Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Đạo hàm

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM
KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
1. Đạo hàm tại một điểm
Hàm số y  f(x) liên tục trên (a;b) , được gọi là có đạo hàm tại
f(x)  f(x0)
x0 �(a;b) nếu giới hạn sau tồn tại (hữu hạn): lim
và giá trị
x�x0
x  x0
của giới hạn đó gọi là giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0 .Ta kí
hiệu f '(x0) .
Vậy f '(x0)  lim

f(x)  f(x0)

x  x0
2. Đạo hàm bên trái, bên phải
f(x)  f(x0)
f(x)  f(x0)
f '(x0 )  lim
f '(x0 )  lim
.
.


x  x0
x  x0
x�x
x�x

x�x0

0

0

Hệ quả : Hàm f(x) có đạo hàm tại x0 �  f(x0 ) và f '(x0 ) đồng thời
f '(x0 )  f '(x0 ) .
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
�Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a;b) nếu nó có đạo
hàm tại mọi điểm thuộc (a;b) .
�Hàm số f(x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a;b] nếu nó có đạo
hàm tại mọi điểm thuộc (a;b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f '(b )
và đạo hàm phải f '(a ) .
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Định lí: Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x0 thì f(x) liên tục tại x0 .
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên
tục tại điểm x0 nhưng hàm đó khơng có đạo hàm tại x0 .
Chẳng hạn: Xét hàm f(x)  x liên tục tại x  0 nhưng không liên tục
tại điểm đó.
f(x)  f(0)
f(x)  f(0)
 1, cịn lim
 1.
Vì lim


x
x
x�0

x�0

Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Phương pháp:

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

179


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

� f '(x0)  lim

x�x0


� f '(x0 )  lim


x�x0


� f '(x0 )  lim


x�x0

f(x)  f(x0 )

x  x0
f(x)  f(x0)
x  x0
f(x)  f(x0)
x  x0

�Hàm số y  f(x) có đạo hàm tại điểm x  x0 � f '(x0 )  f '(x0 )
�Hàm số y  f(x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại
điểm đó.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ:
� x3  x2  1  1
�
khi x �0
3
1. f(x)  2x  1 tại x  2
3. f(x)  �
tại x  0
x
�
0
khi x  0
�
2. f(x)  x2  1 tại x  1
Lời giải.
f(x)  f(2)
2x3  16
 lim
 lim 2(x2  2x  4)  24 � f '(2)  24 .
x�2

x�2 x  2
x�2
x 2

1. Ta có lim

2
2. Ta có : f '(1)  lim f(x)  f(1)  lim x  1  2
x�1 x  1
x�1
x1
(x  1)(x  1)
1
 lim

.
2
x�1
2
(x  1)( x  1  2)
3. Ta có f(0)  0 , do đó:

f(x)  f(0)
x3  x2  1  1
x1
1
 lim
 lim

2

3
2
x�0
x�0
x
�
0
x
x
x  x  1 1 2
1
Vậy f '(0)  .
2
lim

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số f(x) 

2x2  x  1
x1

liên tục tại x  1

nhưng khơng có đạo hàm tại điểm đó.
Lời giải.
Vì hàm f(x) xác định tại x  1 nên nó liên tục tại đó.
f(x)  f(1)
2x

 lim
1

Ta có: f '(1 )  lim


x1
x�1
x�1 x  1
180


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

f(x)  f(1)
 lim 2  2
x1
x�1
x�1

f '(1 )  lim

� f '(1 ) �f '(1 ) � f(x) khơng có đạo hàm tại x  1.
�x2  1
�
khi x �1
Ví dụ 3. Tìm a để hàm số f  x  �x  1
có đạo hàm tại x  1
�
a
khi
x


1
�
Lời giải.
Để hàm số có đạo hàm tại x  1 thì trước hết f(x) phải liên tục tại
x1
x2  1
 2  f(1)  a .
x�1 x  1

Hay limf(x)  lim
x�1

x2  1
2
Khi đó, ta có:
.
f(x)  f(1)
lim
 lim x  1
1
x�1 x  1
x�1 x  1
Vậy a  2 là giá trị cần tìm.
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra
x 1
1. f(x)  2x  1 tại x0  1
2. f(x) 
tại
x1

x0  2
3. f(x)  x2  x  1 tại điểm x0  2

4. f(x)  sin2 x tại x 


2

� x3  2x2  x  1  1
�
khi x �1
5. f(x)  �
tại điểm x0  1 .
x1
�
0
khi x  1
�
Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm chỉ ra


1. f(x)  sin2x tại x0 
2. f(x)  tanx tại x 
4
2
�2
1
x sin khi x �0
�
3. f(x)  �

tại x  0.
x
�
0
khi x  0
�
Bài 3 Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm chỉ ra
1. f(x)  x3 tại x0  1
�
2x  3
khi x �1
�3
2
2. f(x)  �x  2x  7x  4
tại x0  1 .
khi x  1
�
�
x1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

181


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

�sin2 x
�

3. f(x)  � x
�
x  x2
�
4. f(x) 

khi x  0

tại x0  0

khi x �0

x2  x  1
x

tại x0  1.

Bài 4
�
x2  x khi x �1
�
1. Tìm a,b để hàm số f(x)  �
có đạo hàm tại x  1.
ax  b khi x  1
�
�
x2  1
khi x �0
�
2. Tìm a,b để hàm số f(x)  � 2

có đạo hàm trên �.
2x  ax  b khi x  0
�
�x2  1
�
khi x �0
3. Tìm a,b để hàm số f(x)  �x  1
có đạo hàm tại điểm x  0
�
ax  b khi x  0
�
.

.

