76 đề thi học sinh giỏi toán 11 chính thức các năm 2019 2020 2021

BỘ 76 Đ THI H C SINH GI I CHÍNH TH C
MƠN TỐN L P 11
NĂM 2019-2020-2021


1. Đề HSG Toán 11 năm 2020 – 2021 cụm THPT huyện Yên Dũng – Bắc Giang
2. Đề thi học sinh giỏi Toán 11 năm 2020 – 2021 trường THPT Đơng Hà – Quảng Trị
3. Đề học sinh giỏi Tốn 11 năm 2020 – 2021 trường THPT Minh Châu – Hưng Yên
4. Đề thi HSG Toán 11 năm 2020 – 2021 trường THPT Lưu Hoàng – Hà Nội
5. Đề thi học sinh giỏi Toán 11 cấp tỉnh năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Cà Mau
6. Đề Olympic 30 tháng 4 Toán 11 năm 2021 trường chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM
7. Đề Olympic tháng 4 Toán 11 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT TP Hồ Chí Minh
8. Đề thi Olympic 24-3 Toán 11 năm 2021 sở GD&ĐT Quảng Nam
9. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 11 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Ngãi
10.Đề thi chọn HSG tỉnh Tốn 11 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Quảng Bình (Vịng 1)
11.Đề thi chọn HSG Tốn 11 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
12.Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 11 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bắc Ninh
13.Đề thi HSG Toán 11 lần 2 năm 2020 – 2021 trường THPT Đồng Đậu – Vĩnh Phúc
14.Đề Olympic Toán 11 năm 2020 – 2021 liên cụm trường THPT – Hà Nội
15.Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bình Định
16.Đề thi HSG Tốn 11 cấp trường năm 2020 – 2021 trường Liễn Sơn – Vĩnh Phúc
17.Đề học sinh giỏi Toán 11 năm 2020 – 2021 trường Phùng Khắc Khoan – Hà Nội
18.Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 11 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Hà Tĩnh
19.Đề Olympic 27 tháng 4 Toán 11 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu
20.Đề HSG cấp trường Toán 11 năm 2020 – 2021 trường Yên Phong 2 – Bắc Ninh
21.Đề thi HSG cấp trường Toán 11 năm 2020 – 2021 trường Cẩm Xuyên – Hà Tĩnh
22.Đề chọn HSG Tốn 11 vịng 1 năm 2020 – 2021 trường THPT Trần Nguyên Hãn – Hải Phịng
23.Đề khảo sát học sinh giỏi Tốn 11 năm 2020 – 2021 trường THPT Quế Võ 1 – Bắc Ninh
24.Đề thi chọn HSG Tốn 11 vịng 1 năm học 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bình Dương
25.Đề thi Olympic Tốn 11 năm học 2019 – 2020 cụm Sóc Sơn – Mê Linh – Hà Nội

26.Đề thi chọn HSG Toán 11 năm học 2019 – 2020 trường THPT thị xã Quảng Trị
27.Đề thi chọn HSG Toán 11 năm 2019 – 2020 trường chun Lê Q Đơn – BR VT
28.Đề chọn HSG Tốn 11 cấp trường năm 2019 – 2020 trường THPT chuyên Vĩnh Phúc
29.Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Thái Nguyên
30.Đề giao lưu HSG Toán 11 cấp tỉnh năm 2019 – 2020 cụm Gia Bình – Lương Tài – Bắc Ninh
31.Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Bình Định
32.Đề HSG Tốn 11 cấp trường năm 2019 – 2020 trường Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh
33.Đề thi Olympic Toán 11 năm 2019 – 2020 trường THPT Mỹ Đức A – Hà Nội
34.Đề thi HSG Toán 11 lần 2 năm 2019 – 2020 cụm trường THPT Thanh Chương – Nghệ An
35.Đề giao lưu HSG tỉnh Toán 11 năm 2019 – 2020 trường Bá Thước – Thanh Hóa
36.Đề thi chọn HSG Toán 11 năm học 2019 – 2020 cụm Tân Yên – Bắc Giang
37.Đề thi thử HSG tỉnh Toán 11 năm 2019 – 2020 trường Nguyễn Duy Trinh – Nghệ An
38.Đề thi HSG Toán 11 năm 2019 – 2020 trường THPT Nguyễn Xuân Ôn – Nghệ An
39.Đề thi HSG Toán 11 năm 2019 – 2020 trường Nguyễn Quán Nho – Thanh Hóa
40.Đề thi Olympic Tốn 11 năm 2019 – 2020 trường Lý Thánh Tông – Hà Nội
41.Đề khảo sát HSG Toán 11 lần 1 năm 2019 – 2020 trường Hậu Lộc 4 – Thanh Hóa
42.Đề thi chọn HSG Tốn 11 năm 2018 – 2019 trường Nho Quan A – Ninh Bình

Trang 1


43.Đề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Nguyễn Đức Cảnh – Thái Bình
44.Đề thi HSG Tốn 11 năm 2019 cụm trường THPT chuyên DH&ĐB Bắc Bộ
45.Đề thi chọn HSG Toán 11 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Vĩnh Phúc
46.Đề thi chọn HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường THPT Thị xã Quảng Trị
47.Đề Olympic Tốn 11 năm 2019 cụm trường THPT Hà Đơng – Hồi Đức – Hà Nội
48.Đề thi chọn HSG Tốn THPT cấp tỉnh năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Phú Yên
49.Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Quảng Ngãi
50.Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Thanh Hóa
51.Đề thi học sinh giỏi Tốn 11 năm học 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

52.Đề thi HSG tỉnh Toán 11 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Nghệ An (Bảng A)
53.Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 11 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bắc Ninh
54.Đề học sinh giỏi Toán 11 cấp trường năm 2018 – 2019 trường Lưu Hoàng – Hà Nội
55.Đề thi học sinh giỏi Toán 11 THPT năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Hà Nam
56.Đề KSCL đội tuyển HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc
57.Đề Olympic Toán 11 năm 2019 cụm THPT Thanh Xuân & Cầu Giấy & Thường Tín – Hà Nội
58.Đề thi Olympic Tốn 11 năm 2018 – 2019 trường THPT Kim Liên – Hà Nội
59.Đề thi Olympic 10-3 Toán 11 năm 2019 lần 4 trường chuyên Nguyễn Du – Đăk Lăk
60.Đề thi HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Phùng Khắc Khoan – Hà Nội
61.Đề thi HSG Toán 11 cấp trường năm 2018 – 2019 trường Thuận Thành 2 – Bắc Ninh
62.Đề kiểm tra chất lượng đội tuyển Toán 11 năm 2018 – 2019 trường THPT Hậu Lộc 4 – Thanh Hóa
63.Đề KSCL đội tuyển HSG Toán 11 năm 2017 – 2018 trường Minh Châu – Hưng Yên
64.Đề thi chọn HSG Toán 11 cấp trường năm 2017 – 2018 trường Lý Thái Tổ – Bắc Ninh
65.Đề thi chọn HSG Toán 11 cấp trường năm 2017 – 2018 trường Lê Văn Thịnh – Bắc Ninh
66.Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 11 năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hà Tĩnh
67.Đề KSCL đội tuyển HSG Toán 11 năm 2017 – 2018 trường THPT Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc
68.Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 11 năm 2017 – 2018 sở GD&ĐT Quảng Bình
69.Đề thi chọn HSG tỉnh Tốn 11 THPT năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Nghệ An (Bảng A)
70.Đề thi Olympic Toán 11 năm 2017 – 2018 cụm trường Thanh Xuân & Cầu Giấy – Hà Nội
71.Đề thi Olympic 27-4 Toán 11 năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu
72.Đề thi chọn HSG Toán 11 cấp tỉnh năm học 2017 – 2018 sở GD và ĐT Thanh Hóa
73.Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh mơn Tốn 11 năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Hà Tĩnh
74.Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 năm học 2016 – 2017 sở GD và ĐT Vĩnh Phúc
75.Đề kiểm tra chất lượng đội tuyển HSG Toán 11 năm học 2016 – 2017 trường Lê Lợi – Thanh Hóa lần 1
76.Đề thi KSCL học sinh giỏi Tốn 11 năm học 2016 – 2017 cụm thi THPT Yên Thành – Nghệ An

