Bài giảng Các phương pháp số: Chương 1 - Trường ĐH Kiến Trúc Hà Nội

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC HÀ NỘI
KHOA XÂY DỰNG
BỘ MÔN SỨC BỀN – CƠ HỌC KẾT CẤU
-------***-------

BÀI GIẢNG MÔN HỌC

CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ

HÀ NỘI 2-2017
1


CÁC PHƯƠNG PHÁP SỚ

Nợi dung mơn học
Chương 1: Chương mở đầu
Chương 2: Phương pháp sai phân hữu hạn

Chương 3: Phương pháp phần tử hữu hạn (mô hình chuyển
vị)

Chương 4: Áp dụng phương pháp phần tử hữu hạn (mô hình
chuyển vị) cho bài toán hệ thanh.
2


CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ – CHƯƠNG MỞ ĐẦU

Khái niệm về tính toán kết cấu
XÁC ĐỊNH SƠ ĐỒ

TÍNH, TẢI TRỌNG

XÁC ĐỊNH

TÍNH TOÁN KẾT
CẤU(TÍNH NỘI
LỰC, CHUYỂN VỊ)

THIẾT KẾ

THI CÔNG
3


CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ – CHƯƠNG MỞ ĐẦU

KHÁI NIỆM VỀ TÍNH TOÁN KẾT CẤU

Một vật thể khi chịu tác dụng của các nguyên nhân bên ngoài (tải
trọng, chuyển vị cưỡng bức tại các gối tựa, nhiệt độ …) thì trong
vật thể :
- Xuất hiện các ứng suất (nội lực)
- Biến dạng (thẳng, xoay)
- Chuyển vị
 Tính toán kết cấu: xác định các giá trị biến dạng, chuyển vị, ứng
suất (nội lực) của vật thể chịu tác động của các nguyên nhân bên

ngoài.
4

CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ – CHƯƠNG MỞ ĐẦU

CÁC BƯỚC TÍNH TOÁN KẾT CẤU

 Xây dựng bài tốn:
• Xác định ẩn sớ của bài toán
• Thiết lập các phương trình, bất phương trình, các liên hệ giữa

các ẩn số, các liên hệ với các đại lượng biểu thị tính chất cơ lý
của vật liệu.
 Giải bài tốn:
• Giải các hệ phương trình, hệ bất phương trình để có được các
giá trị biến dạng, chuyển vị, ứng suất và nội lực.
5


CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ – CHƯƠNG MỞ ĐẦU
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CƠ HỌC
VẬT RẮN BIẾN DẠNG

CÁC PHƯƠNG
PHÁP SỐ

CÁC PHƯƠNG
PHÁP GIẢI TÍCH

CÁC PP
CHÍNH
XÁC

CÁC PP
GẦN
ĐÚNG

PP
PHẦN
TỬ BIÊN

PP SAI
PHÂN
HỮU
HẠN

PP
PHẦN
TỬ HỮU
HẠN

6


CÁC PHƯƠNG PHÁP SỐ – CHƯƠNG MỞ ĐẦU

CHƯƠNG 1: CHƯƠNG MỞ ĐẦU

1.1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ
1.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT
ĐÀN HỒI DƯỚI DẠNG MA TRẬN
1.3. NGUYÊN LÝ DỪNG THẾ NĂNG TOÀN PHẦN

7


1.1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP SỚ

• Khái niệm về PPS: là các PP thay thế việc trình bày nghiệm

của bài toán dưới dạng các hàm cổ điển bằng mợt tập hợp
sớ.
• Nghiệm được xác định tại mợt sớ hữu hạn các điểm của vật
thể, hay nói khác đi nghiệm được mô tả theo một tập hợp
số, các điểm còn lại xác định bằng cách nơi suy.

• Thay thế cho các hàm nghiệm liên tục (giải tích), chỉ xác
định những giá trị rời rạc của nó nên phương pháp số còn
được gọi là phương pháp rời rạc hóa.
8


1.1. CÁC KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG PHÁP SỐ
CÁC PHƯƠNG PHÁP RỜI RẠC HÓA

RỜI RẠC HÓA TOÁN HỌC

Rời rạc hóa các phương
trình
Phương trình thỏa mãn tại

một

số

điểm

tự

chọn.

Nghiệm là tập hợp các giá trị
của ẩn tại các điểm tự chọn.
PP sai phân hữu hạn

RỜI RẠC HÓA VẬT LÝ
Rời rạc hóa các mô hình vật
thể.
Vật liên tục thay thế bằng hữu

hạn các phần tử rời rạc nối
với nhau tại các nút.
Nghiệm là tập hợp các giá trị

của ẩn tại các nút.
PP phần tử hữu hạn
9


1.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT
ĐÀN HỒI DƯỚI DẠNG MA TRẬN

CÁC MỐI LIÊN HỆ TRONG LÝ THUYẾT ĐÀN HỜI TÚN TÍNH

• CHỦN VỊ – BIẾN DẠNG
• BIẾN DẠNG – ỨNG SUẤT
• ỨNG SUẤT – TẢI TRỌNG

10


1.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT
ĐÀN HỒI DƯỚI DẠNG MA TRẬN

