Toan tuoi tho 2 so 21

<span class='text_page_counter'>(1)</span>

<span class='text_page_counter'>(2)</span> l Kì. naøy :. Bạn chia được không ?. Hãy chia một đoạn thẳng cho trước thành hai đoạn thẳng tỉ. lÖ víi. n. 3 vµ 2  3.. KÕt qu¶ :. (TTT2 sè 19). Câu trả lời đúng là không điền được. Để có câu trả lời trên, các bạn đã khai thác nh÷ng yÕu tè kh¸c nhau cña bµi to¸n, ®­a ra nhiều cách giải. Theo hướng suy nghĩ quen thuộc, nhiều bạn đã xác định chặn trên, chặn dưới của tổng các số trong ba ô trßn trªn mçi ®o¹n th¼ng råi xÐt kh¸ dµi dßng tõng kh¶ n¨ng x¶y ra. Sau ®©y lµ hai c¸ch gi¶i ng¾n gän nhÊt. Trước hết, giả sử a, b, c, d, e, f, g, h, i, k là các số trong 10 ô tròn (hình vẽ) ; đôi một khác nhau ; nhận các giá trị từ 0 đến 9 và cã tæng lµ 45 (= 0 + 1 + 2 + 3 + ... + 9). C¸ch 1 : Theo gi¶ thiÕt ta cã. l. NguyÔn V¨n l¹c (phßng Gi¸o dôc Tiªn L·ng, H¶i Phßng). 1. a+d+b=d+g+e=d+i+f=c+h+k  4(a + d + b) = 2d + (a + b + c + d + e + f + g + h + i + k)  4(a + d + b) = 2d + 45 (*) §¼ng thøc (*) kh«ng thÓ x¶y ra v× vÕ tr¸i lu«n lµ sè ch½n cßn vÕ ph¶i lu«n lµ sè lÎ. VËy lµ kh«ng ®iÒn ®­îc. C¸ch 2 : Theo gi¶ thiÕt ta cã c+h+k=e+h+fc+k=e+f (1) e+g+d=b+g+ke+d=b+k (2) a+d+b=a+f+cd+b=f+c (3) Céng tõng vÕ cña (1) vµ (2) : e + d + c + +k=b+k+e+fd+c=b+f (4) Céng tõng vÕ cña (3) vµ (4) : d + c + d + b = b + f + f + c  d = f, tr¸i víi gi¶ thiÕt. VËy lµ kh«ng ®iÒn ®­îc. l Các bạn được thưởng kì này : Nguyễn thị Kim Oanh, 7/1, THCS Lª QuÝ §«n, TP. H¶i Dương ; Phạm Văn Tiến, 9A, THCS Xuân Trường, Xuân Trường, Nam Định ; Nguyễn Phương Đăng Toàn, 9D, THCS Thạch Thất, Th¹ch ThÊt, Hµ T©y ; NguyÔn ThÞ L©m Ngäc, 9C, THCS NguyÔn H÷u TiÕn, Duy Tiªn, Hµ Nam ; Lª Thïy Linh, 8A, THCS Ba §×nh, BØm S¬n, Thanh Hãa. Anh Compa.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> X„Y DúNG CHUåI B¡I TOŸN. T÷ B¡I TOŸN QUEN THUæC tô minh thương. (Giáo viên trường THCS Kỳ Tân, Kỳ Anh, Hà Tĩnh) Trong qu¸ tr×nh häc to¸n, viÖc t×m tßi, khai th¸c vµ më réng mét bµi to¸n quen thuéc lµ mét viÖc lµm cÇn thiÕt vµ h÷u Ých. Bài viết này trao đổi với bạn đọc một cách mở rộng bài toán qua việc thay đổi điều kiện cña bµi to¸n. Xin ®­îc b¾t ®Çu tõ bµi to¸n sau :  Bµi to¸n 1 : Cho tam gi¸c ABC cã A. nhän. Dùng vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABDE vµ ACMN. Chøng minh r»ng BN = CE vµ BN  CE.  nhän, ta vÏ ®­îc h×nh 1 Lêi gi¶i : Víi A. (phÇn h×nh mµu). DÔ thÊy ABN = AEC   ABN.  (c.g.c)  BN = CE vµ AEC. (tæng ba gãc trong mét tam gi¸c).   BGF   90o hay BN  CE. Suy ra FAE VËy BN = CE vµ BN  CE. NhËn xÐt : Bµi to¸n 1 kh¸ quen thuéc nh­ng khi “loay hoay” víi viÖc kÎ thªm c¸c hình phụ nhằm thay đổi điều kiện của bài toán, tôi đã phát hiện thêm được nhiều kết qu¶ thó vÞ. l Trước hết, khi vẽ thêm về phía ngoài của tam gi¸c ABC h×nh vu«ng BCPQ råi vÏ tiÕp h×nh b×nh hµnh CMKP, ta nhËn thÊy : ABC = CKM theo trường hợp c.g.c   CMK  (CM = CA ; BC = CP = MK ; ACB hai góc có cạnh tương ứng vuông góc)   MCK   CK = AB = AE vµ BAC.   EAB   MCK   ACM   ACK   CAE ,  BAC hai gãc nµy ë vÞ trÝ so le trong  AE // CK  tø gi¸c AECK lµ h×nh b×nh hµnh  AK // CE vµ AK = CE. Hoàn toàn tương tự, vẽ hình bình hành BDIQ ta cã AI // BN vµ AI = BN. Từ đó ta đề xuất được một bài toán mới.  Bµi to¸n 2 : Cho tam gi¸c ABC cã A. H×nh 1. MÆt kh¸c, gäi F lµ giao ®iÓm cña AB vµ CE ; G lµ giao ®iÓm cña BN vµ CE ta   BFG  (hai góc đối đỉnh) và cã EFA.   FAE   AEF   BFG   BGF   FBG   180o EFA. 2. nhän. Dùng vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ABC c¸c h×nh vu«ng ABDE, ACMN, BCPQ ; c¸c h×nh b×nh hµnh CMKP vµ BDIQ. Chøng minh r»ng AIK lµ tam gi¸c vu«ng c©n. l Bµi to¸n 2 cßn cã thÓ chøng minh b»ng c¸ch kh¸c vµ ta ch­a dõng l¹i ë kÕt qu¶ nµy. NÕu gäi O lµ t©m cña h×nh vu«ng BCPQ ta cã thÓ chøng minh ®­îc O lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng IK (chó ý OIQ = OKC). Nh­ 1 vËy AO  IK vµ AO  IK. 2.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> TiÕp tôc khai th¸c c¸c mèi liªn hÖ cña ®o¹n th¼ng IK víi c¸c ®o¹n th¼ng kh¸c ta thÊy KI // DM ; KI = DM ; DM // O 1O2 ;. DM = 2O1O2  KI // O1O2 ; KI = 2O1O2 (O1, O2 lần lượt là tâm của các hình vu«ng ABDE, ACMN - h×nh 2)  AO  O1O2 vµ AO = O1O2. (*).. H×nh 2. Thay đổi điều kiện của bài toán 2 (bỏ đi c¸c chi tiÕt gîi ý cho kÕt qu¶ (*), ta cã mét bµi to¸n kh«ng dÔ.  Bµi to¸n 3 : Cho tam gi¸c ABC cã A. nhän. Dùng vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c BOC, AO1B, AO2C. vuông cân lần lượt tại O, O1, O2. Chứng minh r»ng AO  O1O2 vµ AO = O1O2. Khi xem xÐt, t«i thÊy c¸c bµi to¸n trªn vÉn  vu«ng hoÆc tï, đúng cho các trường hợp A. tìm cách chứng minh lại bài này và đã thành c«ng khi sö dông kÕt qu¶ bµi to¸n 3. Bµi 5(13) : Cho h×nh thang ABCD cã AB song song vµ b»ng mét nöa CD. §iÓm M n»m ngoµi h×nh thang sao cho MH vu«ng gãc vµ b»ng mét phÇn t­ CD. Bªn ngoµi h×nh thang, ta dùng c¸c tam gi¸c ADE vµ BCF vu«ng c©n t¹i E vµ F. Chøng minh r»ng tam gi¸c MEF vu«ng c©n t¹i M. Hướng dẫn : Xét tam giác ADH, dựng vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ADH c¸c tam gi¸c vu«ng c©n AIH vµ DPH t¹i I vµ P ; h×nh ch÷ nhËt DHMK (h×nh 3). Theo bµi to¸n 3  bÊt k×) ta cã EH = PI vµ EH  PI. (víi A. H×nh 3 Các bạn hãy lần lượt chứng minh : - P lµ trung ®iÓm cña KM. - IPK = EHM  KI = EM vµ KI  EM. - KM // IF vµ KM = IF  KIFM lµ h×nh b×nh hµnh  KI // FM vµ KI = FM. Chóc c¸c b¹n thµnh c«ng h¬n khi ¸p dụng phương pháp trên để khai thác, mở réng nh÷ng bµi to¸n kh¸c.. l. đề nghị các bạn tự kiểm tra. Từ đó ta có thể ph¸t biÓu vµ chøng minh bµi to¸n sau. Bµi to¸n 4 : Cho tam gi¸c ABC. Dùng vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ABC c¸c tam giác vuông cân BOC, AO1B, AO2C lần lượt t¹i O, O1, O2. Chøng minh r»ng c¸c ®­êng thẳng AO, BO2, CO1 đồng quy. l §Õn ®©y t«i nhí l¹i bµi 5(13) vµ nghÜ r»ng nó có liên hệ với những kết quả trên. Tôi đã. 3.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> l Keát quaû :. (TTT2 sè 19). T¹i sao thõa nghiÖm ?. TÊt c¶ c¸c b¹n, thËm chÝ kh«ng cÇn thö l¹i c¸c gi¸ trÞ cña x còng ph¸t hiÖn ra ®iÓm mÊu chèt cña sai lÇm chÝnh lµ :. "Víi x  0 : x(x  2)  x(x  5)  x(x  3).  x  2  x  5  x  3 ".. l Kì naøy :. Ch× thÆ thái õ ? phan bÝch ngäc. (Giáo viên trường THCS Chu Văn An, Hương Khê, Hà Tĩnh). Bµi to¸n : Cho tam gi¸c ABC cã hai ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t nhau t¹i I. BiÕt r»ng ID = IE,  vµ BCA  .? t×m mèi liªn hÖ gi÷a sè ®o ABC Lêi gi¶i :. L­u ý r»ng : ab  a. b chØ khi a  0. và b  0. Do đó biến đổi trên chỉ thực hiÖn ®­îc víi ®iÒu kiÖn x  5. Bëi vËy 10 gi¸ trÞ x   ph¶i bÞ lo¹i vµ ®©y chÝnh lµ 3 nghiÖm “tõ trªn trêi r¬i xuèng” ! §Ó gi¶i đúng phương trình này chỉ cần xét riêng tõng kh¶ n¨ng x  5 ; x  -3. Víi x  -3 th× x(x  2)  x(x  5)  x(x  3).  x(2  x)  x(5  x)   x(  x  3).  2  x  5  x  x  3.  2  x  5  x  2 2  x. 5  x  x  3.  2 2  x. 5  x  x  10.. V× x  -3 nªn x  10  0  2 2  x. 5  x.. VÏ IH  AB ; IK  AC. V× I lµ giao ®iÓm cña hai ®­êng ph©n gi¸c BD, CE cña tam gi¸c ABC nªn  suy ra IH = IK. AI lµ ph©n gi¸c cña BAC, MÆt kh¸c, ID = IE nªn hai tam gi¸c vu«ng IHE   IDK.  vµ IDK b»ng nhau. Suy ra IEH.   ABC   BCE   ABC   1 ACB ; L¹i cã IEH 2   ACB   CBD   ACB   1 ABC  IDK 2 (tÝnh chÊt gãc ngoµi cña mét tam gi¸c).   1 ACB   ACB   1 ABC  Nªn ABC 2 2   ACB.   ABC. C¸c b¹n cã nhËn xÐt g× vÒ lêi gi¶i trªn kh«ng ?. 4. Do đó khả năng này cũng vô nghiệm. Tóm lại : Phương trình có đúng hai nghiÖm x = 0 vµ x = 6. Xin khen thưởng các bạn phân tích hay nhÊt : T« Ngäc T©m, 89, THCS Trưng Vương, TP. Pleiku, Gia Lai ; Võ Th¸i Th«ng, 9/4, THCS Ng« Gia Tù, Cam NghÜa, Cam Ranh, Kh¸nh Hßa ; Mai Th¶o HiÒn, 9A3, THCS thÞ trÊn Thanh Ba, Thanh Ba, Phó Thä ; NguyÔn Quèc Kh¶i, 9B, THCS H¶i HËu, H¶i HËu, Nam §Þnh ; Mai DiÖu Linh, 9G, THCS §Æng Thai Mai, TP. Vinh, NghÖ An ; TrÇn ThÞ Minh Hµ, 9B, THCS Thµnh C«ng, Hµ Néi. Anh kÝnh lóp.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> NH©n ngµy Nhµ gi¸o ViÖt Nam. v Kì naøy :. ViÕt tiÕp g× ®©y ?. Bµi 1 : §å dïng cña thÇy c« khi lªn líp. Gi¸o ¸n. Thước kẻ. Gi¸o khoa. ?. BiÕt ¬n. V©ng lêi. Tin tưởng. ?. Bµi 2 : §èi víi thÇy c«, chóng ta cÇn.... l KÕt. qu¶ :. (TTT2 sè 19). Bài 1 : Hệ đếm cơ số 2 : 1 ; 10 ; 11 ; 100 ; 101 ; 110 ; 111 ; 1000 ; 1001 ; 1010 ; ... Hệ đếm cơ số 10 : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; ... §Õn ®©y lµ râ kÕt qu¶ : 1001. B¹n T« Ngäc T©m, 8G, THCS Tr­ng Vương, Pleiku, Gia Lai có lời giải : Tho¹t nh×n nghÜ m·i vÉn kh«ng ra Nh­ng nghÜ kÜ l¹i dÔ thËt mµ D·y nµy lµ d·y kh«ng vµ mét Cña hÖ nhÞ ph©n thËt ®©y mµ Nếu ta đổi ra thập phân cả Lµ mét, ba, n¨m, b¶y kh«ng sai TiÕp theo ch¾c ch¾n ph¶i lµ chÝn §æi ra nhÞ ph©n ®­îc sè nµy : Mét - kh«ng - kh«ng - mét chÝnh lµ ®©y. Bµi 2 : B¹n NguyÔn M¹nh Dòng, sè nhµ 68B, tổ 13, phường Đề Thám, TP. Thái B×nh, Th¸i B×nh cã bµi gi¶i trùc quan, rÊt dÔ nhìn (đối xứng liên tiếp qua các trục) :. KÕt qu¶ trë l¹i ch÷ a. B¹n Lª Thanh Nguyªn, 8A6, THCS §éc LËp, TP. Th¸i Nguyªn, Th¸i Nguyªn cã bµi gi¶i : Cả bốn hình đều từ chữ a Chỉ có lộn, xoay, đảo thôi mà. 5. Hình tròn trái phải luôn thay đổi Móc thì cứ ngược để thách à BiÕn chuyÓn xoay quanh mét vßng mµ Vậy là đáp án không còn xa Ch÷ a ®Çu tiªn cho xuèng cuèi Bác Quang hãy thưởng cho cháu mà. Xin thưởng cho ba bạn trên và thưởng thªm cho : Lª Thuyªn, khèi 2, thÞ trÊn §øc Phæ, §øc Phæ, Qu¶ng Ng·i ; TrÇn V¨n Ngäc H­ng, 61, THCS Phan Thóc Duyªn, §iÖn Thä, §iÖn Bµn, Qu¶ng Nam ; NguyÔn DiÖu ThuÇn, 9A8, THCS TrÇn §¨ng Ninh, TP. Nam §Þnh, Nam §Þnh. Các bạn “gần” được thưởng : Đào Anh TuÊn, khu 36, th«n Héi Xuyªn, thÞ trÊn Gia Léc, Gia Léc ; Ph¹m Hång S¬n, mÑ lµ Nguyễn Thị Tĩnh, GV trường THPT Kim Thành, Hải Dương. nguyÔn ®¨ng quang.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> GIAÛI HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BẰ N G CÁ C H ĐÁ N H GIÁ CÁ C Ẩ N. trÞnh ngäc tó. (Thanh Oai, Hµ T©y) Hệ phương trình là một dạng toán thường gặp trong các kì thi của học sinh lớp 9. Có nhiều hệ phương trình khi giải trùc tiÕp sÏ rÊt phøc t¹p, thËm chÝ kh«ng giải được. Trong một số trường hợp như vậy, ta có thể tìm cách đánh giá giữa các ẩn hoặc giữa ẩn với một số, từ đó xác định nghiệm của hệ. Phương pháp này gọi là “phương pháp đánh giá các ẩn”. 1. §¸nh gi¸ gi÷a c¸c Èn Ví dụ 1 (đề thi vào khối chuyên Toán Tin, §HQG Hµ Néi n¨m 1996) :  1 1  2  2  y  x Giải hệ phương trình   1  2 1  2  y x  1 1 Lêi gi¶i : §iÒu kiÖn : x  ; y  . 2 2 Ta sÏ chøng minh x = y. ThËt vËy :. 1. 1 1 1  2  2  2 y y x x 1 4 1 1 1 4  2  4      2. y x x y x x  2. 1. Tương tự, VËy 1. x. . 1. y. y. 4. 2. . 4. x. x.  2. 4. y. 2 . 1. x. 2. 1. x. . 1. y. . 4. y.  2..  2  x  y. Ta cã : 2. x. 2 . 4. x. . 1. x. 1. 2. x. 6. . 1. x. 2. . 2 4 1 2 1   1 0 x x x2 x 2. 1 1     1  0   1  x  1. x x . Vậy nghiệm duy nhất của hệ phương tr×nh (tháa m·n ®iÒu kiÖn) lµ : x = y = 1. Ví dụ 2 (đề thi vào khối chuyên, ĐHSPHN năm 2004) : Tìm nghiệm dương của hệ. 2x 2004  y 6  z 6 (1)   2004  x 6  z 6 (2) 2y  2004  x 6  y 6 (3) 2z Lêi gi¶i : Ta sÏ chøng minh x = y = z. Do x, y, z cã vai trß nh­ nhau nªn kh«ng mÊt tæng qu¸t, gi¶ sö x  y vµ x  z. (4) V× x > 0, y > 0, z > 0 nªn : Tõ (1), (2), (4)  2x2004 = y6 + z6  x6 + z6 = 2y2004  2x2004  2y2004  x  y. (5) 2004 6 6 6 Tõ (1), (3), (4)  2x = y + z  y + x6 = 2z2004  2x2004  2z2004  x  z. (6) Tõ (4), (5), (6) suy ra x = y = z. Thay vµo (1) ta cã 2x2004 = x6 + x6 = 2x6 suy ra x = 1 (do x > 0). Vậy hệ có nghiệm dương duy nhất : x = y = z = 1. VÝ dô 3 : T×m a, b, c biÕt 4a - b2 = 4b - c2 = 4c - a2 = 1 (*) Lêi gi¶i : Ta thÊy ngay a > 0, b > 0, c > 0. Gi¶ sö a > b, tõ (*) ta cã : 4a - 4b = b2 - c2 > 0  b > c (>0) ; 4b - 4c = c2 - a2 > 0  c > a (>0)..

