Giáo trình Lý thuyết điều khiển tự động (Ngành CNKT Điều khiển và tự động hóa)

ỦY BAN NHÂN DÂN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG CAO ĐẲNG KINH TẾ KỸ THUẬT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


GIÁO TRÌNH
MƠN HỌC: LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
NGÀNH: CNKT ĐIỀU KHIỂN VÀ TỰ ĐỘNG HĨA
TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG
THƠNG TIN CHỦ NHIỆM ĐỀ TÀI
Họ tên: ĐỖ HỮU NHÂN
Học vị: Thạc sĩ
Đơn vị: Khoa Điện – Tự động hóa
Email:
TRƯỞNG KHOA

TỔ TRƯỞNG
BỘ MƠN

CHỦ NHIỆM
ĐỀ TÀI

Đỗ Hữu Nhân
HIỆU TRƯỞNG
DUYỆT

Thành phố Hồ Chí Minh, năm 2020


TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN
Tài liệu này thuộc loại sách giáo trình nên các nguồn thơng tin có thể được phép

dùng nguyên bản hoặc trích dùng cho các mục đích về đào tạo và tham khảo.
Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc hoặc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu
lành mạnh sẽ bị nghiêm cấm.


LỜI GIỚI THIỆU
Giới thiệu xuất xứ của giáo trình, quá trình biên soạn, mối quan hệ của giáo trình
với chương trình đào tạo và cấu trúc chung của giáo trình.
Lời cảm ơn của các cơ quan liên quan, các đơn vị và cá nhân đã tham gia.
Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 05 năm 2020
Chủ biên
Đỗ Hữu Nhân


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT

CHỮ CÁI VIẾT TẮT

CỤM TỪ ĐẦY ĐỦ

LT

Lý thuyết

HT

Hệ thống

ĐK

Điều khiển

ĐKTĐ

Điều khiển tự động

pt

Phương trình

vp

Vi phân

ĐL

Định luật

TT

Trạng thái

QĐNS

Quỹ đạo nghiệm số


MỤC LỤC
TRANG
LỜI GIỚI THIỆU

CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG .............................. 1
1.1. Giới thiệu chung về điều khiển ..................................................................................... 1
1.2. Nhiệm vụ cơ bản của lý thuyết điều khiển .................................................................. 2
1.3. Lịch sử phát triển của lý thuyết điền khiển tự động .................................................... 2
1.4. Cơ sở hệ thống tự động................................................................................................. 3
1.5. Ví dụ một số hệ thống điều khiển tự động trong thực tế .............................................. 5
CHƯƠNG 2: KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG LT ĐKTĐ ...... 10
2.1. Khái niệm về tín hiệu ................................................................................................. 10
2.2. Phép biến đổi Laplace................................................................................................. 11
2.3. Các phép toán ma trận ................................................................................................ 16
CHƯƠNG 3: MƠ TẢ TỐN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG .................. 18
3.1. Phương trình vi phân mô tả hệ thống ......................................................................... 18
3.2. Mô tả hệ thống dưới dạng hàm truyền đạt .................................................................. 19
3.3. Đại số sơ đồ khối ........................................................................................................ 21
3.4. Mơ hình trạng thái ...................................................................................................... 24
CHƯƠNG 4: KHẢO SÁT ĐỘNG HỌC HỆ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC ........................ 35
4.1. Các đặc tính thời gian ................................................................................................. 35
4.2. Đặc tính tần số ............................................................................................................ 36
4.3. Khảo sát động học của một số khâu động học cơ bản ................................................ 37
4.4. Khảo sát động học của hệ thống điều khiển tự động .................................................. 41
CHƯƠNG 5: KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ĐKTĐ ......................... 45
5.1. Khái niệm về ổn định hệ thống................................................................................... 45
5.2. Các tiêu chuẩn ổn định đại số ..................................................................................... 47
5.3. Các tiêu chuẩn ổn định tần số ..................................................................................... 51
5.4. Phương pháp quỹ đạo nghiệm số................................................................................ 53
CHƯƠNG 6: KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG CỦA HỆ THỐNG ĐKTĐ ........................... 59
6.1. Khái niệm về chất lượng của hệ thống ....................................................................... 59
6.2. Các chỉ tiêu về chất lượng động ................................................................................. 59
6.3. Các chỉ tiêu chất lượng tĩnh ........................................................................................ 61
CHƯƠNG 7: TỔNG HỢP HỆ THỐNG ........................................................................... 66

7.1. Bài toán tổng hợp hệ thống......................................................................................... 66
7.2. Bộ điều khiển PID ...................................................................................................... 67
7.3. Các phương pháp tổng hợp bộ điều khiển PID .......................................................... 69
7.4. Tổng hợp hệ thống trong không gian trạng thái ......................................................... 71


