ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ I MÔN TOÁN 8

PHIẾU ƠN TẬP GIỮA HỌC KÌ I
MƠN TỐN 8
NĂM HỌC 2017 – 2018
Họ và tên ………………….…………………………………….lớp :……………………………..
I. ĐẠI SỐ
Bài 1. Thực hiện phép tính:
a)  x 2  x   x  1  x

b) 2 x  6 x  1  3x  4 x  1

c)  x  1  x 3  x 2  x  1

d) 2  x  1  4  x  3  2 x  x  5 
2

2

Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a)  5 x  4   49 x 2
2

b) x3  2 x 2 y  xy 2

c) 4 x 2  9 y 2  4 x  6 y

d) x 2  y 2  x  y

e)  x 2  5 x  2 xy  5 y  y 2

f) y 2  x 2  y   zx 2  zy

g) x 2  4 x  12

h) 5 x  x 2  14

i) x3  8  6 x  x  2 

j) 15 x 2  7 xy  2 y 2

k)  x 2  6 x  5  x 2  10 x  21  15
Bài 3. Tính nhanh giá trị biểu thức:
a) A  x 3  3 xy 2  9  y  3 x 2  y 2  tại x  1,95 và y  0, 05
b) B  x 2 

1
17
x
tại x  9, 75
2
16

Bài 4. Thực hiện phép tính
a.  2 x 3  5 x 2  x  1 :  2 x  1

d.  x 2  2 x  1 :  x  1

b.  4 x3  2 x 4  x 5  3 x 2  1 :  x 2  2 x  3

2
e.  x 2  4   x  2   :  x  2 




c.  3 x 3  7 x 2  17 x  10  :  3 x  1

f. 125 x 3  1 :  5 x  1

Bài 5. Tìm x
a.  x  3 x  3   x  2  x  5  6

b. 2 x 2  3  x  1 x  1  5 x  x  1

c. 4 x 2  9  0

d. 4  5  2 x   16  0

e. 2 x  x  3  5  x  3  0

f. x  2 x  9   4 x  18  0

g. 3 x 3  4 x 2  12 x  16  0

h. x 5  x 4  x 3  x 2  x  1  0

Bài 6. Tìm GTNN của biểu thức sau:

2


a) A  4 x 2  4 x  9 .

b) B   2 x  1   x  2  .

c) C  x 2  y 2  4 x  5 y  7 .

d) D  4 x 2  y 2  2 xy  6 x  5 .

2

2

Bài 7. Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) A  5 x  x 2  10 .

b) B  4  x 2  2 x .

c) C  4 x  x 2 .
Bài 8. Cho a  b  c  d  0 . Chứng minh rằng: a 3  b3  c3  d 3  3  d  c  ab  cd  .
Bài 9. Cho x  y  2 và x 2  y 2  10 . Tính giá trị của biểu thức: x3  y 3 .
II. HÌNH HỌC
Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB/ / CD) . Gọi M , N , P, Q theo thứ tự là trung điểm của AB, AC,
CD, BD
a. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành ?
b. Nếu ABCD là hình thang cân thì tứ giác MNPQ là hình gì?
Bài 2. Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc A = 60 0. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm
của BC, AD.
a) Chứng minh AE vuông góc với BF.
b) Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao?
c) Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao?
d) Gọi M là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật.
e) Chứng minh M, E, D thẳng hàng.

Bài 3. Cho tam giác ABC vng tại A có góc B bằng 600, kẻ tia Ax song song với BC. Trên tia Ax
lấy điểm D sao cho AD = DC.
a) Tính góc BAD và góc DAC.
b) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
c) Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh ADEB là hình thoi.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
a. Chứng minh BCEF là hình thang cân, BDEF là hình bình hành.
b. BE cắt CF tại G. Vẽ các điểm M, N sao cho E là trung điểm của GN, F là trung điểm của
GM. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật, AMGN là hình thoi.
c. Chứng minh AMBN là hình thang. Giả sử AMBN là hình thang cân thì  ABC là tam giác
gì?
Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ A đến BD. Gọi M, N theo
thứ tự là trung điểm của AH và DH.
a. Chứng minh MN // AD.


b. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành.
c. Tính góc ANI.
Bài 6. Cho tam giác ABC vng tại A có trung tuyến AM , đường cao AH . N là điểm đối xứng
của A qua tâm M .
a) Chứng minh ACNB là hình chữ nhật;
b) Trên đường thẳng qua A song song với BC lấy điểm D ( D thuộc nửa mặt phẳng bờ
AN không chứa B ) sao cho AD  BC . Chứng minh C là trung điểm DN .

c) Vẽ BK  AM tại K , BK cắt AH tại I và cắt AC tại E . Chứng minh I là trung điểm BE .
Bài 7. Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua B vẽ đường
thẳng song song với AC, qua C vẽ đường thẳng song song với BD, chúng cắt nhau tại I.
a) Chứng minh OBIC là hình chữ nhật;
b) Chứng minh AB = OI.