Trang 2


TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

TỔ TỰ NHIÊN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020 - 2021
Mơn: TỐN - Lớp 11
Thời gian: 120 phút (Khơng kể thời gian phát đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC
Câu 1: (2 điểm)

a) Giải phương trình: sin 3 x  3 cos 3 x  2sin 2 x .
b) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình cos 2 x  7 cos x  3  sin 2 x  7sin x   8 trên đoạn  2 ; 2 
Câu 2: (2 điểm)
9

1 

a) Tìm số hạng chứa x trong khai triển  x   .
2x 

3

b) Đề thi THPT mơn Tốn gồm 50 câu trắc nghiệm khách quan, mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có 1
phương án đúng, mỗi câu trả lời đúng được cộng 0, 2 điểm, điểm tối đa là 10 điểm. Một học sinh có năng lực
trung bình đã làm đúng được 25 câu( từ câu 1 đến câu 25), các câu cịn lại học sinh đó không biết cách giải
nên chọn phương án ngẫu nhiên cả 25 câu cịn lại. Tính xác suất để điểm thi mơn Tốn của học sinh đó lớn
hơn 6 điểm nhưng khơng vượt q 8 điểm( làm trịn đến hàng phần nghìn).
Câu 3:(1 điểm) Tìm tất cả các số thực x để ba số x, 2 x, 4 theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân.
Câu 4: (2 điểm) Tính các giới hạn sau:
a) I  lim



16 n 1  4n  16 n 1  3n



b) J  lim
x 1

x2  x  2  3 7 x  1
2  x  1

Câu 5: (1,5 điểm)
Cho hình chóp S .ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, mặt bên SAB là tam giác vuông tại A ,
SA  a 3 , SB  2a . Điểm M nằm trên đoạn AD sao cho AM  2 MD . Gọi  P  là mặt phẳng qua M và

song song với  SAB  .
a) Tính góc giữa hai đường thẳng SB và CD.
b) Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  P  .
Câu 6: (1,5 điểm)
 x  4  x 2  8 x  17  y  y 2  1
a) Giải hệ phương trình 
.
 x  y  y  21  1  2 4 y  3 x

u1  4
, n  * .
9un 1  un  4  4 1  2un

b) Cho dãy số  un  được xác định như sau 

Tìm cơng thức số hạng tổng qt của dãy số  un  và tính lim un

----------------- Hết ---------------(Giám thị coi thi khơng giải thích gì thêm)
Họ và tên thí sinh:...............................................
Số báo danh:……………….. Phịng thi số:………
Trang 3

Chữ ký của giám thị:………………………


TRƯỜNG THPT MINH CHÂU

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

TỔ TỰ NHIÊN

NĂM HỌC 2020 - 2021
Mơn: TỐN – Khối 11

Câu 1:
a) Giải phương trình sau sin 3 x  3 cos 3 x  2sin 2 x .
1
3
(0.25)
sin 3 x 
cos 3 x  sin 2 x
2
2





3 x  3  2 x  k 2
 x   3  k 2


 sin  3 x    sin 2 x  

 k    (0.5)
3

3 x      2 x  k 2
 x  2  k 2


3
15
5
2 k 2
 


k    . (0.25)
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S    k 2 ;
15
5
 3


Ta có : sin 3 x  3 cos 3 x  2 sin 2 x 

b) Ta có:





cos 2 x  7 cos x  3  sin 2 x  7 sin x   8  cos 2 x  3 sin 2 x  7 cos x  3 sin x  8  0









 cos  2 x    7 sin  x    4  0  2sin 2  x    7 sin  x    3  0
3
6
6
6





(0.25)

 
 1
sin  x  6   2



 

sin  x    3(VN )
6
 

(0.25)

  
x    k 2
 x  k 2

 1

6
6
Ta có: sin  x     

 x  2  k 2

5

6 2


x  
 k 2
3


6
6

(0.25)

4
2


Vì x   2 ; 2   x  2 ; 
; 0;
; 2  .
3
3



(0.25)

Câu 2:
9

Câu 030.

1 

Tìm số hạng chứa x trong khai triển  x   .
2x 

Lời giải
Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
3

9

9
1 

k 9k  1 
x



  C9 .x .  
2 x  k 0

 2x 

B1.X.T0

0.25

k

9
1
  C9k .   .x9 2 k .
 2
k 0
9  2k  3  k  3

Hệ số của x 3 ứng với
1
Vậy số hạng cần tìm C93 x3 .
8
b) Gọi x là số câu học sinh đó trả lời đúng trong 25 câu cịn lại.
Số điểm học sinh đó đạt được là 5  0, 2x .
Trang 4

k

0.25

0.25
0.25
(0.25)


Theo yêu cầu đề bài 6  5  0, 2 x  8  5  x  15, x   .
Như vậy, để điểm của học sinh đó lớn hơn 6 điểm nhưng khơng vượt q 8 điểm thì học sinh đó phải trả lời
đúng từ 6 đến 15 câu và làm sai các câu còn lại.
Xác suất trả lời đúng 1 câu là 0,25; xác suất trả lời sai 1 câu là 0,75.
Xác suất trong mỗi trường hợp là C25x  0.25  .  0.75 
x

Suy ra xác suất cần tính là

15

 C  0.25 .  0.75
x 6

x

x
25

25  x

25  x

với x   và 6  x  15

 0, 622 .

(0.25)
(0.25)

 0, 622

(0.25)

Câu 3:

x  0
2
Ta có  2 x   x.4  4 x 2  4 x  0  
.
x 1
Với x  0 ta có 0;0;4 khơng là cấp số nhân.

(0.25)
(0.25)

Với x  1 ta có 1;2;4 là cấp số nhân có cơng bội q  2 .

(0.25)

Vậy x  1 .

