Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Hàm số lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (770.66 KB, 45 trang )
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ
LƯỢNG GIÁC VÀ
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG
GIÁC
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
I. Các công thức lượng giác
1. Các hằng đẳng thức:
* sin2 cos2 1
với mọi
k
với mọi �
2
* tan .cot 1
2
* 1 tan
2
* 1 cot
1
cos2
1
với mọi �k2
với mọi �k
sin2
2. Hệ thức các cung đặc biệt
a.Hai cung đối nhau: và
cos() cos
tan() tan
b. Hai cung phụ nhau: và
2
cos( ) sin
2
tan( ) cot
2
c. Hai cung bù nhau: và
sin( ) sin
tan( ) tan
d) Hai cung hơn kém nhau : và
sin( ) sin
tan( ) tan
3. Các công thức lượng giác
sin() sin
cot( ) cot
sin( ) cos
2
cot( ) tan
2
cos( ) cos
cot( ) cot
cos( ) cos
cot( ) cot
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
5
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
a. Công thức cộng
cos(a �b) cosa.cosbm sina.sin b
sin(a �b) sina.cosb �cosa.sinb
tana �tanb
1m tana.tanb
b) Công thức nhân
sin2a 2sinacosa
tan(a �b)
cos2a cos2 a sin2 a 1 2sin2 a 2cos2 a 1
sin3a 3sina 4sin3 a
cos3a 4cos3 a 3cosa
c. Công thức hạ bậc
1 cos2a
1 cos2a
sin2 a
cos2 a
2
2
1
cos2a
tan2 a
1 cos2a
d. Cơng thức biến đổi tích thành tổng
1
cosa.cosb [cos(a b) cos(a b)]
2
1
sina.sin b [cos(a b) cos(a b)]
2
1
sina.cosb [sin(a b) sin(a b)] .
2
e. Công thức biến đổi tổng thành tích
a b
a b
cosa cosb 2cos
.cos
2
2
a b
a b
cosa cosb 2sin
.sin
2
2
a b
a b
a b
a b
sina sin b 2sin
.cos
sina- sin b 2cos
.sin
2
2
2
2
sin(a b)
sin(a b)
tana tanb
tana tan b
.
cosacosb
cosacosb
II. Tính tuần hồn của hàm số
Định nghĩa: Hàm số y f(x) xác định trên tập D được gọi là hàm số
tuần hồn nếu có số T �0 sao cho với mọi x �D ta có
x �T �D và f(x T) f(x) .
Nếu có số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên thì hàm
số đó được gọi là hàm số tuần hồn với chu kì T .
III. Các hàm số lượng giác
1. Hàm số y sinx
�Tập xác định: D R
�Tập giác trị: [ 1;1] , tức là 1�sinx �1 x �R
6
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (
k2; k2) , nghịch biến
2
2
3
trên mỗi khoảng ( k2; k2) .
2
2
�Hàm số y sinx là hàm số lẻ nên đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O
làm tâm đối xứng.
�Hàm số y sinx là hàm số tuần hồn với chu kì T 2 .
�Đồ thị hàm số y sinx .
2. Hàm số y cosx
�Tập xác định: D R
�Tập giác trị: [ 1;1] , tức là 1�cosx �1 x �R
�Hàm số y cosx nghịch biến trên mỗi khoảng (k2; k2) , đồng
biến trên mỗi khoảng ( k2;k2) .
�Hàm số y cosx là hàm số chẵn nên đồ thị hàm số nhận trục Oy
làm trục đối xứng.
�Hàm số y cosx là hàm số tuần hồn với chu kì T 2 .
�Đồ thị hàm số y cosx .
Đồ thị hàm số y cosx bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y sinx
u
r
theo véc tơ v ( ;0) .
2
3. Hàm số y tan x
�
�
�Tập xác định : D �\ � k , k ���
�2
�Tập giá trị: �
�Là hàm số lẻ
�Là hàm số tuần hoàn với chu kì T
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
7
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
�
�
�Hàm đồng biến trên mỗi khoảng �
k; k �
2
�2
�
�Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k, k �� làm một đường tiệm
2
cận.
�Đồ thị
4. Hàm số y cotx
�Tập xác định : D �\ k, k ��
�Tập giá trị: �
�Là hàm số lẻ
�Là hàm số tuần hồn với chu kì T
�Hàm nghịch biến trên mỗi khoảng k; k
�Đồ thị nhận mỗi đường thẳng x k , k �� làm một đường tiệm
cận.
�Đồ thị
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Vấn đề 1. Tập xác định và tập giá trị của hàm
số
8
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
Phương pháp .
�Hàm số y f(x) có nghĩa ۳ f(x) 0 và f(x) tồn tại
1
có nghĩa ۹ f(x) 0 và f(x) tồn tại.
f(x)
� sinu(x) �
�0 u(x) k , k �
�Hàm số y
� cosu(x) �۹
0 �
u(x)
k , k �.
