Giáo trình cơ sở KT thủy khí

Chơng 1
Mở đầu
1.1. Khái niệm
Cơ lu chất là môn khoa học cơ sở nghiên cứu những quy luật cân bằng và
chuyển động của chất lu và nghiên cứu vận dụng những quy luật ấy để giải quyết
các vấn đề kỹ thuật trong thực tiễn sản xuất.
Chất lu là môi trờng liên tục mà lực liên kết giữa các phần tử tạo thành nó rất
yếu. Chất lu có tính di động cao (chảy), nghĩa là có thể biến dạng dới những lực t-
ơng đối yếu.
Có hai loại chất lu: lỏng và khí.
- Chất lỏng có tính chống nén lớn.
- Chất khí có thể nén đợc.
1.2. Cơ sở lý luận
Cơ sở lý luận của cơ lu chất là vật lý, cơ học lý thuyết, cơ học chất lỏng. Đây
là môn khoa học cơ sở để nghiên cứu những môn chuyên môn:
- Xây dựng công trình thủy lợi: Thủy điện, thuỷ công, trạm bơm, kênh dẫn
- Xây dựng dân dụng: cầu cảng, cấp thoát nớc, cầu đờng
- Chế tạo máy thủy lực: bơm, tua-bin, động cơ thủy, truyền động thủy lực
1.3. Phơng pháp nghiên cứu
Trong nghiên cứu cơ học chất lỏng cần kết hợp chặt chẽ giữa lý thuyết và
thực nghiệm.
v Các nguyên lý cơ bản để giải bài toán về cơ học chất lỏng.
- Bảo toàn khối lợng (bảo toàn liên tục);
- Bảo toàn động lợng và moment động lợng (nguyên lý cơ bản cơ học);
- Bảo toàn năng lợng (nguyên lý cơ bản vật lý).
v Các bớc tiến hành nh sau:
- Tách riêng bằng tởng tợng thể tích chứa chất lỏng đang xét. Gọi là thể tích
kiểm tra. Mặt bao quanh thể tích kiểm tra gọi là mặt kiểm tra;
- Nghiên cứu tác dụng của lực lên các phân tố đó;
- Sử dụng các nguyên lý cơ bản của cơ học và vật lý học với toàn bộ khối
chất lng trong thể tích kiểm tra, coi nh toàn bộ khối chất lỏng đó là một

hệ thống vật chất do các phần tử chất lỏng tạo nên.
Nhờ phơng pháp này ta lập đợc phơng trình vi phân của phần tử chất lỏng.
Nhng thờng trong thủy lực ta không yêu cầu biết thật chính xác về mỗi trạng thái
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
1
chuyển động của mỗi hạt chất lỏng (lu hạt) mà chỉ cần biết các trị số trung bình của
một đại lợng nào đó ở trong một thể tích hay mặt cắt. Sự phân tích thứ nguyên nhiều
khi cũng giúp ta tìm đợc dạng gần đúng của các định luật. Trong thủy lực, thực
nghiệm đóng vai trò quan trọng. Thí nghiệm đợc làm trên những vật nhỏ gọi là mô
hình.
v Có hai cách khảo sát chuyển động:
- Theo Euler: có vô số quan sát viên ở ti vô số điểm đặt tại dòng chy. Nh
vy ta có u, p, phụ thuộc vào vị trí điểm cố định và thời gian t:
u = f
1
(x, y, z, t) ; p = f
2
(x, y, z, t)
- Theo Lagrand: có vô số quan sát viên di chuyển cùng vận tốc với 1 phần tử
chất lỏng :
+ ở thời điểm t
o
: một phần tử chất lỏng A có tọa độ là (a, b, c) .
+ Tại thời điểm t: phần tử đó có tọa độ là (x, y, z) .
Ta có: x = f
1
(a, b, c, t) ; y = f
2
(a, b, c, t) ; z = f
3

(a, b, c, t)
Đây là dạng chuyển động của dòng chảy.
2.1. Khối lợng riêng

V
M
=

;
Trong đó :
M: Khối lợng trong thể tích V (kg) ;
V : Thể tích có khối lợng M (m
3
);
Nớc cất ở 4
0
C có = 1000 kg/m
3
.
2.2. Trọng lợng riêng

V
G
V
Mg
==

(N/m
3
);

Trong đó:
G: Trọng lợng khối chất lỏng (N) .
Nớc nguyên chất = 9810N/m
3
, (gia tốc trọng trờng g = 9,81m/s
2
) .
(1N = 0,102 KG).
3. Tính nén và giản nở đợc của chất lỏng
3.1. Tính nén và giản nở do áp lực
dp
dV
V
p
1
=

Trong đó:
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
2
V: Thể tích ban đầu, m
3
;
dV: lợng thay đổi thể tích, m
3
;
dp : lợng thay đổi áp suất, N/m
2
;
Môđun đàn hồi thể tích:

p
E

1
=
, N/m
2
.
3.2. Tính giãn nở do nhiệt độ

dt
dV
V
t
1
=

(1/
o
C)
dt : lợng thay đổi nhiệt độ
Hệ số giãn nở vì nhiệt thay đổi khi áp suất thay đổi
3.3. Tính nhớt (ma sát trong)
Khi các phần tử chất lỏng chuyển động, giữa chúng có sự chuyển động tơng
đối, làm sinh ra lực ma sát trong. Đây là nguyên nhân sinh ra tổn thất năng lợng khi
chất lỏng chuyển động. Đặc tính này gọi là tính nhớt.
Lực nhớt sinh ra biến thành nhiệt năng không thu hồi lại đợc. Các lực nhớt
sinh ra có liên quan đến lực hút phân tử trong chất lỏng.
Định luật Newton:
dn

du
ST
à
=
, N ;
T : lực nhớt trong diện tích S của hai lớp chất lỏng;
S : diện tích tiếp xúc giữa hai lớp chất lỏng;
dn
du
: gradient vận tốc theo phơng n vuông góc hớng dòng chảy;
à : hệ số đặc trng cho tính nhớt gọi là hệ số nhớt động lực học.
3.4. Chất lỏng lý tởng và chất lỏng thực
Chất lỏng thực có tất cả những tính chất nh trên.
Chất lỏng lý tởng: bao gồm những tính chất sau:
- Không có tính nhớt: à = 0 ;
- Di động tuyệt đối ;
- Không chống đợc lực kéo và cắt ;
- Không nén đợc ;
Chất lỏng ở trng thái tĩnh rất gần với chất lỏng lý tởng.
Để có kết quả tính toán chất lỏng lý tởng phù hợp chất lỏng thực, ngời ta dùng
thực nghiệm để rút ra hệ số hiệu chỉnh.
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
3
Ngoài ra trong một số vấn đề thủy lực, cha có phơng pháp lý luận giải quyết
đợc, mà phải dùng phơng pháp thực nghiệm.
3.5. Lực tác dụng lên chất lỏng
Xét một thể tích chất lỏng, chứa trong mặt cong S, những lực tác dụng lên thể
tích chất lỏng chia làm hai loại:
v Lực khối: là những lực tỷ lệ với khối lợng chất lỏng tác dụng lên mỗi phân
tử chất lỏng nh: lực quán tính, trọng lực, lực điện từ. Thông thờng lực khối là trọng

lực, trừ một số trờng hợp đặc biệt phải xét thêm lực quán tính.
v Lực bề mặt: là lực từ ngoài tác dụng lên các phần tử chất lỏng qua mặt
tiếp xúc, tỷ lệ với diện tích mặt tiếp xúc nh: áp lực khí quyển tác dụng lên mặt tự do
của chất lỏng, áp lực pittông lên chất lỏng chứa trong xy lanh.

Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
4
Chơng 2
Thuỷ tĩnh
2.1. Mục đích nghiên cứu
Thuỷ tĩnh học nghiên cứu qui luật cân bằng của chất lỏng trong trạng thái tĩnh
và ứng dụng các quy luật đó vào trong sản xuất. Ví dụ: xác định áp lực nớc lên
thành một bể chứa; tìm điều kiện cân bằng của xăng trong thùng chứa đặt trên một
toa xe
Cần phân biệt trạng thái tĩnh tuyệt đối và tĩnh tơng đối. Khi các phần tử chất
lỏng không chuyển động so với hệ toạ độ gắn liền với quả đất thì chất lỏng ở trạng
thái tĩnh tuyệt đối; lực khối tác dụng lên nó chỉ có trọng lực. Khi các phần tử của
chất lỏng chuyển động so với hệ trục toạ độ gắn liền với quả đất, nhng giữa chúng
không có sự chuyển động tơng đối - tức là chất lỏng chuyển động thành một khối
coi nh cứng - thì ta gọi trạng thái đó là tĩnh tơng đối; lực khối tác dụng lên chất
lỏng, ngoài trọng lực còn có lực quán tính.
Trong thuỷ tĩnh học ta có thể coi chất lỏng thực nh chất lỏng lý tởng, kết quả
vẫn hoàn toàn chính xác vì lực nhớt không xuất hiện.
2.2. áp suất thuỷ tĩnh - đơn vị đo áp suất
Do tác dụng của các lực ngoài (lực bề mặt và lực khối) nên trong nội bộ chất
lỏng xuất hiện những ứng suất. Ta gọi những ứng suất đó là áp suất thủy tĩnh.
2.3. Hai đặc tính của áp suất thuỷ tĩnh
2.3.1. Tính chất 1
áp suất thủy tĩnh luôn luôn tác dụng thẳng góc và hớng vào mặt tiếp xúc.
Chứng minh: (Bằng phản chứng)

Ta có:
tn
ppp

+=
;
nhng do :
0=
t
p

( do chất lỏng cân bằng)
Nên:


n
pp

=
(2.2)
2.3.2. Tính chất 2
áp suất thủy tĩnh tại một điểm theo mọi phơng đều bằng nhau.
Gọi X, Y, Z các là hình chiếu của gia tốc lực khối F lên các trục Ox, Oy, Oz
(hình 2.2).
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
Xét trên mặt phẳng có diện tích

chịu lực P tác
dụng (hình 2.1). áp suất thủy tĩnh trung bình:

P
p


=
Xét phân tố diện tích


, chịu tác dụng một lực
P
,
áp suất tại một điểm sẽ bằng:





=

P
p
o
lim

(2-1)
Đơn vị áp suất: N/m
2
, Kg/m.s
2
.

1at = 9.81.10
4
N/m
2
, 1at = 1KG/cm
2
Hình 2.1
5
P
P


Viết phơng trình cân bằng đối với trục Ox.

0)( =+
xxnx
FPP

( )
0
6
,cos)(
2
=+ X
dxdydz
xnSp
dxdy
p
ABCnx

Do dxdydz là vô cùng bé bậc cao hơn vô
cùng bé dydz nên có thể bỏ qua.
Ta cũng có:
( )
2
,cos.
dydz
SxnS
OBCABC
==
Khi dxdydz tiến về 0 ta có: p
x
=p
n
Chứng minh tơng tự ta có:
p
x
= p
y
= p
z
= p
n
(2.3)
Hình 2.2
2.4. PHƯƠNG TRìNH VI PHÂN Cân bằng CủA CHấT LỏNG TĩNH
Phơng trình này do Ơle lập ra năm
1755. Nó biểu thị quan hệ giữa ngoại lực, (lực
khối và lực bề mặt) tác dụng vào một phần tử
chất lỏng với nội lực sinh ra trong đó, cụ thể

là áp suất thuỷ tĩnh p.
Trong một môi trờng chất lỏng ở trạng
thái cân bằng ta xét một phần tử chất lỏng
hình hộp có cạnh là dx, dy, dz (hình 2.3).
Lực khối F tác dụng lên chất lỏng
trong hình hộp tỷ lệ với khối lợng m của nó m
=

dxdydz. Ta gọi X, Y, Z là hình chiếu của
gia tốc lực khối F lên các trục Ox, Oy, Oz.
Hình 2.3
Ta có : F
x
=

dxdydzX, F
y
=

dxdydzY, F
z
=

dxdydzZ. Lực bề mặt tác dụng lên
hình hộp gồm các lực do áp suất thuỷ tĩnh tạo nên trên 6 mặt.
Ta xét các lực tác dụng lên khối chất lỏng hình hộp theo phơng Ox, lực bề
mặt tác dụng lên mặt trái và phải của khối chất lỏng là:
2
p x
p dydz

x



ữ


và
2
p x
p dydz
x


+
ữ



lực khối tác dụng khối chất lỏng là: F
x
=

dxdydzX
Điều kiện để khối chất lỏng cân bằng là tổng các lực khối và lực bề mặt tác
dụng lên nó phải bằng không.
Viết điều kiện đó chiếu lên trục Ox:
0
2 2
p x p x

p dydz p dydz Xdxdydz
x x



+ + =
ữ ữ


0
1
0 =


=+



x
p
XX
x
p


(2.4)
Tơng tự cho y, z ta có:
0
2 2
p y p y

p dxdz p dxdz Ydxdydz
y y



+ + =
ữ ữ



Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
6
0
1
0 =


=+



y
p
YY
y
p


(2.5)

0
2 2
p z p z
p dxdy p dxdy Zdxdydz
z z



+ + =
ữ ữ


0
1
0 =


=+



z
p
ZZ
z
p


(2.6)
Hoặc:

0
1
= gradpF


(2.7)
Phơng trình (2.7) biểu thị quy luật chung về sự phụ thuộc áp suất thủy tĩnh
đối với tọa độ:
p = f(x, y, z)
2.5. pHƯƠNG TRìNH CƠ BảN CủA CHấT LỏNG TĩNH
2.5.1.Tích phân phơng trình vi phân cân bằng của chất lỏng tĩnh
Nhân các phơng trình (2.4), (2.5), (2.6) riêng biệt với dx, dy, dz rồi cộng vế
đối vế, ta có:
0
1
=










+


+

dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
ZdzYdyXdx


Vì p = f(x, y, z) là hàm số của tọa độ, nên ta có:










+


+

= dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
dp
Do đó:
( )
0
1
=++ dpZdzYdyXdx


Hay:
( )
ZdzYdyXdxdp ++=

(2.8)
Đó là phơng trình vi phân cơ bản của chất lỏng.
2.5.2. áp dụng vào trờng hợp tĩnh tuyệt đối.
Trong hệ tọa độ vuông góc mà trục Oz đặt
theo phơng thẳng đứng hớng lên trên, thì đối với lực
thể tích F tác dụng lên một đơn vị khối lợng của
chất lỏng trọng lực, ta có:
X = 0;