(0.25)

Câu 4:
a) Ta có T  lim







4 n  3n
16 n 1  4n  16n 1  3n  lim 


n 1
n
n 1
n
 16  4  16  3 

n

 3

1  

 4
 lim 
n
n
 16   1   16   3 
 
 

 4
 16 

b) Lời giải

Ta có lim
x 1

 lim
x 1

(0.5)

x2  x  2  2
x2  x  2  4
 lim
x 1
2  x  1
2  x  1 x 2  x  2  2



 x  1 x  2 
 lim
2  x  1  x 2  x  2  2  x1

2



x2
x2  x  2  2

2  3 7x 1
8  7x 1
 lim
x 1
2  x  1 x 1 2  x  1  4  2 3 7 x  1 


và J  lim

 lim
x 1

7

2 4  2 3 7 x  1 


Do đó lim
x 1

Câu 5:
Trang 5

(0.25)

x2  x  2  2
2  3 7x 1
 lim
IJ.
x 1
2  x  1
2  x  1
x 1

x 1




 1
  8.




x2  x  2  3 7 x  1
x2  x  2  2  2  3 7 x  1
 lim
x 1
2  x  1
2  x  1

Tính I  lim

 lim

(0.5)



3



7x 1 

2





3






3
4 2



2
7x 1 


.

(0.25)

(0.25)

7
.
12 2

x2  x  2  3 7 x  1
2
IJ 
12
2  x  1

(0.25)


a) Ta có : AB//CD nên (SB,CD)=(SB,AB)

(0.25)


Do tam giác SAB vuông tại A theo gt nên  SB, CD   SBA

(0.25)

SA a 3
3


SB
2a
2
Suy ra:  SB, CD   600


Có : sin SBA

(0.25)

 P  //  SAB 
 P    ABCD   MN
b) 
và MN // PQ // AB (1)

 M  AD, M   P 
 P    SCD   PQ
 P  //  SAB 
 P    SAD   MQ
 MQ // SA

và 

 NP // SB
 M  AD, M   P 
 P    SBC   NP
Mà tam giác SAB vuông tại A nên SA  AB  MN  MQ (2)
Từ (1) và (2) suy ra thiết diện là hình thang vng tại M và Q .

(0.25)

DQ 1
MQ DM DQ
1


 MQ  SA và
 .

SA
DA DS
3
DS 3
2
PQ SQ
 PQ // CD 

 PQ  AB , với AB  SB 2  SA2  a
CD SD
3
1
Khi đó SMNPQ  MQ.  PQ  MN 
2
5a 2 3
1 SA  2 AB

.
 S MNPQ 
.
 AB   S MNPQ 
2 3  3
18

MQ // SA 

(0.25)

(0.25)

 x  4  x 2  8 x  17  y  y 2  1 1
6. a) 
 x  y  y  21  1  2 4 y  3x  2 
Điều kiện: y  0, 4 y  3 x  0 .

1   x  y  4 
  x  y  4 
 y  x  4.
Trang 6

x  8 x  17  y  1  0   x  y  4  
2

2

 x  4

2

 y2

x 2  8 x  17  y 2  1

0



 x  4  y
0
 0   x  y  4 1 

2
2


x

8
x

17

y

1
x 2  8 x  17  y 2  1



 x  4  y  x  4  y 

(0.25)


(Vì: 1 

 x  4  y
x 2  8 x  17  y 2  1



 x  4

2

 1   x  4  y 2  1  y

x 2  8 x  17 

y2 1

 0 x, y )

(0.25)

Thay y  x  4 vào (2) ta được:

2  x 




x  4  x  25  1  2 x  16

 

x4 2 

 



x  25  5  x  8  2 x  16  0

1
1
x  12


 x


0
x  25  5 x  8  2 x  16 
 x4 2
 x  0  y  4 ( t/m)
.

1
1
x  12



 0  3
x  25  5 x  8  2 x  16
 x  4  2

(0.25)

Do x  4  y  0  x  4  x  8  0 nên (3) vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm  x; y    0; 4  .

(0.25)

Chú ý: Ta có thể giải (1) như sau: 1  x  4 
Xét hàm số f  t   t  t 2  1 có f   t   1 

 x  4 1  y 

t
t2 1



t2 1  t
t2 1

y2  1

 0, t   .

Do đó f  t  đồng biến trên  nên 1  f  x  4   f  y   x  4  y .
*
Ta có un  0, n   và 9u n 1  u n  4  4 1  2un

 18un1  2u n  8  8 1  2un

 9 1  2un 1  



1  2un  4



0,25

2

 3 1  2un 1  1  2un  4

3





0,25

1  2un 1  2  1  2un  2

Đặt vn  1  2un  2, n   *

6. b)
(0.75đ)

v1  1

*
Ta có 

1 , n  
vn 1  3 vn
1
 dãy số  vn  là một cấp số nhân có cơng bội q  , số hạng đầu v1  1.
3
n 1
1
 vn   
 3

v  2
 n

2

1

1 1
4

  2 n 2  n 1  3  .
2
23
3

1 1
4

Kết
luận

un   2 n 2  n 1  3  , n   * .
23
3

1 1
4
 3
lim un  lim  2 n  2  n 1  3   .
23
3
 2

 un

Hết
Trang 7

0,25

Khi

đó

0,25


SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
CỤM THPT HUYỆN YÊN DŨNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ

NĂM HỌC 2020- 2021
MƠN THI: TỐN 11
ĐỀ CHÍNH THỨC
Ngày thi 28-01-2021
(Đề thi gồm có 5 trang)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu)
Mã đề thi
Họ, tên thí sinh:.................................................Phịng thi.............. SBD: ...........................
111

A. PHẦN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM (14 điểm)

2 x  y  3z  2
Gọi M và m lần lượt là
3x  4 y  3z  3

Câu 1. Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn 

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A = 2x+3y-2z. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. m  M 

7
3

B.3m+M = 3

C. 3m  M 

19

3

D. m+3M = 9

Câu 2. Gọi M , m tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y 

2cos x  1
. Khi đó
cos x  2

ta có
A. 9M  m  0 .
B. 9M  m  0 .
C. M  9m  0 .
D. M  m  0 .
2
2
Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( x 1)  ( y  2)  4 , phương trình tiếp

tuyến của ( C) tại điểm M3; -2) là d: x + by + c = 0, khi đó giá trị của b + c là?
A. 2

B. 3

D. 5

C. 6

Câu 4. Cho một hình vng, mỗi cạnh của hình vng đó được chia thành n đoạn bằng nhau
bởi n 1 điểm chia ( khơng tính 2 đầu mút mỗi cạnh). Xét các tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm chia

trên 4 cạnh của hình vng đã cho. Gọi a là số tứ giác tạo thành và b là số các hình bình hành
trong a tứ giác đó. Giá trị của n thỏa mãn a  9b là
A. n  12 .
B. n  5 .
C. n  8 .
D. n  4 .
Câu 5. Cho a, b là hai số dương. Mệnh đề nào dưới đây SAI?
A.

1 1
4
 
a b a b

B.

1
1
4


a  3b b  3a a  b

D. a3  b3  ab(a  b)

C. (a  b)(ab 1)  4ab

Câu 6. Phương trình 8.cos 2x.sin 2x.cos 4x   2 có nghiệm là




 

x  8  k 8
 x  32  k 4
A. 
B. 
k   .
k 
 x  3  k 
 x  3  k 


8
8
32
4






 x  32  k 4
 x  16  k 8
C. 
D. 
k   .
k 
 x  5  k 

 x  3  k 


32
4
16
8
Câu 7. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới

Trang 8

1

.

.


Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f  x   m có 6 nghiệm phân biệt là
A. 2.
B. 0.
C. 3.
D. 1.
Câu 8. Một người gửi tiết kiệm số tiền 80000000 đồng với lãi suất 6,9% / năm. Biết rằng tiền
lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó rút được cả tiền gốc lẫn
tiền lãi gần với con số nào sau đây?
A. 116570000 đồng.
B. 105370000 đồng.
D. 107667000 đồng.
C. 111680000 đồng.

Câu 9. Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin2 x  2sin x cos x  cos2 x  0 .
Chọn khẳng định đúng.
3
3


A. x0   ;2  .
B. x0    ;  .
C. x0   ;  .
D. x0   0;  .
 2 
 2
2 
 2

2
2
Câu 10.Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) 25x  100 y  2500 . Tìm điểm M thuộc (E) sao
cho: F1MF2  1200 (F1, F2 là các tiêu điểm của (E))
A.M(0; 5)

B.M(0; - 5)

C. M(5; 0) hoặc M(-5; 0)

D.Cả A và B đều đúng

Câu 11. Cho un  là một cấp số cộng tmãn u50  u51  100 . Tổng 100 số hạng đầu của cấp số
cộng un  bằng:
A. 10000.

B. 1000.

C. 5000.

D. 50000.

Câu 12. Cho khai triển 1 x  với n là số nguyên dương. Tìm hệ số của số hạng chứa x 3
n

trong khai triển biết C21n1  C22n1  C23n1  ...  C2nn1  220 1 .
A. 240 .
B. 120 .
C. 480 .
D. 720 .
Câu 13. Một cấp số nhân hữu hạn có cơng bội q  3 , số hạng thứ ba bằng 27 và số hạng cuối
bằng 1594323 . Hỏi cấp số nhân đó có bao nhiêu số hạng?
A. 14 .
B. 11 .
C. 13 .
D. 15 .
Câu 14. Hội nghị thượng đỉnh Mỹ - Triều lần hai được tổ chức tại Hà Nội, sau khi kết thúc
Hội nghị. Ban tổ chức mời 10 người lãnh đạo cấp cao của cả hai nước ( Trong đó có Tổng
thống Mỹ Donald Trump và Chủ tịch Triều Tiên Kim Jong-un ) tham gia họp báo. Ban tổ chức
sắp xếp 10 người ngồi vào 10 cái ghế thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho ông
Donald Trump và Kim Jong-un ngồi cạnh nhau?
A. 9! .
B. 9!.2! .
C. 10! .
D. 8!.2! .

Câu 15 :Cho dãy u n  xác định bởi u1 

1
và u n  u n1  2n với mọi n  2. Khi đó số hạng u50
2

bằng:
A. 1274,5
B. 2548,5
C. 5096,5
D. 2550,5
Câu 16: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos5x  cos2x  2sin3x sin 2x  0 trên 0;2 
là
A. 3 .
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .

Trang 9

2


Câu 17. Tìm m để hàm số y 

3x
2sin x  m sin x  1
2

A. m  2 2;2 2  .

C. m ; 2 2  2 2;  .



 

xác định trên


D. m2

.


2 .

B. m 2 2;2 2 .



2;2

Câu 18. Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua M6; 2) và cắt đường tròn ( C):
x2  y 2  6 x  6 y  14  0 tại 2 điểm A và B sao cho AB  2 3 là?

A.y = 2 và 3x + 4y – 26 = 0

B. x = 2 và 3x + 4y – 26 = 0

C. y = 2 và 3x + 4y – 30 = 0

D. x = 2 và 3x + 4y – 30 = 0

Câu 19. Xét sự biến thiên của hàm số y  sin x  cos x. Trong các kết luận sau, kết luận nào
đúng?
  3 
.
 4 4
 3  
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;  .
 4 4 

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;

C. Hàm số đã cho có tập giá trị là 1; 1 .
   

D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng   ;  .
 4 4 
Câu 20. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2cos2 x  2 3sin xcos x 1
A. min y  0;maxy  4
B. min y  1 3;maxy  3  3.
C. min y  4;maxy  0.
D. min y  1 3;maxy  3  3 .
Câu 21.Có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách Tốn, 5 cuốn sách Lý và 6 cuốn sách Hóa. Các cuốn
sách đôi một khác nhau. Thầy giáo chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một
học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách cịn lại của thầy cịn đủ 3 mơn.
661
54
2072

73
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
715
715
2145
2145
Câu 22. Tìm hệ số chứa x5 trong khai triển P( x)  x(1  2 x)n  x2 (1  3x)2n , biết An2  Cnn11  5.
A. 21360.
B. 3320.
C. 3360.
D. 23210.
Câu 23. Cho A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập
A , tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị là chữ số 1 .
143
643
1285
107
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
10000
45000
90000
7500
Câu 24. Cho n  *; Cn2Cnn2  Cn8Cnn8  2Cn2C nn8 . Tính T  12 Cn1  22 Cn2  ...  n2Cnn ?
A. 55.29 .
B. 55.210 .
C. 5.210 .
D. 55.28
10
Câu 25. Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 1  x  x2  x3  .
A. 582 .
B. 7752 .
C. 252 .
D. 1902 .
Câu 26. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được chọn từ
các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 . Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S . Tính xác suất để lấy được một
số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11
2
1
1
8
A. P  .
B. P 
.
C. P  .
D. P  .
63

126
63
21
2
Câu 27. Cho bất phương trình: (2m  1) x  3(m  1) x  m  1  0

Trang 10

3


Biết tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương vơ nghiệm là đoạn [a; b]. Tính độ
dài đoạn [a; b] trên trục số
A.6

B.4

C.

1
7

D.

3
7

Câu 28. Trong mặt phẳng Oxy , xét phép biến hình F biến mỗi điểm M x; y thành điểm
M 2x 1; 2 y 3 . Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của đường thẳng
d : x 2 y 6 0 qua phép biến hình.

A. x 2 y 7 0 .
B. x 2 y 5 0 .
C. 2x y 5 0 .
D.
2x y 7 0
u1  1

.Câu 29. Cho dãy số (un ) xác định bởi 
un  8 và dãy số (vn ) xác định bởi công thức
u

 n1
5
vn  un  2 .Biết (vn ) là cấp số nhân có cơng bội q. Khi đó

2
8
1
C. q 
D. q=
5
5
5
Câu 30. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : x 2 y 3 0 . Phép đồng dạng có được
bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k 2 và phép tịnh tiến theo vectơ v 1;2
biến đường thẳng d thành đường thẳng d có phương trình
A. x 2 y 6 0 .
B. x 2 y 6 0 .
C. x 2 y 11 0 .
D. x 2 y 11 0

A. q  5

B. q 

Câu 31: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Hai đường thẳng không cắt nhau và không song song thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng khơng song song thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung.
Câu 32: Cho dãy số  xn  xác định bởi x1  5 và xn1  xn  n, n  N * . Số hạng tổng quát của
dãy số  xn  là:

n2  n  10
A. xn 
.
2
n2  n  10
C. xn 
.
2

5n2  5n
B. xn 
.
2
n2  3n  12
D. xn 
.
2

Câu 33: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường trịn  C  có phương trình
x2  y 2 – 2 x – 3  0 . Gọi  C là ảnh của  C  qua phép đồng dạng tỉ số k  2 . Tính diện tích của

hình trịn  C .
A. 32 .