<span class='text_page_counter'>(8)</span>  b > c > a tr¸i víi gi¶ thiÕt a > b  a  b.. Tõ (2)  z . Tương tự như trên, nếu a < b thì cũng. dẫn đến điều vô lí. Vậy a = b, suy ra :.  z  1;. 4a - 4b = b2 - c2 = 0  b = c  a = b = c. Thay vµo (*) ta cã :. 4a -. b2. = 1  4a -. a2. =1. a2. Tõ (3)  x . - 4a + 1 = 0. ®­îc hai nghiÖm lµ 2  3. Vậy hệ phương trình (*) có hai nghiệm :. - a) =. - 1). (3).  x3  9y2  27y  27  0 x  y  1    3 2  yx  9z  27z  27  0 ;  y  z  1 ;  3  2  z  9x  27x  27  0  z  x  1. (a100 - a101)(1 - a) = (b100 - b101)(b - 1) NÕu a  1, do a > 0 suy ra :. (4).   x 2  2x  y y 20 2  11y  2005   x  2  z  y  2y  z ; 20 2  11z  2005 ;   y  z 2  2z  t   x 20   11x  2005  z 2  t 2  2t  x. a100.(1 - a)2 > 0  - b100.(1 - b)2 tr¸i víi (4)  a = 1  b = 1 (thay vµo (2), b >0). VËy P = 12004 + 12004 = 2.. Ví dụ 5 : Giải hệ phương trình.  x 5  x 4  2x 2 y  2 (1)   5 4 2  y  y  2y z  2 (2)  5 4 2  z  z  2z x  2 (3). Lêi gi¶i : Ta sÏ chøng minh x = 1. Nhận xét : x, y, z đều khác 0. Gi¶ sö x > 1 (4). 5 4 2x x 2 1 Tõ (1)  y    1 2 2 2x 2x x2  y  1;. 1. z2.  x 3 (y 2  3y  3)  3y 2  x  y  4z  1    3 2 2   y (z  3z  3)  3z ; y  z  4 x  1 ;  3 2 2 z  x  4y  1   z (x  3 x  3)  3x. Trõ (2) cho (3) theo tõng vÕ ta cã :.  a100.(1 - a)2 = - b100.(1 - b)2.. 2z. 1. Các bạn hãy thử giải các hệ phương. (2).  a100.(1 - a)2 = b100.(1 - b)(b - 1). . 2. 1. y2. tr×nh sau :. Lêi gi¶i : Ta sÏ chøng minh a = 1, b = 1, b101.(b. 2. 2y. 1. VËy hÖ cã nghiÖm duy nhÊt : x = y = z = 1.. từ đó tính được P. Thật vậy, từ (1) ta có : a101.(1. . . 2. 2y  2 y  1   2z  2 z  1. Ví dụ 4 (đề thi vào lớp 10 chuyên,. a100.(1 - a) = b100.(b - 1). 2z. 2. 2. Suy ra x = 1, thay vµo (1) vµ (2) ta cã :. 2. §¸nh gi¸ Èn víi mét sè. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P = a2004 + b2004.. 2  z5  z4. . Tương tự, x < 1 cũng dẫn đến điều vô lí.. a  b  c  2  3 ; a  b  c  2  3.. a100 + b100 = a101 + b101 = a102 + b102 (1).. 2y. 2.  x  1, m©u thuÉn víi (4).. Giải phương trình bậc hai ẩn a trên ta. §HQG Hµ Néi 2004) : BiÕt a > 0, b > 0 vµ. 2  y5  y 4. 2004(x 2  4)  2005  3y  2003   2 2004(y  4)  2005  3z  2003  2004(z 2  4)  2005  3x  2003. . Ghi chó : B¹n TrÞnh Ngäc Tó lµ häc. sinh lớp 9, mẹ là Trương Thị Đường, giáo viên trường TH Đồng Mai B, Thanh Oai, Hµ T©y.. 7.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> gIèI THIÎU Î ThS. NguyÔn V¨n Nho (NXBGD). Cuéc thi to¸n Pa-xcan (the Pascal contest) lµ cuéc thi häc sinh giái líp 9 cña Ca-na-đa dành cho học sinh dưới 15 tuổi trên toàn quốc, do trường đại học Oa-téc-lô, bang On-ta-ri-o tæ chøc h»ng n¨m. §©y lµ cuéc thi tr¾c nghiÖm gåm 25 c©u hái ®­îc lµm trong 60 phót, n¨m 2003 cã 43841 học sinh từ 1064 trường trung học trªn kh¾p Ca-na-®a tham dù. K× nµy chóng t«i tuyÓn chän vµ giíi thiÖu víi c¸c b¹n mét sè c©u hái cña n¨m 2003. Bài 1 (Câu 7) : Trong biểu đồ dưới đây, c¸c sè 1, 2, 4, 5, 6, 8 ®­îc thay vµo c¸c ch÷ A, B, C, D, E, F sao cho sè n»m ë hàng dưới và giữa hai số ở hàng trên thì bằng hiệu số dương của hai số này. Khi đó gi¸ trÞ cña tæng A + C lµ bao nhiªu ?. (A) 7 ; (B) 12 ; (C) 1 ; (D) 10 ; (E) 14. Bài 2 (Câu 13) : Trong biểu đồ dưới đây,. 8. mçi h×nh vu«ng trong 15 h×nh vu«ng nhá đều được tô màu. Hai hình vuông nào có một đỉnh (hoặc một cạnh) chung thì phải ®­îc t« bëi hai mµu kh¸c nhau. Hái sè màu ít nhất dùng để tô là bao nhiêu ? (A) 3 ; (B) 4 ; (C) 5 ; (D) 8 ; (E) 9. Bài 3 (Câu 20) : Người Evenland không bao giê sö dông c¸c ch÷ sè lÎ. Thay v× đếm 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... họ đếm 2, 4, 6, 8, 20, 22, ... Như vậy số 111 người Evenland đếm thế nào ? (A) 822 ; (B) 828 ; (C) 840 ; (D) 842 ; (E) 824. Bµi 4 (C©u 24) : Mét häa sÜ muèn dïng các hình vuông bằng nhau để dán đầy một h×nh ch÷ nhËt sao cho kh«ng cã hai h×nh vu«ng nµo cã phÇn chung vµ c¸c c¹nh cña h×nh ch÷ nhËt còng kh«ng bÞ phñ. NÕu kÝch 1 2 thước hình chữ nhật là 60 cm và 47 cm 2 3 th× anh ta ph¶i dïng Ýt nhÊt bao nhiªu h×nh vu«ng nh­ thÕ ? (A) 429 ; (B) 858 ; (C) 1573 ; (D) 1716 ; (E) 5148. Bài 5 (Câu 25) : Cho hình lập phương ABCDEFGH. Gọi L và K lần lượt là trung điểm của AD và AB. Khoảng cách từ F đến LK là 10. Tính thể tích hình lập phương, làm tròn đến số nguyên gần nhất. (A) 323 ; (B) 324 ; (C) 325 ; (D) 326 ; (E) 327..

