De va dap an thi HSG Vinh Phuc 2016 lop 11

<span class='text_page_counter'>(1)</span>SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC. KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10,11 THPT NĂM HỌC 2015-2016. ĐỀ CHÍNH THỨC. ĐỀ THI MÔN: TOÁN 11 - THPT Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.. x 3  sin x  1  tan x.tan   tan x  2 3  2 . 2 cos x  Câu 1 (2,0 điểm). Giải phương trình Câu 2 (1,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân 3 2 biệt lập thành một cấp số nhân: x  7 x  (m  6) x  m 0.. S Câu 3 (1,0 điểm). Tính tổng. 1 1 1  2   2  2 A2 A3 A2016. Câu 4 (1,0 điểm). Người ta dùng 18 cuốn sách bao gồm 7 cuốn sách Toán, 6 cuốn sách Lý và 5 cuốn sách Hóa (các cuốn sách cùng loại thì giống nhau) để làm phần thưởng cho 9 học sinh A, B, C , D, E , F , G , H , I , mỗi học sinh nhận được 2 cuốn sách khác thể loại (không tính thứ tự các cuốn sách). Tính xác suất để hai học sinh A và B nhận được phần thưởng giống nhau. Câu 5 (1,0 điểm). Cho dãy số a) Chứng minh rằng dãy.  xn .  xn . 2 được xác định bởi: x1 2016, xn1  xn  xn  1, n 1, 2,3,.... tăng và lim xn .. 1 1 1 yn 2016    ...   . xn   x1 x2 b) Với mỗi số nguyên dương n , đặt Tính lim yn . Câu 6 (2,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA vuông góc ABCD  với mặt phẳng  . Biết AB a, BC a 3 và SD a 5. a) Đường thẳng qua A vuông góc với AC cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I , J . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên SC . Hãy xác định các giao điểm K , L của SB, SD với  HIJ  và chứng minh rằng AK   SBC  . b) Tính diện tích tứ giác AKHL. Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A , M là 7  K   3;  3  là trọng tâm tam giác ACM . trung điểm của AB . Đường thẳng CM : y  3 0 và  D 1; 4 Đường thẳng AB đi qua điểm   . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC , biết điểm M có hoành độ dương và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thuộc đường thẳng 2 x  y  4 0. Câu 8 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn điều kiện xyz 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức. . . P  xy  yz  zx  15 x 2  y 2  z 2  7  x  y  z   1 ------Hết------. ..

<span class='text_page_counter'>(2)</span> Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………….………..…….…….….….; Số báo danh………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC. KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10, 11 THPT NĂM HỌC 2015-2016 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN 11 - THPT. (Đáp án có 04 trang). I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Câu 6 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không cho điểm. II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 1 (2,0 điểm) x cos x.cos 0 2 ĐKXĐ: . Phương trình đã cho tương đương x x  0,5  cos x.cos 2  sin x.sin 2  2 sin x    tan x  2 3  3  3 tan x x   cos x.cos  2  sin x   tan x  2 3  3  3 tan 2 x 0,25 cosx 1 tan x  . 