200 BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH MŨ (CÓ ĐÁP ÁN)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.2 MB, 70 trang )
www.VNMATH.com
trinh
Ph ng trinh
trinh
Bât ph ng trinh
trinh
Hê ph ng trinh
trinh
Hê bât ph ng trinh
Mu & Logarit
Lê
oan
Ths. Lê V n oan
Bài1.
www.VNMATH.com
Cao
ng Sư Ph m Tp. H Chí Minh năm 2002
Gi i các phương trình và b t phương trình sau
1/ 2 log5 x − log x 125 < 1
2/ 4 x −
x 2 −5
(1)
x 2 −5
− 12.2x −1−
+8=0
(2)
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i b t phương trình : 2 log5 x − log x 125 < 1
(1)
i u ki n : 0 < x ≠ 1 .
●
(1) ⇔ 2 log5 x − log
1
125
x
− 1 < 0 ⇔ 2 log5 x −
3
−1 < 0
log5 x
t = log x ≠ 0
5
t = log5 x
x < 1
log5 x < −1
⇔ 2t2 − t − 3
⇔
⇔
⇔
.
5
0 < log x < 3
t < −1 ∨ 0 < t < 3
<0
1 < x < 5 5
5
2
2
t
1
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là : x ∈ 0; ∪ 1; 5 5 .
5
(
2/ Gi i phương trình : 4 x −
x 2 −5
− 12.2x −1−
x 2 −5
+8=0
x ≤ − 5
i u ki n : x − 5 ≥ 0 ⇔
⇒ T p xác
x ≥ 5
2
●
(2) ⇔ 2x−
2
x2 −5
− 6.2
x − x2 −5
2
x − x − 5 = 1
⇔
⇔
x − x2 − 5 = 2
Cao
(2)
(
)
nh : D = −∞; − 5 ∪ 5; +∞ .
x − x2 −5
>0
t = 2
+8 =0 ⇔
⇔
2
t − 6.t + 8 = 0
x−
2
x−
2
x2 −5
x2 −5
=2
=4
x ≥ 1
x − 1 ≥ 0
x = 3
2
2
x − 5 = (x − 1)
x2 − 5 = x − 1
x = 3
.
⇔
⇔ x ≥ 2 ⇔
x − 2 ≥ 0
2
x = 9
x −5 = x −2
4
9
2
x =
x2 − 5 = (x − 2)
4
● K t h p v i i u ki n, phương trìn có hai nghi m là x =
Bài2.
)
9
; x = 3.
4
ng Sư Ph m Hà Tĩnh kh i A, B năm 2002
2
log x
(log x)
Gi i b t phương trình : 2 2 + x 2 ≤ 4
(∗)
Bài gi i tham kh o
●
●
nh : D = (0; +∞) .
i u ki n : x > 0 ⇒ t p xác
t log2 x = t ⇔ x = 2t . Lúc ó :
2
(∗) ⇔ 2t
t
( )
+ 2t
2
2
2
≤ 4 ⇔ 2 t + 2 t − 4 ≤ 0 ⇔ 2 t ≤ 21 ⇔ t2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ t ≤ 1
● V i t = log2 x ⇒ −1 ≤ log2 x ≤ 1 ⇔
1
≤ x ≤ 2.
2
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là : x ∈ (0; +∞) .
Bài3.
Cao
www.VNMATH.com
ng Sư Ph m Nha Trang năm 2002
(x + 1) log2 x + 4xlog3 x − 16 = 0 (∗)
3
Gi i phương trình :
Bài gi i tham kh o
nh D = (0; +∞) .
i u ki n : x > 0 ⇒ T p xác
●
t t = log3 x và do x > 0 ⇒ x + 1 ≠ 0 . Lúc ó : (∗) ⇔ (x + 1) t2 + 4xt − 16 = 0 .
●
2
2
● L p ∆ ' = 4x2 + 16x + 16 = 4 (x + 2) ⇒ ∆ = 4 (x + 2) = 2 (x + 2),
(do x > 0) .
t = −2x + 2 (x + 2) = 4
x +1
x +1.
⇒
t = −2x − 2 (x + 2) = −4
x +1
● V i t = −4 ⇒ log3 x = −4 ⇔ x =
● V i t=
4
4
⇒ log3 x =
x +1
x +1
1
.
81
(1)
Nh n th y phương trình (1) có m t nghi m là x = 3 .
Hàm s f (x ) = log3 x : là hàm s
Hàm s g (x) =
ng bi n trên (0;+∞) .
4
−4
< 0, ∀x ⇒ g (x) : ngh ch bi n trên (0;+∞) .
có g ' (x) =
2
x +1
x + 1)
(
V y phương trình (1) có m t nghi m duy nh t là x = 3 .
1
, x = 3.
81
● So v i i u ki n, phương trình có hai nghi m là x =
Bài4.
Cao
ng Kinh T K Thu t H i Dương năm 2002
Gi i b t phương trình : 4x2 + x.2x
2
+1
2
2
(∗)
+ 3.2x > x2 .2x + 8x + 12
Bài gi i tham kh o
(∗) ⇔ 4x2 + 2x.2x
2
2
2
+ 3.2x − x2 .2x − 8x − 12 > 0
2
2
2
⇔ 2x.2x − 8x + 3.2x − 12 + 4x2 − x2 .2x > 0
2
2
2
⇔ 2x 2x − 4 + 3 2x − 4 − x2 2x − 4 > 0
2
2
⇔ 2x − 4 2x + 3 − x2 > 0 ⇔ f (x) = 2x − 4 x2 − 2x − 3 < 0 (1)
(
)
(
)
2
x = ± 2
x 2 = 2
2x − 4 = 0
.
⇔
⇔
● Cho
2
x − 2x − 3 = 0
x = − 1 ∨ x = 3
x = − 1 ∨ x = 3
● B ng xét d u
x
−∞
− 2
−1
2
3
+∞
2
x2
www.VNMATH.com
0
+
−4
x2 − 2x − 3
−
+
+
0
0
0
+
0
+
−
−
+
f ( x)
−
+
−
−
0
0
0
+
) (
2; 3 .
(
● D a vào b ng xét, t p nghi m c a b t phương trình là : x ∈ − 2; −1 ∪
Bài5.
Cao
ng kh i T, M năm 2004 –
+
)
i h c Hùng Vương
log 3
log2 (xy)
9
= 3 + 2. (xy) 2
Gi i h phương trình :
x2 + y2 = 3x + 3y + 6
(1)
(2)
Bài gi i tham kh o
i u ki n : xy > 0 .
●
2. log2 (xy)
(1) ⇔ 3
− 2.3
log2 (xy)
log (xy)
t = 3log2 xy > 0
= − 1 (L )
t = 3 2
−3 = 0 ⇔ 2
⇔
log2 (xy)
=3
t − 2t − 3 = 0
t = 3
⇔ log2 ( xy) = 1 ⇔ xy = 2
2
(2) ⇔ (x + y)
(3) .
x + y = 5
2
− 3 (x + y) − 2xy − 6 = 0 ⇔ (x + y) − 3 (x + y) − 10 = 0 ⇔
(4) .
x + y = −2
xy = 2
5 − 17
5 + 17
x + y = 5
x =
x =
y = 5 − x
2
2
.
⇔ 2
⇔
∨
(3), (4) ⇔ xy = 2
−x + 5x − 2 = 0
y = 5 + 17 y = 5 − 17
(VN)
x + y = −2
2
2
Bài6.