C. 8 .

B. 4 .

D. 16 .

Câu 34: Biết phương trình 1 5sin x  2cos2 x  0 có nghiệm dương nhỏ nhất có dạng

a
b

với a , b  * , nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của P  a  2b .
A. P  13 .
B. P  17 .
C. P  7 .
D. P  8 .
Câu 35: Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1
phương án đúng Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, câu trả lời sai được 0 điểm. Học sinh A
làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án ở mỗi câu. Biết xác suất làm đúng k
câu của học sinh A đạt giá trị lớn nhất. Khi đó giá trị lớn nhất của k là
Trang 11

4

B. k  12 .
C. k  10 .
D. k  13 .
A. k  11 .
Câu 36: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và
CD; điểm G là trọng tâm của tam giác BCD . Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng MN và
IM
.
AG . Tính tỉ số
IN
1
2
1
A. .
B.
.
C. 1 .
D. .
2
3
2
Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N lần lượt
là trung điểm của các đoạn thẳng SB và CD , K là giao điểm của đường thẳng MN với mặt
KM
bằng
phẳng  SAC  . Tỉ số
KN
1
1

2
A. .
B. .
C. 1 .
D. .
2
2
3
Câu 38. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy hai điểm A, B thuộc a và hai điểm C, D
thuộc b. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AD và BC có thể song song hoặc cắt nhau.

B. AD và BC cắt nhau

C. AD và BC song song với nhau

D. AD và BC chéo nhau

Câu 39. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm lấy trên cạnh SA
( M không trùng với S và A). Mặt phẳng (α) qua ba điểm M, B, C cắt chóp S.ABCD theo thiết
diện là
A. Tam giác

B. Hình thang

C. Hình bình hành

D. Hình chữ nhật

Câu 40. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 600. Gọi M, N là hai

SM SN 1
điểm thuộc SA, SB sao cho

 . Gọi (P) là mặt phẳng qua MN và song song với
SA SB 3
BC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P)?.
A.

3a2
18

B.

3a2
9

B. PHẦN TỰ LUẬN (6 điểm)
Câu 1:(1.5 điểm). Giải phương trình sau:

C.

a2
3

D.

a2
9

1

1
7

 4cos(  x)
3

cos x cos( x  )
4
2

Câu 2:(2.5 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . M là điểm
di động trên cạnh SC. Mặt phẳng (α) chứa AM và song song với BD
a) Chứng minh mặt phẳng (α)luôn đi qua một đường thẳng cố định.
SB SD SC


b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (α) với SB, SD. Tính T =
SE SF SM
Câu 3:(2.0 điểm). Tìm m để phương trình 2x2  2mx 1  3 2x3  x  4x có hai nghiệm thực
phân biệt. Khi đó có bao nhiêu giá trị nguyên của m0;20

…………………HẾT…………………….

Trang 12

5


SỞ GD&ĐT BẮC GIANG
CỤM THPT HUYỆN YÊN DŨNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP CƠ SỞ
NĂM HỌC 2020- 2021
MƠN THI: TỐN 11
ĐỀ CHÍNH THỨC
Ngày thi 28-01-2021
(Đề thi gồm có 5 trang)
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Thí sinh khơng được sử dụng tài liệu)
Mã đề thi
Họ, tên thí sinh:.................................................Phịng thi.............. SBD: ...........................
112

A. PHẦN CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM (14 điểm)
Câu 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng:
A. Hai đường thẳng không cắt nhau và khơng song song thì chéo nhau.
B. Hai đường thẳng khơng song song thì chéo nhau.
C. Hai đường thẳng khơng có điểm chung thì chéo nhau.
D. Hai đường thẳng chéo nhau thì khơng có điểm chung.
Câu 2: Cho dãy số  xn  xác định bởi x1  5 và xn1  xn  n, n  N * . Số hạng tổng quát của
dãy số  xn  là:

n2  n  10
.
2
n2  n  10
C. xn 
.
2

5n2  5n
.
2
n2  3n  12
D. xn 
.
2

A. xn 

B. xn 

.
Câu 3. Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên như hình dưới

Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình f  x   m có 6 nghiệm phân biệt là
A. 2.
B. 0.
C. 3.
D. 1.

Câu 4. Cho khai triển 1 x  với n là số nguyên dương. Tìm hệ số của số hạng chứa x 3 trong
n

khai triển biết C21n1  C22n1  C23n1  ...  C2nn1  220 1 .
A. 240 .
B. 120 .
C. 480 .
D. 720 .
Câu 5. Một cấp số nhân hữu hạn có cơng bội q  3 , số hạng thứ ba bằng 27 và số hạng cuối

bằng 1594323 . Hỏi cấp số nhân đó có bao nhiêu số hạng?
A. 14 .
B. 11 .
C. 13 .
D. 15 .
Câu 6. Hội nghị thượng đỉnh Mỹ - Triều lần hai được tổ chức tại Hà Nội, sau khi kết thúc Hội
nghị. Ban tổ chức mời 10 người lãnh đạo cấp cao của cả hai nước ( Trong đó có Tổng thống
Mỹ Donald Trump và Chủ tịch Triều Tiên Kim Jong-un ) tham gia họp báo. Ban tổ chức sắp
xếp 10 người ngồi vào 10 cái ghế thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho ông
Donald Trump và Kim Jong-un ngồi cạnh nhau?
A. 9! .
B. 9!.2! .
C. 10! .
D. 8!.2! .

Trang 13

1


Câu 7. Một người gửi tiết kiệm số tiền 80000000 đồng với lãi suất 6,9% / năm. Biết rằng tiền
lãi hàng năm được nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng 5 năm người đó rút được cả tiền gốc lẫn
tiền lãi gần với con số nào sau đây?
A. 116570000 đồng.
B. 105370000 đồng.
C. 111680000 đồng.
D. 107667000 đồng.
Câu 8. Gọi x0 là nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình 3sin2 x  2sin x cos x  cos2 x  0 .
Chọn khẳng định đúng.
3

3


A. x0   ;2  .
B. x0    ;  .
C. x0   ;  .
D. x0   0;  .
 2 
 2
2 
 2

2
2
Câu 9.Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) 25x  100 y  2500 . Tìm điểm M thuộc (E) sao
cho: F1MF2  1200 (F1, F2 là các tiêu điểm của (E))
A.M(0; 5)

B.M(0; - 5)

C. M(5; 0) hoặc M(-5; 0)

D.Cả A và B đều đúng

Câu 10. Cho un  là một cấp số cộng tmãn u50  u51  100 . Tổng 100 số hạng đầu của cấp số
cộng un  bằng:
A. 10000.

