Hướng dẫn giải toán 11 Đại số
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (526.97 KB, 65 trang )
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Vấn đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm
số
Bài 1
1. Điều kiện: cos3x − 1 ≠ 0 ⇔ cos3x ≠ 1 ⇔ x ≠ k
2π
, k∈¢
3
2π
TXĐ: D = ¡ \ k , k ∈ ¢ .
3
1
−
cos3x
≥
0
∀
x
∈
¡
2. Do
nên hàm số có nghĩa ⇔ 1+ sin4x ≠ 0
π
π
⇔ sin4x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + k , k ∈ ¢ .
8
2
π
π
TXĐ: D = ¡ \ − + k , k ∈ ¢ .
8
2
π π
3π
π
≠ + kπ ⇔ x ≠
+ k ,k ∈ ¢
4 2
8
2
3π kπ
,k ∈ ¢
Vậy TXĐ: D = ¡ \ +
2
8
3. Điều kiện: 2x −
x ≠ kπ
x ≠ kπ
⇔
4. Điều kiện:
π
2π
sin3x ≠ 1 x ≠ + k
6
3
π n2π
;k,n ∈ ¢
Vật TXĐ: D = ¡ \ kπ, +
6
3
Bài 2
1. Điều kiện: sin2x − cos3x ≠ 0 ⇔ cos
5x
x
.sin ≠ 0
2
2
5x
5x π
π
4π
cos 2 ≠ 0 2 ≠ 2 + k2π
x ≠ + k
⇔
⇔
⇔
5
5 .
sin x ≠ 0
x ≠ kπ
x ≠ k2π
2
2
π
4π
TXĐ: D = ¡ \ + k , k2π; k ∈ ¢ .
5
5
π
π
π
x≠ +k
2x
≠
+
k
π
4
2
⇔
2
2. Điều kiện:
3sin2x − cos2x ≠ 0 2sin(2x − π ) ≠ 0
6
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
231
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
π
π
π
π
x ≠ 4 + k 2
x ≠ 4 + k 2
⇔
⇔
.
2x − π ≠ kπ
x ≠ π + k π
6
12
2
π
π π
π
TXĐ: D = ¡ \ + k , + k ; k ∈ ¢ .
2 12
2
4
x ≠ kπ
x ≠ kπ
⇔
3. Điều kiện:
1
π
sinx − ≠ 0 sinx − sin ≠ 0
2
6
x ≠ kπ
x ≠ kπ
π
⇔
⇔
x ≠ + k2π .
x π
x π
6
2cos( + )sin( − ) ≠ 0
2 12
2 12
5π
x ≠ 6 + k2π
π
5π
TXĐ: D = ¡ \ kπ, + k2π, + k2π; k ∈ ¢ .
6
6
π π
3π
x − 4 ≠ 2 + kπ
x ≠ 4 + kπ
⇔
4. Điều kiện:
.
x − π ≠ kπ
x ≠ π + kπ
3
3
3π
π
TXĐ: D = ¡ \ + kπ, + kπ; k ∈ ¢ .
4
3
Bài 3
π π
π
π
+k
1. Điều kiện: 2x + ≠ + kπ ⇔ x ≠
3 2
12
2
π
π
TXĐ: D = ¡ \ + k ,k ∈ ¢ .
2
12
π
π
x≠ + k
cos3x ≠ 0
6
3
⇔
2. Điều kiện:
sin5x
≠
0
n
π
x ≠
5
π
π nπ
TXĐ: D = ¡ \ + k , ;k,n ∈ ¢
3 5
6
π
cosx ≠ 0 x ≠ + kπ
⇔
3. Điều kiện:
2
sinx ≠ 0
x ≠ nπ
232
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
π
π
TXĐ: D = ¡ \ + k ;k ∈ ¢
2
2
π
π
cos3x ≠ 0
x≠ + k
6
3
⇔
4) Điều kiện:
π
sin x + 3 ÷ ≠ 0 x ≠ − π + nπ
3
π
π π
TXĐ: D = ¡ \ + k , − + nπ;k,n ∈ ¢
3 3
6
13x
3x
sin
≠0
5. Điều kiện: sin8x − sin5x ≠ 0 ⇔ 2cos
2
2
π
2π
13x π
x≠
+k
2 ≠ 2 + kπ
13
13
⇔
⇔
3x ≠ nπ
x ≠ 2nπ
2
3
π
2π 2nπ
;k,n ∈ ¢
TXĐ: D = ¡ \ + k ,
13 3
13
π
6. Điều kiện: cos4x + sin3x ≠ 0 ⇔ cos4x + cos − 3x ÷ ≠ 0
2
π
x ≠ 2 + k2π
π x
7x π
2cos + ÷cos
− ÷≠ 0 ⇔
4 2
2 4
x ≠ 3π + n 4π
14
7
π
3π
4π
TXĐ: D = ¡ \ + k2π, + n ;k,n ∈ ¢ .
14
7
2
Vấn đề 2. Tính chất của hàm số và đồ thị hàm
số
Bài 1
1. Ta có f(x + 2π) = sin(x + 2π) = sinx = f(x) ∀x ∈ ¡
Giả sử có số thực dương T < 2π thỏa f(x + T) = f(x)
⇔ sin(x + T) = sinx ∀x ∈ ¡
(1).
Cho x =
π
π
⇒ VT(1) = sin + T ÷ = cosT < 1
2
2
π
= 1 ⇒ (1) không xảy ra với mọi x∈ ¡ .
2
Vậy hàm số đã cho tuần hồn với chu kì cơ sở T0 = 2π .
VP(1) = sin
π
π
2. Ta có f(x + ) = tan2 x + ÷ = tan(2x + π) = tan2x = f(x)
2
2
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
233
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
π
thỏa mãn f(x + T) = f(x)
2
⇔ tan(2x + 2T) = tan2x ∀x ∈ ¡ (2)
Cho x = 0 ⇒ VT(2) = tan2T ≠ 0 , cịn VP(2) = 0 ⇒ (2) khơng xảy ra với mọi
x∈ ¡ .
π
Vậy hàm số đã cho tuần hoàn với chu kì cơ sở T0 = .