GIÁO TRÌNH MƠN HỌC
Tên mơn học: LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Mã mơn học: MH3103308
Vị trí, tính chất, ý nghĩa và vai trị của mơn học:
- Vị trí: là mơn học chun ngành, bố trí học ở học kì 2.
- Tính chất: Là mơn học bắt buộc chun ngành cơng nghệ kỹ thuật điều khiển và tự động
hóa.
- Ý nghĩa và vai trị của mơn học: Mơn học này trang bị cho người học các nội dung về các
thành phần của một hệ thống điều khiển tự động tuyến tính liên tục, các phương pháp xây
dựng mơ hình tốn học của hệ thống điều khiển tự động bao gồm: hàm truyền đạt, grapth tín
hiệu và phương trình trạng thái, vấn đề điều khiển được và quan sát được, các phương pháp
khảo sát ổn định của hệ thống điều khiển tự động, các phương pháp khảo sát chất lượng của
hệ thống điều khiển: độ chính xác, miền thời gian, miền tần số và các phương pháp thiết kế hệ
thống điều khiển tự động sao cho hệ ổn định và đạt được các chỉ tiêu chất lượng đề ra.
Mục tiêu của môn học/mơ đun:
- Về kiến thức:
+ Có kiến thức về các phương pháp điều khiển.
+ Có kỹ năng phân tić h, thiế t kế và kiể m chứng các giải thuâ ̣t điề u khiể n.
- Về kỹ năng:
+ Thiế t kế và kiể m chứng các hệ thống điề u khiể n cơ bản.
+ Sử dụng phần mềm Matlab dùng để mô phỏng và tổng hợp hệ thống điều khiển.
- Về năng lực tự chủ và trách nhiệm:
+ Có phương pháp làm việc khoa học, biết phân tích và giải quyết các vấn đề mới về
lĩnh vực điều khiển, có năng lực thực hiện cơng việc được giao.

+ Có ý thức kỷ luật trong quá trình học lý thuyết cũng như thực hành.
+ Năng động, tự tin, cầu tiến trong công việc.
+ Hợp tác, thân thiện, khiêm tốn trong các quan hệ
+ Tự chịu trách nhiệm về chất lượng đối với kết quả cơng việc do mình đảm nhiệm.


Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động
CHƯƠNG 1:
TỔNG QUAN HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Giới thiệu:
Chương 1 của giáo trình tập trung giới thiệu về lịch sử và các khái niệm cơ bản về lý
thuyết điều khiển tự động. Trình bày các thành phần trong hệ thống điều khiển tự động và
nguyên lý hooạt động trong thực tế thơng qua các ví dụ minh họa.
Mục tiêu:
- Mơ tả được khái niệm cơ bản về lý thuyết điều khiển.
- Trình bày được nguyên lý cơ bản trong điền khiển tự động.
- Giải thích được nguyên lý hoạt động của các thành phần trong hệ thống điều khiển tự
động trong thực tế.
- Có ý thức tự giác, tính kỷ luật cao, tinh thần trách nhiệm trong cơng việc, có tinh thần
hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau.
Nội dung chính:
1.1. Giới thiệu chung về điều khiển
1.1.1. Khái niệm về điều khiển
Trước tiên để hiểu điều khiển là gì chúng ta đi xét ví dụ: Lái xe, mục tiêu giữ tốc độ xe
ổn định với vận tốc là v = 40km/h.
+ Mắt quan sát đồng hồ đo tốc độ ⇒ Thu thập thông tin.

+ Não bộ điều khiển tăng tốc độ nếu v < 40km/h và giảm tốc độ nếu v > 40km/h ⇒ xử
lý thông tin.
+ Tay giảm ga hoặc tăng ga ⇒ Tác động lên hệ thống.

Kết quả là quá trình điều khiển trên: xe chạy với tốc độ “gần” bằng 40km/h.
Khái niệm về điều khiển: Điều khiển là quá trình thu thập thơng tin, xử lý thơng tin và
tác động lên hệ thống để đáp ứng của hệ thống “gần” với mục đích định trước. đều khiển tự
động là q trình điều khiển khơng có sự tác động của con người.
1.1.2. Tại sao cần phải điều khiển tự động?
Chúng ta cần phải điều khiển tự động cho hệ thống khi:
+ Đáp ứng của hệ thống không thõa mãn yêu cầu.
+ Cần tăng độ chính xác, tăng năng suất, tăng hiệu quả kinh tế cho hệ thống.
1.1.3. Phân loại hệ thống điều khiển
Phân loại dựa trên mơ tả tốn học của hệ thống:
+ Hệ thống liên tục: Hệ thống liên tục được mơ tả bằng phương trình vi phân.
KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

1


Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động
+ Hệ thống rời rạc: Hệ thống rời rạc được mô tả bằng phương trình sai phân.
+ Hệ thống tuyến tính: hệ thống được mô tả bằng hệ pt vi phân/sai phân tuyến tính.
+ Hệ thống phi tuyến: hệ thống được mô tả bằng hệ pt vi phân/sai phân phi tuyến.
+ Hệ thống bất biến theo thời gian: hệ số của pt vi phân/sai phân mô tả HT không đổi.
+ Hệ thống biến đổi theo thời gian: hệ số của pt vi phân/ sai phân mô tả hệ thống thay
đổi theo thời gian.
Phân loại dựa vào số ngõ vào – ra của hệ thống:
+ Hệ thống một ngõ vào – một ngõ ra (hệ SISO): (Single Input – Single Output)
+ Hệ thống nhiều ngõ vào – nhiều ngõ ra (hệ MIMO): (Multi Input – Multi Output)
+ Đa số các hệ thống trong thực tế đề là hệ phi tuyến biến đổi theo thới gian, nhiều
ngõ vào, nhiều ngõ ra.
1.2. Nhiệm vụ cơ bản của lý thuyết điều khiển

