Hướng dẫn giải toán 11 Đại số Dãy số

Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

CHỦ ĐỀ: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG VÀ
CẤP SỐ NHÂN
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Nội dung phương pháp quy nạp toán học
Cho n0 là một số nguyên dương và P(n) là một mệnh đề có nghĩa với
mọi số tự nhiên n �n0 . Nếu
(1) P(n0) là đúng và
(2) Nếu P(k) đúng, thì P(k  1) cũng đúng với mọi số tự nhiên k �n0 ;
thì mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n �n0 .
Khi ta bắt gặp bài toán:
Chứng minh mệnh đề P(n) đúng với mọi số tự nhiên n �n0 , n0 �� ta
có thể sử dụng phương pháp quy nạp như sau
Bước 1: Kiểm tra P(n0) có đúng hay khơng. Nếu bước này đúng thì
ta chuyển qua bước hai
Bước 2: Với k �n0 , giả sử P(k) đúng ta cần chứng minh P(k  1) cũng
đúng.
Kết luận: P(n) đúng với n �n0 .
Lưu ý: Bước 2 gọi là bước quy nạp, mệnh đề P(k) đúng gọi là giả
thiết quy nạp.

Vấn đề 1. Dùng quy nạp để chứng minh đẳng
thức. Bất đẳng thức
Phương pháp .
Phương pháp: Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)  Q(n) (hoặc
P(n)  Q(n) ) đúng với n �n0 , n0 �� ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tính P(n0), Q(n0 ) rồi chứng minh P(n0)  Q(n0 )
Bước 2: Giả sử P(k)  Q(k); k  �,k n0 , ta cần chứng minh
P(k  1)  Q(k  1) .

Các ví dụ
Ví dụ 1.
Chứng mình với mọi số tự nhiên n �1 ta ln có:
n(n  1)
1 2  3  ...  n 
2
Lời giải.
Đặt P(n)  1 2  3  ...  n : tổng n số tự nhiên đầu tiên : Q(n) 

n(n  1)
2

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word108


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

Ta cần chứng minh P(n)  Q(n) n  �,n 1 .
1(1 1)
1
Bước 1: Với n  1 ta có P(1)  1, Q(1) 
2
� P(1)  Q(1) � (1) đúng với n  1.
Bước 2: Giả sử P(k)  Q(k) với k  �,k 1 tức là:
k(k  1)
1 2  3  ...  k 
(1)
2
Ta cần chứng minh P(k  1)  Q(k  1) , tức là:

(k  1)(k  2)
1 2  3  ...  k  (k  1) 
(2)
2
Thật vậy: VT(2)  (1 2  3  ...  k)  (k  1)
k(k  1)
 (k  1)
(Do đẳng thức (1))
2
k
(k  1)(k  2)
 (k  1)(  1) 
 VP(2)
2
2
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi n �1.
Ví dụ 2.
Chứng minh với mọi số tự nhiên n �1 ta ln có:


1 3  5  ...  2n  1  n2
Lời giải.
�Với n  1 ta có VT  1, VP  12  1
Suy ra VT  VP � đẳng thức cho đúng với n  1.
�Giả sử đẳng thức cho đúng với n  k với k  �,k 1 tức là:
1 3  5  ...  2k  1 k2 (1)
Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với n  k  1, tức là:
1 3  5  ...  (2k  1)  (2k  1)   k  1

2

(2)

Thật vậy: VT(2)  (1 3  5  ...  2k  1)  (2k  1)
 k2  (2k  1)

(Do đẳng thức (1))

2

 (k  1)  VP(1.2)
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi n �1.
Ví dụ 3.
Chứng minh rằng với n �1, ta có bất đẳng thức:
1.3.5... 2n  1
1

2.4.6.2n
2n  1
Lời giải.
1 1
� 2  3 đúng.
* Với n  1 ta có đẳng thức cho trở thành : 
2
3
109

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

� đẳng thức cho đúng với n  1.
* Giả sử đẳng thức cho đúng với n  k �1, tức là :
1.3.5... 2k  1
1
(1)

2.4.6...2k
2k  1
Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với n  k  1, tức là :
1.3.5... 2k  1  2k  1
1

(2)
2.4.6....2k  2k  2
2k  3
Thật vậy, ta có :
VT(2) 

1.3.5...(2k  1) 2k  1
1
2k  1
2k  1
.


2.4.6...2k
2k  2
2k


2
2k
2
2k  1

2k  1
1

� (2k  1)(2k  3)  (2k  2)2
2k  2
2k  3
� 3  1 (luôn đúng)
Vậy đẳng thức cho đúng với mọi số tự nhiên n �1.
Ví dụ 4. Chứng minh rằng với n �1,x  0 ta có bất đẳng thức:
Ta chứng minh:

2n1

xn (xn1  1) �x  1�
��
�
�2 �
xn  1

. Đẳng thức xảy ra khi nào?

Lời giải.
3

2
x  1�
2
4
�Với n  1 ta cần chứng minh: x(x  1) ��
�
� � 8x(x  1) �(x  1)
x1
�2 �

Tức là: x4  4x3  6x2  4x  1�0 � (x  1)4 �0 (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi x  1.
2k 1

k k 1
x  1�
�Giả sử x (x  1) ��
�
�
k
x 1
�2 �

, ta chứng minh
2k  3

xk1(xk 2  1) �x  1�
��
�
�2 �

xk1  1

(*)

Thật vậy, ta có:
2k 3

2

2k 1

2

�x  1�
�x  1��x  1�
�x  1� xk (xk 1  1)
�
� �
��
� ��
�
�2 �
� 2 �� 2 �
� 2 � xk  1
Nên để chứng minh (*) ta chỉ cần chứng minh
2

�x  1� xk (xk1  1) xk1(xk 2  1)
�
�

�
� 2 � xk  1
xk1  1
2

�x  1� k1
Hay �
 1)2 �x(xk 2  1)(xk  1) (**)
�(x
�2 �
Khai triển (**) , biến đổi và rút gọn ta thu được
110