2
� 1�sinx, cosx �1.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. y tan(x )
6
2
y cot2( 3x)
3
Lời giải.
) 0�x۹
k
x
1. Điều kiện: cos(x ��
6
6 2
�2
�
TXĐ: D �\ � k , k ���.
�3
2
2
��
3x) 0
�۹
3
3
�2
�
TXĐ: D �\ � k , k ���.
3
�9
2. Điều kiện: sin(
3x k
x
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số sau:
tan2x
cot(3x )
1. y
sinx 1
6
tan5x
y
sin4x cos3x
Lời giải.
�
�
sinx �1
x � k2
�
�
�
2
��
1. Điều kiện: �
k
sin(3x ) �0 �
�
x �
6
�
�
18 3
�
n
�
k2,
;k,n ���
Vậy TXĐ: D �\ �
18 3
�2
2.
2
3
2
9
k
k
3
2.
�
�
2. Ta có: sin4x cos3x sin4x sin � 3x �
�2
�
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
9
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
�x � �7x �
2cos� �
sin � �
�2 4 � �2 4 �
�
�
cos5x �0
�
�
� �x �
cos� �۹
Điều kiện: �
�0
� �2 4 �
� �7x �
sin � ��0
�
� �2 4 �
�
x� k
�
10
5
�
�
x
k2
�
� 2
k2
�
x �
�
14
7
�
� k
2m �
, n2 ,
Vậy TXĐ: D �\ �
�.
14
7
�10 5 2
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tập xác định của hàm số sau:
1 sin2x
1 cos3x
1. y
2. y
cos3x 1
1 sin4x
2
3. y tan(2x )
4. y 1 cot x
4
1 sin3x
Bài 2 Tìm tập xác định của hàm số sau:
1
tan2x
1. y
2. y
sin2x cos3x
3sin2x cos2x
cotx
3. y
4. y tan(x ).cot(x )
2sinx 1
4
3
Bài 3 Tìm tập xác định của hàm số sau:
2. y tan3x.cot5x
1. y tan(2x )
3
4. y tan3x cot(x )
3
2 sinx
3. y
2
tan4x
tan x
6. y
cos4x sin3x
sin3x
5. y
sin8x sin5x
Vấn đề 2. Tính chất của hàm số và đồ thị hàm
số
Phương pháp .
Cho hàm số y f(x) tuần hồn với chu kì T
* Để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số, ta chỉ cần khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số trên một đoạn có độ dài bằng T sau đó ta
u
r
u
r
tịnh tiến theo các véc tơ k.v (với v (T;0), k �� ) ta được toàn bộ đồ
thị của hàm số.
10
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
* Số nghiệm của phương trình f(x) k , (với k là hằng số) chính bằng
số giao điểm của hai đồ thị y f(x) và y k .
* Nghiệm của bất phương trình f(x) �0 là miền x mà đồ thị hàm số
y f(x) nằm trên trục Ox.
Chú ý:
�Hàm số f(x) asinux bcosvx c ( với u,v �� ) là hàm số tuần hồn
với chu kì T
2
(u,v)
( (u,v) là ước chung lớn nhất).
�Hàm số f(x) a.tanux b.cotvx c (với u,v �� ) là hàm tuần hồn với
chu kì T
.
(u,v)
Các ví dụ
Ví dụ 1.
Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở của các hàm số :
3x
x
f(x) cos .cos
2
2
Lời giải.
1
Ta có f(x) cosx cos2x � hàm số tuần hoàn với chu kì cơ sở
2
T0 2 .
Ví dụ 2. Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm
số sau.
1. f(x) cosx cos
2. f(x) sinx2
3.x
Lời giải.
1. Giả sử hàm số đã cho tuần hồn � có số thực dương T thỏa
f(x T) f(x) � cos(x T) cos 3(x T) cosx cos 3x
�
cosT 1
�
Cho x 0 � cosT cos 3T 2 � �
cos 3T 1
�
�
T 2n
m
�
m
��
� 3
vơ lí, do m,n �� �
là số hữu tỉ.
n
3T
2m
n
�
Vậy hàm số đã cho khơng tuần hồn.
2. Giả sử hàm số đã cho là hàm số tuần hoàn
� T 0:f(x T) f(x) � sin(x T)2 sinx2 x ��
Cho x 0 � sinT 2 0 � T 2 k � T k
� f(x k ) f(x) x ��.
Cho x 2k ta có: f( 2k ) sin
k2
2
sin(k2) 0 .
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
11
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
f(x k ) sin
k2 k
2
sin 3k 2k 2 �sin(2k 2)
� f(x k ) �0 .
Vậy hàm số đã cho khơng phải là hàm số tuần hồn.
Ví dụ 3. Cho a,b,c,d là các số thực khác 0. Chứng minh rằng hàm số
c
f(x) asincx bcosdx là hàm số tuần hoàn khi và chỉ khi
là số hữu
d
tỉ.
