CHUYEN DE HE PHUONG TRINH LUYEN THI VAO 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span>VẤN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A. MỤC TIÊU: Học sinh nắm được - Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:. ¿ ax+ by=c a❑ x+ b❑ y=c ❑ và Cách giải ¿{ ¿. - Một số dạng toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn B. NỘI DUNG: I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản 1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình bằng phương Giải hệ phương trình bằng phương pháp pháp thế ¿ 3 x −2 y=4 2 x + y=5 ¿{ ¿. cộng đại số ¿ 3 x −2 y=4 2 x + y=5 ¿{ ¿. ⇔. ¿ 3 x −2(5− 2 x )=4 y=5 − 2 x ¿{ ¿ ⇔. ⇔. ¿ 7 x =14 y=5 −2 x ¿{ ¿ ⇔. ⇔. ¿ 7 x=14 2 x + y =5 ¿{ ¿. ¿ 3 x −10+4 x=4 y=5 −2 x ¿{ ¿. ¿ x=2 y=5 −2 . 2 ¿{ ¿. ⇔. ¿ 3 x − 2 y=4 4 x +2 y=10 ¿{ ¿. ⇔. ¿ x=2 2. 2+ y=5 ¿{ ¿. ⇔. ¿ x=2 y=1 ¿{ ¿. Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1) ⇔. ¿ x=2 y=1 ¿{ ¿. Vậy hệ phương trình đã cho có.

<span class='text_page_counter'>(2)</span> nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1) 2.- Bài tập: Bài 1: Giải các hệ phương trình 1). ¿ 4 x −2 y=3 6 x − 3 y=5 ¿{ ¿. ¿ 2 x +3 y=5 2) 4 x +6 y =10 ¿{ ¿. 5). ¿ x √5 −(1+ √ 3) y =1 (1− √ 3) x+ y √ 5=1 ¿{ ¿. 6). ¿ 3 x − 4 y +2=0 3) 5 x +2 y =14 ¿{ ¿. ¿ 0,2 x +0,1 y=0,3 3 x + y =5 ¿{ ¿. 4). 7). ¿ 2 x +5 y=3 3 x −2 y=14 ¿{ ¿ ¿ x 2 = y 3 x+ y − 10=0 ¿{ ¿. Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:. 1). ¿ (3 x+2)(2 y − 3)=6 xy (4 x+5)( y −5)=4 xy ¿{ ¿. 2). 3). ¿ (2 x −3)(2 y +4 )=4 x ( y −3)+54 ( x +1)(3 y −3)=3 y (x +1)− 12 ¿{ ¿. 4). 5). ¿ 1 1 (x +2)( y+3)− xy=50 2 2 1 1 xy − ( x −2)( y − 2)=32 2 2 ¿{ ¿. 6). ¿ 2(x + y)+3 ( x − y )=4 ( x+ y)+2(x − y )=5 ¿{ ¿ ¿ 2 y −5 x y +27 +5= −2 x 3 4 x +1 6 y−5x + y= 3 7 ¿{ ¿ ¿ ( x+20)( y − 1)=xy ( x − 10)( y+1)=xy ¿{ ¿. Dạng 2. Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ Bài tập: ¿ 1 1 1 + = x y 12 1) 8 + 15 =1 x y ¿{ ¿. 2). ¿ 2 1 + =3 x+ 2 y y +2 x 4 3 − =1 x +2 y y +2 x ¿{ ¿. 3). ¿ 3x 2 − =4 x +1 y + 4 2x 5 − =9 x+1 y+ 4 ¿{ ¿.

<span class='text_page_counter'>(3)</span> 4). ¿ x 2 + y 2=13 3 x2 −2 y 2=− 6 ¿{ ¿. 5). ¿ 3 √ x+2 √ y=16 2 √ x −3 √ y=−11 ¿{ ¿. ¿ 2( x −2 x)+ √ y +1=0 7) 3(x 2 − 2 x )− 2 √ y +1=− 7 ¿{ ¿ 2. 8). ¿. |x|+4 | y|=18 6) 3|x|+| y|=10 ¿{ ¿. ¿ 5|x −1|−3| y +2|=7 2 √ 4 x 2 − 8 x + 4+5 √ y 2+ 4 y + 4=13 ¿{ ¿. Dạng 3. Giải và biện luận hệ phương trình Phương pháp giải:  Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x  Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = ⇔ b (1)  Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ i) Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm - Nếu b ii) Nếu a. 0 thì hệ vô nghiệm b. 0 thì (1) ⇒ x = a , Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ. phương trình có nghiệm duy nhất. Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:. ¿ mx − y =2m(1) 4 x − my=m+6(2) ¿{ ¿. Từ (1) ⇒ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + 6 ⇔ (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) i) Nếu m2 – 4. 0 hay m. ± 2 thì x =. (2 m+3)( m−2) 2 m+3 = m+2 m2 − 4. m. 2 m+3. m. Khi đó y = - m+2 . Hệ có nghiệm duy nhất: ( m+2 ;- m+2 ) ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4 Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x. R. iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm.