Cao
ng Sư Ph m H i Phịng –
1/ Gi i phương trình :
i h c H i Phòng năm 2004
2
1
log2 (x − 1) + log 1 (x + 4) = log2 (3 − x)
2
(∗)
2
(
)
(
2/ Gi i phương trình : log3 x2 + 2x + 1 = log2 x2 + 2x
) (∗ ∗)
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i phương trình :
2
1
log2 (x − 1) + log 1 (x + 4) = log2 (3 − x)
2
(∗)
2
●
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
x + 4 > 0 ⇔ x > −4 ⇔ −4 < x < 3 .
i u ki n :
x ≠ 1
3 − x > 0
x < 3
(∗) ⇔ log2 x − 1 − log2 (x + 4) = log2 (3 − x) ⇔ log2 x − 1 = log2 (3 − x)(x + 4)
⇔ x − 1 = (3 − x)(x + 4) ⇔ x − 1 = −x2 − x + 12
www.VNMATH.com
−x2 − x + 12 ≥ 0
−4 ≤ x ≤ 3
x − 1 = −x2 − x + 12 ⇔ x = −1 + 14 ∨ x = −1 − 14 ⇔ x = − 11
⇔
.
x = −1 + 14
2
x − 1 = x + x − 12
x = − 11 ∨ x = 11
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là : x = − 11 ∨ x = −1 + 14 .
(
)
(
2/ Gi i phương trình : log3 x2 + 2x + 1 = log2 x2 + 2x
) (∗ ∗)
2
2
( x + 1) > 0
x + 2x + 1 > 0
⇔
⇔ x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞) .
● i u ki n : 2
x + 2x > 0
x ∈ (−∞; −2) ∪ (0; +∞)
x 2 + 2x + 1 = 3t > 0
●
t : log3 x2 + 2x + 1 = log2 x2 + 2x = t ⇒ 2
x + 2x = 2t > 0
x2 + 2x = 2t
(1)
x2 + 2x = 3t − 1
x 2 + 2x = 2t
x2 + 2x = 2t
t
.
⇔ 2
⇔ t
⇔ t
⇔ 2 1 t
x + 2x = 2t
3 − 1 = 2t
2 + 1 = 3t
+ = 1 (2)
3 3
(
)
(
)
● Nh n th y t = 1 là m t nghi m c a phương trình (2) .
2 t 1 t
● Xét hàm s f (t) = + trên » :
3
3
2 t
t
.ln 2 + 1 . ln 1 < 0, ∀t ∈ » ⇒ f (t) ngh ch bi n trên » .
f ' ( t) =
3
3 3
3
● Do ó, t = 1 là nghi m duy nh t c a phương trình (2) .
● Thay t = 1 vào (2), ta ư c : x2 + 2x = 2 ⇔ x2 + 2x − 2 = 0 ⇔ x = −1 ± 3 .
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x = −1 ± 3 .
Bài7.
Cao
ng Sư Ph m Nhà Tr – M u Giáo TWI năm 2004
1 1
>
Gi i b t phương trình : log
2
(x−1) 4 2
(∗)
Bài gi i tham kh o
●
2
i u ki n : 0 < ( x − 1) ≠ 1 ⇔ x ≠ 0,1, 2 .
1
1
1
1
(∗) ⇔ 2 log x−1 4 > 2 ⇔ log x−1 4 > log x−1
x −1
(∗ ∗)
1
x −1 > 1
> x −1
⇔
● N u x − 1 > 1 thì (∗ ∗) ⇔ 4
(vơ lí) ⇒ Khơng có x th a.
x −1 < 1
x −1 > 1
4
● N u 0 < x − 1 < 1 thì
0 < x < 3
1 < x − 1
0 < x − 1 < 1
1
4.
⇔
⇔ 0 < x −1 < ⇔
(∗ ∗) ⇔ 4
x −1 < 1
4
5 < x < 2
0 < x − 1 < 1
4
4
www.VNMATH.com
3 5
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là x ∈ 0; ∪ ;2 .
4 4
Bài8.
Cao
ng Sư Ph m Tp. H Chí Minh năm 2004
log x 2 + y2 = 5
Gi i h phương trình : 2
2 log x + log y = 4
4
2
(
)
(∗)
Bài gi i tham kh o
2
2
x > 0
x + y > 0
⇔
i u ki n :
.
x > 0, y > 0
y > 0
●
2
2
x2 + y2 = 32
x 2 + y2 = 32
(x + y) − 2xy = 32 ⇔ ( x + y) = 64
(∗) ⇔ log x + log y = 4 ⇔ log xy = 4 ⇔
2
2( )
xy = 16
xy = 16
2
x = y = 4
x + y = 8
x + y = −8
⇔
∨
⇔
.
x = y = −4
xy = 16
xy = 16
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a h là S = (x; y) =
Bài9.
Cao
{(4; 4)} .
ng Sư Ph m B c Ninh năm 2004
2
3
log 1 (x + 3) − log 1 (x + 3)
2
Gi i b t phương trình :
3
x +1
>0
(∗)
Bài gi i tham kh o
x > −3
.
i u ki n :
x ≠ 1
● Trư ng h p 1. N u x + 1 < 0 ⇔ −3 < x < −1 .
●
2
(∗) ⇔ log 1 (x + 3)
3
− log 1 (x + 3) < 0
2
3
⇔ 3 log3 (x + 3) − 2 log2 (x + 3) < 0
⇔ 3 log3 ( x + 3) − 2 log2 3. log3 ( x + 3) < 0
⇔ log3 (x + 3) . (3 − 2 log2 3) < 0
⇔ log3 (x + 3) > 0
(Do :
3 − 2 log2 3 < 0)
⇔ x + 3 > 1 ⇔ −2 < x < −1 th a mãn i u ki n : −3 < x < −1 .
● Trư ng h p 2. N u x + 1 > 0 ⇔ x > −1 .
2
(∗) ⇔ log 1 (x + 3)
3
− log 1 (x + 3) > 0
2
3
⇔ 3 log3 (x + 3) − 2 log2 (x + 3) > 0
⇔ 3 log3 ( x + 3) − 2 log2 3. log3 ( x + 3) > 0
⇔ log3 (x + 3) . (3 − 2 log2 3) > 0
⇔ log3 (x + 3) < 0
(Do :
3 − 2 log2 3 < 0)
www.VNMATH.com
⇔ x + 3 < 1 ⇔ x < −2 không th a mãn i u ki n x > −1 .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là x ∈ (−2; −1) .
Bài10.
Cao
ng Sư Ph m Bình Phư c năm 2004
(
)
(∗)
Gi i phương trình : 3x2 − 2x 3 = log2 x2 + 1 − log2 x
Bài gi i tham kh o
i u ki n : x > 0 .
●
(∗) ⇔ log2
x2 + 1
= 3x2 − 2x 3 ⇔ log2 x +
x
1
2
3
= 3x − 2x
x
(∗ ∗)
1 Côsi
1
1
≥ 2 x. ⇔ x + ≥ 2 ⇒ log2 x +
● Ta có ∀x > 0 : x +
x
x
x
1
D u " = " x y ra khi và ch khi x = ⇔ x2 = 1 ⇔
x
1
≥ log2 2 = 1 .
x
x = 1
x = −1 L ⇔ x = 1 .
( )
● Xét hàm s y = 3x2 − 2x 3 trên kho ng (0;+∞) :
y ' = 6x − 6x2 . Cho y ' = 0 ⇔ x = 0, x = 1 .
f (0) = 0
⇒ max y = 1 ⇒ y = 3x2 − 2x 3 ≤ 1 . D u " = " x y ra khi x = 1 .
Mà
f (1) = 1
(0;+∞)
log x + 1 ≥ 1 (1)
2
x
2
● Tóm l i : (∗ ∗) ⇔ 2x − 2x 3 ≤ 1
(2) ⇔ D u " = " trong (1), (2) ng th i x y ra
log x + 1 = 3x2 − 2x 3
2
x
⇔ x = 1 là nghi m duy nh t c a phương trình.
Bài11.
