Một số tính chất của vành và môđun các thương

0

Tr-ờng đại học vinh
Khoa toán

--------

Một số tính chất của vành
và môđun các th-ơng

khoá luận tốt nghiệp
ngành: đại số

Cán bộ h-ớng dẫn: T.S. Nguyễn Thị Hồng Loan
Sinh viên thực hiện :
Nguyễn Thị NhÃ
Lớp
: 46A- Toán

Vinh_2009


1

mục lục
mở đầu...........................................................................................1
ch-ơng 1. vành các th-ơng...................................................2
1.1 Một số khái niệm liên quan............................................................2
1.2 Vành các th-ơng ............................................................................5
1.3 Iđêan trong vành các th-ơng ......................................................14
ch-ơng 2. môđun các th-ơng ............................................19

2.1 Xây dựng môđun các th-ơng ......................................................19
2.2 Tính chất của môđun các th-ơng ...............................................21
kết luận ............................................................................................27
tài liệu tham khảo ....................................................................27


2

Mở đầu
trong Đại số giao hoán, ng-ời ta th-ờng nghiên cứu vành địa ph-ơng (tức
là vành chỉ có một iđêan cực đại duy nhất) và môđun trên vành địa ph-ơng. bởi
vì, các kết quả đó th-ờng đ-ợc ứng dụng nhiều trong Hình học đại số. Vì thế kỹ
thuật chuyển từ vành giao hoán sang vành địa ph-ơng ( mà ng-ời ta th-ờng gọi
là địa ph-ơng hoá) th-ờng đ-ợc sử dụng trong Đại số giao hoán.
mục đích của khoá luận là dựa vào [1] để trình bày cách xây dựng và
chứng minh các tính chất của vành các th-ơng S 1 R và mô đun các th-ơng
S 1 M , trong đó là R vành giao hoán, có đơn vị, M là R -mô đun, S là tập nhân

đóng của R . Khi S  R \ P , víi P là một iđêan nguyên tố của R thì vành các
th-ơng S 1 R là vành địa ph-ơng đ-ợc kí hiệu là Rp . Trong luận văn, chúng tôi
mô tả iđêan trong vành các th-ơng và chứng minh rằng vành Rp là vành địa
ph-ơng.
Để hoàn thành luận văn này, tôi đà nhận đ-ợc sự giúp đỡ tận tình của t.S
nguyễn thị hồng loan. nhân dịp này tôi xin chân thành cảm ơn cô giáo t.S
nguyễn thị hồng loan, cùng các thầy cô giáo trong Khoa Toán, đặc biệt các
thầy cô trong tổ Đại số đà giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
mặc dù đà hết sức cố gắng song không thể tránh khỏi những thiếu sót. vì
vậy tôi rất mong nhận đ-ợc sự đóng góp ý kiến của thầy, cô và các bạn.
Xin chân thành cảm ơn!
vinh, ngày 04 tháng 05 năm 2009.

tác giả

nguyễn thị nhÃ


3
Ch-ơng I. vành các th-ơng
1.1. một số khái niệm liên quan
1.1.1. định nghĩa. Tập hợp R , trên đó đ-ợc trang bị hai phép toán cộng và
nhân thoà mÃn các ®iỊu kiƯn sau:
(i) R cïng víi phÐp céng lµ mét nhóm giao hoán,
(ii) R cùng với phép nhân là một nưa nhãm,
(iii) phÐp nh©n ph©n phèi víi phÐp céng: víi mäi x, y, z  R :
x( y  z)  xy  yz vµ

( x  y) z  xz yz

đ-ợc gọi là vành.
phần tử đơn vị của phép cộng ký hiệu là 0 và gọi là phần tử không của
vành.
Nếu phép nhân là giao hoán thì ta nói vành R là vành giao hoán. Nếu
phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi nó là phần tử đơn vị của vành R và th-ờng
ký hiệu là 1.
Trong toàn bộ luận văn luôn giả thiết vành R là vành giao hoán, có đơn
vị.
1.1.2. Ví dụ.
tập hợp Z các số nguyên cùng với phép cộng và phép nhân các số thông
th-ờng là một vành giao hoán có đơn vị và gọi là vành các số nguyên. Ta cũng
có vành các số hữu tỉ, vành các số thực, vành các số phức đối với phép cộng và
phép nhân các số thông th-ờng.

1.1.3. iđêan
1.1.3.1. Định nghĩa:
i) Một iđêan trái của vành R là một vành con

I R thoả mÃn:

ra  I , r  R, a  I .

ii) Một iđêan phải của vành R là một vành con I  R
ar  I , r  R, a  I .

tho¶ m·n:


4
iii) Nếu vành con I R vừa là iđêan trái vừa là iđêan phải thì nó đ-ợc gọi
là iđêan của vành R .
Đối với vành giao hoán các khái niệm iđêan, iđêan trái, iđêan phải là trùng
nhau.
Mỗi iđêan của vành R mà khác R đ-ợc gọi là iđêan thực sự của R .
1.1.3.2.Iđêan nguyên tố, iđêan cực đại.
i) Iđêan p của R đ-ợc gọi là iđêan nguyên tố nếu I  R vµ víi mäi
x, y  R sao cho xy  p suy ra hc x  p hoặc y p .

ii) Iđêan m của R đ-ợc gọi là iđêan cực đại nếu m R và không tồn
tại iđêan I m sao cho I m và I R .
Từ định nghĩa ta suy ra nếu I là một iđêan của vành R thì I là iđêan
nguyên tố khi và chỉ khi vành th-ơng R / I là miền nguyên và I là iđêan cực đại
khi và chỉ khi vành th-ơng R / I là một tr-ờng. Do đó mọi iđêan cực đại của R
đều là iđêan nguyên tố.

Cho R là vành giao hoán có đơn vị 1, R 0 . Khi đó trong R có ít nhất
một iđêan cực đại. Vì vậy nếu I là một iđêan của R , I R thì I đ-ợc chứa
trong một iđêan cực đại nào đó của R .
1.1.4. Iđêan th-ơng.
Cho I và J là các iđêan của vành giao hoán R . Đặt:
I : J  x  R xJ  I 
 x  R xa  I , a  J .

