SKKN TOÁN HÌNH HỌC LỚP 7 CẤP HUYỆN

MỤC LỤC
A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề
1. Thực trạng của vấn đề địi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết.
2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài.
II. Phương pháp tiến hành
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu,
tìm giải pháp của đề tài
1.1 Cơ sở lý luận
1.2 Cơ sở thực tiễn
2. Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp
2.1 Các biện pháp tiến hành
2.2 Thời gian tạo ra giải pháp
B. NỘI DUNG
I. Mục tiêu
II. Mô tả giải pháp của đề tài
1. Thuyết minh tính mới
1.1 Sử dụng bài tập khi giảng dạy §6. Tam giác cân
* Bài tập về tính số đo góc của một tam giác cân khi biết số đo một
góc.
* Bài tập về chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều,
tam giác vng cân.
1.2 Bài tập phát triển trí lực trên nền tảng các loại hình tam giác cân.
* Bài tập về tính số đo góc trên cơ sở phát hiện được tam giác cân,
tam giác vuông cân, tam giác đều.
* Bài tập về chứng minh tam giác cân, tam giác đều, tam giác vng
cân có sử dụng số đo góc, tính tốn số đo góc.
* Bài tập về chứng minh các nội dung hình học trên nền kiến thức
các loại hình tam giác cân.
1.3 Bài tập bồi dưỡng cho HS giỏi.

2. Khả năng áp dụng
3. Lợi ích kinh tế - xã hội
C. KẾT LUẬN


VẬN DỤNG BÀI TẬP VỚI NỀN TẢNG “TAM GIÁC CÂN”
TRONG GIẢNG DẠY HÌNH HỌC LỚP 7
A. MỞ ĐẦU
I. Đặt vấn đề.
1. Thực trạng của vấn đề địi hỏi phải có giải pháp mới để giải quyết.
Mơn hình học cấp trung học cơ sở, học sinh được học ngay từ lớp 6 nhưng
vì đặc điểm tâm lý lứa tuổi nên các em được giảng dạy học tập tiếp thu kiến thức
dựa trên hình ảnh trực quan mơ tả khái niệm, thơng qua các thao tác học tập như
quan sát, đo đạc,... để lĩnh hội kiến thức. Bài tập hình học chủ yếu chỉ là yêu cầu
học sinh biết vận dụng kiến thức vào tính tốn đơn giản, vẽ hình thể hiện; khơng
có bài tập u cầu học sinh làm ở cấp độ “Chứng minh”.
Đến hình học lớp 7, bắt đầu có bước chuyển từ “cơng nhận” đến “suy luận
có căn cứ” và “suy luận chứng minh” nên ban đầu các em gặp khó khăn trong sự
tiếp thu học tập kiến thức. Học sinh (HS) được yêu cầu phải có kỹ năng giải bài
toán ở cấp độ “Chứng minh rằng”. Các em phải được luyện tập từng bước tư duy
suy luận hình học qua giải bài tập để trau dồi dần năng lực biết trình bày bài làm
cho một nội dung chứng minh hình học cụ thể.
Như vậy có thể nói chương trình hình học lớp 7 là bước chuyển “căn bản”
về cấp độ tư duy khi học sinh học tập các chủ điểm kiến thức trong chương trình
và là mơi trường để HS trau dồi hiểu biết, tập dượt thao tác trí tuệ, tích lũy các kỹ
năng căn bản để học tốt hơn chương trình hình học lớp 8, lớp 9 sau này.
Thực tế giảng dạy, giáo viên (GV) thấy rằng đại trà HS lớp 8, lớp 9 rất hạn
chế trong việc học và làm tốt bài tập hình học có trong phạm vi chương trình bởi
ngun nhân là HS có nền tảng chương trình hình học lớp 7 khơng tốt.
Để góp phần giảng dạy hiệu quả chương trình hình học lớp 7 thì việc giúp

HS luyện tập, biết giải bài tập hình là một u cầu chun mơn của GV nên phải
được chú trọng trong giảng dạy.
Trong các bài tập hình học, tơi nhận thấy mảng kiến thức về tam giác cân
(cùng tam giác vuông cân, tam giác đều) thường được khai thác khá nhiều. Trên
nền các loại hình tam giác này xâu chuỗi được nhiều kiến thức để kiểm tra, đánh
giá năng lực học tập hình học ở HS, nhất là các bài toán yêu cầu HS phát huy trí
lực biết vận dụng kiến thức vào giải quyết “vấn đề” của bài toán.
Từ những nhận định trên, trong quá trình giảng dạy tơi đã vận dụng, chọn
lọc một “mơ hình” các bài tốn hình học với trình độ học sinh lớp 7, hình thành
nên đề tài là: VẬN DỤNG BÀI TẬP VỚI NỀN TẢNG “TAM GIÁC CÂN” TRONG
GIẢNG DẠY HÌNH HỌC LỚP 7 như là tích lũy chun mơn của cá nhân để cùng
trao đổi với thầy cô đồng nghiệp.

2


2. Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới.
Trước yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, đặc biệt là các phương pháp
dạy học tích cực trong giảng dạy mơn tốn. Học sinh phải được thúc đẩy học tập
tích cực theo hướng dẫn của giáo viên. Để học sinh có thể làm thì các hoạt động
dạy học của giáo viên phải được thiết kế hướng tới người học, khơi dậy được sự
tìm tịi khám phá, tự học của học sinh.
Việc khai thác và sử dụng bài tập có vận dụng kiến thức tam giác cân, tam
giác đều, tam giác vuông cân (sau khi HS được học) tạo đà cho GV dạy hiệu quả
hơn chương trình hình học lớp 7, vì trên “mơi trường” các bài tập này:
- GV có được “đòn bẫy” qua bài tập lồng ghép được kiến thức bài dạy; phát
huy hiệu quả các biện pháp thúc đẩy HS học tập tích cực trong các tiết học như:
ôn cũ- giảng mới; dạy chắc từng phần, luyện chắc từng phần;... tạo điều kiện để
GV cải thiện, khắc phục dần tình trạng “học khơng hiểu” ở học sinh.
- GV liên kết được các chủ điểm kiến thức trong giảng dạy, giúp HS dần dần

nắm chắc kiến thức trong chương trình hơn vì thường xuyên được củng cố, được
nhắc lại qua luyện tập, qua vận dụng kiến thức vào giải các bài tập có liên quan.
Qua tập dượt, HS phát triển dần trí lực trong học tập các nội dung mới, tự tin
hơn trong học tập, hạn chế dần lối học thuộc lịng, học “cho có” ở HS; tạo đà để
GV kết hợp chắc hơn giữa dạy kiến thức lý thuyết và luyện tập kỹ năng giải toán
- Tạo nhiều “thời điểm” cho HS được luyện tập kỹ năng vẽ hình giải tốn, kỹ
năng trình bày bài làm cho các bài tập căn bản theo yêu cầu chương trình và trên
cơ sở các bài tập đó, GV đạt được các mục đích trong giảng dạy, như sau:
Phát hiện lỗi và chữa ngay lỗi, uốn nắn ngay các sai lầm mắc phải của HS về
vận dụng kiến thức; kịp thời củng cố, khắc sâu lại kiến thức cho HS qua việc làm
nội dung câu bài ở từng bài tập.
Rèn luyện dần cho học sinh các thao tác trí tuệ qua hoạt động giải tốn: quan
sát, dự đốn, vẽ hình, sử dụng dụng cụ; tìm tịi phân tích, suy luận có căn cứ, suy
luận chứng minh và biết trình bày bài giải.
Nâng dần trí lực, bồi dưỡng dần năng lực giải tốn hình học cho học sinh lớp
dạy, nhất là các bài tốn u cầu HS ở cấp độ thơng hiểu, vận dụng.
Xâu chuỗi được nhiều kiến thức nền tảng để kiểm tra, đánh giá năng lực học
tập của học sinh theo hướng dạy học phân hóa, phát huy trí lực của HS khá giỏi.
3. Phạm vi nghiên cứu của đề tài.
Đề tài chỉ giới hạn trong khuôn khổ kiến thức chương trình hình học lớp 7
hiện hành, trên cơ sở trình bày minh họa một số bài tốn hình học được bản thân
chọn lọc, tích lũy và đã được vận dụng vào thực tế giảng dạy của cá nhân.
II. Phương pháp tiến hành
1. Cơ sở lý luận và thực tiễn có tính định hướng cho việc nghiên cứu, tìm
giải pháp của đề tài.
1.1 Cơ sở lý luận
3