0,5 2  3 tan x  2 tan x  3 0  tan x  3 hoặc 3.  tan x  3  x   k . 3 1  tan x   x   k . 6 3. 2.   x   k ; x   k , k  . 3 6 Kiểm tra ĐK thỏa mãn. Vậy nghiệm của PT là (1,0 điểm) Phương trình đã cho tương đương  x 1 ( x  1)( x 2  6 x  m) 0   2  x  6 x  m 0 (1). 0,25 0,25 0,25. 0,25. Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (1) có hai nghiệm phân biệt  ' 9  m  0 m  9  2 1  6.1  m 0 m 5 (*). khác 1, hay:  Khi đó, PT đã cho có ba nghiệm x1 , x2 và x3 1 , trong đó x1 , x2 là nghiệm của (1).  x1  x2 6  x .x m Theo định lý Viet ta có  1 2 (2). Xét các trường hợp sau: 2 2. 2 2. *) Nếu x1.x3  x  x1  x (3). Từ (2) và (3) ta có hệ:. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>  x1  x2 6   x1.x2 m   2  x1  x2.  x22  x2  6 0  2   x1  x2  3  m  x2.  x2 2; x1 4; m 8  x  3; x 9; m  27  2 1. m 1   x1  x2 6  x .x 1  1 2. 0,25. 2 *) Nếu x1.x2 x3  x1.x2 1 (4). Từ (2) và (4) ta có hệ: Vậy, có ba giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là: m 1, m 8, m  27 .. 3. (1,0 điểm). Ta có. Ak2 . k! 1 1  2  , k 2. (k  2)! Ak k (k  1). 0,25. 1 1 1   . 2 Suy ra Ak k  1 k. 4. 0,25. Cho k 2,3,..., 2016 ta được 1 2015 S 1   . 2016 2016 Vậy (1,0 điểm) Gọi. x, y, z ( x, y, z Î ¥ ). S 1 . 1 1 1 1 1      . 2 2 3 2015 2016. 0,25 0,25. lần lượt là số học sinh được nhận các bộ giải thưởng (Toán-Lý);. ïìï x + y = 7 ï í x+z =6 Û ïï ï y +z =5 (Toán-Hóa) và (Lý-Hóa). Ta có hệ: îï. ïìï x = 4 ï í y =3 ïï ïîï z = 2 .. 0,25. 4 3 2 Số cách phát thưởng ngẫu nhiên cho 9 học sinh là: C9 .C5 .C2 = 1260. Gọi T là biến cố “hai học sinh A và B có phần thưởng giống nhau”. 2 3 2 +) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Lý), có: C7 .C5 .C2 = 210 cách phát. 1 4 2 +) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Toán- Hóa) có: C7 .C6 .C2 =105 cách phát.. C 4 .C 3 = 35 +) Nếu A và B có phần thưởng là sách (Lý- Hóa) có: 7 3 cách phát. 210 +105 + 35 5 P(T ) = = . 1260 18 Vậy xác suất cầm tìm là 5. 0,25. 0,25. 0,25. a (0,5 điểm) 2. Ta có. xn 1  xn xn2  2 xn  1  xn  1 0  xn 1  xn , n 1.. Do đó.  xn . tăng.. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n rằng xn  n  1, n 1 (1). Thật vậy, (1) đúng với n 1 .Giả sử (1) đúng với n (n  1) thì xn 1  xn  xn  1  1  n( n 1)  1 n 2  n  1  n  2. Vậy (1) đúng với mọi n. Từ b (0,5 điểm) Ta có. xn+1 - 1 = xn ( xn - 1).  xn . 0,25. 0,25. tăng ngặt và xn  n  1, n 1 suy ra lim xn .. . Suy ra. 1 1 1 1 = = . xn+1 - 1 xn ( xn - 1) xn - 1 xn. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> 1 1 1 = . x x 1 x 1 n n n + 1 Từ đó 1 1  1  1 1 1  1  yn 2016    ...   2016     2016   xn   x1 x2  x1  1 xn 1  1   2015 xn 1  1 . Do đó. 6. 