• Trạng thái ứng suất tại một điểm

  x

y

z

xy

yz

zx 

T

• Trạng thái biến dạng tại một điểm

  x

y

z

 xy

 yz

 zx 

T

• Chuyển vị tại một điểm

u  u

v

w

T

11


1.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN TRONG LÝ THUYẾT
ĐÀN HỒI DƯỚI DẠNG MA TRẬN

Đại lượng
cần tìm

Bài toán 3 chiều

Chuyển vị u


Biến dạng 

ứng śt

Tổng sớ ẩn

x y

Bài tốn
2 chiều

u v w
z xy yz zx

x y z

 xy

15

 yz

 zx

x

uv
 y xy

x y

8

 xy

Bài toán
1 chiều
u
x

x
3

12


1.2.1. CÁC PHƯƠNG TRÌNH BIẾN DẠNG – CHUYỂN VỊ
PHƯƠNG TRÌNH HÌNH HỌC

a) Bài toán 3 chiều
u
x  ;

x
v
y  ;
y
z 

w
;
z

 xy
 yz

  x   / x
0
0 
  
 / y
0 
 y  0
u 
    0
0
 / z   
z

  
v 

/


y

/

x
0
 xy  
 w 
   0
 / z  / y   
yz
  


/

z
0

/

x

  zx  

v u


x y

w v


y z

 zx 

   u
b) Bài tốn 2 chiều

c) Bài toán mợt chiều

u w

z x

 : ma trận các toán tử vi phân
  x   / x
0 
  
 u 


0

/

y
 y 
 v 

   / y  / x   

  xy  

x 

u
x

13


1.2.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH ỨNG SUẤT - BIẾN DẠNG
ĐỊNH LUẬT HÚC

a) Bài toán 3 chiều
1
 x  v   y   z   ;

E
1
 y   y  v   x   z   ;
E
1
 z   z  v   y   x   ;
E
x 

1
 xy

G
1
  yz
G
1
  zx
G

 xy 
 yz
 zx

G - môđun đàn hồi trượt

E - môđun đàn hồi dọc trục
v - hệ số Poisson

 x 
0
0
0   x 
 1 v v
 
 
 v 1 v

0
0
0  y 
 y


   1  v v 1
0
0
0   z 
z
 
   
0
0
0
2
1

v
0
0
E



  xy 
 xy 
0
 
0
0
0
2 1  v 
0    yz 

yz

 
 
0
0
0
0
2 1  v     
 0
  zx 
 zx 

  D

1



  D.

14


1.2.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH ỨNG SUẤT - BIẾN DẠNG
ĐỊNH LUẬT HÚC

là ma trận đàn hồi, chứa các đặc trưng đàn hồi của kết cấu

1  2v 


 2v
 2v
E

D 
2 1  v 1  2v   0
 0

 0

2v

2v

0

0

1  2v 

2v

0

0

2v

1  2v 

0

0

0

0

1  2v 

0

0

0

0

1  2v 

0

0

0

0




0 
0 

0 
0 

1  2v 
0

15


1.2.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH ỨNG SUẤT - BIẾN DẠNG
ĐỊNH LUẬT HÚC

b) Bài toán 2 chiều
• Trạng thái phẳng về ứng suất: vật thể có dạng tấm có chiều dầy nhỏ so với kích
thước của 2 chiều cịn lại và tải trọng trong mặt phẳng của tấm.
Kí hiệu xOy là hệ trục nằm trong mặt phẳng của tấm và Oz là trục vng góc với
mặt đó. Thừa nhận các giả thiết dưới đây với ứng suất:

z  zx  zy  0
1
 x  v y 
E
1
 y   y  v x 
E
2 1  v 

1
 xy   yx 
xy   xy
E
G

x 

 x 
 
E
 y  
2
  2 1 v
xy 





 x 
 1 v
0   x 
  1
 



v
1

0
 y
 y 


  E  0 0 2 1  v    

 xy 
  xy 
 zx   zy  0
z  

v
v
x  y  

 x  y 
E
1 v

0   x 
 2 2v
 
2v 2

0    y   D

 0 0 1  v    
 xy 

D 

E
2 1 v2





0 
 2 2v
2v 2

0


 0 0 1  v 
16


1.2.2. CÁC PHƯƠNG TRÌNH ỨNG SUẤT - BIẾN DẠNG
ĐỊNH LUẬT HÚC

b) Bài toán 2 chiều
• Trạng thái phẳng về biến dạng : vật thể có tiết diện ngang khơng đổi và chiều
dài lớn so với kích thước của 2 chiều cịn lại, tải trọng tác dụng vng góc với
trục dài của vật thể.
Gọi xOy là hệ trục song song với mặt phẳng của tiết diện ngang. Thừa nhận các
giả thiết sau:
u v

w  0;

 x 
1  v v 0    x 
  1 v 
 

 y  
 v 1  v 0    y 
E
 
 0
  
0
2

 xy 
 xy 

z



z

 0;

 z   zx   zy  0

 x 
2 1  v 
2v
0   x 
 
E

 