<span class='text_page_counter'>(4)</span> Vậy: - Nếu m. ± 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (. 2 m+3 m ;) m+2 m+2. - Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x. R. - Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau: 1). ¿ mx + y =3 m−1 x+ my=m+1 2) ¿{ ¿. ¿ mx+ 4 y=10 − m x +my=4 ¿{ ¿. 4). ¿ x + my=3 m mx − y =m2 −2 5) ¿{ ¿. ¿ x − my=1+ m2 mx+ y =1+ m 2 ¿{ ¿. 3). 6). ¿ (m− 1) x − my=3 m−1 2 x − y =m+5 ¿{ ¿. 2 x − y =3+2 m 2 m+ 1¿ ¿ ¿ ¿{ mx+ y=¿. DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải:  Giải hệ phương trình theo tham số k.  Viết x, y của hệ về dạng: n + f (m) với n, k nguyên  Tìm m nguyên để f(m) là ước của k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: ¿ mx+2 y=m+1 2 x + my=2 m− 1 ¿{ ¿. HD Giải: ¿ mx +2 y=m+1 2 x + my=2 m− 1 ¿{ ¿. ⇔. ⇔. ¿ 2 mx+ 4 y =2m+2 2 mx+m2 y =2m 2 −m ¿{ ¿. ¿ (m2 − 4) y=2 m2 − 3 m−2=(m −2)(2 m+1) 2 x+ my=2m −1 ¿{ ¿.

<span class='text_page_counter'>(5)</span> để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 Vậy với m. 0 hay m. ±2. ± 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất. ¿ (m−2)(2 m+1) 2m+1 3 y= = =2 − 2 m+2 m+ 2 m −4 m− 1 3 x= =1− m+2 m+2 ¿{ ¿. Để x, y là những số nguyên thì m + 2. Ư(3) = { 1; − 1; 3 ; −3 }. Vậy: m + 2 = ± 1, ± 3 => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên: ¿ (m+1) x+ 2 y =m− 1 m2 x − y=m2 +2 m ¿{ ¿. Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1) ¿ 2 mx −( m+1) y=m− n (m+2) x+ 3 ny=2 m− 3 ¿{ ¿. HD: Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2 HD: thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3.

<span class='text_page_counter'>(6)</span> HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên. Biết nếu f(x) chia hết b. cho ax + b thì f(- a ) = 0 ¿ 1 f ( )=0 4 f (−3)=0 ¿{ ¿. ⇔. ¿ a b + − 3=0 8 4 Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11 18 a −3 b −3=0 ¿{ ¿. d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4. Xác định các hệ số a và b biết rằng f(2) = 6 , f(-1) = 0 HD: ¿ f (2)=6 f (−1)=0 ¿{ ¿. ⇔. ¿ 4 a+2 b=2 a −b=− 4 ¿{ ¿. ⇔. ¿ a=−1 b=3 ¿{ ¿. Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình ¿ 2 a+b=1 a+b=2 ¿{ ¿. ⇔. ¿ a=−1 b=3 ¿{ ¿. Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2). b) P(1; 2) ; Q(2; 0). Bài 4: Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy DH giải: - Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là. nghiệm của hệ phương trình:. ¿ 3 x+2 y=4 x +2 y=3 ¿{ ¿. ⇔. ¿ x=0,5 y=1 , 25 . Vậy M(0,2 ; 1,25) ¿{ ¿.

<span class='text_page_counter'>(7)</span> Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m ⇔ m = -0,85 Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ;. x - y = 2m ;. mx – (m – 1)y = 2m – 1. b) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2 Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước. Cho hệ phương trình:. ¿ mx+ 4 y=9 x+ my=8 ¿{ ¿. Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 38 2 m −4. 2x + y +. =3. HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m ± 2 - Giải hệ phương trình theo m ¿ mx + 4 y=9 x+ my=8 ¿{ ¿. - Thay x =. ¿ mx+ 4 y=9 mx+m2 y=8 m ¿{ ¿. ⇔. 9 m−32 2 m −4. 2.. ;y= 9 m−32 m2 − 4. ⇔. 8 m−9 2 m −4. +. ¿ (m − 4) y=8 m −9 x+ my=8 ¿{ ¿ 2. vào hệ thức đã cho ta được:. 8 m−9 + m2 − 4. 38 =3 m2 − 4. => 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12 ⇔. ⇔. ¿ 8 m− 9 y= 2 m −4 9 m−32 x= 2 m −4 ¿{ ¿. 3m2 – 26m + 23 = 0.