Cao
ng Sư Ph m Kom Tum năm 2004
Gi i phương trình : log5 x. log3 x = log5 x + log3 x
(∗)
Bài gi i tham kh o
log x
(∗) ⇔ log5 x. log3 x − log5 x − log5 3 = 0
5
1
= 0
⇔ log5 x log3 x − 1 −
log5 3
⇔ log5 x (log3 x − log3 3 − log3 5) = 0
⇔ log5 x. (log3 x − log3 15) = 0
log x = 0
x = 1
5
⇔
⇔
.
log 3 x − log 3 15 = 0
x = 15
Bài12.
Cao
ng Giao Thông năm 2004
Gi i b t phương trình :
8 + 21+ x − 4 x + 21+ x > 5
(1)
www.VNMATH.com
Bài gi i tham kh o
(1) ⇔
x
8 + 2.2 −
t = 2 x > 0
> 5 − 2.2 ⇔
2
8 + 2t − t2 > 5 − 2.t
t > 0
t > 5
2
5
−2 ≤ t ≤ 4
⇔
⇔ 2
⇔1< t≤4.
1 < t ≤ 5
t > 0
2
t ≤ 5
2
2
> (5 − 2t)
17
1 < t <
5
2
( )
t > 0
5 − 2t < 0
8 + 2t − t2
⇔
t > 0
5 − 2t ≥ 0
8 + 2t − t2
x
x
● Thay t = 2x vào ta ư c : 1 < 2x ≤ 4 ⇔ 20 < 2x ≤ 22 ⇔ 0 < x ≤ 2 .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là x ∈ (0;2 .
Bài13.
Cao
ng Kinh T K Thu t Công Nghi p II năm 2004
Gi i b t phương trình :
log2 x + 3
2
log2 x + 3
>2
(∗)
Bài gi i tham kh o
x > 0
x > 0
x > 0
x > 0
⇔
⇔
⇔
i u ki n :
.
log2 x + 3 ≠ 0
log2 x ≠ log2 2−3
x ≠ 2−3
x ≠ 1
8
●
log2 x + 3
2
(∗) ⇔ log
x+3
2
−2 > 0 ⇔
log2 x − 2 log2 x − 3
2
log2 x + 3
t t = log2 x . Khi ó (∗ ∗) ⇔
●
● Xét d u f (t) =
t
(t + 1)(t − 3)
−∞
t+3
>0
(∗ ∗)
(t + 1)(t − 3) > 0
t2 − 2t − 3
> 0 ⇔ f (t) =
t+3
t+3
:
−3
f (t)
−1
+
0
0
−3 < log x < −1
2
⇔
log x > 3
2
1
2.
x>8
1 1
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là x ∈ ; .
8 2
Bài14.
Cao
ng Cơ Khí Luy n Kim năm 2004
+∞
3
● K t h p b ng xét d u và (∗ ∗ ∗), ta ư c :
−3 < t < −1
⇔
t > 3
(∗ ∗ ∗) .
+
(
www.VNMATH.com
)
(
) (∗)
Gi i phương trình : log2 25x +3 − 1 = 2 + log2 5x +3 + 1
Bài gi i tham kh o
x +3 − 1 > 0
x + 3 > 25o
25
25
i u ki n : x + 3
⇔ x +3
⇔ x−3> 0 ⇔ x > 3.
5
5
+1> 0
+ 1 > 0 (Ð), ∀x ∈ »
●
(∗) ⇔ log2 (25x+3 − 1) = log2 4 + log2 (5x +3 + 1)
⇔ log2 25x + 3 − 1 = log2 4. 5x + 3 + 1 ⇔ 25x + 3 − 1 = 4.5x + 3 + 4
5 x + 3 = −1 L
2
( ) ⇔ x + 3 = 1 ⇔ x = −2
x +3
x +3
⇔ 5
− 4.5
− 5 = 0 ⇔ x + 3
=5
5
● K t h p v i i u ki n, nghi m phương trình là x = −2 .
(
(
Bài15.
Cao
)
(
)
)
ng Hóa Ch t năm 2004
(
)
(
)
Gi i phương trình : log2 2x + 1 .log2 2x +1 + 2 = 6
(∗)
Bài gi i tham kh o
nh : D = » .
(∗) ⇔ log2 2x + 1 . log2 2. 2x + 1 = 6
⇔ log2 2x + 1 . 1 + log2 2x + 1 − 6 = 0
t = log 2x + 1 > 0
t > 0
2
t > 0
⇔
⇔ 2
⇔
⇔ t=2
t (1 + t) − 6 = 0
t + t − 6 = 0
t = 2 ∨ t = − 3 ( L)
● T p xác
(
(
)
)
(
(
(
)
(
)
)
)
⇔ log2 2x + 1 = 2 ⇔ 2x + 1 = 4 ⇔ 2x = 3 ⇔ x = log2 3 .
● V y phương trình có nghi m duy nh t là x = log2 3 .
Bài16.
Cao
ng Kinh T K Thu t Công Nghi p kh i A năm 2004
Gi i phương trình : 32x +5 − 36.3x +1 + 9 = 0
Bài gi i tham kh o
nh : D = » .
(∗) ⇔ 27.32(x +1) − 36.3x+1 + 9 = 0
● T p xác
t = 3x +1 > 0
3x +1 = 1
x = −1
t = 3x +1 > 0
⇔ 2
⇔
⇔ x +1
⇔
.
27t − 36t + 9 = 0
t = 1 ∨ t = 1
x = −2
= 3−1
3
3
● V y phương trình có hai nghi m x = −2 và x = −1 .
Bài17.
Cao
ng Công Nghi p Hà N i năm 2004
1/ Gi i phương trình : 8sin
2/ Tìm t p xác
3
x
= 8.8
π x
2 cos2 − + sin2 x
4 2
(1)
nh c a hàm s : y = 4 log2 x − log2
2
1
2
− 3 + x − 7x + 6
x
(2)
www.VNMATH.com
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i phương trình : 8
(1) ⇔ 8
sin3 x
sin3 x
= 8.8
π
1+ cos −x+ sin2 x +1
2
=8
π x
2 cos2 − + sin2 x
4 2
⇔ 8sin
3
x
2
= 8sin
(1)
x + sin x +2
⇔ sin3 x = sin2 x + sin x + 2
t = sin x, t ≤ 1
⇔ 3
⇔ t = 2 (lo i).
t − t2 − t − 2 = 0
V y phương trình ã cho vơ nghi m.
2/ Tìm t p xác
(2) ⇔ y =
nh c a hàm s : y = 4 log2 x − log2
2
1
2
− 3 + x − 7x + 6
x
4 log2 x − log2 x − 3 + x2 − 7x + 6 .
2
● Hàm s xác
x > 0
x > 0
2
nh khi và ch khi : − log2 x + 4 log2 x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 ∨ x ≥ 6
1 ≤ log x ≤ 3
2
x − 7x + 6 ≥ 0
2
0 < x ≤ 1 ∨ x ≥ 6
⇔
⇔ 6 ≤ x ≤ 8.
2 ≤ x ≤ 8
● V y t p xác
Bài18.
Cao
nh c a hàm s là D = 6; 8 .
ng Tài Chính K Tốn IV năm 2004
2
x + 5x + 4 ≤ 0 (1)
Gi i h phương trình :
(2 + x) .3x < 1 (2)
Bài gi i tham kh o
● T p xác
nh D = » .
(1) ⇔ −4 ≤ x ≤ −1 ⇒ x ∈ −4; −1 .
1 x
(2) ⇔ x + 2 < 3 .
● V i x ∈ −4; −1 . Xét hàm s f ( x) = x + 2
ng bi n trên −4; −1 .
⇒ max f (x) = f (−1) = 1 .