Bản thân nêu ra hai nhận định trên cơ sở nhìn nhận như sau:

a) Vị trí chủ điểm kiến thức “Tam giác cân” trong chương trình hình học 7.
- Chủ điểm “Tam giác cân” được dạy ở §6, chương II sách giáo khoa (SGK)
toán 7 hiện hành, sau khi HS đã học tập các chủ điểm kiến thức sau:
Ở chương I:
- Hai góc đối đỉnh.
- Hai đường thẳng vng góc.
- Đường trung trực của đoạn thẳng.
- Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng.
- Hai đường thẳng song song: tính chất và dấu hiệu nhận biết.
- Liên hệ giữa vng góc và song song.
Ở chương II:
- Tổng ba góc của tam giác.
- Tam giác bằng nhau và các trường hợp bằng nhau của tam giác.
- Tam giác cân.
Như vậy, khi HS học tập chủ điểm “tam giác cân” thì HS đã được trang bị
khá đủ kiến thức “nền móng” để tơi xây dựng, vận dụng nội dung đề tài.
b) Vai trị của các loại hình tam giác cân nhìn từ góc độ xâu chuỗi kiến thức
chương trình hình học cấp Trung học cơ sở (THCS).
- Kiến thức về các loại hình tam giác cân là “mơi trường” để GV liên kết, xâu
chuỗi nhiều kiến thức trong giảng dạy chương trình hình học lớp 7 cho HS.
Hình học lớp 6&lớp 7
- Đoạn thẳng bằng nhau
- Trung điểm của đoạn thẳng
- Góc bằng nhau
- Tia phân giác của góc.
Tam giác cân
- Đường thẳng vng góc.
Tam giác đều
- Đường trung trực của đoạn thẳng.
Tam giác vuông cân

- Đường thẳng song song.
- Tam giác bằng nhau và các trường hợp
bằng nhau của tam giác.
- Tổng ba góc của tam giác.
- Định lý Py-ta-go.
- Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong
tam giác. Bất đẳng thức tam giác.
- Các đường đồng quy trong tam giác.

- Kiến thức về các loại hình tam giác cân cũng là nền tảng “phải có” giúp HS
học tốt hơn một số chủ điểm kiến thức hình học lớp 8, lớp 9 sau này bởi tính liên
thơng xây dựng kiến thức, như: hình thang cân, đối xứng trục, tính chất đối xứng
trong đường trịn,... và phối hợp vận dụng giữa các chủ điểm kiến thức trong quá
trình học tập hình học bậc THCS.
Nên cũng dễ hiểu vì sao mảng kiến thức về tam giác cân (cùng tam giác vuông
cân, tam giác đều) xâu chuỗi được nhiều kiến thức qua bài tập để kiểm tra, đánh
giá năng lực học tập hình học của học sinh ở các mức độ khác nhau của từng đối
tượng HS theo yêu cầu các chuẩn kiểm tra đánh giá.
4


1.2 Cơ sở thực tiễn
a) Vai trò và tác dụng của bài tập trong giảng dạy hình học:
- Bài tập hình học giúp HS được củng cố lại kiến thức đã học, nắm chắc kiến
thức từng bài học hơn từ đó nâng dần mặt bằng kiến thức trong học tập.
- Qua bài tập, HS buộc phải “hâm nóng” lại kiến thức được học để giải quyết
“khó khăn gặp phải” ở nội dung câu bài làm. Dần dần HS tích lũy được nền tảng,
tự tin hơn trong học tập nội dung bài mới; hạn chế dần lối học chay, học cho có;
phát triển dần trí lực trong học tập, tạo đà để GV kết hợp chắc hơn giữa dạy kiến
thức lý thuyết và luyện tập kỹ năng giải tốn.

- Trên “mơi trường” bài tập, qua các hoạt động như: kiểm tra bài cũ, chữa bài
HS đã làm, hướng dẫn HS luyện tập, giáo viên cũng đạt được các mục đích là:
Phát hiện lỗi và chữa ngay lỗi, uốn nắn ngay các sai lầm mắc phải của HS về
vận dụng kiến thức; kịp thời củng cố, khắc sâu lại kiến thức cho HS qua việc làm
nội dung câu bài ở từng bài tập.
Liên kết được nhiều kiến thức nền tảng qua các câu bài để GV kiểm tra đánh
giá năng lực học tập của học sinh theo hướng dạy học phân hóa, phát huy trí lực
của HS khá giỏi.
b) Tác dụng của bài tập có vận dụng kiến thức về các loại hình tam giác cân
trong giảng dạy và trong kiểm tra đánh giá năng lực học tập của HS lớp 7.
Như đã trình bày ở mục: Ý nghĩa và tác dụng của giải pháp mới. Trong thực
tiễn giảng dạy hình học lớp 7, những bài tập có vận dụng kiến thức các loại hình
tam giác cân sẽ phát huy được lợi thế của chúng, đó là:
- Dễ liên kết được các kiến thức trọng tâm trong giảng dạy, giúp HS dần dần
nắm chắc kiến thức trong chương trình hơn vì thường xuyên được củng cố, được
nhắc lại qua luyện tập, qua vận dụng kiến thức vào giải các bài tập có liên quan.
- Trên nền các bài tập này, GV thuận lợi hơn trong việc tập dượt các kỹ năng
căn bản cho HS, tập dượt “thuần thục” kỹ năng trình bày giải các bài tập căn bản
có trong SGK, như:

giác

* Bài tập tính tốn số đo góc.
* Bài tập về chứng minh tam giác bằng nhau; đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng
nhau; chứng minh đường thẳng song song, vng góc.
* Bài tập về chứng minh, nhận biết: tam giác cân, tam giác vuông cân, tam
đều (và vận dụng vào chứng minh các nội dung khác)

- Phát hiện được trí lực của HS qua “mơi trường” bài tập, từ đó bồi dưỡng để
nâng dần năng lực giải tốn hình học cho học sinh lớp dạy đến các năng lực như:

khai thác bài toán, đề xuất bài toán tương tự, xét bài toán đảo, mà trong q trình
trình dạy, tơi cân nhắc dừng lại ở mức độ nào là còn tùy thuộc vào trí lực của HS
diện đại trà của lớp dạy.
- Cũng xâu chuỗi được nhiều kiến thức để kiểm tra đánh giá hiệu quả học tập
của HS lớp dạy; đánh giá được trí lực của diện HS “khá giỏi” của lớp.
Thực tế, tôi cũng nhận thấy trong các đề thi đánh giá HS giỏi ở các khối lớp
7, 8, 9 của các Tỉnh Thành, có nhiều bài tốn “khó” trong q trình tìm tịi ra lời
5


giải đều có vận dụng kiến thức về các loại hình tam giác cân. Nhiều bài tốn cho
trên nền các loại hình tam giác cân, địi hỏi học sinh phải biết phối hợp vận dụng
nhiều kiến thức để giải được yêu cầu của bài toán.
Xin đơn cữ như bài toán sau:
Cho  ABC vuông cân tại B và M là một điểm nằm trong  ABC thỏa mãn
điều kiện