Khi đó I : J là một iđêan của vành R và đ-ợc gọi là iđêan th-ơng của I và
J .

Đặc biÖt ta ký hiÖu
Ann R ( J )  0 : J  x  R xJ  0

 x  R xy  0, y  J .


5
Iđêan Ann R (J ) đ-ợc gọi là linh tử hoá của iđêan J . Cho x R ta ký hiƯu
Ann R (x) ( hc Ann(x) ) thay cho Ann R ( x ) (  x  lµ iđêan sinh bởi x ). Tức

là Ann R ( x) y R yx 0.
1.1.5. Iđêan mở rộng, iđêan thu hẹp.
Cho f : R R' là một đồng cấu vành. Khi đó:
i) Nếu J là một iđêan trong R ' , ta ký hiÖu J c  f 1 ( J ) . Khi ®ã J c là
một iđêan của R và đ-ợc gọi là thu hẹp của iđêan J trong vành R bởi đồng
cấu f .
ii) Cho I là một iđêan trong R . Ký hiệu I e f (I ) là iđêan sinh bởi
f (I ) . Khi đó I

e

là một iđêan của vành R' và đ-ợc gọi là mở rộng của iđêan I

trong vành R' bởi đồng cấu f ( mỗi phần tử của I e là một tổ hợp tuyến tính
trên R' của các phần tử trong f (I ) .
1.1.6. Mệnh đề. cho f : R R' là một đồng cấu vành giao hoán, J là iđêan
trong R . Khi ®ã J ce  J .
Chøng minh. Ta cã J ce  ( J c ) e  ( f 1 ( J )) e  f ( f 1 ( J ))  .
Gi¶

sư

y  J ce  y  f ( f 1 ( J ))  y   ri ' yi ,

trong

®ã

ri ' R' , yi  f ( f 1 ( J )) .

 với mỗi i, tồn tại xi f 1 ( J ) , sao cho: yi  f ( xi ) .

Do xi  f 1 ( J )  yi  f ( xi )  J  ri ' yi  J , i  N (do J là iđêan ).
Mà y ri ' yi y  J .
 J ce  J .

1.1.7. vµnh noether.
1.1.7.1. Định nghĩa. Vành R đ-ợc gọi là vành noether nếu mọi dÃy tăng các
iđêan trong R đều dừng, nghĩa lµ nÕu I 0  I1  I 2  ........ I K ..... là dÃy tăng

các iđêan trong R thì tồn tại số tự nhiên n sao cho I n  I n1  ....... .
1.1.7.2. Chó ý. vµnh R lµ vµnh Noether khi vµ chØ khi mọi iđêan trong vành

R đều hữu hạn sinh.


6
1.1.7.3. Ví dụ. 1) vành các số nguyên Z là vành Noether vì mọi iđêan của
Z đều có dạng mZ ( víi m  Z ) cã nghÜa lµ mäi iđêan của Z đều hữu hạn sinh

( sinh bởi một phần tử).
2) Mọi tr-ờng X là vành Noether, do tr-ờng X chỉ có hai iđêan là 0 và
X . Vậy dÃy tăng các iđêan chỉ là 0 X , suy ra dÃy dừng.

1.1.8. Vành địa ph-ơng.
1.1.8.1. Định nghĩa. vành R đ-ợc gọi là vành địa ph-ơng nếu nó chỉ có duy
nhất một iđêan cực đại.
1.1.8.2. Ví dụ. 1) Mỗi tr-ờng là một vành địa ph-ơng vì chỉ có một iđêan cực
đại duy nhất là 0 .
2) Vành các chuỗi luü thõa h×nh thøc K x    ai x i ai K là vành địa


i 0



ph-ơng với iđêan cực đại duy nhất là (x) .

1.2. vành các th-ơng
1.2.1. Tập nhân đóng của một vành.

1.2.1.1. Định nghĩa. Một tập S R đ-ợc gọi là tập nhân ®ãng cđa R nÕu 1  S
vµ ab  S víi mäi a,b  S.
1.2.1.2. VÝ dơ. Cho p lµ một iđêan nguyên tố của vành R . Khi đó tập S = R\p là
một tập nhân đóng của R. Thật vậy, ta có: 1 R\p vì giả sử 1 R\p hay 1 p suy ra
a.1 = a  p víi mäi a  R. Khi ®ã p  R. Tuy nhiªn p  R. VËy 1  R\p.
Víi mäi a, b  R\p, tøc lµ a, b  p ta cã ab  p do p  lµ iđêan nguyên tố. Do đó ab
R\p. Vậy R\p là tập nhân đóng của vành R .

1.2.2. Xây dựng vành các th-ơng.
Giả sử R là vành giao hoán, có đơn vị. S là tập nhân đóng của R. Trên tích
Đề c¸c R  S ta xÐt quan hƯ ~ sau: víi (r , s) vµ (r ' , s' ) thuéc R  S ta nãi (r , s)
~ (r ' , s' ) nÕu cã phÇn tư s1  S , sao cho s1 (s' r  sr' ) 0 .
Quan hệ ~ là quan hệ t-ơng đ-ơng. ThËt vËy:


7
i) Tính phản xạ: Với mọi (r,s) R S ta lu«n cã sr – sr = 0. Suy ra tån t¹i
s1  S sao cho s1(sr - sr ) = 0. VËy (r,s) ~ (r,s), víi mäi (r,s) R S.
ii) Tính đối xứng: Giả sử (r,s) và (r ' , s' ) là hai phần tử bÊt kú thuéc R  S
sao cho (r,s) ~ (r,s) tức là tồn tại s1 S, sao cho s1 (s' r  sr' )  0 hay s1 (sr's' r )  0 .
Do ®ã (r , s) ~ (r ' , s' ) .
iii) Tính bắc cầu: Giả sư (a,s) ~ (b,t) vµ (b,t) ~ (c,u) tøc tån tại s1,s2 S sao
cho:
s1(ta - sb) = 0 và s2(ub - tc) = 0.
 s 2 us1 ta  sb  0

s1 ss 2 (ub  tc )  0

Suy ra

Cộng vế theo vế hai đẳng thức ta đ-ợc:
s2us1ta - s1ss2tc= 0, suy ra: s2s1t(ua - sc) = 0.
V× S khép kín với phép nhân nên s2s1t S, suy ra (a,s) ~ (c,u).
VËy quan hƯ ~ lµ mét quan hệ t-ơng đ-ơng trên R S. Lớp t-ơng đ-ơng của phần
tử (r,s) đ-ợc ký hiệu

r
hay r/s. Tập th-ơng R S/~ đ-ợc ký hiệu S-1R.
s

r r,
Bây giờ trên S R, với , , S-1R ta định nghĩa hai phép toán nh- sau:
s s
-1

Phép toán cộng (+):
Phép toán nhân (  ):

r r , s , r  sr ,
.
 =
s s,
ss ,

r r , rr ,
.
 =
s s , ss ,

Định nghĩa này không phụ thuộc và các đại diện đ-ợc chọn.