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

x2k 2(x  1)2  2xk1(x  1)2  (x  1)2 �0 � (x  1)2(xk1  1)2 �0 BĐT này
hiển nhiên đúng. Đẳng thức có � x  1.
Vậy bài tốn được chứng minh.
Chú ý: Trong một số trường hợp để chứng minh mệnh đề P(n) đúng
với mọi số tự nhiên n ta có thể chứng minh theo cách sau
Bước 1: Ta chứng minh P(n) đúng với n  1 và n  2k
Bước 2: Giả sử P(n) đúng với n  k  1, ta chứng minh P(n) đúng với
nk.
Cách chứng minh trên được gọi là quy nạp theo kiểu Cauchy (Cô si).
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n �1, ta ln có
n(n  1)(2n  1)
1. 12  22  ...  (n  1)2  n2 

6
1 2
n 3 2n  3
2.  2  ...  n  
3 3
4 4.3n
3
Bài 2 Chứng minh các đẳng thức sau
n  n  1  n  2
1. 1.2  2.3  ...  n(n  1) 
với n �1
3
1
1
1
1
n


 ... 

2.
1.5 5.9 9.13
 4n  3  4n  1 4n  1
2
�
n  n  1 �
3. 13  23  33  ...  n3  �
�
�

� 2 �
�
�
�
� 4�
� 4�
� 4��
4
� 1 2n
1 �
1 �
1 �
... 1
4. �
�
�
2
�
� 1 2n
� 1�
� 9�
� 25 � �  2n  1 �
�
�
5.

1
1
1
n


 ... 

1.2 2.3
n(n  1) n  1

n(n2  1)(3n  2)
, n �2
12
2n(n  1)(2n  1)
7. 22  42  ...  (2n)2 
3
n(n  1)(n  2)(n  3)
8. 1.2.3  2.3.4  ...  n(n  1)(n  2) 
4
Với mọi n �� * .
6. 1.22  2.32  3.42  ...  (n  1).n2 

9. 1.22  2.32  3.42  ...  (n  1).n2 
với n �2.
111

n(n2  1)(3n  2)
12

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

1
1
1
n(n  3)

 ... 

1.2.3 2.3.4
n(n  1)(n  2) 4(n  1)(n  2)
Với mọi n �� * .
10.

Bài 3
1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n �1 ta có:
2  2  2  ...  2  2  2cos


n 1

2

(n dấu căn)

2. Chứng minh các đẳng thức sinx  sin2x  ...sinnx 

sin

nx
(n  1)x
sin

2
2
x
sin
2

với x �k2 với n �1.
Bài 4 Chứng minh rằng với mọi n �1 ta có bất đẳng thức:
sinnx �n sinx x ��
Bài 5

n

� 1�
1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n �1, ta có : �
1 �  3
� n�
2. 3n  3n  1 với mọi số tự nhiên n �2;
2.4.6.2n
 2n  1 với mọi số tự nhiên n �1;
3.
1.3.5... 2n  1
Bài 6 Cho hàm số f xác định với mọi x �� và thoả mãn điều kiện :
f(x  y) �f(x).f(y), x,y �� (*). Chứng minh rằng với mọi số thực x
2n

��x �
�
và mọi số tự nhiên n ta có : f  x ��
f� �

n �
��2 �
�
Bài 7 Chứng minh các bất đẳng thức sau
1 1
1
1
1. 1   ...  2  2 
n �2
4 9
n
n
2.

n  1

1
2



1
3

.... 

1
n

�2 n

3. tann  ntan  với 0   


4 n  1

4. 2n  2n  1 n �3
5. 2n2  2n  5, (n ��* )
6. 3n1  n(n  2); (n  �* ,n 4)
7. 2n 3  3n  1; (n  �* ,n 8)
112


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.



 ncos �1 với n �1
n1
n
1 3 5 2n  1
1

9. . . ....
2 4 6 2n  2
3n  4
8. (n  1)cos

10. 1

1 1
1
  ... 
 n ;(n  �* ,n 2) .
n
2 3
2 1

Bài 8 Cho tổng: Sn 

1
1
1
1


 ... 
1.3 3.5 5.7
(2n  1)(2n  1)

1. Tính S1;S2;S3;S4
2. Dự đốn cơng thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp qui
nạp.
Bài 9 Cho hàm số f : � � �, n �2là số nguyên . Chứng minh rằng
f(x)  f(x) �x  y �
�f �
nếu
�x,y �0 (1) thì ta có
2

�2 �
f(x1)  f(x2)  ...  f(xn )
n

�x  x  ...  xn �
�f � 1 2
� xi �0 , i  1,n (2).
n
�
�

Vấn đề 2. Ứng dụng phương pháp quy nạp
trong số học và trong hình học
Các ví dụ
Ví dụ 1.
Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng: an  16n – 15n – 1M225
Lời giải.
�Với n  1 ta có: a1  0 � a1M225 .
�Giả sử ak  16k  15k  1M225, ta chứng minh
ak1  16k1  15(k  1)  1M225





k
k
k
Thậ vậy: ak1  16.16  15k  16  16  15k  1 15 16  1





 ak  15 16k  1





k
k 1
k 2
 ...  1 M15 và ak M225
Vì 16  1  15. 16  16

Nên ta suy ra ak1M225 . Vậy bài toán được chứng minh
Ví dụ 2. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n �1 thì
A(n)  7n  3n  1 luôn chia hết cho 9
Lời giải.
113

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

* Với n  1� A(1)  71  3.1 1  9 � A(1)M9
* Giả sử A(k)M9 k �1, ta chứng minh A(k  1)M9
Thật vậy: A(k  1)  7k1  3(k  1)  1  7.7k  21k  7  18k  9