MA MB MC
=
=
. Tính số đo góc �
AMB .
1
2
3

Đây là bài tốn về tính số đo góc với trình độ học sinh lớp 7, nhưng để giải được
bài toán này đối với học sinh là khơng dễ nếu học sinh khơng có nền tảng “vững
chắc” kiến thức hình học lớp 7 và kể cả hiểu biết kiến thức tích hợp mơn đại số.
Do đó, việc chọn lọc, vận dụng bài tập trong giảng dạy trên nền “tam giác

cân” để phát triển trí lực cho HS lớp 7 là một yêu cầu thiết thực.
2. Các biện pháp tiến hành, thời gian tạo ra giải pháp.
2.1 Các biện pháp tiến hành
Trong quá trình hình thành nội dung đề tài và triển khai thực hiện, bản thân
tiến hành các biện pháp sau trong giảng dạy chương trình hình học lớp 7 cho HS.
* Sử dụng bài tập hình học trong SGK nhằm đạt hiệu quả mục tiêu tiết dạy:
- Chọn những bài tập trong SGK phù hợp với từng loại hình tiết dạy: tiết dạy
kiến thức mới, tiết luyện tập, tiết ôn tập chương, ôn tập học kỳ.
- Chọn bài tập căn cứ vào mục đích sử dụng bài tập trong từng tiết luyện tập,
sau khi HS học xong một nội dung kiến thức mới.
- Chú trọng sử dụng bài tập gồm nhiều câu làm, bài tập xâu chuỗi được nhiều
kiến thức căn bản cần củng cố lại cho học sinh qua vận dụng (đặc biệt khi HS đã
học xong các loại hình tam giác cân).
* Phát huy vai trò và tác dụng của từng loại bài tập trong giảng dạy:
Cụ thể:
- Bài tập căn bản nhằm kiểm tra củng cố, khắc sâu lại kiến thức cho HS;
- Bài tập luyện kỹ năng HS sử dụng êke, thước đo góc, compa, trong vẽ hình
giải tốn theo giả thiết đề bài;
- Bài tập tính tốn về độ dài đoạn thẳng, số đo góc,...;
- Bài tập chứng minh một nội dung hình học (đã nêu ở trang 5);
- Bài tập khai thác phát triển, bổ sung hoàn chỉnh thêm kiến thức cho HS;
- Bài tập bồi dưỡng, phát huy trí lực HS “khá giỏi”, phù hợp với trình độ HS;
* Coi trọng dạy học tích cực qua các biện pháp trong giảng dạy:
- Tạo động cơ học tập, tạo ra tình huống để HS thấy có nhu cầu tự giải quyết,
động viên HS theo hướng biết tự học, biết chủ động chiếm lĩnh kiến thức mới.
- Kết hợp mật thiết giữa học, luyện tập và hệ thống lại kiến thức đã vận dụng
qua bài tập.
- Làm cho học sinh nắm chắc kiến thức căn bản, cốt lõi, nâng cao dần về mặt
bằng kiến thức và kỹ năng vận dụng cho học sinh diện đại trà.
- Dùng các bài tập ở cấp độ vận dụng căn bản qua đó nắm bắt, đánh giá mức

độ nắm chắc kiến thức đã học ở HS, từ đó vận dụng hợp lý phương pháp dạy học
6


phù hợp với đặc điểm của HS từng lớp dạy.
- Làm tốt khâu hướng dẫn HS cách thức học tập ở nhà: chỉ ra kiến thức trọng
tâm học sinh phải nắm chắc qua bài; những bài tập cần nắm, làm hoàn chỉnh lại,
(nhất là với học sinh yếu kém); giao bài tập cho HS phù hợp với từng đối tượng
học sinh kết hợp với gợi ý, hướng dẫn cần thiết về nhà. (đối với học sinh đại trà
chỉ yêu cầu làm bài tập căn bản ở sách giáo khoa, sách bài tập. Đối với học sinh
khá giỏi mới ra thêm bài toán “nâng cao”)
2.2 Thời gian tạo ra giải pháp
Đề tài được tôi xây dựng, vận dụng vào giảng dạy từ năm học 2014-2015.
Đến thời điểm hiện tại vẫn tiếp tục thực hiện để điều chỉnh trong vận dụng.
B. NỘI DUNG
I. Mục tiêu
Trọng tâm của đề tài là chọn lọc và vận dụng hệ thống các bài tập trên nền
kiến thức các loại hình tam giác cân để giảng dạy có hiệu quả hơn chương trình
hình học lớp 7 cho học sinh.
II. Mô tả giải pháp của đề tài
1. Thuyết minh tính mới.
1.1. Sử dụng bài tập khi giảng dạy §6. Tam giác cân
Các bài tập có trong SGK và bài tập được tơi sử dụng khi giảng dạy §6. Tam
giác cân là các bài tập được lựa chọn theo các tiêu chí sau:
* Là bài tập nhằm khắc sâu kiến thức qua luyện tập cho HS lớp dạy;
- Giúp HS nắm chắc hơn định nghĩa và tính chất về cạnh, về góc của từng
loại hình tam giác, gồm: tam giác cân, tam giác đều, tam giác vuông cân.
- Thông hiểu các cách thức chứng minh, nhận biết từng loại hình tam giác.
* Là bài tập diện căn bản; luyện tập trang bị kỹ năng “nền tảng”cho HS.
- Rèn kỹ năng vẽ các loại hình tam giác cân. HS biết sử dụng thước đo góc

để vẽ góc có số đo cho trước, sử dụng êke vẽ góc vng, biết dùng compa
vẽ được tam giác đều... tùy theo giả thiết đã cho của từng bài tốn.
- Trình bày được hai nội dung tốn căn bản sau:
* Tính số đo góc của một tam giác cân khi biết số đo một góc;
* Chứng minh được một tam giác là tam giác cân, tam giác đều hay là
tam giác vuông cân (mức độ căn bản).
* Bài tập về tính số đo góc của một tam giác cân khi biết số đo một góc.
Bài 1. (bài tập 49 trang 127 SGK Toán 7, tập 1)
a) Tính các góc ở đáy của một tam giác cân biết góc ở đỉnh bằng 400.
b) Tính góc ở đỉnh của một tam giác cân biết góc ở đáy bằng 400.
* Mục đích sử dụng:
+ HS cần đạt qua bài tập này;
- Biết tính số đo các góc cịn lại trong tam giác cân khi biết số đo một góc.
- Nắm được cách tính số đo góc trong tam giác cân:
7


0
c ởđỉ
nh
= 180  sốđo gó
2
0
Số đo góc ở đỉnh = 180 – 2 lần số đo góc ở đáy

Số đo góc ở đáy

Giải:

(1)

(2)

�.
� = C
Xét  ABC cân tại A, ta có B
0 �
1800  400 = 700
� = 180  A
� = C
� = 400 � B
a) A
=
2
2
0
0
� = 40 � A
� ) = 1800 – 800 = 1000
� = C
� + C
� = 180 – ( B
b) B

+ GV qua bài tập này, khai thác được các nội dung sau:
1. Xét các trường hợp góc ở đỉnh là 900, là 600 để củng cố lại cho HS kiến thức
về tam giác đều, tam giác vuông cân từ hiểu biết bài toán.
g Tam giác đều là tam giác cân có góc ở đỉnh là 600 (có góc ở đáy là 600)
g Tam giác vuông cân là tam giác cân có góc ở đỉnh là 900 (có góc ở đáy là 450)
2. Từ (1) ta có: số đo góc ở đáy = 900 – 12 số đo góc ở đỉnh < 900.
Qua đó khắc sâu cho HS nhận thức (bổ sung, hồn chỉnh thêm kiến thức)

g Góc ở đáy của tam giác cân ln là góc nhọn.
3. Cho HS vận dụng nền tảng từ bài tập trên để giải bài toán sau.
Bài 2. (mức độ căn bản)
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E
thuộc cạnh AB sao cho AD = AE. Chứng minh: ED // BC.
Giải
A

E
B

D
C

0 �
� = 180  A
Ta có  ABC cân tại A (gt) � B
.
2
Ta có AD = AE (gt) �  AED cân tại A
0 �
�
� AED
= 1802 A
�
� và là hai góc đồng vị
Vậy AED
=B
� ED // BC (đpcm).