Lời giải.
* Giả sử f(x) là hàm số tuần hoàn � T 0: f(x T) f(x) x
�
asincT bcosdT b
�
cosdT 1
��
Cho x 0,x T � �
asincT bcosdT b �
sincT 0
�
�
dT 2n
c m
��
�
�� .
cT
m
d 2n
�
c
c k
2k 2l
* Giả sử �� � k,l ��: . Đặt T
d
d l
c
d
Ta có: f(x T) f(x) x �� � f(x) là hàm số tuần hồn với chu kì
2k 2l
T
.
c
d
Ví dụ 4. Cho hàm số y f(x) và y g(x) là hai hàm số tuần hoàn với
T
chu kỳ lần lượt là T1,T2 . Chứng minh rằng nếu 1 là số hữu tỉ thì các
T2
hàm số f(x) �g(x); f(x).g(x) là những hàm số tuần hồn.
Lời giải.
T
Vì 1 là số hữu tỉ nên tồn tại hai số nguyên m,n;n �0 sao cho
T2
T1
T2
m
� nT1 mT2 T
n
Khi đó f(x T) f(x nT1) f(x) và g(x T) g(x mT2) g(x)
Suy ra f(x T) �g(x T) f(x) �g(x) và f(x T).g(x T) f(x).g(x) ,
f(x T) f(x)
. Từ đó ta có điều phải chứng minh.
g(x T) g(x)
Nhận xét:
1. Hàm số f(x) asinux bcosvx c ( với u,v �� ) là hàm số tuần hồn
2
với chu kì T
( (u,v) là ước chung lớn nhất).
(u,v)
12
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
2. Hàm số f(x) a.tanux b.cotvx c (với u,v �� ) là hàm tuần hồn
với chu kì T
.
(u,v)
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Chứng minh rằng các hàm số sau là những hàm số tuần hồn
với chu kì cơ sở T0 .
.
2
Bài 2 Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số
sau.
1. y sin2x sinx
2. y tanx.tan3x
3.
y sin3x 2cos2x
Bài 3 Xét tính tuần hồn và tìm chu kì cơ sở (nếu có) của các hàm số sau
1. y sin2x sinx
2. y tan x.tan3x
3. y sin3x 2cos2x
4. y sin x
1. f(x) sinx ,
T0 2
2. f(x) tan2x,
T0
Vấn đề 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
của hàm số
Các ví dụ
Ví dụ 1 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y 2sinx
Lời giải.
Hàm số y 2sinx
�TXĐ: D �
�Hàm số y 2sinx là hàm số lẻ
�Hàm số y 2sinx là hàm tuần hồn với chu kì T 2 .
�
�
�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �
k2; k2 �. Nghịch biến trên
2
�
�
�
�
mỗi khoảng � k2; k2 �.
�2
�
�
�
�Đồ thị hàm số đi quan các điểm (k;0), � k2;2�.
�2
�
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
13
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y tan2x
Lời giải.
Hàm số y tan2x
�
�
�TXĐ: D �\ � k ,k ���
2
�4
�Hàm số y tan2x là hàm số lẻ
�Hàm số y tan2x là hàm tuần hoàn với chu kì T
.
2
�
�
�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng �
k; k �.
� 4
�
�Các đường tiệm cận: x k .
4
2
k
�Đồ thị hàm số đi quan các điểm ( ;0) .
2
Ví dụ 2 Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số sau y 1 2cos2 x
Lời giải.
Hàm số y 1 2cos2 x
Ta có: y 2 cos2x
�TXĐ: D �
�Hàm số y 2 cos2x là hàm số chẵn
�Hàm số y 2 cos2x là hàm tuần hoàn với chu kì T .
�
�
�Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng � k; k �, nghịch biến trên
�2
�
�
�
k; k �.
mỗi khoảng �
� 2
�
14
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
�Đồ thị hàm số đi quan các điểm (
k
;1), k;3 .
2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y sin2x
Bài 2: Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số y 2 cosx
Vấn đề 4. Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
hàm số
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y 4sinxcosx 1
2.
y 4 3sin2 2x
Lời giải.
1 Ta có y 2sin2x 1 .
Do 1�sin2x �1� 2 �2sin2x �2 � 1�2sin2x 1 �3
� 1�y �3 .
* y 1 � sin2x 1 � 2x k2 � x k .
2
4
* y 3 � sin2x 1 � x k .
4
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 3, giá trị nhỏ nhất bằng 1.
2
2. Ta có: 0 �sin
�
x �1 1 4 3sin2 x 4
* y 1� sin2 x 1 � cosx 0 � x
k .
2
* y 4 � sin2 x 0 � x k .
Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4, giá trị nhỏ nhất bằng 1.