Y = 0;
Z = - g,
Trong đó: g là gia tốc trọng trờng.
Từ phơng trình vi phân cơ bản chất lỏng (2.8), thay
các giá trị vào ta đợc: Hình 2.4
dp = -

gdz
Tích phân đợc:
p = -

gz + C
Khi: z = z
0
thì p = p
0
, (p
0
= p
a
thờng là áp suất khí quyển)
Nên : p
0
= - (

gz
0
+ C) suy ra C = (

gz

0
+ p
0
)
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
7
Vậy:
p =

g(z
0
- z) + p
0
(2.9)
Gọi z
0
là tọa độ của điểm ở trên mặt tự do và h là độ sâu của điểm đang xét có
tung độ z, ta có:
h = z
0
- z
Ta viết lại:
p = p
0
+

gh (2.10)
Phơng trình (2-7) là phơng trình cơ bản của thủy tĩnh học. Với phơng trình
trên ta thấy: áp suất tại những điểm cùng ở một độ sâu trong cùng một loại chất lỏng
trọng lực đứng cân bằng thì bằng nhau. Phơng trình (2.9) có thể viết lại thành:

const
p
z
p
z =+=+

0
0
(2.11)
Phơng trình viết dới dạng (2.11) gọi là phơng trình cơ bản của thủy tĩnh học,
nhiều khi còn gọi phơng trình (2.10) và (2.11) là quy luật phân bố áp suất thủy tĩnh.
2.5.3. áp dụng vào trờng hợp tĩnh tơng đối
Trong trạng thái tĩnh tơng đối, chất lỏng cùng chuyển động liền một khối, giữa
các phần tử chấ lỏng không có sự chuyển động tơng đối.
Sau đây chúng ta chỉ nghiên cứu hai trờng hợp của trạng thái tính tơng đối(các
trờng hợp khác có thể suy luận tơng tự nh hai trờng hợp này).
Trong khi nghiên cứu ta gắn liền hệ trục toạ độ vuông góc với bình chứa chất
lỏng( hệ toạ độ không quán tính).
2.5.3.1. Chất lỏng trong bình chuyển động thẳng với gia tốc không đổi.
Trờng hợp này thờng gặp ở các xe chở dầu, nớc. Giả thiết rằng bình chứa đang
chuyển động thẳng với gia tốc không đổi a. Chất lỏng chịu tác dụng của hai lực
khối: trọng lực G = mg và lực quán tính R = -ma, trong đó m là khối lợng của phần
tử chất lỏng. (Nh vậy, mỗi phần tử sẽ chịu tác dụng của trọng lực đơn vị g và lực
quán tính đơn vị a). Với hệ tọa độ nh hình vẽ, hình chiếu F
x
, F
y
, F
z
của các lực khối

là:
F
x
= - a ; F
y
= 0 ; F
z
= - g.
Từ phơng trình (2.8), ta có thể viết:
)( gdzadxdp =

Sau khi tích phân ta đợc:

Cgzaxp += )(

Tại x = 0, z = H, có p = p
0
(p
0
là áp suất tại mặt thoáng).
Vậy hằng số tích phân sẽ là:
gHpC
o

+=
Phơng trình xác định áp suất thủy tĩnh tơng đối tại một điểm viết đợc dới
dạng:
( )
axzHgpp
o

+=
(2.12)
2.5.3.2.Sự cân bằng của chất lỏng trong bình hình trụ tròn quay đều quanh
trục thẳng đứng qua tâm bình.
Trờng hợp đúc các vật quay ly tâm là một ví dụ. Lực tác dụng lên mỗi phần tử
chất lỏng bao gồm: trọng lực G = mg và lực quán tính ly tâm F= m

r, trong đó

là
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
8
tốc độ góc, r là khoảng cách từ vị trí phần tử chất lỏng ta xét đến trục quay. Theo tọa
độ nh trên hình vẽ, lấy m = 1, hình chiếu F
x
, F
y
, F
z
của các lực khối lên các trục là:
xF
x
2

=
,
yF
y
2

=
,
gF
z
=

trong đó x , y là hình chiếu của r lên trục Ox, Oy.
Theo (2.8) ta có thể viết:
( )
gdzydyxdxdp +=
22

Sau khi tích phân ta đợc:
Cgzrp +






=
22
2
1

Trên mặt tự do: p = p
0
; khi r = 0, thì z = z
0

; vì vậy:
oo
gzpC

+=
Do đó:
oo
gzpgzrp

++






=
22
2
1
(2.13)
2.5.4. Mặt đẳng áp Các loại áp suất
Mặt đẳng áp là mặt có áp suất thủy tĩnh tại mọi điểm đều bằng nhau, tức là
mặt có p = const, do đó dp = 0.
Ta đợc phơng trình vi phân của mặt đẳng áp:
Xdx + Ydy +Zdz = 0 (2.14)
2.5.4.1. Tính chất 1
Hai mặt đẳng áp khác nhau không thể cắt nhau, vì nếu chúng cắt nhau thì tại
cùng một giao điểm, áp suất thủy tĩnh có những trị số khác nhau, điều đó trái với
tính chất 2 áp suất thủy tĩnh.

2.5.4.2. Tính chất 2
Lực thể tích tác dụng lên mặt đẳng áp thẳng góc với mặt đẳng áp. Mặt đẳng áp
đồng thời là mặt đẳng thế.
2.5.4.3. Các loại áp suất
Ngời ta gọi áp suất tuyệt đối hoặc áp suất toàn phần là
áp suất p xác định bởi công thức cơ bản (2.10) :
p = p
0
+

gh = p
tuyệtđối

Nếu từ áp suất tuyệt đối p
tuyệtđối
ta bớt đi áp suất khí
quyển thì hiệu số đó gọi là áp suất d p
d
hoặc là áp suất tơng
đối:
p
d
= p
tuyệtđối
- p
a
(2.15)
Nếu áp suất tại mặt thoáng là áp suất khí quyển p
a
thì:

p
d
=

gh
Hình 2.5
Nh vậy áp suất tuyệt đối biểu thị cho ứng suất nén thực tế tại điểm đang xét,
còn áp suất d là phần áp suất còn d nếu trong trị số của áp suất tuyệt đối ta bớt đi trị
số áp suất không khí. áp suất tuyệt đối bao giờ cũng là một số dơng, còn áp suất d
có thể dơng hoặc âm:
p
d
> 0 khi p
tuyệtđối
> p
a

Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
9
p
d
< 0 khi p
tuyệtđói
< p
a
Trong trờng hợp áp suất d âm thì hiệu số của áp suất khí quyển và áp suất
tuyệt đối gọi là áp suất chân không :
p
ck
= p

a
- p
tuyệtđối
= - p
d

(2.16)
Chú ý:
a. Nói đến áp suất chân không có nghĩa là áp suất tuyệt đối nhỏ hơn áp suất
không khí, chứ không có nghĩa là không còn phần tử vật chất nào.
b. áp suất chân không lớn nhất: p
ckmax
= p
a
(p
tuyệtđối
= 0)
c. Khi p
0
= p
a
thì p
d
= gh và áp suất d tại mặt thoáng : p
d
= 0
2.6. tính áP LựC thuỷ tĩnh
2.6.1. áp lực thuỷ tĩnh lên thành phẳng.
2.6.1.1. Trị số áp lực thuỷ tĩnh P.
Trờng hợp thành rắn là mặt phẳng, thì những áp suất tác dụng lên thành rắn

đều song song với nhau, do đó chúng có một áp lực tổng hợp P duy nhất. Ta nghiên
cứu trị số của P và điểm đặt.
Cần xác định áp lực P của chất lỏng tác dụng lên một diện tích phẳng

có
hình dạng bất kỳ đặt nghiêng đối với mặt thoáng một góc

. áp lực dP tác dụng lên
một vi phân diện tích d, mà trọng tâm của nó đặt ở độ sâu h tính bằng:

( )

dhppddP
o
+==
.
(2.17)
áp lực P tác dụng lên toàn diện tích

:
( )

+==


dhppdP
0

Trên thành phẳng lấy hệ trục tọa độ Ozy nh ở hình 2.6, ta có:

sinzh
=
Vậy:

( )

+=+=+=


zdpdzdpdzpP sinsinsin
000

Tích phân

c
zzd =

chính
bằng moment tĩnh của diện tích

đối
với trục Oz.
Gọi z
c
là tung độ của trọng tâm C của
diện tích đó, gọi h
c
là độ sâu của trọng
tâm C thì:

sin
cc
zh =

Do đó:


cc
hpzpP +=+=
00
sin

Hình 2.6
Nh vậy:

( )

co
hpP +=
(2.18)
Ta thấy rằng biểu thức (p
0
+

h
c
) chính là áp suất tuyệt đối tại trọng tâm C của
diện tích phẳng

.
Nh vậy: áp suất thủy tĩnh của chất lỏng tác dụng lên diện tích phẳng, ngập
trong chất lỏng bằng tích số của áp suất tuyệt đối tại trọng tâm diện tích phẳng đó
với diện tích ấy.
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
10
Nếu p
0
= p
a
, áp lực d tác dụng lên diện tích phẳng nói trên bằng:

c
hP =
(2.19)
Trong thực tiễn kỹ thuật, nhiều khi mặt phẳng cần xét chịu áp lực thủy tĩnh về
một phía, còn phía kia của mặt phẳng lại chịu áp lực của không khí; trong trờng hợp
đó mặt phẳng chỉ chịu áp lực d mà thôi vì áp lực không khí truyền từ mặt thoáng đến
mặt phẳng đã cân bằng với áp lực không khí tác dụng vào phía khô của mặt phẳng.
Vì vậy trong những trờng hợp tơng tự, chỉ cần tính áp lực d theo (2.19).
áp lực d thủy tĩnh tác dụng lên đáy phẳng của bình chứa là trờng hợp riêng của
lực thủy tĩnh tác dụng lên mặt phẳng. Nếu diện tích đáy

và độ sâu h của đáy giữ
không đổi thì áp lực chất lỏng lên đáy bình bằng

c
hP =
không phụ thuộc hình
dạng bình.

2.6.1.2. Vị trí của tâm áp lực.
Điểm đặt áp lực gọi là tâm áp lực, tùy theo áp lực là áp suất tuyệt đối hay là áp
suất d mà tâm áp lực gọi là tâm áp lực tuyệt đối hay tâm áp lực d. Phơng pháp xác
định vị trí tâm áp lực trong hai trờng hợp đều giống nhau. ở đây chỉ nêu lên phơng
pháp xác định vị trí tâm áp lực d. Ta gọi D(z, y) là tâm áp lực d; cần xác định tọa độ
z
D
và y
D
của điểm D.
a) Xác định z
D
.
Moment của áp lực P đối với trục Oz bằng:
DcD
zhPzM

==
(i)
Tổng số moment đối với trục Oz của áp lực lên các diện tích vi phân bằng:

z
IdzhzdpzdM


sinsin
2
====

(ii)

Trong đó:
z
Idz =



2
là moment quán tính của diện tích

đối với trục Oz.
Theo cơ học lý thuyết, có thể biểu thị moment quán tính của diện tích đối với
trục Oz bằng moment quán tính của diện tích ấy đối với trục nào đó song song với
Oz và đi qua trọng tâm C của diện tích nh sau:
2
coz
zII

+=
(I
0
mômen quán tính của diện tích

đối với trục ngang đi qua trọng tâm C của nó).
Cân bằng (i) (ii) ta đợc:
C
z
C
z
D
z

I
h
I
z



== sin
hay :
C
CD
z
I
zz

0
+=
(2.20)

Nh vậy vị trí tâm áp lực bao giờ cũng sâu hơn vị trí của trọng tâm.
b) Xác định y
D
.
Tơng tự nh lúc xác định z
D
, ta viết moment của áp lực P cho trục Oy:
DCDCD
yzyhPyM

sin===

(i)
Tổng số moment đối với trục Oy của áp lực P lên các diện tích vi phân bằng:
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
11

zy
IzydhydpydM


sinsin ====

(ii)
Trong đó:
zy
Izyd =



là moment quán tính của diện tích

đối với trục Oy, Oz.
Vậy:
zyDC
Iyz

sinsin =

hay:

C

zy
D
z
I
y =
(2.21)
Trong thực tiễn hay gặp trờng hợp diện tích

có hình dạng đối xứng đối với
trục song song với Oz, khi đó điểm D nằm trên trục đối xứng, ta chỉ cần xác định z
D
không cần tính y
D
.
2.6.2. áp lực thuỷ tĩnh lên thành cong.
Nếu thành cong có hình dạng bất kỳ, thì áp lực nguyên tố không hợp lại đợc
thành một áp lực tổng hợp duy nhất. Trong một số trờng hợp riêng, nh mặt trụ tròn
xoay có đờng sinh đặt nằm ngang hoặc thẳng đứng, nhng áp lực nguyên tố đồng quy
hoặc song song, do đó có đợc một áp lực tổng hợp duy nhất.
Xét trờng hợp thành cong S, một mặt tiếp xúc không khí một mặt tiếp xúc n-
ớc. (Nếu hai mặt tiếp xúc chất lỏng thì ta tính từng mặt rồi tổng hợp lại).
Hình 2.7
Xét một phân tố diện tích dS chịu áp lực dP (hình 2.7), sau đó tính cho toàn
diện tích S. Vì dS vô cùng bé nên coi là phẳng, do đó ta có:
dP =

hdS
trong đó h là độ sâu trọng tâm dS.
Chiếu dP lên 3 trục:
dP

x
= dPcos(dp, Ox) =

hdScos(dp, Ox)
dP
y
= dPcos(dp, Oy) =

hdScos(dp, Oy)
dP
z
= dPcos(dp, Oz) =

hdScos(dp, Oz)
Tích phân các phơng trình trên ta có:

==
Sx
x
Sx
xx
hdSdPP

(dS
x
thuộc mặt phẳng yOz vuông góc với Ox)
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
12

==

Sy
y
Sy
yy
hdSdPP

(dS
y
thuộc mặt phẳng xOz vuông góc với Oy)

==
Sy
z
Sz
zz
hdSdPP


(dS
z
thuộc mặt phẳng xOy vuông góc với Oz)
2.6.2.1. Tính P
x
, P
y
Nhận xét thấy rằng P
x
, P
y

là các áp lực thuỷ tĩnh lên thành phẳng S
x
, S
y
. Giải t-
ơng tự nh thành phẳng bất kỳ, ta đợc:
P
x
=

h
Cx
S
x
P
y
=

h
Cy
S
y
(2.22)
Trong đó: h
Cx
, h
Cy
là trọng tâm hình chiếu S
x
và S

y
.
2.6.2.2.Tính P
z

Thành phần thẳng đứng P
z
của áp lực thuỷ tĩnh P lên thành cong S bằng:

==
Sy
z
Sz
zz
hdSdPP

Ta nhận xét thấy rằng hdS
z
là thể tích hình trụ có chiều cao h và có đáy bằng
dS
z
; còn thể tích
VhdS
Sz
z
=

là thể tích của hình trụ có đáy dới là thành cong S và đáy
trên là hình chiếu S
z

của thành cong lên mặt thoáng, mặt xung quanh là mặt chiếu.
Hình trụ đó gọi là vật áp lực, thành phần thẳng đứng P
z
của áp lực thuỷ tĩnh
lên thành cong đi qua trọng tâm của vật áp lực; về trị số, nó bằng chính trọng lợng
của vật áp lực.
- Nếu mặt thành cong bị chất lỏng đẩy lên thì chiều của P
z
hớng lên.
- Nếu mặt thành cong bị chất lỏng đẩy xuống thì chiều của P
z
hớng xuống.
2.6.2.3. Điểm đặt của áp lực thuỷ tĩnh P lên thành cong.
Những công thức trên cho ta tìm ba thành phần P
x
,P
y
,P
z
của áp lực P lên
thành cong, mặt khác ta đã biết:
222
zyx
PPPP ++=
(2.23)
với P sẽ đi qua giao điểm của P
x
, P
y
, P

z
và lập với hệ trục toạ độ Oxyz các góc xác
định bởi các cosin định hớng sau:
( )
P
P
xP
x
=,cos
( )
P
P
yP
y
=,cos
( )
P
P
zP
z
=,cos