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Cuéc thi To¸n gau-x¬ cña ca-na-®a (C¸C BµI Tù LUËN líp 7 & 8). Bài 1 : Hai người đàn ông đổi nghề Tõ chi tiÕt cña sù viÖc ta thÊy : + Số tiền bán lạc đà bằng bình phương số lạc đà (số này không vượt quá 300). + Sè cõu ph¶i lµ sè lÎ vµ lín h¬n 1. + Gi¸ cña mét con dª b»ng phÇn d­ cña phép chia nguyên số tiền bán lạc đà cho 10 (gi¸ cña mét con cõu). Víi c¸c d÷ kiÖn trªn ta lËp ®­îc b¶ng sau :. Nh­ vËy cã 3 kh¶ n¨ng x¶y ra, trong c¶ 3 trường hợp thì giá của một con dê đều là 6 (®i-na). Suy ra toµn bé sè chã cña Ali cã gi¸ trÞ lµ 10 - 6 = 4 (®i-na). Sè chã cña Ali lín h¬n 1 nªn chØ cã thÓ lµ :. 2 con (gi¸ mçi con lµ 2 ®i-na) hoÆc 4 con (gi¸ mçi con lµ 1 ®i-na). Bµi 2 : Nh÷ng c¨n hÇm chøa ngò cèc C¸ch chuyÓn cho bëi b¶ng sau :. Bµi 3 : TÊt vµ giµy B¹n ph¶i lÊy ba chiÕc tÊt vµ bèn chiÕc giµy. §©y lµ mét øng dông cña nguyªn lÝ §i-rÝch-lª. ThËt vËy, chØ cã hai mµu tÊt (®en vµ n©u) nªn khi lÊy ra ba chiÕc, b¹n ch¾c ch¾n cã ®­îc hai chiÕc cïng mµu, t¹o thµnh một đôi ; còn khi bạn lấy ra bốn chiếc giày, do chØ cã ba mµu kh¸c nhau nªn ch¾c ch¾n có hai chiếc cùng màu (là một đôi). Bài 4 : Ai đã lấy thanh kẹo V× cã ba cËu lu«n lu«n trung thùc nªn câu trả lời của ba cậu đó sẽ không mâu thuẫn với nhau. Nói cách khác, với người nãi thËt th× c©u tr¶ lêi sÏ kh«ng m©u thuÉn với ít nhất hai câu trả lời của người khác. Tõ nhËn xÐt trªn, chóng ta suy luËn ngay được Rex, Jack, Earl là những người luôn nói thật còn Abe và Dan là những người lu«n nãi dèi. Dùa vµo c¸c c©u tr¶ lêi cña Rex vµ Jack, suy ra Abe là người lấy kẹo.. 9.

<span class='text_page_counter'>(11)</span> §Ò thi tuyÓn häc sinh giái quËn t©n phó, M«n To¸n líp 6 (Thêi gian : 90 phót). o Bµi 1 : (5,5 ®iÓm). 1) Cho biÓu thøc A . 5 . n2. a) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là phân số.. b) Tìm các số nguyên n để biểu thức A là số nguyên. 2) T×m x biÕt :. a) x 12 ; x 25 ; x 30 ; 0  x  500. b) (3x - 24).73 = 2.74.. c) |x - 5| = 16 + 2.(-3).. 3) Bạn Đức đánh số trang sách bằng các số tự nhiên. từ 1 đến 145. Hỏi bạn Đức đã sử dụng tất cả bao nhiêu. chữ số ? Trong những chữ số đã sử dụng thì có bao nhiêu ch÷ sè 0 ?. o Bài 2 : (2 điểm) Cho đoạn thẳng AB. Trên tia đối của. tia AB lấy điểm M, trên tia đối của tia BA lấy điểm N sao. cho AM = BN. So sánh độ dài các đoạn thẳng BM và AN..   100o. VÏ tia ph©n gi¸c o Bµi 3 : (2,5 ®iÓm) Cho xOy  ; VÏ tia Ot n»m trong xOy  sao cho yOt   25o. Oz cña xOy. 1) Chøng tá tia Ot n»m gi÷a hai tia Oz, Oy.  2) TÝnh sè ®o zOt..  3) Chøng tá r»ng Ot lµ tia ph©n gi¸c cña zOy.. 10.

<span class='text_page_counter'>(12)</span> Thµnh Phè Hå chÝ minh, n¨m häc 2003 - 2004 M«n To¸n líp 7 (Thêi gian : 90 phót). o Bµi 1 : (3 ®iÓm) 1 1 1 2 2 2     a) TÝnh 2003 2004 2005  2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3     2003 2004 2005 2002 2003 2004. b) BiÕt 13 + 23 + ... + 103 = 3025. TÝnh S = 23 + 43 + 63 + ... + 203. c) A . x 3  3x 2  0,25xy 2  4. x y 2. . TÝnh gi¸ trÞ cña A biÕt x  . sè nguyªn ©m lín nhÊt.. 1 ; y lµ 2. o Bµi 2 : (1 ®iÓm) T×m x biÕt : 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117.. o Bµi 3 : (1 ®iÓm) Mét con thá ch¹y trªn mét con ®­êng mµ hai. phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi. qua đầm lầy. Thời gian thỏ đi trên đồng cỏ bằng nửa thời gian đi trªn ®Çm lÇy. Hái vËn tèc cña thá ch¹y trªn ®o¹n ®­êng qua ®Çm. lầy hay vận tốc của thỏ chạy trên đoạn đường qua đồng cỏ lớn h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ?. o Bµi 4 : (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC. VÏ vÒ phÝa ngoµi. tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm cña DC vµ BE. Chøng minh r»ng : a) ABE = ADC.   120o. b) BMC. o Bµi 5 : (3 ®iÓm) Cho ba ®iÓm B, H, C th¼ng hµng, BC = 13 cm,. BH = 4 cm, HC = 9 cm. Tõ H vÏ tia Hx vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng BC. LÊy A thuéc tia Hx sao cho HA = 6 cm.. a) Tam giác ABC là tam giác gì ? Chứng minh điều đó.. b) Trªn tia HC, lÊy HD = HA. Tõ D vÏ ®­êng th¼ng song song víi AH c¾t AC t¹i E. Chøng minh r»ng : AE = AB.. 11.

<span class='text_page_counter'>(13)</span> Bµi 1(19) : Cho. 2 1  2 1. A. 3) C¸c b¹n cã lêi gi¶i tèt nhÊt : NguyÔn. 3 2 25  24  ...  . 32 25  24. Đức Vương, 9/11, THCS Nguyễn Du, Gò. VÊp, TP. Hå ChÝ Minh ; M¹c V¨n ViÖt, 8E,. Chøng minh r»ng A < 0,4. Lêi gi¶i : XÐt ph©n sè. n 1 n víi n (n  1)  n. lµ sè tù nhiªn kh¸c 0. Do (n + 1) + n > 0 nªn (n+1)+n  4n2 +4n+1 . 4n2 +4n  2 (n+1).n.  . (n+1)+n. . n+1  n. THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä ; n+1  n  0). (do. 2 (n+1).n. n 1  n 1 1   (n  1)  n 2 n 2 n 1. áp dụng bất đẳng thức (*) ta có :. A . . 1. 2 1  2 1 . 2 1. 1. 2 1. . 1. 2 2. +. 1. 2 25. 3 2  ...  32. 1. 2 2. . . 1. 2 3. +...+. (*).. 1. 2 24. . nhau n + 1 vµ n. 2) Tõ c¸ch gi¶i trªn, ta cã ngay kÕt qu¶ më réng cña bµi to¸n : Víi n lµ sè tù. A. , trong đó. 3 2 n1 n  ...  . 32 (n  1)  n. nguyÔn Anh qu©n. Lêi gi¶i : Ta cã a3 + b3 + c3 - 3abc =. bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương khác. 2 1  2 1. 8B, THCS Hµm Rång, TP. Thanh Hãa.. sao cho x i 1  x i  1  3.3 x i x i 1 .. 2 25. (n  1)  n  2 (n  1).n b»ng c¸ch ¸p dông. 2 n1. §«ng Hµ, Qu¶ng TrÞ ; TrÞnh Quang Thanh,. Chøng minh r»ng, tån t¹i i  {1, 2, 3, ..., 10}. 1. VËy A < 0,4. NhËn xÐt : 1) Còng cã thÓ suy ra ®­îc. n 1 1. NguyÔn V¨n Ngäc, 8E, THCS NguyÔn HuÖ,. Bµi 2(19) : Cho c¸c sè x1, x2, x3, ..., x11 tháa m·n : 1  x1 < x2 < x3 < ... < x11  1000.. 25  24 25  24. 1 1 4    0,4. 2 10 10. nhiªn kh¸c 0 th× A . Lộc, 7C, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương ;. Quúnh L­u, NghÖ An ; TrÇn Hßa B×nh, 8A1,. 1 1  (n  1)  n 2 (n  1).n n+1  n. Quèc Minh, 9A4, THCS Hai Bµ Tr­ng, TX. Phóc Yªn, VÜnh Phóc ; Phan Thµnh. Đặng Tân Tiến, 8C, THCS Hồ Xuân Hương,.  (n  1)  n  2 (n  1).n . Hợp Tiến, Nam Sách, Hải Dương ; Nguyễn. = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) =. 1 (a + b + c)((a - b)2 + (b - c)2 + (c - a)2) (1). 2 Suy ra a3 + b3 + c3 < 3abc  a, b, c. không đồng thời bằng nhau và a + b + c < 0.. ¸p dông víi a  3 xi1 , b  3 xi , c  1 ta cã. xi1  xi  1 < 33 xixi1  3 xi1  3 xi  1 (2).. Do 1  x1 < x2 < x3 < ... < x11  1000 suy ra. 1  3 x1  3 x 2  ...  3 x11  10.  3 x 2  3 x1 ; 3 x3  3 x 2 ; ... ; 3 x11  3 x10. 12.

<span class='text_page_counter'>(14)</span> là 10 số dương có tổng bằng : 3x 11. 4.  3 x1  10  1  9.. Do đó tồn tại i  {1, 2, 3, ..., 10} sao cho 9 3x 3 1 (3) i1  xi  10 Tõ (2), (3) suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh. Nhận xét : (1) là một hằng đẳng thức quen thuéc cña líp 8. C¸c b¹n sau cã lêi gi¶i tèt : Ph¹m V¨n Giang, 9A, THCS Yªn L¹c, Yªn L¹c, VÜnh Phóc ; NguyÔn ThÞ Lan, 9B, THCS Th¸i Hßa, B×nh Giang, H¶i Dương ; Hoàng Đức ý, 9E, THCS Trần Mai Ninh, Thanh Hãa ; Hoµng Minh Th¾ng, mÑ là Trần Thị Hương, khối 13, phường Cửa Nam, TP. Vinh, NghÖ An ; Vâ Th¸i Th«ng, 9/4, THCS Ng« Gia Tù, Cam Ranh, Cam NghÜa, Kh¸nh Hßa ; Vâ V¨n TuÊn, 8A5, THCS NguyÔn Du, KR«ng Buk, §¾k L¾k ; TrÇn Mü Linh, 9/1, THCS TrÇn Huúnh, TX. B¹c Liªu, B¹c Liªu. nguyễn minh đức Bài 3(19) : Giải phương trình :.  x 2  3x  2  x 4  3  0. 4. Lêi gi¶i : Có nhiều cách giải phương trình này. Cách 1 : Viết phương trình về dạng :. 2  x 4  x 2  3x  3 víi x4  2. áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có :. 1  1  1  (2  x 4 ) 5  x 4  4 4. MÆt kh¸c : x 2  3x  3 . 5  x4 4. (1). (2).  (x  1)2 [(x  1)2  6]  0 (đúng với mọi x) Tõ (1), (2) suy ra :. 4. 2  x 4  x 2  3x  3.. Do đó x thỏa mãn phương trình khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời trở thành đẳng thức :. 1  2  x 4  x  1. Vậy phương trình có   x  1. nghiÖm duy nhÊt x = 1. Cách 3 : Viết phương trình về dạng : 2. 2. 4 2  2  x 4  1   2  x 4  1     .  (x 2  1)2  6(x  1)2  0. DÔ dµng thÊy nghiÖm duy nhÊt lµ x = 1. C¸ch 4 :. 4. 2  x 4  x 2  3x  3.  2 - x4 = (x2 - 3x + 3)4.  (x2 - 3x + 3)4 + x4 = 2. áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski : 1 (x 2  3x  3)4  x 4  [(x 2  3x  3)2  x 2 ]2 2 2. 1 1    (x 2  3x  3  x)2   2 2 . 4. . 5 - x4 = 1 + 1 + 1 + (2 - x4)  4. 2  x 4 = = 4(x2 - 3x + 3) = (4x2 + 4) + 8 - 12x   8x + 8 - 12x = 8 - 4x  8 - (2x2 + 2) = = 6 - 2x2  6 - (x4 + 1) = 5 - x4. Từ đó dẫn đến tất cả các bất đẳng thức trên đồng thời trở thành đẳng thức, suy ra x = 1. Thử x = 1 vào phương trình ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1. Cách 2 : Với x4  2 và áp dụng bất đẳng thøc C«-si ta cã : 4. 2  x4 . 2. 2. 2 1 1  1 1 2  2  (x  1)  2     (2)   2. 2 2 2 2  . Phương trình thỏa mãn khi và chỉ khi :. (x 2  3x  3)2  x 2   2  x  1.  x  3x  3  x  2 (x  1)  0. NhËn xÐt : C¸c b¹n cã lêi gi¶i tèt : PhÝ. Quèc Tu©n, 9D, THCS Th¹ch ThÊt, Th¹ch. ThÊt, Hµ T©y ; Bïi Hoµng §an, 9/4, THCS Lª V¨n Thiªm, TX. Hµ TÜnh, Hµ TÜnh ;. NguyÔn Lª Th¾ng, 70 TrÇn H­ng §¹o,. 13.