* Bài tập về chứng minh một tam giác là tam giác cân, tam giác đều, tam
giác vng cân.
Bài 3. (bài tập 51 trang 128 SGK Tốn 7, tập 1)
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc
cạnh AB sao cho AD = AE.
� .
�
a) So sánh ABD
và ACE
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Tam giác IBC là tam giác gì?
Vì sao?
8


* Mục đích sử dụng:
+ HS cần đạt qua bài tập;
- Vẽ hình bài tốn chính xác theo giả thiết đề bài.
- Chứng minh được  ABD =  ACE (c.g.c) (để làm câu a)
- Biết các cách chứng minh tam giác IBC là tam giác cân (tại I).
+ GV qua bài tập, tập dượt cho HS:
- Đường hướng tìm tịi lời giải cho một nội dung chứng minh hình học; biết đi
từ điều phải chứng minh, tìm tịi suy luận từng bước, xác định kiến thức cần vận
dụng, tập dượt dần năng lực suy luận theo sơ đồ phân tích đi lên:
- Rèn luyện dần cho học sinh các thao tác trí tuệ qua hoạt động giải tốn: quan
sát, dự đốn, vẽ hình, sử dụng dụng cụ; tìm tịi phân tích, suy luận có căn cứ, suy
luận chứng minh và biết trình bày bài giải.
A

E

D
I

B
a)

Sơ đồ phân tích
�
�
= ACE
ABD
�
 ABD =  ACE

�

Giả thiết
b)

 IBC cân tại I
�
� = ICB
�
IBC
�

� – ABD
� – ACE
�
�

= ACB
ABC

C

Giải
a) Ta có AB = AC (vì  ABC cân tại A, gt)
�
�
�)
= CAE
(là góc A
BAD
AD = AE (gt)
Vậy  ABD =  ACE (c.g.c)
�
�
� ABD
= ACE
�
�
b) Ta có ABC
= ACB
(vì  ABC cân tại A, gt)
�
�
= ACE
(câu a)
ABD
�

�
�
�
� ABC – ABD
= ACB – ACE
� = ICB
�
� IBC
�  IBC cân tại I (đpcm)

�
�
�
(gt)
ABC = ACB
�
�
= ACE
(câu a)
ABD

+ Khai thác qua bài tập các nội dung sau:
1. Chứng minh:  IED cân tại I.
(Câu c. HS làm về nhà)
Gợi ý, hướng dẫn: - Chứng minh IE = ID ( để ý BD = CE, IB = IC; câu b)
� = IDE
� (câu b và bài tốn 2)
- Có thể chứng minh IED
2. Chứng minh tam giác IBC cân (khi khơng có gợi ý câu a).
3. Liên hệ kết luận giữa bài toán 2 và bài toán 3.

9


4. Khai thác, ra thêm câu bài trên nền bài tập này (HS luyện tập về nhà).
� .
- Câu c) Chứng minh tia AI là tia phân giác của góc BAC
- Câu d) Chứng minh đường thẳng AI là đường trung trực của BC.
Bài 4.

� = 300. Lấy điểm D sao cho A là trung
Cho  ABC vuông tại A, C
điểm của đoạn thẳng BD.
Chứng minh:
a)  BDC là tam giác đều.
b) BC = 2AB.

* Mục đích sử dụng:
+ HS cần đạt qua bài tập;
- Sử dụng dụng cụ thước đo góc, êke, compa để vẽ hình bài tốn: bảo đảm
� = 300 và A là trung điểm của đoạn thẳng BD.
� = 900, C
được: A
- Nắm các cách chứng minh  BDC là tam giác đều.
+ GV qua bài tập, luyện tập cho HS:
- Kỹ năng sử dụng thành thạo các dụng cụ trong vẽ hình hình học.
- Biết các cách chứng minh và trình bày chứng minh  BDC đều.
- Khai thác kết quả bài toán, bổ sung thêm kiến thức cho HS.
Giải

D

A
300
B

Sơ đồ phân tích
 BDC đều (đpcm)

�
 BDC cân tại C
� = 600
và BCD

�

BC = DC
� = 600
và BCD
�

C

Bài giải
a) Xét  ABC và  ADC , ta có:
�
�
= DAC
= 900 (gt).
BAC
AB = AD (gt)
cạnh AC chung

Vậy  ABC =  ADC (c.g.c)
� = DCA
� = 300
� BC = DC và BCA
�
�  BCD cân tại C có BCD
= 600
Vậy  BDC là tam giác đều.

 ABC =  ADC

�

(Giả thiết)

(1) (2)
(1): Tìm tịi lời giải

b) Từ chứng minh ở câu a, ta có:
BC = BD = AB + AD = 2AB
10


(2): Trình bày lời giải

+ Khai thác qua bài tập các nội dung sau:
1. Chốt ý kết luận câu b: (hồn chỉnh, bổ sung kiến thức)
� = 300 thì BC = 2AB
 ABC vuông tại A, C

(cạnh đối diện với góc 300 bằng nửa cạnh huyền)

- Chứng minh điều ngược lại cũng đúng:

� = 300.
 ABC vuông tại A, BC = 2AB thì C

(Gợi ý, hướng dẫn: (HS trình bày bài giải)
Lấy điểm D sao cho A là trung điểm của BD;  ABC =  ADC (c.g.c)
�
�
� BC = DC = BD �  ADC đều � ABC
= 600 � ACB
= 300)
2. Khắc sâu hiểu biết cho HS qua bài tập.
Tam giác vng có một góc nhọn 300 thì cạnh đối diện với góc 300 sẽ bằng nửa
cạnh huyền, Ngược lại, tam giác vng có một cạnh góc vng bằng nửa cạnh
huyền thì góc đối diện với cạnh này có số đo là 300. (“nửa tam giác đều”).

* GV hệ thống lại từ các bài tập 3, 4:
Khắc sâu về các cách thức chứng minh, nhận biết;
g Một tam giác là tam giác cân:
Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau hoặc có hai góc bằng nhau.

g Một tam giác là tam giác đều:
Chứng minh tam giác có: - ba cạnh bằng nhau, hoặc;
- có ba góc bằng nhau, hoặc;
- có hai cạnh bằng nhau và có một góc 600, hoặc;
- có hai góc bằng nhau và có một góc 600.

g Một tam giác là tam giác vng cân:
Chứng minh tam giác là:

- tam giác cân có góc ở đỉnh bằng 900, hoặc;
- tam giác cân có góc ở đáy bằng 450, hoặc;
- tam giác vng có hai cạnh góc vng bằng nhau.
- tam giác vng có một góc nhọn bằng 450.