2v
2
1

v
0


 y
 y 


2
1

v
1

2v
 

 0
 
0
1  2v    xy 


xy
 
 

2 1  v 
2v
0 


2v
2
1

v
0


D 

2 1  v 1  2v  
 0
0
1  2v 


E

zx  zy  0;

z  v   x   y 

c) Bài toán 1 chiều
x 

1
x   x  E. x
E

17


1.2.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ỨNG SUẤT – TẢI TRỌNG

a) Bài toán 3 chiều
y

y +(jy /jy)dy
yx +(jyx /jy)dy zx z
yz+(jyz /jy)dy
zy
xy +(jxy /jx)dx
x+(jx /jx)dx
zy +(jzy /jz)dz
xz +(jxz /jx)dx
zx +(jzx /jz)dz

z+(jz /jz)dz

xz
x
dy

xy

yx
z

Phương trình cân bằng theo 3 trục x, y, z

yz
y

dx

     0
T

 x xy xz


 x  0
x
y
z
yx
x

x



 y
y



yz
z

 y  0

zx zy z


 z  0
x
y
z

dz

 x 
 
 y
0
0

 / y
0
 / z     x  0 
 / x
 z     
 0

 / y
0
 / x  / z
0      y   0 

 xy
 0
0
 / z
0
 / y  / x    z  0 
 
 yz 
 zx 

ma trận các toán tử vi phân
18


1.2.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ỨNG SUẤT – TẢI TRỌNG

Phương trình cân bằng trên bề mặt – điều kiện biên tĩnh học
l x  mxy  n xz  qx

lyx  m y  nyz  qy
lzx  mzy  nz  qz

l, m, n - các cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài
của mặt vật thể đàn hồi tại điểm đang xét;
qx , qy , qz - các thành phần ngoại lực theo 3 trục x, y, z
tác dụng trên một đơn vị diện tích mặt ngoài của vật thể đàn hồi.

 x 
 
 y  
qx
 l 0 0 m 0 n  

 0 m 0 l n 0   z   q 

  xy   y 
0 0 n 0 m l    q 
   z 
 yz 
 zx 

L.  q

L  - ma trận cosin chỉ phương của pháp tuyến
ngoài của mặt vật thể đàn hồi
19


1.2.3. CÁC PHƯƠNG TRÌNH CÂN BẰNG ỨNG SUẤT – TẢI TRỌNG

b) Bài toán 2 chiều
Phương trình cân bằng
 x  xy

 x  0
x
y
 yx
x



 y
y

 y  0

 x 
0
 / y    x  0 
 / x
 0
   y      0 

/

y

/


x

   y  
xy 

Điều kiện biên tĩnh học

l x  mxy  qx
lyx  m y  qy

 x 
 l 0 m     qx 
0 m l    y    q 

   y
xy 

c) Bài toán 1 chiều

x
 x  0
x

20


1.2.4. CÁC PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG THÍCH

a) Bài toán 3 chiều

2
2
 2 x   y   xy
 2 
2
y
x
xy

 2 y

2
 2  z   yz
 2 
2
z
y
zy

 2 z  2 x  2  zx
 2 
2
x
z
xz
 2  x 1    xy  yz  zx 






yz 2 x  z
x
y 
 2  y 1    yz  zx  xy 





xz 2 y  x
y
z 
 2  z 1    zx  xy  yz 





yx 2 z  y
z
x 

b) Bài toán 2 chiều
2
2
 2 x   y   xy
 2 
2
y

x
xy

21


1.3. NGUYÊN LÝ DỪNG THẾ NĂNG TOÀN PHẦN
y

Vật thể đàn hồi V
Diện tích mặt chịu tải Sb

(Xb,Yb,Zb)

(X,Y,Z)

Diện tích bề mặt có điều kiện biên Sn
Lực thể tích trên 1 đơn vị thể tích

x

  X

Sn
Sb

V

q  Xb

Vectơ chuyển vị: u  u v w

T

Vectơ biến dạng:

T

Lực bề mặt trên 1 đơn vị diện tích

z

Vectơ ứng suất:

Y Z

  x

   x

y

z

y

z

xy

 xy

yz

zx 

 yz

 zx 

Yb

Zb 

T

T

T

Công ngoại lực trên các chuyển dời {u}:
W   u dV   u q dS    Xu  Yv  Zw  dV    Xbu  Yb v  Zb w  dS
T

V

T

S

V

S

22


1.3. NGUYÊN LÝ DỪNG THẾ NĂNG TOÀN PHẦN

Thế năng biến dạng đàn hồi:
Thế năng toàn phần của hệ:

1
T
U     dV
2V
=U-W

Nguyên lý dừng thế năng toàn phần

Trong tất cả các trường chuyển vị (trạng thái chuyển vị) khả dĩ động (tức
thoả mãn các điều kiện tương thích và điều kiện biên động học); trường
chuyển vị thực (tức trường chuyển vị tương ứng với sự cân bằng của vật

thể) sẽ ứng với thế năng toàn phần  của hệ đạt giá trị dừng.

({u}) =  U({u}) - W({u}) = 0
23