−4;−1
1 x
● V i x ∈ −4; −1 . Xét hàm s g (x ) = ngh ch bi n trên −4; −1 .
3
⇒ min g (x) = f (−1) = 3 .
−4;−1
● Nh n th y max f (x) < min g (x) , (1 < 3) nên g (x ) > f (x) ln ln úng
−4;−1
−4;−1
∀x ∈ −4; −1 . Do ó t p nghi m c a b t phương trìn là x ∈ −4; −1 .
Bài19.
Cao
ng Y T Ngh An năm 2004
(2)
www.VNMATH.com
3
x3
1
Gi i phương trình : log3 . log2 x − log3
= + log2 x
x
2
3
(∗)
Bài gi i tham kh o
i u ki n : x > 0 .
●
(∗) ⇔ (log3 3 − log3 x). log2 x − (log3 x 3 − log3
)
3 =
1 1
+ log2 x
2 2
1 1 1
⇔ (1 − log 3 x) . log2 x − 3 log 3 x − = + log2 x
2 2
2
⇔ log2 x − log2 x. log3 x − 3 log3 x +
⇔
1 1 1
− − log2 x = 0
2 2 2
1
log2 x − log2 x.log3 x − 3 log3 x = 0
2
⇔ log2 x − 2 log2 x.log3 x − 6 log3 x = 0
⇔ log2 x − 2 log2 x. log3 x −
6. log2 x
log2 3
=0
⇔ log2 x. 1 − 2 log3 x − 6 log3 2 = 0
log x = 0
x = 1
2
⇔
⇔
log x = 1 − 3 log 2 = log 3 − log 8 = log 3
x = 3 .
3
3
3
3
3
2
8
8
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x = 1, x =
Bài20.
Cao
3
.
8
ng Kinh T K Thu t Công Nghi p I năm 2006
Gi i phương trình : logx 4.log2
5 − 12x
=2
12x − 8
(∗)
Bài gi i tham kh o
●
0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1
⇔5
i u ki n : 5 − 12x
.
12x − 8
12
3
x = 1
1
5 − 12x
5 − 12x
5 − 12x
(∗) ⇔ log x .log2 12 − 8 = 1 ⇔ log2 12 − 8 = log2 x ⇔ 12 − 8 = x ⇔ 2 5 .
2
x = −
6
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x =
Bài21.
Cao
1
.
2
ng Kinh T K Thu t Công Nghi p II năm 2006
2
Gi i phương trình : 42x − 2.4 x
2
+x
+ 42x = 0
(∗)
Bài gi i tham kh o
● T p xác
2
nh : D = » .
2
(∗) ⇔ 42x −2x − 2.4x −x + 1 = 0
(chia hai v cho 42x > 0 )
www.VNMATH.com
2
2 2
⇔ 4x −x − 2.4x −x + 1 = 0
2
x = 0
2
t = 4 x − x > 0
.
⇔
⇔ t = 4 x −x = 1 ⇔ x2 − x = 0 ⇔
t2 − 2t + 1 = 0
x = 1
● V y phương trình có hai nghi m : x = 0, x = 2 .
Bài22.
Cao
ng Xây D ng s 2 năm 2006
2x + log y + 2x log y = 5
2
2
Gi i h phương trình : x
4 + log2 y = 5
2
(∗)
Bài gi i tham kh o
i u ki n : y > 0 .
●
t u = 2x , v = log2 y . Lúc ó :
●
2
2 (u + v) + 2uv = 10 (+)
u + v + uv = 5
∗) ⇔ 2
⇔
⇔ (u + v) + 2 (u + v) − 15 = 0
(
2
2
u + v = 5
(u + v) − 2uv = 5
x
2 = 1
u + v = −5 VN
u = 1
x = 2
( o ) v = 2 log y = 2 y = 4
uv = 10
2
.
⇔
⇔
⇔ x
⇔
2 = 2
u + v = 3
u = 2
x = 4
log y = 1
uv = 2
v = 1
y = 2
2
● So v i i u ki n, nghi m c a h phương trình là : S = (x; y) =
Bài23.
Cao
{(2; 4), (4;2)} .
ng Giao Thông V n T i III kh i A năm 2006
Gi i phương trình : 3 +
89x 25
1
= log x
2 − 2x
log32 x
(∗)
Bài gi i tham kh o
0 < x ≠ 1
x ≠ 1
0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1
− 5 < x < 0
5
.
⇔ 89x2 − 25
⇔
⇔
K : 89x 25
89
x ∈
; +∞
∞
−
>0
>0
89
2
5
2x
2x
89
●
89x2 − 25
89x2 − 25
3
(∗) ⇔ 3 + logx 32 = logx 2x ⇔ logx x + logx 32 = logx 2x
⇔ log x 32x 3 = logx
89x2 − 25
89x2 − 25
⇔ 32x 3 =
⇔ 64x 4 − 89x2 + 25 = 0
2x
2x
x2 = 1
x = ±1
⇔
⇔
.
x2 = 25
x = ± 5
8
64
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là : x =
Bài24.
Cao
ng Kinh T
i Ngo i kh i A, D năm 2006
5
.
8
www.VNMATH.com
2
1/ Gi i phương trình : 2 ln x + ln (2x − 3) = 0
2/ Gi i b t phương trình :
4 x + 2x − 2
4 x − 2x − 2
(1) .
> 0.
Bài gi i tham kh o
2
1/ Gi i phương trình : 2 ln x + ln (2x − 3) = 0
(1) .
x > 0
x > 0
⇔
i u ki n :
.
2x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
2
●
2x − 3 ≥ 0
2
2x − 3x − 1 = 0
1) ⇔ 2 ln x + 2 ln 2x − 3 = 0 ⇔ x 2x − 3 = 1 ⇔
(
2x − 3 < 0
−2x 2 + 3x − 1 = 0
x ≥ 3
3
x = 1
x <
2
2
1
⇔ x = 3 + 17 ∨ x = 1 ⇔ x =
.
2
4
1
x = 3 − 17 x = 2
x = 3 + 17
4
4
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x = 1 ∨ x =
2/ Gi i b t phương trình :
● T p xác
(2
(∗) ⇔
(2
x
x
4 x + 2x − 2
4 x − 2x − 2
(∗) .
>0
nh D = » .
)(
+ 1)(2
)>0⇔ 2
2
− 2)
+ 2 2x − 1
x
x
x
x
2 < 1 ⇔
>0⇔ x
−2
2 > 2
−1
x < 0 .
x > 1
● V y t p nghi m c a b t phương trình là x ∈ (−∞; 0) ∪ (1; +∞) .
Bài25.
Cao
ng Sư Ph m Hưng Yên kh i A năm 2006
Gi i phương trình :
x +1
(
)
2 +1
x
(
− 3+2 2
)
= x −1
Bài gi i tham kh o
● T p xác
nh : D = » .
x +1
(∗) ⇔ (
2 +1
(
2 +1
⇔
)
−
(
2x
)
2 +1
x +1
)
+ x +1 =
= x −1
(
2x
)
2 +1
+ 2x
(1) có d ng f (x + 1) = f (2x) (2)
● Xét hàm s f (t) =
(
t
)
2 + 1 + t trên » .
(1)
(∗)
1
3 + 17
∨x =
.
2
4
Ta có f ' (t) =
(
t
) (
2 + 1 . ln
www.VNMATH.com
)
2 + 1 + 1 > 0 ⇒ Hàm s f (t)
ng bi n trên » (3) .
(1), (2), (3) ⇒ x + 1 = 2x ⇔ x = 1 .
● T
● V y phương trình có nghi m duy nh t là x = 1 .
Bài26.
Cao
ng Sư Ph m Hưng Yên kh i B năm 2006
1
1
Gi i phương trình : 5 2 + 5 2
+ log5 sin x
=
1
+ log15 cos x
2
15
(∗)
Bài gi i tham kh o
i u ki n : sin x > 0, cos x > 0 .