<span class='text_page_counter'>(15)</span> §ång Híi, Qu¶ng B×nh ; Hoµng ThÞ Lý, 9B, THCS TrÇn Quèc To¶n, §«ng Hµ, Qu¶ng TrÞ ; NguyÔn ThÞ Lan, 9B, THCS Th¸i Hßa, Bình Giang, Hải Dương ; Hoàng Đức Trung, 117 đường Xương Giang, TX. Bắc Giang, B¾c Giang ; TrÇn Mü Linh, 9/1, THCS TrÇn Huúnh, TX. B¹c Liªu, B¹c Liªu ; §ç Anh Minh, 9E, THCS TrÇn Mai Ninh, TP. Thanh Hãa ; Lª V¨n Hßa, 9A, THCS NghÜa Liªn, Nghĩa Đàn, Nghệ An ; Nguyễn Đức Vương, 9/11, THCS NguyÔn Du, Gß VÊp, TP. Hå ChÝ Minh ; U«ng Sü Phong, 8B, THCS Th¸i Xuyªn, Th¸i Thôy, Th¸i B×nh ; Vâ V¨n TuÊn, 8A5, THCS NguyÔn Du, KR«ng Buk, §¾k L¾k. ltn Bµi 4(19) : Cho h×nh vu«ng ABCD. Gäi E lµ trung ®iÓm cña AD. Qua E vÏ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BE, c¾t CD t¹i F. EF . TÝnh tØ sè EB Lêi gi¶i (cña b¹n §Ëu ThÞ KiÒu Oanh) : Qua A kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BE,   DAM  (hai c¾t CD t¹i M. Ta thÊy : ABE góc có cạnh tương ứng vuông góc).. NhËn xÐt : 1) Bµi to¸n kh«ng khã nªn các bạn tham gia giải đều có lời giải đúng, Tuy nhiªn còng cã nhiÒu lêi gi¶i qu¸ dµi. 2) Từ nhận xét DEF đồng dạng với ABE 1 theo tØ sè , cho ta mét lêi gi¶i kh¸c còng 2 kh¸ ng¾n gän. 3) C¸c b¹n cã lêi gi¶i tèt h¬n c¶ : §Ëu ThÞ KiÒu Oanh, 8A, THCS Cao Xu©n Huy, DiÔn Ch©u, NghÖ An ; NguyÔn ThÞ Lan, 9B, THCS Thái Hòa, Bình Giang, Hải Dương ; NguyÔn Quèc Minh ; Ph¹m Lª Quang, 9A4, THCS Hai Bµ Tr­ng, TX. Phóc Yªn, VÜnh Phóc ; NguyÔn Nh­ §øc Trung, 9/1, THCS Lý Thường Kiệt, Hải Châu, TP. Đà Nẵng ; Nguyễn Ngọc Trường, 8A, THCS Xuân Trường, Xuân Trường, Nam Định. nguyÔn minh hµ Bài 5(19) : Cho tam giác đều ABC nội tiÕp ®­êng trßn t©m O, b¸n kÝnh R. D lµ điểm di động trên cạnh BC. AD cắt (O) tại E (E khác A). Gọi R1, R2 lần lượt là bán kính ®­êng trßn ngo¹i tiÕp c¸c tam gi¸c EBD, ECD. Xác định vị trí điểm D để R1.R2 đạt gi¸ trÞ lín nhÊt. Lêi gi¶i : Ta cã nhËn xÐt r»ng, nÕu R lµ b¸n kÝnh ®­êng trßn ngo¹i tiÕp mét tam gi¸c đều cạnh a thì R . a 3 (*). 3. Trë l¹i bµi to¸n. Dựng hai tam giác đều BDF và CDG về phía ngoài tam giác ABC, khi đó   BED   60o ; CGD   CED   60o suy BFD MÆt kh¸c, v× ABCD lµ h×nh vu«ng nªn AB = AD  ABE = DAM  BE = AM. L¹i cã EF vµ AM cïng vu«ng gãc víi BE nªn EF // AM ; E lµ trung ®iÓm cña AD nªn EF lµ ®­êng trung b×nh trong DAM. 1 1 EF 1  . Suy ra EF  AM  BE hay 2 2 BE 2. ra BDEF và CDEG đều là các tứ giác nội. tiếp hay R1, R2 lần lượt là bán kính của các đường tròn ngoại tiếp các tam giác đều BDF vµ CDG. Theo (*) ta cã :. BD 3 CD 3 BD.CD  R1.R2  ; R2  . 3 3 3 MÆt kh¸c (BD + CD)2  4.BD.CD suy ra. R1 . 14.

<span class='text_page_counter'>(16)</span> Các bạn được thưởng kì này Thi gi¶i to¸n qua th­. Vâ V¨n TuÊn, 8A5, THCS NguyÔn Du,. KR«ng Buk, §¾k L¾k ; NguyÔn ThÞ Lan, 9B,. THCS Thái Hòa, Bình Giang, Hải Dương ; Nguyễn Đức Vương, 9/11, THCS Nguyễn. Du, Gß VÊp, TP. Hå ChÝ Minh ; NguyÔn Quèc Minh, 9A4, THCS Hai Bµ Tr­ng,. TX. Phóc Yªn, VÜnh Phóc ; Hoµng §øc ý, 9E, THCS TrÇn Mai Ninh, Thanh Hãa ; Vâ Th¸i Th«ng, 9/4, THCS Ng« Gia Tù, Cam. Ranh, Cam NghÜa, Kh¸nh Hßa ; TrÇn Mü. BD.CD . (BD  CD) BC 3R   4 4 4 2. 2. Linh, 9/1, THCS TrÇn Huúnh, TX. B¹c Liªu,. B¹c Liªu ; Bïi Hoµng §an, 9/4, THCS Lª. 2. 2. R . 4 §¼ng thøc x¶y ra khi vµ chØ khi BD = CD,.  R1.R 2 . nghĩa là R1.R2 đạt giá trị lớn nhất bằng. 2. R 4. khi D lµ trung ®iÓm cña BC. Nhận xét : 1) Nhiều bạn chưa để ý đến nhËn xÐt (*) nªn lêi gi¶i cßn dµi. Mét sè b¹n giải bằng cách sử dụng định lí hàm số sin (cña líp 10) cho BDE vµ CDE. 2) C¸c b¹n sau cã lêi gi¶i tèt : NguyÔn Trung KiªnB, 9C, THCS VÜnh Yªn, VÜnh Phóc ; U«ng Sü Phong, 8B, THCS Th¸i Xuyªn, Th¸i Thôy, Th¸i B×nh ; NguyÔn HiÒn, 9D, THCS Lý Tù Träng ; Hoµng §øc ý, 9E, THCS TrÇn Mai Ninh, TP. Thanh Hãa ; Bïi Hoµng §an, 8/4, THCS Lª V¨n Thiªm, Hµ TÜnh ; Vâ V¨n TuÊn, 8A5, THCS NguyÔn Du, KR«ng Buk, §¾k L¾k ; Vâ Th¸i Th«ng, 9/4, THCS Ng« Gia Tù, Cam NghÜa, Cam Ranh, Kh¸nh Hßa. nguyÔn v¨n m¹nh. V¨n Thiªm, TX. Hµ TÜnh, Hµ TÜnh ; U«ng Sü Phong, 8B, THCS Th¸i Xuyªn, Th¸i Thôy,. Th¸i B×nh ; §Ëu ThÞ KiÒu Oanh, 8A, THCS Cao Xu©n Huy, DiÔn Ch©u ; Phan Thµnh Lộc, 7C, THCS Lý Nhật Quang, Đô Lương. NghÖ An ; TrÇn Hßa B×nh, 8A1, THCS L©m Thao, L©m Thao, Phó Thä ; NguyÔn V¨n Ngäc, 8E, THCS NguyÔn HuÖ, §«ng Hµ,. Qu¶ng TrÞ ; PhÝ Quèc Tu©n, 9D, THCS Th¹ch ThÊt, Th¹ch ThÊt, Hµ T©y ; NguyÔn. Như Đức Trung, 9/1, THCS Lý Thường Kiệt, H¶i Ch©u, TP. §µ N½ng.. 15.

<span class='text_page_counter'>(17)</span> C. a trùc h«m nay cña th¸m tö Sê-Lốc-Cốc yên ắng đến ngạc nhiªn. Suèt c¶ ngµy ch¼ng cã chuyÖn g× x¶y ra. Buæi tèi còng vËy. §Õn gần nửa đêm, khi thám tử đang định ngả m×nh mét chót trªn chiÕc ®i-v¨ng th× chu«ng ®iÖn tho¹i bçng reo vang. - Xin chào thám tử ! Tôi là giám đốc vườn thú thành phố. Xin lỗi đã làm phiÒn ngµi vµo lóc qu¸ khuya thÕ nµy. - Kh«ng sao ! Cã chuyÖn g× «ng cø nói đi ! Tôi sẵn lòng giúp đỡ mà ! Thám tử trả lời. - Chúng tôi vừa bị mất mấy con đà điểu ba tháng tuổi mới nhận từ nước ngoài về. Do sù bÊt cÈn cña mét nh©n viªn nªn những con chim đã trốn đi đâu mất. Tuy kh«ng ph¶i lµ vô mÊt trém nh­ng chóng tôi vẫn muốn nhờ thám tử giúp đỡ để sớm t×m ra nh÷ng con chim quý Êy. - Ông yên tâm ! Tôi sẽ đến ngay Thám tử Sê-Lốc-Cốc đặt máy rồi vội vã lên xe tới vườn thú thành phố. Chỉ ít phút sau, ông đã gặp và trò chuyện với người lái xe tải của vườn thó. §ã lµ mét chµng trai mÆc bé ¸o liÒn quần bằng vải bò xanh, đầu đội mũ lưỡi. Phan-Ti-X« (B¹n cña Sª-Lèc-Cèc). trai quay ngược ra sau gáy. Qua câu chuyÖn, th¸m tö ®­îc biÕt nh÷ng con đà điểu còn chưa kịp tới vườn thú. Chóng bÞ mÊt ngay trªn ®­êng tõ s©n bay vÒ thµnh phè. - Th­a th¸m tö ! TÊt c¶ chØ t¹i bãng đá thôi ạ ! - chàng trai thừa nhận - Lúc 11h20 đêm nay, đài truyền hình truyền trực tiếp trận đấu giữa Bra-zin và Ac-hen-ti-na. Tôi là người nghiện bóng đá khủng khiếp, có thể nói là không thể sèng thiÕu nã ®­îc. VËy mµ «ng Moóc-giơ - giám đốc vườn thú - lại yêu cầu tôi đi sân bay chở đà điểu về. Tôi đành phải nhận lời vì không còn cách nµo kh¸c. Khi t«i lµm xong mäi thñ tôc nhËn hµng ë s©n bay th× thêi gian hÇu như chẳng còn là bao. Tôi đánh liều quyết định sẽ lái xe đi đường tắt cho nhanh, may ra có thể kịp xem bóng đá. Tôi đặt lồng chim vào thùng xe, cài chốt cẩn thận rồi lái xe vào con đường đất xuyªn qua c¸nh rõng. T«i kh«ng ngê con ®­êng Êy l¹i xãc thÕ, cµng ®i cµng l¾m æ gµ. Nh­ng quay l¹i th× ng¹i nªn t«i cø cè l¸i xe. §i ®­îc mét ®o¹n, t«i dõng xe xem lò chim thÕ nµo, cã chÞu ®­îc xãc kh«ng.. 16.

<span class='text_page_counter'>(18)</span> §IÒU BÝ MËT CñA CHIÕC B¸NH l KÕt. qu¶ :. (TTT2 sè 19). ¤ng gi¸o s­ bÊt h¹nh. Trước cái chết thảm thương Vẫn để lại ám hiệu. Vạch trần kẻ bất lương. Chiếc bánh nướng ngon lành Tiếng Anh đọc là “pai” Sª-Lèc-Cèc thËt tµi Kh«ng ngê t«i võa më chèt cöa thïng xe th× c¶ ba con chim bay vät ra ngoµi. T«i chØ kÞp ngÈng ®Çu nh×n theo chóng. Cã lÏ là do xóc quá nên cánh cửa lồng chim đã bị bật ra từ trước khi tôi mở thùng xe. Ngay sau đó, tôi đã cố tìm nhưng chắc th¸m tö còng hiÓu, t×m chim trong rõng giữa ban đêm là điều không đơn giản. Tuy nhiên, tôi vẫn nhớ địa điểm xảy ra sự viÖc vµ cã thÓ chØ cho ngµi. - Cã lÏ kh«ng cÇn ®©u, anh thanh niªn ¹ - Th¸m tö tr¶ lêi - T«i tin ch¾c r»ng mấy con đà điểu không ở trong khu rừng đó đâu. Hãy cho tôi biết, có phải anh say mê bóng đá từ khi còn rất nhỏ không ? - Vâng, đúng thế ạ - chàng trai trả lời Nhưng tại sao ngài lại đoán được điều đó ? - Giá như ngày bé anh bớt đá bóng vµ häc tèt h¬n th× ch¾c ch¾n b©y giê anh đã “sáng tác” được một câu chuyện nghe hîp lÝ h¬n rÊt nhiÒu. T«i kh«ng tin vµo bÊt cø lêi nµo trong c©u chuyÖn anh võa kÓ c¶. Tèt nhÊt anh nªn khai thËt mäi chuyÖn ®i ! §è c¸c b¹n biÕt, v× sao th¸m tö l¹i nghi ngê c©u chuyÖn cña chµng thanh niªn l¸i xe ?. 17. Hiểu ngay : số Pi đó. Mọi chuyện đã sáng tỏ Mi-ke : kÎ s¸t nh©n. Tầng ba, phòng mười bốn Gã đừng hòng thoát thân.. Trên đây là đáp án bằng thơ của. b¹n Hoµng TuyÕt Nga. C¸c b¹n kh¸c tuy kh«ng tr¶ lêi b»ng th¬ nhưng đều đưa ra đáp án đúng.. Xin trao quµ cho n¨m b¹n cã bµi. lµm xuÊt s¾c h¬n c¶ : TrÞnh Thanh Th­, 7C2, THCS Quang Trung, Ng«. QuyÒn, H¶i Phßng ; Hoµng TuyÕt. Nga, 8A, THCS Hµ Huy TËp, TP. Vinh, NghÖ An ; Ph¹m ThÞ CÈm. Nhung, 6A, THCS Hoµng Xu©n H·n, §øc Thä, Hµ TÜnh ; Vâ ThÞ Mai Hương, 8E, THCS Nguyễn Huệ,. §«ng Hµ, Qu¶ng TrÞ ; NguyÔn Ngäc. Anh, 1/3/10 TrÇn B×nh Träng, TP. Vòng Tµu, Bµ RÞa - Vòng Tµu.. Th¸m tö Sª-Lèc-Cèc.