B. 1000.

Câu 11 :Cho dãy u n  xác định bởi u1 

C. 5000.

D. 50000.

1
và u n  u n1  2n với mọi n  2. Khi đó số hạng u50
2

bằng:
A. 1274,5
B. 2548,5
C. 5096,5
D. 2550,5
Câu 12: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos5x  cos2x  2sin3x sin 2x  0 trên 0;2 
là
B. 4 .
C. 5 .
D. 6 .
A. 3 .
2
2
Câu 13. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): ( x 1)  ( y  2)  4 , phương trình tiếp

tuyến của ( C) tại điểm M3; -2) là d: x + by + c = 0, khi đó giá trị của b + c là?
A. 2

B. 3

D. 5

C. 6

Câu 14. Cho một hình vng, mỗi cạnh của hình vng đó được chia thành n đoạn bằng
nhau bởi n 1 điểm chia ( khơng tính 2 đầu mút mỗi cạnh). Xét các tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm
chia trên 4 cạnh của hình vng đã cho. Gọi a là số tứ giác tạo thành và b là số các hình bình
hành trong a tứ giác đó. Giá trị của n thỏa mãn a  9b là
A. n  12 .
B. n  5 .
C. n  8 .
D. n  4 .
Câu 15. Cho a, b là hai số dương. Mệnh đề nào dưới đây SAI?
A.

1 1
4
 
a b a b

B.

1
1
4


a  3b b  3a a  b

D. a3  b3  ab(a  b)

C. (a  b)(ab 1)  4ab

Câu 16. Phương trình 8.cos 2x.sin 2x.cos 4x   2 có nghiệm là



 

x  8  k 8
 x  32  k 4
A. 
B. 
k   .
k 
 x  3  k 
 x  3  k 


8
8
32
4

Trang 14

2

.




 x  16  k 8
k  
 . D. 
 x  3  k 

16
8
3x
Câu 17. Tìm m để hàm số y 
xác định trên .
2sin 2 x  m sin x  1
A. m  2 2;2 2  .
B. m 2 2;2 2 .



 x  32  k 4
C. 
k 
 x  5  k 

32
4



 


D. m2



C. m ; 2 2  2 2;  .

2;2


2 .

Câu 18. Cho A là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập
A , tính xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị là chữ số 1 .
1285
107
143
643
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
10000
90000

45000
7500
Câu 19 Cho n  *; Cn2Cnn2  Cn8Cnn8  2Cn2C nn8 . Tính T  12 Cn1  22 Cn2  ...  n2Cnn ?
A. 55.29 .
B. 55.210 .
C. 5.210 .
D. 55.28
10
Câu 20. Tìm hệ số của số hạng chứa x5 trong khai triển 1  x  x2  x3  .
A. 582 .
B. 7752 .
C. 252 .
D. 1902 .
Câu 21. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số đơi một khác nhau được chọn từ
các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 . Lấy ngẫu nhiên một số thuộc S . Tính xác suất để lấy được một
số chia hết cho 11 và tổng 4 chữ số của nó cũng chia hết cho 11
2
1
1
8
A. P  .
B. P 
.
C. P  .
D. P  .
63
126
63
21
Câu 22. Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d qua M6; 2) và cắt đường tròn ( C):

x2  y 2  6 x  6 y  14  0 tại 2 điểm A và B sao cho AB  2 3 là?

A.y = 2 và 3x + 4y – 26 = 0

B. x = 2 và 3x + 4y – 26 = 0

C. y = 2 và 3x + 4y – 30 = 0

D. x = 2 và 3x + 4y – 30 = 0

Câu 23. Xét sự biến thiên của hàm số y  sin x  cos x. Trong các kết luận sau, kết luận nào
đúng?
  3 
.
 4 4
 3  
B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng  ;  .
 4 4 

A. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng   ;

C. Hàm số đã cho có tập giá trị là 1; 1 .
   

D. Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên khoảng   ;  .
 4 4 
Câu 24. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y  2cos2 x  2 3sin xcos x 1
A. min y  0;maxy  4
B. min y  1 3;maxy  3  3.
C. min y  4;maxy  0.

D. min y  1 3;maxy  3  3 .
Câu 25.Có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách Tốn, 5 cuốn sách Lý và 6 cuốn sách Hóa. Các cuốn
sách đôi một khác nhau. Thầy giáo chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một
học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách cịn lại của thầy cịn đủ 3 mơn.
661
54
2072
73
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
715
715
2145
2145
Câu 26. Tìm hệ số chứa x5 trong khai triển P( x)  x(1  2 x)n  x2 (1  3x)2n , biết An2  Cnn11  5.
Trang 15

3


A. 21360.
B. 3320.
C. 3360.
2

Câu 27. Cho bất phương trình: (2m  1) x  3(m  1) x  m  1  0

D. 23210.

Biết tập hợp các giá trị của tham số m để bất phương vô nghiệm là đoạn [a; b]. Tính độ
dài đoạn [a; b] trên trục số
A.6

B.4

C.

1
7

D.

3
7

Câu 28. Trong mặt phẳng Oxy , xét phép biến hình F biến mỗi điểm M x; y thành điểm
M 2x 1; 2 y 3 . Viết phương trình đường thẳng d là ảnh của đường thẳng
d : x 2 y 6 0 qua phép biến hình.
A. x 2 y 7 0 .
B. x 2 y 5 0 .
C. 2x y 5 0 .
D.
2x y 7 0
u1  1


.Câu 29. Cho dãy số (un ) xác định bởi 
un  8 và dãy số (vn ) xác định bởi công thức
un1  5
vn  un  2 .Biết (vn ) là cấp số nhân có cơng bội q. Khi đó

2
8
1
C. q 
D. q=
5
5
5
Câu 30. Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng d : x 2 y 3 0 . Phép đồng dạng có được
bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số k 2 và phép tịnh tiến theo vectơ v 1;2
biến đường thẳng d thành đường thẳng d có phương trình
A. x 2 y 6 0 .
B. x 2 y 6 0 .
C. x 2 y 11 0 .
D. x 2 y 11 0
Câu 31: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường trịn  C  có phương trình

A. q  5

B. q 

x2  y 2 – 2 x – 3  0 . Gọi  C là ảnh của  C  qua phép đồng dạng tỉ số k  2 . Tính diện tích của

hình trịn  C .
A. 32 .

B. 4 .
C. 8 .
D. 16 .
Câu 32: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M , N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB và
CD; điểm G là trọng tâm của tam giác BCD . Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng MN và
IM
.
AG . Tính tỉ số
IN
2
1
1
A. .
B.
.
C. 1 .
D. .
3
2
2
Câu 33. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M , N lần lượt
là trung điểm của các đoạn thẳng SB và CD , K là giao điểm của đường thẳng MN với mặt
KM
phẳng  SAC  . Tỉ số
bằng
KN
2
1
1
A. .

B. .
C. 1 .
D. .
3
2
2
2 x  y  3z  2
Gọi M và m lần lượt là
3x  4 y  3z  3

Câu 34. Cho các số thực không âm x, y, z thoả mãn 

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của A = 2x+3y-2z. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. m  M 

Trang 16

7
3

B.3m+M = 3

C. 3m  M 

4

19
3

D. m+3M = 9

Câu 35. Gọi M , m tương ứng là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y 

2cos x  1
. Khi đó
cos x  2

ta có
A. 9M  m  0 .
B. 9M  m  0 .
C. M  9m  0 .
D. M  m  0 .
Câu 36. Cho chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là một điểm lấy trên cạnh SA
( M không trùng với S và A). Mặt phẳng (α) qua ba điểm M, B, C cắt chóp S.ABCD theo thiết
diện là
A. Tam giác

B. Hình thang

C. Hình bình hành

D. Hình chữ nhật

Câu 37. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 600. Gọi M, N là hai
SM SN 1
điểm thuộc SA, SB sao cho

 . Gọi (P) là mặt phẳng qua MN và song song với
SA SB 3

BC. Tính diện tích thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (P)?.
A.

