So tay toan hoc lop 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>2. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA. SỔ TAY TOÁN HỌC LỚP 10 Biên soạn: Thầy Nguyễn Ngọc Phong Trung Tâm BDVH Hồng Chuyên 1. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ VI-ÉT CHO PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2. A khi A  0 * A  A khi A  0 A  B * A  B   A  B. B  0  Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 ( a  0 ) * A  B   2 A  B Phương trình có: A  0 * A  B 0 1. 2 nghiệm trái dấu: x1 < 0 < x 2  P < 0 B  0 2. 2 nghiệm dương:. 3. 2 nghiệm âm:.  0  0 < x1  x 2   P > 0 S > 0 . *.   0 P > 0. *. 4. 2 nghiệm cùng dấu:  . 5. Có ít nhất 1 nghiệm dương: + TH1: x1  0 < x 2  P  0. + TH2: 2 nghiệm dương (số (2)) 6. Có ít nhất 1 nghiệm âm: + TH1: x1 < 0  x 2  P  0 + TH2: 2 nghiệm âm (số (3)).  0 7. x < k < x  x  k  0    0  1  1 2  x  k  0 (x1  k).(x 2  k)  0  2. A  0 A  0 hoặc   A  B  A  B.  B  0 * A B  2  A  B  A  0 (hay B  0) * A  B   A  B.  0  x1  x 2  0   P > 0 S < 0 . * *. A  0 A  B 0 B  0  A  0; B  0 A Bk 2  A  B  2 A.B  k  C  0 A B C  A  B  2 A.B  C A B. C D.  A  0; B  0 (hay :C  0; D  0)   A  B  2 A.B  C  D  2 C.D. 3. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ P/T * Dạng 1: A  A  k Đặt : t  A  t 2  A. A  B  A.B  k.   0;S  2k 8. k < x < x  x  k  0    0;S  2k  1  Đặt : t  A  B  t 2  A  B  2 A.B 1 2 (x1  k).(x 2  k)  0 x  k  0  2 B * Dạng 3: A.B  A k   0; S  2k A  0; S  2k   9. x < x  k  x  k  0   1  1 2 (x1  k).(x 2  k)  0 Đặt : t  A B  t 2  A.B x  k  0  2 A Chú ý: * Nếu 2 nghiệm phân biệt thì thay điều kiện   0 * Dạng 4: 3 A  B  k Với A  B  k ' bằng   0 a  3 A a 3  A 2   a 3  b2  k ' Đặt:   2 * ( x1  k )( x2  k )  x1x2  k ( x12 x2 )  k b  B b  B  P  k. S  k * Dạng 2:. 4. HẰNG ĐẲNG THỨC. ;. *a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) *a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) *(a  b)3  a3  3a 2b  3ab 2  b3 *(a  b)3  a3  3a 2b  3ab 2  b3 *a 2  b 2  (a  b)2  2ab  (a  b) 2  2ab *(a  b) 2  a 2  2ab  b 2  (a  b) 2  4ab 5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT. a1 x  b1 y  c1  a2 x  b2 y  c2 . Tính các định thức. *D. . a1. b1. a2. b2. * Dx . c1. b1. c2. b2. * Dy . a1. c1. a2. c2. 1) Tính chất * Cộng 1 số: a  b  a  c  b  c * Nhân 1 số:. a  b  a.c  b.c (c  0) a  b  a.c  b.c (c  0). a  b * Cộng vế theo vế:   acbd c  d * Nhân vế theo vế đối với 1 số dương:. a  b a  0; c  0 :   a.c  b.d c  d 2) Một số Bất Đẳng Thức “hiển nhiên đúng”.  a1b2  a2b1. * a 2  0 (a  ); * a 2  b 2  0 (a, b  ) * a 2  b 2  2ab (a, b  ).  c1b2  c2b1. 3) Bất Đẳng Thức Cô-Si. * a, b  0 : a  b  2 ab . Dấu “=” xảy ra khi a =b.  a1c2  a2c1. Nghiệm của hệ phương trình. * Hệ có nghiệm duy nhất  D  0 nghiệm của hệ: x . 