<span class='text_page_counter'>(19)</span> Tìm lời giải. BẰNG CÁCH MỞ RỘNG BAØI TOÁN Tèng Thµnh Vò. (Líp KTVT-B, K41, §HGTVT-Hµ Néi) Trong “Croatian National Mathematics Competition Kraljevica, May-1996” tôi đã gặp một bài toán bất đẳng thức khá thú vị : Bµi to¸n 1 : Cho c¸c sè a, b, c, d kh¸c 0 và thỏa mãn đẳng thức a + b + c + d = 0. §Æt S1 = ab + bc + cd ; S2 = ac + ad + bd.. 5S  8S2  0 Chøng minh r»ng :  1 8S1  5S2  0 Ban ®Çu, t«i ch­a t×m ngay ®­îc lêi gi¶i trực tiếp cho bài toán trên. Khi đó tôi đã tự hái : “Bµi to¸n b¾t nguån tõ ®©u nhØ ?”. Trả lời câu hỏi này, tôi đã tìm được một lời gi¶i cho bµi to¸n trªn. Ta xÐt bµi to¸n sau : Bµi to¸n 2 : Cho c¸c sè a, b, c, d kh¸c 0 và thỏa mãn đẳng thức a + b + c + d = 0. §Æt S1 = ab + bc + cd ; S2 = ac + ad + bd. Xác định điều kiện cho cặp số dương (, ) để S = S1 + S2  0.. a  d  M Lêi gi¶i : §Æt   MN  0 b  c  N. d  M  a  N  M   c  M  b. Ta cã : S = S1 + S2. = (ab + bc + cd) + (ac + ad + bd) = (ab + b(-M - b) + (-M - b)(M - a)) + + (a(-M - b) + a(M - a) + b(M - a)) = (ab - bM - b2 - M2 - bM + aM + ab) + + (-aM - ab + aM - a2 + bM - ab) = 2ab - 2bM - b2 - M2 + aM - 2ab - a2 + bM = -M2 + (a + b - 2b)M + 2ab - b2 -. - 2ab - a2. Coi S = f(M) lµ tam thøc bËc hai theo M, ta cã S  0  f(M)  0  M  0 (v× - < 0).  (a + b - 2b)2 + 4(2ab - b2 - 2ab - a2)  0  2a2 + 2b2 + 42b2 + 2ab - 42ab - 4b2 + 82ab - 42b2 - 8ab - 4a2  0  (2 - 4)a2 + (42 - 6)ab + (2 - 4)b2  0  ( - 4)a2 + (4 - 6)ab + ( - 4)b2 0 (*). l Xét trường hợp 0 <    : Chia cả hai vế a của (*) cho b2  0 và đặt t  ta cã : b f(t) = ( - 4)t2 + (4 - 6)t + ( - 4)  0, trong đó f(t) là tam thức bậc hai theo t. V× ( - 4) < 0 nªn f(t)  0  ’t  0  2(2 - 3)2 - ( - 4)( - 4)  0  2(42 - 12 + 92) - ( - 42 - 42 + 16)  0  44 - 123 + 922 - 22 + 43 + + 43 - 1622  0  44 - 83 - 822 + 43  0  3 - 22 - 22 + 3  0 3. 2.        2   2  1  0        (chia c¶ hai vÕ cho 3  0)   x3 - 2x2 - 2x + 1  0 (đặt  x, 0 < x  1) . 18. (xem tiÕp trang 26).

<span class='text_page_counter'>(20)</span> l. Người thách đấu : Nguyễn Thái Hòa, giáo viên trường Trung học Thực hành,. §HSP TP. Hå ChÝ Minh.. Bài toán thách đấu : Cho tứ giác lồi ABCD, trong đó đường chéo BD không  vµ CDA.  Gi¶ sö P lµ mét ®iÓm n»m bªn ph¶i lµ ®­êng ph©n gi¸c trong cña ABC l.   DBA   BDA.  Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCD  vµ PDC trong tø gi¸c sao cho PBC néi tiÕp ®­îc trong ®­êng trßn khi vµ chØ khi AP = CP. l l. XuÊt xø : K× thi to¸n quèc tÕ lÇn thø 45 (2003 - 2004).. Thời hạn nhận thách đấu : Trước ngày 15 - 12 - 2004.. (TTT2 sè 19). Bµi to¸n nµy lµ sù më réng tiÕp tôc cña bµi to¸n Steiner-Leimus (TTT2 sè 1, 2, 3). §©y lµ bµi to¸n khã, chØ cã n¨m vâ sÜ nhận lời thách đấu và có tới bốn võ sĩ giải sai hoÆc thiÕu chÝnh x¸c. Lời giải đúng duy nhất lại thuộc về Nhà H×nh 1 giáo Nguyễn Đức Trường, THCS Đa Tốn, Gia L©m, Hµ Néi. Lời giải (của võ sĩ Trường, có sửa chữa) : Bổ đề 1 : Cho tam giác ABC, M là một ®iÓm thuéc ®o¹n BC. B' A EA C ' A FA Khi đó AM < max {AB, AC}. ; (1)   Bổ đề 2 : Cho tam giác ABC (AB > AC), B'C BC C 'B BC ph©n gi¸c AD. §iÓm N thuéc ®o¹n AD, N EA MB 1 EA  FA (2)  kh¸c A vµ N kh¸c D. BN, CN theo thø tù c¾t FA  MC AC, AB tại B’, C’. Khi đó BB’ > CC’. Tõ (1), (2) suy ra : (C¸c b¹n cã thÓ xem chøng minh cña bæ B' A C' A BB' CC '   B' C ' // BC   (3) đề 1 và bổ đề 2 trong TTT2 số 2) BN CN Bổ đề 3 : Cho tam giác ABC (AB > AC), B'C C 'B   AMC  trung tuyÕn AM. §iÓm N thuéc ®o¹n AM, N MÆt kh¸c, v× AB > AC nªn AMB. kh¸c A vµ N kh¸c M. BN, CN theo thø tù c¾t AC, AB tại B’, C’. Khi đó BB’ > CC’. Chøng minh : Qua A kÎ ®­êng th¼ng song song víi BC, theo thø tù c¾t c¸c ®­êng th¼ng BB’, CC’ t¹i E, F (h×nh 1). Theo định lí Ta-lét ta có :. (xÐt hai tam gi¸c ABM, ACM) suy ra :   NMC   NB  NC NMB (4). (xÐt hai tam gi¸c NBM, NCM). Tõ (3), (4) suy ra : BB’ > CC’. (xem tiÕp trang 26). 19.

<span class='text_page_counter'>(21)</span> CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG cao b¸ h­ng. (Sè 8 Thµnh B¾c, Ninh X¸, B¾c Ninh). Phản chứng là một phương pháp chứng minh gián tiếp rất hiệu quả, khi đó ta phải chứng minh mệnh đề phủ định là sai. Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông, tôi nhËn thÊy häc sinh cßn ch­a thuÇn thôc khi áp dụng phương pháp này để chứng minh c¸c bµi to¸n h×nh häc. Hi vọng rằng qua các ví dụ dưới đây, các bạn sẽ nắm vững hơn phương pháp chứng minh đặc biệt này. VÝ dô 1 : Chøng minh r»ng trong tø gi¸c  C  th× AD < BC.  B ;D ABCD, nÕu  A. ®iÓm E n»m trªn BC tháa m·n ®iÒu kiÖn a 0  CE  . Qua M kÎ ®­êng th¼ng song 2 song víi AE, c¾t c¹nh CD t¹i F. Chøng minh r»ng h×nh thang AMFE kh«ng thÓ lµ h×nh thang c©n. Lêi gi¶i : Gi¶ sö AMFE lµ h×nh thang  mµ   FEA, c©n th× AM = FE (*) vµ MAE.    EBA  (gi¶ thiÕt) suy ra EAB   ABC DAB EAB c©n t¹i E  EA = EB. Gi¶ sö AD = BC  AD + EA = BC + EB   C,   ED = EC  EDC c©n t¹i E  D.  (tÝnh MÆt kh¸c CA lµ ph©n gi¸c cña BCD chÊt ®­êng chÐo cña h×nh vu«ng), suy ra A  cña lµ t©m ®­êng trßn bµng tiÕp trong ECF.   BEA   BEA   FEA   EA lµ ph©n MAE  (gãc ngoµi cña EFC). gi¸c cña FEB. Lêi gi¶i : Ta sÏ chøng minh AD  BC lµ sai. ThËt vËy, gäi giao ®iÓm cña AD vµ BC lµ E ta cã :. tr¸i víi gi¶ thiÕt. Gi¶ sö AD > BC  AD + EA > BC + EB   D,  còng tr¸i víi gi¶ thiÕt.  ED > EC  C VËy chØ cã thÓ lµ AD < BC. Ghi chó : Ta hoµn toµn cã thÓ chøng minh trùc tiÕp kÕt qu¶ nµy. VÝ dô 2 : Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh b»ng a ; M lµ trung ®iÓm cña c¹nh AD ;. EFC (®­êng trßn nµy tiÕp xóc víi CE vµ CF lầ lượt tại B và D). a a L¹i cã 0  CE   BE   2 2 a  EF = BE + DF > BE >  AM  EF > AM, 2 m©u thuÉn víi (*). VËy AMFE kh«ng thÓ lµ h×nh thang c©n. VÝ dô 3 : Cho ®­êng trßn t©m O cã hai ®­êng kÝnh AB vµ CD vu«ng gãc víi nhau.. 20.

<span class='text_page_counter'>(22)</span> Gọi I và K lần lượt là trung điểm của OA, OB.  Tia CK c¾t (O) t¹i F. Chøng minh r»ng CIF kh«ng ph¶i lµ gãc vu«ng.   90o , suy ra : Lêi gi¶i : Gi¶ sö CIF   OIC   ICD   OIC   90 o  OIF   ICD.  OIF. Nh­ vËy nÕu gäi E lµ giao ®iÓm cña tia CI với (O) ; P và Q lần lượt là giao điểm cña tia FI víi (O) vµ ®­êng kÝnh CD th×   s® AP   s® FB  s® ED (1).. MÆt kh¸c v× AB, CD lµ hai ®­êng kÝnh   s® DB ; vu«ng gãc cña (O) nªn s® AD OI = OK (b»ng nöa b¸n kÝnh (O)) nªn CD lµ trung trùc cña ®o¹n IK  CD lµ ph©n gi¸c   s® DF.  Suy ra :   s® DE cña ECF.   s® AD  - s® DE   s® DB  - s® DF   s® FB  s® AE.   s® FB   s® AE. (2).   Tõ (1) vµ (2)  s® DE  s® EP  CE lµ  l¹i cã CI  PQ nªn ph©n gi¸c cña PCD, CPQ c©n t¹i C vµ IP = IQ. Ta dÔ dµng chøng minh ®­îc AIP = OIQ (c.g.c).   QOI   90o  BAP cã Suy ra PAI.   APB   90o lµ ®iÒu v« lÝ. PAB  kh«ng ph¶i lµ gãc vu«ng. VËy CIF. Ví dụ sau đây là bài toán thách đấu số 4 (TTT2 số 12) đã quen thuộc với các bạn, bµi to¸n cã rÊt nhiÒu c¸ch chøng minh. Nh©n bµi viÕt nµy t«i xin tr×nh bµy thªm mét c¸ch chøng minh kh¸c.. l. VÝ dô 4 : Cho h×nh vu«ng ABCD. §iÓm M thuéc miÒn trong cña h×nh vu«ng, tháa m·n   MDA   15o. ®iÒu kiÖn MAD Chứng minh rằng MBC là tam giác đều. Lêi gi¶i : Theo gi¶ thiÕt ta suy ra :    75o (1) ; AMD   150o (2) ; BAM  CDM. MAD c©n t¹i M  MA = MD  BMA = CMD.   CMD  (3), MB = MC (4) (c.g.c)  BMA   MCB  (5).  MBC c©n t¹i M  MBC. Giả sử MBC không đều, từ (4) suy ra : MB > BC hoÆc MB < BC.   BAM  NÕu MB > BC  MB > AB  BMA.   75o , tõ (1), (2), (3) ta cã :  BMA   BMA   CMD   300o  BMC   60o , AMD.   BMC   MB  BC , m©u tõ (5)  MBC thuÉn víi gi¶ thiÕt ban ®Çu. Tương tự như trên, từ MB < BC ta lại chøng minh ®­îc MB > BC, lµ ®iÒu v« lÝ. VËy chØ cã thÓ lµ BC = MB = MC hay MBC là tam giác đều. Bµi tËp vËn dông. Bµi 1 : Cho tam gi¸c ABC. Chøng minh a  nhọn, trong đó a và r»ng nÕu ma  th× A 2 ma lần lượt là độ dài của cạnh BC và đường trung tuyÕn kÎ tõ A). Bµi 2 : Cho ®­êng trßn (O) vµ I, K lÇn lượt là trung điểm của các dây cung AB, CD. BiÕt r»ng AB > CD vµ tia AB c¾t tia CD t¹i P, chøng minh r»ng PI > PK.. 21.