Nếu thành cong là một phần hình trụ tròn nằm ngang, thì áp lực P có phơng
lập với phơng ngang một góc

:
x
z
P
P

tg =

Ta nghiên cứu thêm vật áp lực và phơng của P
z
:
Vật áp lực là thể tích giới hạn bởi thành cong mà ta xét, bốn mặt bên thẳng
đứng, tì lên mép thành cong và kéo dài đến khi cắt mặt tự do hoặc một phần kéo dài
của mặt tự do của chất lỏng. Trọng lợng của vật áp lực biểu thị thành phần thẳng
đứng P
z
của vật áp lực P. Trong trờng hợp mặt cong là mặt trụ có đờng sinh nằm
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
13
ngang, vật áp lực thờng biểu thị bởi mặt cắt thẳng đứng của thể tích nói trên và là
diện tích giới hạn bởi đờng cong chịu lực, hai đờng cong thẳng đứng đi qua hai đầu
đờng cong và gặp mặt tự do hoặc phần kéo dài của mặt tự do. Sau đây là ba trờng
hợp vật áp lực:
a) Vật áp lực có chất lỏng ngay trên mặt cong (hình 2.8): có thể chất lỏng chiếm
toàn thể vật áp lực hoặc chỉ chiếm một phần của vật áp lực, trong cả hai trờng hợp
này P
z
đều hớng xuống dới. Ta quy ớc khi P
z
hớng xuống dới, vật áp lực mang dấu
(+).
Hình 2.8
b) Vật áp lực không có chất lỏng ở ngay trên mặt cong (hình 2.9): có thể chất lỏng
hoàn toàn không có trong vật áp lực hoặc có thể chiếm một phần vật áp lực, trong cả
hai trờng hợp này, P
z

đều hớng lên trên. Ta quy ớc khi P
z
hớng lên trên, vật áp lực
mang dấu (-).
Hình 2.9
c) Mặt cong có hình dạng phức tạp, làm cho vật áp lực cũng phức tạp: thí dụ mặt
cong ABCD.
Theo định nghĩa về vật áp lực nói trên, diện tích

của mặt cắt thẳng đứng của
vật áp lực gồm hai bộ phận:
1

và
2

;
1

là diện tích của hình BDE và
2

là diện
tích của hình ACEb. Để xác định hớng và các phần P
z1
ứng với
1

và P
z2

ứng với
2


ta có thể phân toàn bộ đờng cong phức tạp thành nhiều đoạn đơn giản để ta trở về
hai trờng hợp đơn giản nói trên.
Ví dụ đoạn BDE phân thành hai đoạn BD và DE; vật áp lực đối với BD là hình
BDdb theo quy ớc nói trên mang dấu (+), còn vật áp lực ứng với DE là hình DEbd
mang dấu (-), tổng số đại số của hai diện
tích BDdb và DEbd cho ta diện tích BDE
với dấu (+). Ta cũng chia đờng cong ECA
thành hai đoạn EC và CA rồi cũng tìm vật
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
14
áp lực ứng với từng đoạn, kèm theo dấu t-
ơng ứng, sau cùng cộng đại số những diện
tích của vật áp lực thì tìm đợc diện tích
ACEb với dấu (-).
Nguyên tắc dùng vật áp lực nói trên
để tìm phơng hớng cho thành phần P
z
áp
dụng cho những trờng hợp mà áp suất d
Hình 2.10
tác dụng vào mặt cong lớn hơn số không: P
d
> 0.

Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
15

Chơng 3
Thuỷ động
1. Khái niệm chung
1.1. Khái niệm
Trong khi nghiên cứu sự chuyển động của chất lỏng chúng ta sẽ dần dần đa ra
nhiều cách phân loại nhằm đi sâu vào từng mặt của chuyển động. ở đây chúng ta
phân loại chuyển động ra chuyển động không ổn định và ổn định.
Ta gọi chuyển động không ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển
động phụ thuộc thời gian, tức là:
u = u(x, y, z, t); p = p(x, y, z, t) v.v
Hay :
0


t
u

0


t
p


Ta gọi chuyển động ổn định là chuyển động mà các yếu tố chuyển động
không phụ thuộc thời gian, tức là:
u = u(x, y, z); p = p(x, y, z) v.v
Hay :
0=

t
u

0=


t
p
1.2. Hai phơng pháp nghiên cứu chuyển động của chất lỏng
1.2.1. Phơng pháp Lagơrăng.
Theo phơng pháp này, ngời ta nghiên cứu sự chuyển động của từng phần
tử chất lỏng, xác định quỹ đạo, lu tốc, gia tốc
Thí dụ ta theo dõi phần tử A, trong hệ quy chiếu là hệ tọa độ Đềcác:
- ở thời điểm: t
o
nó ở vị trí a, b, c.
- Sang thời điểm t nó ở vị trí x, y, z.
Có thể biểu diễn bằng những hàm số:
X = f1(a, b, c, t)
Y = f2(a, b, c, t)
Z = f3(a, b, c, t)
Từ đó ta có thể xác định:
t
x
u
x


=

t
y
u
y


=

t
z
u
z


=

2
2
t
x
a
x


=

2
2
t

y
a
y


=

2
2
t
z
a
z


=
trong đó : a, b, c, t gọi là biến số Lagrăng.
Thực chất của phơng pháp này là dùng cơ học chất điểm để nghiên cứu sự
chuyển động của chất điểm trong môi trờng liên tục. Việc vận dụng phơng pháp này
phức tạp vì vậy chỉ dùng trong một số trờng hợp đặc biệt, thí dụ nh khi nghiên cứu
sự truyền sóng.
1.2.2. Phơng pháp Ơle.
Theo phơng pháp này, ngời ta nghiên cứu những yếu tố thủy lực của các phần
tử chất lỏng tại từng điểm cố định của không gian.
Thí dụ: ta chọn một điểm cố định trong không gian có toạ độ x, y, z
- ở thời điểm t
1
có phần tử A đi qua điểm ấy với u
A
, p

A
,

A
.
- ở thời điểm t
2
có phần tử B đi qua điểm ấy với u
B
, p
B
,

B
.
Từ đó ta có thể xác định:
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
16
Hình 1
u = f
1
(x, y, z, t)
p = f
2
(x, y, z, t)

= f
3
(x, y, z, t)
trong đó : x, y, z, t gọi là những biến số Ơle.

Trong trờng hợp chuyển động ổn định, các yếu tố chuyển động chỉ là hàm số
của tọa độ :
u = f
1
(x, y, z)
p = f
2
(x, y, z)

= f
3
(x, y, z)
Phơng pháp Ơle có nhiều thuận lợi hơn phơng pháp Lagrăng, nên đợc áp dụng
rộng rãi hơn.
1.3. Định nghĩa cơ bản.
1.3.1. Định nghĩa về đờng dòng.
Trớc khi định nghĩa về đờng dòng ta khảo sát lại khái niệm quen thuộc đó là
quỹ đạo. Quỹ đạo là đờng đi của một phần tử chất lỏng trong không gian. Khái niệm
này ta quen thuộc trong vật lý, cơ học
Đờng dòng là đờng cong tại một thời điểm
cho trớc, đi qua các phần tử chất lỏng có vectơ lu
tốc là những tiếp tuyến của đờng ấy.
Có thể vẽ đờng dòng trong môi trờng chất
lỏng nh sau: tại một thời điểm t phần tử M có tốc
độ u, cũng ở thời điểm đó, phần tử chất lỏng M
1
ở sát cạnh phần tử M và nằm trên véctơ u, có tốc
độ u
1
, tơng tự cũng ở thời điểm trên ta cũng có

M
2
và u
2
M
i
và u
i
. Đờng cong C đi qua các
điểm M
1
, M
2
M
i
lấy tốc độ u
1
, u
2
u
i
làm
tiếp tuyến chính là một đờng dòng ở thời điểm t (Hình 1).
Do vận tốc có thể thay đổi đối với thời gian, nên khái niệm đờng dòng có liên
quan chặt chẽ đến thời gian, ứng với những thời điểm khác nhau ta có những đờng
dòng khác nhau.
Theo định nghĩa về đờng dòng ta thấy hai đờng dòng không thể giao nhau
hoặc tiếp xúc nhau. Trong chuyển động ổn định, vì các yếu tố chuyển động không
thay đổi theo thời gian nên đờng dòng đồng thời lại là quỹ đạo của những phần tử
chất lỏng trên đờng dòng ấy.