r r1
r1, r ,

Thật vậy, giả sử
và , , , tức là tồn tại các phần tư s2 , s3  S sao cho:
s s1
s1 s

vµ

s2 (sr1  s1r )  0

(1)

s3 (s , r1,  s1, r , ) 0

(2).

Ta nhân đẳng thức (1) với s3 s , s1, và ta nhân đẳng thức (2) víi s 2 ss1 råi céng vÕ
theo vÕ chóng ta đ-ợc:
s3 s , s1, s2 (sr1 s1r )  s2 ss1 s3 (s , r1,  s1, r , )  0 .


8

Suy ra s2 s3 s , s ,1 (sr1  s1r )  ss1 (s , r ,1  s ,1r , )  0 .
Hay s2 s3 ss , (s ,1r1  s1r ,1 )  s1 s ,1 (s , r  sr , )  0 .
V× s2,s3 S nên s2s3 S . Đẳng thức cuèi cïng chøng tá :
s1, r1  s1 r1, s , r  sr ,
r r , r1 r1,

  .
,
nghĩa
là:

s s , s1 s1,
s1 s1,
ss ,

Ta nhân đẳng thức (1) với s3 s , r1, và nhân đẳng thøc (2) víi s 2 s1 r råi céng vÕ
theo vế chúng lại ta đ-ợc:
s2 s3 ss , r1, s2 s3 s1, rr ,  0 .

Suy ra s2 s3 (ss , r1r1,  s1 s1, rr , ) 0 vì s 2 , s3 S.
Đẳng thức cuèi chøng tá:

r r , r1 r1,
r1 r1, rr ,


. Suy ra
.
s s , s1 s1,
s1 s1, ss ,

1.2.3. MÖnh đề. với hai phép toán cộng và nhân định nghĩa nh- trên thì S -1R
lập thành vành giao hoán có đơn vị là 1/1.
Chứng minh. Tr-ớc hết ta chứng minh S-1R là một nhóm giao hoán với phép
cộng.
Với

r
r1 r2
,
và 3  S-1R. Ta cã:
s1 s 2
s3
(

r
r
s ( s r  s r )  s1 s 2 s3
r1 r2
s r s r
 ) 3  2 1 1 2  3  3 2 1 1 2
s1 s 2
s3
s1 s 2
s3
s1 s 2 s3


r
r1 s3 r2  s 2 r3 r1
r

  ( 2  3 ).
s1
s 2 s3
s1

s 2 s3

Phép cộng trên S-1R có phần tử không là

0
r
vì với mäi , ta cã:
1
s

r 0 0 r 1.r  s.0 r
   
 .
s 1 1 s
s.1
s

Víi mäi

r
r
 S-1R luôn tồn tại phần tử đối là (- ). Thật vËy, ta cã
s
s

r
r
sr  s(r ) 0 0
 ( )

.
s
s
ss
ss 1

Vậy S-1R là một nhóm giao hoán với phÐp céng.


9
B©y giê ta chøng minh S R víi phÐp nh©n là một nửa nhóm giao hoán có đơn vị.
-1

Với mọi

r1 r2 r3
, ,  S-1R , ta cã :
s1 s 2 s3
(

Mặt khác

(r r )r
r1 r2 r3
r rr
r r r
)  1 2 3  1 2 3  1 ( 2 3 ).
s1 s 2 s3 ( s1 s 2 ) s3 s1 s 2 s3 s1 s 2 s3

r1 r2

rr
rr
r r
r 1 1r
r
= 1 2  2 1  2 1 vµ 1  1  1 .
s1 s 2 s1 s 2 s 2 s1 s 2 s1
s1 1 1 s1 s1

VËy S-1R lµ mét nửa nhãm giao hoán và có đơn vị với phép nhân. Trên S -1R phÐp
nh©n ph©n phèi víi phÐp céng. ThËt vËy víi

r3
r1 r2
,
vµ
 S-1R ta cã:
s3
s1 s 2

r1 r2 r3
r s r s r
r (s r  s r ) r s r  r s r
( + )= 1 3 2 2 3  1 3 2 2 3  1 3 2 1 2 3
s1 s 2 s 3
s1
s 2 s3
s1 s 2 s3
s1 s 2 s3

=

( s1 s3 )(r1r2 )  ( s1 s 2 )(r1 r3 ) r1 r2 r1r3
r r
r r


 1 2  1 3
( s1 s 2 )(s1 s3 )
s1 s 2 s1 s3 s1 s 2 s1 s3

(s1  S nªn s1  0).
T-¬ng tù ta cã:

(

r2 r3 r1 r2 r1 r3 r1
+ ) =
+
.
s 2 s 3 s1 s 2 s1 s 3 s1

Vậy S-1R cùng với hai phép toán cộng và nhân định nghĩa ở trên lập thành
một vành giao hoán có đơn vị 1/1.
1.2.4. Định nghĩa. vành S-1R đc gọi là vành các th-ơng của R theo tập nhân
đóng S.
1.2.5. Ví dụ . Giả sử p là một iđêan nguyên tố trong vành R. Khi đó S = R\P là
một tập nhân đóng ( Ví dụ 1.2.1.2). Trong tr-ờng hợp nµy ta ký hiƯu S-1R lµ Rp.
VËy Rp = r / s r  r , s  p cïng với phép toán cộng và phép toán nhân nói trên
lập thành một vành các th-ơng. Định lý 1.2.l3 sau đây sẽ chứng tỏ rằng Rp là

một vành địa ph-ơng.
1.2.6. Nhận xét. Nếu 0 S thì S-1R chứa đúng một phần tử, đó là 0/1. Thật vậy,
với mọi r R, s  S ta cã 0(s0 - 1r) = 0 suy ra (r,s) ~ (0,1) hay r/s = 0/1. Nh- thÕ
tr-êng hỵp 0  S Ýt cã ý nghÜa.