<span class='text_page_counter'>(23)</span> mét sè d¹ng to¸n thi häc sinh giái. “gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh ®iÖn tö” Tạ Duy Phượng (Viện Toán học) (Tiếp theo kì trước). Dạng 9. Toán tăng trưởng, phần trăm ThÝ dô 1 (Thi Khu vùc, 2002, líp 9) : HiÖn nay dân số của quốc gia B là a người ; tỉ lệ t¨ng d©n sè mçi n¨m lµ m%. 1) H·y x©y dùng c«ng thøc tÝnh sè d©n của quốc gia B đến hết năm thứ n. 2) Dân số nước ta tính đến năm 2001 là 76,3 triệu người. Hỏi đến năm 2010 dân số nước ta là bao nhiêu nếu tỉ lệ tăng dân số trung b×nh mçi n¨m lµ 1,2% ? 3) Đến năm 2020, dân số nước ta có khoảng 100 triệu người. Hỏi tỉ lệ tăng dân số trung b×nh mçi n¨m lµ bao nhiªu ? Lêi gi¶i : 1) Gäi Ai lµ sè d©n sau n¨m thø i. Sau 1 n¨m, d©n sè cña quèc gia B lµ : A1 = a + ma = a(1 + m).. Sau 2 n¨m, d©n sè cña quèc gia B sÏ lµ : A2 = a(1 + m) + m(1 + m)a = a(1 + m)2.. Tương tự, sau n năm, dân số sẽ là : An = a(1 + m)n-1 + m.a.(a + m)n-1 = a(1 + m)n (1) 2) TÝnh trªn m¸y Casio fx-500A : 76.3 . [( 1  1 . 2  1 0 0 )] SHIFT x. y. 9 . (84.94721606)  84,947216 triệu người 3) Tõ c«ng thøc (1) suy ra : m . TÝnh trªn m¸y Casio fx-500A :. n. An  1 (2) a. 100  76.3  SHIFT x1/ y 19  1  . 100  (1.433852166). Lµm trßn : m  1,4%.. ThÝ dô 2 (Khu vùc, 2001, líp 6-7) : 1) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng số tiền là 100 đôla với lãi suất là 0,35% / tháng. Hỏi sau 12 tháng người ấy nhận được bao nhiªu tiÒn c¶ gèc lÉn l·i ?. 2) Một người muốn rằng sau 1 năm phải có 20000 đôla. Hỏi phải gửi vào ngân hàng mét kho¶n tiÒn (nh­ nhau) hµng th¸ng lµ bao nhiªu, biÕt r»ng l·i suÊt tiÕt kiÖm lµ 0,27% / th¸ng. NÕu tÝnh ra tiÒn ViÖt th× mçi tháng người đó phải gửi bao nhiêu tiền, biết 100 đô la bằng 1489500 đồng. Lời giải : 1) Giả sử người ấy gửi a đồng vµo ng©n hµng tõ ®Çu th¸ng giªng víi l·i suÊt lµ m%. Cuèi th¸ng giªng sè tiÒn cña người ấy sẽ là T1 = a(1 + m). Vì hàng tháng người ấy tiếp tục gửi tiết kiệm a đồng nên số tiÒn gèc cña ®Çu th¸ng hai lµ :. a(1  m)  a  a[(1  m)  1]  . a a [(1  m)2  1]  [(1  m)2  1]. (1  m)  1 m. Sè tiÒn cuèi th¸ng hai lµ : a T2  [(1  m)2  1](1  m). m. Sè tiÒn c¶ gèc lÉn l·i vµo cuèi th¸ng thø n a lµ : Tn  [(1  m)n  1](1  m) (3) m ¸p dông víi n = 12 ; a = 100 ; m = 0,35% : 100  0.0035  [( [( 1  0.0035 )] SHIFT. x y 12  1 )]  [( 1  0.0035 )] . (1227.653434)  1227,65 đôla.. 2) Giả sử người đó gửi vào ngân hàng mỗi tháng là a đôla. Từ công thức (3) suy ra : Tn  m (4) a [(1  m)n  1](1  m) ¸p dông víi T = 20000 ; m = 0,27% ; n = 12 :. 0.27  100  Min  20000   [( 1 . 22.

<span class='text_page_counter'>(24)</span> MR )]  [( [( 1  MR )] SHIFT x y. 12  1 )]  (1637.639629).. §æi ra tiÒn ViÖt :  1489500  100 . (24392642.28)  24392642 đồng. NhËn xÐt : Hai thÝ dô trªn cho thÊy : 1) Tuy ph¸t biÓu kh¸c nhau, nh­ng hai d¹ng to¸n vÒ d©n sè vµ göi tiÒn tiÕt kiÖm lµ một : đó là dạng toán tăng trưởng. 2) Hai c«ng thøc (1) vµ (3) cho ta c¸ch thiÕt lËp c«ng thøc vµ m« h×nh to¸n häc cho bµi to¸n thùc tÕ. Mét c«ng thøc to¸n cã thÓ lµ m« h×nh cña nhiÒu bµi to¸n thùc tÕ cã b¶n chÊt to¸n häc gièng nhau. 3) Tõ (1) vµ (3) cã thÓ suy ra nhiÒu c«ng thøc kh¸c (thÝ dô, c«ng thøc (2) vµ (4)). 4) M¸y tÝnh gióp gi¶i c¸c bµi to¸n thùc tÕ (tăng trưởng dân số, gửi tiền tiết kiệm, ...) với các dữ liệu thật (thường là số to và lẻ). Bµi tËp 1 (Hµ Néi, 1996 ; Thanh Hãa, 2000 ; Thái Nguyên, 2003) : Dân số một nước là 65 triệu người, mức tăng dân số là 1,2% / năm. Tính dân số nước ấy sau 15 năm. Bµi tËp 2 (TP HCM, 1996 ; Hµ Néi, 1996) : Một số tiền 58000 đồng được gửi tiết kiÖm theo l·i suÊt kÐp (mçi th¸ng tiÒn l·i ®­îc céng thµnh vèn). Sau 25 th¸ng ®­îc cả vốn lẫn lãi là 84155 đồng. Tính lãi suất. Bµi tËp 3 (CÇn Th¬, 2002) : D©n sè mét nước năm 1976 là 55 triệu người với mức tăng 2,2%. Tính số dân nước đó sau 10 năm. Bµi tËp 4 (H¶i Phßng, 2003, líp 8) : Một người gửi tiền vào ngân hàng số tiền là x đồng với lãi suất r% / tháng (lãi suất kép). Biết rằng người đó không rút tiền lãi ra. Hỏi sau n tháng người ấy nhận được bao nhiêu tiÒn c¶ gèc lÉn l·i ? áp dụng : x = 75000000 đồng ; r = 0,62 ; n = 12. 2) Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng một số tiền là a đồng với lãi suất m% / tháng (lãi suất kép). Hỏi cuối tháng thứ n người ấy. nhËn ®­îc bao nhiªu tiÒn c¶ gèc lÉn l·i ? áp dụng : a = 1000000 đồng ; m = 0,8 ; n = 12 (chính xác đến đồng). Bµi tËp 5 (H¶i Phßng, 2004) : D©n sè mét nước là 65 triệu người, mức tăng dân số trong mét n¨m b×nh qu©n lµ 1,2%. 1) ViÕt c«ng thøc tÝnh d©n sè sau n n¨m. 2) ViÕt quy tr×nh bÊm phÝm tÝnh d©n sè sau 20 n¨m. 3) Dân số nước đó sau k năm sẽ vượt 100 triÖu. T×m sè k bÐ nhÊt. Bài tập 6 (Cần Thơ, 2002) : Một người sử dông xe cã gi¸ trÞ ban ®Çu lµ 10 triÖu. Sau mçi n¨m, gi¸ trÞ xe gi¶m 10% so víi n¨m trước đó. 1) TÝnh gi¸ trÞ cña xe sau 5 n¨m. 2) Tính số năm để giá trị của xe còn nhỏ h¬n 3 triÖu. Bµi tËp 7 (Th¸i Nguyªn, 2003, líp 9) : Một người muốn rằng sau 2 năm phải có hai mươi triệu đồng để mua xe. Hỏi phải gửi vµo ng©n hµng mét kho¶n tiÒn nh­ nhau hµng th¸ng lµ bao nhiªu, biÕt r»ng l·i suÊt tiÕt kiÖm lµ 0,075% / th¸ng. Bµi tËp 8 (Thi Khu vùc, 2004. §Ò dù bÞ) : Một người gửi tiết kiệm 1000 đôla vào ng©n hµng trong kho¶ng thêi gian 10 n¨m víi lãi suất 5% / năm. Hỏi rằng người đó nhận ®­îc sè tiÒn nhiÒu h¬n hay Ýt h¬n bao nhiªu 5 nÕu ng©n hµng tr¶ l·i suÊt % mét th¸ng. 12 Bµi tËp 9 (H¶i Phßng, 2004, líp 9) : Mét người vào bưu điện để gửi tiền cho người thân, trong túi có 5 triệu đồng. Chi phí dịch vụ hết 0,9% tổng số tiền gửi đi. Hỏi người th©n nhËn ®­îc bao nhiªu tiÒn. Kết luận : Toán phần trăm, tăng trưởng là d¹ng to¸n hay gÆp trong thùc tÕ. To¸n häc gióp ta lËp c«ng thøc (x©y dùng m« h×nh), m¸y tÝnh gióp ta dÔ dµng tÝnh to¸n víi c¸c số liệu thật (thường là số lớn và lẻ), tức là g¾n to¸n víi thùc tÕ h¬n.. 23.

<span class='text_page_counter'>(25)</span> SỬ DỤNG PHÉP QUY NẠP. TRONG CHỨNG MINH HÌNH HỌC ViÖc sö dông phÐp quy n¹p to¸n häc trong chứng minh các bài toán đại số và số học hẳn đã rất quen thuộc với nhiều bạn. NhiÒu bµi to¸n h×nh häc phøc t¹p còng đã được chứng minh nhờ vào phép quy nạp. Sau ®©y xin giíi thiÖu víi c¸c b¹n mét sè bµi to¸n nh­ vËy. Bµi to¸n 1 : Chøng minh r»ng mäi ®a giác lồi n cạnh (n  5) đều chia được thành mét sè h÷u h¹n c¸c ngò gi¸c låi. Lêi gi¶i : Víi n = 5 hiÓn nhiªn ta cã mét ngò gi¸c låi. Giả sử bài toán đúng với n = k > 5, ta sẽ chứng minh bài toán đúng với n = k + 1.. ThËt vËy víi A1A2...Ak + 1 lµ mét ®a gi¸c låi k + 1 c¹nh, lÊy ®iÓm M n»m trªn c¹nh A1A2 (M kh¸c A1 vµ M kh¸c A2) ; ®iÓm N. n»m trªn c¹nh A4A5 (N kh¸c A1 vµ N kh¸c A5). Ta thÊy MN chia A1A2...Ak + 1 thµnh hai ®a gi¸c låi MA2A3A4N vµ A1MNA5A6...Ak + 1 lần lượt có 5 cạnh và k cạnh. Theo giả thiết. T¹ minh hiÕu (Giáo viên trường THCS Yªn L¹c, Yªn L¹c, VÜnh Phóc. quy n¹p, A1MNA5A6...Ak + 1 lu«n chia ®­îc thµnh mét sè h÷u h¹n c¸c ngò gi¸c låi. VËy A1A2...Ak + 1 còng chia ®­îc thµnh mét sè h÷u h¹n c¸c ngò gi¸c låi. Theo nguyªn lÝ quy n¹p, bµi to¸n ®­îc chøng minh. Bµi to¸n 2 : Cho n lµ mét sè tù nhiªn lín h¬n hoÆc b»ng 6. Chøng minh r»ng : lu«n chia ®­îc mét h×nh vu«ng thµnh n h×nh vu«ng nhá (c¸c h×nh vu«ng sau khi chia kh«ng nhÊt thiÕt ph¶i b»ng nhau). Lời giải : Theo dõi các hình vẽ dưới đây ta thấy bài toán đúng với n bằng 6, 7, 8. Nh­ vËy theo nguyªn lÝ quy n¹p, gi¶ sö bµi toán đúng với n = k > 8 th× ta cÇn ph¶i chøng minh bài toán đúng với n = k + 3 vì bài toán đã đúng với 3 trường hợp liªn tiÕp ®Çu tiªn lµ 6, 7, 8. ThËt vËy : Ta nhËn thÊy, sau khi chia mét h×nh vu«ng thµnh k h×nh vu«ng nhá mµ ta lÊy bÊt k× mét h×nh vu«ng trong sè k h×nh vuông nhỏ đó, chia thành 4 h×nh vu«ng b»ng nhau (lu«n thùc hiÖn ®­îc) th× hình vuông ban đầu đã ®­îc chia thµnh k + 3 h×nh vu«ng nhá. Bµi to¸n ®­îc chøng minh.. 24.