1.3.2. Dòng nguyên tố và dòng chảy
Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đờng cong kín
giới hạn một diện tích vô cùng nhỏ d

, tất cả các đờng dòng đi qua các điểm trên đ-
ờng cong kín đó tạo thành một mặt có dạng ống gọi là ống dòng(Hình 2). Khối lợng
chất lỏng chuyển động ở trong không gian giới hạn bởi ống dòng gọi dòng nguyên
tố (Hình 3).

Hình 2 Hình 3
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
17
Hình 4
Do tính chất không giao nhau của những đờng dòng, chất lỏng không thể
xuyên qua ống dòng mà đi ra hoặc đi vào dòng nguyên tố.
Trong không gian chứa đầy chất lỏng chuyển động, ta lấy một đờng cong kín
giới hạn bởi một diện tích

hữu hạn bao gồm vô số diện tích d

vô cùng nhỏ, tạo
nên vô số dòng nguyên tố. Tập hợp những dòng nguyên tố đó gọi là dòng chảy. Môi
trờng chất lỏng chuyển động có thể coi là môi trờng liên tục bao gồm vô số dòng
nguyên tố, tức là môi trờng đó có thể coi là môi trờng liên tục bao gồm vô số dòng
nguyên tố, môi trờng đó gọi là một dòng chảy.
Nghiên cứu tính chất động học và động lực học của chất lỏng chuyển động, ta
có thể dùng hai mẫu chuyển động nh sau:
a/ Môi trờng chất lỏng chuyển động coi nh tập hợp vô số dòng nguyên tố;
nghiên cứu theo mẫu này, ta dễ dàng đi đến công thức tính toán cho dòng chảy có
kích thớc hữu hạn. Đó là bài toán một thứ nguyên (còn gọi là bài toán một chiều) và

cũng là phơng pháp thờng dùng để suy ra những công thức tính toán.
b/ Môi trờng chất lỏng chuyển động coi nh là tập hợp vô số phần tử chất
lỏng. Nghiên cứu mẫu này, ta thờng đi đến những phơng trình vi phân, nhng khó
tích phân để đi đến những công thức tính toán cho dòng chảy thực tế, có kích thớc
cụ thể. Đó là bài toán ba chiều. Phơng pháp này có ý nghĩa rất lớn về mặt lý thuyết
cũng nh về phơng pháp nghiên cứu.
1.3.3. Những yếu tố thuỷ lực của dòng chảy
a/ Mặt cắt ớt:


Mặt cắt thẳng góc với tất cả các đờng dòng
gọi là mặt cắt ớt hay mặt ớt; mặt cắt ớt có thể là
phẳng khi các đờng dòng là những đờng thẳng song
song, và có thể cong khi các đờng dòng không song
song (Hình 4).
Trên mặt cắt ớt của toàn dòng chảy, vận tốc
của các điểm không bằng nhau (vì các dòng nguyên
tố có vận tốc khác nhau trên mặt cắt ớt).
b/ Chu vi ớt:


Chu vi ớt là bề dài của phần tiếp xúc giữa chất
lỏng và thành rắn (Hình 5 và 6).

Hình 5 Hình 6
c/ Bán kính thủy lực: R
Là tỉ số giữa diện tích mặt cắt ớt và chu vi ớt :

=R
(3-1)
d/ Lu lợng: Q, dQ
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
18
Lu lợng thể tích là thể tích chất lỏng đi qua một mặt cắt ớt nào đó trong một
đơn vị thời gian.
Nếu diện tích phẳng d

lại là mặt cắt ớt của một dòng nguyên tố thì rõ ràng l-
u tốc điểm u trên mặt cắt ớt phải thẳng góc với mặt đó. Vậy lu lợng nguyên tố dQ
của dòng nguyên tố bằng:
dQ = ud

(3-2)
Lu lợng của toàn dòng chảy là tổng số các lu lợng nguyên tố trên mặt cắt ớt
của toàn dòng:

==


uddQQ
(3-3)
e/ Lu tốc trung bình :
Lu tốc trung bình của dòng chảy tại mặt cắt là
tỷ số lu lợng Q đối với diện tích

của mặt cắt ớt đó,
ký hiệu bằng v, đơn vị đo bằng m/s, cm/s:

Q
v =
(3-4)
hay :





=
ud
v

(3-5)
Hình 7
Nh vậy lu lợng bằng thể tích hình trụ có đáy là mặt cắt ớt, có chiều cao bằng lu
tốc trung bình mặt cắt ớt.
2. PHƯƠNG TRìNH LIÊN TụC CủA DòNG CHảY ổN ĐịNH
2.1. Phơng trình liên tục của dòng nguyên tố và của toàn dòng chảy.
Chất lỏng chuyển động một cách liên tục, nghĩa là trong môi trờng chất lỏng
chuyển động không hình thành những vùng không gian trống không, không chứa
chất lỏng. Tính chất liên tục đó có thể biểu thị bởi biểu thức toán học gọi là phơng
trình liên tục.
Trên một dòng nguyên tố ta lấy hai mặt cắt AA và BB có diện tích tơng ứng là
1

d
và
2

d
với lu tốc tơng ứng u
1
và u
2
.
Sau thời gian dt, thể tích chất lỏng ở trong dòng nguyên tố giới hạn bởi hai
mặt cắt AA và BB có vị trí mới là thể tích của dòng giới hạn bởi hai mặt cắt A'A' và
B'B'. Ngoài ra trong chuyển động ổn định, hình dạng của dòng nguyên tố không
thay đổi theo thời gian, đồng thời chất lỏng không xuyên qua ống dòng mà đi ra hay
đi vào dòng nguyên tố.
Trong dòng nguyên tố không có chỗ trống, đối với chất lỏng không nén đợc
thì thể tích chất lỏng trong đoạn dòng nguyên tố giới hạn bởi hai mặt cắt ớt AA và
BB phải là một trị hằng số không đổi, tức là:
W[AA,BB] = W[A'A', B'B' ]
Hay:
W
AA
= W
BB
(vì đoạn giữa hai mặt cắt A A và BB là chung)
Do đó:
u
1
d
1

dt = u
2

d
2

dt
Nên :
u
1
d
1

= u
2
d
2

(3-6)
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
19
Hình 8

Phơng trình (3-6) là phơng trình liên tục của dòng nguyên tố. Theo (3-2) biểu
thức (3-6) viết thành:
dQ
1
=dQ
2
hoặc :
dQ = const. (3-7)
Chú ý rằng trong phơng trình (3-6) không có yếu tố lực nên nó đúng cho cả
chất lỏng lý tởng lẫn chất lỏng thực.