� A(k  1)  7A(k)  9(2k  1)
�
A(k)M9
� A(k  1)M9
Vì �
9(2k  1)M9
�
Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n �1.
Ví dụ 3. Cho n là số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:
Bn   n  1  n  2  n  3 �. 3n M3n

Lời giải.
�Với n  1, ta có : B1  2.3M3
�Giả sử mệnh đề đúng với n = k, tức là :

Bk   k  1  k  2  k  3 � 3k  M3k

3 k  1 �
M3k1
Ta chứng minh : Bk1   k  2  k  3  k  4 ��
�
�
Bk1  3 k  1  k  2  k  3 � 3k   3k  1  3k  2
 3Bk  3k  1  3k  2

Mà Bk M3k nên suy ra Bk1M3k1 .
Vậy bài toán được chứng minh.
Ví dụ 4. Trong mặt mặt phẳng cho n điểm rời nhau (n > 2) tất cả
không nằm trên một đường thẳng. Chứng minh rằng tất cả các đường
thẳng nối hai điểm trong các điểm đã cho tạo ra số đường thẳng khác

nhau không nhỏ hơn n.
Lời giải.
Giả sử mệnh đề đúng với n  k �3 điểm.
Ta chứng minh nó cũng đúng cho n  k  1 điểm.
Ta có thể chứng minh rằng tồn tại ít nhất một đường thẳng chỉ chứa
có hai điểm. Ta kí hiệu đường thẳng đi qua hai điểm A n và A n1 là
A n A n1 . Nếu những điểm A 1,A 2 ,...,A n nằm trên một đường thẳng thì
số lượng các đường thẳng sẽ đúng là n  1: Gồm n đường thẳng nối
A n1 với các điểm A 1,A 2 ,...,A n và đường thẳng chúng nối chung. Nếu
A 1,A 2 ,...,A n không nằm trên một đường thẳng thì theo giả thiết quy
nạp có n đường thẳng khác nhau. Bây giờ ta thêm các đường thẳng
nối A n1 với các điểm A 1,A 2 ,...,A n . Vì đường thẳng A n A n1 khơng
chứa một điểm nào trong A 1,A 2 ,...,A n1 , nên đường thẳng này khác

114


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

hoàn toàn với n đường thẳng tạo ra bởi A 1,A 2 ,...,A n . Như vậy số
đường thẳng tạo ra cũng không nhỏ hơn n  1.
Ví dụ 5.
Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n �3) bằng
(n  2)1800 .
Lời giải.
�Với n  3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 1800
�Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k  n , ta phải chứng
minh mệnh đề cũng đúng cho n-giác. Ta có thể chia n-giác bằng một
đường chéo thành ra hai đa giác. Nếu số cạnh của một đa giác là

k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1, hơn nữa cả hai số này
đều nhỏ hơn n. Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai đa giác
này lần lượt là  k  1 1800 và  n  k  1 1800 .

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên,
nghĩa là  k – 1 n k – 1 1800   n  2 1800 .
Suy ra mệnh đề đúng với mọi n �3.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Cho n là số nguyên dương.Chứng minh rằng:
1. n(2n2  3n  1) chia hết cho 6.
2. 11n1  122n1 chia hết cho 133
3. n7  n chia hết cho 7
4. 13n  1chia hết cho 6
5. n5  n chia hết cho 5 với mọi n �1
6. 16n  15n  1 chia hết cho 225 với mọi n �1
7. 4.32n1  32n  36 chia hết cho 64 với mọi n �1.
Bài 2
1. Chứng minh rằng với n �2, ta ln có an   n  1  n  2 ... n  n 
chia hết cho 2n .
2. Cho a,b là nghiệm của phương trình x2  27x  14  0

Đặt S n  an  bn . Chứng minh rằng với mọi số ngun dương n thì
S(n) là một số ngun khơng chia hết cho 715.
3. Cho hàm số f : � � � thỏa f(1)  1,f(2)  2 và f(n  2)  2f(n  1)  f(n) .
Chứng minh rằng: f 2(n  1)  f(n  2)f(n)  (1)n
n
4. Cho pn là số nguyên tố thứ n . Chứng minh rằng: 22  p .
n

115

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

5. Chứng minh rằng mọi số tự nhiên khơng vượt qua n! đều có thể
biểu diễn thành tổng của không quá n ước số đôi một khác nhau của
n!.
Bài 3 Gọi x1,x2 là hai nghiệm của phương trình : x2  6x  1  0 . Đặt
an  x1n  x2n . Chứng minh rằng :
1. an  6an1  an2

n �2 .

2. an là một số nguyên và an không chia hết cho 5 với mọi n �1.
Bài 4
1. Trong không gian cho n mặt phẳng phân biệt ( n �1), trong đó ba
mặt phẳng ln cắt nhau và khơng có bốn mặt phẳng nào có điểm
chung. Hỏi n mặt phẳng trên chia không gian thành bao nhiêu miền?
2. Cho n đường thẳng nằm trong mặt phẳng trong đó hai đường
thẳng bất kì ln cắt nhau và khơng có ba đường thẳng nào đồng
quy. Chứng minh rằng n đường thẳng này chia mặt phẳng thành
n2  n  2
miền.
2
Bài 5
1. Cho a,b,c,d,m là các số tự nhiên sao cho a  d , (b  1)c , ab  a  c
chia hết cho m . Chứng minh rằng xn  a.bn  cn  d chia hết cho m
với mọi số tự nhiên n .