<span class='text_page_counter'>(26)</span> Bµi to¸n 3 : Trªn mÆt ph¼ng, cho n đường thẳng, trong đó không có hai đường th¼ng nµo song song vµ kh«ng cã ba ®­êng thẳng nào đồng quy. Hãy tính số các miền con rêi nhau cña mÆt ph¼ng do c¸c ®­êng thẳng đó chia ra. Lêi gi¶i : Gäi f(n) lµ sè c¸c miÒn con rêi nhau cña mÆt ph¼ng ®­îc chia bëi n ®­êng th¼ng nãi trªn. Trước hết, bằng trực quan ta đếm được : f(1) = 2 ; f(2) = 4 ; f(3) = 7 ; f(4) = 11. Víi c¸c kÕt qu¶ ban ®Çu nµy, ta cã nhËn xÐt quan träng sau : f(1) = 2 ; f(3) = f(2) + 3 = 7 ; f(2) = f(1) + 2 = 4 ; f(4) = f(3) + 4 = 11. Từ đó ta có dự đoán : f(n) = f(n - 1) + n  f(n) = f(n - 2) + (n - 1) + n ...............................................  f(n) = f(1) + 2 + 3 + 4 + ... + n  f(n) = 2 + 2 + 3 + 4 + ... + n  f(n) = 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n n(n  1)  f(n)  1  (*), 2 ta sẽ dùng phép quy nạp để chứng minh : 1(1  1) Víi n = 1, (*)  f(1)  1   2, đúng. 2 Giả sử (*) đúng với n = k > 1, ta cần chứng minh (*) đúng với n = k + 1 : k(k  1) (k  1)(k  2)  f(k  1)  1  f(k)  1  . 2 2 Thật vậy, gọi k + 1 đường thẳng đó là d1,. d2, ..., dk, dk + 1. Theo gi¶ thiÕt quy n¹p, k ®­êng th¼ng d1, d2, ..., dk chia mÆt ph¼ng thµnh f(k)  1 . k(k  1) miÒn con rêi nhau. 2. XÐt ®­êng th¼ng dk + 1, ®­êng th¼ng nµy ph¶i c¾t k ®­êng th¼ng cßn l¹i t¹i k ®iÓm ph©n biÖt hay dk + 1 bÞ chia thµnh k + 1 phÇn khác nhau, mỗi phần đó đi qua một miền con của mặt phẳng và chia miền con đó thµnh hai miÒn con nhá h¬n. Tãm l¹i sè miÒn con rêi nhau ®­îc t¨ng thªm lµ k + 1 miÒn khi thªm ®­êng th¼ng dk + 1.. VËy f(k  1)  f(k)  k  1  1 . k(k  1) k 1 2. (k  1)(k  2) , đúng. 2 VËy sè c¸c miÒn con rêi nhau cña mÆt ph¼ng ®­îc chia bëi n ®­êng th¼ng tháa n(n  1) mãn điều kiện đề bài là 1  . 2 Bài toán dưới đây là một mở rộng của bài toán Tô màu bản đồ (cuộc thi Olympic toán học Cô-lô-ra-đô, Mỹ, 1998 - TTT2 số 16). Bµi to¸n 4 : Trªn mÆt ph¼ng, cho mét sè ®­êng th¼ng vµ mét sè ®­êng trßn, chóng chia mÆt ph¼ng thµnh c¸c miÒn rêi nhau (chØ chung nhau c¸c ®iÓm trªn biªn). Chøng minh rằng chỉ cần hai màu để tô các miền thu ®­îc sao cho hai miÒn kÒ nhau (chung nhau mét ®o¹n biªn) th× cã mµu kh¸c nhau. Bµi to¸n nµy cã mét c¸ch chøng minh kh¸c rÊt hay - sö dông phÐp quy n¹p. Hướng dẫn : Với k + 1 đường thẳng và ®­êng trßn d1, d2, ..., dk + 1 (dk + 1 lµ ®­êng th¼ng) : T« c¸c miÒn mµ k ®­êng th¼ng vµ ®­êng trßn d1, d2, ..., dk chia ra ; gi÷ nguyªn màu đã tô trên một trong hai nửa mặt phẳng do ®­êng th¼ng dk + 1 chia ra, nöa cßn l¹i ta đổi màu toàn bộ các miền. §Ò nghÞ c¸c b¹n h·y gi¶i bµi to¸n 4 vµ các bài tập dưới đây bằng cách sử dụng phÐp quy n¹p. Bµi 1 : Trªn mÆt ph¼ng, cho n ®iÓm kh«ng cïng thuéc mét ®­êng th¼ng. Qua hai ®iÓm bÊt k×, ta kÎ mét ®­êng th¼ng. Chøng minh r»ng cã kh«ng Ýt h¬n n ®­êng th¼ng kh¸c nhau ®­îc kÎ (n  3). Bµi 2 : Cho ®a gi¸c låi 2n c¹nh néi tiÕp trong đường tròn, có n - 1 cặp cạnh đối song song víi nhau. Chøng minh r»ng : a) Cặp cạnh đối còn lại cũng song song víi nhau nÕu n lÎ ; b) Cặp cạnh đối còn lại bằng nhau nếu n ch½n.  f(k  1)  1 . 25.

<span class='text_page_counter'>(27)</span> Tìm lời giải .... bất phương trình có nghiệm :. - 3x + 1)  0  (x + 2  x - 3x + 1  0. khi vµ chØ khi. (TiÕp theo trang 18). 1)(x2. (x + 1 > 0). 3 5 3 5 (tÝnh x) x 2 2 KÕt hîp víi ®iÒu kiÖn 0 < x  1 ta suy ra :. . 3 5  x 1 2 VËy víi 0 <    th× S = S1 + S2  0. 3 5  (1).  1 2  l Xét trường hợp 0 <   , tương tự như trường hợp trên : Chia cả hai vế của (*) b cho a2  0 và đặt u  ta có : a 2 f(u) = ( - 4)u + (4 - 6)u + ( - 4)  0. V× ( - 4) < 0 nªn f(u)  0  ’u  0. khi vµ chØ khi. - ( - 4)( - 4)  0  3 2   - 2  - 22 + 3  0 2(2 3. 3)2. 2.        2   2  1  0         3 2  y - 2y - 2y + 1  0 (đặt  y, 0 < y  1), . 3 5  y 1 2 VËy víi 0 <    th× S = S1 + S2  0. 3 5   1 (2). 2  Tõ (1) vµ (2) suy ra : Víi  vµ  lµ c¸c số dương, điều kiện để S = S1 + S2  0. lµ. 3 5  3 5    1 hoÆc   1. 2  2 . Trë l¹i bµi to¸n 1. Ta thÊy nã lµ mét trường hợp đặc biệt của kết quả trên :. 3 5  5   1 2  8 đúng, suy ra S = 5S1 + 8S2  0. Víi  = 5 vµ  = 8 th×. 3 5  5   1 2  8 đúng, suy ra S = 8S1 + 5S2  0. Víi  = 8 vµ  = 5 th×. 5S  8S2  0 VËy :  1 8S1  5S2  0 Qua bµi to¸n nµy ta thÊy r»ng, viÖc lùa chọn hướng chứng minh cho nhiều bài toán hoàn toàn không đơn giản nhưng trong một số trường hợp, khi đặt vấn đề t×m lêi gi¶i cho bµi to¸n më réng cña nã th× lại đem đến thành công bất ngờ.. (TiÕp theo trang 19). Trở lại bài toán thách đấu, lời giải là sự kÕt hîp mét c¸ch khÐo lÐo c¸c kÕt qu¶ có trong các bổ đề 1 ; 2 ; 3 (hình 2). §Æt : N1 = BB’  AD ; N2 = BB’  AM ;. C1’ = CN1  AB ; C2’ = CN2  AB.. Vì N1 thuộc đoạn AD nên theo bổ đề 2 ta có : CC1’ < BB’ (5) Vì N2 thuộc đoạn AM nên theo bổ đề 3 ta có : CC2’ < BB’ (6). H×nh 2. Vì N thuộc đoạn N1N2 nên C’ thuộc đoạn C1’C2’, theo bổ đề 1 ta có : CC’ < max { CC1’, CC2’} (7). Tõ (5), (6), (7) suy ra : BB’ > CC’.. 26. NguyÔn Minh Hµ.

<span class='text_page_counter'>(28)</span> Sử S ưa thơ cho đúng.... l. Dao lµ c«ng cô lµm ®­îc nhiÒu viÖc. Bµi th¬ bªn cÇn ph¶i söa l¹i thÕ nµo ?. l. động từ !. Ra vườn chọc lá, chích cành Vµo bÕp gät thÞt, vãt hµnh, läc khoai Tờ giấy to đẽo làm đôi Mổ cây, xắt gốc trên đồi làm nương GiÕt lîn tØa tiÕt, chÆt l«ng Thái bụng, đẵn thịt, khía xương, chÎ b× S¸ch b¸o tiÖn mÐp ph¼ng l× C¹o cµnh sung nhùa tøc th× ch¶y ra “Yªu nhau cau s¸u räc ba” Dóng mía lạng vỏ, tước ra khúc tròn. X¾t tre, ®Çu mÆt kh¾c lu«n Chäc khóc, xÐn máng, bæ tr¬n ®an sÒ B¸c thî cµy rãc say mª. Người chích con dấu tay nghề ph¶i cao Dưa chuột pha lát đều nhau ThÇy thuèc thËn träng ph¸t vµo khèi u. Mai §×nh PhÈm. (45 T©n L©m, ý Yªn, Nam §Þnh). KÕt qu¶ : ChuyÆn du lÙch cða tái (TTT2 soá 19). ChuyÕn du lÞch cña t«i m¾c rÊt nhiÒu lỗi sai dưới đây : 1. Nhầm lẫn địa danh - ở Hải dương không có hội chọi trâu (Héi chäi tr©u ë §å S¬n, H¶i Phßng). - ë §iÖn Biªn kh«ng cã khu du lÞch Sa Pa (Khu du lÞch Sa Pa ë Lµo Cai). - ở Đà Nẵng không có động Phong Nha (§éng Phong Nha ë Qu¶ng B×nh). - Khu phè cæ Héi An kh«ng cã cÇu Trµng TiÒn (cÇu Trµng TiÒn ë HuÕ). - Ng· ba §ång Léc kh«ng ë phÝa nam §µ N½ng (ë Hµ TÜnh). - §µ L¹t kh«ng ®­îc mÖnh danh lµ “thÞ trÊn trong m©y” (“ThÞ trÊn trong m©y” lµ Tam §¶o, VÜnh Phóc). - ë Gia Lai kh«ng cã Bu«n §«n (Bu«n §«n ë §¾k L¾k). 2. Mét sè nhÇm lÉn kh¸c - Sông Hương không “cuồn cuộn” chảy (mà “êm đềm” chảy). - Ng· ba §ång Léc kh«ng ph¶i lµ n¬i c¸c c« g¸i “giao liªn” hi sinh (mµ lµ n¬i c¸c. c« g¸i “thanh niªn xung phong” hi sinh). - Chuyến du lịch qua nhiều địa danh xuyªn suèt B¾c - Trung - Nam kh«ng thÓ kÐo dµi 5-6 ngµy (mµ ph¶i trªn 10 ngµy). - Hµnh tr×nh kh«ng hîp lÝ : Kh«ng thÓ tõ §µ N½ng “vµo” Qu¶ng B×nh råi tõ HuÕ “ra” Hµ TÜnh, “lªn” §µ L¹t, “sang” §¾k L¾k, “vÒ” Vòng Tµu, “tíi” TP. Hå ChÝ Minh. B¹n ph¶i lên Lào Cai, về Hải Dương, đi Hà Tĩnh, Qu¶ng B×nh, §¾k L¾k, §µ L¹t, TP. Hå ChÝ Minh, Vòng Tµu. N¨m b¹n ®­îc trao gi¶i k× nµy lµ : Lª NguyÔn Minh, 29 NguyÔn ThÞ Lý, TX. Qu¶ng TrÞ, Qu¶ng TrÞ ; Cao Thu Trang (con «ng Cao Xu©n HiÒn) tæ 25, T©n Quang, TX. Tuyªn Quang, Tuyªn Quang ; Vũ Thị Phương Thảo, 7C, THCS Bạch Liªu, Yªn Thµnh ; Hå ThÞ Quúnh Trang B, 8A, THCS §Æng Thai Mai, TP. Vinh, NghÖ An ; TrÇn V¨n Ngäc H­ng, 6/1, THCS Phan Thóc DuyÖn, §iÖn Thä, §iÖn Bµn, Qu¶ng Nam. Phó B×nh. 27.