Từ phơng trình liên tục (3-6) của dòng nguyên tố ổn định, ta suy ra phơng
trình liên tục cho toàn dòng chảy ổn định. Ta tích phân phơng trình (3-6) cho toàn
mặt cắt

:

=


2211
dudu
(3-8)
Theo (3-5) có thể dựa vào lu tốc trung bình mặt cắt ớt v
1
và v
2
tơng ứng với
mặt cắt ớt
1

và
2

, do đó phơng trình (3-8) viết thành:
v
1

1

= v

2

2

(3-9)
Đó là phơng trình liên tục của toàn dòng chảy ổn định của chất lỏng không
nén đợc. Nó đúng cho cả chất lỏng lý tởng và chất lỏng thực tế. Từ công thức (3-4)
có thể biến đổi (3-8) thành:
Q
1
= Q
2

Hay:
Q = const (3-10)
2.2. Phơng trình vi phân liên tục của dòng chảy ổn định.
Trong không gian chứa đầy chất lỏng
không nén đợc đang chuyển động, ta lấy
một hình hộp ABCDEFGH có vị trí cố
định, các cạnh của hình hộp là dx, dy, dz.
Trọng tâm của hình hộp đó là A, có tọa độ
là x, y, z ; lu tốc tại A ở thời điểm t là u, có
hình chiếu u
x
, u
y
, u
z
; khối lợng riêng chất
lỏng là

= const. Ta xác định khối lợng
chất lỏng chuyển động đi vào và đi ra đối
với hình hộp đó trong thời gian dt.
Hình 9
Với những mặt ADHE và BCGF, vận tốc theo trục x là:
2
dx
x
u
u
x
x



và
2
dx
x
u
u
x
x


+
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
20
Trong thời gian dt, khối lợng chất lỏng chảy vào mặt ADHE là:

dydzdt
dx
x
u
u
x
x









2

Và khối lợng chất lỏng chảy ra khỏi mặt BCGF là:
dydzdt
dx
x
u
u
x
x

+
2

Nh vậy trong thời gian dt, khối lợng chất lỏng ra vào hình hộp theo phơng x
chênh nhau một đại lợng:
dydzdt
x
u
dydzdt
dx
x
u
udydzdt
dx
x
u
u
xx
x
x
x


=

+










22
(3-11)
Cũng suy luận tơng tự, đối với các mặt khác của hình hộp, ta viết đợc:
- Theo phơng y:
dxdydzdt
y
u
y

- Theo phơng z :
dxdydzdt
z
u
z




Trong thời gian dt, khối lợng chất lỏng chảy qua hình hộp thể tích dxdydz có
chịu một sự biến đổi dM bằng tổng số các độ chênh khối lợng theo các phơng:
=








= dxdydzdt
z
u
dxdydzdt
y
u
dxdydzdt
x
u
dM

z
y
x











+


+


=
z
u
y
u
x
u
dxdydzdt
z
y

x

(3-12)
Chất lỏng liên tục, có nghĩa là trong hình hộp không có không gian trống
không, không chứa chất lỏng. Muốn vậy, trong trờng hợp chất lỏng không nén đợc,
sự thay đổi khối lợng chất lỏng trong hình hộp phải bằng không tức là:
dM = 0
Vì

= const, do đó dM = 0.
Nên:

0=


+


+


z
u
y
u
x
u
z
y
x

(3-13)
Đó là phơng trình vi phân liên tục của chất lỏng không nén đợc. Và có thể
viết:
0)( =udiv

(3-13' )
Phơng trình vi phân liên tục này cũng nh phơng trình liên tục viết cho dòng
nguyên tố là một phơng trình động học, vì vậy nó đúng cho cả chất lỏng lý tởng và
chất lỏng thực.
Phơng trình liên tục thể hiện: thể tích của chất lỏng không nén đợc chảy vào
hình hộp trong thời gian dt bằng thể tích chất lỏng chảy ra khỏi hình hộp. Phơng
trình đó cũng có nghĩa là khối lợng chất lỏng vào hình hộp bằng khối lợng chất lỏng
chảy ra khỏi hình hộp, tức là khối lợng chất lỏng ở trong hình hộp là hằng số, do đó
phơng trình liên tục là biểu thức của một trong những quy luật vật lý quan trọng
nhất, đó là định luật bảo toàn khối lợng.
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
21
3. PHƯƠNG TRìNH năng lợng BECNUlY CủA DòNG CHấT LỏNG CHảY ổN
ĐịNH.
3.1. Phơng trình Becnuly của dòng chất lỏng lý tởng chảy ổn định
3.1.1. Phơng trình vi phân chuyển động của một đơn vị khối lợng chất lỏng.
Ta lấy trong môi trờng chất lỏng chuyển động một khối chất lỏng hình hộp
ABCDEFGH vô cùng nhỏ, có cạnh song song với những trục tọa độ và dài dx, dy, và
dz khối lợng riêng

. Hình hộp đó chịu tác dụng của những lực sau đây:
a/ Lực khối lợng F (thể tích) gọi là lực khối lợng của chất lỏng, nó có hình
chiếu là X, Y, Z. Khối lợng của hình hộp chất lỏng là m =

dxdydz. Nh vậy hình

chiếu lên trục tọa độ Ox là lực khối lợng là X

dxdydz.
b/ Lực bề mặt tức áp lực thủy động tác dụng lên những mặt của hình hộp và tỷ
lệ với diện tích những mặt đó. Gọi p là động áp suất tại trọng tâm M của hình hộp,
tọa độ M là x, y, z. Vậy theo phơng Ox áp suất thủy động tại những mặt trái và phải
của hình hộp là:
2
dx
x
p
p



và
2
dx
x
p
p


+

Hình chiếu lên trục Ox của tổng hợp những lực bề mặt đó là:
dxdydz
x
p
dydz

dx
x
p
pdydz
dx
x
p
p


=








+









22

(3-14)
Tổng số đại số những hình chiếu lên trục x của các lực tác dụng lên hình hộp
phải bằng tích số của khối lợng hình hộp nhân với hình chiếu gia tốc chuyển động
của trọng tâm, tức là phải bằng:
dt
du
dxdydz
x

.
Vậy ta có:
dt
du
dxdydzdxdydz
x
p
dxdydzX
x

=



(3-15)
Sau khi thu gọn :
dt
du
x
p

F
x
x
=




1
(3-15)
Tơng tự đối với các trục Oy, Oz ta đợc hệ:









=



=



=

dt
du
z
p
F
dt
du
y
p
F
dt
du
x
p
F
z
z
y
y
x
x



1
1
1
(3-16)

Viết dới dạng vector:
dt
Ud
gradpF


=

1
(3-16)
Hệ phơng trình vi phân (3-16) này do Ơle đề ra năm 1755 và gọi là hệ phơng
trình vi phân chuyển động Ơle của chất lỏng lý tởng.
Nếu chiếu lên tiếp tuyến đờng dòng, ta có thể biểu thị phơng trình Ơle nh sau:
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
22
dt
Ud
gradpF
s