2. Chứng minh rằng từ n  1 số bất kì trong 2n số tự nhiên đầu tiên
ln tìm được hai số là bội của nhau.

DÃY SỐ
1. Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u : �* � �, n � u(n)
Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n :
u(1),u(2),u(3),...,u(n),...
�Ta kí hiệu u(n) bởi un và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng
quát của dãy số, u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số.
�Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u1,u2 ,...,un ,... hoặc dạng
rút gọn (un ) .
2. Người ta thường cho dãy số theo các cách:
�Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó
�Cho bằng cơng thức truy hồi, tức là:
* Cho một vài số hạng đầu của dãy
* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một
vài số hạng) đứng trước nó.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
�Dãy số (un ) gọi là dãy tăng nếu un  un1 n �� *
�Dãy số (un ) gọi là dãy giảm nếu un  un1 n �� *
116


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

4. Dãy số bị chặn
�Dãy số (un ) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực M sao cho
un  M n �� * .
�Dãy số (un ) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực m sao cho

un  m n �� * .
�Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là
tồn tại số thực dương M sao cho un  M n �� * .

Vấn đề 1. Xác định số hạng của dãy số
Các ví dụ
Ví dụ 1. Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: 1,3,19,53 . Hãy tìm một quy
luật của dãy số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa
tìm.
Lời giải.
Xét dãy (un ) có dạng: un  an3  bn2  cn  d
�
a  b  c  d  1
�
8a  4b  2c  d  3
�
Ta có hệ: �
27a  9b  3c  d  19
�
�
64a  16b  4c  d  53
�
Giải hệ trên ta tìm được: a  1,b  0,c  3,d  1
� un  n3  3n  1 là một quy luật .
Số hạng thứ 10: u10  971.
2
Ví dụ 2. Cho dãy số (un ) được xác định bởi un  n  3n  7
n1
1. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2. Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Lời giải.
1. Ta có năm số hạng đầu của dãy
12  3.1 7 11 u  17 ,u  25 ,u  7,u  47
, 2
u1 

5
3 3 4 4
6
1 1
2
5
5
2. Ta có: un  n  2 
, do đó un nguyên khi và chỉ khi
n1
n1
nguyên hay n  1 là ước của 5. Điều đó xảy ra khi n  1  5 � n  4
Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4  7 .

�
u1  1
Ví dụ 3. Cho dãy số (un ) xác định bởi: �
.
un  2un1  3 n �2
�
117

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word

Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

1. Viết năm số hạng đầu của dãy;
2. Chứng minh rằng un  2n1  3;
3. Số hạng thứ 20122012 của dãy số có chia hết cho 7 khơng?
Lời giải.
1. Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:
u1  1; u2  2u1  3  5; u3  2u2  3  13; u4  2u3  3  29
u5  2u4  3  61 .
2. Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp
* Với n  1� u1  211  3  1� bài toán đúng với N  1
* Giả sử uk  2k1  3, ta chứng minh uk1  2k 2  3
Thật vậy, theo cơng thức truy hồi ta có:
uk1  2uk  3  2(2k1  3)  3  2k 2  3 đpcm.
3. Ta xét phép chia của n cho 3
* n  3k � un  2(23k  1)  1
Do 23k  1 8k  1  7.A M7 � un không chia hết cho 7
* n  3k  1� un  4(23k  1)  1� un không chia hết cho 7
* n  3k  2 � un  8(23k  1)  5 � un không chia hết cho 7
Vậy số hạng thứ 20122012 của dãy số khơng chia hết cho 7.
Ví dụ 4. Cho hai dãy số (un ),(vn ) được xác định như sau u1  3,v1  2
�
u
 un2  2vn2
�
và � n1
với n �2.
vn1  2un .vn
�

1. Chứng minh : u2n  2v2n  1 và u  2v 
n
n





21

2n

với n �1;

2. Tìm cơng thức tổng qt của hai dãy (un ) và (vn ) .
Lời giải.
1. Ta chứng minh bài toán theo quy nạp
a) Chứng minh: u2n  2v2n  1 (1)
�Ta có u12  2v12  32  2.22  1 nên (1) đúng với n  1
�Giả sử u2k  2v2k  1, khi đó ta có:



u2k1  2vk21  uk2  2vk2



2



 2 2uk vk   uk2  2vk2



2

1

Từ đó suy ra (1) đúng với n �1.
b) Chứng minh u  2v 
n
n





21

2n

(2)
118


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.



Ta có: un  2vn  un21  2v2n1  2 2un1vn1  un1  2vn1
�Ta có: u  2v  3  2 2 
1
1
�Giả sử u  2v 
k
k





21





21

2k

2



2

nên (2) đúng với n  1

, ta có:



uk1  2vk1  uk  2vk

 
2





21

2k 1

Vậy (2) đúng với n �1.
2. Theo kết quả bài trên và đề bài ta có: u  2v 
n
n





21

2n

�
2n
2n
�
2u

2

1

2

1
� n
Do đó ta suy ra �
2n
2n
�
2
2v

2

1

2

1
�

n
�

















�
2n
2n �
1�
�
un  � 2  1  2  1 �
2�
�
�
�
�

�
Hay �
.
n
2
2n �
�
1 �
� 21  21 �
vn 
�
�
�
2
2
�
�
�
�

















CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát un 

2n  1
.
n2

1. Viết năm số hạng đầu của dãy số.
2. Tìm số hạng thứ 100 và 200
167
3. Số
có thuộc dãy số đã cho hay khơng
84
4. Dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên.
u1  1,u2  3
�
Bài 2 Cho dãy số (an ) xác định bởi: �
.
un1  5un  6un1 n �2
�
1. Viết 7 số hạng đầu tiên của dãy
2. Chứng minh rằng: un  5.3n1  6.2n1, n �1.
Bài 3 Cho dãy số (un ) có số hạng tổng quát: un  2n  n2  4
1. Viết 6 số hạng đầu của dãy số