Ví dụ 2. Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
15
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
1. y 6cos2 x cos2 2x
2.
y (4sinx 3cosx)2 4(4sinx 3cosx) 1
Lời giải.
1. Ta có: y 6cos2 x (2cos2 x 1)2 4cos4 x 2cos2 x 1
2
0;1�
Đặt t cos2 x � t ��
�
�. Khi đó y 4t 2t 1 f(t)
t
0
1
f(t)
7
1
Vậy min y 1 đạt được khi cosx 0 � x
k
2
maxy 1 đạt được khi cos2 x 1 � x k
2. Đặt t 4sinx 3cosx � 5 �t �5 x ��
Khi đó: y t2 4t 1 (t 2)2 3
5;5
��
���
7
t ��
2 3 0 (t 2)2
Vì t ��
Do đó 3 �y �46
Vậy min y 3; maxy 46 .
49
Ví dụ 3. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số sau chỉ
nhận giá trị dương : y (3sinx 4cosx)2 6sinx 8cosx 2m 1
Lời giải.
Đặt t 3sinx 4cosx � 5 �t �5
Ta có: y t2 2t 2m 1 (t 1)2 2m 2
Do
5�t �
5 �
0 �
(t
1)2
36
y 2m 2 min y 2m 2
Hàm số chỉ nhận giá trị dương � y 0 x �� � min y 0
� 2m 2 0 � m 1.
Vậy m 1 là giá trị cần tìm.
Ví dụ 4. Tìm m để hàm số y 2sin2 x 4sinxcosx (3 2m)cos2 x 2
xác định với mọi x
Lời giải.
Hàm số xác định với mọi x
� 2sin2 x 4sinxcosx (3 2m)cos2 x 2 �0 x ��
� cosx 0 � (1) đúng
(1)
� cosx �0 khi đó ta có: (1) � 2tan2 x 4tanx (3 2m) 2(1 tan2 x) �0
� 4tan2 x 4tanx �1 2m x ��
16
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
�(2tanx
����
1)2 2 2m
x �
2 2m 0
m
1
Ví dụ 5. Cho các góc nhọn x,y thỏa mãn sin2 x sin2 y sin(x y) () .
Chứng minh rằng: x y
2
Lời giải.
� �
0; �
Ta có hàm số y sinx,y cosx đồng biến trên khoảng �
� 2�
� �
0; �.
Và x,y, x, y ��
2
2
� 2�
�
�
�
�
sinx sin � y � cosy
x y �
�
�
�
�2
�
�Giả sử x y � � 2
��
2 �
�
�
y x �
sin y sin � x � cosx
�
� 2
�2
�
�
Suy ra: sin2 x sin2 y sinx.sinx sin y.sin y
sinxcosy sinycosx sin(x y)
Mâu thuẫn với ()
�
�
�
�
sinx sin � y � cosy
�
x
y
2
�
�
�
�
�
�Giả sử x y � � 2
��
2 �
�
�
y x �
sin y sin � x � cosx
� 2
�
�2
�
�
Suy ra: sin2 x sin2 y sinx.sinx sin y.sin y
sinxcosy sinycosx sin(x y)
Mâu thuẫn với ()
� () đúng.
2
Vậy () � x y .
2
Ví dụ 6. Tìm gtln và gtnn của các hàm sau :
�Nếu x y
1. y 3sinx 4cosx 5
2. y
sin x 2cosx 1
sinx cosx 2
Lời giải.
1. Xét phương trình : y 3sinx 4cosx 5
� 3sinx 4cosx 5 y 0 � phương trình có nghiệm
2
�3�
�
42 (5 y)
�2 �
y2 10y 0 0 y 10
Vậy miny 0 ; maxy 10 .
2. Do sinx cosx 2 0 x �� � hàm số xác định với x ��
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
17
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
sin x 2cosx 1
sinx cosx 2
� (1 y)sinx (2 y)cosx 1 2y 0
Xét phương trình : y
Phương trình có nghiệm � (1 y)2 (2 y)2 �(1 2y)2
� y2 y 2 �0 � 2 �y �1
Vậy min y 2; maxy 1 .
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y 2sinx 3
2. y 1 2cos2 x 1
�
�
2x �
3. y 1 3sin �
4�
�
4. y 3 2cos2 3x
3. y 3sinx 4cosx 1
4. y 2sin2 x 3sin2x 4cos2 x
4
6. y
5. y 1 2 sin2x
1 2sin2 x
Bài 2 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
2. y 3sinx 4cosx 1
1. y 2sin2 x cos2 2x
5. y sin2 x 3sin2x 3cos2 x
6. y 2sin3x 1
7. y 3 4cos2 2x
9. y 4sin6x 3cos6x
8. y 1 2 4 cos3x
10. y
3
11. y
1 2 sin2 x
3sin2x cos2x
sin2x 4cos2 x 1
Bài 3 Chứng minh đẳng thức sau: asinx bcosx a2 b2 sin(x )
0;2 �
Trong đó ��
�
�và a,b khơng đồng thời bằng 0.