1 2016 lim xn   lim 0 lim yn  . x n 2015 Từ . Vậy a(1,0 điểm).. ( SBC ) gọi K = SB Ç IH Þ K = SB Ç ( HIJ ) ( SCD) gọi L = SD Ç JH Þ L = SD Ç ( HIJ ) Trong Trong. 0,5. ìïï IJ ^ AC Þ IJ ^ ( SAC ) Þ IJ ^ SC í ïïî IJ ^ SA SC ^ ( IJH ) . Ta có , mà AH ^ SC . Suy ra BC ^ ( SAB ) Þ BC ^ AK AK ^ ( SBC ) . Suy ra AK ^ SC . Mà . Vậy b(1,0 điểm). SA. AC 2a SA. AB 2a AH = = AK = = 2 2 3; 6 SA2 + AC 2 SA2 + AB 2 Ta có SA = SD - AD = a 2 ; Do. AK ^ ( SBC ) Þ AK ^ KH. Tương tự phần (a) thì. 7. KH = AH 2 - AK 2 =. , do đó AL ^ ( SCD) Þ AL ^ HL. S AKHL = S AKH + S ALH Suy ra (1,0 điểm).. 0,25. 2a 6.. . Từ đó tính được a 2 LH = AH 2 - AL2 = . 15 1 1 8a 2 = AK .KH + AL.LH = . 2 2 15. 0,25 0,25. 0,25 0,25. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Trước hết ta chứng minh MC ^ IK . Thật vậy, gọi H , N lần lượt là trung điểm BC , AC ; G = AH Ç CM . Suy ra G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt khác K là trọng tâm tam giác ACM nên KG || HE . Suy ra 0,25 KG || AB . Mà IM ^ AB nên KG ^ IM . Rõ ràng AH ^ MK nên G là trực tâm tam giác MIK . Suy ra MC ^ IK . Đường thẳng KI qua K và vuông góc với CM nên có phương trình: x + 3 = 0. ìïï x + 3 = 0 ìï x =- 3 Û ïí Þ I ( - 3; - 2) . í ï ï Tọa độ I thỏa mãn hệ îï 2 x - y + 4 = 0 îï y =- 2 uuuu r uuu r DM = ( m - 1; - 1) ; IM = ( m + 3;5) . M ( m;3) Î MC , m > 0. Gọi Ta có uuuu r uuur ém =- 4 (l ) DM ^ IM Û DM .IM = 0 Û ( m - 1) ( m + 3) - 5 = 0 Û m 2 + 2m - 8 = 0 Û ê ê ëm = 2 (tm) uuuur M ( 2;3) DM = ( 1; - 1) C ( c;3) Î CM Suy ra , . Từ đó suy ra AB : x + y - 5 = 0. Gọi .. 7  K   3;  3  là trọng tâm ACM nên A( - 11- c;1) . Mà A Î AB suy ra Do . 0,25. - 11- c +1- 5 = 0 Û c =- 15. A( 4;1) , B ( 0;5) , C ( - 15;3) . Từ đó Thử lại ta thấy AB ¹ AC . Suy ra không tồn tại A, B,C . 8. 0,25. 0,25. (1,0 điểm).. . . P  xy  ya  ax  15 x 2  y 2  a 2  7  x  y  a   1. xya  1 Đặt a  z thì và Xét hai trường hợp: * Nếu cả 3 số x, y, a đều âm. Áp dụng BĐT Côsi ta được xy + ya + ax ³ 3 3 x 2 y 2 a 2 = 3. 15 x 2 + y 2 + a 2 - 7 ( x + y + a ) ³ 15 3 3 x 2 y 2 a 2 + 7.3 3 - xya = 15 3 + 21 >16 Suy ra P > 48 +1 = 49. * Nếu trong 3 số x, y , a có một số âm, hai số dương. Không mất tổng quát, giả sử x < 0, y > 0, a > 0. Đặt x1 =- x > 0. Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được 3 x12 + y 2 + a 2 ³ 2 y + 2a + x1. .. 0,25. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> æ1 1 1 ÷ ö é5 ( 2 y + 2a + x1 ) - 7 ( y + a - x1 ) ù+1. P³ ç ç + + ÷ ÷ ë û ç x1 y a ÷ è ø Do đó 2 æ1 ö æ1 1 1 ö 1 1 ÷ ç ÷ P ³ 3ç + + ÷ .2 x1 + . y+ . a÷ +1 = 49. ç ÷ ÷( 4 x1 + y + a ) +1 ³ 3ç ç ç ÷ ÷ ç ÷ x y a èx1 y a ø è 1 ø. 0,25. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi y = a = 2 x1 > 0 và x1 ya = 1 hay 3 æ ö ç3 2, 3 2, 2 ÷ 2 ÷ x , y , z =ç . ( ) ÷ x =. ç ÷ ç 2 P = 49 è ø y = a = 3 2 và 2 Vậy min , chẳng hạn khi 3. -------Hết-------. 0,25.

<span class='text_page_counter'>(7)</span>