6 Điểm Kỳ Diệu & Sự đa dạng của Định lý Pascal

6 Điểm Kỳ Diệu & Sự đa dạng của Định lý Pascal
I Định lý lục giác (6 Điểm) của Pascal
Định lý lục giác kỳ diệu của Pascal nói rằng nếu
chúng ta vẽ một hình lục giác nội tiếp một đường tròn
thì ba cặp cạnh đối diện của hình lục giác cắt nhau
tại ba điểm thẳng hàng.
Nhà toán học Pascal khám phá ra định lý lục giác này
khi ông chỉ mới 16 tuổi. Ông xuất bản công trình của
mình với nhan đề "Tiểu luận về các đường cônic".
Dưới đây là hình chụp của một bản sao lưu trữ tại Thư viện Quốc gia Pháp.
Nằm ở phía trên cùng của tờ "tiểu luận", các bạn có thể nhận ra hình vẽ của định lý
lục giác. Hình lục giác đó là PQVONK.
Cặp cạnh đối diện thứ nhất, PK và VO, cắt nhau tại điểm M.
Cặp cạnh đối diện thứ hai, KN và QV,
cắt nhau tại S.
Do đó, cặp cạnh đối diện thứ
ba, PQ và NO, phải cắt nhau tại một
điểm nằm trên đường thẳng MS.
Hay nói cách khác là ba đường
thẳng MS, NO và PQ phải đồng quy.
1
II Sự đa dạng của định lý Pascal
1/ Sáu đỉnh của hình lục giác trên đường tròn
Định lý Pascal có rất nhiều dạng cấu hình. Sáu đỉnh của hình lục giác không nhất
thiết phải nằm cùng một thứ tự nhất định trên đường tròn mà có thể nằm theo thứ tự
tùy ý. Vì vậy, với mỗi thứ tự sắp xếp của các đỉnh, chúng ta lại có một dạng cấu hình
khác nhau cho định lý Pascal. Nhờ sự đa dạng này mà Pascal đã tìm ra được hàng
trăm hệ quả cho định lý này.
Bây giờ, xin mời các bạn vẽ thật nhiều hình vẽ khác nhau cho định lý Pascal.
Các bạn lấy sáu điểm bất kỳ trên đường tròn:
1, 2, 3, 4, 5, 6.

Sau đó lấy giao điểm của ba cặp đường
thẳng {12,45}, {23,56}, {34,61}, rồi nối các giao
điểm này lại thành một đường thẳng. Sau khi vẽ
xong, các bạn hãy chọn cho mình một hình vẽ mà
mình yêu thích nhất.
Sau đây là một vài ví dụ:
2
2/Định lý Pascal cho các đường conic
Ở phần trên, chúng ta phát biểu Định lý Pascal cho đường tròn. Nhưng định lý
Pascal thú vị ở chỗ là nó đúng cho tất cả các đường cônic. Có nghĩa là nếu các bạn
thay đường tròn bởi đường elíp, đường parabol, hay đường hypebol, thì định lý vẫn
đúng. Ba giao điểm vẫn thẳng hàng! Các bạn có thấy kỳ diệu không?!
Mời tham khảo tiếp
3
Đây là ví dụ cho đường elíp Đây là đường parabol:
Còn đây là đường hypebol:
Khi đường cônic bị thoái hóa thành hai đường
thẳng như hình dưới đây thì định lý Pascal trở
thành Định lý Pappus.