2. Tính u20 ,u2010
3. Dãy số đã cho có bao nhiêu số hạng là số nguyên.

119

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

�
u1  2
Bài 4 Cho dãy số (un ) xác định bởi: �
un  2un1  3n  1, n �2
�
1. Tìm 5 số hạng đầu của dãy
2. Chứng minh rằng un  5.2n  3n  5 n  1,2,3,...
3. Tìm số dư của u2010 khi chia cho 3
�
u1  2008;u2  2009
n �1
Bài 5 Cho dãy số (un ) : �
�2un1  un  un 2
1. Chứng minh rằng dãy (vn ) :vn  un  un1 là dãy không đổi
2. Biểu thị un qua un1 và tìm CTTQ của dãy số (un )
�
u1  1;u2  2
�
n �2
Bài 6 Cho dãy số (un ) : �

u2n
u

� n 1
un1
�
u
1. Chứng minh rằng dãy (vn ) : vn  n là dãy không đổi
u n 1
2. Tìm cơng thức tổng qt của dãy (un ) .
�
u1  2
Bài 7. Cho dãy số (un ) được xác định bởi �
.
� un  2un1  3, n �2
1. Tìm 6 số hạng đầu của dãy;
2. Chứng minh rằng un  5.2n1  3 với n �2;
3. Số hạng có 3 chữ số lớn nhất của dãy là bao nhiêu?
Bài 8. Cho dãy số (un ) có 4 số hạng đầu là : u1  1,u2  3,
u3  6,u4  10 .
1. Hãy tìm một quy luật của dãy số trên;
2. Tìm ba số hạng tiếp theo của dãy số theo quy luật vừa tìm trên.
Bài 9
1�
(2  5)n  (2  5)n �.Chứng minh rằng u2n là
�
�
2
số tự nhiên chẵn và u2n1 là số tự nhiên
lẻ.

1. Cho dãy (un ) : un 

2. Cho dãy số (un ) : un  (4  2 3)n  (4  2 3)n . Chứng minh rằng tất
cả các số hạng của dãy đều là số nguyên.
�
u1  1
�
3. Cho dãy số (un ) : �
. Chứng minh rằng dãy (un ) có
�
3 �
u

u
,n
�
1
n

1
�
n
�
�
2 �
�
�
vơ hạn các số chẵn và vô hạn các số lẻ.
120

Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

4. Chứng minh rằng tồn tại đúng 4 dãy số nguyên dương (un ) thỏa:
u0  1,u1  2 và un 2.un  un21  1.
Bài 10. (Dãy Fibonacci)
Cho dãy số (Fn ) được xác định bởi F1  1,F2  1 và Fn  Fn1  Fn 2
Chứng minh rằng:
n
n
�
�1 5 � �1 5 ��
1 �
F


�
� �
��
1. n
� 2 � � 2 ��
5�
�
� �
��
�
2. Fn2  Fn21  F2n1 và FnFn1  Fn1Fn 2  F2n 2 với mọi n �2.
3. Fn M5k � nM5k .

Vấn đề 2. Dãy số đơn điệu – Dãy số bị chặn
Phương pháp:
� Để xét tính đơn điệu của dãy số (un ) ta xét : kn  un1  un
* Nếu kn  0 n ��* � dãy (un ) tăng
* Nếu kn  0 n ��* � dãy (un ) giảm.
Khi un  0 n �� * ta có thể xét tn 

u n 1
un

* Nếu tn  1� dãy (un ) tăng
* Nếu tn  1� dãy (un ) giảm.
�Để xét tính bị chặn của dãy số ta có thể dự đốn rồi chứng minh
bằng quy nạp.
Các ví dụ
�
u 2
�1
(u
)
:
Ví dụ 1. Cho dãy số n �
. Chứng minh rằng dãy
u
1
u n  n 1
n �2
�
�
2

(un ) là dãy giảm và bị chặn.
Lời giải.
Ta có: un  un1 

1 un1

2
Do đó, để chứng minh dãy (un) giảm ta chứng minh un  1 n �1
Thật vậy:
Với n  1� u1  2  1
u k  1 1 1

1
2
2
Theo ngun lí quy nạp ta có un  1 n �1
Giả sử uk  1� uk1 
121

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

Suy ra un  un1  0 � un  un1 n �2 hay dãy (un) giảm
Theo chứng minh trên, ta có: 1  un  u1  2 n �1
Vậy dãy (un) là dãy bị chặn.
�
u1  1,u2  2
�

Ví dụ 2. Cho dãy số (un ): �
. Chứng minh rằng
un1  un  un1 n �2
�
dãy (un ) là dãy tăng và bị chặn
Lời giải.
Ta chứng minh dãy (un ) là dãy tăng bằng phương pháp quy nạp
* Dễ thấy: u1  u2  u3 .
* Giả sử uk1  uk k �2 , ta chứng minh uk1  uk . Thật vậy:
uk1  uk  uk 1  uk 1  uk 2  uk
Vậy (un ) là dãy tăng.
Cũng bằng quy nạp ta chứng minh được un  4 n , hơn nữa un  0
Nên dãy (un ) là dãy bị chặn.
CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau
1. un 
3. un 

3n2  2n  1
n1

2. un  n  n2  1

3n  1

4. un 

2n

n   1

n

n2

Bài 2 Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (un ) , biết:
1. un 
un 

2n  13
3n  2
1

2
2. un  n  3n  1
n1

3.

1  n  n2

1
1
1
2n
5. un  1 2  2  ...  2 .
2
3
n
n!