Bài 4 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
2. y 3 2sin2 2x 4
1. y 2cos(3x ) 3
3
4. y tan2 x 4tanx 1
3. y sinx 2 sin2 x
5. y tan2 x cot2 x 3(tanx cotx) 1
Bài 5 Tìm m để hàm số y 5sin4x 6cos4x 2m 1 xác định với mọi
x.
Bài 6 Tìm tập giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau.
1. y 2 3sin3x
2. y 1 4sin2 2x
3. y 1 3 2sinx
5. y 4sin3x 3cos3x 1
18
4. y 3 2 2 sin2 4x
6. y 3cosx sinx 4
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
sin2x 2cos2x 3
2sin2x cos2x 4
9. y 3cosx sinx 2
7. y
10. y
8. y
11.
2
sin 2x 3sin4x
2sin2 3x 4sin3xcos3x 1
sin6x 4cos6x 10
y 3(3sinx 4cosx)2 4(3sinx 4cosx) 1
2cos2 2x sin4x 2
Bài 7 Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x��
1. (3sinx 4cosx)2 6sinx 8cosx �2m 1
3sin2x cos2x
�m 1
sin2x 4cos2 x 1
4sin2x cos2x 17
�2 .
3.
3cos2x sin2x m 1
� �
0; �thỏa cos2x cos2y 2sin(x y) 2 . Tìm giá trị
Bài 8 Cho x,y ��
� 2�
2.
nhỏ nhất của P
sin4 x cos4 y
.
y
x
Bài 9 Tìm k để giá trị nhỏ nhất của hàm số y
ksinx 1
lớn hơn 1.
cosx 2
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A. TĨM TẮT LÍ THUYẾT
Dạng tốn 1: Phương trình lượng giác cơ bản
1. Phương trình: sinx m (1)
* Nếu: m 1 � Phương trình vơ nghiệm
� �
; �
sin m
* Nếu: m �1� ��
� 2 2�
�
x k2
( k�� ).
� (1) � sinx sin � �
x
k2
�
�
� �
�
Chú ý : * Nếu thỏa mãn � 2
2 thì ta viết arcsin m .
�
sin m
�
*Các trường hợp đặc biệt:
1. sinx 1 � x k2
2
2 sinx 1 � x k2
2
3. sinx 0 � x k
2. Phương trình: cosx m (2)
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
19
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
* Nếu: m 1� phương trình vơ nghiệm
* Nếu: m �1� �[0; ]:cos m
�
x k2
� (2) � cosx cos � �
( k �Z ).
x k2
�
�
0�
Chú ý : * Nếu thỏa mãn �
thì ta viết arccosm .
cos m
�
* Các trường hợp đặc biệt:
1. cosx 1 � x k2
2. cosx 1 � x k2
3. cosx 0 � x k
2
3. Phương trình : tanx m (3)
� �
; �: tan m
Với m � ��
� 2 2�
� (3) � tanx tan � x k .
�
�
Chú ý : * Nếu
thỏa mãn � 2
2 thì ta viết arctanm .
�
tan
m
�
* Các trường hợp đặc biệt:
1. tanx 1 � x k
4
2. tanx 1 � x k
4
3. tanx 0 � x k
4. Phương trình: cotx m (4)
Với m � �( ; ) : cot m
2 2
� (4) � cotx cot � x k .
�
�
Chú ý : * Nếu
thỏa mãn � 2
2 thì ta viết arccotm .
�
cot
m
�
* Các trường hợp đặc biệt:
1. cotx 1 � x k
4
2. cotx 1 � x k
4
20
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
3. cotx 0 � x
k
2
Ghi chú:
�
u v k2
* sinu sinv � �
u v k2
�
(k ��)
*
(k ��)
cosu cosv � u �v k2
�
u v k
�
(k,n ��)
* tanu tanv � �
u,v
�
n
�
�
2
�
u v k
(k,n ��)
* cotu cotv � �
u,v �n
�
Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Là phương trình có dạng: asinx bcosx c (1) ; với a,b,c�� và
a2 b2 �0 .
Cách giải: Chia hai vế cho
cos
a
a2 b2
;sin
a2 b2 và đặt
b
a2 b2
� (1) � sinx.cos cosx.sin
.
c
a2 b2
� sin(x )
c
a2 b2
(2).
Chú ý:
� (1) có nghiệm � (2) có nghiệm � a2 b2 �c2 .
�
�
1
3
� sinx � 3cosx 2� sinx
cosx� 2sin(x )
2
2
3
�
�
�3
�
1
� 3sinx �cosx 2 � sinx � cosx� 2sin(x � )
2
6
�2
�
�1
�
1
� sinx �cosx 2 � sinx � cosx� 2sin(x � ) .