2
Bài 2
1. Hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π
2. Hàm số tuần hồn với chu kì T = π
3. Hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π
Bài 3
1. Hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π
2. Hàm số tuần hồn với chu kì T = π
3. Hàm số tuần hồn với chu kì T = 2π
4. Hàm số khơng tuần hồn
Giả sử có số thực dương T <
Vấn đề 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số
Bài 1 Đồ thị hàm số: y = sin2x
Bài 2 Đồ thị hàm số: y = 2 cosx
234
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số
Bài 1
1. Ta có 1 ≤ 2sinx + 3 ≤ 5 ⇒ 1≤ y ≤ 5 .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng
sinx = 1 ⇔ x =
5 , đạt được khi
π
+ k2π .
2
Giá trị nhỏ nhất bằng 1, đạt được khi x = −
π
+ k2π .
2
2. Ta có 1 ≤ 2cos2 x + 1 ≤ 3 ⇒ 1− 3 ≤ y ≤ 0
π
+ kπ
2
Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 1− 3 , đạt được khi x = kπ .
π
3. Ta có: −1≤ sin 2x − ÷ ≤ 1⇒ −2 ≤ y ≤ 4
4
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0, đạt được khi x =
π
π
• y = −2 ⇔ sin 2x − ÷ = −1 ⇔ x = − + kπ ⇒ min y = 2
4
8
3
ã y = 4 sin 2x ữ = 1 ⇔ x =
+ kπ ⇒ maxy = 4
4
8
4. Ta có: 0 ≤ cos2 3x ≤ 1⇒ 1≤ y ≤ 3
kπ
⇒ min y = 1
3
π kπ
• y = 3 ⇔ cos2 3x = 0 ⇔ x = +
⇒ maxy = 3
6 3
• y = 1 ⇔ cos2 3x = 1 ⇔ x =
5. Ta có: −1≤ sin2x ≤ 1⇒ 2 ≤ y ≤ 1+ 3
π
+ kπ ⇒ min y = 2
4
π
• y = 1+ 3 ⇔ sin2x = 1 ⇔ x = + kπ ⇒ maxy = 1+ 3
4
4
6. Ta có: 0 ≤ sin2 x ≤ 1⇒ ≤ y ≤ 4
3
4
π
4
• y = ⇔ sin2 x = 1 ⇔ x = + kπ ⇒ min y =
3
2
3
• y = 4 ⇔ sin2 x = 0 ⇔ x = kπ ⇒ maxy = 4
• y = 2 ⇔ sin2x = −1 ⇔ x = −
Bài 2
1. Đặt t = sin2 x, 0 ≤ t ≤ 1⇒ cos2x = 1− 2t
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
235
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
1
3
⇒ y = 2t + (1− 2t)2 = 4t2 − 2t + 1 = (2t − )2 + .
2
4
1
1 3
12 9
3
Do 0 ≤ t ≤ 1⇒ − ≤ 2t − ≤ ⇒ 0 ≤ (2t − ) ≤ ⇒ ≤ y ≤ 3 .
2
2 2
2
4
4
π
Vậy maxy = 3 đạt được khi x = + kπ .
2
3
1
min y = đạt được khi sin2 x = .
4
4
2. Áp dụng BĐT (ac + bd)2 ≤ (c2 + d2)(a2 + b2) .
Đẳng thức xảy ra khi
a b
= .
c d
Ta có: (3sinx + 4cosx)2 ≤ (32 + 42)(sin2 x + cos2 x) = 25
⇒ −5 ≤ 3sinx + 4cosx ≤ 5 ⇒ −4 ≤ y ≤ 6 .
Vậy maxy = 6 , đạt được khi tanx =
3
.
4
3
min y = −4 , đạt được khi tanx = − .
4
Chú ý: Với cách làm tương tự ta có được kết quả tổng quát sau
max(asinx + bcosx) = a2 + b2 , min(asinx + bcosx) = − a2 + b2
Tức là: − a2 + b2 ≤ asinx + bcosx ≤ a2 + b2 .
4
sin α =
π
5
3. Ta có : y = 5sin(x + α) − 1 trong đó α ∈ 0; ÷ thỏa
2
cosα = 3
5
min
y
=
−
6;
maxy
=
4
Suy ra
.
4. Ta có: y = 1− cos2x + 3sin2x − 2(1+ cos2x)
π
= 3sin2x − 3cos2x − 1 = 3 2sin 2x − ÷− 1
4
Suy ra min y = −3 2 − 1; maxy = 3 2 − 1 .
5. Ta có: y =
1− cos2x
3(1+ cos2x)
+ 3sin2x +
= 3sin2x + cos2x + 2 .
2
2
Mà − 10 ≤ 3sin2x + cos2x ≤ 10 ⇒ 2 − 10 ≤ y ≤ 2 + 10
Từ đó ta có được: maxy = 2 + 10; min y = 2 − 10 .
6. min y = −1,maxy = 3
7. min y = −1,maxy = 3
8. min y = 1+ 2 3,maxy = 1+ 2 5
236
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
9. min y = −5,maxy = 5
3
3
,maxy =
10. min y =
1+ 3
1+ 2
−5 − 3 5
−5 + 3 5
,maxy =
4
4
Bài 3 Do a,b không đồng thời bằng 0 nên
11. min y =
a2 + b2 ≠ 0
a
b
2
2
sinx +
cosx ÷
Suy ra: asinx + bcosx = a + b
2
÷
2
a2 + b2
a +b
2
2
a
b
Vì
÷ +
÷ = 1 nên tồn tại số thức α ∈ 0;2π sao cho
2
2
2÷
2÷
a +b a +b
a
b
= cosα;
= sin α
2
2
2
a +b
a + b2
Khi đó: asinx + bcosx = a2 + b2 ( sinxcosα + cosxsin α )
= a2 + b2 sin(x + α) .
Nhận xét: Từ kết quả trên, ta có
• giá trị nhỏ nhất của hàm số y = asinx + bcosx bằng − a2 + b2
• giá trị lớn nhất của hàm số y = asinx + bcosx bằng a2 + b2
• − a2 + b2 ≤ asinx + bcosx ≤ a2 + b2 ∀x ∈ ¡ .
Bài 4
4π
2π
+k
1. Ta có: min y = 1 đạt được khi x =
9
3
π
2π
maxy = 5 đạt được khi x = + k
9
3
π
π
2. Ta có: min y = 5 đạt được khi x = + k
4
2
π
maxy = 4 + 3 đạt được khi x = k
2
2
2
3. Ta có y ≥ 0 ∀x và y = 2 + 2sinx 2 − sin x
2
2
2
Mà 2 sinx 2 − sin x ≤ sin x + 2 − sin x = 2
Suy ra 0 ≤ y2 ≤ 4 ⇒ 0 ≤ y ≤ 2
min y = 0 đạt được khi x = −
π
+ k2π
2
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
237
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
maxy = 2 đạt được khi x =
π
+ k2π
2
4. Ta có: t = (tanx − 2)2 − 3
min y = −3 đạt được khi tanx = 2
Khơng tơng tại max .
