất cả là 2 số
nguyên để hàm số y = ( m + 2 ) x3 + 3x 2 + mx − 6 có hai điểm cực trị là m = −1 và m = 0.
Câu 19. Cho khối đa diện đều giới hạn bởi hình đa diện ( H ) , khẳng định nào sau đây là sai?
A. Các mặt của ( H ) là những đa giác đều có cùng số cạnh.


B. Mỗi cạnh của một đa giác của ( H ) là cạnh chung của nhiều hơn hai đa giác.
C. Khối đa diện đều ( H ) là một khối đa diện lồi.
D. Mỗi đỉnh của ( H ) là đỉnh chung của cùng một số cạnh.
Hướng dẫn giải
Chọn

B.

Câu 20. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau

Biết giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là M , m. Giá trị biểu thức
P = M 2 + m 2 bằng
1
A. P = .
2

Chọn

B. P = 1.

1
C. P = .
4
Hướng dẫn giải

D. P = 2.

A.

1
1
Từ bảng biến thiên, ta thấy M = , m = − .
2
2
2

2

1  1 1
Vậy P = M 2 + m2 =   +  −  = .
2
2  2
Câu 21. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng xét dấu như sau:

Hàm số y = f ( x ) đồng biến trong khoảng nào dưới đây?
A. ( −2;0 ) .

B. ( 0; + ) .

C. ( −; −2 ) .

D. ( −3;1) .

Hướng dẫn giải
Chọn
A.
f ' ( x )  0 với x  ( −2;0 ) nên hàm số đồng biến trên khoảng ( −2;0 ) .
Câu 22. Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và hai mặt bên ( SAB ) , ( SAC )
cùng vng góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp S.ABC biết SC = a 3.
A.

2a 3 6
.
9

Chọn

B.

B.

a3 6
a3 3
.
.
C.
12

4
Hướng dẫn giải

D.

a3 3
.
2


ABC là tam giác đều cạnh a nên S ABC =

a2 3
.
4

Hai mặt bên ( SAB ) , ( SAC ) cùng vng góc với mặt đáy nên SA ⊥ ( ABC ) .
Trong tam giác vng SAC ta có: SA = SC 2 − AC 2 = 3a 2 − a 2 = a 2.
1
1 a2 3
a3 6
.a 2 =
Thể tích của khối chóp S.ABC là V = S ABC .SA = .
3
3 4
12
( m − 2n − 3) x + 5 nhận hai trục tọa độ làm hai đường tiệm cận.
Câu 23. Biết rằng đồ thị hàm số y =
x−m−n
2

2
Tính tổng S = m + n − 2.
A. S = 0.
B. S = 2.
C. S = −1.
D. S = 1.
Hướng dẫn giải
Chọn
A.
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là trục Ox  m − 2n − 3 = 0 .
Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng là trục Oy  m + n = 0.

Suy ra ( m, n ) là nghiệm của hệ phương trình:
 m − 2n − 3 = 0
m = 1

 S = 0.

m + n = 0
 n = −1
Câu 24. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy và

SA = a 3. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng ( ABCD ) bằng

A. 300.
Chọn

B. 600.

B.

3
C. arcsin .
5
Hướng dẫn giải

D. 450.


Có ( SD, ( ABCD ) ) = ( SD, AD ) = SDA.
SA
= 3  SDA = 600  ( SD, ( ABCD ) ) = 600.
AD
Câu 25. Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số

Xét SAD vng tại A có: tan SDA =

y=

x 2 + mx + m
trên 1; 2 bằng 2. Số phần tử của S là
x +1

A. 1.

B. 4.

Chọn

C. 3.

Hướng dẫn giải

D. 2.

D.

Đặt y = h ( x ) =

x 2 + mx + m
x +1

x2 + 2x
x 2 + mx + m
x2
f
'
x
=
 0, x  1; 2 .
=
+ m, ta có: ( )
Xét hàm số f ( x ) =
2
x +1
x +1
( x + 1)

Suy ra hàm số f ( x ) đồng biến trên đoạn 1; 2 .
1
4

+ m, max f ( x ) = f ( 2 ) = + m.
1;2
1;2
2
3
1
1
4
4
2
Nếu + m  0  m  − thì max h ( x ) = m + , suy ra: + m = 2  m = (thỏa mãn).
1;2
2
2
3
3
3
3

m = (l )