3a2
18

B.

3a2
9

C.

a2
3

D.

a2
9

Câu 38: Biết phương trình 1 5sin x  2cos2 x  0 có nghiệm dương nhỏ nhất có dạng

a
b

với a , b  * , nguyên tố cùng nhau. Tính giá trị của P  a  2b .
A. P  13 .
B. P  17 .
C. P  7 .

D. P  8 .
Câu 39: Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1
phương án đúng Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, câu trả lời sai được 0 điểm. Học sinh A
làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1 trong 4 phương án ở mỗi câu. Biết xác suất làm đúng k
câu của học sinh A đạt giá trị lớn nhất. Khi đó giá trị lớn nhất của k là
A. k  11 .
B. k  12 .
C. k  10 .
D. k  13 .
Câu 40. Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy hai điểm A, B thuộc a và hai điểm C, D
thuộc b. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. AD và BC có thể song song hoặc cắt nhau.

B. AD và BC cắt nhau

C. AD và BC song song với nhau

D. AD và BC chéo nhau

B. PHẦN TỰ LUẬN (6 điểm)
Câu 1:(1.5 điểm). Giải phương trình sau:

1
1
7

 4cos(  x)
cos x cos( x  3 )
4
2

Câu 2:(2.5 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . M là điểm
di động trên cạnh SC. Mặt phẳng (α) chứa AM và song song với BD
a) Chứng minh mặt phẳng (α)luôn đi qua một đường thẳng cố định.
SB SD SC


b) Gọi E, F lần lượt là giao điểm của (α) với SB, SD. Tính T =
SE SF SM
Câu 3:(2.0 điểm). Tìm m để phương trình 2x2  2mx 1  3 2x3  x  4x có hai nghiệm thực
phân biệt. Khi đó có bao nhiêu giá trị nguyên của m0;20

…………………HẾT…………………….

Trang 17

5


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4
LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021
Ngày thi: 03/4/2021
MƠN THI: TỐN – KHỐI: 11
THỜI GIAN: 180 phút
Hình thức làm bài: Tự luận

Đề thi có 01 trang

ĐỀ CHÍNH THỨC

Lưu ý: - Thí sinh làm mỗi câu trên một tờ giấy riêng và ghi rõ câu số mấy ở trang 1 của mỗi
tờ giấy làm bài
- Thí sinh khơng được sử dụng máy tính cầm tay.
Câu 1. (4,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương có tổng bằng 2. Chứng minh rằng:
2 2  a2  b2  b2  c2  c2  a 2  2  a 2  b2  c 2 .

Câu 2. (3,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : (0; )  (0; ) thỏa mãn điều kiện


 y 
f ( x  f ( y ))  xf 1  f    với mọi x, y  (0; ).
 x 

Câu 3. (4,0 điểm)
a. Cho m, n là các số nguyên dương sao cho 2m  n là ước dương của n 1.
Chứng minh rằng phương trình x 2 m  y 2 m  ( x  y) n có nghiệm nguyên dương.
b. Có bao nhiêu số nguyên dương n sao cho phương trình x304  y 304  ( x  y )n có
nghiệm nguyên dương?
Câu 4. (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O ). Gọi A, B , C 
là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B , C . Một đường tròn qua B , C  tiếp xúc với cung
 của (O) tại A . Các điểm B , C xác định tương tự.
nhỏ BC
1

a. Chứng minh rằng

1

A1 B

A1C

1

cot B
.
cot C

b. Vẽ các hình bình hành B1 ABX , C1 ACY . Chứng minh rằng các điểm X , Y , A1
và A0 thuộc một đường trịn với AA0 là đường kính của (O ).
c. Vẽ các hình bình hành BA1CA2 , CB1 AB2 , AC1 BC2 . Chứng minh rằng đường tròn
ngoại tiếp tam giác A2 B2 C2 đi qua trực tâm của tam giác ABC .
Câu 5. (4,0 điểm) Bộ hai số nguyên khác không  x, y  được gọi là “bộ số đẹp” nếu x là số lẻ,
y là số chẵn, x, y nguyên tố cùng nhau và x 2  y 2 là số chính phương.

a. Chứng minh rằng  x, y  là “bộ số đẹp” khi và chỉ khi tồn tại 2 số nguyên u , v





khác 0 và khác tính chẵn lẻ, nguyên tố cùng nhau sao cho  x, y   u 2  v 2 , 2uv .
b. Với mỗi “bộ số đẹp”  x, y  ta có thể tạo ra 1 “bộ số đẹp” mới bởi 1 trong 2 phép
biến đổi: hoặc đổi dấu của 1 trong 2 số hoặc cộng 1 số nguyên k nào đó vào cả 2 số
sao cho  x  k , y  k  là “bộ số đẹp”. Chứng minh rằng với bất kỳ 2 bộ số đẹp  x, y 
và  z, t  cho trước ta ln có thể biến đổi từ  x, y  thành  z, t  sau hữu hạn các

bước biến đổi như trên.

HẾT
Họ tên thí sinh: ...................................................................... SBD: ................................
Trường: ................................................................................. Tỉnh/TP: .........................
Trang 18


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG

KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 THÁNG 4
LẦN THỨ XXVI - NĂM 2021
Ngày thi: 03/4/2021
MƠN THI: TỐN 11 - THỜI GIAN: 180 phút
Hình thức làm bài: Tự luận
ĐÁP ÁN
Đáp án có 06 trang
Nội dung
Điểm
Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi có tổng bằng 2. Chứng minh rằng
Bài
4
2 2  a2  b2  b2  c2  c2  a 2  2  a 2  b2  c 2 .
1




Cách 1: Xét u   a, b  , v   b, c  , w   c, a  .
  
 u  v  w   a  b  c, a  b  c    2; 2 
     
Ta có u  v  w  u  v  w  a 2  b 2  b 2  c 2  c 2  a 2  2 2 .
2
2
a  b

ab
2
2
2
2
.
Cách 2: Ta có a  b 
 a b 
2
2
Tương tự cho các số hạng còn lại, ta được
a 2  b2  b2  c 2  c 2  a 2  2  a  b  c   2 2 .

Do bất đẳng thức đối xứng nên ta có thể giả sử a  min a, b, c .
a2
a
 ab  b 2  a 2  b 2   b .
4
2
2
a

a
a2  c2 
 ac  c 2  a 2  c 2   c .
4
2

Ta có a 2  b 2 

b c  a b c .
Cộng vế với vế, ta được
2

2

2

2

2

a2  b2  b2  c2  c2  a 2  a  b  c  a2  b2  c2
 a2  b2  b2  c 2  c2  a 2  2  a2  b2  c2 .

Trang 19

2


Bài
2

Tìm tất cả các hàm số thực f : (0; )  (0; ) thỏa mãn điều kiện


 y 
f ( x  f ( y ))  xf 1  f    với mọi số thực x, y  (0; ).
 x 

Ta có f ( x  f ( x))  xf 1  f 1   cx với mọi x  (0; ) (1) và
c  f 1  f (1)  .