HƯỚNG DẪN GIẢI
I. ĐẠI SỐ
* Lý thuyết :
1. Nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức
2. Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ
3. Phân tích đa thức thành nhân tử, chia đa thức một biến đã sắp xếp.
* Bài tập :
Bài 1 : Thực hiện phép tính :
a)  x 2  x   x  1  x

b) 2 x  6 x  1  3x  4 x  1

c)  x  1  x 3  x 2  x  1

d) 2  x  1  4  x  3  2 x  x  5 
2

2

Lời giải
a)  x 2  x   x  1  x  x 2 .x  x 2 .1  x.x  x.1  x  x 3  x 2  x 2  x  x  x 3
b) 2 x  6 x  1  3x  4 x  1  2 x.6 x  2 x.1  3x.4 x  3x.1  12 x 2  2 x  12 x 2  3 x  x
c)  x  1  x 3  x 2  x  1  x.x 3  x.x 2  x.x  x.1  1.x3  1.x 2  1.x  1.1
 x 4  x3  x 2  x  x3  x 2  x  1  x 4  1

d) 2  x  1  4  x  3  2 x  x  5   2  x 2  2 x  1  4  x 2  6 x  9   2 x  x  5 
2

2

 2.x 2  2.2 x  2.1  4.x 2  4.6 x  4.9  2 x.x  2 x.5
 2 x 2  4 x  2  4 x 2  24 x  36  2 x 2  10 x  38 x  34

Bài 2 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử :
a)  5 x  4   49 x 2
2

b) x3  2 x 2 y  xy 2

c) 4 x 2  9 y 2  4 x  6 y

d) x 2  y 2  x  y

e)  x 2  5 x  2 xy  5 y  y 2

f) y 2  x 2  y   zx 2  zy

g) x 2  4 x  12

h) 5 x  x 2  14

i) x3  8  6 x  x  2 

j) 15 x 2  7 xy  2 y 2

k)  x 2  6 x  5  x 2  10 x  21  15
Lời giải
a)  5 x  4   49 x 2   5 x  4    7 x    5 x  4  7 x  5 x  4  7 x    2 x  4 12 x  4 
2

2

2

 8.  x  2  .  3x  1
b) x3  2 x 2 y  xy 2  x  x 2  2 xy  y 2   x.  x  y 

2


c) 4 x 2  9 y 2  4 x  6 y   4 x 2  9 y 2    4 x  6 y    2 x  3 y  2 x  3 y   2  2 x  3 y 

  2 x  3 y  . 2 x  3 y  2
d) x 2  y 2  x  y   x 2  y 2    x  y    x  y  x  y    x  y    x  y  .  x  y  1
e)  x 2  5 x  2 xy  5 y  y 2    x 2  2 xy  y 2    5 x  5 y     x  y   5  x  y 
2

  x  y     x  y   5   x  y  .   x  y  5

f) y 2  x 2  y   zx 2  zy  y 2  x 2  y    zx 2  zy   y 2  x 2  y   z  x 2  y    x 2  y  .  y 2  z 
g) x 2  4 x  12  x 2  6 x  2 x  12   x 2  6 x    2 x  12   x  x  6   2  x  6    x  6  .  x  2 
h) 5 x  x 2  14  2 x  7 x  x 2  14   2 x  14    x 2  7 x   2  x  7   x  x  7    x  7  .  2  x 
i) x3  8  6 x  x  2    x 3  8   6 x  x  2    x  2   x 2  2 x  4   6 x  x  2 
  x  2  x2  2 x  4  6 x    x  2  x2  8x  4 

j) 15 x 2  7 xy  2 y 2  15 x 2  10 xy  3 xy  2 y 2  15 x 2  10 xy    3 xy  2 y 2 

 5 x  3x  2 y   y  3x  2 y    3x  2 y  5 x  y 
k)  x 2  6 x  5  x 2  10 x  21  15   x  1 x  5  x  3 x  7   15

  x  1 .  x  7    x  5  .  x  3    15   x 2  8 x  7  x 2  8 x  15   15

Đặt : x 2  8 x  t . Khi đó :  x 2  8 x  7  x 2  8 x  15   15   t  7  t  15  15
 t 2  15t  7t  105  15  t 2  22t  120  t 2  12t  10t  120   t 2  12t   10t  120 

 t  t  12   10  t  12    t  12  t  10    x 2  8 x  12  x 2  8 x  10 
  x  2  x  6   x 2  8 x  10 