Bài 3. Xét tính bị chặn của các dãy số sau
2n  1
1. un 
2. un  (1)n
3. un  3n  1
n2
4. un 

4. un  4  3n  n2
un 

5. un 

n2  n  1
n2  n  1

6.

n1
n2  1
122


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

Bài 4. Xét tính bị chặn của các dãy số sau
1
1
1


 ... 
1. un 
2.
1.3 2.4
n.(n  2)
un 

1
1
1

 ... 
1.3 3.5
 2n  1  2n  1

�
u1  1
�
u
2
3. �
un  n1
, n �2
�
un1  1
�
Bài 5 Xét tính tăng giảm của các dãy số sau
�
u1  1

�
1. �
un1  3 u3n  1, n �1
�
�

�
u1  2
�
2. �
u2  1
u n 1  n
�
�
4

n �1

Bài 6
1. Chứng minh rằng dãy số (un ) xác định bởi
un  2010  2010  ...  2010 (n dấu căn)
Là một dãy tăng.
�
u1  1,u2  2
�
2. Cho dãy số (un ) : �
. Chứng minh rằng dãy
un  3 un1  3 un2 ,n �3
�
(un ) tăng và bị chặn.

an  2
, n �1
2n  1
a) Khi a  4, hãy tìm 5 số hạng đầu của dãy
b) Tìm a để dãy số đã cho là dãy số tăng.
�
u1  2
4. Cho dãy số (un ) : �
un  3un1  2, n  2,3..
�
a) Viết 6 số hạng đầu của dãy
3. Cho dãy số (un ) : un 

b) Chứng minh un  3n1  1, n  1,2,...
5. Cho dãy số un  5.2n1  3n  n  2, n  1,2,...
a) Viết 5 số hạng đầu của dãy
b) Chứng minh rằng: un  2un1  3n1  n .
Bài 7
1. Cho dãy số (un ) : un  (1 a)n  (1 a)n ,trong đó a �(0;1) và n là số
nguyên dương.
a)Viết cơng thức truy hồi của dãy số
b)Xét tính đơn điệu của dãy số

123

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

2. Cho dãy số (un ) được xác định như sau:
�
u1  1
�
1
.
�
un  3un1 
 2, n �2
�
2u
�
n1
a) Viết 4 số hạng đầu của dãy và chứng minh rằng un  0, n
b) Chứng minh dãy (un ) là dãy tăng.
�
u0  2011
�
3. Cho dãy số (un ) được xác định bởi : �
u2n
u n 1 
, n  1,2,...
�
un  1
�
a) Chứng minh rằng dãy (un ) là dãy giảm
b) Tìm phần nguyên của un với 0 �n �1006.
�
u1  2,u2  6
4. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: �

un 2  un  2un1, n  1,2,...
�
a) Gọi a,b là hai nghiệm của phương trình x2  2x  1  0 . Chứng minh
rằng: un  an  bn
b) Chứng minh rằng: u2n1  un 2un  (1)n1.8.
Bài 8 Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số sau
n1
1. (un ) : un 
2.
n2
(un ) : un  n3  2n  1
�
u 2
�
u1  2,u2  3
�1
�
3. (un ) : �
4. �
un  1
u

, n �2
un1  un  un1 , n �2
�
�
� n 1
2
.
Bài 9

�
x0  1
�
1. Cho dãy số (xn ) : �
2n n1
xn 
�xi , n  2,3,...
�
(n  1)2 i 1
�
Xét dãy số yn  xn1  xn . Chứng minh rằng dãy (yn ) là một tăng và bị
chặn.
�
u0  1,u1  3
�
�
�
u2n1 �
2. Cho dãy số nguyên dương (un ) thỏa : �
.
�
�, n �0
u

1

n

2
�

u
�
� n �
�
�
124


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

Chứng minh rằng: un 2un  un21  2n với mọi số tự nhiên n .
�
u0  0
�
3. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: �
un1  5un  24un2  1, n  0,1,..
�
�
.
Chứng minh rằng dãy số (un ) là dãy số nguyên.
1�
(2  5)n  (2  5)n �
�
2�
là số tự nhiên chẵn và u2n1 là số tự nhiên lẻ.

4. Cho dãy số (un ) được xác định bởi: un 
Chứng minh rằng u2n

5. Cho hai dãy số (xn );(yn ) xác định :
�
xn  xn1  1 x2n1
�
�
x1  3
�
�
yn1
và �
, n �2.
�
�y1  3
�yn 
1 1 y2n1
�
�
Chứng minh rằng 2  xn yn  3, n �2 .
�
u0  1
�
6. Cho dãy số số (un ) được xác định bởi: �
1�
1 �.
u n 1  �
u

�
n
�

2�
3un �
�
�
�
3
Chứng minh rằng: an  2
là một số chính phương.
3un  1

CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
1. Cấp số cộng
� u1  a
, n �N *
1.1. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi �
u

u

d
� n 1
n
gọi là cấp số cộng; d gọi là cơng sai.
2.1. Các tính chất:
� Số hạng thứ n được cho bởi công thức: un  u1  (n  1)d .
�Ba số hạng uk ,uk 1,uk 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi
1
 u  uk  2  .
2 k
�Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức :

và chỉ khi uk1 

Sn  u1  u2  ...  un 

n
n
u1  un   �
2u   n  1 d�

�.
2
2� 1

2. Cấp số nhân
125

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

� u1  a
, n �N *
1.2. Định nghĩa: Dãy số (un) được xác định bởi �
u

u
.q
� n 1

n
gọi là cấp số cộng; q gọi là cơng bội.
2.2. Các tính chất:
� Số hạng thứ n được cho bởi công thức: un  u1qn1 .
�Ba số hạng uk ,uk 1,uk 2 là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng khi
và chỉ khi u2k1  uk .uk 2 .
�Tổng n số hạng đầu tiên Sn được xác định bởi công thức :
Sn  u1  u2  ...  un  u1

qn  1
.
q1

Vấn đề 1. Xác định cấp số và xác yếu tố của
cấp số
Phương pháp:
�Dãy số (un ) là một cấp số cộng � un1  un  d không phụ thuộc
vào n và d là công sai.
u
�Dãy số (un ) là một cấp số nhân � n1  q không phụ thuộc vào n
un
q
và
là cơng bội.
�Ba số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng � a  c  2b .
�Ba số a,b,c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân � ac  b2 .
�Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và cơng
sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và d .
�Để xác định một cấp số nhân, ta cần xác định số hạng đầu và cơng
bội. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua u1 và q .