1
1
4
4
2
.
Nếu + m  0  m  − thì max h ( x ) = m + , suy ra: m + = 1  
1;2



2
3
3
2
m = − 5

2
min f ( x ) = f (1) =

Nếu

1
1 4 1 11
1
4
4
1
+ m  0  + m  −  m  − thì: m +  m +  + =  2, suy ra:
2
2 3 2 6
2
3
3
2

4
2



m+ = 2
m=


4
3
3
m+ = 2 

(không thỏa mãn).
3
 m + 4 = −2
 m = − 10
3
3



Vậy có hai giá trị m thỏa mãn: m = −

5
2
và m = .
2
3

Câu 26. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số y =
biến trên
A. 6.

m 3
x − 2mx 2 + ( 3m + 5 ) x đồng
3

.
B. 2.

C. 5.

D. 4.


Hướng dẫn giải
Chọn
A.
Tập xác định: D = .
*) Nếu m = 0 ta có y = 5 x. Đồ thị hàm số luôn đồng biến trên

.

*) Nếu m  0. Ta có: y ' = mx 2 − 4mx + 3m + 5.
Hàm số đồng biến trên  y '  0, x  .
 mx 2 − 4mx + 3m + 5  0, x  .

4m2 − m ( 3m + 5)  0
 '  0



.

m  0
a  0

m 2 − 5m  0

m  0
0  m  5

0m5
m  0

Kết hợp với điều kiện ta có: 0  m  5.
Vậy 0  m  5, m   m  0;1; 2;3; 4;5.
Câu 27. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên đoạn  −4; 4 và có bảng biến thiên trên đoạn  −4; 4 như
sau

Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Hàm số khơng có GTLN, GTNN trên  −4; 4.
B. min y = −4 và max y = 10.
( −4;4 )

( −4;4 )

C. max y = 10 và min y = −10.
 −4;4

 −4;4

D. max y = 0 và min y = −4.
( −4;4 )

( −4;4 )

Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Dựa vào đồ thị ta có max y = 10 khi x = 4 và min y = −10 khi x = −4.
 −4;4

 −4;4

Tuy nhiên hàm số không có GTLN, GTNN trên ( −4; 4 ) .
Câu 28. Cho K là một khoảng, nửa khoảng hoặc một đoạn. Hàm số y = f ( x ) liên tục và xác định trên

K . Mệnh đề nào không đúng?
A. Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến trên K thì f ' ( x )  0, x  K .
B. Nếu f ' ( x )  0, x  K thì hàm số y = f ( x ) đồng biến trên K .
C. Nếu hàm số y = f ( x ) là hàm số hằng trên K thì f ' ( x ) = 0, x  K .


D. Nếu f ' ( x ) = 0, x  K thì hàm số y = f ( x ) không đổi trên K .
Hướng dẫn giải
Chọn
B.
Phát biểu đúng là “nếu f ' ( x )  0, x  K và f ' ( x ) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số

y = f ( x ) đồng biến trên K ".
Câu 29. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = a 3. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng
A. 2a

Chọn

3

a3 3
2a 3 3
.
.
B.
C.
3
3
Hướng dẫn giải

3.

D. a3 3.

C.

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là S ABCD = AB.AD = a.2a = 2a2 .
1
1
2a 3 3
Thể tích của khối chóp S.ABCD là VS . ABCD = SA.S ABCD = a 3.2a 2 =
(đvtt).
3
3
3
Câu 30. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ sau. Tìm số nghiệm thực phân biệt của phương

trình f ( x ) = 1.

A. 0.
Chọn

B. 2.
C.

C. 1.
Hướng dẫn giải

D. 3.


Từ đồ thị hàm số dễ thấy đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại đúng 1 điểm nên
phương trình f ( x ) = 1 có đúng 1 nghiệm.
Vậy mệnh đề C đúng.
Câu 31. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm và liên tục trên

, có đồ thị như hình vẽ:

Số điểm cực trị của hàm số đã cho là:
A. 3.
B. 1.
C. 4.
D. 0.
Hướng dẫn giải
Chọn
C.

Dựa vào đồ thị của hàm số ta thấy hàm số có 4 điểm cực trị
Vậy đáp án đúng là đáp án C.
Câu 32. Gọi M ( xM ; yM ) là một điểm thuộc ( C ) : y = x3 − 3x 2 + 2, biết tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt

( C ) tại điểm
A. OM =

N ( xN ; yN ) (khác M ) sao cho P = 5xM2 + xN2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính OM .