●
(∗) ⇔
5 + 5.5
log5 sin x
= 15.15
⇔ 1 + sin x = 3 cos x ⇔
⇔x=
log15 cos x
⇔ 5 + 5. sin x = 15.cos x
3
1
1
π
π
cos x − sin x = ⇔ cos x + = cos
2
2
2
6
3
π
π
+ k2π ∨ x = − + k2π, (k ∈ ») .
6
2
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x =
Bài27.
Cao
π
+ k2π, (k ∈ ») .
6
ng Sư Ph m Hưng Yên kh i D1, M năm 2006
Gi i phương trình : log9 x = log 3
(
)
(∗)
2x + 1 − 1
Bài gi i tham kh o
1/ Gi i phương trình : log9 x = log 3
●
(
)
2x + 1 − 1
(∗)
x > 0
⇔ x > 0.
i u ki n :
2x + 1 − 1 > 0
(∗) ⇔ log3
x = log 3
(
)
2x + 1 − 1 ⇔
x = 2x + 1 − 1 ⇔ x = 2x + 2 − 2 2x + 1
x = 0
⇔ x + 2 = 2 2x + 1 ⇔ x2 + 4x + 4 = 8x + 4 ⇔ x2 − 4x = 0 ⇔
.
x = 4
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x = 4 .
Bài28.
Cao
ng Bán Công Hoa Sen kh i A năm 2006
2x −y
2 2x −y
2 2
+ 7.
−6 = 0
Gi i h phương trình : 3. 3
3
lg (3x − y) + lg (y + x) − 4 lg 2 = 0
Bài gi i tham kh o
●
3x − y > 0 ⊕ x > 0
y
i u ki n :
⇔
⇔ x > > 0.
y
y + x > 0
x > > 0
3
3
www.VNMATH.com
2x −y
2
2
2 2x −y
2 2x −y
(∗) ⇔ 3. 3 + 7. 3 − 6 = 0 ⇔ 3t + 7t − 6 = 0, t = 3 > 0
lg (3x − y)(y + x) = log 16
3x − y)(y + x) = 16
(
2x−y
2 2x −y
2
2x − y = 2
t = 2
= ∨t=
= −3 (L)
⇔
⇔
3
3
3
2xy + 3x2 − y2 = 16
2xy + 3x2 − y2 = 16
x = 2
y = 2x − 2
y = 2x − 2
y = 2
⇔
⇔ 2
⇔
2x (2x − 2) + 3x2 − (2x − 2)2 = 16
3x + 4x − 20 = 0
10
x = −
3
.
( L)
● V y nghi m c a h phương trình là ( x; y) = (2;2) .
Bài29.
Cao
ng Bán Công Hoa Sen kh i D năm 2006
Gi i phương trình : 9x + 6x = 22x +1
(∗)
Bài gi i tham kh o
● T p xác
nh : D = » .
3 2x 3 x
(∗) ⇔ 9 + 6 − 2.4 = 0 ⇔ 2 + 2
x
x
x
x
t = 3 > 0
3 x
2
− 2 = 0 ⇔
⇔ = 1 ⇔ x = 0.
2
t=1
t = −2 L
( )
● V y nghi m c a phương trình là x = 0 .
Bài30.
Cao
ng Sư Ph m TW năm 2006
Gi i phương trình : 4.4x − 9.2x +1 + 8 = 0
(∗)
Bài gi i tham kh o
● T p xác
nh : D = » .
2 x = 4
x = 2
⇔
.
(∗) ⇔ 4.22x
2 x = 1
x = −1
2
● V y phương trình có hai nghi m là x = −1 và x = 2 .
t = 2x > 0
x
− 18.2 + 8 = 0 ⇔ 2
⇔
4t − 18t + 8 = 0
Bài31.
Cao
ng Sư Ph m Hà Nam kh i A năm 2006
Gi i b t phương trình : 3x
2
−4
(
)
+ x 2 − 4 .3 x −2 − 1 ≥ 0
(∗)
Bài gi i tham kh o
● T p xác
nh : D = » .
● Ta có : (∗) ⇔ 3x
2
−4
(
)
+ x 2 − 4 .3x −2 ≥ 1
(1)
x2 − 4
+
≥1
2
3
● N u x ≥2⇒ 2
⇔ 3x −4 + x2 − 4 .3x −2 ≥ 1
x − 4 .3x−2 ≥ 0
(
)
(
)
www.VNMATH.com
Do ó (1) ln úng v i x ≥ 2 hay x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) là t p nghi m c a b t
phương trình.
x2 − 4
⊕
<1
2
3
⇔ 3x −4 + x2 − 4 .3x −2 < 1
● N u x <2⇒ 2
x − 4 .3x−2 < 0
(
(
)
)
Do ó (1) khơng có t p nghi m (vô nghi m) khi x < 2 .
● V y t p nghi m c a b t phương trình là x ∈ (−∞; −2 ∪ 2; +∞) .
Bài32.
Cao
ng Sư Ph m Hà Nam kh i M năm 2006
(∗)
Gi i b t phương trình : 3x +2 + 9x +1 − 4 > 0
Bài gi i tham kh o
● T p xác
nh : D = » .
3 x = t > 0
3x = t > 0
x
3 = t > 0
⇔
(∗) ⇔ 9.3 + 9.9 − 4 > 0 ⇔ 9t2 + 9t − 4 > 0 ⇔ 1
4
1
t > ∨ t < −
t >
3
3
3
x
⇔ 3x >
x
1
⇔ 3x > 3−1 ⇔ x > −1 .
3
● V y t p nghi m c a phương trình là x ∈ (−1; +∞) .
Bài33.
D b – Cao
ng Sư Ph m Hà Nam kh i A năm 2006
Gi i phương trình : 4
3 x + 5 +1
+ 2.2
3 x +5 + x
= 2.4 x
(∗)
Bài gi i tham kh o
● T p xác
(∗) ⇔
4
nh : D = » .
3 x + 5 +1
4x
(
⇔ 4.2
+
2 3 x +5 −x
2.2
3 x +5 + x
22x
− 2 = 0 ⇔ 4.4
3 x +5 −x
+ 2.2
3 x +5 −x
−2 = 0
3 x +5 −x
1
2
= t = = 2−1
2
⇔
2
3
4t + 2t − 2 = 0
2 x +5 −x = t = −1 (L)
) + 2.23 x +5 −x − 2 = 0 ⇔ 2
3 x +5 −x
= t>0
⇔ 3 x + 5 − x = −1 ⇔ 3 x + 5 = x − 1 ⇔ x + 5 = x 3 − 3x2 + 3x − 1
⇔ x3 − 3x2 + 2x − 6 = 0 ⇔ x = 3 .
● V y phương trình có m t nghi m là x = 3 .
Bài34.
Cao
ng K Thu t Y T I năm 2006
(
)
(
) (∗)
Gi i phương trình : 1 + log2 9x − 6 = log2 4.3x − 6
Bài gi i tham kh o
●
9x − 6 > 0
i u ki n : x
.
4.3 − 6 > 0
(∗) ⇔ log2 2 + log2 (9x − 6) = log2 (4.3x − 6) ⇔ log2 2.(9x − 6) = log2 (4.3x − 6)
www.VNMATH.com
x
2
( )
x
⇔ 2.9 − 12 = 4.3 − 6 ⇔ 2. 3
x
x
3 = −1
− 4.3 − 6 = 0 ⇔ x
1
3 = 3
x
( L) ⇔ x = 1 .
● Thay x = 1 vào i u ki n và th a i u ki n. V y nghi m c a phương trình là x = 1 .
Bài35.