Thay x thành x  f ( x) vào (1)
Suy ra f ( x  f ( x)  f ( x  f ( x)))  c( x  f ( x)) với mọi x  (0; ) (2).
Thế (1) vào (2): f ( x  f ( x)  cx)  c( x  f ( x)) với mọi x  (0; ) .
 f ((c  1) x  f ( x))  c( x  f ( x)) với mọi x  (0; ) (3).


 1 
Mặt khác theo đề bài thì f ((c  1) x  f ( x))  (c  1) xf 1  f 
  (4).
 c 1 


 1 
Từ (3) và (4), suy ra (c  1) xf 1  f 
   c( x  f ( x)) với mọi
 c 1 

x  (0; ) .
Suy ra f ( x)  ax với mọi x  (0; ) . Do f : (0; )  (0; ) nên

a  (0; ).
Thử lại thấy thỏa mãn.

Trang 20

3

1
1

1


Bài
3

a) Cho m, n là các số nguyên dương sao cho 2m  n là ước nguyên dương của

n 1. Chứng minh rằng phương trình x 2 m  y 2 m  ( x  y)n có nghiệm nguyên
dương.
n 1
2 m n

  thì x 2 m  y 2 m  ( x  y)n .
a) Chọn x  y  2
Suy ra phương trình có nghiệm ngun dương.
b) Có mấy số nguyên dương n sao cho phương trình x304  y 304  ( x  y )n có
nghiệm ngun dương.
Nếu n  304 , vì x, y  0 ta có ngay ( x  y )n  x n  y n  x304  y 304 nên
phương trình khơng có nghiệm ngun dương.

Nếu n  1 thì x304  y 304  x  y có nghiệm nguyên dương x  y  1 .
Xét 2  n  303. Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương ( x, y ).
Đặt x  da, y  db với (a, b)  1.

1

1
2

0,5

Ta được d 304  a 304  b 304   d n  a  b   d 304n (a 304  b304 )  (a  b)n . (1)
n

Cách 1. Đặt d    a 304  b304 , (a  b) n   1. Nếu d  có ước ngun tố lẻ p thì

p a  b  p a304  b304 nên p 2a304  p a, p b vô lý. Vậy d   2k , k  *.
Do d  chẵn nên a, b cùng lẻ. Khi đó a 304  b304  2 (mod 4) nên d   2.
Do

a304  b304 (a  b) n
a 304  b304
nên
 1  a  b  1.
2
2
2

2,5

Thế vào (1): d 304n  2n1  2. Suy ra d  2k với k  * và n  1  k (304  n).
Suy ra n  1  n  304  303 (304  n)  304  n 303.

Suy ra n  303,301, 203 . Các giá trị này đều thỏa mãn (theo câu a).

Cách 2. Từ (1) suy ra a  b d 304n (a 304  b304 ).
Lại có a  b (a 2  b 2 )  a  b d 304 n (a304  b304 )
nên a  b 2d 304n .a 304
Do  a  b, a   1  a  b 2d 304 n (2)
Trường hợp 1: a, b cùng lẻ.
 2d 304 n  (a  b) k .r với r   a  b  , k  1

Thế vào (1): r  a 304  b 304   2  a  b 

nk

(3)

Nếu n  k thì r  a 304  b 304   2  r  1  a 304  b 304  2 (do a, b cùng lẻ)

 r  1  a  b . Trường hợp này đã xét ở cách 1.
Nếu n  k thì (3)  r  a 304  b 304  2  a  b 

2,5

Mà r  a 304  b 304   a 2  b 2  2  a  b 

Cộng vế với vế ta được  ra 304   a  b 

Mà  a 304 , a  b   1 nên r  ( a  b) (mâu thuẫn).

Trường hợp 2: a, b khác tính chẵn lẻ  a  b là số lẻ.
Từ (2)  a  b d 304n  d 304n  (a  b)l .s l  1, s  (a  b) .



Thế vào (1): s(a
Mà s  a

304

Mà  2 a 304
Trang 21

304

b

304

)  (a  b)

n l

 2  s a

304

b

304


  a  b  .

  a  b   a  b  . Cộng vế với vế ta được  2sa   a  b 
, a  b   1 nên s  ( a  b) (mâu thuẫn).
b

304

2

2

304


Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O ). Gọi A, B , C  là
Bài chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B , C . Một đường tròn qua B , C  tiếp xúc với
4
 của (O) tại A . Các điểm B , C xác định tương tự.
cung nhỏ BC
1
1
1
a) Chứng minh

A1 B

A1C

cot B
.
cot C

5

2

Giả sử các điểm có vị trí như hình vẽ, các trường hợp khác chứng minh tương
tự.

a) Các đường tròn ( A1 BC ), (O),( BCBC ) có các trục đẳng phương của
từng cặp đường trịn đồng quy tại tâm đẳng phương P
 PA1 là tiếp tuyến chung của đường tròn ( A1 BC ),(O)
 tam giác PA1 B đồng dạng tam giác PCA1



A1 B PB PA1
PB



.
AC
PA1 PC
PC
1

Chú ý (PA’BC)=-1, ta được
Vậy

A1 B

A1C

2

AB
cot B

.
AC
cot C

PB

PC

cot B
.
cot C

b) Vẽ các hình bình hành B1 ABX , C1 ACY . Chứng minh A1  ( XYA0 ) với AA0
2

là đường kính của (O ).
B1C


B1 A

Tương tự câu a) ta được

cot C C1 A
,

cot A C1 B

 sin 
sin  CBB


 .  ACC   1 .

.


sin  
A AC  sin  B
BA sin  C
CB 

sin BAA
1
1

1

1

AB BC C A
cot A
 1 . 1 . 1  1.
A1C B1 A C1B
cot B

1

1

Theo định lý Ceva sin ta có AA1 , BB1 , CC1 đồng quy tại T .
Trang 22

2


Gọi X ' là trung điểm AX . Do AB1 XB là hình bình hành nên X ' là trung

điểm BB . Suy ra OX
' T  900 .
1

Gọi Y ', T ' là trung điểm AY , AA1 . Chứng minh tương tự, ta được


OT
'T  OY
' T  900

Suy ra X ', Y ', T ' thuộc đường trịn đường kính OT . Suy ra O  ( X ' Y ' T ').
Xét phép vị tự tâm A tỉ số 2: X '  X
Y 'Y
T '  A1
O  A0
Do X ', Y ', T ', O đồng viên nên X , Y , A1 , A0 đồng viên.

Vậy A0  ( XYA1 ) .
c) Vẽ các hình bình hành BA1CA2 , CB1 AB2 , AC1 BC2 . Chứng minh ( A2 B2C2 ) đi
qua trực tâm của tam giác ABC .
 
 
Do CY  AC1 ( C1 ACY là hình bình hành) và AC1  C2 B ( AC1 BC2 là hình bình
 
hành) nên CY  C2 B nên C2 đối xứng Y qua trung điểm BC.

1

Tương tự B2 đối xứng X qua trung điểm BC.
Do trực tâm H của tam giác ABC đối xứng A0 qua trung điểm BC.
Gọi I là trung điểm BC. Xét phép đối xứng tâm I.
Y  C2
X  B2

A1  A2

A0  H

Theo câu b ta có X , Y , A1 , A0 đồng viên nên H , A2 , B2 , C2 đồng viên
Vậy H  ( A2 B2C2 ) .

Trang 23

1