5 10
.
27

7 10
10
.
.
C. OM =
27
27
Hướng dẫn giải

B. OM =

D. OM =

10 10
.
27

Chọn
D.
Hàm số y = x3 − 3x 2 + 2
TXĐ: D =
Ta có: y ' = 3x 2 − 6 x  Tiếp tuyến của ( C ) tại M ( xM ; yM ) có phương trình là:

y = ( 3xM2 − 6 xM ) ( x − xM ) + xM3 − 3xM2 + 2
Tiếp tuyến của ( C ) tại M cắt ( C ) tại điểm N ( xN ; yN ) (khác M ) nên xM ; xN là nghiệm của
phương trình: x3 − 3x2 + 2 = ( 3xM2 − 6 xM ) ( x − xM ) + xM3 − 3xM2 + 2

 ( x3 − xM3 ) − 3 ( x2 − xM2 ) − ( 3xM2 − 6 xM ) ( x − xM ) = 0
 x = xM
2
 ( x − xM ) ( x + 2 xM − 3) = 0  
 x = −2 xM + 3
M khác N  xM  −2 xM + 3  3xM  3  xM  1  xN = −2 xM + 3

Khi đó: P = 5 xM2 + xN2 = 5xM2 + ( −2 xM + 3) = 9 xM2 − 12 xM + 9 = ( 3xM − 2 ) + 5  5 với xM
2

2

Dấu “=” xảy ra  ( 3xM − 2 ) = 0  3 xM − 2 = 0  3 xM = 2  xM =
2

2

2

2

26
 2   26  10 10
Với xM =  yM =
 OM =   +   =
3
27
27
 3   27 

2
(thỏa mãn)
3


10 10
.
27
Câu 33. Cho k  , n  . Trong các công thức về số các chỉnh hợp và số các tổ hợp sau, công thức nào

Vậy OM =

là công thức đúng?
A. Cnk+1 = Cnk + Cnk −1 (với 1  k  n).

B. Ank =

n!
(với 1  k  n).
k !( n − k )!

C. Cnk+1 = Cnk +1 (với 1  k  n).

D. Cnk =

n!
(với 1  k  n).
( n − k )!

Hướng dẫn giải
Chọn
A.
Trong các công thức về số các chỉnh hợp và số các tổ hợp công thức đúng là Cnk+1 = Cnk + Cnk −1
(với 1  k  n).
Công thức Ank =

n!
n!
, Cnk =
, Cnk+1 = Cnk +1 là các công thức sai
k !( n − k )!
( n − k )!

Câu 34. Cho tứ diện SABC có các cạnh SA, SB, SC đơi một vng góc với nhau. Biết
SA = 3a, SB = 4a, SC = 5a. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện SABC .
A. V = 20a .
3

Chọn

5a3

.
B. V = 10a .
C. V =
2
Hướng dẫn giải
3

D. V = 5a 3 .

B.

Vì SA, SB, SC đơi một vng góc nên AS ⊥ ( SBC ) và SBC vng tại S.
1
1
Nên thể tích khối chóp SABC là V = .SA.SB.SC = .3a.4a.5a = 10a 3 .
6
6

Câu 35. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a 2, cạnh bên bằng 2a. Gọi  là góc tạo bởi
hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SCD ) . Tính cos  .
A.

21
.
2

B.

21
.

14

C.
Hướng dẫn giải

21
.
3

D.

21
.
7


Chọn

D.

Gọi H là hình chiếu của S trên mặt phẳng ( ABCD ) . Hình chóp S.ABCD đều nên H là tâm
hình vng ABCD, ( SAC )  ( ABCD ) = AC và SH ⊥ ( ABCD )  ( SAC ) ⊥ ( ABCD ) .
Ta có: HD ⊥ AC  HD ⊥ ( SAC ) . (1)
CD ⊥ HM
 CD ⊥ ( SHM ) mà CD  ( SCD ) .
Gọi M là trung điểm của CD, suy ra: 
CD ⊥ SH


( SCD ) ⊥ ( SHM )

nên từ H kẻ đường thẳng vng góc với SM tại K , suy ra

SCD

SHM
=
SM
(
)
(
)


HK ⊥ ( SCD )( 2 )
Từ (1) và ( 2 ) suy ra:  = ( ( SAC ) , ( SCD ) ) = ( HD, HK ) = KHD.
Tam giác KHD vuông tại K có HD =

1
1
BD = a 2. 2 = a.
2
2

1
1
1
1
1
2
1

7
a 21
=
+
=
+
= 2+ 2
= 2  HK =
.
2
2
2
2
2
2
2
HK
HM
SH
HM
SD − HD
a
4a − a
3a
7

Vậy cos  =

HK
21

=
.
HD
7

Câu 36. Cho hàm số y = − x 4 + 2 x 2 có đồ thị như hình vẽ.