<span class='text_page_counter'>(8)</span> ⇔ m1 = 1 ; m 2 =. Vậy m = 1 ; m =. 23 3. (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện). 23 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho hệ phương trình. ¿ mx+ 4 y=10 − m x +my=4 (m là tham số) ¿{ ¿. a) Giải hệ phương trình khi m = √ 2 b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0 d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương Bài 2: Cho hệ phương trình :. ¿ (m− 1) x − my=3 m−1 2 x − y =m+5 ¿{ ¿. a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x 2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 3: Cho hệ phương trình. ¿ 3 x+2 y=4 2 x − y =m ¿{ ¿. a) Giải hệ phương trình khi m = 5 b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1.

<span class='text_page_counter'>(9)</span> c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy Bài 4: Cho hệ phương trình:. ¿ mx+ 4 y=9 x+ my=8 ¿{ ¿. a) Giải hệ phương trình khi m = 1 b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm Bài 5: Cho hệ phương trình:. ¿ x +my=9 mx −3 y=4 ¿{ ¿. a) Giải hệ phương trình khi m = 3 b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y =. 28 2 m +3. -3. Bài 6: Cho hệ phương trình:. ¿ mx − y =2 3 x+ my=5 ¿{ ¿. a) Giải hệ phương trình khi m=√ 2 . b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn 2. hệ thức Bài 7:. m x+ y=1 − 2 . m +3.

<span class='text_page_counter'>(10)</span> Cho hệ phương trình. ¿ 3 x − my=− 9 mx+2 y=16 ¿{ ¿. a) Giải hệ phương trình khi m = 5 b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7. LINK TẢI TÀI LIỆU TOÁN ÔN THI THPT QUỐC GIA VÀ HỌC SINH GIỎI (ĐA SỐ MIỄN PHÍ, MỘT SỐ LINK CÓ TRẢ PHÍ) 1> Câu hỏi trắc nghiệm toán học lớp 10 2> Bài tập Toán lớp 10 chương 1: Mệnh đề - Tập hợp 3> Bài tập Toán lớp 10 chương 2: Hàm số bậc nhất - bậc hai 4> Bài tập công thức lượng giác lớp 10 5> Bảng công thức lượng giác dùng cho lớp 10 - 11 - 12 6> Các công thức lượng giác cần ghi nhớ

<span class='text_page_counter'>(11)</span> 7> Trắc nghiệm theo chuyên đề -Toán 10 8>90 câu trắc nghiệm chương 1 hình học lớp 10 (vectơ) có đáp án 9> Bài tập Hình học 10 cơ bản, nâng cao cả năm 10> M Ộ T S Ố CHUYÊN ĐỀ ÔN THI HSG L Ớ P 10, 11 11> Tổng hợp đề thi HSG Toán 10 tỉnh Hà Tĩnh 12> Chuyên đề: Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 13> CÁC DẠNG TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 14> Tổng hợp 760 câu Trắc nghiệm Hình học OXYZ 15> Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học lớp 12 (phần 1) 16> Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán hình học lớp 12 (phần 2) 17> Tuyển tập 40 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) 18> Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 tỉnh Thanh Hóa (có đáp án chi tiết) 19> Giáo trình giải toán bằng máy tính Casio cực hay 20> Tuyển tập 40 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) 21> Tuyển tập 25 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 (có đáp án chi tiết) 22> Tài liệu hướng dẫn giải toán trên máy tính cầm tay 570MS và 570ES 23> 2700 câu hỏi và đáp án đường lên đỉnh olympia 24> 2000 câu hỏi luyện thi olympia 25> chuyên đề về phương trình hàm (phương trình hàm với phép biến đổi đối số)