10
1.2.7. Mệnh đề. Cho S là tập nhân đóng của vành R . Khi đó ánh xạ
f : R S 1 R xác định bởi: f (r )

r
, r R là đồng cấu vành.
1

Chứng minh. Ta có:
f (r  r ' ) 

f (r.r ' ) 

r  r' r r'
   f (r )  f (r ' ) ,víi r  R .
1
1 1

r.r ' r r '
 .  f (r ) f (r ' ) ,víi r , r ' R .
1
1 1

Vậy f là đồng cấu vành.

1.2.8. Mệnh đề. Giả sử g : R A là đồng cấu vành, S là tập nhân đóng của R
sao cho s S thì g (s) khả nghịch trong A . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu
vành h : S 1 R A sao cho biểu đồ sau là giao hoán. Nghĩa là : g h f với
f : R S 1 R là đồng cấu chính tắc xác định nh- trong Mệnh đề 1.2.7
f
S 1 R

R

h

g
A

Chứng minh. * Sù tån t¹i: xÐt h : S 1 R A , xác định nh- sau :
a
h( )  g (a) g ( s) 1 .
s
a b
s t

h là ánh xạ vì: , S 1 R mµ

a b
  u  S : (at  bs)u  0
s t

 atu  bsu  0  g (atu  bsu)  g (0)  0 .
 g (a).g (t ).g (u )  g (b).g ( s).g (u )
 g (a).g (t ).g (u ).g (u ) 1  g (b) g ( s) g (u ) g (u ) 1

(v× u  S  g (u) 1 )
 g (a).g (t )  g (b).g (s)
 g (a).g (t ).g (t ) 1 .g (s) 1  g (b) g (s) g (t ) 1 g (s) 1


11
(v×

s, t  S  g (t ) 1 , g (s) 1 ).

 g (a).g ( s) 1  g (b).g (t ) 1
a
b
 h( )  h( ).
s
t

Suy ra h là ánh xạ.

h là đồng cấu vành vì r.r ' R, s.s' S , ta cã:
r r'
rs' sr '
h(  )  h(
)  g (rs' sr ' ) g ( ss' ) 1
s s'
ss'
 ( g (r ) g ( s ' )  g ( s ) g ( s ' ))( g ( s ) 1 g ( s ' ) 1 )
 g (r ) g ( s ' ) g ( s ) 1 g ( s ' ) 1  g ( s ) g (r ' ) g ( s ) 1 g ( s ' ) 1
 g (r ) g ( s ) 1  g (r ' ) g ( s ' ) 1

r
r'
 h( )  h( );
s
s'

r.r ' R, s.s' S , ta cã:
r r'
rr '
h( . )  h( )  g (rr ' ) g ( ss' ) 1
s s'
ss'
 g (r ) g (r ' ) g ( s ) 1 g ( s ' ) 1

.

 g (r ) g ( s ) 1 g (r ' ) g ( s ' ) 1
r
r'
h( ).h( ).
s
s'

Vậy h là đồng cấu vành.
*Biểu ®å giao ho¸n: r  R , ta cã:
(h  f )(r )  h(r / 1)  g (a) g (1) 1  g (r ) g (11 )  g (r ) g (1)  g (a.1)  g (r )

.

Suy ra (h  f )(r )  g (r ), r  R .VËy g  h  f .

* TÝnh duy nhÊt cđa h . Gi¶ sử tồn tại đồng cấu vành h': S 1 R  A , sao cho:
1
s

s
1

g  h' f . Ta cã: s  S cã h' ( )  h' (( ) 1 )  g ( s) 1 . Do ®ã r  R, s  S cã
r
r 1
r
1
r
h' ( )  h' ( . )  h' ( ).h' ( )  g (r ).g ( s) 1  h( ) .
s
1 s
1
s
s

r
r
r
 h' ( )  h( ),   S 1 R .
s
s
s

 h  h' . Suy ra h xác định duy nhất bởi g .

1.2.9. NhËn xÐt. i) s  S , f (s) khả nghịch trong S 1 R .
ii) r R, f (r )  0 , suy ra u  S sao cho ru  0 .


12
ThËt vËy,

f (r )  0 

r 0
  (r ,1) ~ (0,1)  u  S : (r.1  1.0).u  0  ru  0 .
1 1

iii) Mäi phần tử thuộc S 1 R đều có dạng f (r ) f (s) 1 , víi r  R, s S .
Ng-ợc lại 3 điều kiện trên xác định một vành sai khác một đẳng cấu.
1.2.10. Hệ quả. Cho g : R A là đồng cấu vành, S là tập nhân đóng của R
thoà mÃn các điều kiƯn sau:
i) Víi mäi s  S th× g (s) khả nghịch trong A .
ii) Nếu g (r ) 0 th× s  S sao cho rs  0 .
iii) Mỗi phần tử của A đều có dạng g (r ) g (s) 1 , víi r  R, s S .
Khi đó tồn tại duy nhất một đẳng cấu vành: h : S 1 R A , sao cho: g  h  f .
Chøng minh. Cần chứng minh tồn tại đẳng cấu h .
Theo chứng minh của mệnh đề trên thì ta có đồng cấu
h : S 1 R A

xác định bởi:
r
s

r

h( ) g (r ) g ( s) 1 ,
s

víi   S 1 R .

Vì theo iii) mỗi phần tử của A đều có dạng g (r ) g (s) 1 h toàn ánh .
Mặt khác, ta có:
r
r
r

Ker (h)    S 1 R h( )  o    S 1 R g (r ) g ( s) 1  0
s

s
 s
r

   S 1 R g (r ) g ( s) 1 g ( s)  0 (v× theo i) s  S  g (s) khả nghịch )
s


r

S 1 R g (r )  0
s


ii )

r
r o
   S 1 R  
s 1
s

 0 S 1R 

r

  S 1 R u  S , au  0
s


 h đơn cấu.