5. Ta có: = ( tanx + cotx) + 3( tanx + cotx) − 3
2
Đặt t = tanx + cotx =
2
⇒ t ≥2
sin2x
Suy ra y = t2 + 3t − 3 = f(t)
Bảng biến thiên
−∞
t
+∞
f(t)
−2
2
−5
Vậy min y = −5 đạt được khi x = −
7
π
+ kπ .
4
Không tồn tại maxy .
Bài 5 Hàm số xác định với mọi x ⇔ 5sin4x − 6cos4x ≥ 1− 2m ∀x
Do min(5sin4x − 6cos4x) = − 61 ⇒ − 61 ≥ 1− 2m ⇔ m ≥
61 + 1
.
2
Bài 6
1. Ta có: −1≤ sin3x ≤ 1⇒ −1≤ y ≤ 5 . Suy ra: min y = −1; maxy = 5
2. Ta có: 0 ≤ sin2 2x ≤ 1⇒ −3 ≤ y ≤ 1. Suy ra: min y = −3; maxy = 1
3. Ta có: 1 ≤ 3 + 2sinx ≤ 5 ⇒ 2 ≤ y ≤ 1+ 5 . Suy ra: min y = 2; maxy = 1+ 5
4. Ta có: 2 ≤ 2 + sin2 4x ≤ 3 ⇒ 3 + 2 2 ≤ y ≤ 3 + 2 3
Suy ra: min y = 3 + 2 2; maxy = 3 + 2 3
5. Ta có: −5 ≤ 4sin3x − 3cos3x ≤ 5 ⇒ −4 ≤ y ≤ 6 . Suy ra:
miny = −4; maxy = 6
π
6. Ta có: y = 2sin x + ÷ + 4 . Suy ra: min y = 2; maxy = 6
3
7. Ta có: 2sin2x − cos2x + 4 ≥ 4 − 5 > 0 ∀x ∈ ¡
sin2x + 2cos2x + 3
y=
⇔ (2y − 1)sin2x − (y + 2)cos2x = 3 − 4y
2sin2x − cos2x + 4
2
⇒ (2y − 1)2 + (y + 2)2 ≥ (3 − 4y)2 ⇔ 11y2 − 24y + 4 ≤ 0 ⇔
≤y≤2
11
238
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Suy ra: min y =
2
; maxy = 2 .
11
8. Ta có: sin6x + 4cos6x + 10 ≥ 10 − 17 > 0 ∀x ∈ ¡
2sin6x − cos6x + 2
y=
⇔ (y − 2)sin6x + (4y + 1)cos6x = 2 − 10y
sin6x + 4cos6x + 10
⇒ (y − 2)2 + (4y + 1)2 ≥ (2 − 10y)2 ⇔ 83y2 − 44y − 1≤ 0
⇔
22 − 9 7
22 + 9 7
≤ y≤
83
83
22 − 9 7
22 + 9 7
.
; maxy =
83
83
9. Xét phương trình: 3cosx + sinx = y + 2
Suy ra: min y =
Phương trình có nghiệm ⇔ 32 + 12 ≥ (y + 2)2 ⇔ −2 − 10 ≤ y ≤ −2 + 10
Vậy min y = −2 − 10; maxy = −2 + 10 .
6sin4x − cos4x + 1
2cos4x − 2sin4x + 6
( do cos4x − sin4x + 3 > 0 ∀x ∈ ¡ )
⇔ (6 + 2y)sin4x − (1+ 2y)cos4x = 6y − 1
10. Ta có y =
⇒ (6 + 2y)2 + (1+ 2y)2 ≥ (6y − 1)2 ⇔ 8y2 − 10y − 9 ≤ 0 ⇔
5 − 97
5 + 97
≤ y≤
8
8
5 − 97
5 + 97
.
, maxy =
8
8
11.Đặt t = 3sinx + 4cosx ⇒ t ∈ −
5;5
Vậy min y =
Khi đó: y = 3t2 + 4t + 1 = f(t) với t ∈ −
5;5
2
1
Do min y = f(− ) = − ;maxy = f(5) = 96 .
3
3
Bài 7
1. Đặt t = 3sinx − 4cosx ⇒ −5 ≤ t ≤ 5
Ta có: y = (3sinx − 4cosx)2 − 6sinx + 8cosx
= t2 − 2t = (t − 1)2 − 1
Do −5 ≤ t ≤ 5 ⇒ 0 ≤ (t − 1)2 ≤ 36 ⇒ min y = −1
Suy ra yêu cầu bài toán −1≥ 2m − 1 ⇔ m ≤ 0 .
3sin2x + cos2x
2. Đặt y =
sin2x + 2cos2x + 3
(Do sin2x + 2cos2x + 3 > 0 ∀x ⇒ hàm số xác định trên ¡ )
⇔ (3 − y)sin2x + (1− 2y)cos2x = 3y
Suy ra (3 − y)2 + (1− 2y)2 ≥ 9y2 ⇔ 2y2 + 5y − 5 ≤ 0
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
239
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
⇔
−5 − 3 5
−5 + 3 5
−5 + 3 5
≤ y≤
⇒ maxy =
4
4
4
−5 + 3 5
3 5− 9
.
≤ m + 1⇔ m ≥
4
4
3. Trước hết ta có: 3cos2x + sin2x + m + 1 ≠ 0 ∀x ∈ ¡
m < −1− 10
⇔ 32 + 12 < (m + 1)2 ⇔ m2 + 2m − 9 > 0 ⇔
(*)
m > −1+ 10
• m > −1+ 10 ⇒ 3cos2x + sin2x + m + 1 > 0, ∀x ∈ ¡
Yêu cầu bài toán ⇔
Nên
4sin2x + cos2x + 17
≥ 2 ⇔ 2sin2x − 5cos2x ≥ 2m − 15
3cos2x + sin2x + m + 1
⇔ − 29 ≥ 2m − 15 ⇔ m ≤
Suy ra:
10 − 1< m ≤
15 − 29
2
15 − 29
2
• m < −1− 10 ⇒ 3cos2x + sin2x + m + 1 < 0, ∀x ∈ ¡
4sin2x + cos2x + 17
≥ 2 ⇔ 2sin2x − 5cos2x ≤ 2m − 15
Nên
3cos2x + sin2x + m + 1
⇔ 29 ≤ 2m − 15 ⇔ m ≥
Vậy
10 − 1< m ≤
15 + 29
(loại)
2
15 − 29
là những giá trị cần tìm.