4
2
�2
�
Dạng 3. Phương trình bậc hai chứa một hàm số lượng giác
2
�
sinu(x) �
�
sinu(x) �
�
�
�
�
cosu(x)�
cosu(x)�
Là phương trình có dạng : a �
b�
c 0
�
�
tanu(x)�
tanu(x)�
�
�
�
�
cotu(x) �
cotu(x) �
�
�
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
21
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
�
sinu(x) �
�
�
cosu(x)�
Cách giải: Đặt t �
ta có phương trình : at2 bt c 0
�
tanu(x)�
�
�
cotu(x) �
�
Giải phương trình này ta tìm được t , từ đó tìm được x
�
sinu(x) �
1;1�
�
Khi đặt t �
�, ta co điều kiện: t ��
�
cosu(x)�
�
Dạng 4. Phương trình đẳng cấp
Là phương trình có dạng f(sinx,cosx) 0 trong đó luỹ thừa của sinx và
cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.
Cách giải: Chia hai vế phương trình cho cosk x �0 (k là số mũ cao
nhất) ta được phương trình ẩn là tanx .
Dạng 5. Phương trình đối xứng (phản đối xứng) đối với sinx và
cosx
Là phương trình có dạng: a(sinx cosx) bsinxcosx c 0 (3)
Để giải phương trình trên ta sử dụng phép đặt ẩn phụ
�t2 1
sinxcosx
� � �
�
t sinx cosx 2sin �
x �� � 2
� 4� �
t ��
2; 2�
�
�
�
Thay và (5) ta được phương trình bậc hai theo t.
Ngồi ra chúng ta cịn gặp phương trình phản đối xứng có dạng
a(sinx cosx) bsinxcosx c 0 (3’)
Để giải phương trình này ta cũng đặt
�
t ��
2; 2�
�
� �
� � �
t sinx cosx 2sin �
x �� �
1 t2
� 4� �
sinxcosx
�
2
Thay vào (3’) ta có được phương trình bậc hai theo t.
B.PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN.
Vấn đề 1. Giải các phương trình lượng giác cơ
bản
Các ví dụ
Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:
1. sinx cos2x 0
3. 2sin(2x 350) 3
Lời giải.
22
2. cos2 x sin2x 0
4. sin(2x 1) cos(3x 1) 0
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
1. Phương trình � cos2x sinx cos( x)
2
�
2
�
2x x k2
x k
�
�
6
3 , k ��.
2
��
��
�
�
2x x k2
x k2
�
�
�
2
�
2
2
2. Phương trình cos x 2sinxcosx 0
�
cosx 0
�
cosx 0
�
� cosx(cosx 2sinx) 0 � �
�
1
2sinx cosx �
tanx
�
�
2
�
x k
�
�� 2
,k ��.
1
�
x arctan k
�
�
2
3
sin600
2
� 950
x
k.1800
0
0
0
�
�
2x 35 60 k360
2
.
��
��
0
0
0
0
� 1550
�
2x
35
180
60
k360
�
x
k.1800
�
�
2
�
�
4. Phương trình � cos(3x 1) sin(2x 1) cos� 2x 1�
�2
�
3. Phương trình � sin(2x 350)
�
�
3x 1 2x 1 k2
x 2 k2
�
�
2
��
�� 2
.
2
�
�
x k
3x 1 2x 1 k2
�
�
�
2
10
5
�
Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:
1. cosx 2sin2x 0
2.
5
sin3 xsin3x cos3 xcos3x
2
2
2
3. sin 2x cos 2x cos3x
4. sin2x.cos3x sin5x.cos6x
5. sinx sin2x sin3x cosx cos2x cos3x
6. sin2 3x cos2 4x sin2 5x cos2 6x
7. cos2 3xcos2x cos2 x 0
Lời giải.
1. Phương trình � cosx 4sinxcosx 0 � cosx(1 4sinx) 0
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
23
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
�
�
cosx 0 �
x k
2
��
�
�
1
�
1
1
sinx
�
x arcsin k2,x arcsin k2
�
4 �
�
4
4
3sinx sin3x
cos3x 3cosx
;cos3 x
2. Ta có sin3 x
4
4
Nên phương trình đã cho tương đương với
5
sin3x 3sinx sin3x cos3x cos3x 3cosx
2
5
� 3 sin3xsinx cos3xcosx 1
2
3
1
� 3cos4x � cos4x � x � k , k ��.
2
2
12
2
2
2
3. Phương trình � sin 2x cos 2x cos3x
� cos4x cos3x cos 3x
�
2
�
4x 3x k2
x k
��
�� 7
7
�
4x 3x k2
�
x k2
�
1
1
�
sin5x sinx�
� �
�
sin11x sinx�
�
4. Phương trình � �
2
2
� sin5x sin11x � x k hoặc x
k
16
8
6
�
(sinx
sin3x)
sin2x
(cosx cos3x) cos2x
5. Phương trình
� 2sin2xcosx sin2x 2cos2xcosx cos2x
�
2
�
1
x � k2
�
cosx
3
.