Cao
ng Tài Chính – H i Quan kh i A năm 2006
3x − 5
<1
x +1
Gi i b t phương trình : log3
(∗)
Bài gi i tham kh o
●
i u ki n :
(∗) ⇔
3x − 5
5
> 0 ⇔ x < −1 ∨ x > .
x +1
3
−8
3x − 5
3x − 5
<3⇔
−3< 0 ⇔
< 0 ⇔ x + 1 > 0 ⇔ x > −1 .
x +1
x +1
x +1
5
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là x ∈ ; +∞ .
3
Bài36.
Cao
ng K Thu t Cao Th ng năm 2006
(
)
Gi i phương trình : log2 x2 − 3 − log2 (6x − 10) + 1 = 0
(∗)
Bài gi i tham kh o
x2 − 3 > 0
5
⇔x> .
i u ki n :
6x − 10 > 0
3
●
(∗) ⇔ log2
(
) = log 1 ⇔ 2 (x
2 x2 − 3
6x − 10
2
2
) =1⇔ x
−3
6x − 10
2
x = 1
− 3x + 2 = 0 ⇔
.
x=2
● So v i i u ki n, phương trình có nghi m duy nh t là x = 2 .
Bài37.
Cao
ng Kinh T Tp. H Chí Minh năm 2006
Gi i phương trình : x
2 + log2 x
2
=8
(∗)
Bài gi i tham kh o
i u ki n : x > 0 và x ≠ 1 .
●
1
2
(∗) ⇔ 2 + log2 x = logx 8 ⇔ log2 x − 3.logx 2 + 2 = 0 ⇔ log2 x − 3. log
2
2
2
x
+2 = 0
3
⇔ log2 x + 2 log2 x − 3 log2 x = 0 ⇔ log2 x = 1 ⇔ x = 2 .
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x = 2 .
Bài38.
Cao
ng i n L c Tp. H Chí Minh năm 2006
Gi i phương trình :
3
logx 3 − 3 log27 x = 2 log3 x
4
(∗)
Bài gi i tham kh o
●
i u ki n : 0 < x ≠ 1 .
3
1
(∗) ⇔ 4 . log
3
x
− log3 x − 2 log3 x = 0 ⇔
3
1
1
.
= 3.log3 x ⇔ log2 x =
3
4 log3 x
4
www.VNMATH.com
1
1
1
⇔ log3 x =
∨ log3 x = − ⇔ x = 3 ∨ x =
.
2
2
3
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x = 3 ∨ x =
1
.
3
Bài39.
Cao
ng Kinh T – Cơng Ngh Tp. H Chí Minh kh i A năm 2006
Gi i b t phương trình : 5
log3
x −2
x
<1
(∗)
Bài gi i tham kh o
●
i u ki n :
(∗) ⇔ log3
x −2
> 0 ⇔ x < 0 ∨ x > 2.
x
−2
x −2
x −2
<0⇔
<1 ⇔
< 0 ⇔ x > 0.
x
x
x
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là x ∈ (2; +∞) .
Bài40.
Cao
ng Kinh T – Công Ngh Tp. H Chí Minh kh i D1 năm 2006
Gi i phương trình : log 1 (x − 3) = 1 + log4
4
1
x
(∗)
Bài gi i tham kh o
●
x − 3 > 0
x > 3
⇔
⇔ x > 3.
i u ki n : 1
x > 0
>0
x
1
x−3
x−3
1
= −1 ⇔
= ⇔ x = 4.
x
x
4
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x = 4 .
(∗) ⇔ − log4 (x − 3) − log4 x = 1 ⇔ log4
Bài41.
Cao
ng Công Nghi p Hà N i năm 2005
2
log x
(log x)
Gi i b t phương trình : 5 5 + x 5 ≤ 10
(∗)
Bài gi i tham kh o
●
●
i u ki n : x > 0 .
t log5 x = t ⇒ x = 5t .
2
(∗) ⇔ 5t
t
( )
+ 5t
2
≤ 10 ⇔ 5t ≤ 5 ⇔ t2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ t ≤ 1 ⇔ −1 ≤ log5 x ≤ 1 ⇔
1
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là x ∈ ; 5 .
5
Bài42.
Cao
ng Kinh T – K Thu t Công Nghi p I kh i A năm 2005
Tìm t p xác
nh c a hàm s : y = log
5
(x
2
Bài gi i tham kh o
● Hàm s
ư c xác
nh khi và ch khi
)
− 5.x + 2 .
1
≤x≤5
5
www.VNMATH.com
x 2 − 5.x + 2 > 0, ∀x ∈ »
5 −1
⇔ x2 − 5.x + 2 ≥ 1 ⇔ x ≤
∨ x≥
2
log x − 5.x + 2 ≥ 0
2
5
5 − 1 5 + 1
; +∞ .
∪
● V y t p xác nh c a hàm s ã cho là D = −∞;
2 2
(
Bài43.
Cao
)
5 +1
.
2
ng Sư Ph m Cà Mau kh i B năm 2005
2
Gi i phương trình : x lg x = 102 lg
x −3 lg x +2
(∗)
Bài gi i tham kh o
i u ki n : x > 0
●
2
(∗) ⇔ lg xlg x = lg102 lg
x −3 lg x +2
⇔ lg2 x = 2 lg2 x − 3 lg x + 2 ⇔ lg2 x − 3 lg x + 2 = 0
lg x = 1
x = 10
.
⇔
⇔
lg x = 2
x = 100
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x = 10 ∨ x = 100 .
Bài44.
Cao
ng Sư Ph m Vĩnh Phúc kh i B năm 2006
(∗)
Gi i phương trình : log2 x + log2 x2 = log x 4x
0,5
Bài gi i tham kh o
i u ki n : 0 < x ≠ 1 .
●
(∗) ⇔ − log2 x
2
+ 2 log2 x = logx 4 + logx x
⇔ log2 x + 2 log2 x −
2
1
−1 = 0
log 4 x
⇔ log2 x + 2 log2 x −
2
2
−1 = 0
log2 x
x = 2
log x = 1
2
t = log x
1
t = log2 x
2
⇔ 3
⇔
⇔ log2 x = −1 ⇔ x = .
2
t + 2t − t − 2 = 0
t = 1 ∨ t = −1 ∨ t = −2
2
log2 x = −2
x = 1
4
● So v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x =
Bài45.
Cao
1
1
∨ x = ∨ x = 2.
4
2
ng Sư Ph m Vĩnh Phúc kh i A năm 2006
(
)
Gi i b t phương trình : log4 3x − 1 .log 1
4
3x − 1 3
≤
16
4
Bài gi i tham kh o
●
i u ki n : 3x − 1 ≥ 0 ⇔ 3 x ≥ 1 ⇔ x > 0 .
3
(∗) ⇔ log4 (3x − 1). − log4 (3x − 1) + log4 16 − 4 ≤ 0
(∗)
⇔
− log2
4
(3
x
)
(
www.VNMATH.com
)
− 1 + 2 log4 3x − 1 −
3
≤0
4
x
x
log 3x − 1 < 1
t = log4 3 − 1
x < 1
t = log4 3 − 1
4
2 ⇔
⇔
⇔
⇔
2
x > 3 .
4t − 8t + 3 ≤ 0
t < 1 ∨ t > 3
log 3x − 1 > 3
4
2
2
2
(
)
(
)
(
(
)
)
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m c a b t phương trình là x ∈ (0;1) ∪ (3; +∞) .
Bài46.
Cao
ng Sư Ph m Tp. H Chí Minh kh i A năm 2006
log x + 3 5 − log y = 5
3
Gi i h phương trình : 2
3 log x − 1 − log y = −1
2
3
(∗)
Bài gi i tham kh o
x > 0, y > 0
x > 0, y > 0
x > 0, y > 0
x ≥ 2
⇔
i u ki n : 5 − log3 y ≥ 0 ⇔ log3 y ≤ 5 ⇔ y ≤ 162
.