2
Bài 8 Ta có: cos2x + cos2y + 2sin(x + y) = 2 ⇔ sin2 x + sin2 y = sin(x + y)
Suy ra: x + y =
π
2
Áp dụng bđt:
a2 b2 (a + b)2
+
≥
m n
m+ n
sin
Suy ra: P ≥ (
2
x + sin2 y
x+ y
)
2
=
2 . Đẳng thức xảy ra ⇔ x = y = π .
4
π
2
.
π
ksinx + 1
⇔ ycosx − ksinx + 2y − 1 = 0
Bài 9 Ta có y =
cosx + 2
Do đó: minP =
2
2
⇒ y2 + k2 ≥ (2y − 1)2 ⇔ 3y2 − 4y + 1− k2 ≤ 0 ⇔ 2 − 3k + 1 ≤ y ≤ 2 + 3k + 1
3
3
240
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
2
Yêu cầu bài toán ⇔ 2 − 3k + 1 > −1 ⇔ 5 > 3k2 + 1 ⇔ k < 2 2 .
3
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Vấn đề 1. Giải các phương trình lượng giác cơ
bản
Bài 1 :
π
π
1. Phương trình ⇔ sin 2x + ÷ = sin − ÷
3
6
π
π
π
2x + 3 = − 6 + k2π
x = − 4 + kπ
⇔
⇔
, k∈¢
2x + π = π + π + k2π
x = 5π + kπ
3
6
12
2. Phương trình ⇔ cos(3x + 150) = cos300
3x + 150 = 300 + k.3600
x = 50 + k.1200
⇔
⇔
, k∈¢
3x + 150 = −300 + k.3600
x = −150 + k.1200
1
1
4x + 2 = arcsin 3 + k2π
3. Phương trình ⇔
4x + 1 = π − arcsin 1 + k2π
2
3
1 1
1
π
x = − 8 − 4 arcsin 3 + k 2
⇔
, k∈¢
x = π − 1 − 1 arcsin 1 + k π
4 8 4
3
2
π
4. Phương trình ⇔ sin(2x + 1) = sin( − 2 + x)
2
π
π
x = 2 − 3 + k2π
2x + 1 = 2 − 2 + x + k2π
⇔
⇔
, k∈¢ .
x = π + 1 + k2π
2x + 1 = π + 2 − x + k2π
2
6 3
3
5. Phương trình ⇔ cosx =
6. Phương trình ⇔ cot
2
π
π
= cos ⇔ x = ± + k2π , (k ∈ ¢ )
2
4
4
2x
3
2x
3
=
⇔
= arccot
+ kπ
3
2
3
2
3
3 3
⇔ x = arccot
+ kπ (k ∈ ¢ ) .
2
2 2
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
241
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
Bài 2 Bạn đọc tự làm
Bài 3
π
π
1. Phương trình ⇔ tan 3x − ÷ = tan − ÷
3
3
π
π
⇔ 3x − = − + kπ ⇔ x = kπ ,k ∈ ¢
3
3
2. Phương trình ⇔ cot(4x − 200) = cot600
⇔ 4x − 200 = 600 + k.1800 ⇔ x = 200 + k.450 , k ∈ ¢
3. Phương trình sin2x = 2cos2x ⇔ tan2x = 2
1
kπ
⇔ 2x = arctan2 + kπ ⇔ x = arctan2 +
, k∈¢
2
2
2x = x + kπ
x = kπ
π
π
4. Phương trình ⇔ x ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ ⇔ x = kπ, k ∈ ¢ .
2
2
π
π
π
π
x ≠ 4 + k 2
x ≠ 4 + k 2
Bài 4
π
π
1. Phương trình ⇔ tan2x = 3 = tan ⇔ 2x = + k2π
3
3
π
⇔ x = + kπ (k ∈ ¢ ) .
6
2. Phương trình cos2 x − 2sinxcosx = 0
π
cosx = 0
x = 2 + kπ
cosx = 0
.
⇔ cosx(cosx − 2sinx) = 0 ⇔
⇔
1⇔
2sinx
=
cosx
1
tanx
=
x = arctan + kπ
2
2
π
3. Phương trình ⇔ cos(3x − 1) = sin(−2x − 1) = cos + 2x + 1÷
2
π
π
x = 2 + 2 + k2π
3x − 1 = 2 + 2x + 1+ k2π
⇔
⇔
x = − π + k 2π
3x − 1 = − π − 2x − 1+ k2π
2
10
5
π
π
4. Phương trình ⇔ sin 4x − ÷ = sin − 2x÷
4
3
π
4x − 4 =
⇔
4x − π =
4
242
π
7π kπ
− 2x + k2π
x=
+
3
72 3
⇔
2π
x = 11π + kπ
+ 2x + k2π
3
24
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
π
3π
+ 2x ÷
5. Phương trình ⇔ cos7x = sin − 2x ÷ = cos
5
10
3π
3π k2π
7x = 10 + 2x + k2π
x = 50 + 5
⇔
⇔
7x = − 3π − 2x + k2π
x = − π + kπ
10
20 5
π
1+ cos 2x − ÷
6. Phương trình
2
1− cos4x
⇔
=
⇔ cos4x = sin(−2x)
2
2
π
x = + kπ
π
4
⇔ cos4x = cos + 2x ÷ ⇔
2
x = π + kπ
12 3
kπ
x = 3
7. Phương trình ⇔ cos8x = cos2x ⇔
x = kπ
5
kπ
x = 2
8. Phương trình ⇔ sin2x( 1+ 6cos2x) = 0 ⇔
x = ± 1arccos − 1 + kπ
÷
2
6
kπ
x = 4
9. Phương trình ⇔ sin4x( 3 + 5cos4x) = 0 ⇔
.
x = ± 1arccos − 3 + kπ
÷
4
5 2
Bài 5
π
1. Điều kiện: sin2x ≠ 1 ⇔ x ≠ + kπ
4
π
π
Phương trình ⇔ cos2x = 0 ⇔ x = + k
4
2
3π
+ kπ là nghiệm của phương trình
Kết hợp điều kiện ta có: x =
4
kπ
2. Điều kiện: sin2x ≠ 0 ⇔ x ≠
2
π
π
cot2x = 0 x = 4 + k 2
⇔
Phương trình ⇔
sin3x = 0 x = kπ
3
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
243
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
π
π
mπ
+ k ,x =
với m ≠ 3n
4
2
3
π
π
x≠ + k
cos3x ≠ 0
6
3
⇔
3. Điều kiện:
cos4x ≠ 0 x ≠ π + k π
8
4
Phương trình ⇔ 4x = 3x + mπ ⇔ x = mπ
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình x = mπ .
kπ
x≠
sin5x ≠ 0
5
⇔
4. Điều kiện:
sin8x
≠
0
k
x ≠ π
8
π
π
π
+m
Phương trình ⇔ cot8x = tan5x = cot − 5x ÷ ⇔ x =
26
13
2
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình
π mπ
x=
+
, m ≠ 13n + 6 .