� (2cosx 1)(sin2x cos2x) 0 � �
��
2
�
�
sin2x cos2x
x k
�
�
2
� 8
6. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:
1 cos6x 1 cos8x 1 cos10x 1 cos12x
Phương trình �
2
2
2
2
� cos6x cos8x cos10x cos12x
�
x k
�
�
cosx 0
.
� 2cos7xcosx 2cos11xcosx � �
�� 2
cos11x
cos7x
�
�
x k ; x k
�
2
9
�
7. Phương trình � (1 cos6x)cos2x 1 cos2x 0
� cos6x.cos2x 1 0 � cos8x cos4x 2 0
24
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
� 2cos2 4x cos4x 3 0 � cos4x 1 � x k
.
2
Nhận xét:
* Ở cos6x.cos2x 1 0 ta có thể sử dụng cơng thức nhân ba, thay
cos6x 4cos3 2x 3cos2x và chuyển về phương trình trùng phương đối
với hàm số lượng giác cos2x .
* Ta cũng có thể sử dụng các cơng thức nhân ngay từ đầu, chuyển
phương trình đã cho về phương trình chỉ chứa cosx và đặt t cos2 x
Tuy nhiên cách được trình bày ở trên là đẹp hơn cả vì chúng ta chỉ sử
dụng công thức hạ bậc và công thức biến đổi tích thành tổng .
Ví dụ 3 Giải các phương trình sau:
1. 3sinx 4cosx 0
2. sin2x 3cos2x 1
3. 2sin3x 5cos3x 5
4. 3cosx 3sinx 1
5. sin7x cos2x 3(sin2x cos7x)
6. sin3x 3cos3x 2sin2x
7. sinx cosxsin2x 3cos3x 2(cos4x sin3 x)
Lời giải.
1. Phương trình � 3sinx 4cosx � tanx
� 4�
4
� x arctan � � k .
3
� 3�
1
2. Phương trình � 2sin(2x ) 1 � sin(2x ) sin
3
3 2
6
�
�
2x k2
x k
�
�
3
6
12
��
��
, k �� .
5
�
�
2x
k2
x k
�
�
3 6
� 4
�
3. Ta có 22
5
2
9 52 � phương trình vơ nghiệm.
4. Phương trình � 3cosx sinx
� x
1
� cos(x )
6
3
2 3
1
1
�arccos
k2 , k ��.
6
2 3
5. Phương trình � sin7x 3cos7x 3sin2x cos2x
�
�
7x x k2
x k
�
�
3
36
3 , k ��.
� cos(7x ) cos(x ) � � 6
��
6
3
�
�
7x x k2
x
k
�
�
3
4
� 6
� 16
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
25
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
�
3x 2x k2
�
3
6. Phương trình � sin(3x ) sin2x � �
3
�
3x 2x k2
�
� 3
�
x k2
�
�� 3
, k ��.
4
2
�
x
k
�
5
� 15
3
1
3
1
7. Phương trình � sinx sin3x 3cos3x 2cos4x sinx sin3x
2
2
2
2
�
x k2
�
6
.
� sin3x 3cos3x 2cos4x � cos(3x ) cos4x � �
2
3
�
x
k
�
� 42
7
Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:
1. cos( sinx) cos(3 sinx)
2.
�
�
tan � sinx 1 � 1
4
�
�
Lời giải.
�
sinx k
�
3 sinx sinx k2
��
1. Phương trình � �
n
�
3 sinx sinx n2
sinx
�
�
2
�Xét phương trình sinx k . Do k �� và 1�sinx �1 nên ta có các
giá trị của k : 1,0,1
Từ đó ta có các nghiệm: x m ,x m, m ��
2
n
�Xét phương trình sinx . Ta có các giá trị của n là:
2
n �2,n �1,n 0
Từ đó ta tìm được các nghiệm là: x l,x l ,x � l, l ��
2
6
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:
x m ,x m ,x � m m ��.
2
6
2. Phương trình � sinx 1 k
4
4
� sinx 1 1 4k � sinx 4k � sinx 0 � x m , m�� .
Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:
26
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
1.
3 1 sinx
3 1 cosx 2 2sin2x
2. 3sin2 x 5cos2 x 2cos2x 4sin2x
3. 5sinx 2 3 1 sinx tan2 x
4.
�x � 2
x
sin2 � �
tan x cos2 0
2
�2 4 �
Lời giải.
1. Phương trình � 3sinx cosx 3cosx sinx 2 2sin2x
7
� sin(x ) cos(x ) 2sin2x � sin(x ) sin2x
6
6
12
� 7
�
7
2x x
k2
x
k2
�
�
12
.