<span class='text_page_counter'>(12)</span> 26> Chuyên đề về về phương trình hàm (phương trình hàm với cặp biến tự do) 27> Chuyên đề về về phương trình hàm (một số tính chất cơ bản của hàm số) 28> 15 đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 có đáp án chi tiết (tải đầy đủ 15 bộ đề và đáp án trong file đính kèm) 29> 100 bài toán ôn tập thi học sinh giỏi máy tính cầm tay khối thpt 30> Tổng hợp đề thi học sinh giỏi toán trên máy tính cầm tay toàn quốc khối thpt 31> Tổng hợp đề thi học sinh giỏi máy tính cầm tay 570MS lớp 12 31> Ứng dụng số phức vào gải các bài toán đại số 32> 100 bài toán hay dành cho học sinh thpt 33> Các bài toán tổ hợp trong các đề thi học sinh giỏi quốc gia 34> Toán đại số bồi dưỡng học sinh giỏi THPT 35> Tổng hợp phương trình lượng giác hay năm 2015 36> Tổng hợp các phương pháp giải phương trình và hệ phương trình môn Toán 37> Tài liệu bồi dưỡng HS giỏi toán 11(hay) 38> Bài tập về phép biến hình 11 nâng cao 39> Phép nghịch đảo ứng dụng trong hình học 40> Giải toán Hình không gian 41> Giáo án hình học 10 nâng cao 42> Giáo án hình học lớp 10 nâng cao full 43> Tuyển tập Các đề thi dành cho Giáo viên dạy giỏi khối THPT (có đáp án) 44> Tuyển tập 15 đề thi học sinh giỏi môn Tin học lớp 12 (có đáp án)

<span class='text_page_counter'>(13)</span> 45> Giáo án đại số lớp 10 nâng cao 46> Giáo án Hình học 10 nâng cao cực hay 47> Giáo án Đại số lớp 10 nâng cao cực hay 48>CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TỔ HỢP 49> 19 cách giải khác nhau cho 1 bài toán về bất đẳng thức 50> Hệ thống bài tập về phương trình, hệ phương trình, bất phương trình có lời giải chi tiết toán 10 51> Giới hạn của các dãy số sinh bởi các đại lượng trung bình toán THPT 52> Phương trình, bất phương trình đại số bậc cao, phân thức hữu tỉ cực hay -Tài liệu bồi dưỡng toán học phổ thông 53> Các chủ đề toán 12 tự chọn nâng cao bám sát chương trình chuẩn 54> Công thức toán lớp 12 55> Trọn bộ các đề thi học sinh giỏi quốc gia các môn năm 2011 56> Bí quyết giải phương trình lượng giác 57> Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT 58> Các phương pháp tính tích phân BD toán 12 59> Hình học giải tích trong không gian với MAPLE (BD toán THPT) 60> Phương trình hàm BD HSG toán 12 61> Giải Phương trình hàm 62> Tuyển tập các đề thi HSG toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 1) 63> Tuyển tập các đề thi HSG toán lớp 12 (có đáp án chi tiết) (phần 2) 64> Tích phân toàn tập BD toán 12 65> Tích phân và ứng dụng TL ôn thi tốt nghiệp THPT

<span class='text_page_counter'>(14)</span> 66> Bồi dưỡng HSG đại số 11 67> Phương pháp tọa độ trong không gian BD toán 11 68> Phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực bồi dưỡng HSG toán 12 69> Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng Tài liệu bồi dưỡng toán 12 nâng cao 70> Luyện tập về hình học không gian BD toán 12 71> Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp BD toán 12 72> Các phương pháp giải phương trình, bất phương trinh hệ mũ và logarit BD toán 12 73> Chuyên đề phương trình, bất phương trình mũ và logarit ôn thi tốt nghiệp THPT 74> Số phức tài liệu bồi dưỡng toán 12 nâng cao 75> Tài liệu bồi dưỡng toán 10 76> 60 bài tập về tổ hợp xác xuất toán 11 77> Bài tập về giới hạn hàm số toán 11 78> Bài tập về phép biến hình – toán 11 nâng cao 79> Bồi dưỡng toán 11 nâng cao phần dãy số 80> Bồi dưỡng toán 11 phần quan hệ song song 81> Bồi dưỡng toán 11 phần quan hệ vuông góc 82> Tài liệu bồi dưỡng hình học 11 (hay) 83> 100 bài hình học không gian về thể tích 84> Bồi dưỡng toán nâng cao lớp 11 phần dãy số 85> Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) phần 1 86> Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 11 (có đáp án chi tiết) phần 2

<span class='text_page_counter'>(15)</span> 87> Chuyên đề hình học phẳng (ôn thi học sinh giỏi cấp tỉnh) 88> Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 10 (có đáp án chi tiết) 89> Các đề thi HSG toán lớp 12 tỉnh thanh hóa 90> Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 12 cực hay 91> Một số bài tập hay về tổ hợp (luyện thi olympic toán học toàn miền nam lần thứ XVIII) 92> Một số bài tập hay về bất đẳng thức (luyện thi olympic toán học toàn miền nam lần thứ XVIII) 93> Đề thi olympic toán khu vực ĐBSCL (có đáp án) 94> 40 Đề thi Toán vào lớp 10 chọn lọc

<span class='text_page_counter'>(16)</span>