Bài 3 : Tính nhanh giá trị biểu thức :
a) A  x 3  3 xy 2  9  y  3 x 2  y 2  tại x  1, 95 và y  0, 05
b) B  x 2 

1
17
tại x  9, 75
x
2
16

Lời giải
a) A  x 3  3 xy 2  9  y  3x 2  y 2   x 3  3 xy 2  9  3 x 2 y  y 3   x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3   9
  x  y  9
3

Với x  1,95 và y  0, 05 thì A  1,95  0, 05   9  1
3


2

b) B  x 2 

1
17  2
1
1
1

x
  x  2. x    1   x    1
2
16 
4
16 
4

2

1

Với x  9, 75 thì B   9, 75    1  101
4


Bài 4: Thực hiện phép tính
a.  2 x 3  5 x 2  x  1 :  2 x  1

d.  x 2  2 x  1 :  x  1

b.  4 x3  2 x 4  x5  3x 2  1 :  x 2  2 x  3

2
e.  x 2  4   x  2   :  x  2 



c.  3 x 3  7 x 2  17 x  10  :  3 x  1

f. 125 x 3  1 :  5 x  1
Lời giải

a.  2 x 3  5 x 2  x  1 :  2 x  1   2 x 3  x 2  6 x 2  3 x  2 x  1 :  2 x  1
  2 x  1  x 2  3 x  1  :  2 x  1  x 2  3 x  1 .

b.  4 x 3  2 x 4  x 5  3x 2  1   x 2  2 x  3 .  x 3  x  1   5 x  4 
c.  3 x3  7 x 2  17 x  10    3 x  1 .   x 2  2 x  5   5





d. x 2  2 x  1 :  x  1   x  1 :  x  1  x  1
2

2
e.  x 2  4   x  2   :  x  2    x  2  x  2  x  2  :  x  2   2 x



f. 125 x 3  1 :  5 x  1   5 x  1  25 x 2  5 x  1 :  5 x  1  25 x 2  5 x  1

Bài 5:

Tìm x
a.  x  3 x  3   x  2  x  5   6

b. 2 x 2  3  x  1 x  1  5 x  x  1

c. 4 x 2  9  0

d. 4  5  2 x   16  0

e. 2 x  x  3  5  x  3  0

f. x  2 x  9   4 x  18  0

g. 3 x 3  4 x 2  12 x  16  0

h. x 5  x 4  x 3  x 2  x  1  0

2

Lời giải
a.  x  3 x  3   x  2  x  5   6  x 2  9   x 2  3 x  10   6  3 x  5  x  
b. 2 x 2  3  x  1 x  1  5 x  x  1  2 x 2  3 x 2  3  5 x 2  5 x  x  
3

x

2
c. 4 x 2  9  0   2 x  3 2 x  3  0  

x   3

2

3
5

5
3


d. 4  5  2 x   16  0   5  2 x 
2

2


x 
5

2
x

2

4

5  2 x  2
x 


3
2
7
2

x  3
e. 2 x  x  3  5  x  3  0   x  3 2 x  5  0  
x   5

2
9

x
f. x  2 x  9   4 x  18  0   2 x  9  x  2   0  
2

x

2

g. 3x3  4 x 2  12 x  16  0  x 2  3x  4   4  3x  4   0   3x  4  x  2  x  2   0
4

x  3

 x  2
 x  2



h. x5  x 4  x3  x 2  x  1  0  x3  x 2  x  1   x 2  x  1   x 2  x  1  x  1  0
2

2

1 3
 x2  x  1  0
 x     0  voly 

 
 x  1
2 4
x

1

0

 x  1

Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức sau:
a) A  4 x 2  4 x  9 .
b) B   2 x  1   x  2  .
2

2

c) C  x 2  y 2  4 x  5 y  7 .
d) D  4 x 2  y 2  2 xy  6 x  5 .