Vậy h đẳng cấu.
1.2.11. Mệnh đề: Nếu R là miền nguyên và S là tập nhân đóng không chứa
không thì f : R S 1 R là đơn cấu vành.
Chứng minh.


13
+) f là đồng cấu vành. Thật vậy:
r1 r2 r1 r2
   f (r1 )  f (r2 ) .
1
1 1

f (r1  r2 ) 

f (r1 .r2 ) 

r1 .r2 r1 r2
 .  f (r1 ). f (r2 ) .
1
1 1

+) f là đơn cấu. Ta cã:

Kerf  r  R f (r ) 


Gi¶ sư r  Kerf , suy ra

0 
r 0
  r  R   .
1 
1 1

r 0
 , tøc là tồn tại s S sao cho s(1.r 1.0) 0 s.r 0
1 1

vì S là miền nguyên và khác 0 nên r 0 . Do đó Kerf 0.
Vậy f là đơn cấu vành.
1.2.12. Bổ đề. Cho R là vành giao hoán, có đơn vị, I là một iđêan của R sao
cho I R và x R \ I đều khả nghịch trong vành R . Khi đó R là vành địa
ph-ơng và I là iđêan cực đại duy nhất của vành R .

Chứng minh. Giả sử là J một iđêan tuỳ ý cđa vµnh R mµ J  R . Khi đó mọi
phần tử x J đều không khả nghịch trong vành R . Vì nếu ng-ợc lại, tồn tại
x J mà x khả nghịch thì J R . Do ®ã ta cã J  I . Suy ra I là iđêan cực đại

duy nhất của vành R và do đó R là vành địa ph-ơng.
1.2.13. Định lý. giả sử p là iđêan nguyên tố trong vành R . Khi đó Rp là vành
địa ph-ơng.
Chứng minh. ta kí hiÖu: pRp  r / s r  p, s p. khi đó pRp là một iđêan trong
vành Rp .
ThËt vËy:


r1 r2
r
r r
s r s r
,  pRp ,  Rp , ta cã : 1  2  2 1 1 2 .
s1 s 2
s1 s 2
s1 s 2
s

Vì s1 , s2 p nên s1 .s2 p và r1 , r2 p nên s2 r1 , s1r2 p ( vì p là iđêan ). Suy ra:
s2 r1  s1r2  p .

Tõ ®ã ta cã

s 2 r1  s1 r2
r r
 pRp hay 1  2  pRp .

s1 s 2
s1 s 2


14
r1 r r1 r
. 
 pRp ( v× r1r  p vµ s1 s  p ).
s1 s s1 s

Ta cã

T-¬ng tù ta cã

r r1
.  pRp . Suy ra pRp là một iđêan của vành R
s s1

Vì một phần tử bất kì trong Rp \ pRp có dạng
này khả nghịch trong Rp với phần tử nghịch đảo là

r
với r, s p nên phần tử
s

s
. Nh- thế mọi phần tử của
r

Rp \ pRp đều khả nghịch. Mặt khác pRp  Rp ( gi¶ sư pRp  Rp , suy ra p R

(mâu thuẫn)). Do đó theo Bổ đề 1.2.12 Rp là vành địa ph-ơng với iđêan cực đại
duy nhÊt lµ pRp .
1.2.14. NhËn xÐt. Cho p lµ mét iđêan nguyên tố của vành R , theo Định lý trên
Rp là vành địa ph-ơng. Do đó quá trình chuyển từ vành R sang vành Rp ng-ời

ta gọi là địa ph-ơng hoá vành R tại iđêan nguyên tố p .
Sau đây là 3 ví dụ quan trọng của địa ph-ơng hoá: tr-ờng các th-ơng,
tr-ờng phân thức và vành các số thập phân.
1.2.15. Ví dụ. 1) Nếu R là miền nguyên thì S R \ 0 là một tập nhân ®ãng
cđa R vµ S 1 R lµ mét tr-êng do mọi phần tử khác không của nó đều khả
nghịch. Tr-ờng này đ-ợc gọi là tr-ờng các th-ơng của miền nguyên R .
2) Đặc biệt, tr-ờng các th-ơng của vành số nguyên Z chính là tr-ờng các
số hữu tỉ (Z \ 0) 1 Z  Q .
Chóng ta th-êng dïng hƯ đếm cơ số 10 và làm quen với các số thập phân. Theo
quan điểm địa ph-ơng hoá, các số này đ-ợc xây dựng nh- sau: nhận xét rằng





1
S10 10 n : n N là một tập nhân đóng của vành Z . Vành S10 Z đ-ợc gọi là vành

các số thập phân. Mỗi phần tử của nó đ-ợc gọi là một số thập phân. Nó có thể
xem là vành con của tr-ờng các số hữu tỉ (Z \ 0) 1 Z Q . Mỗi số thập phân ®Ịu
cã d¹ng

m
, trong ®ã m, n  Z .

10 n

3) Giả sử R K x là vành các đa thøc mét Èn víi c¸c hƯ sè thc tr-êng
K . Khi ®ã: K ( x)  ( K x \ 0) 1 K x đ-ợc gọi là tr-ờng các phân thøc mét Èn víi hƯ


15
số trong K . Mỗi phần tử đ-ợc gọi là một phân thức có dạng

p( x)
, trong đó
q( x)

q( x), p( x)  K x vµ q( x)  0 .

1.3 iđêan trong vành các th-ơng
1.3.1. Mệnh đề. Cho R là vành giao hoán, S là tập nhân đóng và I là một
iđêan của vành R , khi đó tập hỵp S 1 I   a  I , s S là một iđêan của vành
a
s



các th-ơng S 1 R .


0
1

Chøng minh. Râ rµng S 1 I  S 1 R vµ S 1 I   v× 0   S 1 I ( do 0  I ,1  S ).

gi¶ sư

a a'
a a' as' sa'
,  S 1 I . Ta cã:
 
 S 1 I (do a, a' I , s, s' S ).
s s'
s s'
ss'

a r ar
a
r
. 
 S 1 I
  S 1 I ,   S 1 R , ta cã:
s s' ss'
s
s'

(do a  I  ar  I ).