..........................................
1.2. Bài tập phát triển trí lực HS trên nền tảng các loại hình tam giác cân.
Luyện tập vận dụng phối hợp kiến thức trong giải toán hình học lớp 7.
* Bài tập về tính số đo góc trên cơ sở phát hiện nhận biết tam giác cân,
tam
giác vuông cân, tam giác đều.
Bài 5.
Cho điểm M nằm giữa hai điểm A, D. Về cùng một nửa mặt phẳng bờ
AD lấy các điểm C, B sao cho  ACM,  MDB là các tam giác đều và
gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD.
11


� .
Tính số đo góc MPQ

* Tác dụng của bài toán:
+ Về kiến thức: HS
- Củng cố lại các khái niệm: nửa mặt phẳng; điểm nằm giữa hai điểm;
- Cách chứng minh một tam giác là tam giác đều.
+ Về kỹ năng:
- Vẽ tam giác đều; vẽ trung điểm của một đoạn thẳng (với com pa);

- Trình bày chứng minh được: đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau, tam
giác bằng nhau; chứng minh tam giác đều qua bài toán.
- Phát triển được trí lực qua các thao tác: vẽ hình bài tốn, dự đốn, tìm
tịi phân tích và trình bày chứng minh.
B

C

P

Q
A

M

D

+ Hoạt động dự đốn, tìm tịi lời giải:
-  MPQ là tam giác gì? (HS đo các cạnh với com pa)
�
�
- AMB
= CMD
= ? So sánh AB và CD?
+ Hoạt động giải tốn, trình bày bài giải:
Sơ đồ phân tích
Bài giải
�
= 600
Xét  AMB và  CMD, ta có:

MPQ
AM = CM (vì  ACM đều, gt)
�
 MPQ đều
MB = MD (vì  MBD đều, gt)
�
�
= CMD
= 1200
�
AMB
MP = MQ
Vậy  AMB =  CMD (c.g.c)
0
�
�
� = MCQ
� AB = CD, MAP
và PMQ = 60
� AP = CQ (vì P, Q là trung điểm của
�
�
� = MCQ
AM = CM
AB và CD), MAP
, AM = CM.
�
�
= MCQ
Vậy  AMP =  CMQ (c.g.c)

MAP
�
�
� MP = MQ và AMP
AP = CQ
= CMQ
.
�
�
Mà: AMP
= 600 + CMP
�
�
� + CMP
�
 AMP =  CMQ (c.g.c)
= PMQ
CMQ
�
Vậy PMQ
= 600 và MP = MQ
�
�
�  MPQ đều � MPQ
 AMB =  CMD (c.g.c)
= 600.
12


�

(Giả thiết)
+ Khai thác qua bài tập: (dành cho HS khá giỏi)
� . (đáp: AIC
�
- AB và CD cắt nhau tại I. Tính AIC
= 600)
� = IAD
� + IDA
�
�
�
�
(Gợi ý: AIC
(t/c góc ngồi) = BAM
+ ABM
= 1800 – AMB
)

* Một số bài toán, để giải quyết vấn đề đặt ra, cần hướng dẫn và tập dượt cho
HS biết vẽ yếu tố phụ hợp lý (là đường, đoạn, điểm, tia). Trên cơ sở đó phát triển
các thao tác trí tuệ cho HS trong giải tốn hình học, giúp HS biết xâu chuỗi kiến
thức đã học để làm được câu bài, từ đó nâng dần trí lực học tập.
Bài 6.
� = 300.
�
Cho  ABC, E là trung điểm của cạnh BC. Biết EAB
= 150, EAC
� .
Hãy tính BCA

* Tác dụng của bài toán:
Bài toán này tùy theo thời điểm mà vận dụng trong luyện tập, ôn tập:
+ Về kiến thức: HS
Củng cố lại kiến thức qua luyện tập (hay ơn tập):
- Tính chất hai đường thẳng song song; đường trung trực của đoạn thẳng;
- Tính chất đường trung trực (khi HS đã học §7, chương III)
- Hiểu rằng trong một số bài toán cần vẽ yếu tố phụ hợp lý (điểm, đường)
để tham gia vào giải quyết yêu cầu bài toán.
+ Về kỹ năng:
- Biết cách vẽ đoạn thẳng nhận một đường thẳng cho trước là đường trung
trực của nó (với HS lớp 8, là kiến thức đối xứng trục);
- Nhận biết và trình bày chứng minh được tam giác cân, tam giác đều, tam
giác vng cân từ đó vận dụng để tính được số đo góc.
+ Về thái độ:
- Phát triển được trí lực qua hoạt động: vẽ hình, tìm tịi cách vẽ yếu tố phụ
(điểm, đường,...) hợp lý để giải một bài toán khi cần thiết.
A
150 300

B

E

C

+ Hoạt động dự đốn, tìm tịi lời giải:
- Từ số đo 300 gợi cho ta nghĩ đến các loại hình tam giác nào?
- Trong tam giác vng, cạnh đối diện với góc 300 thì như thế nào?
(bằng nửa cạnh huyền; kiến thức HS đã biết ở bài toán 4 trang 10)
13

- Kẻ CI ﾵ ﾵ EA tại I và lấy F trên tia CI sao cho CF = 2CI (= AC);  AFC?

- Dự đốn gì về các tam giác BFA, BFC?
+ Hoạt động giải tốn, trình bày bài giải:
- Chứng minh lần lượt:  AFC đều,  BFA cân tại F,  BFC vuông cân tại F.
A
F

150 300

I
B

E

C

Bài giải
Kẻ CI  EA tại I và lấy F trên tia CI sao cho CF = 2CI.
Xét  AIF,  AIC vng tại I, ta có: IF = IC, cạnh AI chung
�
� = 600 (vì EAC
�
�  AIF =  AIC (c.g.c) � AFC
= ACF
= 300, gt) �  AFC đều � AF = FC (1)
Chứng minh tương tự, ta cũng có  EIF =  EIC (c.g.c)
� EF = EC = EB (gt) �  BEF,  CEF cân tại E.

0 �
0
�
� = BFE
�
�
� BFC
+ EFC
= 180  BEF + 180  FEC
2
2

�
�
= 1800 – BEF  FEC = 1800 – 900 = 900 (2)
2
� =
� BF // EA (vì cùng vng góc với CF) � FBA
� – CAB
�
�
�
� = CAF
= BAE
= 150 = FAB
(vì FAB
= 150)
�  BFA cân tại F � BF = AF (3)

Từ (1), (2), (3) ta có  BFC vng cân tại F. Vậy:

�
�
�
= BCF
+ ACF
= 450 + 600 = 1050
BCA
+ Lưu ý:
- Vì đường trung bình đến lớp 8 HS mới được học nên bài giải không gọn
so với vận dụng kiến thức về đường trung bình và đối xứng trục (lớp 8).
- Khi HS học tính chất đường trung trực (§7. Chương III) thì HS vận dụng
có ngay AF = FC, EF = EC; không cần chứng minh tam giác bằng nhau.

Bài 7.
Cho  ABC, AK là phân giác trong; K thuộc BC. Biết rằng giao điểm
của các phân giác trong của  ABK cách đều ba điểm A, B, C.
Tính số đo các góc của  ABC.
* Tác dụng của bài tốn:
Bài toán này tùy theo thời điểm mà vận dụng trong luyện tập, ôn tập:
14


+ Về kiến thức: HS
Củng cố lại kiến thức qua luyện tập (hay ơn tập):
- Tính chất ba đường phân giác trong của tam giác;
- Tính số góc trong tam giác cân khi biết số đo một góc.
+ Về kỹ năng:
- Biết cách vẽ các phân giác trong của một tam giác;
- Biết tính tốn số đo góc trên nền tảng tam giác cân.
+ Về thái độ:

- Phát triển được trí lực qua hoạt động: vẽ hình, tìm tịi cách tính tốn trên
cơ sở phối hợp kiến thức được học.
B

O

A

K

C

Bài giải

Gọi O là giao điểm của các phân giác trong của  ABK �
O nằm trong  ABK và có OA = OB = OC (gt) �  AOB cân
tại O và  ABK cân tại K.
� = 2 BAK
� ; gt) = 2 ABC
�
�
� BAC
(vì AK là phân giác của BAC
�
�
�
Vì  AOB,  BOC cân tại O � BAC
= OAB
+ OAC
�

� = OCB
� + OCA
� = ACB
�
�  ABC cân tại B và
= OBC
+ OCA
�
�
�
�
5 ABC
= 1800 � ABC
= 360; BAC
= ACB
= 720.