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
1. Quy tắc tính đạo hàm
1.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số
� (k.u(x))'  k.u'(x)
�(u1 �u2 �... �u n )'  u1' �u'2 �... �u'n
�(uvw)'  u'vw  uv'w  uvw '

�(un (x))'  nun1(x).u'(x)

'
� c � c.u'(x)
�
�
.
' 

��u(x) � u'(x)v(x)  v'(x)u(x)
��
�
2
2
u(x)
v(x)
u
(x)
�
�
v (x)
�
�
1.2. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số y  f(u(x))  f(u) với u  u(x) . Khi đó y'x  y'u .u'x .

2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản
Đạo hàm

(c)'  0
(x)'  1

(x )'  x1

 x  '  21x

 x '  n
n

1

n n 1

x
(sinx)'  cosx
182

Hàm hợp

 u  '  u .u'
 u  '  2u'u
 u  '  n u'u


1

n

n

n 1

(sinu)'  u'.cosu


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

(cosx)'   sinx

(cosu)'  u'sinu

1

(tanx)' 

 tanu ' 

2

u'

cos2 u
u'
 cotu '   2
sin u

cos x
1
(cotx)'  
sin2 x

Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng công thức
Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y  x3  3x2  2x  1

2. y  x3  3x  1

x4
 x2  1
4
2x  1
5. y 
x 3

4. y  2x4 

3. y 

3 2
x 1
2

2
6. y  x  2x  2
x 1

Lời giải.


2. Ta có: y'   x


 3x  1

'

1. Ta có: y'   x3  3x  1  3x2  6x  2

3

'

 3x2  3

'

�x4
�
3. Ta có: y'  �  x2  1� x3  2x
�4
�
�
�
'

� 4 3 2 �
4. Ta có: y'  �
2x  x  1� 8x3  3x
2
�
�
(2x  1)'(x  3)  (x  3)'(2x  1)
7

5. Ta có: y' 
2
(x  3)
(x  3)2

6. Ta có: y' 

(x2  2x  2)'(x  1)  (x2  2x  2)(x  1)'
(x  1)2


(2x  2)(x  1)  (x2  2x  2)
(x  1)2

Nhận xét: Với hàm số y 



x2  2x  4

 x  1 2

.

ad  bc
ax  b
ta có: y' 
.
cx  d
(cx  d)2

Ví dụ 2. Giải bất phương trình f '(x) �0 biết:

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

183


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

1. f(x)  x 4  x2

2. f(x)  x  2 x2  12

3. f(x)  x2  x  1  x2  x  1

4. f(x)  4 x2  1  x

Lời giải.
2;2�
1. TXĐ: D  �
�
�
2
Ta có: f '(x)  4  x 

x2



4  x2

4  2x2
4  x2

Do đó: f '(x) �0 � 4  2x2 �0 �  2 �x � 2 .
2. TXĐ: D  �
Ta có: f '(x)  1

2x
x2  12



x2  12  2x
x2  12

Suy ra: f '(x) �0 � x2  12 �2x (1)
�Với x  0 thì (1) ln đúng
�
x �0
�
�Với x �0 thì (1) �
 �2
0 x 2
x  12 �4x2
�
Vậy bất phương trình f '(x) �0 có nghiệm x �2.
3. TXĐ: D  �
2x  1
2x  1

Ta có: f '(x) 
2 x2  x  1 2 x2  x  1

Suy ra f '(x)  0 �  1 2x x2  x  1   1 2x x2  x  1
�
(1 2x)(1 2x) �0
�
�
2
�
��
� 1�
2�
(1

2x)
x

�
�
�
2�
�
�
�
�

2
�
�
3�
2 � 1� 3
�  1 2x �

x

�
� �
4�
�
� 2 � 4�
�
�
�

�1
1
 �x �
�
��2
� x  0.
2
2
2
�
(1 2x)  (1 2x)
�

0; �
4. TXĐ: D  �
�
Ta có: f '(x) 

x

24 (x2  1)3

f '(x) �۳
0 ۳x x
۳ x2

4



1
2 x

(x2 1)3

.

x6 (x2 1)3

x2  1 bất phương trình này vơ nghiệm

Ví dụ 3. Tính đạo hàm các hàm số sau:
184


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

1. y  2x2  3x  1

2. y  5 2x2  1  3x  2

3. y  2sin2(2x  1)  cos x

4. y  tan(sin2 3x)  cot2(1 2x3)  3

5. y  3 sin(tanx)  cos(cotx)
Lời giải.
1. Ta có: y' 
2. Ta có y' 

(2x2  3x  1)'
2 2x2  3x  1
1



4x  3
2 2x2  3x  1

5.5 ( 2x2  1  3x  2)4
1



5

( 2x2  1  3x  2)'
(

2

4

5. ( 2x  1  3x  2)
3. Ta có: y' 


(2sin2(2x  1)  cos x)'
2 2sin2(2x  1)  cos x

2x
2x2  1



1
2 x

sin x

2 2sin2(2x  1)  cos x

4 2xsin2(2x  1)  xcos x

2
2
2
4. Ta có: y'  [1 tan (sin 3x)](sin 3x)'

5. Ta có: y' 

 3) .

2sin(4x  2) 

4 x sin(4x  2)  sin x

 3[1 tan2(sin2 3x)]sin6x 

.

.
[cot2(1 2x3)  3]'
2 cot2(1 2x3)  3

6x2[1 cot2(1 2x3)]cot(1 2x3)
cot2(1 2x3)  3

.

[sin(tanx)  cos(cotx)]'
3 [sin(tanx)  cos(cotx)]2



(1 tan2 x)cos(tanx)  (1 cot2 x)sin(cotx)
3 [sin(tanx)  cos(cotx)]2

.

Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau :
�
x2  3x  1 khi x  1
�
1. f(x)  �
2x  2
khi x �1
�

�2
1
x cos
khi x �0
�
2. f(x)  �
2x
�
0
khi x  0
�

Lời giải.
1. Với x  1� f(x)  x2  3x  1� f '(x)  2x  3
Với x  1� f(x)  2x  2 � f '(x)  2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

185

Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.