26 13
5. Điều kiện: −2 ≤ x ≤ 2
x = ±2
x = ±2
⇔
Phương trình ⇔
kπ
sin2x = 0 x =
2
x=
π
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình: x = ±2,x = ± ,x = 0 .
2
6. Điều kiện: −1≤ x ≤ 1
π
Phương trình ⇔ cosx = 0 ⇔ x = + kπ
2
Kết hợp điều kiện ta thấy phương trình vơ nghiệm.
7. Điều kiện: sin2x ≠ 0 ⇔ x ≠
kπ
2
π
2
2
2
Ta có: tan x + cot x ≥ 2 ≥ 1+ cos 3x + ÷
4
π
tan2 x = cot2 x
x = ± 4 + kπ
⇔
Nên phương trình ⇔
π
sin 3x + ÷ = 0 x = − π + m π
4
12
3
π
⇔ x = + kπ là nghiệm của phương trình đã cho.
4
Bài 5
244
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
2π
2π
sinx −
= k2π ⇔ sinx = 1+ 3k
3
3
π
Do −1≤ sinx ≤ 1⇒ k = 0 ⇒ x = + k2π
2
π
π
2. Phương trình ⇔ ( cosx − 1) = − + kπ
4
4
π
⇔ cosx = 4k ⇒ k = 0 ⇒ cosx = 0 ⇔ x = + kπ .
2
Bài 6
x = kπ
π
1
1 Phương trình ⇔ sin 2x − ÷ = − ⇔
2π
6
2
x=
+ kπ
3
1. Phương trình ⇔
1
α 1
1
π
⇔ x = ± arccos + k
5
4 4
5
2
π
3
4
Trong đó α ∈ 0; ÷:sin α = ,cosα = .
5
5
2
2. Phương trình ⇔ cos(4x − α) =
π
π
3. Phương trình ⇔ sin 3x − ÷ = sin − 5x÷
3
2
π
3x − 3 =
⇔
3x − π =
3
π
5π kπ
− 5x + k2π
x=
+
2
48 4
⇔
π
x = − 5π − kπ
+ 5x + k2π
2
12
1− cos2x
+ sin2x = 2 ⇔ 2sin2x − cos2x = 3
4. Phương trình ⇔
2
Phương trình vơ nghiệm.
5. Phương trình ⇔ 3sin2x + cos2x = sin7x − 3cos7x
π
2π
x = 10 + k 5
π
π
⇔ sin 2x + ÷ = sin 7x − ÷ ⇔
6
3
x = 7π + k 2π
54
9
6. Phương trình ⇔ 4 − 2sin2 2x + 3sin4x = 2
π
1
cos4x + 3sin4x = −1 ⇔ cos 4x − ÷ = −
3
2
π kπ
x = 4 + 2
⇔
.
x = − π + kπ
12 2
7.
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
245
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
π
π
π
sinx + 2sin − x÷ = 1 ⇔ sinx + 2 sin cosx − cos sinx ÷ = 1
4
4
4
⇔ sinx + cosx − sinx=1 ⇔ cosx=1⇔ x=k2π ;( k ∈ ¢ )
8. Điều kiện: 2cos2 x + cosx − 1 ≠ 0
Phương trình ⇔
4cos3 x + 2cos2 x − 2cosx
2
2cos x + cosx − 1
=
(
)
2
3 − 3sinx
3
π
x = 2 + k2π
π
3
⇔ 3cosx = 3 − 3sinx ⇔ cos x − ÷ =
⇔
6 2
x = − π + k2π
6
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình là:
π
π
x = + k2π ,x = − + k2π .
2
6
9. Điều kiện: 2cos2 x + sinx − 1 ≠ 0
Phương trình ⇔ cosx − sin2x = 3cos2x + 3sinx
π
x = − 2 + k2π
π
π
sin 2x + ÷ = sin(x − ) ⇔
3
6
x = 5π + k2π
18
3
Kết hợp điều kiện ta có nghiệm của phương trình
5π k2π
x=
+
,k ∈ ¢ .
18
3
10. Phương trình ⇔ 2sin2x + 2(1+ cos2x) = 3 + cos2x
⇔ 2sin2x +
(
)
2 − 1 cos2x = 3 − 2 phương trình vơ nghiệm.
Bài 7
1. Phương trình đã cho tương đương với
3(2cos2 2x − 1) − (1− cos2 2x) + cos2x − 1 = 0
⇔ 7cos2 2x + cos2x − 6 = 0 ⇔ cos2x = −1 hoặc cos2x =
π
6
+ kπ hoặc x = ± arccos + k2π .
2
7
2
2. Phương trình ⇔ 1+ cot x + 3cotx + 1 = 0
⇔ x=
⇔ cot2 x + 3cotx + 2 = 0 ⇔ cotx = −1 hoặc cotx = −2
π
⇔ x = − + kπ hoặc x = arccot(−2) + kπ
4
3. Phương trình ⇔ 3tan2 x − ( 3 + 1)tanx + 1 = 0
246
6
7
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
tanx = 1
x =
⇔
⇔
1
tanx =
x =
3
π
+ kπ
4
π
+ kπ
6
4. Phương trình ⇔ 2cos2 x − 1− 3cosx = 2(1+ cosx)
1
2π
⇔ x= ±
+ k2π
2
3
5.. Phương trình ⇔ sinx + cosx + sinxcosx − 1 = 0
2
π
Đặt t = sinx + cosx = 2cos(x − ), t ∈ − 2; 2 ⇒ sinxcosx = t − 1 .
4
2
⇔ 2cos2 x − 5cosx − 3 = 0 ⇔ cosx = −
Thay vào phương trình ta có: t +
t2 − 1
− 1 = 0 ⇔ t2 + 2t − 3 = 0 ⇔ t = 1
2
π π
π
x − 4 = 4 + k2π
x = + k2π
π
⇔ 2cos x ữ = 1
, k .