LT ĐKTĐ cung cấp những cơ sở lý thuyết điều khiển cơ bản vào việc điều khiển các
quá trình khác nhau của hệ thống mà không cần tới sự can thiệp của con người.
LT ĐKTĐ là một nhánh liên ngành của kỹ thuật và toán học, liên quan đến hành vi của
các hệ thống động lực. Đầu ra mong muốn của một hệ thống được gọi là giá trị đặt trước. Khi
một hoặc nhiều biến đầu ra của hệ thống cần tuân theo một giá trị đặt trước theo thời gian,
một bộ điều khiển các đầu vào cho hệ thống để đạt được hiệu quả đầu ra mong muốn.
Môn học LT ĐKTĐ chủ yếu đề cập đến lý thuyết điều khiển kinh điển là phân tích và
thiết kế hệ thống tuyến tính bất biến, một ngõ vào ‒ một ngõ ra.
1.3. Lịch sử phát triển của lý thuyết điền khiển tự động
Mặc dù nhiều dạng của hệ thống điều khiển có từ thời cổ đại, nghiên cứu chính thức của
lĩnh vực này bắt đầu với một phân tích động học của hệ điều tốc li tâm, được thực hiển bởi
nhà vật lý James Clerk Maxwell vào năm 1868 với tựa đề On Governors(hệ điều tốc). Tài liệu
này miêu tả và phân tích hiện tượng "dao động", trong đó sự trễ pha trong hệ thống có thể dẫn
đến trạng thái bù q mức và khơng ổn định. Điều này tạo ra sự hấp dẫn trong đề tài này,
trong những bạn học với Maxwell, Edward John Routh tổng quát hóa các kết quả của
Maxwell cho lớp tổng qt trong các hệ tuyến tính.
Sau đó vào năm 1877, Adolf Hurwitz đã phân tích sự ổn định của hệ thống sử dụng
phương trình vi phân, kết quả là ta có được định lý Routh-Hurwitz.
Vào Chiến tranh thế giới thứ II, lý thuyết điều khiển đã là một phần quan trọng của hệ
thống kiểm soát hỏa lực, hệ thống dẫn đường và điện tử học. Cuộc chạy đua không gian cũng
phụ thuộc vào sự chính xác của việc điều khiển tàu không gian. Tuy nhiên, lý thuyết điều
khiển cũng được sử dụng trong các lĩnh vực khác càng ngày càng nhiều như trong kinh tế học.
Ngồi ra, cịn có những nhà khoa học sau đây đã đóng góp vào sự phát triển của lý
thuyết điều khiển tự động, bao gồm:
KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

2


Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động

+ Pierre-Simon Laplace (1749-1827) phát minh ra phép biến đổi Z trong cơng trình về
lý thuyết xác suất của ơng, bây giờ được sử dụng để giải quyết các bài toán rời rạc trong miền
thời gian của lý thuyết điều khiển. Phép biến đổi Z là phép biến đổi tương đương trong miền
giời gian rời rạc của phép biến đổi Laplace được đặt tên theo chính tên ơng.
+ Alexander Lyapunov (1857–1918), đánh dấu sự khởi đầu của lý thuyết bền vững.
+ Harold S. Black (1898–1983), phát minh ra khái niệm bộ khuếch đại phản hồi
âm vào năm 1927. Ông đã thành công trong việc phát triển các bộ khuếch đại phản hồi âm
bền vững vào những năm 1930.
+ Harry Nyquist (1889–1976), phát triển tiêu chuẩn ổn định Nyquist cho hệ thống
phản hồi vào những năm 1930.
+ John R. Ragazzini (1912–1988) giới thiệu điều khiển kỹ thuật số và biến đổi z vào
những năm 1950.
+ Lev Pontryagin (1908–1988) giới thiệu nguyên lý cực đại.
1.4. Cơ sở hệ thống tự động
1.4.1. Cơ sở điều khiển hệ thống tự động theo phương pháp cổ điển
Cơ sở tốn học dùng để phân tích và thiết kế hệ thống:
+ Hàm truyền.
Đặc điểm:
+ Đơn giản
+ Kỹ thuật thiết kế trong miền tần số.
+ Áp dụng cho hệ tuyến tính, bất biến, 1 ngõ vào ‒ 1 ngõ ra (SISO).
Các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống:
+ Đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha): phương pháp Nyquist, Bode.
+ Phương pháp quỹ đạo nghiệm số.
Bộ điều khiển: Các khâu hiệu chỉnh đơn giản.
+ Hiệu chỉnh sớm trễ pha.
+ Hiệu chỉnh vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative).
1.4.2. Cơ sở điều khiển hệ thống tự động theo phương pháp hiện đại
Cơ sở tốn học dùng để phân tích và thiết kế hệ thống:
+ Phương trình trạng thái.

Đặc điểm:
+ Phức tạp.
+ Kỹ thuật thiết kế dựa trên miền thời gian.
KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

3


Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động
+ Có thể áp dụng cho hệ thống phi tuyến, biến đổi theo thời gian, hệ (MIMO).
+ Ban đầu được phát triển chủ yếu cho hệ tuyến tính, sau đó được mở rộng cho hệ phi
tuyến bằng cách sử dụng lý thuyết của Lyapunov.
Các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống:
+ Phân bố cực.
+ Điều khiển tối ưu.
+ Điều khiển thích nghi.
+ Điều khiển bền vững.
Bộ điều khiển:
+ Hồi tiếp trạng thái
1.4.3. Các phần tử cơ bản của hệ thống điều khiển tự động
Mọi hệ thống điều khiển tự động đều bao gồm 3 bộ phận cơ bản:
+ Bộ điều khiển (Controller device).
+ Đối tượng điều khiển (Object device).
+ Thiết bị đo lường (Measuring device) – Cảm biến (Sensor)

Hình 1.1. Sơ đồ tổng quát hệ thống điều khiển tự động
+ u(t) Tín hiệu vào
+ e(t) Sai lệch điều khiển
+ x(t) Tín hiệu điều khiển
+ y(t) Tín hiệu ra