Vậy S 1 I là một iđêan của S 1 R .
Định lý sau đây mô tả iđêan trong vành các th-ơng.
1.3.2. Định lí. Cho R là vành giao hoán có đơn vị và S là tập nhân đóng của
vành R . khi đó:
i) J là iđêan trong S 1 R khi và chỉ khi tồn tại iđêan I cđa vµnh R
sao cho J  S 1 I .
ii) Cho I là iđêan trong R . Khi đó

S 1 I  S 1 R khi vµ chØ khi

I S .

iii) Q là iđêan nguyên tố của vành S 1 R khi và chỉ khi tồn tại một iđêan
nguyên tè P cña R , P  S   sao cho Q  S 1 P .
Chøng minh. (i) () Suy từ Mệnh đề 1.3.1.
1
() giả sử J là iđêan trong S R , ta sẽ chứng minh tồn tại một iđêan

R sao cho J I

e

I của

( với I e là iđêan mở rộng của I đối với đồng cấu

f : R S 1 R xác định bëi: f (r ) 

r
).
1


16
ThËt vËy, gi¶ sư
 rJc 

r
 J , ta cã r  r . s  J (do r  J , s  S 1 R )
s
1 s 1
s
1

r
 J ce J J ce .
s

Mặt khác ta luôn có J ce J ( theo Mệnh đề 1.1.6 ). Suy ra J  J ce  ( J c ) e .
Đặt I J c . Khi ®ã:

J  I e  f ( I ) 

a
 a r

a  I  =  . a  I , r  R, s  S 
1
 1 s


 ar

a  I , r  R, s  S  =
 s


= 
=
 J  S 1 I , với

S 1 I

I là một iđêan trong R .

ii) (  ) Gi¶ sư S 1 I  S 1 R  S 1 I chøa phÇn tư
cho

b

 b  I,t  S
t


a
1
cña S 1 R    S 1 I sao
s
1

a 1
 (a  I , s  S )  u  S sao cho:
s 1

(a.1  s.1)u  0  (a  s).u  0  au  su  0  au  su.

Vì au I (do a I ) và su  S (do s, u  S )  I  S   ( do au  su  I  S ).

s
1
(  ) Gi¶ sư I  S    s  I  S S I .
s

Mặt khác

s 1
là phần tử đơn vị của vành S 1 R S 1 I  S 1 R .
s 1

iii) (  ) Giả sử P là iđêan nguyên tố của R, P  S   . CÇn chøng minh
Q  S 1 P là iđêan nguyên tố của S 1 R .

+)Do P là iđêan trong R , suy ra Q S 1 P là iđêan trong vành S 1 R ( suy ra tõ
MƯnh ®Ị 1.3.1).
+)Do P  S    S 1 P  S 1 R .
a b
s t

+)  ,  S 1 R sao cho

a  P
a b
ab
.  S 1 P 
 S 1 P  ab  P  
s t
st
b  P

(vì P nguyên tố).


17
Vậy S 1 P là iđêan nguyên tố của vành S 1 R
( ) Giả sử Q là iđêan nguyên tố của vành S 1 R .
*Theo (i) thì tồn tại iđêan P của R sao cho Q S 1 P .
*V× Q  S 1 R  P  S   ( theo (ii) ).
*CÇn chøng minh P là iđêan nguyên tố của vành R .
Giả sö a, b  R , sao cho: ab  P . Suy ra:

ab
 S 1 P  Q .
s

VËy P iđêan nguyên tố của vành R .
1.3.3. Nhận xét. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, S là tập nhân đóng của
vành. Khi đó theo định lý trên ta có:
i) Mỗi iđêan của vành các th-ơng S 1 R đều có dạng S 1 I , trong đó I là
iđêan của vành R .
ii) Mỗi iđêan nguyên tố của vành S 1 R đều có dạng S 1 P trong đó P là
iđêan nguyên tố của R không giao với S .
iii) Cho P là iđêan nguyên tè cđa vµnh R . Kü tht chun tõ vµnh R
sang vành R P làm mất đi tất cả những iđêan nguyên tố ngoại trừ những iđêan
nguyên tố nằm trong P .
Ta biết rằng mỗi iđêan của vành th-ơng R / P có dạng K / P , trong đó K là
iđêan của vành R chứa P . Do đó kỹ thuật chuyển từ vành R sang vành th-ơng
R / P sẽ làm mất đi tất cả những iđêan nguyên tố ngoại trừ những iđêan nguyên

tố chứa P . Do đó nếu P , Q là hai iđêan nguyên tố của vành R sao cho

QP

thì

kỹ thuật lấy địa ph-ơng hoá tại P tức là vành Rp và lấy vành th-ơng R / Q ta thu
đ-ợc dÃy các iđêan nguyên tố nằm giữa P và Q .
1.3.4. Định lý. Cho S là tập nhân đóng và I là iđêan của vành R . Ký hiệu S
1

là ảnh của S trong R / I . Khi ®ã S 1 R / S 1 I  S ( R / I ) ( tức là địa ph-ơng hoá
giao hoán với phép lấy th-ơng).
1

Chứng minh. Xét ánh xạ : S 1 R / S 1 I  S ( R / I ) , xác định bởi:
r
r
g ( S 1 I )
s
s

Ta cần chứng minh g là đẳng cấu. Thật vậy:

( với r  r  I , s  s  I ).


18
* g là đồng cấu vì:
Ta có:

rs' sr '
r
r'
r r'
S 1 I )
) g (  S 1 I   S 1 I )  g (   S 1 I )  g (
ss'
s
s'
s s'



rs' sr' rs'  sr '
rs' sr ' r r '
r
r'



 
 g (  S 1 I )  g (  S 1 I ) .
ss' ss' s s'
s
s'
ss'
ss'

+) g (  S 1 I )(  S 1 I ) = g ( .  S 1 I ) = g (  S 1 I ) =
ss'

s s'
s'
ss'
 s

r

rr '

r r'

r'

=

rr '

r.r '
r r'
r
r'
= . = g (  S 1 I ).g (  S 1 I ) .
s
s'
s.s '
s s'