<span class='text_page_counter'>(29)</span> Chó Khoa ¬i ! T¹i sao chó lµ nhµ th¬ mµ l¹i xuÊt hiÖn trong mét tê t¹p chÝ to¸n dµnh cho thiÕu nhi ? Cã ph¶i tr¸i tim chó lu«n dµnh cho thiÕu nhi chóng ch¸u nh÷ng t×nh c¶m tèt đẹp không ạ ? Lª Vâ Ch©u Anh (9A, THCS NguyÔn Träng B×nh, K× Anh, Hµ TÜnh). TrÇn §¨ng Khoa : ChÝnh chó còng rÊt ng¹c nhiªn, kh«ng hiÓu t¹i sao m×nh l¹i xuÊt hiÖn ë mét t¹p chÝ Toán học dành cho các cháu, mà những điều mình bàn thì lại chẳng dính gì đến toán học c¶. C¸c ch¸u häc to¸n, nghiªn cøu s©u vÒ to¸n, cã thÓ cã rÊt nhiÒu ch¸u ®ang häc ë c¸c líp chuyªn to¸n. Nh­ng dï häc chuyªn to¸n th× còng vÉn kh«ng thÓ bá ®­îc m«n v¨n. Sau nµy, cã thÓ nhiÒu ch¸u sÏ trë thµnh nh÷ng nhµ khoa häc lín. Khi c¸c ch¸u thuyÕt tr×nh vÒ nh÷ng ph¸t minh, s¸ng chÕ cña m×nh, lµm sao cho hÊp dÉn vµ chinh phôc ®­îc đông đảo mọi người. Lúc ấy, các cháu lại phải dùng ngôn ngữ, chứ không phải chỉ có những công thức toán. Chạm đến ngôn ngữ là các cháu đụng đến văn rồi. Thiếu văn còng khã thµnh ®­îc nhµ to¸n häc hoµn thiÖn. Vµ ngay c¶ nhµ v¨n còng ph¶i biÕt to¸n. To¸n gióp cho ta cã t­ duy chÆt chÏ. Bëi thÕ, v¨n vµ to¸n lµ hai lÜnh vùc rÊt kh¸c nhau nh­ng l¹i liªn quan chÆt chÏ víi nhau. Chó th©n víi nhiÒu nhµ khoa häc, vµ thÊy hä hiÓu văn học còn sâu sắc hơn cả một số nhà văn. Họ nhìn mọi chuyện đều rạch ròi, mạch lạc. Chính vì sự gắn bó mật thiết ấy, nên tạp chí Toán Tuổi thơ mới có đến mấy chuyên mục chuyªn vÒ v¨n nh­ : “Sang ch¬i nhµ v¨n”, “§èp ch¸t víi TrÇn §¨ng Khoa”, råi l¹i in c¶ thơ nữa. Tất nhiên, đấy là những câu thơ có những chi tiết phi lôgic, để các cháu dùng tư duy của toán học để điều chỉnh lại. Chú thấy đó là những giây phút thư giãn cần thiết. Ph¶i nãi anh Lª Thèng NhÊt, Phã Tæng Biªn tËp t¹p chÝ To¸n Tuæi th¬ lµ mét nhµ d¹y to¸n rÊt th«ng minh. Anh Êy cã biÖt tµi bµy cç. M©m cç anh Êy dµnh cho c¸c ch¸u rÊt sinh động và vui mắt. Bên cạnh những món sơn hào hải vị, là những bài toán rất đỗi kì thú, anh ấy còn điểm xuyết thêm mấy đĩa húng láng, mùi tầu và kinh giới. Bản thân mấy rảnh rau thơm đượm mùi văn chương ấy không phải yến tiệc, nhưng có chúng, mâm cỗ của chúng ta cũng thêm hương vị, mà nhìn cũng sinh động và vui mắt ra trò !. 28.

<span class='text_page_counter'>(30)</span> K× nµy :. vÖ sao ?. GhÕ tùa tr«ng d¸ng xinh xinh ChÆt ®Çu l¹i ë ®Çu m×nh, v× sao ? Lª Thanh Nguyªn (8A6, THCS §éc LËp, TP. Th¸i Nguyªn). l. KÕt qu¶ : Ô chữ CÁC LOAØI CHIM (TTT2 số 19). Vườn Anh kì này thực sự đã trở thành n¬i tæ chøc ngµy héi cña c¸c loµi chim. C¸c lo¹i chim, tõ nh÷ng loµi ë tÝt trong rõng sâu nhiệt đới đến những loài ở tận Bắc cực l¹nh gi¸ xa x«i ; tõ nh÷ng chó chim hiÒn lành kiếm mồi trên mặt nước đến những chú chim dũng mãnh bay lượn trên không trung ; từ những chú chim xinh đẹp như thiên nga đến chim xấu xí như quạ đen... đều được bạn đọc của TTT đem đến tham dự “Thăm Vườn Tiếng Anh” kì này. Với 12 c¸i lång, b¹n Ph¹m ThÞ Yªn, 9A1, THCS Trưng Vương, Uông Bí, Quảng Ninh đã mang đến tận 45 loài chim. Thật đáng bái phục ! bái phục ! Chủ vườn chỉ xin cử ra một số đại diện. Ngoài ra, các bạn cứ tiếp tôc t×m kiÕm, xem cã b¹n nµo ph¸ ®­îc kØ lôc cña b¹n Yªn kh«ng nhÐ. Tõ trªn xuèng : thiªn nga ; chim ¸c lµ ; chim cắt ; chim cánh cụt ; chim khướu ; chim ã ; bå n«ng ; chim Ðn ; qu¹ ; gµ g« ; đại bàng ; chim chèo bẻo. Ngoµi b¹n Yªn, c¸c b¹n cã tªn sau còng là những người thắng cuộc kì này : Lê Thanh. Nguyªn, 8A6, THCS §éc LËp, TP. Th¸i Nguyªn, Th¸i Nguyªn ; Lª NguyÖt Hµn Giang, 9E, trường Hà Nội - Amsterdam, Hà Nội ; Nguyễn Duy Cương, 8A,THCS Tô HiÖu, TX. NghÜa Lé, Yªn B¸i ; NguyÔn Quang Vinh, thôn Bắc Phương Danh, thị trÊn §Ëp §¸, An Nh¬n, B×nh §Þnh. Chủ Vườn. 29.

<span class='text_page_counter'>(31)</span> VAÊN GÌ ?. V¨n g× l­u tr÷ giÊy tê ? V¨n g× chøng nhËn b¹n võa häc xong ? V¨n g× nÕp sèng xung quanh ? V¨n g× ca h¸t trë thµnh niÒmvui ? V¨n g× kh«ng nãi b»ng lêi ? Văn gì cam kết giữa người với ta ? V¨n g× nøc tiÕng gÇn xa ? V¨n g× héi häp c¸c nhµ v¨n nh©n ? V¨n g× ghÐp l¹i thµnh vÇn ? V¨n g× x©y dùng t¹i thµnh thêi x­a ? Các bạn đã đoán ra chưa ? Nhanh tay gửi nhé để “vua” ban quà ! §Æng ThÞ Quyªn Anh (9G, THCS §Æng Thai Mai, Vinh, NghÖ An). l. KÕtÕtÕt qu KÕ qu¶ u¶ : KÌ GÌ ? u¶. Th¸nh chØ :. (TTT2 sè 19). K× l¹ hiÕm thÊy bao giê K× ¶o khã thÊy mê mê b¹n ¬i Kì nghỉ sung sướng đã đời Kì diệu chiếc nón mọi người đều chơi K× tµi danh tiÕng mu«n n¬i Kì cục trông thấy là cười được ngay Kì vọng trông đợi hôm nay Kì thi sốt sắng đến ngày đi thi K× quan thÕ giíi cßn ghi Kì đà động vật khác gì kì nhông K× vÜ réng lín mªnh m«ng K× tÝch lËp ®­îc chiÕn c«ng oai hïng Thảo dân đoán đúng kì phùng Trẫm xin đánh trống “tùng... tùng” thưởng to.. Ban thưởng : Vũ Thị Thu Hương, 6A3, THCS Nam Cao, LÝ Nh©n, Hµ Nam ; Vò Lª Trang Anh, 9D, THCS TrÇn H­ng §¹o, thÞ x· Qu¶ng Ng·i, Qu¶ng Ng·i ; NguyÔn Duy Cương, 8A, THCS Tô Hiệu, thị xã NghÜa Lé, Yªn B¸i ; Vâ TuÊn Anh, bè lµ Vâ Hång Lam, xãm 6, thÞ trÊn §øc Thä ; NguyÔn CÈm Trang, 9D, THCS Phan Huy Chó, Th¹ch Hµ, Hµ TÜnh. Vua TÕu. 30.

<span class='text_page_counter'>(32)</span> Hỏi : Hôm trước em có đến 57 Giảng Võ thì đấy là lß rÌn. Mong quý b¸o ghi l¹i chính xác địa chỉ để em còn göi bµi. §µo Duy To¸n (9A, THCS Lương Yên, Hà Nội) §¸p : 57 Gi¶ng Vâ, em ¬i Mét n¬i Tßa b¸o, mét n¬i lß rÌn C¸c b¸c B­u ®iÖn th× quen Do đó thư của các em vẫn về Sè míi 187 B Mong em tÝch cùc m¶i mª... göi bµi.. Hái : Tõ khi em lªn mét tuổi cho tới giờ, mọi người đặt cho em một cái biệt danh... kinh khñng : “Õch ép”. Làm sao để mọi người đừng gäi n÷a, anh ¬i... Õch ép (7E, THCS B×nh An, B×nh Léc, Can Léc, Hµ TÜnh) §¸p : Mçi lÇn nghe “Õch ép !” Xin em đừng giật thột Cứ cười hết cỡ môi Vµ c¶m ¬n : “èp ! èp !” Hái : Cã lÇn nhµ m×nh võa ¨n c¬m xong th× bè m×nh ®­a cho 2 quyÓn TTT và bảo : “Này... 5 000 đồng đấy !”. Mình nghĩ là : Có lẽ bè kh«ng muèn mua nh­ng v× m×nh mµ bè ph¶i mua, chắc bố thương mình lắm. M×nh cã nªn b¶o bè mua. TTT cho m×nh n÷a kh«ng ? Ngô Thị Hương (th«n B¶o Th¸p, Kim Hoa, Mª Linh, VÜnh Phóc) §¸p : Bè em nãi ý thÕ nµy : N¨m ngh×n hai quyÓn ph¶i say đọc vào Häc hµnh cè g¾ng ®iÓm cao NÕu kh«ng... tµi chÝnh bÞ “hao” n¨m ngh×n.. Hỏi : Em đã đọc những lêi “gì” cña anh vµ em thÊy anh tr¶ lêi b»ng th¬ rÊt hay. Ch¾c ngµy cßn lµ häc sinh anh còng lµ mét c©y bót tµi ba nh­ TrÇn §¨ng Khoa ? Nhãm Lan Rõng (8B, THCS Xu©n LÜnh, Hång LÜnh, Hµ TÜnh) §¸p : Cảm ơn em đã “tôn thờ” Ngµy x­a th¬ thÈn... “ngÈn ng¬” cùc k× Häc b¸c Khoa ®­îc tÝ ti Đọc thơ anh, bác cười phì... nhiÒu phen !. ChØ nh×n ®­êng “trung trùc” “Quü tÝch” ®Çu bót bi ChØ khæ hai hµng mi §· bao lÇn “h¹ xuèng” §ªm “®i qua”... thËt uæng §· “bao lÇn” råi... em.... Hái : Em ph¶i lµm g× ®©y ? Các số TTT2 từ số 1 đến số 10 của em đã bị thằng em nã “cuçm” theo vµo Ninh ThuËn råi !!! Nã thËt nhÉn t©m anh nhØ ? Bå c©u g¸i mong håi ©m (289 Bµ TriÖu, P. 7, TX Tuy Hßa, Phó Yªn) §¸p : Th»ng em “l¸o” thËt ! Nã lÌn “u” ? B¸o mÊt mét “chång”, khÐo ®i... tu Th«i th× “nã” thÝch nh­ “u” thÝch Tí tÆng l¹i cho... kÖ “nã” xï !!!. Hái : T¹i sao anh chØ tr¶ lêi b»ng th¬ mµ kh«ng tr¶ lêi b»ng... to¸n häc ? Cã bao giê anh thÊy bÝ ch­a ?. NguyÔn Khæng Thanh Th¶o. (352/1 tæ 13, khu phè 2, B×nh §a, TP. Biªn Hßa) §¸p : Có nhiều đêm “đa thức” Ch¼ng “nghiÖm” ®­îc ®iÒu g×. 31. anh phã gì.

<span class='text_page_counter'>(33)</span> j Bài 1(21) : Cho ba số chính phương A, B, C. Chứng tỏ r»ng : (A - B)(B - C)(C - A) chia hÕt cho 12.. nguyễn Văn đĩnh. (GV trường THCS Nghĩa Hưng, Nghĩa Hưng, Nam Định). 1. 2. 4. j Bµi 2(21) : Chøng minh r»ng : 3 3 2  1  3 9  3 9  3 9 .. mai v¨n qu¶ng (GV trường THCS thị trấn Tiên Lãng, Hải Phòng). j Bµi 3(21) : Cho a  -b, a  -c, b  -c. Chøng minh r»ng :. b2  c 2 c 2  a2 a2  b 2 bc c a ab      . (a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) b  c c  a a  b. nguyễn đức trường. (GV trường THCS Đa Tốn, Gia Lâm, Hà Nội). j Bµi 4(21) : Cho tam gi¸c ABC cã BC = a, CA = b,. AB = c và a + b + c = 9 ; x, y, z lần lượt là độ dài các ph©n gi¸c trong cña c¸c gãc A, B, C. 1 1 1 Chøng minh r»ng :    1. x y z. lª thÞ liÔu (GV trường THCS Lê Lợi, Quy Nhơn, Bình Định). j Bµi 5(21) : Cho tam gi¸c nhän ABC, trùc t©m H. Chøng minh r»ng :. HB.HC HC.HA HA.HB    1. AB.AC BC.BA CA.CB. TS. NguyÔn Minh Hµ (Hµ Néi). 32.

<span class='text_page_counter'>(34)</span>

<span class='text_page_counter'>(35)</span>

<span class='text_page_counter'>(36)</span>

<span class='text_page_counter'>(37)</span>