+ z(t) Tín hiệu phản hồi
1.4.3.1. Đối tượng điều khiển
Đối tượng điều khiển chính là mục tiêu thực ta cần tác động để đạt được các yêu cầu
mong muốn. Trên đây từ “đối tượng” mang tính khái quát chung, cần phân biệt rõ “đối
tượng” và “hệ thống”. Thông thường “hệ thống” mang tính bao hàm, có nghĩa có thể bao gồm
nhiều đối tượng.
Đối tượng điều khiển thường là các động cơ:
+ Động cơ DC: với loại động cơ này có đặc tính ngẫu lực lớn, dễ điều khiển…
KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

4


Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động
+ Động cơ AC: loại này hiện rất thông dụng và thường được điều khiển dùng biến tần.
+ Động cơ bước: là loại động cơ sử dụng nguồn DC với dạng xung điều khiển cho
từng cực, loại động cơ này làm việc có độ chính xác cao được ứng dụng rất nhiều trong ĐK.
+ Động cơ servo: là loại động cơ AC hay DC có mạch điều khiển hồi tiếp về khi làm
việc (ĐK vịng kín) loại động cơ này có cơng suất tương đối lớn và độ chính xác khá cao.
1.4.3.2. Bộ điều khiển
Bộ điều khiển là thành phần quan trọng quyết định khả năng hoạt động và độ chính xác
của hệ thống. Thường được tích hợp dưới dạng các board mạch điều khiển, có thể có các loại:
+ IC diều khiển trung tâm (CPU) kết hợp với các card điều khiển.
+ Các thiết bị điều khiển khả trình PLC
+ Vi xử lý (hệ thống nhúng)…
+ Máy tính thơng qua các card giao tiếp điều khiển (DSP, PCI…)
+ Sử dụng các bộ điều khiển thông qua biến tần.
1.4.3.3. Thiết bị đo lường
Cảm biến (Sensor) là thiết bị chuyển các đại lượng vật lý thành các tín hiệu điện cung
cấp cho hệ thống nhằm nâng cao khả năng linh hoạt và độ chính xác trong điều khiển. Như

vậy hệ thống điều khiển tự động chính là một hệ thống điều khiển kín với vịng hồi tiếp
(Feedback) được thực hiện từ tín hiêu thu về từ cảm biến. Các loại cảm biến thường gặp như:
+ Cảm biến quang.
+ Cảm biến vị trí và dịch chuyển.
+ Cảm biến vận tốc.
Các cảm biến trên có thể cho tín hiệu tương tự (Analoge) hoặc tín hiệu số (Digital),
ngồi ra cịn sử dụng các bộ mã hố vị trí, mã hố góc dịch chuyển Encoder…
1.5. Ví dụ một số hệ thống điều khiển tự động trong thực tế
Ví dụ 1.1 Hệ thống điều khiển động cơ AC ba pha.
Bộ điều khiển: là card điều khiển trung tâm điều khiển giao tiếp máy tính, điều khiển
biến tần, và giao tiếp vào ra trên bộ hiển thị số.
Đối tượng điều khiển: là động cơ AC ba pha.
Thiết bị đo lường: là thành phần hồi tiếp là cảm biến từ hall.

KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

5


Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động

Ví dụ 1.2 Mơ hình điều khiển động cơ.
Đối tượng điều khiển là động cơ DC.
Bộ điều khiển: là mạch điều khiển được tích hợp từ nhiều mạch điều khiển tốc độ, điều
khiển giao tiếp hiển thị trên PC và giao tiếp thành phần hồi tiếp để hiệu chỉnh sữa sai.
Thiết bị đo lường: là encoder lấy tín hiệu tốc độ từ trục động cơ quay về bộ điều khiển.

KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

6

Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động
Ví dụ 1.3 Mơ hình điều khiển bồn nước.

Đối tượng điều khiển: là mực nước trong bồn.
Thiết bị đo lường: là cảm biến điện dung kiểm tra mực nước trong bồn
Bộ ĐK: là mạch dùng chip vi ĐK lập trình ĐK cho mực nước trong bồn theo yêu cầu.
Ví dụ 1.4 Hệ thống điều khiển động cơ dùng biến tần

Đối tượng điều khiển: động cơ AC hoặc DC.
Bộ điều khiển: DC Driver hay AC Driver, còn gọi là biến tần (Inverter)
+ Ðiều khiển thay đổi tốc độ động cơ.
+ Ổn định tốc độ động cơ.
+ Khởi động mềm và dừng mềm động cơ.
+ Hạn dòng khởi động.
+ Bảo vệ quá tải, kẹt tải.
+ Tiết kiệm năng lượng.
Thiết bị đo lường: là encoder lấy tín hiệu tốc độ từ trục động cơ quay về bộ điều khiển.

KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

7


Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động
Ví dụ 1.5 Hệ thống điều khiển lò nhiệt

Ðối tượng điều khiển: nhiệt độ trong lò nhiệt với yêu cầu phải được giữ ổn định.
Bộ điều khiển là một thiết bị tự động được chế tạo làm việc theo chức năng và yêu cầu

thực tế như chuyển nhiệt độ từ lò nhiệt và hiển thị lên màn hình hiển thị và gởi tín hiệu điều
khiển để điều khiển lị nhiệt ổn định nhiệt độ.
Thiết bị đo lường: được dùng là loại cảm biến nhiệt.
Ví dụ 1.6 Hệ thống điều khiển mực chất lỏng
Ðối tượng điều khiển: Hệ thống điều khiển mực chất lỏng thường gặp trong các q
trình cơng nghiệp như chế biến thực phẩm, nước giải khác, các hệ thống xử lý nước thải…
Bộ điều khiển: điều khiển mực chất lỏng, điều khiển lưu lượng chất lỏng.
Thiết bị đo lường:

+ Cảm biến đo dịch chuyển: biến trở, Encoder.
+ Cảm biến áp suất.
+ Cảm biến điện dung.

KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

8


Chương 1: Tổng quan hệ thống điều khiển tự động
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 1
Bài tập 1.1 Hệ thống điều khiển tự động có thể phân loại như thế nào?
Bài tập 1.2 Hệ thống điều khiển có mấy phần tử cơ bản?
Bài tập 1.3 Hãy nêu các quy tắc điều khiển cở bản để điều khiển một hệ thống điều khiển?
Bài tập 1.4 Nêu các bước thiết lập một hệ thống điều khiển?

KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

9

Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động
CHƯƠNG 2:
KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CƠ SỞ TOÁN HỌC TRONG LÝ THUYẾT ĐIỀU
KHIỂN TỰ ĐỘNG
Giới thiệu:
Chương 2 của giáo trình tập trung giới thiệu về các cơ sở toán học để giải bài tốn điều
khiển tự động. Trình bày các ngun tắc biến đổi Laplace các phép tính ma trận để giải quyết
bài tốn điều khiển tự động.
Mục tiêu:
- Mơ tả được khái niệm cơ bản về tín hiệu điều khiển.
- Trình bày được phép biến đổi Laplace trong điều khiển tự động.
- Giải được các bài toán ma trận trong hệ thống điều khiển tự động.
- Có ý thức tự giác, tính kỷ luật cao, tinh thần trách nhiệm trong cơng việc, có tinh thần
hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau.
Nội dung chính:
2.1. Khái niệm về tín hiệu
2.1.1. Định nghĩa tín hiệu
Tín hiệu là diễn biến của một đại lượng vật lý chứa đựng tham số thơng tin hay dữ liệu
và có thể truyền dẫn được. Theo quan điểm tốn học thì tín hiệu được coi là một hàm của thời
gian. Trong các lĩnh vực kỹ thuật, các loại tín hiệu thường dùng là điện, quang, khí nén, thủy
lực và âm thanh.
Các tham số sau đây thường được dùng trực tiếp, gián tiếp hay kết hợp để biểu thị nội
dung thông tin hay dữ liệu: Biên độ (điện áp, dòng…); Tần số, nhịp xung, độ rộng của xung,
sườn xung; Pha, vị trí xung.
2.121. Phân loại tín hiệu
Khơng phân biệt tính chất vật lý của tín hiệu (điện, quang, khí nén…) thì ta có thể phân
loại tín hiệu dựa theo tập hợp giá trị của tham số thông tin hoặc dựa theo diễn biến thời gian
thành những dạng sau:
Tín hiệu rời rạc (về mặt thời gian) là tín hiệu chỉ xác định trên 1 tập rời rạc của thời gian
(tập những thời điểm rời rạc). Dưới dạng tốn học, tín hiệu rời rạc mang giá trị thực (hoặc

phức) có thể được xem là 1 hàm liên kết từ tập số tự nhiên đến tập số thực (hoặc phức).
Tín hiệu liên tục (về mặt thời gian) là tín hiệu mang giá trị thực (hoặc phức) xác định
với mọi thời điểm trong một khoảng thời gian, trường hợp phổ biến nhất là một khoảng thời
gian vô hạn.
Chú ý: Một hàm không liên tục về mặt tốn học, ví dụ như hàm sóng vng (squarewave) hay sóng răng cưa (sawtooth-wave), vẫn có thể là hàm liên tục về mặt thời gian.
KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

10


Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động
Tín hiệu tương tự là tín hiệu có giá trị thay đổi liên tục theo thời gian.
Tín hiệu số là tín hiệu mà các giá trị tham số thơng tin của một tín hiệu được biểu diễn
bằng mã nhị phân.
Hệ thống điều khiển thực tế rất đa dạng và có bản chất vật lý khác nhau. Trong giáo
trình này chỉ giới hạn nội dung nghiên cứu là hệ thống tuyến tính bất biến liên tục. Quan hệ
giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của một hệ thống tuyến tính bất biến liên tục rất phức tạp, cần
có cơ sở chung để phân tích, thiết kế các hệ thống điều khiển có bản chất vật lý khác nhau. Cơ
sở đó chính là tốn học.
2.2. Phép biến đổi Laplace
Trong hệ thống liên tục người ta hay sử dụng phép biến đổi Laplace để biến đổi từ miền
thời gian sang miền tần số phức. Các phương trình vi tích phân sẽ chuyển đổi thành các
phương trình đại số thơng thường.
2.2.1. Biến đổi Laplace ‒ tìm hàm ảnh khi biết hàm gốc
Định nghĩa: Gọi F(s) là biến đổi Laplace của hàm f(t), khi đó ta có:


F ( s )  L[ f (t )] 

 f (t )e

 st

dt

0

Trong đó:

s − là biến phức (biến Laplace).
L − là toán tử Laplace.
F(s) − là biến đổi Laplace của hàm f(t).