2
Với x  1 ta có: lim f(x)  lim x  3x  1  1 �f(1) � hàm số không
x�1

x�1

liên tục tại x  1, suy ra hàm số khơng có đạo hàm tại x  1
�
2x  3 khi x  1
Vậy f '(x)  �
.
2
khi x  1
�
1
1 1
1
� f '(x)  2xcos  cos
2x
2x 2
2x
f(x)  f(0)
1

 lim xcos  0 � f '(0)  0
Với x  0 ta có: lim
x�0
x�0
x
2x
�
�
1� 1
2x  �
cos
khi x �0
�
�
2 � 2x
Vậy f '(x)  �
.
�
�
0
khi x  0
�
2. Với x �0 � f(x)  x2 cos

CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau
3

2. y   x  2x2  x  1
3

1. y  x4  3x2  2x  1
2x  1
x 2
ax  b
, ac �0
5. y 
cx  d
3. y 

4. y 

x2  x  1
x1

6.

ax2  bx  c
, aa' �0 .
a'x  b'
Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau
y

1. y  x x2  1
y

2. y 

3

3.

(2x  5)2

2  2x  x2
x2  1

4. y  3x  2tanx

5. y  sin2(3x  1)

6.

y  (x  1) x2  x  1 .
Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau





1. y  x7  x
y

2x
2

x 1

186

2





2
2
2. y  x  1 5  3x



3.


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
3

4. y  x2  2x  1  5x  3

�
5�
5. y  �
4x 
�
�
x2 �

7. y  x3  3x2  2

8. y  x2  x x  1

10. y 

1

11. y 

x x

6. y  (x  2)3(x  3)2
9. y 

x
a2  x2

1 x

12.

1 x

y  sin2 3x
13. y  3tan2 x  cot2x







2
15. y  2sin x  2

18. y  

cosx

f ' 1

 ' 0



2
3
16. y  cos sin x

4
 cotx
3sin3 x 3

Bài 4. Tính


14. y  3 x3  cos4(2x  )
3
17. y 

x

sinx

�3
1
x sin khi x �0
�
19. f(x)  �
x
�
0
khi x  0
�

. Biết rằng : f(x)  x2 và (x)  4x  sin

x
.
2

Bài 5. Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ
thuộc x.
1. y  sin6 x  cos6 x  3sin2 xcos2 x

�

�
2
�
2
�

2�
2�
2�
2�
2
2. y  cos �3  x� cos �3  x� cos �3  x� cos �3  x� 2sin x
�
�
�
�
�
�
�
�
Bài 6. Tìm m để các hàm số
1. y  (m  1)x3  3(m  2)x2  6(m  2)x  1 có y' �0, x ��
mx3
 mx2  (3m  1)x  1 có y' �0, x �� .
3
Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau
�2
1
x sin khi x �0
�
1. f(x)  �
x
�
0
khi x  0
�

�
x2  x  1 khi x �1
�
f(x)

2.
�
� x  1  3 khi x  1
Bài 8. Tìm a,b để các hàm số sau có đạo hàm trên �
�
x2  x  1 khi x �1
�
f(x)

1.
� 2
 x  ax  b khi x  1
�
2. y 

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

187


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

�x2  x  1
khi x �0

�
2. f(x)  � x  1
.
�
2
x

ax

b
khi
x

0
�
Bài 9. Tính đạo hàm các hàm số sau
1. y  (x3  2x)3
2. y  (x2  1)(3x3  2x)
2

�
2 �
3. y  �
x
�
� 3x2 �
sin2x
x

5. y 

x
cos3x

4. y  2sin3 2x  tan2 3x  xcos4x
6. y  xsin2x  x3  x2  1

7. y  2sin2 x  x3  1

8. y 

x2  1  2x  1

x1
�
�
2x  � 1
10. y  sin3 �
3�
cotx
�
Bài 10. Giải bất phương trình :
1. f '(x) �0 với f(x)  2x3  3x2  1
9. y  xtan2x 

2. f '(x)  0 với f(x)  2x4  4x2  1
3. 2xf '(x)  f(x) �0 với f(x)  x  x2  1
4. f '(x)  0 với f(x)  x  4  x2 .

Vấn đề 2. Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn
Từ định nghĩa đạo hàm f '(x0)  lim

f(x)  f(x0)

x  x0
đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số. Cụ thể
g(x)
�Để tính A  lim
, biết g(x0)  0 .
x�x0 x  x0
x�x0

,ta thấy có thể sử dụng

Ta viết g(x)  f(x)  f(x0) . Khi đó nếu f(x) có đạo hàm tại x0 thì :
A  lim

x�x0

�Để tính: B  lim

F(x)

x�x0 G(x)

f(x)  f(x0)
x  x0

 f '(x0) .

, biết F(x0 )  G(x0)  0 .

Ta viết F(x)  f(x)  f(x0 ) và G(x)  g(x)  g(x0) .
Nếu hai hàm số f(x),g(x) có đạo hàm tại x  x0 và g'(x0) �0 thì:

188


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

f(x)  f(x0)
x  x0
f '(x0)
B  lim

.
x�x0 g(x)  g(x0)
g'(x0)
x  x0
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính các giới hạn sau :
1. A  lim

3

x�0

3. C  lim

x�0

1 x  1
x

n

2. B  lim

3

2x  1  3x  2
x2  1

x�1

1 3x  1
x

4. D  lim

3

1 x2  4 1 2x

x�0

x  x2

Lời giải.
3
1. Đặt f(x)  1 x � f '(x) 

� A  lim

x�0

1
33 (1 x)2

và f(0)  1

f(x)  f(0)
1
 f '(0)   .
x 0
3

2. Đặt f(x)  3 2x  1  3x  2
� f '(x) 

2
2

3.3 (2x  1)



3
2 3x  2

và f(1)  0 .