Các ví dụ
Ví dụ 1. Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của
chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.
Lời giải.
Giả sử bốn số hạng đó là a  3x;a  x;a  x;a  3x với công sai là d  2x
.Khi đó, ta có:
�  a  3x   a  x   a  x   a  3x  20
�
�
�
 a  3x 2   a  x 2   a  x 2   a  3x 2  120
�
�
4a  20
�a  5
�
�� 2
��
2
x  �1
4a  20x  120 �
�
Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8 .
Chú ý:
126


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

* Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết
bài toán gọn hơn.
* Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi cơng sai d  x , là chẵn thì gọi
cơng sai d  2x rồi viết các số hạng cấp số dưới dạng đối xứng.
�
�a1  a2  ...  an  p
* Nếu cấp số cộng (an ) thỏa: �2
thì:
a1  a22  ...  an2  s2
�





12 ns2  p2
1 � n  n  1 �
a1  �
p
.d�và d  �
.
n�
2
�
�
n2 n2  1
�





�
u2  u3  u5  10
Ví dụ 2. Cho CSC (un ) thỏa : �
� u4  u6  26
1. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số;
2. Tính S  u1  u4  u7  ...  u2011 .
Lời giải.
Gọi d là công sai của CSC, ta có:
�
(u1  d)  (u1  2d)  (u1  4d)  10
u  3d  10 �u1  1
�
� �1
��
�
(u1  3d)  (u1  5d)  26
u1  4d  13 �
d3
�
�
1. Ta có cơng sai d  3 và số hạng tổng quát : un  u1  (n  1)d  3n  2 .
2. Ta có các số hạng u1,u4 ,u7 ,...,u2011 lập thành một CSC gồm 670 số
hạng với công sai d'  3d , nên ta có: S 

670
 2u1  669d'  673015
2

�
u5  3u3  u2  21
Ví dụ 3. Cho cấp số cộng (un ) thỏa: �
.
3u7  2u4  34
�
1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;
2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;
3. Tính S  u4  u5  ...  u30 .
Lời giải.
�
u1  4d  3(u1  2d)  (u1  d)  21
Từ giả thiết bài tốn, ta có: �
3(u1  6d)  2(u1  3d)  34
�
u  3d  7
u 2
�
�
� �1
� �1
.
u1  12d  34 �
d  3
�
1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100  u1  99d  295
2. Tổng của 15 số hạng đầu: S15 
3. Ta có: S  u4  u5  ...  u30 
127

15
�
2u  14d�
� 285
2� 1

27
�
2u  26d �
�
2� 4

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

 27 u1  16d   1242 .
Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:
S  S30  S3  15 2u1  29d  

3
 2u1  2d   1242 .
2

�
u2  u3  u5  10
Ví dụ 4. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn �
� u4  u6  26
1. Xác định cấp số cộng

2. Tính tổng
S  u5  u7  �  u2011
Lời giải.
u1  d  (u1  2d)  u1  4d  10 �
u  3d  10
�
� �1
1. Ta có: �
u1  3d  u1  5d  26
u1  4d  13
�
�
� u1  1,d  3 ; u5  u1  4d  1 12  13
2. Ta có u5 ,u7 ,...,u2011 lập thành CSC với công sai d  6 và có 1003 số
hạng nên S 

1003
 2u5  1002.6  3028057 .
2

Ví dụ 5. Cho một cấp số cộng (un ) có u1  1 và tổng 100 số hạng
đầu bằng 24850. Tính S 

1
u1u2



1
1

 ... 
u2u3
u49u50

Lời giải.
Gọi d là cơng sai của cấp số đã cho
Ta có: S100  50 2u1  99d   24850 � d 
� 5S 

5
5
5

 ... 
u1u2 u2u3
u49u50




� S

497  2u1
5
99

u  u49
u2  u1 u3  u2

 ...  50

u1u2
u2u3
u49u50
1
1
1
1
1
1
1
1



 ... 



u1 u2 u2 u3
u48 u49 u49 u50

1
1
1
1
245





u1 u50 u1 u1  49d 246

49
.
246

Ví dụ 6. Cho cấp số nhân (un) có các số hạng khác khơng, tìm u1
biết:

128


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.

�
u  u2  u3  u4  u5  11
�1
2. �
82
u1  u5 
�
�
11

�
�u1  u2  u3  u4  15
1. � 2
u1  u22  u23  u24  85
�

Lời giải.

� q4  1
u1
 15
�
�
u1(1 q  q  q )  15
� q1
�
��
1. Ta có: � 2
u1 1 q2  q4  q6  85 � 2 q8  1
�
�
u1
 85
�
2
� q 1
2



3



2
q2

�q4  1��q2  1� 45 (q4  1)(q  1) 45 �
�
��
�
��
�

�
1
�
�q  1 ��q8  1� 17
q
(q  1)(q4  1) 17
�
��
�
� 2

Từ đó ta tìm được u1  1,u1  8 .





�
39
�
u 1 q  q2  q3  q4  11 �
u q(1 q  q2) 
�1

�1
11
��
2. Ta có: �
82
4
82
4
�
�
u (1 q ) 
u (1 q ) 
�1
11
�1
11
�

q4  1
3

2

q q q



82
1
� q  3,q  .

39
3

�
2
u4 
�
Ví dụ 7. Cho cấp số nhân (un ) thỏa: �
.
27
�
u

243u
8
�3
1. Viết năm số hạng đầu của cấp số;
2. Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số;
2
3. Số
là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số ?
6561
Lời giải.
Gọi q là công bội của cấp số. Theo giả thiết ta có:
� 3 2
� 3 2
� 1
uq 
�
u

q

q
�1
�1
27 � �
27
�
�
�
� 3
1
�
�
�
u1  2
q5 
u1q2  243.u1q7
�
�
�
243
1. Năm số hạng đầu của cấp số là:
2
2
2
2
u1  2,u2  ,u3  ;u4 
,u 
.