2
4
x − π = − π + k2π
x
=
k2
π
4
4
π
6. Đặt t = sinx − cosx = 2sin x − ÷,t ∈ − 2; 2 ⇒ 2sinxcosx = 1− t2 .
4
Thay vào phương trình ta được: 1− t2 + 4t = 4 ⇔ t2 − 4t + 3 = 0 ⇔ t = 1
π
x = + k2π
π 1
⇔ sin x − ÷ =
⇔
2
4
2
x = π + k2π
kπ
7. Điều kiện: sin2x ≠ 0 ⇔ x ≠
2
2
⇔ sin2x( sinx + cosx) = 2
Phương trình ⇔ 2 ( sinx + cosx) =
sin2x
Đặt t = sinx + cosx,t ∈ − 2; 2 ⇒ sin2x = t2 − 1
Thay vào phương trình ta có được:
(t2 − 1)t = 2 ⇔ t3 − t − 2 = 0 ⇔ (t − 2)(t2 + 2t + 1) = 0
π
π
⇔ t = 2 ⇔ sin x + ÷ = 1 ⇔ x = + k2π .
4
4
8. Phương trình ⇔ (cosx − sinx)(1+ sinxcosx) + 1 = 0
2
π
Đặt t = cosx − sinx = 2cos x + ÷,t ∈ − 2; 2 ⇒ sinxcosx = 1− t .
4
2
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
247
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
Thay vào phương trình ta được:
1− t2
t 1+
÷+ 1 = 0 ⇔ t3 − 3t − 2 = 0 ⇔ t = −1
2 ÷
π
x = + k2π
π
1
⇔ cos x + ÷ = −
⇔
.
2
4
2
x = −π + k2π
Bài 8
1. Phương trình sinx = −1 ⇔ x = −
2. Phương trình ⇔ cos2x =
π
+ k2π
2
3− 1
1
3− 1
⇔ x = ± arccos
+ kπ
2
2
2
3. Phương trình ⇔ 5tan2 x + 2tanx − 5 = 0
−1± 26
−1± 26
⇔ x = arctan
+ kπ
5
5
4. Phương trình ⇔ 2sin2 x + 5sinx + 2 = 0
⇔ tanx =
1
π
7π
⇔ x = − + k2π ,x =
+ k2π .
2
6
6
1
3
− 1÷ + 3 =
5. Phương trình ⇔ 5
2
cosx
cos x
5
3
⇔
−
− 2 = 0 ⇔ 2cos2 x + 3cosx − 5 = 0 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = k2π .
2
cosx
cos x
⇔ sinx = −
6. Phương trình ⇔ 4cos2 x − 13cosx + 9 = 0 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = k2π .
7. Phương trình ⇔ 5 + 5cosx = 2 + sin2 x − cos2 x
1
2π
⇔ x= ±
+ k2π
2
3
8. Phương trình ⇔ cos2x + 3sinx = 1+ 2sinx
π
5π
2sin2 x − sinx = 0 ⇔ x = kπ,x = + k2π,x =
+ k2π
6
6
⇔ 2cos2 x + 5cosx + 2 = 0 ⇔ cosx = −
(
)
2
9. Phương trình ⇔ cosx 4cos x + 8sinx − 7 = 0
π
x = 2 + kπ
cosx = 0
⇔
⇔
2
4sin − 8sinx + 3 = 0 x = π + k2π ,x = 5π + k2π
6
6
10. Phương trình ⇔ 2cos4x = 1+ cos6x ⇔ 4cos3 2x − 4cos2 2x − 3cosx + 3 = 0
248
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
cos2x = 1
x = kπ
x = kπ
⇔ 2
⇔
⇔
cos 2x = 3
cos4x = 1 x = ± π + kπ
4
2
12 2
Bài 9
1. Phương trình cos2 x + 5sinxcosx + 5sin2 x = 0
π
tanx = −1
x = − 4 + kπ
⇔ 5tan2 x + 6tanx + 1 = 0 ⇔
⇔
tanx = − 1
1
6 x = arctan − 6 ÷+ kπ
π 1
2. Phương trình ⇔ cos2x − 3sin2x = 1 ⇔ cos 2x − ÷ =
3 2
π π
π
2x − 3 = 3 + k2π
x = + k2π
⇔
⇔
3
2x − π = − π + k2π
x
=
k
π
3
3
3. Phương trình ⇔ sinx(3sinx + cosx) = 0 ⇔ sinx = 0 hoặc tanx = −
1
⇔ x = kπ, x = arctan − ÷+ kπ
3
4. Phương trình ⇔ sinx
⇔ x = kπ,x =
π
+ kπ .
3
(
1
3
)
3cosx − sinx = 0 ⇔ sinx = 0 hoặc tanx = 3
(
)
2
5. Phương trình ⇔ 2 2 ( tanx + 1) = 3 1+ tan x + 2
⇔ 3tan2 x − 2 2tanx + 5 − 2 2 = 0 vô nghiệm
1
= sin2x + cos2x ⇔ 1+ cot2 2x = 1+ cot2x
6. Phương trình ⇔
sin2x
π
π
cot2x = 0 x = 4 + k 2
⇔
⇔
cot2x = 1 x = π + k π
8
2
3
7. Phương trình ⇔ 2cos x = 3sinx − 4sin3 x = 3sinxcos2 x − sin3 x
x = arctan(−2) + kπ
tanx = −2
⇔ 2 = 3tanx − tan3 x ⇔
⇔
x = π + kπ
tanx = 1
4
8. Phương trình ⇔ 4tan3 x + 3 − 3tanx(1+ tan2 x) − tan2 x = 0
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
249
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
π
x = ± + kπ
2
tan x = 3
3
⇔ tan3 x − tan2 x − 3tanx + 3 = 0 ⇔
⇔
π
tanx = 1
x = + kπ
4
Bài 10
π π
7π
2x − 3 = 4 + k2π
x = 24 + kπ
π
2
⇔
⇔
1. Phương trình ⇔ cos 2x − ÷ =
3 2
2x − π = − π + k2π
x = π + kπ
3
4
24
2. Phương trình ⇔ (4sinx + 3cosx)2 + 5(4sinx + 3cosx) + 6 = 0
3
sin(x + α) = −
4sinx + 3cosx = −3
π
3
5
⇔
⇔
với α ∈ 0; ÷:sin α =
5
2
4sinx + 3cosx = −2 sin(x + α) = − 2
5
3
2
x = −α + arcsin − ÷+ k2π
x = −α + arcsin − ÷+ k2π
5
5
⇔
và
3
2
x = π − α − arcsin − ÷+ k2π
x = π − α − arcsin − ÷+ k2π
5
5
3. Điều kiện: 2cos2 x + sinx − 1 ≠ 0 ⇔ cos2x + sinx ≠ 0
Phương trình ⇔ cosx − sin2x = 3cos2x + 3sinx
π
x = + k2π
π
π
2
⇔ cos 2x − ÷ = cos x + ÷ ⇔
6
3
x = − π + k2π
18
3
π
2π
+k
.