��
� � 12
7
5
2
�
�
x
k
2x x
k2
�
�
�
12
3
� 36
2. Phương trình đã cho tương đương với
3sin2 x 5cos2 x 2(cos2 x sin2 x) 8sinxcosx
� 5sin2 x 8sinxcosx 3cos2 x 0
� 5tan2 x 8tanx 3 0 � tanx 1 hoặc tanx
3
5
3
k hoặc x arctan k
4
5
0 x
k
3. Điều kiện : cosx �۹
2
� x
Phương trình � 5sinx 2 3(1 sinx)
� 5sinx 2 3(1 sinx)
sin2 x
cos2 x
sin2 x
1 sin2 x
sin2 x
� (5sinx 2)(1 sinx) 3sin2 x
1 sinx
�
x k2
�
1
6
.
� 2sin2 x 3sinx 2 0 � sinx sin � �
5
2
6
�
x
k2
�
� 6
0 x
k .
4. Điều kiện : cosx �۹
2
� 5sinx 2 3
�
�sin2 x
1 cos(x )�
(1 cosx) 0
Phương trình � �
2 �cos2 x
�
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
27
Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
� (1 sinx)
�
sin2 x
1 sin2 x
(1 cosx) 0
sin2 x
(1 cosx) 0
1 sinx
� (1 cos2 x) (1 cosx)(1 sinx) 0
�
x k2
�
cosx 1 �
� (1 cosx)(cosx sinx) 0 � �
�
.
tanx 1 �
x k
�
� 4
Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:
1. sin3 x cos3 x sinx cosx
3. sin2 x 3tanx cosx 4sinx cosx
2. 2cos3 x sin3x
Lời giải.
1. Phương trình � sin3 x cos3 x (sinx cosx)(sin2 x cos2 x)
� 2cos3 x sinxcos2 x cosx.sin2 x 0
� cosx sin2 x sinxcosx 2cos2 x 0
� cosx 0 � x
k (Do sin2 x sinxcosx 2cos2 x 0 x �� )
2
2. Phương trình � 2cos3 x 3sinx 4sin3 x
� 4sin3 x 2cos3 x 3sinx(sin2 x cos2 x) 0
� sin3 x 3sinxcos2 x 2cos3 x 0
� tan3 x 3tanx 2 0 (do cosx 0 không là nghiệm của hệ)
� (tanx 1)(tan2 x tanx 2) 0
�
�
tanx 1
x k
��
�� 4
tanx 2 �
�
x arctan(2) k
�
3. Điều kiện: cosx �0
Phương trình � tan2 x 3tanx(1 tan2 x) 4tanx 1
� 3tan3 x tan2 x tanx 1 0
� (tanx 1)(3tan2 x 2tanx 1) 0
k .
4
Ví dụ 7. Giải các phương trình sau:
1. sin2 x 5sinxcosx 6cos2 x 0
� tanx 1 � x
28
2. sin2 x 3sinx.cosx 1
Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
3. 3sin2 x 5cos2 x 2cos2x 4sin2x
4. sin3 x cos3 x sinx cosx
Lời giải.
1. Nhận thấy cosx 0 khơng là nghiệm của phương trình nên chia
hai vế của phương trình cho cos2 x ta được:
�
1 �
x k
tan x 5tanx 6 0 � �
�
.
4
�
tanx 6
�
x
arctan6
k
�
t tan x �
tanx
2
2. Phương trình � sin2 x 3sinx.cosx (sin2 x cos2 x)
� 2sin2 x 3cosxsinx cos2 x 0
Do cosx 0 khơng là nghiệm của phương trình nên chia hai vế phương
trình cho cos2 x ta được:
�
x k
�
4
2tan2 x 3tanx 1 0 � �
�
�
.
1
�
1
tanx
�
x arctan k
�
2 �
�
2
3. Phương trình đã cho tương đương với
tanx 1
t tanx �
3sin2 x 5cos2 x 2(cos2 x sin2 x) 8sinxcosx
� 5sin2 x 8sinxcosx 3cos2 x 0
�
x k
�
.
� 5tan2 x 8tanx 3 0 � �
�� 4
3
�
3
tanx
�
x arctan k
�
5
�
5
�
tanx 1
t tan x �
4. Phương trình � sin3 x cos3 x (sinx cosx)(sin2 x cos2 x)
� 2cos3 x sinxcos2 x cosx.sin2 x 0
� cosx sin2 x sinxcosx 2cos2 x 0
� cosx 0 � x
k
2
2
�
1
� 7
(Do sin2 x sinxcosx 2cos2 x �
sinx cosx � cos2 x 0 ).
2
�
� 4
Ví dụ 8. Giải các phương trình sau:
1. cos3x cos2x cosx 1 0
6
2.
2
3cos4x 8cos x 2cos x 3 0
1
1
7
4sin( x)
3. sinx
3
4
sin(x )
2
Lời giải.
4. 2sinx(1 cos2x) sin2x 1 2cosx
– Website chuyên đề thi, tài liệu file word
29