1 f(x)  f(0)
1
f(x)  f(0) 1
2 3
5
.
 lim
.lim
 .f '(1)     .
x�1 x  1
x�1 x  1 x�1 x  1
x1
2
3 2
9

� B  lim

f(x)  f(0)
3
 f '(0)  .
x�0
x
n
2x
1

4. Đặt f(x)  3 1 x2  4 1 2x � f '(x)  3
3. (1 x2)2 2.4 (1 2x)3

3. Đặt f(x)  n 1 3x � C  lim

1
f(x)  f(0)
1
.lim
 f '(0)  .
x�0 x  1 x�0
x
2

� D  lim

3

2
2
Ví dụ 2. Tính giới hạn sau : A  lim 1 2x  1 3x
x�0
1 cosx
Lời giải.
3

1 2x2  1 3x2
Ta có: A  xlim
�0

x2
2sin2
x2

x
2

 lim

x�0

f(x)
2sin2
x2

x.
2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

189


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
2

2x

� x�
2sin
sin �
1

2  lim �
2� 1 .
Mà lim
�
2
x�0
2 x�0� x � 2
x
�
�
�2 �
Đặt t  x2 � limf(x)  lim
x�0

t�0

Vậy A  0.

1 2t  3 1 3t
 0.
t

CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1. Tìm các giới hạn sau
(1 3x)3  (1 4x)4
x�0
x

(1 x)(1 2x)(1 3x)  1
x�0

x

2. B  lim

1. A  lim

n

3. C  lim m
x�0

1 ax  1
1 bx  1

(m,n  �;a.b 0)

4. D  lim

x�1

2x  1  x
x2  1

Bài 2 Tìm các giới hạn sau
1. A  lim

x�1

3. C  lim

3

2x  1  1

3

2
2. B  lim 2x  1  x  1
x�0
sinx

1 2  x2
3

x�1

4

26x3  1  80x4  1
x 1

4. E  lim

x�0

3

3

4  2x  x2  4  2x  x2

2 x  2 x

Vấn đề 3. Đạo hàm cấp vao và vi phân
Phương pháp:
Vi phân của hàm số
�Tích f '(x0).x được gọi là vi phân của hàm số y  f(x) tại điểm x0
(ứng với số gia x ) được kí hiệu là df(x0 )  f'(x0)x .
�Nếu hàm số f có đạo hàm f ' thì tích f '(x)x được gọi là vi phân
hàm số y  f(x) , kí hiệu là: df(x)  f '(x)x .
Đặc biệt: dx  x' x  x nên ta viết df(x)  f'(x)dx .
Đạo hàm cấp n
�Đạo hàm cấp hai: Cho hàm số f có đạo hàm f ' . Nếu f ' cũng có
đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm cấp hai của f và
được kí hiệu là: f '' , tức là: f ''  (f ')' .
�Đạo hàm cấp n : Cho hàm số f có đạo hàm cấp n  1 (với
n  �,n 2 ) là f(n1) . Nếu f(n1) cũng có đạo hàm thì đạo hàm của nó
được gọi là đạo hàm cấp n của f và được kí hiệu là f(n) , tức là:
f(n)  (f(n1) )' .
Các ví dụ
190


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số sau: y 

3x  1
x 2

Lời giải.

Ta có: y' 

7
2

(x  2)

, y'' 

7.2
3

(x  2)

, y''' 

(n)
Bằng quy nạp ta chứng minh: y 

7.2.3
(x  2)4
(1)n .7.n!
(x  2)n1

(2)

�Với n  1 ta thấy (2) đúng
�Giả sử (2) đúng với n  k , tức là: y(k) 

(1)k .7.k!

(x  2)k1

'

(k1)

Ta có: y

�(1)k .7.k!� (1)k .7.k!.(k  1)
�
� 
�(x  2)k1 �
(x  2)k 2
�
�


(1)k1.7.(k  1)!

(x  2)k 2
Nên (2) đúng với mọi số tự nhiên n .
Ví dụ 2. Cho đa thức f(x)  x3  5x2  1 . Viết f(x) dưới dạng lũy thừa
của x  2
Lời giải.
Ta có: f(x) 

f(3)(2)
f''(2)
f'(2)
(x  2)3 

(x  2)2 
(x  2)  f(2)
3!
2!
1!

Mà f'(x)  3x2  10x,f ''(x)  6x  10,f'''(x)  6
Nên f(x)  (x  2)3  (x  2)2  8(x  2)  11 .
Ví dụ 3. Tìm vi phân của của hàm số:
1. y  x4  2x  1
3. y 

2. y  (x3  2)(x  1)

2x2  6x  5
2x  4

4. y  sin3xcos5x

5. y  4x2  tanx
Lời giải.
1. Ta có dy  (x4  2x  1)'dx  (4x3  2)dx
2. Ta có y  x4  x3  2x  1� dy  (4x3  3x2  2)dx
3. Ta có y' 

(4x  6)(2x  4)  2(2x2  6x  5)
(2x  4)2



4x2  16x  34
(2x  4)2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

191


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

Suy ra dy 
4. Ta có y 

4x2  16x  34
(2x  4)2

dx .

1
1
sin8x  sin2x � dy   4cos8x  cos2x dx
2
2

5. Ta có: y' 

8x  1 tan2 x

� dy 

2 4x2  tanx
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1. Cho hàm số y  sin2x

8x  1 tan2 x
2 4x2  tanx

dx



2. Tính y'''( ) , y(4) ( )
3. Tính y(n)
3
4
Bài 2. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
2x  1
2x  1
1
,a �0
1. y 
2. y 
3. y  2
x 2
ax  b
x  5x  6
4. y  cos2x
5. y  2x  1
6.