Tìm tất cả các giá trị thực của m để phương trình − x 4 + 2 x 2 = m có hai nghiệm phân biệt.
A. m = 1 hoặc m  0. B. 0  m  1.
C. m  1.
D. m  0.
Hướng dẫn giải
Chọn
A.


Số nghiệm của − x 4 + 2 x 2 = m là số điểm chung giữa đường thẳng y = m và đồ thị hàm số đã
vẽ.
m = 1
.
Phương trình đã cho có hai nghiệm  
m  0

1+ x +1

Câu 37. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số y =
tiệm cận đứng?
A. 2.

B. 3.

x 2 − (1 − m ) x + 2m

C. 1.
Hướng dẫn giải

có hai

D. 0.

Chọn
A.
ĐK: x  −1 và x 2 − (1 − m ) x + 2m  0
Xét phương trình 1 + x + 1 = 0 vơ nghiệm.
Xét phương trình x 2 − (1 − m ) x + 2m = 0 (*) . Để đồ thị hàm số có hai TCĐ thì phương trình có
2 nghiệm phân biệt thỏa mãn ĐK x  −1.

m  5 + 2 6
2
   0  (1 − m ) − 8m  0  m2 − 10m + 1  0  
.
 m  5 − 2 6
Khi đó gọi hai nghiệm của phương trình là x1  x2 ta có:
af ( −1)  0
m + 2  0
m  −2

x1  x2  −1   S



 −2  m  4
 2 − m  −2
m  4
  −1
2

)

m

Kết hợp điều kiện ta có: m   −2;5 − 2 6  m  −2; −1;0 .
Thử lại:
x  4
 TXD : D = ( 4; + )
Với m = −2  x 2 − 3x − 4  0  
 x  −1
Khi đó hàm số có dạng y =

1+ x +1
x 2 − 3x − 4

có 1 tiệm cận đứng x = 4  Loại.

x  1+ 3
Với m = −1  x 2 − 2 x − 2  0  
 TXD : D = −1;1 − 3  1 + 3; +
 x  1 − 3

) (

Khi đó hàm số có dạng y =

1+ x +1
x2 − 2 x − 2

có 2 tiệm cận đứng x = 1  3  TM .

)


x  1
 TXD : D =  −1;1)  ( 0; + )
Khi m = 0  x 2 − x  0  
x  0

Khi đó hàm số có dạng y =

1+ x +1
x2 − x

có 2 tiệm cận đứng x = 0; x = 1  TM .

Vậy m −1;0 .
Câu 38. Cho hàm số y = f ' ( x ) có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số g ( x ) = f ( x 2 ) −
A. 3.
Chọn

x6

+ x 4 − x 2 đạt cực tiểu tại bao nhiêu điểm?
3
B. 2.
C. 0.
Hướng dẫn giải

D. 1.

D.

Ta có g ' ( x ) = 2 xf ' ( x 2 ) − 2 x5 + 4 x3 − 2 x.

2 x = 0
g '( x) = 0  
.
2
4
2
 f ' ( x ) − x + 2 x − 1 = 0 (1)
t = 0
Đặt t = x ( t  0 ) , khi đó ( 2 )  t = 1  (1) có nghiệm x = 0, x = 1, x =  2.
t = 2
2

f ' ( t )  t 2 − 2t + 1  0  t  1  0  x 2  1  −1  x  1.
t  0
 x  −1
f ' ( t )  t 2 − 2t + 1  

.

t  1
x  1
Bảng biến thiên
x

g '( x)

− 2

−

+

0

−1

+

0

0
−

0

1
+

0

+

2
−

0

−


g ( x)

x6
+ x 4 − x 2 đạt cực tiểu tại một điểm.
3
Câu 39. Cho hai dãy ghế đối diện nhau mỗi dãy có 5 ghế. Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh, gồm 5 nam, 5 nữ
ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Tính xác suất để mỗi học
sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ.
1
1
8
4
.
.
.
.
A.
B.
C.