+ GV xâu chuỗi, hệ thống lại qua các bài tập 5, 6, 7 để chốt hiểu biết cho HS:
* Bài tốn tính số đo góc với trình độ HS lớp 7
+ Cần nắm các loại tam giác có số đo góc xác định hoặc dễ dàng tính được số
đo các góc của nó khi biết số đo một góc, đó là:
gTam giác cân (có một góc đã biết số đo hoặc tính được số đo);
gTam giác vng cân, tam giác đều;
gTam giác vng có một góc 300 (hoặc có một cạnh góc vng bằng nửa
cạnh huyền)(nửa tam giác đều).
+ Có khi cần vẽ yếu tố phụ (điểm, đường song song, đường vng góc, tia...) để
phát hiện ra các loại hình tam giác nói trên và giúp ích được cho việc tìm tịi
ra lời giải. Việc vẽ yếu tố phụ hợp lý mới là cần thiết, do đó cần nhận xét các

15

số đo góc đã cho và phân tích kỹ mối quan hệ giữa các góc có trong bài
tốn.

.................................
* Bài tập về chứng minh tam giác cân, tam giác đều, tam giác vng cân
có sử dụng số đo góc, tính số đo góc.
Bài 8.
Cho tam giác đều ABC. Trên các cạnh AB, BC, CA lần lượt lấy điểm
M, N, E sao cho AM = BN = CE. Đoạn thẳng AN cắt CM tại P, cắt BE
tại Q và đoạn thẳng BE cắt CM tại R.
Chứng minh tam giác PQR là tam giác đều.
* Tác dụng của bài toán:
+ Về kiến thức: HS
- Củng cố kiến thức: góc ngồi của tam giác.
- Nắm lại các cách chứng minh, nhận biết tam giác đều.
+ Về kỹ năng:
- Vẽ hình bài tốn chính xác theo giả thiết đề bài;
- Biết vận dụng kiến thức góc ngồi của tam giác vào tính tốn số đo góc.
A
M P
E

Q
B

N

R

C

+ Hoạt động dự đốn, tìm tịi lời giải:
-  PQR là tam giác gì? (HS có thể dùng com pa đo các cạnh để dự đốn)
- Khó chứng minh được PQ = QR = PR.
� , QRP
� , QPR
�
- PQR
là góc ngồi của tam giác nào?
+ Hoạt động giải tốn, trình bày bài giải:
Sơ đồ phân tích
Bài giải
 MPQ đều
Vì  ABC đều (gt) nên ta có:
AB = BC = CA
�
0
� = QRP
� = 60
�
�
�
PQR
= BCE
= CAM
= 600
ABN
BN = CE = AM (gt)
�

� = ABQ
� + CBE
�
PQR
Vậy  ABN =  BCE =  CAM (c.g.c)
� = BCR
�
� + BAN
� + ACM
�
�
� PQR
QRP
= ABQ
(góc ngồi tại Q của  ABQ)
�
16


 ABN =  BCE =  CAM (c.g.c)

�

(Giả thiết)

� + CBE
�
�
= ABQ
= ABC

= 600
� = BCR
� + ACM
�
� = 600
Tương tự, QRP
= ACB
Vậy  MPQ là tam giác đều (đpcm).

Bài 9.
�
� = 600 . Tia phân giác của góc ACB
Cho  ABC có A
cắt AB tại N,
�
tia phân giác của góc ABC
cắt AC tại M.
Chứng minh tam giác MIN cân.
* Tác dụng của bài toán:
Bài toán này tùy theo thời điểm mà vận dụng trong luyện tập, ôn tập:
+ Về kiến thức: HS
Củng cố lại kiến thức qua bài tốn:
- Góc ngồi của tam giác; hai góc đối đỉnh;
- Tia phân giác của một góc;
- Đường phân giác của tam giác (khi HS đã học §5, §6. chương III).
+ Về kỹ năng:
- Vẽ hình bảo đảm góc 600 và các tia phân giác của các góc đã cho.
- Biết phối hợp kiến thức để tính số đo các góc có liên quan, nhằm chứng
minh được: góc bằng nhau, tam giác bằng nhau, đoạn thẳng bằng nhau.
A

N
M
I
B

P

C

+ Hoạt động dự đốn, tìm tịi lời giải:
� = ? NIB
� = MIC
�
� = 600 � BIC
-A
= ? Cần tính số đo các góc này?
� cắt BC tại P; chứng minh: IP = IM = IN.
- Kẻ tia phân giác của góc BIC
- Nhận biết các tam giác nào bằng nhau theo trường hợp g-c-g?
+ Hoạt động giải tốn, trình bày bài giải:
Sơ đồ phân tích
Bài giải
� , ACB
�
 MIN cân tại I
Vì BI, CI là tia phân giác của ABC
(gt)
�

IN = IM
�

0
�
�
�
� = 1800 – ABC  ACB = 1800 – 180  BAC
� BIC

2

2

� = MIC
�
= 120 � NIB
(đối đỉnh) = 600.
0

� cắt BC tại P, ta có:
Kẻ tia phân giác của góc BIC
17


IN = IP
IM = IP
�

� = BIP

� = MIC
�
� = PIC
= 600.
NIB

�  BNI =  BPI (g.c.g);  CPI =  CMI (g.c.g)
� IN = IM = IP �  MIN cân tại I (đpcm).

(Giả thiết)
+ Khai thác bài giải: (HS làm về nhà)
- Chứng minh  MNP là tam giác đều.
Bài 10.
Cho tam giác ABC nhọn, không là tam giác đều. Kẻ đường cao AH,
trung tuyến BM, phân giác trong CL, chúng lần lượt cắt nhau tạo thành
 PQR. Hỏi  PQR có là tam giác đều hay khơng?
* Tác dụng của bài tốn:
+ Về kiến thức:
HS củng cố lại các nền tảng kiến thức qua bài toán này:
- Các khái niệm đường cao, trung tuyến, đường phân giác của tam giác và
tính chất các đường này trong tam giác cân (chương III, Hình học 7);
- Tính chất tam giác vng: hai góc nhọn phụ nhau;
+ Về kỹ năng:
- HS vẽ chuẩn đường trung tuyến, đường phân giác của một tam giác;
- Làm quen với phương pháp phản chứng trong chứng minh một nội dung
hình học trên cơ sở suy luận có căn cứ, phối hợp vận dụng kiến thức.
A
L

M

Q
R

B H

P
C

+ Hoạt động dự đốn, tìm tịi lời giải:
- Giả sử  PRQ đều, kết hợp với giả thiết đề bài, ta suy ra được những gì?
+ Hoạt động giải tốn, trình bày bài giải:
Bài giải
Gọi R, Q thứ tự là giao điểm của AH và BM, CL và P
là giao điểm của BM, CL.
�
�
�
Giả sử  PRQ đều � HQC
= 600; HCQ
= MCP
= 300
� = 600 (đối đỉnh)
�
(vì CL là phân giác, gt) và MPC
= RPQ
� + MCP
�
� MPC
= 900 � BM là đường cao của  ABC.

18


�  ABC cân tại B vì có BM cũng là trung tuyến (gt)

� = 600, trái với giả thiết
và là tam giác đều vì có ACB
bài tốn. Vậy  PQR khơng là tam giác đều.