1. Tính y''

y

2x  1
2

x  3x  2

Bài 3. Cho đa thức bậc n : f(x)  an xn  an1xn1  ...  a1x  a0
1. Tính f(k) (x), 1�k �n
f(k) (0)
với k  0,n .
k!
Bài 4. Tìm vi phân của các hàm số sau
1. y  x3  2x2
2. y  3x  2
2. Chứng minh rằng ak 

4. y  tan2x
5. y  3 x  1
Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau

3. y  sin2x  sin3 x
6. y  (3x  1)10

1. y2.y'' xy' y  0 với y  1 x2
2. xy'' 2y' 4xy  2sin2x  0 với y  xsin2x
Bài 6. Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
x

1. y  2
2. y  cos2x
x  5x  6
Bài 7.
1. Cho đa thức P(x) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt x1,x2 ,x3 . Chứng
minh rằng:

1
1
1


 0.
P'(x1) P'(x2) P'(x3)

2
2.Cho hàm số f : � � � thỏa : f(x)  f(y) � x  y  . Với x,y �� và

f(1)  2011. Tính f(2011)  ? .
192


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA
ĐỒ THỊ HÀM SỐ

 Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y  f(x) tại
điểm x0 là hệ số góc
của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M 0  x0;f(x0) .

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M 0  x0 ;f(x0) là:

 y0  f(x0)
 C1 : y  f(x) và  C2  : y  g(x)

y – y0  f �
(x0).(x – x0 )
 Điều kiện cần và đủ để hai đường

tiếp

xúc nhau
�f(x0)  g(x0)
tại điểm có hồnh độ x0 là hệ phương trình �
có nghiệm
f '(x0)  g'(x0)
�
x0
Nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điểm của hai đường đó.
 Nếu (C1) : y  px  q và   C 2  : y  ax2  bx  c thì

(C1) và  C 2  iếp xúc nhau  phương trình ax2  bx  c  px  q có
nghiệm kép.
Các dạng tiếp tuyến của đồ thị hàm số thường gặp
- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M  x0 ;y0  ,
hoặc hoành độ x0 , hoặc tung độ y0 .
- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp tuyến đi qua
A  xA ;yA  cho trước.

điểm

- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc của nó.
Phương pháp:
Cho hàm số y  f  x có đồ thị  C  và M  x0;y0  là điểm trên  C  .
Tiếp tuyến với đồ thị  C  tại M  x0;y0  có:

- Hệ số góc: k  f ' x0 

- Phương trình: y  y0  k  x  x0  , hay y  y0  f ' x0   x  x0 

Vậy, để viết được phương trình tiếp tuyến tại M  x0 ;y0  chúng ta
cần đủ ba yếu tố sau:
- Hoành độ tiếp điểm: x0
- Tung độ tiếp điểm: y0 (Nếu đề chưa cho, ta phải tính bằng cách
thay x0 vào hàm số y0  f  x0  )

- Hệ số góc k  f ' x0 

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

193


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

Vấn đề 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ
thị hàm số khi biết tiếp điểm.
Phương pháp:

Bài toán 1 :
Hai đường cong  C  : y  f  x và  C' : y  g  x tiếp xúc nhau tại

M  x0 ;y0  .Khi điểm M � C  � C' và tiếp tuyến tại M của  C  trùng

với tiếp tuyến tại M của  C' chỉ khi hệ phương trình sau:

�
f  x0   g  x0 
�
có nghiệm x0 .
�
f ' x0   g' x0 
�
Lưu ý : Mệnh đề sau đây không đúng cho mọi trường hợp:
�
 C  : y  f  x
�
tiếp xúc nhau � f  x  ax  b  0 có nghiệm kép .
�
 d : y  ax  b
�
Hàm f  x nhận x0 làm nghiệm bội k nếu
f  x0   f ' x0   ...  f 

k1

 x0   0 và

f k  x0  �0 . Nghiệm bội lớn hơn hoặc

bằng 2 chứ không phải nghiệm kép.
Phép biến đổi tương đương của phương trình nói chung khơng bảo
tồn số bội của nghiệm.
Ví dụ 1. Đường cong y  x khơng tiếp xúc với trục hồnh tại 0, tức
là phương trình

x  0 khơng nhận 0 làm nghiệm bội lớn hơn hoặc

bằng 2. Khi đó đồ thị  C  : y  x3 của hàm số tiếp xúc với trục hồnh
tại x  0 nhưng phương trình x3  0 nhận 0 làm nghiệm bội 3 .
Ví dụ 2. Đồ thị  C  : y  sinx của hàm số tiếp xúc với đường thẳng

 d : y  x

tại x  0 nhưng phương trình sinx  x  0 thì khơng thể có
nghiệm kép.
Như vậy, biến đổi tương đương của phương trình chỉ bảo tồn tập
nghiệm, chứ khơng chắc bảo tồn số bội các nghiệm. Đây cũng là sai
lầm dễ mắc phải khi giải quyết bài toán tiếp tuyến.
Bài toán 2 :
* Đường cong  C  : y  f  x có tiếp tuyến tại điểm có hồnh độ x0 khi
và chỉ khi hàm số y  f  x khả vi tại x0 . Trong trường hợp  C  có tiếp
tuyến tại điểm có hồnh độ x0 thì tiếp tuyến đó có hệ số góc f ' x0  .
* Phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y  f  x tại điểm



M x0;f  x0 
194



có dạng : y  f ' x0   x  x0   f  x0 


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x
tại điểm M(x0;f(x0)) .
Giải. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f(x) tại M(x0;y0) là:
y  f '(x0)(x  x0)  y0 .