0 < y ≤ 162
log2 x − 1 ≥ 0
log2 x ≥ 1
x ≥ 2
a = 5 − log y ≥ 0
a 2 = 5 − log y
3
3
⇔ 2
t:
.
b = log x − 1 ≥ 0
b = log x − 1
2
2
●
●
b2 + 1 + 3a = 5
b2 + 3a = 4
∗) ⇔
⇔ 2
⇔ b2 + 3a = a2 + 3b ⇔ b2 − a2 + 3a − 3b = 0
(
2
3b + a − 5 = −1 a + 3b = 4
a = b
⇔ (b − a )(b + a ) − 3 (b − a ) = 0 ⇔ (b − a )(b + a − 3) = 0 ⇔
a + b = 3
a = b
a = b
2
a = 5 − log y = 1
a + 3a − 4 = 0
a = 1 ∨ a = −4 (L)
3
⇔
⇔
⇔
b = 3 − a
b = log x − 1 = 1
b = 3 − a
2
a 2 + 9 − 3a = 3
a 2 − 3a + 6 = 0 (VN)
5 − log y = 1
log y = 4
y = 34 = 81
3
3
⇔
⇔
⇔
.
log2 x − 1 = 1
log2 x = 2
x = 4
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a h là S = (x; y) =
Bài47.
Cao
{(4; 81)} .
ng Sư Ph m Tp. H Chí Minh năm 2006
3−x.2y = 1152
Gi i h phương trình :
(∗)
log (x + y) = 2
5
Bài gi i tham kh o
● i u ki n : x + y > 0 .
−x y
−x y
y = 5 − x
3 .2 = 1152 ⇔ 3 .2 = 1152 ⇔ y = 5 − x
⇔ 5 −x
− x 5− x
(∗) ⇔ log x + y = 1 x + y = 5
3 .2
2 .6 = 1152
= 1152
)
5(
www.VNMATH.com
y = 5 − x
x = −2
⇔ −x
⇔
.
6 = 36
y = 3
● So v i i u ki n, nghi m c a h là S = (x; y) =
Bài48.
Cao
{(−2; 3)} .
ng Du L ch Hà N i kh i A năm 2006
Gi i phương trình : log3 8 − x + x2 + 9 = 2
(∗)
Bài gi i tham kh o
●
i u ki n : 8 − x + x2 + 9 > 0 .
x + 1 ≥ 0
x ≥ −1
⇔
x2 + 9 = x + 1 ⇔ 2
2
x + 9 = x + 2x + 1
x = 4
(∗) ⇔ 8 − x + x2 + 9 = 9 ⇔
⇔ x = 4.
● Thay nghi m x = 4 vào i u ki n và th a i u ki n. V y nghi m phương trình là x = 4 .
Bài49.
Cao
ng Kinh T K Thu t Ngh An kh i A năm 2006
(
)
(
)
Gi i phương trình : log3 3x + 1 .log3 3x +1 + 3 = 2
Bài gi i tham kh o
nh : D = » .
(∗) ⇔ log3 3x + 1 .log3 3. 3x + 1 = 2 ⇔ log3 3x + 1 . 1 + log3 3x + 1 = 2
log 3x + 1 = 1
t = log 3x + 1
t = log 3x + 1
t = log 3x + 1
3
3
3
3
⇔
⇔
⇔
⇔
x
2
t. t + 1) = 2
t + t − 2 = 0
t = 1 ∨ t = −2
log 3 3 + 1 = −2
(
x
3x + 1 = 3
3 = 2
⇔ x
⇔
⇔ x = log 3 2 .
−2
3x = − 8 L
3 + 1 = 3
( )
9
● T p xác
(
)
(
(
)
(
(
)
)
)
(
(
)
)
(
(
)
)
● V y nghi m c a phương trình là x = log3 2 .
Bài50.
Cao
ng Sư Ph m Quãng Ngãi năm 2006
Gi i phương trình : 8x + 18x = 2.27 x
(∗)
Bài gi i tham kh o
● T p xác
nh D = » .
2x
3
(∗) ⇔ 1 + 2
3x
3
= 2.
2
x
x
t = 3 > 0
t = 3 > 0
3 x
⇔
⇔
⇔ t= =1
2
2
2
3
3
2
2
2t − t − 1 = 0
2t − t − 1 = 0
⇔ x = 0.
● V y phương trình có m t nghi m là x = 0 .
Bài51.
Cao
ng C ng
ng Hà Tây năm 2005
Gi i b t phương trình : 32x + 4 + 45.6x − 9.22x +2 ≤ 0
Bài gi i tham kh o
● T p xác
nh D = » .
(∗)
www.VNMATH.com
2x
x
3
3
+ 45. − 36 ≤ 0
2
(∗) ⇔ 81.9x + 45.6x − 36.4x ≤ 0 ⇔ 81. 2
x
t > 0
t = 3 > 0
3 x 4
4
⇔
⇔
2
4 ⇔ 0 < t≤ ⇔ 0< <
2
2
−1 ≤ t ≤
9
9
81t + 45t − 36 ≤ 0
9
⇔ x ≤ log 3
2
4
⇔ x ≤ −2 .
9
● V y t p nghi m c a b t phương trình là x ∈ (−∞; −2 .
Bài52.
Cao
ng Sư Ph m Lai Châu kh i A năm 2005
Gi i phương trình :
2
3
3
3
log 1 (x + 2) − 3 = log 1 (4 − x) + log 1 ( x + 6)
2
4
4
4
(∗)
Bài gi i tham kh o
2
(x + 2) > 0
4 − x 3 > 0 ⇔ x ≠ 2
.
i u ki n : (
)
−6 < x < 4
3
x+6
(
)
●
(∗) ⇔ 3 log 1
x + 2 − 3.log 1
4
4
(
1
= 3 log 1 (4 − x) + 3 log 1 (x + 6)
4
4
4
)
⇔ log 1 4 x + 2 = log 1 (4 − x)( x + 6)
4
4
⇔ 4 x + 2 = (4 − x)(x + 6) ⇔ 4 x + 2 = −x2 − 2x + 24
4x + 8 = −x 2 − 2x + 24
x2 + 6x − 16 = 0
x = 2 ∨ x = −8
x ≥ −2
x + 2 ≥ 0
x ≥ −2
⇔
⇔ 2
⇔
4x + 8 = x2 + 2x − 24
x − 2x − 32 = 0
x = 1 ± 33
x + 2 < 0
x < −2
x < −2
x = 2
⇔
.
x = 1 − 33
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x = 2 ∨ x = 1 − 33 .
Bài53.
Cao
ng Sư Ph m Lai Châu kh i B năm 2005
5
2
Bài gi i tham kh o
i u ki n : 0 < x + 1 ≠ 1 ⇔ −1 < x ≠ 0 .
Gi i b t phương trình : log2 (x + 1) + log(x +1) 2 ≥
●
(∗) ⇔ log2 (x + 1) +
●
1
log2 (x + 1)
−
5
≥0
2
(∗)
(∗ ∗)
1 5
t t = log2 ( x + 1) . Khi ó : (∗ ∗) ⇔ t + − ≥ 0 ⇔ 2t2 − 5t + 2 ≥ 0
t 2
www.VNMATH.com
x + 1 ≤ 2
x ≤ 2 − 1
log (x + 1) ≤ 1
t ≤ 1
⇔
⇔ 2
⇔
.
2⇔
2
x + 1 ≥ 4
x ≥ 3
t≥2
log x + 1) ≥ 2
2(
(
)
● K t h p v i i u ki n, t p nghi m phương trình là : x ∈ −1; 2 − 1 ∪ (3; +∞) \ {0} .
Bài54.