+ Khai thác bài tốn: (HS làm về nhà)
- Xét trường hợp tam giác ABC nhọn và với BM là đường cao, thì  PQR là
tam giác gì?
(Gợi ý, hướng dẫn:
�
� = 600.
�600; là tam giác đều nếu ACB
Tam giác cân tại R nếu ACB
* Bài tập về chứng minh các nội dung hình học trên nền kiến thức các loại
hình tam giác cân.
Bài 11.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên đoạn AB lấy điểm M và trên tia đối
của tia CA lấy điểm E sao cho CE = BM và kẻ đoạn ME cắt BC tại I.
Chứng minh I là trung điểm của ME.
* Tác dụng của bài tốn:
Ơn tập kiến thức chương II. Hình học 7.
+ Về kiến thức:
Củng cố cho học sinh các nền tảng kiến thức sau đây:
- Các góc tạo bởi một đường thẳng cắt hai đường thẳng;
- Tính chất của hai đường thẳng song song;
- Các trường hợp bằng nhau của tam giác;

- Tam giác cân (định nghĩa, tính chất).
+ Về kỹ năng:
- Vẽ hình bài tốn thuần thục và chính xác theo giả thiết đề bài;
- Biết phối hợp vận dụng kiến thức vào chứng minh đoạn thẳng bằng nhau
hay góc bằng nhau, tam giác bằng nhau, tam giác cân;
- Trình bày bài giải có căn cứ, vận dụng kiến thức chính xác.
+ Về thái độ:
Được bồi dưỡng các thao tác trí tuệ qua bài tốn; biết học chắc, làm chắc
trên cơ sở biết phối hợp vận dụng kiến thức trình bày .
A

M
B

I

C
E
19


+ Hoạt động dự đốn, tìm tịi lời giải:
- IM là một cạnh của tam giác nào? IC một là cạnh của tam giác nào?
-  IMB,  IEC không bằng nhau, đây là khó khăn gặp phải; do đó ta cần
tạo ra một tam giác mới có IM là 1 cạnh sao cho có thể chứng minh bằng
với  IEC bằng cách kẻ qua M một tia như thế nào (kẻ yếu tố phụ)?
+ Hoạt động giải tốn, trình bày bài giải:
- Kẻ tia Mx //AC cắt BC tại K, chứng minh  MKI =  ECI (g-c-g)
- Chứng minh tam giác BMK cân tại M.
A

M
B

K

I

C
E

Sơ đồ phân tích

IM = IE
�

Kẻ MK //AC; K �BC
 MKI =  ECI (g.c.g)
�

MK = MB = EC
�
�
= ECI
MKI
�
� = CEI
KMI
�

Bài giải
�
�
Kẻ tia Mx //AC cắt BC tại K, ta có MKB
= ACB
�
(hai góc đồng vị) = ABC
(vì  ABC cân tại A, gt)
�  BMK cân tại M � MK = MB = EC.
Xét  MKI và  ECI, ta có:
� (vì MK // AE; cặp góc so le trong)
�
= ECI
MKI
� ; MK = EC (chứng minh trên)
� = CEI
KMI
�  MKI =  ECI (g.c.g)
� IM = IE.
� I là trung điểm của ME. (đpcm)

(Giả thiết)
+ Khai thác bài giải bài tốn:
- Với HS lớp 8 có thể dùng kiến thức đường trung bình để giải bài tốn, bằng
cách kẻ My // BC cắt AC tại N.

Bài 12.
Cho tam giác ABC, AB = AC và có BD là phân giác trong, D thuộc AC.
Kẻ phân giác trong DM của  BDC, M thuộc BC. Trên tia đối của tia CB
lấy điểm E sao cho  BDE cân tại D và điểm N sao cho MN = 2BD.

Chứng minh DN  DM.
* Tác dụng của bài toán:
20


+ Về kiến thức: HS
Cũng cố lại kiến thức qua bài tốn:
- Góc ngồi của tam giác;
- Đường phân giác trong của tam giác.
+ Về kỹ năng:
- Vẽ chuẩn xác các phân giác trong của tam giác và đặt đoạn thẳng trên tia
biết độ dài theo giả thiết đề bài.
- Biết phối hợp vận dụng kiến thức vào chứng minh đường thẳng vng
góc với nhau trên cơ sở nhận biết các tam giác cân từ giả thiết đề bài.
A

D

B

M

C

E

N

+ Hoạt động dự đốn, tìm tịi lời giải:
�

- DN  DM khi MDN
= 900?
- Hãy chứng minh  MDE,  DEN cân tại E từ các điều kiện đã cho?
+ Hoạt động giải tốn, trình bày bài giải:
Sơ đồ phân tích
DN  DM
�
�
MDN = 900
�
� = 900
�
MDE + EDN
�
 MDE cân tại E
 EDN cân tại E

�

(Giả thiết)

Bài giải
Vì  ABC cân tại A,  BDE cân tại D (gt) nên:
�
�
�
= ABC
= 2 DBE
(vì BD là phân giác trong
DCB

�
�
�
�
của  ABC) = 2 DEB
= DEB
+ CDE
(vì DCB
là
� = CDE
�
góc ngồi tại C của  CDE) � DEC
�
� = MDB
�
�
� = DME
�
� MDE
= MDC
+ CDE
+ DBE
�
(DM là phân giác trong của  BDC; DME
là góc
ngồi tại M của  BDM) �  MDE cân tại E.
� MN = 2BD = 2DE (gt) = 2ME = ME + EN
� DE = EN �  EDN cân tại E.
0
�

�
�
�
Vậy: MDN
= MDE
+ EDN
= 180  DEM +
2

�
�
�
1800  DEN
= 1800 – DEM  DEN = 900

2

� DN  DM (đpcm).

2

1.3. Bài tập dạy cho HS giỏi. Bồi dưỡng, phát huy năng lực HS giỏi.
21


Bài 13.
Cho tam giác ABC vuông cân tại B và M là một điểm nằm trong  ABC
MA
MB
MC

�
thỏa mãn điều kiện 1 = 2 = 3 . Tính góc AMB
.

* Tác dụng của bài toán:
- Đánh giá được mức độ HSG, năng lực phối hợp vận dụng kiến thức: tam
giác bằng nhau; tam giác vuông cân; định lý Pytago qua trình bày bài giải.
- Phát huy trí lực, bồi dưỡng năng lực giải tốn hình học cho HSG.
B

M

A

C

+ Hoạt động vẽ hình và dự đốn:
�
�
Dự đốn số đo AMB
? (với thước đo góc). Phải chăng AMB
= 1350?
+ Hoạt động tìm tịi đường hướng giải, trình bày bài giải:
- Có 1350 = 900 + 450 và 900, 450 là số đo các góc ở loại tam giác nào?
- Phối hợp hiểu biết về kiến thức và kỹ năng nào để giải được bài tốn?
B
K
x
M

A

C

Bài giải
Về nửa mặt phẳng bờ BC khơng chứa điểm M vẽ tia Bx sao cho
�
và trên Bx xác định điểm K sao cho BK = BM. (1)
x�BC = MBA
Ta có: BC = BA
(vì  ABC cân tại B, gt)
�
�
(theo (1))
KBC = MBA
BK = BM
(do (1))
Vậy:  BKC =  BMA (c-g-c)
Đặt độ dài MA = a. Từ giả thiết đề bài ta có: MB = 2a, MC = 3a.
Từ  BKC =  BMA ta có: BM = BK = 2a, MA = KC = a, và
�
�
�
�
�
= MBC
+ CBK
= MBC
+ ABM
= 900

MBK
�  MBK vuông cân tại B
� MK2 = BM2 + BK2 = 8a2
� MK2 + KC2 = 8a2 + a2 = 9a2 = MC2
22


�  MKC vng tại K.
�
�
Vì M nằm trong  ABC vuông cân, MA < MB � MBA
< MAB
< 450
�
�
�
� CKB
= AMB
> 900 > MKB
và KC, KM cùng thuộc một nửa mặt
phẳng bờ chứa tia KB � tia KM nằm giữa hai tia KC, KB.
�
�
�
�
Vậy AMB
= CKB
= CKM
+ MKB
= 900 + 450 = 1350.