18
3
1 2
4. Phương trình ⇔ 4 1− sin 2x ÷+ 3sin4x = 2
2
Kết hợp điều kiện ta có x = −
⇔ 1− 2sin2 2x + 3sin4x = −1 ⇔ cos4x + 3sin4x = −1
π kπ
x= +
π
1
4 2
⇔ cos 4x − ÷ = − ⇔
3
2
x = − π + kπ
12 2
Bài 11
π t ≤ 2
1. Đặt t = sinx + cosx = 2cos x − ÷ ⇒
4 sin2x = t2 − 1
250
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Ta có : 2(t2 − 1) − t + 1 = 0 ⇔ 2t2 − t − 1 = 0 ⇔ t = 1,t =
1
2
1
ã t = 1 cos x ữ =
⇔ x = k2π,x = + k2π
4
2
2
1
π
1
π
1
• t = − ⇔ cos x − ÷ = −
⇔ x = ± arccos −
÷+ k2π
2
4
4
2 2
2 2
π t ≤ 2
2. Đặt t = cosx − sinx = 2cos x + ÷ ⇒
4 sin2x = 1− t2
π
1
2
Ta có: 1− t + 12t + 12 = 0 ⇔ t = −1 ⇔ cos x + ÷ = −
4
2
π
⇔ x = + k2π ,x = −π + k2π .
2
t ≤ 2
π
3. Đặt t = 2sin x − ÷ = sinx − cosx ⇒
4
sin2x = 1− t2
Ta có: 1− t2 + t = 1 ⇔ t = 0,t = 1
π
π
Từ đó ta tìm được: x = + kπ,x = + k2π ,x = π + k2π
4
2
4. Điều kiên: cosx ≠ 0
Phương trình ⇔ sinx + cosx = 2sin2x
π t ≤ 2
Đặt t = sinx + cosx = 2cos x − ÷ ⇒
4 sin2x = t2 − 1
(
)
2
2
Ta có: t = 2 t − 1 ⇔ 2t − t − 2 = 0 ⇔ t = 2,t = −
1
2
π
11π
5π
+ k2πx = ,x = −
+ k2π
Từ đó tìm được: x = + k2π,x =
4
12
12
sin2x = 1− t2
π
5. Đặt t = sinx − cosx = 2 cos x − ÷ ⇒
4
0 ≤ t ≤ 2
kπ
2
6. Phương trình ⇔ (sinx + cosx)(1− sinxcosx) = (sinx + cosx)(cosx − sinx)
Ta có: t + 2(1− t2) = 1 ⇔ 2t2 − t − 1 = 0 ⇔ t = 1 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x =
⇔ ( sinx + cosx) ( 1− sinxcosx − cosx + sinx) = 0
π
π
+ kπ ,x = − + k2π ,x = k2π
4
2
⇔
cosx
+
sinx
1
−
sinxcosx
7. Phương trình
(
)(
) = 2sin2x + sinx + cosx
Từ đó ta tìm được: x = −
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
251
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
π t ≤ 2
Đặt t = sinx + cosx = 2cos x − ÷ ⇒
4 sin2x = t2 − 1
t2 − 1
kπ
÷ = 2(t2 − 1) + t ⇔ t2 = 1 ⇔ sin2x = 0 ⇔ x =
Ta có: t 1−
÷
2
2
sinx + cosx 10
=
8. Phương trình ⇔ sinx + cosx +
sinxcosx
3
π t ≤ 2
Đặt t = sinx + cosx = 2cos x − ÷ ⇒
4 sin2x = t2 − 1
Ta có: t +
2t
10
⇔ 3t(t2 − 1) + 6t = 10(t2 − 1) (t ≠ ±1)
t −1 3
2
=
⇔ 3t3 − 10t2 + 3t + 10 = 0 ⇔ (t − 2)(3t2 − 4t − 5) = 0 ⇔ t =
2 − 19
3
π 2 − 19
π
2 − 19
⇔ cos x − ÷ =
⇔ x = ± arccos
+ k2π
4
4
3 2
3 2
Bài 12
1. Phương trình ⇔ 5sin2 x + 6sinxcosx + cos2 x = 0
Giải ra ta được x = −
π
1
+ kπ;x = arctan − ÷+ kπ .
4
5
x = kπ
sinx = 0
⇔
⇔
2. Phương trình ⇔ 2sin x − 2 3sinxcosx = 0
.
π
tanx = 3 x = + kπ
3
2
3. Vì cosx = 0 khơng là nghiệm cảu phương trình nên phương trình
đã cho ⇔ 2 2 ( tanx + 1) = 3(1+ tan2 x) + 2
⇔ 3tan2 x − 2 2tanx + 5 − 2 2 = 0 phương trình vơ nghiệm
4. Điều kiện: sin2x ≠ 0
2
1
= 2(sin2x + cos2x) ⇔
= 1+ cot2x
Phương trình ⇔
sin2x
sin2 2x
π
π
π
π
⇔ cot2 2x = cot2x ⇔ x = + k ,x = + k .
4
2
8
2
3
5. Phương trình ⇔ 2cos x = 3sinx − 4sin3 x
(
)
⇔ 2 = 3tanx 1+ tan2 x − 4tan3 x ⇔ tan3 x − 3tanx + 2 = 0
x = arctan(−2) + kπ
tanx = −2
⇔
⇔
x = π + kπ
tanx = 1
4
6. Ta thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình
252
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Nên phương trình ⇔ 4tan3 x + 3 − 3tanx(1+ tan2 x) − tan2 x = 0
tanx = 1
⇔ tan3 x − tan2 x − 3tanx + 3 = 0 ⇔
tanx = ± 3
π
π
⇔ x = + kπ, x = ± + kπ .