7. BẤT ĐẲNG THỨC. Dy Dx ; y D D. D  0 D  0 * Hệ vô nghiệm   hay  D y  0 D x  0 * Hệ có vô số nghiệm  D  D x  D y  0 6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 1. * a, b, c  0 : a  b  c  3 3 abc (dấu “=” xảy ra khi a = b = c) 2. 3. ab abc * Hệ quả:    a.b ;    a.b.c 2 3     4) Bất Đẳng Thức Bunhiacopky (B.C.S). * a, b, x, y . : (ax  by) 2  (a 2  b 2 )(x 2  y 2 ). * a, b, x, y  0 : ax  by  a 2  b 2 x 2  y 2 * Dấu “=” xảy ra khi: a.y = b.x * Hệ quả: (a  b) 2  2(a 2  b 2 ). Là hệ p/t mà khi thay đổi x và y cho nhau thì hệ 5) Kiến thức mở rộng cần nhớ p/t vẫn không thay đổi * Hằng đẳng thức 3 số: Phương pháp giải: * Biến đổi hệ p/t về dạng (x +y) và x.y.  (a  b  c) 2  a 2  b 2  c2  2ab  2bc  2ac. * Đặt: S = x + y; P = x.y. Thế S, P vào hệ.  (a  b  c) 2  a 2  b 2  c2  2ab  2bc  2ac. * Giải hệ mới tìm S, P.  (a  b  c) 2  a 2  b 2  c2  2ab  2bc  2ac. * Áp dụng định lý Viét đảo. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0 (*). * Bất đẳng thức phân số:. * Nếu phương trình (*) có nghiệm X1, X2 thì nghiệm của hệ p/t là (X1; X2) và (X2; X1). Với a, b, c, d  0 :. a a a   abcd abc ab. * Bất đẳng thức căn bậc 2:. a  b  ab.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> 8. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC. 9. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1/ Hệ thức lượng trong tam giác vuông. 1/ Cung liên kết a. Cung đối : (). * cos()  cos  * tan()   tan . * sin()   sin  * cot()   cot . *AC2  CH.CB. b. Cung bù: (  ). * cos(  )   cos  * tan(  )   tan  c. Cung phụ:. (. 2. * 12  12  12 AH AB AC 2 *AB  BH.BC. * sin(  )  sin  *AH 2  HB.HC * cot(  )   cot . *AB.AC  AH.BC *b  a sin B  a cos C  c tan B  c cot C * sin(  )  cos  *c  a sin C  a cos B  b tan C  b cot B 2.  ). * cos(  )  sin  2 * tan(  )  cot  2. * cot(  )  tan  2. * sin(  )   sin  * cot(  )  cot . 2/ Công thức cộng. * sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b * cos(a  b)  cos a cos b sin a sin b * tan(a  b)  tan a  tan b 1 tan a.tan b. Cho 2 vectơ a  (a1; a 2 ); b  (b1; b 2 ). * a  b  (a1  b1; a 2  b 2 ). * Chú ý:. * k.a  k(a1; a 2 )  (k.a1; k.a 2 ) (k  ). - H cũng là chân đường cao hạ từ A của. a  b1 * a  b 1 a 2  b 2. - Nếu A’ đối xứng với A qua BC thì H là trung điểm của AA’  tọa độ điểm A’( ) 5) K là trực tâm. * Độ dài Vectơ : a  a12  a 22 * Hai 2 Vectơ a; b cùng phương:. 2/ Hệ thức lượng trong tam giác thường. a1 a 2  b1 b 2. (b1; b 2 )  0. - ma ; mb ; mc : độ dài các đường trung tuyến hạ từ các đỉnh tương ứng là A, B, C - ha ; hb ; hc : độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh tương ứng là A, B, C - R, r: bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. 2. a.b  a1.b1  a 2 b2. (a  b  a.b  0). II. Các tính chất của điểm Cho 2 điểm A(x A; y A ); B(x B; y B). * AB  (x B  x A ; y B  y A ). 