Bài toán 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x
biết hoành độ tiếp điểm x  x0 .
Giải:
Tính y0  f(x0),y'(x0) � phương trình tiếp tuyến: y  f '(x0)(x  x0)  y0

Bài toán 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x
biết tung độ tiếp điểm bằng y0 .
Giải. Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm
Giải phương trình f(x)  y0 ta tìm được các nghiệm x0 .
Tính y'(x0) và thay vào phương trình (1).
Các ví dụ
Ví dụ 1 : Cho hàm số y  x3  3x2  1 có đồ thị là (C). Viết phương
trình tiếp tuyến của (C) :
1. Tại điểm M  1;3 ;
2. Tại điểm có hồnh độ bằng 2 ;
3. Tại điểm có tung độ bằng 1 ;.
4. Tại giao

điểm (C) với trục tung ;
5. Có hệ số góc là 9 ;
6. Song song với đường thẳng (d ): 27x  3y  5  0 ;
7. Vng góc với đường thẳng (d’ ) : x  9y  2013  0 .
Lời giải.
Hàm số đã cho xác định D  �
Ta có: y'  3x2  6x
1. Phương trình tiếp tuyến
y  y'  1  x  1  3

 t tại

M  1;3 có phương trình :

Ta có: y' 1  3 , khi đó phương trình  t là: y  3x  6
Chú ý:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x tại điểm





M x0;f  x0  .

Tiếp

tuyến

của

y  f ' x0   x  x0   y0

đồ

thị

hàm

số

y  f  x

tại

M  x0;y0  là:

2. Thay x  2 vào đồ thị của (C) ta được y  21 .

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

195


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

Tương tự câu 1, phương trình  t là: y  24x  27
Chú ý:
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x biết hoành độ
tiếp điểm x  x0 , y0  f  x0  , y' x0  � phương trình tiếp tuyến:

y  f ' x0   x  x0   y0

3. Thay y  1 vào đồ thị của (C) ta được x2  x  3  0 � x  0 hoặc
x  3 .

Tương tự câu 1, phương trình  t là: y  1, y  9x  28

Chú ý: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  f  x biết
tung độ tiếp điểm bằng y0 . Gọi M  x0 ;y0  là tiếp điểm

Giải phương trình f  x  y0 ta tìm được các nghiệm x0 .

Tính y' x0  � phương trình tiếp tuyến: y  f ' x0   x  x0   y0

4. Trục tung Oy : x  0 � y  1.Tương tự câu 1, phương trình  t là:
y1

5. Gọi  x0;y0  là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp
tuyến
Ta có :

 t .
y' x0   3x02  6x0 , theo giả thiết

y' x0   9 , tức là 3x02  6x0  9

� x0  3 hoặc x0  1 . Tương tự câu 1

6. Gọi  x0;y0  là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp
tuyến

 t .

Theo bài toán:  t P  d  : y  9x 

5
� y' x0   9 . Tương tự câu 1
3

7. Gọi  x0;y0  là tọa độ tiếp điểm của đồ thị (C ) của hàm số và tiếp
tuyến

 t .

1
2013
� y' x0   9 . Tương tự câu 1
Theo bài toán:  t   d' : y   x 
9
9
Ví dụ 2 .
1. Cho hàm số: y  x3   m  1 x2   3m  1 x  m  2 . Tìm m để tiếp
tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hồnh độ bằng 1 đi qua điểm
A  2; 1 .

196


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

2. Gọi (Cm) là đồ thị của hàm số y  x3  (2m  1)x2  (m  3)x  3 và (d)
là tiếp tuyến của (C) tại điểm có hồnh độ x = 2. Tìm m để khoảng
7
cách từ gốc tọa độ O đến (d) bằng
.
17
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định với x ��.
Ta có: y'  3x2  2 m  1 x  3m  1

Với x  1� y  1  3m  1� y' 1  m  6

Phương trình tiếp tuyến tại điểm có x  1: y   m  6  x  1  3m  1
Tiếp tuyến này đi qua A  2; 1 nên có: 1  m  6  3m  1 � m  2
Vậy, m  2 là giá trị cần tìm.
2. Hàm số đã cho xác định với x ��.
Ta có: y'  3x2  2 2m  1 x  m  3.

Phương trình tiếp tuyến (d) : y  y'(2)(x  2)  y(2)
y   11– 7m  x – 2  7 – 6m   11– 7m x  8m – 15 � (11 7m)x  y  8m  15  0
d(0,(d)) 

8m  15
(11 7m)2  1



7
17

� 17(8m  15)2  49[(11 7m)2  1]

� 1313m2  3466m  2153  0 � m  1, m 

2153
1313

Ví dụ 3 :
1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y  x4  x2  6 , biết
tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y 

1
x  1.
6

1 3
2
x  x  có đồ thị là (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm
3
3
1
2
mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị vng góc với đường thẳng y   x 
3
3
.
Lời giải.
1. Hàm số đã cho xác định D  �
Gọi  t là tiếp tuyến của đồ thị  C  của hàm số và  t vng góc với
2. Cho hàm số y 

đường thẳng y 

1
x  1, nên đường thẳng  t có hệ số góc bằng 6 .
6

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

197


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

Cách 1: Gọi M  x0 ;y0  là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến

 t

 C  của hàm số . Khi đó,
ta có phương
y' x0   6 � 4x30  2x0  6
�  x0  1  2x02  2x0  3  0   . Vì 2x02  2x0  3  0,x0 ��
nên phương trình   � x0  1� y0  y  1  4 � M  1;4 .
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  6 x  1  4  6x  10 .
Cách 2: Phương trình  t có dạng y  6x  m
 t tiếp xúc  C  tại điểm M  x0;y0  khi hệ phương trình

và đồ

thị

trình:

sau có

nghiệm x0
4
2
�
�
x0  1
� x0  x0  6  6x0  m
có nghiệm x0 � �
� 3
m  10
�
�
�4x0  2x0  6