* g là đơn ánh.
Thật vậy, ta cã g (r / s  S 1 I ) 

r
 0 .Khi ®ã t  S sao cho t r  0
s

suy ra t r  0 trong R / I hay tr  I .Khi ®ã: r / s  IS 1 R  tr / ts  IS 1 R  0
(do tr  I ) hay ker( g ) 0 .
Suy ra g đơn ánh.
* g là toàn ánh.
1

1

r
s

Với mỗi r / s S ( R / I ) đều tồn tại r / s  S R sao cho g (r / s  S 1 I )  ,
suy ra g lµ toàn ánh.
1

Vậy g là đẳng cấu, suy ra S 1 R / S 1 I  S ( R / I ) .
1.3.5. Mệnh đề. cho vành R là vành Noether và S là tập nhân đóng của vành

R . Khi đó vành các th-ơng S 1 R là vành Noether.
Chứng minh. Ta chứng minh mọi iđêan của S 1 R đều là hữu hạn sinh. giả sử
J là một iđêan tuỳ ý của vành S 1 R . Theo Định lý 1.3.4 thì khi đó tồn tại I là

iđêan trong vµnh R sao cho J  S 1 I  a / s a  I , do R Noether nên I hữu hạn
sinh.
Giả sử I a1 , a2 ,............, an  .
a 

a a
 hÖ  1 , 2 ,........, n  lµ hƯ sinh cđa J
1
1 1

J là iđêan hữu hạn sinh


19
mọi iđêan của S 1 R đều hữu hạn sinh

S 1 R là vành Noether.

1.3.6. Hệ quả. Cho R là vành Noether và p là iđêan nguyên tố của vành R .
Khi đó vành địa ph-ơng hoá Rp cịng lµ vµnh Noether.
Chøng minh. Ta cã Rp  S 1 R víi S  R \ p . Theo chứng minh trên ta có Rp
là vành Noether.

ch-ơng 2. môđun các th-ơng
2.1. xây dựng mô đun các th-ơng
2.1.1.

Định nghĩa. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, tập M gọi là R -

môđun nếu trong M có hai phép toán là phép cộng và phép nhân với vô h-ớng
sao cho víi phÐp céng M lµ mét nhãm Abel vµ phép nhân với vô h-ớng thoÃ
mÃn các điều kiện sau:
i) r ( x  y)  rx  ry, r  R, x, y  M .
ii) (r   ) x  rx  x, r,   R, x  M .

20
iii) (r. ).x  r.(.x), r,   R, x  M .
iv) 1.x  x, x  M .
2.1.2. Ví dụ. 1) Cho V là một không gian véctơ trên tr-ờng K . Khi đó V là
K - môđun hay là V môđun trên

K.

2) Mỗi nhóm giao hoán là một môđun trên vành số nguyên Z .
2.1.3. Môđun hữu hạn sinh.
2.1.3.1. Định nghĩa. R - Môđun M đ-ợc gọi là hữu hạn sinh nếu có một tập
sinh gồm hữu hạn phần tử. Nói cách khác tồn tại các phần tö x1 ,...., xn  M sao





cho M  r1 x1  r2 x2  ......  rn xn ri  R, i  1, n, .
2.1.3.2. VÝ dô. 1) mỗi vành R giao hoán, có đơn vị 1 là một môđun hữu hạn
sinh trên chính nó ( phần tử sinh là 1).
2) Không gian véc tơ V hữu hạn chiều trên tr-ờng K là môđun hữu hạn
sinh trên tr-ờng K (mỗi cơ sở là một hệ sinh).
2.1.4. định nghĩa. cho M là một R - môdun và S là tập nhân đóng của R .
Trên tích Đềcác M S ta xác định quan hệ hai ngôi ~ nh- sau:
Víi ( m, s ),( m' , s' )  M  S ta nãi ( m, s ) ~ ( m' , s' ) nÕu tån t¹i s1  S sao
cho s1 (s' m  sm' )  0 . Khi đó quan hệ ~ là một quan hệ t-ơng đ-ơng (chứng
minh
t-ơng tự nh- ở phần vành các th-ơng). Khi đó ta kí hiệu

m
là lớp t-ơng đ-ơng
s

của ( m, s ). Tập th-ơng M S / ~ đ-ợc kÝ hiƯu lµ S 1 M , tøc lµ:
m

S 1 M =  m  M , s  S .
s


Ta định nghĩa các phép toán trên S 1 M nh- sau:
Víi

m m'
r
 S 1 R .
,  S 1 M vµ
s s'
s' '

PhÐp céng:

m m' ms' sm'


.
s s'
ss'

PhÐp nhân với vô h-ớng :

r m r.m
.
.
s' ' s s' '.s


21
Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn đại diện.
Thật vậy, đối với phép toán cộng chứng minh t-ơng tự nh- ở phần vành các
th-ơng.
Đối với phép nhân với vô h-ớng, giả sử (m, s) ~ (m' , s' ) tøc tån t¹i s1  S sao
cho s1 (s' m  sm' )  0 . Suy ra r.s' ' s1 (s' m  sm' )  0 ( víi r  R, s' ' S ),
hay s1 (r.s' ' s' m  r.s' ' sm' )  0 . Do ®ã (r.m, s' ' s) ~ (r.m' , s' ' s) .
Tøc lµ
2.1.5.

r.m r.m'
r m r m'

.  . .
hay
s' '.s s' '.s'
s' ' s s' ' s'

MÖnh đề. Với hai phép toán cộng và nhân với vô h-ớng nói trên thì

S 1 M lập thành một S 1 R - môđun.

Chứng minh.
* S 1 M với phép cộng là nhóm giao hoán.
*Với mọi

r1 r2
m m'
, S 1 R , vµ víi mäi
,  S 1 M , ta cã :
s1 s 2
s s'

r ms s' r m' s s
r1 m m'
r s' m  sm' r1 ( s' m  sm' )
 1 1 1 1 ,( v× s1  0 )
(  ) 1

s1 ss1 s'
s1 s s'
s1
ss'
s1 ss'


(

r1 r2 m s 2 r1  s1 r2 m r1ms2 s  r2 ms1 s
 ) 
. 
(v× s  0 )

s1 s 2 s
s1 s 2
s
s1 ss2 s



(

r1m r1m r1 m r1 m'

 .  . .
s1 s s1 s' s1 s s1 s'

r1m r2 m r1 m r2 m

 .  . .
s1 s s 2 s s1 s s 2 s

r1 r2 m r1r2 m r1 r2 m r1 r2 m s1 r2 m
. ). 
. 
 .
 ( . ).
s1 s 2 s s1 s 2 s s1 s 2 s s1 s 2 s r1 s 2 s

1 m 1.m m
.
.
1 s 1.s

s

Vậy S 1 M là một môđun trên vành S 1 R .
2.1.6. Định nghĩa. Môđun S 1 M đ-ợc gọi là môđun các th-ơng của M theo
tập nhân đóng S .