D.
252
945
63
63
Hướng dẫn giải
Chọn
C.
Số phần tử của không gian mẫu là n (  ) = 10!

Suy ra, hàm số g ( x ) = f ( x 2 ) −

Gọi A là biến cố “xếp 5 nam và 5 nữ ngồi đối diện nhau”
Đánh số cặp ghế đối diện nhau là C1 , C2 , C3 , C4 , C5
Xếp 5 bạn nam vào 5 cặp ghế có 5! cách.
Xếp 5 bạn nữ vào 5 cặp ghế có 5! cách.
Ở mỗi cặp ghế, ta có 2 cách xếp một cặp nam, nữ ngồi đối diện.
 Số phần tử của A là n ( A) = 5!.5!.25 = 460800.

 P ( A) =

n ( A)

n ( )

=

460800 8
= .
10!

63

Câu 40. Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên

\ 1 , liên tục trên mỗi khoảng và có bảng biến thiên

như sau:

Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình f ( x ) = m có ba
nghiệm thực phân biệt.
A. ( −1;1.

(

)

B. − 2; −1 .

(

C. − 2; −1 .

D. ( −1;1) .

Hướng dẫn giải
Chọn
B.
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình f ( x ) = m có ba nghiệm thực phân biệt khi

(

)

m  − 2; −1 .

Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ ( ABC ) , góc giữa đường
thẳng SB và mặt phẳng ( ABC ) bằng 600. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SB
bằng:


A.

a 3
.
7

a 2
.
2

B.

a 15
.
5

C.

D.

a 7
.
7

Hướng dẫn giải
Chọn

C.

Trong mp ( ABC ) kẻ hình bình hành ABDC , AE ⊥ BD; trong mp ( SAE ) kẻ AH ⊥ SE.
Theo giả thiết:

 SA ⊥ ( ABC )
 SA ⊥ BD  BD ⊥ ( SAE )

AE
⊥
BD



 BD ⊥ AH mà AH ⊥ SE nên AH ⊥ ( SBD ) .
Ta lại có BD / / AC  AC / / ( SBD )  d ( AC, SB ) = d ( AC, ( SBD ) ) = d ( A, ( ABD ) ) = AH .
Mặt khác: Vì SA ⊥ ( ABC ) nên ( SA, ( ABC ) ) = SBA = 600 , SA = AB.tan 600 = a 3.
Vì ABDC là hình bình hành nên ABD = 1800 − BAC = 1200 do đó điểm E nằm ngồi đoạn
thẳng BD và góc ABE = 600  AE = AB sin 600 =

a 3
.
2

Tam giác SAE vuông có:
1
1
1
1
= 2+
=
2
2
AH
SA
AE
a 3

(

)

2

+

1
a 3


 2 

2

=

5
3a 2
a 15
2

AH
=
 AH =
.
2
3a
5
5

a 15
.
5
Câu 42. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M , N lần lượt là trọng tâm các tam giác

Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng AC và SB là

ABD, ABC và E là điểm đối xứng với B qua D. Mặt phẳng MNE chia khối tứ diện ABCD

thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích V . Tính V .
A. V =
Chọn

3 2a 3
.
320

B.

B. V =

9 2a 3
a3 2
.
.
C. V =
320
96
Hướng dẫn giải

D. V =

3 2a 3
.
80


Xét mặt phẳng chứa tam giác ABD . Gọi D ' trên IE sao cho DD '/ / AQ ta có:
Mà KDD ' KAM 

DD ' ED 2
=
=

MQ EQ 3

KD DD ' DD ' 1
=
=
=
KA AM 2MQ 3

Gọi M ' trên BD sao cho MM '/ / AB. Ta có:
1
1 1
1
5
3 1 
M ' Q = BQ = . BE = BE  EM ' = 3EQ + QM ' =  +  BE = BE
3
3 4
12
6
 4 12 
MM ' EM ' 5
5
=
=  MM ' = IB
IB
EB 6
6
MM ' QM 1
5 IB 1
IB 2

AI 3
=
= 
= 
= 
=
Xét mặt tam giác ABQ . Ta có
AB
QA 3
6 AB 3
AB 5
AB 5


Vì MN / / PQ / / CD  MN / / ( ACD )  MN / / JK / / CD 
Vì ABCD là tứ diện đều có cạnh bằng a  VABCD

AJ AK 3
=
=
AC AD 4

a3 2
=
12

VAIJK
AI AJ AK 3 3 3 27
27
27 a3 2 9 2a3

Ta lại có:
=
.
.
= . . =
 VAIJK = VABCD =
=
VABCD AB AC AD 5 4 4 80
80
80 12
320