2. Hàm số đã cho xác định D  �
Ta có: y'  x2  1
1
2
Gọi M(x0;y0) �(C) � y0  x03  x0  ,
3
3
Tiếp tuyến ∆ tại điểm M có hệ số góc: y'(x0)  x02  1
1
2

1
Đường thẳng d: y   x  có hệ số góc k2  
3
3
3
�
4
x  2 � y0 
� 1�
  d � k1.k2  1 � (x02  1)�
 � 1 � x02  4 � �0
3
�
� 3�
x0  2 � y0  0
�
� 4�
Vậy, có 2 điểm M  2;0 , �2; �là tọa độ cần tìm.
� 3�
Ví dụ 4
3 x
(1). Viết phương trình tiếp tuyến (d) của (C)
x 2
biết (d) cách đều hai điểm A  1;  2 và B 1;0 .
1. Cho hàm số y 

2. Cho hàm số y  x3  6x2  9x  1 (1). Viết phương trình tiếp tuyến (d)
của (C) biết (d) cách đều hai điểm A  2;7 và B  2;7 .

Lời giải.

1. Cách 1. Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng
y  f '(x0)(x  x0)  f(x0) ( x0 là hoành độ tiếp điểm của (d) và (C)).
198


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

=

5
(x0  2)2

(x  x0) 

3  x0
x0  2



5
(x0  2)2

x

(x02  6x0  6)
(x0  2)2

� 5x  (x0  2)2 y  x02  6x0  6  0
d(A ,(d))  d(B,(d)) �

5  2(x0  2)2  x02  6x0  6
25  (x0  2)4



5  x02  6x0  6
25  (x0  2)4

�
x2  14x0  19  x02  6x0  1
� x02  14x0  19  x02  6x0  1 � �0
�
x02  14x0  19  x02  6x0  1
�
�
x0  1
� �2
� x0  1.
x

4x

9

0
�
0
0
�
Vậy phương trình  d  : y   5x – 1

Cách 2. Tiếp tuyến (d) cách đều hai điểm A, B suy ra hoặc (d) song
song với đường thẳng AB hoặc (d) đi qua trung điểm I(0; - 1) của
đoạn AB.
* Trường hợp 1: (d) //AB.
y  yB
 1.
Hệ số góc của đường thẳng AB: kAB  A
xA  xB
5

(d) // AB suy ra hệ số góc của (d) : f’ x0   1� 

 1(*) .
(x0  2)2
Phương trình (*) vơ nghiệm do đó trường hợp này khơng xảy ra.
* Trường hợp 2: (d) qua trung điểm I của đoạn AB.
Phương trình (d) có dạng y = kx – 1.
�3  x0
 kx0  1 (2)
�
�x0  2
(d) tiếp xúc (C) tại điểm có hồnh độ x0 � �
có
5
�

 k (3)
� (x  2)2
� 0
nghiệm x0 .

Thay k  

5
2

(x0  2)

vào (2) ta đươc

3  x0
x0  2



5
(x0  2)2

1

�
x0 �2
�
x
2
�
0
��
�
� x0  1
�

x0  1
(3  x0)(x0  2)  5  (x0  2)2 �
�
Thay x0  1vào (2) ta được k  5.
Vậy phương trình  d  : y   5x – 1

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

199


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

2. Phương trình tiếp tuyến (D) có dạng :
y  (3x02  12x0  9)(x  x0 )  x03  6x02  9x0  1  (3x02  12x0  9)x  2x03  6x02  1
� (3x02  12x0  9)x  y  2x03  6x02  1  0 (*)
d(A ,(D))  d(B,(D))
�

2(3x02  12x0  9)  7  2x03  6x02  1
(3x02  12x0  9)2  1



2(3x02  12x0  9)  7  2x03  6x02  1
(3x02  12x0  9)2  1

� 2x03  12x02  24x0  10  2x03  24x0  26
�

2x3  12x02  24x0  10  2x03  24x0  26 (1)
�� 0
�
2x03  12x02  24x0  10  2x03  24x0  26 (2)
�
�
12x2  48x0  36  0 �
x  3 �x0  1
�� 0
� �0
x0  1 �x0  2
�
4x03  12x02  16  0
�
�
Lần lượt thay x0  3 �x0  1�x0  1 �x0  2 vào (*) ta được phương
trình tiếp tuyến (D) là y  1  0, y   3  0, y  24x  7, y   3x  7.
Ví dụ 5 Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị  C  :
1. y  x3  3x2  2 , biết d cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A , B thỏa
mãn: OB  9OA .
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị  C  : y  x3  6x2  9x  2 tại

điểm M , biết M cùng 2 điểm cực trị của  C  tạo thành tam giác có
diện tích bằng 6.
Lời giải.
1. Gọi M x0;y  x0  là toạ độ tiếp điểm.





Theo bài tốn, đường thẳng d chính là đường thẳng đi qua 2 điểm
phân biệt A ,B .
Gọi  là góc tạo bởi giữa d và Ox, do đó d có hệ số góc k  �tan 
OB
9
Dễ thấy, tam giác AOB vuông tại O , suy ra tan  
OA
Nói khác hơn đường thẳng d có hệ số góc là �9 , nghĩa là ta ln có:
�
�y' x0   9
3x2  6x0  9  0
�� 0
�
� x02  2x0  3  0 � x0  1 hoặc x0  3 vì
2
y'
x


9
�


3x0  6x0  9  0
�
� 0
�
x02  2x0  3  0,x0 ��.
Với x0  1 suy ra phương trình tiếp tuyến y  9x  7

Với x0  3 suy ra phương trình tiếp tuyến y  9x  25
200


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Vậy, có 2 tiếp tuyến y  9x  7 , y  9x  25 thỏa đề bài .
2. Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị A  1;2 , B 3; 2 và đường thẳng
đi qua 2 cực trị là AB : 2x  y  4  0 .
Gọi M  x0;y0  là tọa độ tiếp điểm của đồ thị  C  của hàm số và tiếp
tuyến  d  cần tìm. Khi đó y0  x03  6x02  9x0  2
Ta có: AB  2 5 , d  M;AB 