2.2.2. Các tính chất của phép biến đổi Laplace
Tính tuyến tính:

L[a.f(t)]= a.L[f(t)] = a.F(s)

Tính chất xếp chồng:

L[f1(t)  f2(t)] = L[f1(t)]  L[f2(t)] = F1(s)  F2(s)

Định lý chậm trễ:

L[ f(t ‒ a) ] = e‒as F(s)

Ảnh của đạo hàm:

L[f'(t) ] = sF(s) ‒ f(0+)

Ảnh của tích phân:

L[  f (t )dt ] 

F (s)

s



( )  lim f (t )  limsF ( s ) 
Tính chất giá trị cuối:


t 

s 0

a là số thực và f(t ‒ a) = 0 khi 0 < t < a







Ví dụ 2.1 Tìm ảnh của hàm hàm f(t) = cosat trong đó a là hằng số.
Theo cơng thức Ơle ta có:

cos at 

e jat  e  jat 1 jat 1  jat
 e  e
2
2
2

Thực hiện phép biến đổi Laplace:

1
1 1
1 s  ja  s  ja
s
 1 1
1
 2
Lcos at   L e jat  e  jat  


2
2
2
s a
s  a2
 2 s  ja 2 s  ja 2
2
KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

11

Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động
2.2.3. Biến đổi Laplace ngược ‒ tìm hàm gốc khi biết hàm ảnh
Biến đổi Laplace ngược là xác định tín hiệu f(t) từ ảnh Laplace F(s) của nó.
 

1

L [ F ( s)]  f (t ) 





 

- Tín hiệu nấc đơn vị − step tín hiệu vào HT điều khiển ổn định hóa

0 víi t<0
1(t)  
1 víi t  0
và biến đổi Laplace ngược là:
1(t)  L[1(t )] 

11
s

- Tín hiệu xung đơn vị − dirac thường dùng để mô tả nhiễu

(t) 

d1(t)  víi t  0

dt
0 víi t  0

và biến đổi Laplace ngược là:
(t)  L[(t)] = 1
- Tín hiệu điều hồ
x(t) = XmSin (t + ) = A.Sin (t + )
và biến đổi Laplace ngược là:
A.Sin(t + )  L[A.Sin(t + )] = A
A.Cos(t + )  L[A.Cos(t + )] = A


s  2
2

s
s  2
2

Bảng 2.1. Bảng biến đổi Laplace ngược các hàm cơ bản
Hàm gốc f(t) − (miền t)

Hàm ảnh F(s) − (miền s)

Hàm xung

(t)

1

Hàm bước đơn vị

1(t)

1
s

Hàm dốc

t.1(t)

Hàm bậc n

tn

Hàm mũ e

e−t

Hàm

KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

1
s2
n!
s n 1

1
s 
12


Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động
Hàm mũ bội e

t n1e t
(n  1)!

1
(s   )n

Hàm sin

sint

s  2

Hàm cosin

cost

Hàm sin theo hàm mũ

sin(t)e−t

Hàm cosin theo hàm mũ

cos(t)e−t


2

s
s  2

(s   ) 2   2
s 
(s   ) 2   2
2

2.2.4. Các bước thực hiện biến đổi Laplace ngược
Bước 1: Phân tích F(s) thành tổng các hàm cơ bản.
rk

l

F (s)  A   
k 1 i 1

Trong đó:

Aki
B (s   k )  Ck k
 k
i
( s a k )
( s   k ) 2   k2

A, Aki, Bk, Ck − là các hằng số.
ak − là điểm cực thực bội rk

 k  jk − là điểm cực phức của F(s) mà tại đó F(s) = ± ∞.
Bước 2: Xác định hàm gốc cho từng phần tử dựa vào bảng biến đổi Laplace.
Ví dụ 2.2 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau: F ( s) 

1
s ( s  1)
2

Giải
Bước 1 ‒ Phân tích thành tổng các phân thức tối giản:

F (s) 

1
1 1
  2
s 1 s s
f(t) = e–t – 1(t) + t.1(t)

Bước 2 ‒ Xác định hàm gốc cho từng thành phần:
2.2.5. Biến đổi Laplace ngược hàm hữu tỷ

Hàm hữu tỷ là dạng thường gặp trong điều khiển, chủ yếu ta xét biến đổi Laplace ngược
của hàm hữu tỷ:

F ( s) 

B( s)

A( s )







Trường hợp 1: Nghiệm của mẫu thức A(s) là thực phân biệt.
Ví dụ 2.3 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau: X ( s) 

KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

2
( s  1)(s  2)
13


Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động
Giải
Mẫu thức A(s) có 2 nghiệm s1 = ‒1 và s2 = ‒2. Ta phân tích X(s) như sau:

X ( s) 

2
( s  1)(s  2)

Nghiệm của mẫu thức là riêng biệt nên từng phân thức sẽ có bậc là 1:

X ( s) 

K
K
2
 1  2
( s  1)(s  2) s  1 s  2

Để tìm K1 ta nhân với (s+1) để tách K1 riêng ra:

( s  1) K 2
2
 K1 
( s  2)
( s  2)
Sau đó cho s → ‒1, rút ra được K1 = 2.
Làm tương tự và sau đó cho s → ‒2 ta được K2 = ‒2.
Lúc đó: X ( s) 

2
2
2


( s  1)(s  2) s  1 s  2

Thực hiện biến đổi Laplace ngược của X(s) ta được: x(t )  2e t  2e 2t
TỔNG QUÁT

Khi mẫu số của F(s) có nghiệm thực và riêng biệt, ta thực hiện như sau:

F (s) 

B( s)
B( s)

A( s ) ( s  p1 )(s  p 2 )( s  p m )( s  p n )


Km
Kn
K1
K2



( s  p1 ) ( s  p 2 )
(s  pm )
(s  pn )

Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu ta thực hiện tìm các hệ số Ki như sau:
+ Nhân hai vế với (s + pi) để tìm hệ số Ki.
+ Cho s → ‒pi ta rút ra được Ki.
Trường hợp 2: Mẫu số có nghiệm bội.
Ví dụ 2.4 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau: X ( s ) 