22
2.1.7. Chó ý. Ta biÕt r»ng nÕu f : R R' là một đồng cấu vành và M là một
R' -môđun thì M cũng có cấu trúc là một R - môđun với phép nhân với vô

h-ớng xác định nh- sau:
rm : f (r )m , r  R ,. m M

r
1

Ta có ánh xạ g : R S 1 R , xác định bởi g (r )  , r  R víi S lµ mét tập
nhân đóng của vành R là một đồng cấu vành. Vì thế S 1 M cũng có cấu trúc là
một R -môđun với phép nhân với vô h-ớng xác định nh- sau:
r.

m r m rm
m
 . 
, r  R,   S 1 M .
s 1 s
s
s

2.1.8. VÝ dô. Giả sử p là một iđêan nguyên tố của vành R . Khi đó S R \ p là
tập nhân đóng trong R , trong tr-ờng hợp này thay cho viÖc viÕt S 1 M ta viÕt
m

Mp .VËy Mp   m  M , s  p  . Khi đó là Mp một R - môđun với phép nhân
s


với vô h-ớng: r.

m
m rm

, với Mp , và r R .
s
s
s

2.2 tính chất của môđun các th-ơng
Với mỗi đồng cấu R - môđun f : M N cảm sinh một đồng cấu S 1 R m
s

môđun f S : S 1 M S 1 N , xác định bởi: f ( )

f ( m)
m
, S 1 M .
s
s

Ta có định lý sau.
2.2.1. Định lý. Cho S là tập nhân đóng của R . NÕu
f

g

0  M 'M M '' 0

lµ mét dÃy khớp ngắn các R - môđun thì
fS

gS

0 S 1 M '  S 1 M  S 1 M ' ' 0

cũng là dÃy khớp ngắn các R - môđun.
Chứng minh.
* f S là đơn ánh.


23
m

m
0 m
f S ( )  ,  S 1 M 
s
1 s
s


ta cã Kerf S  

 m f (m) 0 

 
1
s s

m

  f (m)  0 .
s


0
0
Vì f đơn ánh nên từ f (m) 0 suy ra m  0 nªn Kerf S   .
s

1

Vậy f S là đơn ¸nh .
* g S lµ toµn ¸nh.
Víi mäi

m'
 S 1 M ' ' . Vì g là toàn ánh nên tån t¹i m  M sao cho g (m)  m'
s

tức là tồn tại

mM :

m
S 1 M suy ra víi mäi
s

m'
g (m)
m
 g S ( ) . V×
=
s
s
s

m'
 S 1 M ' '
s

luôn tồn tại

m M và

m
s

s S nªn

 S 1 M sao cho

m
m' '
gS ( )
. Vậy g S là toàn ánh.
s
s

*Chứng minh Im f S  Kerg S .



m' m'
 S 1 M    f (m' ) m'  S 1 M '
s s
s

  s

Ta cã Im f S   f S ( )


m
m


  m  Im f , s  S   
m  Kerg , s  S  ( v× Im f  Kerg ).
s

 s

m
m
0 

Vµ Kerg S    S 1 M g S ( )   =  m  S 1 M g (m)  0 
s

1  s

s

s

1

= 

m
 m
g (m)  0, s  S  =  m  Kerg , s  S 
s
 s


Tõ ®ã suy ra: Im f S  Kerg S .
fS

gS

VËy d·y 0  S 1 M '  S 1 M  S 1 M ' '  0 lµ dÃy khớp ngắn các R - môđun.
2.2.2. Hệ quả. giả sử : M N là một đồng cấu R - môđun. Khi đó các
khẳng định sau là t-ơng đ-ơng:
i) là đơn cấu.
ii) p : M p N p là đơn cấu với mỗi iđêan nguyên tè p .


24
iii) m : M m N m là đơn cấu với mỗi iđêan cực đại m .
Chứng minh.
i) ii) . Ta cã:

 (r )
r
 r
r
 0 NP 
Ker ( P )    M P  P ( )  0 N P     M P
s
s

s
 s
r

   M P  (r ) 0 M
s

0MP .

P đơn cấu.

ii) iii). Hiển nhiên vì mỗi iđêan cực đại là một iđêan nguyên tố.
iii) i). Đặt M ' Ker ( ) . DÔ thÊy: 0  M ' M N là dÃy khớp. Do đó
0 M ' m  M m  N m lµ dÃy khớp ( do Định lý 2.2.1 ).

và M ' m  Ker (m )  0 do  m là đơn cấu.
Suy ra M ' 0 . vì vậy đơn cấu.
2.2.3. Mệnh đề. Cho N, P là các môđun con của M , S là tập nhân đóng của
R . Khi đó các điều khẳng định sau là ®óng:

i) S 1 ( N  P)  S 1 N  S 1 P .
ii) S 1 ( N  P)  S 1 N  S 1 P .
iii) S 1 ( N / P)  S 1 N / S 1 P .
Chøng minh.
i) S 1 ( N  P)  S 1 N  S 1 P . Thật vậy, lấy
Theo định nghĩa, ta có:
Ng-ợc lại, lÊy:

n p
 S 1 ( N  P) , víi n  N , p  P .
s

n p n p
   S 1 N  S 1 P .

s
s s

n p
  S 1 N  S 1 P , theo định nghĩa ta có
s s'

n p s' n  sp
 
 S 1 ( N  P) . Suy ra S 1 N  S 1 P  S 1 ( N  P) .
s s'
ss'

VËy S 1 ( N  P)  S 1 N  S 1 P .
ii) Ta cã S 1 ( N  P)  S 1 N  S 1 P ( hiển nhiên ).
Cần chứng minh S 1 ( N )  S 1 ( P)  S 1 ( N  P) .