Lời giải
a) A  4 x 2  4 x  9   2 x  1  8  8  GTNN của A bằng 8 khi x 
2

1
.
2

b) B   2 x  1   x  2   5 x 2  5  5  GTNN của B bằng 5 khi x  0 .
2

2

2

5  13
13

c) C  x  y  4 x  5 y  7   x  2    y     
2
4
4

2

2

 GTNN của C bằng 

2

13
5
khi x  2; y   .
4
2

d) D  4 x 2  y 2  2 xy  6 x  5   x  y   3  x  1  2  2 .
2

2


 GTNN của D bằng 2 khi x   y  1 .
Bài 7: Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) A  5 x  x 2  10 .
b)

B  4  x2  2x .

c) C  4 x  x 2 .
Lời giải
2
2
 2
5
5  15
 5   15 15 
a) A  5 x  x  10    x  2. x         x    .


2
4 
2
4
 2   4

2

 GTLN của A bằng
b)

15
5
khi x  .
4
2

B  4  x 2  2 x  5   x  1  5  GTLN của B bằng 5 khi x  1 .
2

c) C  4 x  x 2  4   x  2   4  GTLN của C bằng 4 khi x  2 .
2

Bài 8: Cho a  b  c  d  0 . Chứng minh rằng: a 3  b3  c3  d 3  3  d  c  ab  cd  .
Lời giải
Ta có: a  b  c  d  0  a  b    c  d    a  b     c  d 
3

3

 a3  b3  3ab  a  b   c3  d 3  3cd  c  d 
 a3  b3  c3  d 3  3ab  a  b   3cd  c  d 
 a3  b3  c3  d 3  3ab  c  d   3cd  c  d  , (do a  b    c  d  )
 a 3  b3  c3  d 3  3  d  c  ab  cd  , (đpcm).
Bài 9: Cho x  y  2 và x 2  y 2  10 . Tính giá trị của biểu thức: x3  y 3 .
Lời giải
Ta có: x3  y 3   x  y   x 2  xy  y 2  , * .

 x  y 2  4
 x 2  y 2  2 xy  4
x  y  2
 xy  3
Từ giả thiết:  2
.





 2
2
2
2
2
2
2
 x  y  10
 x  y  10
 x  y  10
 x  y  10

Thay vào * ta được: x3  y 3   x  y   x 2  xy  y 2   2. 10  3  26 .
II.HÌNH HỌC
1.Đường trung bình tam giác, đường trung bình hình thang
a.Đường trung bình tam giác
- Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua
trung điểm cạnh thứ ba.


- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác
- Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa cạnh ấy.
b.Đường trung bình hình thang
- Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua
trung điểm cạnh bên thứ hai
- Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang
- Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.
2.Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết
2.1. Hình thang cân
a) Định nghĩa: hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau
b) Tính chất: Trong hình thang cân:
- hai cạnh bên bằng nhau
- hai đường chéo bằng nhau.
c) Dấu hiệu nhận biết
- hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân
- hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân
2.2. Hình bình hành
a) Định nghĩa: Hình bình hành là tứ giác có các cạnh đối song song.
b) Tính chất: Trong hình bình hành
- Các cạnh đối bằng nhau
- Các góc đối bằng nhau
-Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

c) Dấu hiệu nhận biết
- Tứ giác có các cạnh đối song song
- Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau
-Tứ giác có các góc dối bằng nhau
- Tứ giác có hai cạnh đối song song và bằng nhau
- Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
2.3. Hình chữ nhật
a) Định nghĩa
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vng
b) Tính chất
Hình chữ nhật có tất cả các tính chất của hình bình hành, hình thang cân
- Hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
c.Dấu hiệu nhận biết


- Tứ giác có ba góc vng
- Hình thang cân có một góc vng
- Hình bình hành có một góc vng
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau
2.4. Hình thoi
a) Định nghĩa
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau
b) Tính chất
- Hình thoi có tất cả tính chất của hình bình hành
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau
- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc hình thoi.
c) Dấu hiệu nhận biết
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
- Hình bình hành có hai đường chéo vng góc.

- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc.
2.5. Hình vng
a) Định nghĩa
Hình vng là tứ giác có bốn góc vng và bốn cạnh bằng nhau.
b) Tính chất
Hình vng có tất cả tính chất của hình thoi và hình chữ nhật.
c) Dấu hiệu nhận biết
- Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau
- Hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc
- Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc
- Hình thoi có một góc vng
- Hình thoi có hai đường chéo bằng nhau
3. Đối xứng trục, đối xứng tâm
a) Đối xứng trục
- Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua đường thẳng d nếu d là đường trung trực của đoạn thẳng
nối hai điểm đó
- Hai hình gọi là đối xứng nhau qua đường thẳng d nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một
điểm thuộc hình kia qua đường thẳng d và ngược lại
b) Đối xứng tâm


- Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua điểm O nếu O là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm
đó
- hai hình gọi là đối xứng nhau qua điểm O nếu mỗi điểm thuộc hình này đối xứng với một điểm
thuộc hình kia và ngược lại.
4. Định lý trong tam giác vuông
- Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền
- Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh ấy thì tam giác đó là
tam giác vng.
II.Bài tập

Bài 1: Cho hình thang ABCD (AB/ / CD) . Gọi M , N , P, Q lần lượt là trung điểm của
AB, AC , CD, DB

a)

Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành ?

b) Nếu ABCD là hình thang cân thì tứ giác MNPQ là hình gì?

Giải
M

A

B
N

Q

D

P

C

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành
ABD có M ; Q lần lượt là trung điểm của AB; BD (gt)
 MQ là đường trung bình (đ/n đường TB của tam giác)

 MQ / / AD ; MQ 

1
AD (1) (t/c đường TB của tam giác)
2

Chứng minh tương tự NP là đường trung bình của ADC

 NP / / AD ; NP 

1
AD (2)
2

Từ (1)(2)  MQ  NP ; MQ / / NP  tứ giác MNPQ là hình bình hành. (dhnb hbh)
Nếu ABCD là hình thang cân  AD  BC (t/c hình thang cân)
Chứng minh tương tự câu a MN là đường trung bình của ABC  MN 
Mà AD  BC  MN 

1
BC
2

1
AD  MQ
2

Lại có tứ giác MNPQ là hình bình hành  hình bình hành MNPQ là hình thoi. (dhnb hình thoi)


Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB và góc A = 600. Gọi E, F theo thứ tự là trung

điểm của BC, AD.
f) Chứng minh AE vng góc với BF.
g) Tứ giác ECDF là hình gì? Vì sao?
h) Tứ giác ABED là hình gì? Vì sao?
i) Gọi M là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BMCD là hình chữ nhật.
j) Chứng minh M, E, D thẳng hàng.
M

B

A

E

F

C

D

GIẢI
a)Ta có : E là trung điểm của BC; F là trung điểm AD (gt)
AD =BC; AB = CD; BC // AD ( ABCD là hình bình hành) ; BC = 2AB(gt)
 BE = EC = AF = FD= AB = CD.
Xét tứ giác ABEF có BE // AF ( BC // AD); BE = AF (cmt) = > ABEF là hình bình hành.
Mà AB =BE (cmt)
= >Tứ giác ABEF là hình thoi = >AE ⊥ BF
b) Xét tứ giác ECDF có EC // FD ( BC // AD); CE = DF (cmt) = > ECDF là hình bình hành.
Mà EC = CD (cmt)
= >Tứ giác ECDF là hình thoi .

c) Xét ABF có AB = AF (cmt) và 𝐴 = 600
= > ABF đều.
= >𝐹 = 600
Ta có BE // FD và BE = FD (cmt) = > BEDF là hình bình hành
= > 𝐹 = 𝐷 = 600= > 𝐴 = 𝐷
Xét tứ giác ABED có BE // AD và 𝐴 = 𝐷
= > ABED là hình thang cân.
D ,e) Có M đối xứng A qua B ( gt) = > AB = BM = CD và BM // CD ( AB // CD)


= > BMCD là hình bình hành.
Xét ABD có BF = AF = FD (cmt) = > ABD vuông tại B = > 𝐵𝐷 ⊥ 𝐵𝑀
= > BMCD là hình chữ nhật
Mà E là trung điểm BC (gt)
= > E là trung điểm MD
= > M, E, D thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC vng tại A có góc B bằng 600, kẻ tia Ax song song với BC. Trên tia Ax
lấy điểm D sao cho AD = DC.
d) Tính góc BAD và góc DAC.
e) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang cân.
f) Gọi E là trung điểm của BC. Chứng minh ADEB là hình thoi.
B