2




( s  1)(s  2) 2





Giải
Mẫu thức A(s) có 3 nghiệm s1 = ‒1 và s2,3 = ‒2. Ta phân tích X(s) như sau:

X (s) 

K3
K1
K2
2



( s  1)(s  2) 2 s  1 ( s  2) 2 ( s  2)

Để tìm hệ số K1, ta tính như sau :
KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

K1 

2
( s  2) 2

2

s 1

14




Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động
Tìm K2 ta nhân 2 vế với (s + 2)2 :

( s  2) 2 K1
2

 K 2  ( s  2) K 3
s 1
( s  1)

Khi cho s → ‒2 ta tìm được K2 = ‒2
Tìm K3 ta lấy đạo hàm theo biến s :

( s  2) s
2
K1  K 3

2
( s  1)
( s  1) 2

Cho s → ‒2 ta rút ra được K3 = ‒2

X ( s) 

Thay K1, K2 và K3 ta có:

2
2
2
2



2
2
s  1 ( s  2)
( s  2)
( s  1)(s  2)
t

Thực hiện biến đổi Laplace ngược ta được: x(t )  2e  2te

2t

 2e 2t

TỔNG QUÁT
Khi mẫu số của F(s) có nghiệm thực và lặp lại, ta thực hiện như sau:

F ( s) 

B( s)

B( s)

r
A( s ) ( s  p1 ) ( s  p 2 )  ( s  p n )


Kn
K1
K2
Kr
Kr




r
r 1
( s  p1 ) ( s  p 2 )
(s  pn )
( s  p1 )
( s  p1 )

Trường hợp 3: Mẫu thức có 2 nghiệm phức liên hợp.
Ví dụ 2.5 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace: F ( s) 

3
s( s  2s  5)
2

Giải

F (s) 

K s  K3
K
3
 1  22
s( s  2s  5) s s  2s  5
2

Dễ dàng tìm được K1 = 3/5 khi cho s → 0. Để tìm K2 và K3 ta quy đồng phân thức với
mẫu số chung nhỏ nhất là s(s 2  2s  5) bỏ được các phân thức:

3
6


3   K 2  s 2   K 3  s  3
5
5


Thực hiện đồng nhất thức hai vế ta có:
3
3

 K2    0  K2  
5
5


6
6

 K3    0  K3  
5
5

Thay các hệ số ta được:

3
3
3 s2
F (s) 
 5 2
2
s 5 s  2s  5
s( s  2s  5)

Ta đưa công thức về dạng:

3
1
3
3 s  1  2 2
5
F ( s) 


s 5 s  12  2 2
s ( s 2  2s  5)

KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

 

15


Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động
Tra bảng ta tìm được hàm gốc như sau:

f (t ) 

3 3 t 
1

 e  cos 2t  sin 2t 
5 5 
2


2.3. Các phép toán ma trận
2.3.1. Phép cộng ma trận
Có thể cộng hai hoặc nhiều ma trận có cùng kích thước m x n. Cho các ma trận cấp m x
n A và B, tổng A + B là ma trận cùng cấp m x n nhận được do cộng các phần tử tương ứng.
Ví dụ minh họa:

1 3 2   0 0 5  1  0 3  0 2  5  1 3 7 
1 0 0   7 5 0   1  7 0  5 0  0   8 5 0 


 
 
 

1 2 2   2 1 1  1  2 2  1 2  1  3 3 3 
2.3.2. Phép nhân ma trận với một số
Cho ma trận A và số c, tích cA được tính bằng cách nhân tất cả các phần tử của A với c.
Ví dụ minh họa:
1 8 3  2.1 2.8 2.  3  2 16 6 
2. 



 4 2 5   2.4 2.  2 2.5  8 4 10 

2.3.3. Phép nhân ma trận
Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi số cột của ma trận bên trái bằng số dòng
của ma trận bên phải. Nếu ma trận A có kích thước m x n và ma trận B có kích thước n x p,
thì ma trận tích AB có kích thước m x p.
Ví dụ minh họa:
3 1
 1 0 2 
  (1 3  0  2  2 1) (11  0 1  2  0)  5 1 
 1 3 1    2 1   (1 3  3  2  11) (11  3 1  1 0)   4 2 

 1 0  
 




2.3.4. Định thức của ma trận
Cho ma trận vuông cấp n:

 a11 a12
a
 21 a22
A   a31 a32

.
 .
 an1 an 2

a13
a23
a33
.
an3

...
...
...
...
...

a1n 
a2 n 
a3n 

. 

ann 

Định nghĩa định thức: Định thức của ma trận vuông cấp n là tổng đại số của n! (n giai
thừa) số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử lấy trên các hàng và các cột khác nhau của
KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

16


Chương 2: Khái niệm cơ bản và cơ sở toán học trong lý thuyết điều khiển tự động
ma trận A, mỗi tích được nhân với phần tử dấu là +1 hoặc -1 theo phép thế tạo bởi các chỉ số
hàng và chỉ số cột của các phần tử trong tích.
Cơng thức Leibniz: Gọi Sn là nhóm các hốn vị của n phần tử 1,2,...n ta có:
n

 sgn( ) a 

det( A) 

 Sn

i 1

i , (i )

Ví dụ minh họa: Áp dụng với các ma trận vuông cấp 1,2,3

det  a   a

a 

a
det  11 12   a11a22  a12 a21
 a21 a22 
 a11
det  a21
 a31

a12
a22
a32

a13 
a23   a11a22 a33  a12 a23 a31  a13 a21a32  a13 a22 a31  a12 a21a33  a11a23 a32
a33 

CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP CHƯƠNG 2
Bài tập 2.1 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau: F ( s) 

s3
( s  1)(s  2)

s 2  2s  3
Bài tập 2.2 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau: F ( s ) 
( s  1) 3

Bài tập 2.3 Tìm hàm gốc f(t) của ảnh Laplace sau: F ( s ) 

2s  12
s  2s  5
2

Bài tập 2.4 Tìm hàm gốc cho hàm ảnh: X ( s) 

1

 
s (1  s)


Bài tập 2.5 Tìm hàm gốc cho hàm ảnh: X ( s) 

2
( s  1)( s  2) 2

Bài tập 2.6 Tìm hàm gốc cho hàm ảnh: X ( s) 

2
s( s  3)( s  1)2

Bài tập 2.7 Tìm hàm gốc cho hàm ảnh: X ( s) 

5s  1
( s  1)( s  1)2

Bài tập 2.8 Tìm hàm gốc cho hàm ảnh: X ( s) 

5
s ( s  1)

Bài tập 2.9 Tìm hàm gốc cho hàm ảnh: X ( s) 

5
(s 1)( s  1)

KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

2

2

2

17


Chương 3: Mơ tả tốn học hệ thống điều khiển tự động
CHƯƠNG 3:
MƠ TẢ TỐN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG
Giới thiệu:
Trong điều khiển thường dùng các mơ hình tốn sau đây để mơ tả mối quan hệ giữa tín
hiệu vào và tín hiệu ra của một hệ thống điều khiển tự động.
+ Phương trình vi phân: khơng gian hàm gốc.
+ Hàm truyền đạt: khơng gian tốn tử Laplace.
+ Hệ phương trình trạng thái: khơng gian trạng thái.
Chương 3 của giáo trình tập trung giới thiệu các khái niệm cơ bản về phương trình vi
phân, hàm truyền đạt và hệ phương trình khơng gian trạng thái trong mơ tả hệ thống ĐKTĐ.
Mục tiêu:
- Mô tả được khái niệm cơ bản về phương trình vi phân mơ tả hệ thống.
- Trình bày được ngun lý mơ tả hệ thống dạng hàm truyền đạt trong ĐKTĐ.
- Có ý thức tự giác, tính kỷ luật cao, tinh thần trách nhiệm trong cơng việc, có tinh thần

hợp tác, giúp đỡ lẫn nhau.
Nội dung chính:
3.1. Phương trình vi phân mơ tả hệ thống

Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của một hệ thống tuyến tính bất biến liên tục có
thể mơ tả bằng phương trình vi phân.

du
d m 1 u
dmu
dy
d n 1 y
dn y
a o . n  a1. n 1  ...  a n 1.  a n y(t )  b 0 . m  b1. m 1  ...  b m 1.  b m u(t )
dt
dt
dt
dt
dt
dt
Trong đó:

n là bậc của hệ thống, hệ thống hợp thức nếu n ≥ m
ai, bj là các thông số hệ thống

Ví dụ 3.1 Cho mạch như hình. Hãy mơ tả quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào bằng pt vp.
i

u(t) = u1

KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

R

C

y(t) = u2

18


Chương 3: Mơ tả tốn học hệ thống điều khiển tự động
Giải
Từ sơ đồ nguyên lý ta viết phương trình vi phân mô tả phần tử:

u(t)  u1  R.i  y(t)
y(t) = u2 
hay:

i( t )  C

1
i. dt
C

dy(t )
dt

Thay vào phương trình đầu ta được: RC

dy(t )
 y( t )  u( t )
dt

Hạn chế của mơ hình tốn học dưới dạng phương trình vi phân:
+ Với trường hợp phương trình vi phân bậc thấp ta có thể giải nó nhanh chóng. Với
trường hợp bậc cao (n ≥ 2) việc giải phương trình vi phân để tìm nghiệm y(t) bằng cách thơng
thường gặp nhiều khó khăn, nhiều khi không giải được.
+ Thiết kế hệ thống dựa vào phương trình vi phân hầu như khơng thể thực hiện được.
+ Để khắc phục các nhược điểm này người ta cần các dạng mơ tả tốn học khác giúp
phân tích và thiết kế HT tự động dể dàng hơn đó là: Hàm truyền và phương trình trạng thái.
3.2. Mơ tả hệ thống dưới dạng hàm truyền đạt

Hàm số truyền của HT (còn gọi là hàm truyền đạt) là tỷ số giữa tín hiệu ra và tín hiệu
vào biểu diễn dưới dạng toán tử Laplace với điều kiện đầu triệt tiêu (điều kiện đầu bằng 0).
u(t)  U(s) = L[u(t)]
y(t)  Y(s) = L[y(t)]
G s

Y (p)
s

U s

(p)

Điều kiện đầu triệt tiªu

Xuất phát từ PTVP dạng tổng qt mơ tả quan hệ vào ra của hệ:

ao.

dn y
d n 1 y
dy
dmu
d m 1 u
du
a
.
...
a
.
a
y
(
t
)
b
.
b
.






 ...  b m 1.  b m u(t )
1

n 1
n
0
1
n
n 1
m
m 1
dt
dt
dt
dt
dt
dt

Qua phép biến đổi Laplace ta có:
(ao sn + a1 sn−1 +…+ + an−1 s + an).Y(s) =( bo sm + b1 sm−1 +…+ bm−1 s + bm).U(s)
Từ đó ta có hàm truyền là tỷ số của ảnh Laplace tín hiệu ra chia cho ảnh tín hiệu vào:

KHOA ĐIỆN – TỰ ĐỘNG HÓA

19