=

1
(3-17)
Trong đó : F
s
là hình chiếu của lực khối lợng F lên tiếp tuyến của đờng dòng.
Phơng trình Ơle nói trên dùng cho cả chất lỏng và chất khí. Đối với chất lỏng
thì

là hằng số, đối với chất khí thì

có thể biến đổi. Phơng trình Ơle đó dùng cho
cả chuyển động ổn định và không ổn định.
Nếu chất lỏng ở trạng thái tĩnh, vế bên phải hệ phơng trình Ơle sẽ bằng không
và những phơng trình ấy có dạng của phơng trình Ơle ta đã chứng minh trong phần
thủy tĩnh học mà ta gọi là phơng trình vi phân cân bằng của Ơle.
Nếu phần tử chất lỏng chuyển động thẳng, thí dụ theo phơng x tức là u= u
x
, u
y
= u
z
= 0 thì trên mặt thẳng góc với phơng chảy, áp lực phân bố theo quy luật thủy
tĩnh, vì:
0
1
=



y
p
F
y

và
0
1

=



z
p
F
z


Đó là đặc tính của dòng chảy có các đờng dòng thẳng, song song. Dòng chảy
đổi dần cũng coi nh có đặc tính này.
3.1.2. Phơng trình Becnuly suy ra từ phơng trình vi phân chuyển động.
Đối với chất lỏng không nén đợc ta có thể xác định các yếu tố chuyển động p,
u
x
, u
y
, u
z
, bằng các phơng trình vi phân chuyển động Ơle (3-16). Kết hợp với phơng
trình liên tục (3-13). Nhng việc giải hệ phơng trình đó rất phức tạp.
Để giải các bài toán kỹ thuật thông tờng liên quan đến dòng chảy ổn định, chất
lỏng không nén đợc, lực khối tác dụng là trọng lực, ta có thể suy ra từ hệ phơng
trình vi phân chuyển động Ơle một phơng trình đơn giản hơn, gọi là phơng trình
Becnuly, hay còn gọi là phơng trình năng lợng, dùng tơng đối thuận tiện trong các
bài toán kỹ thuật.
Ta nhân lần lợt hai vế của hệ phơng trình (3-16) với dx,dy,dz và cộng lại, sẽ đ-
ợc :
=

+


+


++ dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
ZdzYdyXdx

1

dz

dt
du
dy
dt
du
dx
dt
du
z
y
x
++=
(3-18)
Vì lực khối chỉ có trọng lực nên X = Y = 0, Z = -g. Mặt khác, do giả thiết
chuyển động ổn định nên p = f(x,y,z), tức là:
dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
dp


+

+


=

Vế phải của phơng trình có thể biến đổi thành:








=++
2
2
u
dduuduuduu
zzyyxx
Thay các kết quả trên đây vào phơng trình (3-18):








=

2
1
2
u
ddpgdz

0
2
1
2
=








++
u
ddpgdz

(3-19)
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
23
Các phơng trình vi phân chuyển động Ơle, phơng trình (3-18) và (3-19) đều
tính cho một đơn vị khối lợng chất lỏng; vì vậy, nếu ta chia phơng trình (3-19) cho
gia tốc g, ta sẽ đợc phơng trình tính cho một đơn vị trọng lợng chất lỏng:
0

2
1
2
=








++
g
u
ddpdz

(3-19)
Tích phân phơng trình (3-19) ta sẽ đợc:
const
g
up
z =++
2
2

(3-20)
Phơng trình (3-20) do Đanien Becnuly lập ra năm 1738 (bằng phơng pháp áp
dụng định luật động năng vào một dòng nguyên tố), vì vậy nên đợc gọi là phơng
trình Becnuly. Đó là phơng trình cơ bản của thuỷ khí động lực học, thờng đợc dùng

để giải các bài toán kỹ thuậ có liên quan đến chuyển động ổn định, chất lỏng lý t-
ởng(hoặc chất khí không bị nén), lực khối là trọng lực.
Phơng trình Becnuly còn gọi là là phơng trình năng lợng vì nó là một dạng của
định luật bảo toàn năng lợng.
3.1.3. Phơng trình Becnuly suy ra từ định luật động năng:
Sự biến thiên động năng của một khối l-
ợng nhất định khi nó di động trên một
quảng đờng, bằng công của các lực tác
dụng lên khối lợng đó, cũng trên quảng
đờng đó .
Trong dòng chảy ổn định của chất
lỏng lý tởng(Hình 10), tại thời điểm t ta
xét một đoạn dòng nguyên tố giới hạn
bởi mặt cắt 1-1 và 2-2 có diện tích mặt
cắt ớt tơng ứng
1


và
2


.
Hình 10
Ta cũng chọn trục chuẩn nằm ngang Ox; nh vậy mặt cắt 1-1 có trọng tâm ở độ
cao z
1
đối với trục chuẩn, áp suất thủy động lên mặt cắt đó là p
1
lu tốc là u

1
; mặt cắt
2-2 có trọng tâm ở độ cao z
2
đối với trục chuẩn, áp suất thủy động lên mặt cắt đó là
p
2
lu tốc là u
2
.
Sau một thời gian vô cùng nhỏ
t

, các phần tử chất lỏng của mặt cắt ớt 1-1 đã
di động đợc một quãng đến vị trí 1'- 1', độ dài
1
s
của quãng đờng đó bằng:
1
s
=
tu
1

Cũng trong thời gian vô cùng nhỏ

t, các phần tử chất lỏng của mặt cắt ớt 2-
2 đã di động đợc một quãng đến vị trí 2'-2', độ dài
2
s

của quãng đờng đó bằng:
2
s
=
tu
2
Lu lợng đi qua mặt cắt ớt 1-1 và 2-2 bằng:
2211

== uudQ

Không gian giữa 1-1 và 2-2 có thể chia làm 3 khu vực: a, b, c; khối lợng chất
lỏng chứa trong vùng a và c bằng:
tusm ==
11111

tusm ==
22222

Vậy:
tdQmm ==

21
Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
24
Trong thời gian
t
, sự biến thiên động năng

E

đ
của đoạn dòng nguyên tố
đang xét bằng hiệu số động năng của khu c và a, vì động năng của khu b không đổi:
2222
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
11
2
22
uu
tdQ
g
u
tdQ
u
tdQumumE
d

===

Ta tính đến công của lực ngoài tác dụng lên khối lợng của đoạn dòng nguyên
tố đang xét. Các lực ngoài gồm trọng lực và áp lực thủy động.
Công sinh ra bởi trọng lực, theo cách phân tích các hiện tợng ở trên, chính
bằng công của trọng lợng khối chất lỏng khu a di chuyển đến khu c, tức từ cao độ z
1
đến cao độ z
2
, tức là:
tdQzztgdQzzgmzgmzE
g
===

)()(
21212211
áp lực thủy động tác dụng lên đoạn dòng nguyên tố đang xét gồm lực:

111

= pP
, hớng thẳng góc vào mặt cắt ớt 1-1

222

= pP
, hớng thẳng góc vào mặt cắt ớt 2-2
Còn các lực bên hớng thẳng góc với phơng chuyển động nên không sinh ra
công; công sinh ra bởi áp lực P
1

và P
2
bằng:
21 ppp
EEE =
tdQptupspE
p
===
11111111

tdQptupspE
p
===
22222222


Theo định luật động năng bảo toàn động năng, ta viết đợc:

gpd
EEE +=
Do đó:
tppdQzztdQ
uu
tdQ
g
+=

)()(
2
2121
2
1
2
2


Chia cả hai vế cho
tdQ

ta đợc phơng trình động năng viết cho một đơn vị
trọng lợng chất lỏng :

( )

21
21
2
1
2
2
2
pp

zz
g
uu
+=











Vậy:

g
up
z
g
up
z
22
2
22
2
2
11
1

++=++

(3-20')
Vì các mặt cắt 1-1 và 2-2 của dòng nguyên tố là tùy ý chọn, nên phơng trình
(3-20) có thể viết dới dạng:
const
g
up
z =++
2
2

(3-20)
3.2. Phơng trình Becnuly của dòng chất lỏng thực chảy ổn định.
3.2.1. Phơng trình Becnuly của dòng nguyên tố chất lỏng thực chảy ổn
định.
Chất lỏng thực có tính nhớt và khi nó chuyển động thì sinh ra sức ma sát trong,
làm cản trở chuyển động. Muốn khắc phục sức cản đó, chất lỏng phải tiêu hao một
phần cơ năng biến thành nhiệt năng mất đi không lấy lại đợc. Vì vậy năng lợng của
chất lỏng thực giảm dọc theo dòng chảy, tức là:
const
g
up
z ++
2
2

Trờng Đại học công nghiệp hà nội đề cơng cơ sở kỹ thuật thủy khí
25