E

C

A

D

x

GIẢI
a) Ta có: AD // BC (gt)
 𝐵 + 𝐵𝐴𝐷 = 1800 (hai góc trong cùng phía)
 𝐵𝐴𝐷 = 1800 - 600= 1200
 𝐷𝐴𝐶 = 1200- 900 = 300
b) Xét tứ giác ABCD có AD // BC và 𝐵 = 𝐵𝐶𝐷 = 600
= > ABCD là hình thang cân
c) Xét ABC vng tại A có E là trung điểm của BC

 AE  BE  EC 

BC
2

Ta có : AE = EC (cmt) và AD = CD (gt)
= > ED là đường trung trực của AC
= > 𝐸𝐷 ⊥ 𝐴𝐶
Mà 𝐵𝐴 ⊥ 𝐴𝐶 (gt)
= > AB // DE (quan hệ từ góc vng đến song song)


Lại có BE // AD (gt)
= > ABED là hình bình hành (1)
Xét ABE có AE = EB (cmt) và 𝐵 = 600
=> ABE đều = > AB =BE (2)
Từ (1;2) = > ABED là hình thoi.
Bài 4. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.

a.Chứng minh BCEF là hình thang cân, BDEF là hình bình hành.
b.BE cắt CF tại G. Vẽ các điểm M, N sao cho E là trung điểm của GN, F là trung điểm của
GM. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật, AMGN là hình thoi.
c.Chứng minh AMBN là hình thang. Giả sử AMBN là hình thang cân thì  ABC là tam giác
gì?
Lời giải:
a. Chứng minh BCEF là hình thang cân, BDEF là hình
bình hành.


Chứng minh BCEF là hình thang cân

Xét ABC ta có:
-

E là trung điểm của AC (gt)

-

F là trung điểm của AB (gt)

 EF là đường trung bình của ABC
 EF / / BC (định lí)
 BCEF là hình thang

Mà 
ABC  
ACB (  ABC cân tại A)
 BCEF là hình thang cân.



Chứng minh BDEF là hình bình hành

EF 

1
BC (EF là đường trung bình của ABC )
2

BD 

1
BC (D là trung điểm BC)
2

 EF  BD (1)
EF//BD (cmt), D  BC
 EF//BD (2)
Từ (1), (2) suy ra BDEF là hình bình hành.
b. BE cắt CF tại G. Vẽ các điểm M, N sao cho E là trung điểm của GN, F là trung điểm của
GM. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật, AMGN là hình thoi.




Chứng minh BCNM là hình chữ nhật

Xét GMN ta có:
-

E là trung điểm của GN (gt)

-

F là trung điểm của GM (gt)

 EF là đường trung bình của  GMN
 EF / / MN và EF 

1
MN (định lí)
2

1
1
Ta có: MN / / BC (cùng // EF) và MN  BC ( MN  EF  BC )
2
2
 BCNM là hình bình hành.

G là giao điểm của BN và CM
 G là trung điểm của BN, G là trung điểm của CM

Xét  FBC và  ECB ta có:
-

FB = EC (tính chất hình thang cân)

-

FC = EB (tính chất hình thang cân)

-

BC chung

  FBC =  ECB (ccc)

  EBC

 FCB
 GBC cân tại G
 GB  GC (3)

Ta có BN  2GB (G là trung điểm BN) (4)
CM  2GC (G là trung điểm CM) (5)

Từ (3), (4), (5)  BN  CM
Hình bình hành BCNM có BN = CM
 BCNM là hình chữ nhật.



Chứng minh AMGN là hình thoi.

Xét tứ giác AMBG có:
-

F là trung điểm của AB (gt)

-

F là trung điểm của MG (gt)

 AMBG là hình bình hành

 AM / /GB, AM  GB
Ta có AM / / GN ( AM / / GB, G  BN )
AM  GB (  GN )
 AMGN là hình bình hành


Mà GM  GN (tính chất hình chữ nhật)
 AMGN là hình thoi.

c. Chứng minh AMBN là hình thang. Giả sử AMBN là hình thang cân thì ABC là tam giác
gì?


Chứng minh AMBN là hình thang.

AM / / BG (cmt), G  BN
 AM / / BN
 AMBN là hình thang.



Giả sử AMBN là hình thang cân thì ABC là tam giác gì?

AMBN là hình thang cân
 AB  MN (tính chất hình thang cân)

Mà MN  BC (tính chất hình chữ nhật)
 AB  BC
 BC  AB  AC ( ABC cân tại A)
 ABC đều.