Cao
ng Sư Ph m Tp. H Chí Minh năm 2005
(
)
Gi i b t phương trình : log x 5x 2 − 8x + 3 > 2
(∗)
Bài gi i tham kh o
0 < x ≠ 1
0 < x ≠ 1
3
⇔
⇔ x ∈ 0; ∪ (1; +∞) .
● i u ki n : 2
3
5x − 8x + 3 > 0
x < ∨ x > 1
5
5
x ∈ 0; 3
5
x ∈ 0; 3
5
1 3
x ∈ 1 ; 3
x ∈ ;
2 5
5x2 − 8x + 3 < x2
2 2
⇔
⇔
.
(∗) ⇔
3
; +∞
x ∈
x ∈ (1; +∞)
x ∈ (1; +∞)
2
5x2 − 8x + 3 > x2
1 3
x ∈ −∞; ∪ ; +∞
2
2
1 3 3
● V y t p nghi m c a phương trình là x ∈ ; ∪ ; +∞ .
2 5 2
i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh kh i B năm 2001
Bài55.
(1−x2 ) (
1 − x) ≥ 1
Gi i b t phương trình : log
(∗)
Bài gi i tham kh o
●
1 − x > 0
−1 < x < 1
i u ki n : 1 − x 2 > 0 ⇔
⇒ T p xác
x ≠ 0
2
1 − x ≠ 1
nh : D = (−1;1) \ {0} .
(∗) ⇔ log(1−x ) (1 − x) ≥ log(1−x ) (1 − x2 ) ⇔ (1 − x2 − 1)(1 − x − 1 + x2 ) ≥ 0
2
(
2
)
⇔ x2 x 2 − x ≤ 0 ⇔ x2 − x ≤ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 1 .
● K t h p v i t p xác
nh, t p nghi m c a b t phương trình là : x ∈ (0;1) .
i h c Qu c Gia Tp. H Chí Minh kh i A năm 2001
Bài56.
Gi i phương trình : 4
log2 2x
−x
log2 6
= 2.3
log2 4x2
(∗)
Bài gi i tham kh o
●
x > 0
i u ki n :
⇔ x > 0 ⇒ T p xác
x ≠ 0
(∗) ⇔ 41+log
2x
−6
log2 x
2 log2 2x
− 2.3
nh : D = (0; +∞) .
= 0 ⇔ 4.4
log2 x
−6
log2 x
1+ log2 x
− 2.9
=0
www.VNMATH.com
⇔ 4.4
log2 x
−6
log2 x
− 18.9
log2 x
log2 x 2
3 log2 x
3
= 0 ⇔ 4 −
− 18.
=0
2
2
3 log2 x
4
18t2 + t − 4 = 0
=
t =
2
9
⇔
⇔
3 log2 x
log2 x
>0
t =
1
t = 3
2
=−
2
2
( N)
⇔ log2 x = −2 ⇔ x =
( L)
● K t h p v i i u ki n, nghi m c a phương trình là x =
1
.
4
1
.
4
i h c Ngo i Thương Tp. H Chí Minh kh i A năm 2001
Bài57.
Gi a và bi n lu n phương trình : 5x
2
+2mx +2
− 52x
2
+ 4mx + m +2
= x2 + 2mx + m
(∗)
Bài gi i tham kh o
a = x2 + 2mx + 2
●
t:
. Lúc ó : (∗) ⇔ 5a − 5a + b = b (∗ ∗) .
b = x2 + 2mx + m
b > 0 ⇒ 5a − 5a + b < 0
● Ta có :
. Do ó : (∗ ∗) ⇔ b = 0 ⇔ x2 + 2mx + m = 0 .
b < 0 ⇒ 5a − 5a + b > 0
● L p ∆ ' = m2 − m .
● Trư ng h p 1 : ∆ ' = m2 − m < 0 ⇔ 0 < m < 1 : Phương trình vơ nghi m.
● Trư ng h p 2 : ∆ ' = m2 − m > 0 ⇔ m < 0 ∨ m > 1 : Phương trình có 2 nghi m phân
bi t : x1 = −m − m2 − m,
x2 = −m + m2 − m .
m = 0 : Phương trình có 1 nghi m
● Trư ng h p 3 : ∆ ' = m2 − m = 0 ⇔
m = 1 : Phương trình có 1 nghi m
.
.
i h c Y Dư c Tp. H Chí Minh năm 2001
Bài58.
(
)
(
)
Cho phương trình : 2 log4 2x 2 − x + 2m − 4m2 + log 1 x 2 + mx − 2m2 = 0
(∗) . Xác
2
nh tham s m
2
2
phương trình (∗) có hai nghi m x1, x2 th a : x1 + x 2 > 1 .
Bài gi i tham kh o
(∗) ⇔ log2 (2x2 − x + 2m − 4m2 ) = log2 (x2 + mx − 2m2 )
x2 + mx − 2m2 > 0
x2 + mx − 2m2 > 0
.
⇔ 2
⇔
2x − x + 2m − 4m2 = x2 + mx − 2m2
x = 2m ∨ x = 1 − m
●
(∗) có hai nghi m x1, x2 th
x
1
x 2
1
⇔ 2
x 1
2
x
2
2
2
a : x1 + x 2 > 1
m ≠ 0
4m2 > 0
−1 < m < 0
+ x2 > 1
2
−2m2 − m + 1 > 0 ⇔ −1 < m < 1
⇔
⇔ 2
.
+ mx1 − 2m2 > 0
2
2
5
5m − 2m > 0
2
2
m < 0 ∨ m >
+ mx 2 − 2m2 > 0
5
= 2m, x2 = 1 − m
www.VNMATH.com
2 1
● V y m ∈ (−1; 0) ∪ ; th a yêu c u bài toán.
5 2
i h c Nơng Lâm Tp. H Chí Minh năm 2001
Bài59.
(
b t phương trình: x x + x + 12 ≤ m. log2 2 + 4 − x
Tìm m
) (∗) có nghi m.
Bài gi i tham kh o
●
x ≥ 0
i u ki n : 4 − x ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 4 ⇒ T p xác
x + 12 ≥ 0
(
nh : D = 0; 4 .
)
● Ta có : ∀x ∈ 0; 4 thì log2 2 + 4 − x ≥ log2 2 = 1 > 0 .
● Lúc ó: (∗) ⇔
x x + x + 12
(
log2 2 + 4 − x
)
≤m.
f (x) = x x + x + 12 : t min là
0; 4 thì
● M t khác : ∀x ∈
g (x) = log 2 + 4 − x : t max là
2
(
● Do ó :
f ( x)
t min là
g (x)
f (0)
g (0)
.
)
.
= 3 ⇒ (1) có nghi m khi và ch khi m ≥ 3 .
i h c C n Thơ năm 2001
Bài60.
Xác nh c a m i giá tr c a tham s m h sau 2 nghi m phân bi t :
(1)
log 3 (x + 1) − log 3 ( x − 1) > log 3 4
log x2 − 2x + 5 − m log 2
2 = 5 (2)
x −2x + 5
2
Bài gi i tham kh o
(
)
x > 1
x > 1
x > 1
⇔ x + 1
(1) ⇔ 2 log (x + 1) − 2 log (x − 1) > 2 log 2 ⇔ x + 1
> log3 2
>2
3
3
3
log3
x −1
x −1
x > 1
⇔ 3 − x
⇔ 1< x < 3.
>0
x −1
●
t y = x2 − 2x + 5 và xét hàm y = x2 − 2x + 5 trên (1; 3) .
Ta có : y ' = 2x − 2. Cho y ' = 0 ⇔ x = 1 .
x
y'
1
−∞
−
0
3
+
8
y
4
● Do ó : ∀x ∈ (1; 3) ⇒ y ∈ (4; 8) .
+∞