2x0  y0  4
5

1
.AB.d  M ;AB  6 � 2x0  y0  4  6
2
� 2x0  y0  10 hoặc 2x0  y0  2

Giả thiết SMA B  6 �

�
2x0  y0  2
�
TH1: Tọa độ M thỏa mãn hệ: �
3
2
�y0  x0  6x0  9x0  2

�y0  2  2x0
�y  2
�
��
� �0
hay M  0; 2
2
x0 x0  6x0  11  0 �
x0  0
�
�
Tiếp tuyến tại M là: y  9x  2 .
�
2x0  y0  10
�
TH2: Tọa độ M thỏa mãn hệ: �
3
2
�y0  x0  6x0  9x0  2
�y0  10  2x0
�y  2
�
��
� �0
hay M  4;2
2
�x0  4 x0  6x0  11  0 �x0  4
�
Tiếp tuyến tại M là: y  9x  34 .
Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y  9x  2 và y  9x  34









x1
.
x 3
1. Gọi M là một điểm thuộc (C) có khoảng cách đến trục hồnh độ
bằng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại M
2. Gọi (d) là một tiếp tuyến của (C) , (d) cắt đường tiệm cận đứng của
(C) tại A , cắt đường tiệm cận ngang của (C) tại B và gọi I là tâm đối
xứng của (C) . Viết phương trình tiếp tuyến (d) biết:
i) IA = 4IB.
ii) IA + IB nhỏ nhất
Lời giải.
1. Khoảng cách từ M đến trục Ox bằng 5 � yM  �5 .
Ví dụ 6 Gọi (C) là đồ thị của hàm số y 

�yM  5
�
7
�
M �(C)
x 
�

�
��
xM  1 � �M
TH1: �
3
5 
�yM  5 �
�
xM  3 �yM  5
�

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

201


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

�y  5
�
x  4
�
M �(C) � M
� � xM  1 � �M
TH2: �
5
�yM  5
�yM  5
�

� xM  3
�7
�
 ; 5�là y  9x  16.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M �
�3
�
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M   4;5 là y  4x  21.
2. i) Ta có �
ABI bằng góc hình học hợp bởi tiếp tuyến (d) với trục
�  �IA  �4
hoành suy ra hệ số góc của (d) là k �tanABI
IB
d
:
y

4x

5
y

4x
 21.
Phương trình tiếp tuyến  
hoặc
ii) Phương trình tiếp tuyến (d) có dạng :
y

4

(x0  3)2

(x  x0) 

x0  1

4



x

x0  3 (x  3)2
0

x02  2x0  3

Tiệm cận đứng của (C) :  D1 : x   3

(x0  3)2

.

Tiệm cận ngang của (C) :  D2  : y  1.

A là giao điểm của (d) và  D1  � yA 

x02  2x0  15
(x0  3)2

B là giao điểm của (C) với  D2  � xB  2x0  3 .
IA  IB  yA  yI  xB  xI 

x02  2x0  15
2

(x0  3)

 1  2x0  6 

8
 2x0  6
x0  3

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ,ta có
IA  IB �2

8
2x  6  8 .
x0  3 0

IA  IB  8 �

�
x  1
8
 2x0  6 � (x0  3)2  4 � �0
x0  5
x0  3
�

min  IA  IB  8 � d: y  x,

y  x 8

Ví dụ 7

1. Biết rằng trên đồ thị y  x3   m  1 x2   4m  2 x  1,  C m  tồn tại
đúng 1 điểm mà từ đó kẻ được tiếp tuyến vng góc với đường thẳng
x  10y  2013  0 .Viết phương trình tiếp tuyến của  C m  tại điểm đó

202


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

2x  3
tại những
x1
điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng  d  :
2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  : y 
3x  4y  2  0 bằng 2.
Lời giải.
1. Gọi tiếp điểm là M  a;b , tiếp tuyến tại M có hệ số góc là
k  y' a  3a2  2 m  1 a  4m  2 , theo giả thiết suy ra k  10
Trên đồ thị chỉ có 1 điểm nên phương trình 3a2  2 m  1 a  4m  8  0
có nghiệm kép hay  '  0 tức m  5 , thay vào ta được a  2 � M  2;29 .
Vậy, tiếp tuyến cần tìm là y  10x  9
2.

Gọi

y0  y  x0  

M  x0;y0 

là

điểm

thuộc

đồ

thị

 C ,

khi

đó:

2x0  3
x0  1

M , d  �
Ta có: d �
�
� 2 �

3x0  4y0  2
32  42

 2 � 3x0  4y0  12  0 hoặc

3x0  4y0  8  0
�2x0  3 �
2
TH1: 3x0  4y0  12  0 � 3x0  4�
�x  1 �
� 12  0 � 3x0  x0  0
0
�
�
� x0  0
hoặc x0 

1
3

�2x0  3�
2
TH2: 3x0  4y0  8  0 � 3x0  4�
�x  1 �
� 8  0 � 3x0  19x0  20  0
� 0
�
4
� x0  5 hoặc x0  
3

Phương trình tiếp tuyến  d  tại M thuộc đồ thị  C  có dạng:
y  y' x0   x  x0   y  x0  trong đó và y' x0  

1

 x0  1 2

, x �1.
0

Phương trình tiếp tuyến

 d1

tại M 1  0;3 là y  x  3 .

Phương trình tiếp tuyến

 d2 

�1 11�
9
47
tại M 2 � ; �là y   x 
.
3
4
16
16
�

�

Phương trình tiếp tuyến

 d3 

� 7�
1
23
5; �là y   x 
tại M 3 �
.
16
16
� 4�

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

203