3
9
27 5 81
2. Tổng 10 số hạng đầu của cấp số

129

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt
10

�1 �
10 �
�3 �  1
10
� �1 �
q 1
59048 .
�
�
�
S10  u1
 2.
 3 1 � � �
1
q1
� �3 � � 19683
1

�
�
3
2
2
� 3n1  6561 38 � n  9
3. Ta có: un  n1 � un 
6561
3
Vậy

2
là số hạng thứ 9 của cấp số.
6561

CÁC BÀI TỐN LUYỆN TẬP
Bài 1 Dãy số (un ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác
định số công sai ? Biết:
1. un  2n  3
2. un  3n  1
3. un  n2  1
4.
2
n
Bài 2 . Dãy số (un ) có phải là cấp số nhân không ? Nếu phải hãy xác
định số công bội ? Biết:
2
1. un  2n
2. un  4.3n
3. un  .

n
Bài 3. Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay khơng?
Nếu phải hãy xác định công sai.
2n  3
1. un  3n  1
2. un  4  5n
3. un 
5
n
n1
4. un 
5. un  n
6. un  n2  1
n
2
Bài 4 Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số nhân hay không? Nếu
phải hãy xác định công bội.
un 

1. un  2n
4. un 

2n  1
3

n1

2. un   3

5

3. un  3n  1

5. un  n3 .

Bài 5.
1. Tam giác ABC có ba góc A ,B,C theo thứ tự đó lập thành cấp số
cộng và C  5A . Xác định số đo các góc A ,B,C .
2. Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và
sinA  sinB  sinC 

3 3
tính các góc của tam giác
2

130


Các bài giảng trọng tâm theo chun đề Mơn Tốn lớp 12 – Nhiều tác
giả.
n

Bài 6. Cho dãy số (un ) với u  321
n
1. Chứng minh dãy số (un) là cấp số nhân
2. Tính tổng S  u2  u4  u6  �  u20
3. Số 19683 là số hạng thứ mấy của dãy số.
Bài 7.
1. Cho cấp số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6 và số hạng
thứ 7 gấp 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìm số hạng cịn lại của CSN

đó.
2. Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng
bằng 9 và tổng các bình phương của chúng bằng 29.
3. Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp
số cộng, ba số sau lập thành cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và
cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.
Bài 8.
u7  u3  8
�
1. Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn �
. Tìm u1,d ?
�u2.u7  75
�
u31  u34  11
�
2. Cho cấp số cộng (un) có cơng sai d  0; � 2
. Hãy tìm số
u31  u234  101
�
hạng tổng quát của cấp số cộng đó.
3. Gọi S1;S2;S3 là tổng n1;n2 ;n3 số hạng đầu của một cấp số cộng.
Chứng minh rằng:

S1
n1

S

S

 n2  n3   n2  n3  n1  n3  n1  n2   0
2

3

�
u  u2  u3  u4  u5  11
�1
Bài 9. Cho CSN (un ) thỏa: �
82
u1  u5 
�
�
11
1. Tìm cơng bội và số hạng tổng qt của cấp số
2. Tính tổng S2011
�1 �
3. Trên khoảng � ;1�có bao nhiêu số hạng của cấp số.
�2 �
Bài 10.
1
1. Cho dãy số (xn ) : xn  , n  1,2,3... . Chứng minh rằng luôn tồn tại
n
một CSC gồm 2011 số hạng mà mỗi số hạng đều thuộc dãy số trên.

Vấn đề 2. Chứng minh tính chất của cấp số
Phương pháp:
�Sử dụng công thức tổng quát của cấp số, chuyển các đại lượng qua
số hạng đầu và công sai, cơng bội.
�Sử dụng tính chất của cấp số:

131

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word


Cty TNHH MTV DVVH Khang Việt

i) a,b,c theo thứ tự đó lập thành CSC � a  c  2b
ii) a,b,c theo thứ tự đó lập thành CSN � ac  b2
Các ví dụ
Ví dụ 1. Chứng minh rằng các số:
1. 1, 3,3 không thể cùng thuộc một CSC;
2. 2,3,5 không thể cùng thuộc một CSN.
Lời giải.
1. Giả sử 1, 3,3 là số hạng thứ m,n,p của một CSC (un ) . Ta có:
u (p  n) p  n
3  3 up  un
3

 1

vơ lí vì 3 là số vơ tỉ, cịn
3  1 un  um u1(n  m) n  m
p n
là số hữu tỉ.
nm
2. Giả sử 2,3,5 là ba số hạng thứ m,n,p của CSN (vn ) có cơng bội q
Ta có:

p n

m n
2 um
5
2�
�5�
(p n)(m n)

 qm n ;  qp n , suy ra �

��
�� p
3 un
3
3
3
��
��

� 2pn.3m p.5nm  1 vơ lí.
Ví dụ 2. Chứng minh rằng dãy số (un ) là:
1. CSC khi và chỉ khi un  an  b

2. CSN khi và chỉ khi

n

un  a.q .
Lời giải.
1. Giả sử (un ) là một CSC công sai d , khi đó :
un  u1  (n  1)d  dn  u1  d  an  b .

Giả sử: un  an  b � un1  un  a � un1  un  a, n
Suy ra (un ) là một CSC với công sai a .
2. Giả sử (un ) là CSN với công bội q , khi đó: un  u1.qn
u n 1
 q � un1  q.un , n
un
Suy ra dãy (un ) là CSN với công bội q .
Giả sử un  a.qn , suy ra

Ví dụ 3. Chứng minh rằng :
1. Nếu phương trình x3  ax2  bx  c  0 có ba nghiệm lập thành CSC
thì 9ab  2a3  27c
2. Nếu phương trình x3  ax2  bx  c  0 có ba nghiệm lập thành CSN
thì c(ca3  b3)  0
Lời giải.
132