Bài 5. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là chân đường vng góc kẻ từ A đến BD. Gọi M, N theo
thứ tự là trung điểm của AH và DH.
a.Chứng minh MN//AD.
b.Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành.
c.Tính góc ANI.
Lời giải:
a. Chứng minh MN//AD.
Xét HAD ta có:
-

M là trung điểm của AH (gt)

-

N là trung điểm của DH (gt)

 MN là đường trung bình của HAD .
 MN / / AD (định lí)

b. Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh tứ giác BMNI là hình bình hành.


Chứng minh MN  BI

Ta có: I là trung điểm của BC (gt)  BI 

1
BC
2

Mà BC  AD ( ABCD là hình chữ nhật)

 BI 

1
AD (1)
2

Ta có: MN là đường trung bình của HAD (cmt)


 MN 

1
AD (2)
2

Từ (1); (2)  BI  MN .


Chứng minh MN / / BI

Ta có: MN / / AD (cmt)
Mà AD / / BC (ABCD là hình chữ nhật)
 MN / / BC  MN / / BI



Chứng minh MNIB là hình bình hành

Ta có: MN / / BI (cmt) và MN  BI (cmt)
 MNIB là hình bình hành.

c. Tính góc ANI.
Ta có: AH  BD (gt)  AH  BN
 AH là đường cao của ABN .

Gọi E là giao điểm của BM và AN, F là giao điểm của NM và AB.
Ta có: NM / / CB (cmt) và BC  AB (ABCD là hình chữ nhật)
 NM  AB  NF  AB
 NF là đường cao của ABN

Lại có: NF cắt AF tại M và AH là đường cao của ABN (cmt)
 M là trực tâm của ABN .
 BE là đường cao của ABN .
 BE  AN

Mà BM / / NI (MNIB là hình bình hành)

  900
 IN  NA  INA
Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM , đường cao AH . N là điểm đối

xứng của A qua tâm M .
a) Chứng minh ACNB là hình chữ nhật;
b) Trên đường thẳng qua A song song với BC lấy điểm D ( D thuộc nửa mặt phẳng
bờ AN không chứa B ) sao cho AD  BC . Chứng minh C là trung điểm DN .
c) Vẽ BK  AM tại K , BK cắt AH tại I và cắt AC tại E . Chứng minh I là trung
điểm BE .
Lời giải


A
D
E
J
I
B

H

K
C

M

N

a) Chứng minh ACNB là hình chữ nhật;
N là điểm đối xứng của A qua tâm M nên M là trung điểm của AN

Tứ giác ACNB có hai đường chéo BC và AN cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường
nên tứ giác ACNB là hình bình hành.

  90 nên tứ giác ACNB là hình chữ nhật  đpcm.
Hình bình hành ACNB có BAC
b) Trên đường thẳng qua A song song với BC lấy điểm D ( D thuộc nửa mặt phẳng
bờ AN không chứa B ) sao cho AD  BC . Chứng minh C là trung điểm DN .
Tứ giác ABCD có AD=BC và AD / /BC  tứ giác ABCD là hình bình hành.
 AB  CD và AB / /CD, 1

Mà ACNB là hình chữ nhật  AB  CN và AB / /CN  2 
Từ (1) và (2) C, D, N thẳng hàng và C là trung điểm của DN.
c) Vẽ BK  AM tại K , BK cắt AH tại I và cắt AC tại E . Chứng minh I là trung
điểm BE .
Tam giác ABM có hai đường cao AH và BK cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác
ABM.
 MI  AB mà AC  AB  MI / /AC

Mà M là trung điểm của BC  MI là đường trung bình của tam giác BCE
 I là trung điểm của BE.

Bài 7. Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Qua B vẽ đường
thẳng song song với AC, qua C vẽ đường thẳng song song với BD, chúng cắt nhau tại I.
a) Chứng minh OBIC là hình chữ nhật;
b) Chứng minh AB=OI.
Lời giải


a) Chứng minh OBIC là hình chữ nhật;
Xét tứ giác OBIC có OB//CI và OC//BI
Suy ra tứ giác OBIC là hình bình hành.
Lại có OB  OC (tính chất hình thoi)

 tứ giác OBIC là hình chữ nhật.

b) Chứng minh AB=OI.
OBIC là hình chữ nhật nên OI=BC
Lại có BC=AB (tính chất hình thoi)
 AB=OI.