2. ;. * cos a  cos b  2cos a  b cos a  b 2 2 * cos a  cos b   2sin a  b sin a  b 2 2 * sin a  sin b  2sin a  b cos a  b 2 2 * sin a  sin b  2cos a  b sin a  b 2 2 * Đặc biệt: sin a  cos a  2 sin(a   ) 4. 6) I là tâm đường tròn ngoại tiếp. 2 2 2 *mc2  (2a  2b  c ). 4. 4. d. Công thức tính diện tích tam giác. ABC :. AI  BI   I( ) AI  CI 7) D là chân đường phân giác trong A của. . ABC. AB DB AB DB     D( ) AC DC AC DC. (Thiết lập công thức tương tự ta sẽ tìm được chân đường phân giác trong góc B, góc C) 8) J là tâm đường tròn nội tiếp. * I là trung điểm AB:. *Bước 1: Tìm D là chân đường phân giác trong A. xI . 2. ABC :. * AB  AB  (x B  x A ) 2  (y B  y A ) 2 xA  xB y  yB ; yI  A 2 2. * b = a + c – 2ac.cosB * sin 2 a  1  cos2a 2 * c2 = a2 + b2 – 2ab.cosC * G là trọng tâm tam giác ABC: 5/ Công thức biến đổi tích thành tổng x  xB  xC y  y B  yC b. Định lý hàm sin: a  b  c  2R sin A sin B sin C xG  A ; yG  A * cos a.cos b  1 [cos(a  b)  cos(a  b)] 3 3 2 * sin a.sin b   1 [cos(a  b)  cos(a  b)] c. Công thức tính độ dài các đường trung tuyến * A thuộc trục hoành (x’Ox): A(xA ; 0) 2 2 2 2 * sin a.cos b  1 [sin(a  b)  sin(a  b)] *ma2  (2b  2c  a ) * A thuộc trục tung (y’Oy): A(0 ; yA) 2 4 2 2 2 (2 a  2 c  b ) 2 III. Phân loại các dạng bài tập thường gặp: 6/ Công thức biến đổi tổng thành tích *mb  2. ABC. AK.BC  0 AK  BC    K( ) BK  AC BK.AC  0. Cho tam giác ABC có: a = BC; b = AC; c = AB * Tích vô hướng 2 Vectơ a; b :. * sin 2a  2sin a cos a *cos2a  cos 2 a  sin 2 a  2cos 2 a  1  1  2sin 2 a a. Định lý cosin: * a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA 4/ Công thức hạ bậc – nâng cung. * cos 2 a  1  cos2a 2. 4) H là hình chiếu của A xuống BC:. AH.BC  0 AH  BC    H( ) H  BC BH c.phuong BC.  a  k.b hay. - p nửa chu vi tam giác: p  (a  b  c). 3/ Công thức nhân đôi. I. Các tính chất của Vectơ:. (Với a = BC; b = AC; c = AB). d. Cung hơn kém  : (  ). * cos(  )   cos  * tan(  )  tan . 10. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ OXY. 1) Ba điểm A, B, C thẳng hàng:.  AB cùng phương AC. 2) A, B, C là 3 đỉnh của tam giác: *S  1 aha  1 bhb  1 chc 2 2 2  AB không cùng phương AC *S  1 bc sin A  1 ac sin B  1 ab sin C 2 2 2 3) Chứng minh AB // CD  AB cùng phương *S  abc ; * S  pr 4R *S  p( p  a)( p  b)( p  c) (c.thuc He  rong ) CD và AB không cùng phương AC. ABC :. * Bước 2: Xét ABD, ta có J là chân đường phân giác trong của góc B:. . BA JA BA JA     J( ) BD JD BD JD. 9) Tìm M  Ox sao cho MA + MB nhỏ nhất Cho 2 điểm A, B nằm về 2 phía so với Ox. Ta có: MA  MB  AB (Bất đẳng thức tam giác).  (MA + MB) nhỏ nhất = AB. Dấu “=” xảy ra khi M  Ox  AB  M( ) * Chú ý: - Nếu A, B khác phía so với Ox thì tìm A’ đối xứng với A qua Ox (yA’ = -yA). Khi đó: M  Ox  A 'B  M( ) - yA , yB cùng dấu thì A, B cùng phía so với Ox - yA , yB khác dấu thì A, B khác phía so với Ox.

<span class='text_page_counter'>(3)</span>