4
3
7. Phương trình đã cho tương đương với
tan2 x(tanx + 1) = 3tanx(1− tanx) + 3(1+ tan2 x)
π
x = − + kπ
4
⇔ tan3 x + tan2 x − 3tanx − 3 = 0 ⇔
x = ± π + kπ
3
8. vì cosx = 0 khơng là nghiệm của phương trình nên ta có
(
)
1+ tan2 x + tan3 x(1+ tan2 x) = 2 1+ tan5 x
⇔ tan5 x − tan3 x − tan2 x + 1= 0 ⇔ (tan2 x − 1)(tan3 x − 1) = 0
⇔ tanx = ±1 ⇔ x = ±
Cách khác:
(
π
+ kπ .
4
)
cos3 x + sin3 x = 2 cos5 x + sin5 x ⇔ 2cos5 x − cos3 x = 2sin5 x − sin3 x
(
)
(
)
(
⇔ cos3 x 2cos2 x − 1 = sin3 x 2sin2 x − 1 ⇔ cos2x cos3 x + sin3 x
)
π
π
π
π
x = 4 + k 2
x
=
+
k
⇔
;( k ∈ ¢ )
4
2⇔
π
tanx
=
−
1
x = − + kπ
4
9. Phương trình ⇔ tan2 x + tanx(1+ tan2 x) = 4tanx − 1
⇔ tan3 x + tan2 x − 3tanx + 1= 0
⇔ (tanx − 1)(tan2 x + 2tanx − 1) = 0
⇔ x=
(
)
π
+ kπ ,x = arctan −1± 2 + kπ .
4
10. Phương trình ⇔ ( sinx + cosx) − 3cosx − sinx = 0
3
⇔ (sinx + cosx)3 − (3cosx + sinx)(sin2 x + cos2 x) = 0
x =
cosx
=
0
⇔ sinxcos2 x − cos3 x = 0 ⇔
⇔
tanx = 1 x =
Bài 13
π
+ kπ
2
.
π
+ kπ
4
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
253
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
1. Đặt t = sinx, t ∈ [−1;1] , ta có phương trình : 2t2 − 3t + 1 = 0 ⇔ t = 1;t =
π
+ k2π .
2
x =
1
1
π
* t = ⇔ sinx = = sin ⇔
2
2
6
x =
* t = 1 ⇔ sinx = 1 ⇔ x =
π
+ k2π
6
.
5π
+ k2π
6
cosx = 1 ⇔ x = k2π
2. Phương trình ⇔ − cos2 x − cosx + 2 = 0 ⇔
.
cosx = −2 (vno )
3. Phương trình ⇔ −4sin2 x + 3sinx + 1 = 0
π
x = 2 + k2π
sinx = 1
1
⇔
⇔ x = arcsin(− ) + k2π
.
sinx = − 1
4
4
x = π − arcsin(− 1) + k2π
4
4. Phương trình đã cho tương đương với
3(2cos2 2x − 1) − (1− cos2 2x) + cos2x − 1 = 0
π
cos2x = −1 x = + kπ
2
⇔ 7cos2 2x + cos2x − 6 = 0 ⇔
⇔
cos2x = 6
6
x = ± arccos + k2π
7
7
Bài 14
1. Phương trình ⇔ 4cosx(2cos2 x − 1) + 1 = 0
⇔ 8cos3 x − 4cosx + 1 = 0 ⇔ (2cosx − 1)(4cos2 x + 2cosx − 1) = 0
1
π
1
x = ± + k2π
cosx =
cosx =
3
2
.
⇔
⇔
⇔
2
−1± 5
− 1± 5
2
4cos x + 2cosx − 1 = 0 cosx =
x = ± arccos 8 + k2π
8
2. Ta có sin8 x + cos8 x = (sin4 x + cos4 x)2 − 2sin4 xcos4 x
2
1
1
= 1− sin2 2x÷ − sin4 2x .
2
8
Nên đặt t = sin2 2x, 0 ≤ t ≤ 1 ta được phương trình:
2
1
1
16 1− t ÷ − 2t2 = 17(1− t) ⇔ 2t2 + t − 1 = 0 ⇔ t =
2
2
254
1
.
2
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
1
π
π
⇔ 1− 2sin2 2x = 0 ⇔ cos4x = 0 ⇔ x = + k .
2
8
4
1
1
3. Đặt t = cos2x ⇒ −1≤ t ≤ 1 ⇒ cos4 x = (1+ t)2;sin6 x = (1− t)3
4
8
Nên phương trình đã cho trở thành:
1
1
(1+ t)2 − t + (1− t)3 = 0 ⇔ t3 − 4t2 + 5t − 2 = 0 ⇔ t = 1;t = 2
4
4
t = 1 ⇔ cos2x = 1 ⇔ x = kπ .
Bài 15
π
2π
+ k2π
1 Phương trình ⇔ 2cos2 x + cosx = 0 ⇔ x = + kπ ,x = ±
2
3
⇔ sin2 2x =
2. Phương trình ⇔ 2cos2 x − 1− 3cosx = 2(1+ cosx)
⇔ 2cos2 x − 5cosx − 3 = 0 ⇔ cosx = −
1
2π
⇔ x= ±
+ k2π
2
3
3. Phương trình ⇔ 3(1− cos2x) + 2(1− cos2 2x) = 5
⇔ 2cos2 2x + 3cos2x = 0 ⇔ x =
π
π
+k
4
2
1
1
4. Phương trình ⇔ 1− sin2 2x = sin2x −
2
2
⇔ sin2 2x + 2sin2x − 3 = 0 ⇔ sin2x = 1 ⇔ x =
π
+ kπ
4
3−1
1
3−1
⇔ x = ± arccos
+ kπ
2
2
2
1
3
− 1÷+ 3 =
6. Phương trình ⇔ 2
2
cosx
cos x
5. Phương trình ⇔ cos2x =
⇔2
1
2
cos x
−3
1
+ 1 = 0 ⇔ cosx = 1 ⇔ x = k2π
cosx
cosx ≠ 0
⇔ cosx = 1 ⇔ x = k2π
7. Phương trình ⇔
2
4cos x − 13cosx + 9 = 0
8. Phương trình ⇔ 3 + 5cosx = (sin2 x − cos2 x)(sin2 x + cos2 x)
⇔ 2cos2 x − 5cosx + 2 = 0 ⇔ cosx =
1
π
⇔ x = ± + k2π
2
3
9. Phương trình
⇔ cos2x + 3sinx = 1+ 2sinx ⇔ 1− 2sin2 x + 3sinx − 1− 2sinx = 0
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
255