+ Khai thác thông hiểu nội dung bài giải của HS. Đưa ra bài toán khác trên nền
vận dụng kết quả bài giải để phát huy thêm năng lực của diện học sinh này.
- Từ kết quả bài toán ta suy ra ba điểm A, M, K như thế nào?
- Trình bày cá nhân bài giải bài tốn dưới đây:
Cho tam giác ABC vng cân tại B và M là một điểm nằm trong  ABC
MA

MB

MC

thỏa mãn điều kiện 1 = 2 = 3 . Về nửa mặt phẳng bờ BC không
�
chứa điểm M vẽ tia Bx sao cho MBx
= 900 và trên tia Bx lấy điểm K sao
cho BK = BM. Chứng minh ba điểm A, M, K thẳng hàng.

Bài 14.
� = 750 và một điểm M thuộc cạnh BC sao cho  AMB
Cho  ABC có A
� của  ABC.
�, C
và  AMC là các tam giác cân. Tính số đo các góc B
* Tác dụng của bài toán:
- Giúp HS tránh được “bệnh hời hợt”, duy ý chí trong giải tốn hình học.
Trước khi giải một bài tốn, phải phân tích kỹ giả thiết đề bài, xem xét các
khả năng có thể có căn cứ vào giả thiết đã cho trước khi vẽ hình giải tốn.
- Hình thành và luyện tập cho HS tư duy phản biện, kỹ năng lập luận phản
chứng, kỹ năng phân tích loại suy, biết bác bỏ các khả năng khơng thể xảy

ra trên cơ sở phân tích và vận dụng giả thiết đề bài.
+ Về kiến thức:
Củng cố cho HS qua bài toán các nền tảng kiến thức sau:
- Ba điểm thẳng hàng, điểm nằm giữa hai điểm.
- Tổng ba góc của tam giác.
- Tam giác cân.
- Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện trong tam giác.
+ Về kỹ năng:
- Biết suy xét giả thiết đề bài, biết vận dụng kiến thức vào suy luận để loại
bỏ các trường hợp không thể xảy ra bằng lập luận phản chứng, loại suy.
- Tính được số đo các góc của  ABC trong từng trường hợp có được.
23


+ Khó khăn gặp phải và sai lầm của HS khi làm bài tốn này:
- Khó xác định  AMB và  AMC là cân tại đỉnh nào theo giả thiết đề bài.
- Hời hợt, “tự cho” trong nhìn nhận giả thiết đề bài nên vẽ hình khơng xét
đủ hết các trường hợp xảy ra theo giả thiết bài toán.
+ Hoạt động giải tốn, trình bày bài giải:
* Bồi dưỡng, phát huy trí lực HSG qua hoạt động phân tích:
+ Phân tích giả thiết đề bài, nắm được:
� = 750 (1);
B, M, C thẳng hàng (2);
A

M nằm giữa B, C (3).

+ Suy xét hết các khả năng có thể xảy ra:
(9 khả năng)
A

A
 AMB cân tại
 AMC cân tại
M
M
B
C
+ Xét lần lượt các khả năng, loại bỏ các trường hợp khơng thể có:
-  AMB và  AMC khơng thể cùng cân tại A?
�
�
Vì nếu vậy thì: AMB
< 900, AMC
< 900 (góc đáy của tam giác cân)
�
�
� AMB
+ AMC
< 1800, trái với giả thiết B, M, C thẳng hàng.
�
�
- Cũng do từ kết luận AMB
+ AMC
< 1800 ta khẳng định:
+ Không thể  AMB cân tại B và  AMC cân tại A
+ Không thể  AMB cân tại A và  AMC cân tại C

-  AMB và  AMC khơng thể cùng cân tại M?
�
�

Vì nếu vậy thì ta có CAB
= 900, trái với giả thiết CAB
= 750.
- Không thể  AMB cân tại B và  AMC cân tại C?
�
�
�
�
�
�
�
� AMC
Nếu có thì: MAB
= AMB
, CAM
= AMC
+ AMB
= CAM
�
�
+ MAB
= CAB
= 750 < 1800, trái với giả thiết B, M, C thẳng hàng.
- Vậy theo giả thiết đề bài chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau đây:
1)  AMB cân tại M và  AMC cân tại A.
2)  AMB cân tại M và  AMC cân tại C.
3)  AMB cân tại A và  AMC cân tại M.
4)  AMB cân tại B và  AMC cân tại M.
� của  ABC theo các
�, C

* HS trình bày bài giải, tính tốn số đo góc B
trường hợp đã xác định được, vẽ hình giải toán.

Bài giải
� = 750 và B, M, C thẳng hàng nên ta có:
Vì  ABC có A
-  AMB và  AMC khơng thể cùng cân tại A, vì nếu vậy thì:
�
�
< 900 và AMC
< 900 (góc đáy trong tam giác cân)
AMB
24


�
�
� AMB
+ AMC
< 1800, trái với giả thiết B, M, C thẳng hàng.
�
�
Cũng vận dụng kết luận AMB
+ AMC
< 1800 ta khẳng định:
- Khơng thể có  AMB cân tại B và  AMC cân tại A.
- Khơng thể có  AMB cân tại A và  AMC cân tại C.

-  AMB và  AMC không thể cùng cân tại M, vì nếu vậy thì:
1

1
�
�
�
�
�
= CAM
+ MAB
= 2 (1800  CMA ) + 2 (1800  AMB)
CAB
�
�
�
= 1800 – CMA  AMB = 900, trái với giả thiết CAB
= 750.
2

- Khơng thể có  AMB cân tại B và  AMC cân tại C, vì nếu vậy
�
�
�
�
�
�
�
�
� AMB
thì: MAB
= AMB
, CAM

= AMC
+ AMC
= MAB
+ CAM
�
= CAB
= 750 < 1800, trái với giả thiết B, M, C thẳng hàng.
Vậy theo đề bài ta có:
A

Trường hợp 1) C
Trường hợp 3) (B)

A

M

B
(C)

Trường hợp 2)
Trường hợp 4)

C
(B)

M

B
(C)

- Trường hợp  AMB cân tại M và  AMC cân tại A. (Trường hợp 1)
� = AMC
�
�
� = 2B
�
Ta có: C
= MAB
+B
� = 700
� = (1800 – 750) : 3 = 350 và C
� B
- Trường hợp  AMB cân tại M và  AMC cân tại C. (Trường hợp 2)
�
�
�
� = 2B
� � 3B
� = 750
Ta có: CAM
= AMC
= MAB
+B
� = 1800 – (750 + 250) = 800
� = 250 và C
� B
- Trường hợp  AMB cân tại A và  AMC cân tại M. (Trường hợp 3)
� = 350.
� = 700 và C

Tương tự trường hợp 1, ta có: B
- Trường hợp  AMB cân tại B và  AMC cân tại M. (Trường hợp 4)
� = 250.
� = 800 và C
Tương tự trường hợp 2, ta có: B
+ Nhận xét, khai thác kết quả:
� là như nhau theo giả thiết đề bài nên bài giải cần
� và C
- Vai trò các góc B
phải trình bày đủ 4 trường hợp đã nêu.
� = AMC
�
- Xét trường hợp 1, ta có: C
< 900 (góc đáy tam giác cân)
�
� AMB
> 900 � AB > AM = AC. Như vậy:
Nếu đề bài cho thêm điều kiện AB > AC thì khơng có trường hợp 3, 4.
Nếu đề bài cho thêm điều kiện AB < AC thì khơng có trường hợp 1, 2.
25